广西钦州市高新区2020学年高二数学12月月考试题理

南宁二中2024年11月高三月考数学（时间120分钟，共150分）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集，集合，则（ ）A. B. C. D.2.已知复数是的共轭复数，则（ ）A.2B.3C.D.3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）A.D.34.已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ）A. B.C.D.5.天上有三颗星星，地上有四个孩子.每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ）A.B. C. D.6.已知，则（ ）A. B. C.1 D.37.已知函数的零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）U =R {}{03},1A xx B x x =≤<=>∣∣()U A B ⋃=ð{3}x x <∣{01}x x ≤<∣{}01xx ≤≤∣{}0xx ≥∣1i,z z =-z i z z -=()22210y x b b-=>y =b =13,,a b c a b c >>0a b c ++=22ab cb >222a cc a+≥a b >0ab bc +>19294923π2tan 43θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭sin cos2sin cos θθθθ=-1310-1013-()(02)f x kx x =<≤31,2⎛⎫⎪⎝⎭kA. B. C. D.8.已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（ ）A.B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某科技攻关青年团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如下表所示，则这10个人年龄的（ ）年龄454036322928人数121321A.中位数是34B.众数是32C.第25百分位数是29D.平均数为34.310.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是正三角形，为线段的中点，点为底面内的动点：则下列结论正确的是（）A.若，平面平面B.若，直线与平面C.若直线和异面，点不可能为底面的中心D.若平面平面，且点为底面的中心，则11.设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）A.函数的图象关于点对称B.⎛ ⎝(⎫⎪⎪⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()()2sin 0f x x ωω=>ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2y =ω[)2,5[)1,5[]1,231,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦E ABCD -ABCD CDE V M DE N ABCD BC DE ⊥CDE ⊥ABCDBC DE ⊥EA ABCD BM EN N ABCD CDE ⊥ABCD N ABCD BM EN≠R ()f x ()g x ()f x '()g x '()()42f x g x --=()()2g x f x '=-'()2f x +()f x ()2,0()()354g g +=-C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知正三角形的边长为为中点，为边上任意一点，则__________.13.已知三棱锥，二面角的大小为，当三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为__________.14.拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流､物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图，设代表旧城区，新的城市发展中心分别为正，正，正的中心.现已知，则的面积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知等差数列中，.（1）令，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.16.（本小题满分15分）米接力短跑作为田径运动的重要项目，展现了一个国家短跑运动的团体最高水平.每支队伍都有自己的一个或几个明星队员，现有一支米接力短跑队，张三是其队员之一，经统计该队伍在参加的所有比赛中，张三是否上场时该队伍是否取得第一名的情况如下表.如果依据小概率值的独立性检验，可以认为队伍是否取得第一名与张三是否上场有关，则认为张三是这支队伍的明星队员.队伍是否取得第一名的情况张三是否上场取得第一名未取得第一名上场104020241()2024k g k ==-∑20241()0k f k ==∑ABC 2,O BC P BC AP AO ⋅=,3,,P ABC AC PB AB BC AB BC -==⊥=P AB C --60 P ABC -ABC V 123,,O O O ACD V ABE V BCF V 1232,30,AB ACB O O O ∠==V ABC V {}n a 5108,23a a ==732n a nb +={}n b {}n nb n n S 4100⨯4100⨯0.1α=未上场6合计24（1）完成列联表，并判断张三是否是这支队伍的明星队员.（2）米接力短跑分为一棒､二棒､三棒､四棒4个选手位置.张三可以作为一棒､二棒或四棒选手参加比赛.当他上场参加比赛时，他作为一棒､二棒､四棒选手参赛的概率分别为，相应队伍取得第一名的概率分别为.当张三上场参加比赛时，队伍取得第一名的概率为0.7.（i ）求的值；（ii ）当张三上场参加比赛时，在队伍取得某场比赛第一名的条件下，求张三作为四棒选手参加比赛的概率.附：.0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.82817.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面是矩形､平面平面分别为线段的中点，点在线段上（不包括端点）（1）若，求证：点四点共面；（2）若，是否存在点，使得与平面，若不存在，请说明理由.18.（本小题满分17分）已知椭圆，四点22⨯4100⨯0.5,,x y 0.7,0.8,0.3,x y ()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++αx αP ABCD -PBC V ABCD PBC ⊥,,ABCD O E ,BC PA F PB 23PF PB =,,,O D E F 22BC AB ==F EF PCD PFBF()2222:10x y E a b a b+=>>，其中恰有三点在椭圆上.（1）求的方程；（2）设是的左､右顶点，直线交于两点，直线的斜率分别为.若，证明：直线过定点.19.悬链线在建筑领域有很多应用.当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之其倒置时也是一种稳定状态.链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为，相应的反链函数表达式为.（1）证明：曲线是轴对称图形，（2）若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，证明：；（3）已知函数，其中.若对任意的恒成立，求的最大值.()()31241,1,0,1,,P P P P ⎛⎛- ⎝⎝E E A B ､E l E C D ､AC BD ､12k k ､127k k =l ()e e 2x x D x -+=()e e 2x xR x --=()()()()2222R x y D x R x Dx ⎡⎤=--⎣⎦y t =()y D x =()y R x =123,,x x x (123ln 1x x x ++>()()()2f x D x aR x b =--,a b ∈R ()4f x ≤))ln1,ln1x ⎡⎤∈⎣⎦a b +南宁二中2024年11月高三月考数学参考答案1.【答案】A 【详解】因为，所以，所以.故选：A.2.【答案】D 【详解】故选：D.3.【答案】C 【详解】因为双曲线为，所以它的渐近线方程为，因为有一条渐近线方程为，所以.故选：C.4.【答案】C 【详解】由题，，取，则，故A 错误；，故错误；，故D 错误；因为，所以，即，故C 正确.故选：C.5.【答案】C 【详解】四个孩子向三颗星星许愿，一共有种可能的许愿方式.由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人的愿望，所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选，可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星，有种情况，所以所求概率为故选：C.6.【答案】B 【详解】由，解得，故.故选：B.{},1U B xx ==>R ∣{}U 1B x x =≤∣ð(){}U {03}1{3}A B x x x x x x ⋃=≤<⋃≤=<∣∣∣ð()i 1i i 1i 22i z z -=--+=-==()22210y x b b-=>y bx =±y =b =0,0a c ><1,0,1a b c ===-22ab cb =2522a c c a +=-B 0ab bc +=()()()220a b a b a b c a b -=+-=-->22a b >a b >4381=212432C C A 36=364819P ==πtan 12tan 41tan 3θθθ+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭tan 5θ=-()()()()22sin cos sin sin sin cos cos sin sin cos2sin cos sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ-+-===-+---()2222sin cos sin tan tan 10cos sin tan 113θθθθθθθθ-+--===-++7.【答案】C 【详解】由，令，，要使的零点在区间内，即在内，与有交点，画出与图像，如图：当时，，此时；当时，，此时故.8.【答案】D 【详解】因为函数的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，所以，又，得，令，得，所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为，所以，解得，综上所述，，故选：D9.【答案】BCD 【详解】对于A ､B ，把10个人的年龄由小到大排列为，这组数据的中位数为32，众数为32，故A 错误，B 正确；对于C ，由，得这组数据的第25百分位数是第3个数，为29，故正确；对于，这组数据的平均数，故D 正确.故选：BCD.10.【答案】AC 【详解】因为，所以平面，平面，所以平面平面，A 项正确；设的中点为，连接，则.平面平面，平面平面平面.()0f x kx kx ==⇒=()[]0,2g x y x ==∈()[],0,2h x kx x =∈(),(02)f x kx x =-<≤31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()g x ()h x ()g x ()h x 1x =()11g =1k =32x =32g ⎛⎫== ⎪⎝⎭k ==k ⎫∈⎪⎪⎭()()2sin 0f x x ωω=>ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2π4π323T T ≤⇒≥2π0T ωω⎧=⎪⎨⎪>⎩302ω<≤()2sin 2f x x ω==()π2π2k x k ωω=+∈Z ()f x ()0,∞+2y =π2ωπ2π2ωω+πππ2π222ωωω≤<+15ω≤<312ω≤≤28,29,29,32,32,32,36,40,40,4525%10 2.5⨯=C D 28229332362404534.310x +⨯+⨯++⨯+==,,BC CD BC DE CD DE D ⊥⊥⋂=BC ⊥CDE BC ⊂ ABCD ABCD ⊥CDE CD F EF AF ､EF CD ⊥ ABCD ⊥CDE ABCD ⋂,CDE CD EF =⊂CDE平面，设平面所成的角为，则，，故B 项错误；连接，易知平面，由确定的面即为平面，当直线和异面时，若点为底面的中心，则，又平面，则与共面，矛盾，C 项正确；连接平面平面，分别为的中点，则，又，则，D 项错误.故选：AC.11.【答案】ABD 【详解】对于A ，由为奇函数，得，即，因此函数的图象关于点对称，A 正确；由，得，则，又，于是，令，得，即，则，因此函数是周期函数，周期为4，对于B ，由，得，B 正确；对于C ，显然函数是周期为4的周期函数，，，则C 错误；对于D ，，则，D 正确.故选：EF ∴⊥ABCD EA ABCD θEAF θ∠=AF EF AE ======sin EF EA θ==BD BM ⊂BDE B M E ､､BDE BM EN N ABCD N BD ∈E ∈BDE EN BM ,FN FN ⊂ ,ABCD EF ⊥,ABCD EF FN ∴⊥F N ､CD BD ､112FN BC ==EF =2,EN BM ====BM EN ≠()2f x +()()22f x f x -+=-+()()220f x f x -++=()f x ()2,0()()2g x f x '=-'()()2g x f x a =-+()()42g x f x a -=-+()()42f x g x --=()()22f x f x a =-++1x =2a =-()()2f x f x =-()()()()()2,42f x f x f x f x f x +=-+=-+=()f x ()()22g x f x =--()()()()3512324g g f f +=-+-=-()g x ()()()()13354g g g g +=+=-()()()()2402224g g f f +=-+-=-2024411()506()506(8)4048,k k g k g k ====⨯-=-∑∑()()()()130,240f f f f +=+=2024411()506()0k k f k f k ====∑∑ABD12.【答案】3 【详解】因为三角形是正三角形，为中点，所以，所以，又正三角形的边长为2，所以，所以.13.【答案】【详解】要使棱锥体积最大，需保证到面的距离最大，故，此时，又都在面上，故面，且设外接圆半径为，则由余弦定理，所以，即，故其表面积为故答案为：14.【详解】连接，因为分别为正，正的中心，所以，又，所以，又因为，所以，由勾股定理得，即，由余弦定理，即，解得，ABCO BC AO BC ⊥AO OP ⊥ABC AO ==()223AP AO AO OP AO AO OP AO ⋅=+⋅=+⋅==40π3P ABC d max sin60d PB =⋅ PB AB ⊥,,,AB BC PB BC B PB BC ⊥⋂=PBC AB ⊥PBC 60PBC ∠=PBC V r 2222212cos603223272PC PB BC PB BC =+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅= PC=2sin60PC r ==r =22211023R r AB ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2404ππ3R =40π313,CO CO 12,O O ACD V ABE V 1331,,30,30CO AC CO BC O CB O CA ∠∠==== 30ACB ∠= 1390O CO ∠= 123213O O O S O ==V 132O O =2221313CO CO O O +=22224,12AC BC AC BC ⎫⎫+=+=⎪⎪⎪⎪⎭⎭2222cos30AB AC BC AC BC =+-⋅ 412BC =-⋅AC BC ⋅=所以..15.【详解】（1）证明：设等差数列的公差为，因为，所以，联立解得：，所以.所以，所以.所以数列是等比数列，首项为2，公比为2.（2）所以数列的前项和.两式相减得.16.【答案】解：（1）根据题意，可得的列联表：队伍是否取得第一名的情况张三是否上场取得第一名未取得第一名合计1sin302ABC S AC BC =⋅=V {}n a d 5108,23a a ==1148,923a d a d +=+=14,3a d =-=()43137n a n n =-+-=-73220n a n nb +==≠11222n n n n b b ++=={}n b 2nn nb n =⋅{}n nb n 23222322nn S n =+⨯+⨯+⋯⋯+⋅()2322222122n n n S n n +=+⨯+⋯⋯+-⋅+⋅212222nn n S n +-=++⋯⋯+-⋅()12212.21n n n +-=-⋅-()1122n n S n +=-⋅+22⨯上场301040未上场61420合计362460零假设：队伍是否取得第一名与张三是否上场无关；，依据小概率值的独立性检验，可以认为队伍是否取得第一名与张三是否上场有关；故张三是这支队伍的明星队员.（2）由张三上场时，作为一棒､二棒､四棒选手参赛的概率分别为，相应队伍取得第一名的概率分别为.设事件：张三作为一棒参赛，事件：张三作为二棒参赛，事件C ：张三作为四棒参赛，事件D ：张三上场且队伍获得第一名；则；（i ）由全概率公式：，即；与联立解得：.（ii ）由条件概率公式：.17【详解】（1）证明：【法1】延长，于延长线交于点，因底面是矩形，且是的中点，故，则是中点，.连，连交于点，0H ()()()()2220.1()60(3014106)4511.25 2.706362440204n ad bc x a b c d a c b d χ-⨯-⨯====>=++++⨯⨯⨯0.1α=0.5,,x y 0.7,0.8,0.3A B ()()()()()()0.5,,,0.7,0.8,0.3P A P B x P C y P DA P DB P DC ======∣∣∣()()()()()()()0.50.70.80.30.7PD P A P D A P B P D B P C P D C x y =++=⨯++=∣∣∣83 3.5x y +=0.510.5x y x y ++=⇒+=0.4,0.1x y ==()()()P DC P C D P D =∣()()()0.10.330.770P C P D C P D ⨯===∣DO AB T ABCD O BC 12OB AD ∥B AT EB ET PB F '因是中点，故，由得，，又因，故点即点，所以四点共面.【法2】因底面是矩形，故，过作直线与平行，则与也平行，故直线与共面，直线也与共面，延长与交于点，连接与直线交于点.则，因是中点，由得，于是，因是的中点，则且，由得，又因，故点即点，所以四点共面.【法3】，系数和为1，根据平面向量共线定理可知四点共面E PA 12EB PT ∥EBF TPF ''V V ∽2PF F B '='23PF PB = F 'F ,,,O D E F ABCD AD ∥BC P l AD l BC l AD l BC DE l G OG PB F ',PGE ADE PGF BOF ''V V V V ≌∽E PA PGE ADE V V ≌PG AD ∥PG BC ∥O BC PG ∥OB 2PG OB =PGF BOF ''V V ∽2PF BF '='23PF PB = F 'F ,,,O D E F ()()222121221333333333PF PB PO OB PO DA PO PA PD PO PE PD ==+=+=+-=+- ,,,O D E F（2）因为是的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.取中点，连接，易知两两相互垂直，如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则即，令，则，所以..设，则设与平面所成角为，则，解得此时或，此时18.（1）由椭圆对称性，必过，又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点，,PB PC O =BC PO BC ⊥PBC ⊥ABCD PBC ⋂ABCD BC =PO ⊂PBC PO ⊥ABCD AD Q OQ ,,OQ OC OP ,,OQ OC OP ,,x y z ()()()()(1,1,0,0,1,0,0,1,0,1,1,0,A B C D P --()()(0,2,0,1,0,0,0,AD CD CP ===- PCD (),,a x y z = 0,0,a CD a CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩1z =y =()a = (01)PF k k PB=<<((11110,1,1,1,,2222EF PF PE k PB PA k k ⎛⎫=-=-=---=-- ⎪ ⎪⎝⎭ EF PCD θsin cos ,EF a EF a EF a θ⋅====⋅ 13k =12PF BF =23k =2PF BF=34,P P 4P 1P 234,,P P P代入椭圆方程得，解得椭圆的方程为：（2）说明：其他等价形式对应给分.依题意，点（i ）若直线的斜率为0，则必有，不合题意（ii ）设直线方程为与椭圆联立，整理得：，因为点是椭圆上一点，即，设直线的斜率为，所以，所以，即，因为，所以，222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩224,1a b ==⋯E 221;4x y +=()()2,0,2,0,A B -l 12k k =-l ()2,x ty n n =+≠±E 2244x y x ty n⎧+=⎨=+⎩()2224240t y nty n +++-=()()122222221222,4Δ44440,4.4tn y y t t n t n n y y t ⎧+=-⎪⎪+=-+->⎨-⎪=⎪+⎩()11,C x y 221114x y +=BC 3k 2121111322111111422444x y y y k k x x x x -⋅=⋅===+---123174k k k =-=23281k k ⋅=-()()()()()()1212122322121212122828282822222(2)y y y y y y k k x x ty n ty n t y y t n y y n ⋅===--+-+-+-++-()()()()()()()2222222222228428244222422(2)44n n t t n t n t n n t t n n n t t -++==-+-+-+--+-++()()2827141422n n n n ++===---32n =-故直线恒过定点；19.【详解】（1），令，则所以为偶函数，故曲线是轴对称图形，且关于轴对称（2）令，得，当时，在单调递减，在单调递增，所以，且当时，，当时，又恒成立，所以在上单调递增，且当时，，当时，且对任意，所以的大致图象如图所示，不妨设，由为偶函数可得，与图象有三个交点，显然，令整理得，解得或所以，即，又因为，所以.l3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭()()()()22222e e 1e e x x x xR x y D x R x D x --⎛⎫-⎡⎤=--=- ⎪⎣⎦+⎝⎭()2e e 1e e x x x x g x --⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭()()22e e e e 1l ,e e e e x x x x x x x x g x g x ----⎛⎫⎛⎫---=-=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()g x ()()()()2222R x y D x R x D x ⎡⎤=--⎣⎦y ()e e 02x xD x --=='0x =0x >()()()0;0,0,D x x D x D x <'><'(),0∞-()0,∞+()()01D x D ≥=x ∞→-()D x ∞→+x ∞→+()D x ∞→+()e e 02x xR x -+=>'()R x R x ∞→-()R x ∞→-x ∞→+(),R x ∞→+⋅()(),x D x R x ∈>R 123x x x <<()D x 120x x +=y t =1t >()e e 1,2x x R x t --==>2e 2e 10x x -->e 1x >e 1x <(ln 1x >(3ln 1x >120x x +=(123ln 1x x x ++>+（3）设，则，所以因为单调递增，所以时，，即由即，该不等式组成立的一个必要条件为：和时同时满足，即，所以，当时等号成立；下面分析充分性：若时，显然对恒成立，从而，满足题意综上所述：的最大值为()e e 2x x R x m --==()222e e 2212x xD x m -+==+()()()2221,f x D x aR x b m am b =--=+--()e e 2x xR x --=))ln 1,ln 1x ⎡⎤∈-+⎣⎦()[]1,1R x ∈-[]1,1,m ∈-()244214f x m am b ≤⇔-≤+--≤22250230m am b m am b ⎧--+≥⎨---≤⎩1m =-1m =7117a b b a -≤--≤⎧⎨-≤-≤⎩7a b +≤4,3a b ==4,3a b ==2222222502435021023024330230m am b m m m m m am b m m m m ⎧⎧⎧--+≥--+≥-+≥⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨---≤---≤--≤⎪⎩⎪⎩⎩[]1,1m ∀∈-()4f x ≤a b +7.。

2015-2016学年某某某某市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1．正三棱柱的左视图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为（）A．4 B．12 C．D．242．直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定3．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}4．已知复数z=，则z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i5．若l、a、b表示直线，α、β表示平面，下列命题正确的是（）A．l∥α，a⊂α⇒l∥a B．a∥α，a∥b⇒b∥αC．a∥α，b⊥α⇒a⊥b D．a∥α，α∥β⇒a∥β6．过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A．3x﹣2y=0 B．x+y﹣5=0C．3x﹣2y=0或x+y﹣5=0 D．2x﹣3y=0或x+y﹣5=07．将球的半径变为原来的两倍，则球的体积变为原来的（）A．2倍B．8倍C．4倍D．0.5倍8．若幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上是增函数，则（）A．a＞0 B．a＜0 C．a=0 D．不能确定9．已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则这样的集合B有（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH相交于点P，那么（）A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外11．关于斜二侧画法，下列说法正确的是（）A．三角形的直观图可能是一条线段B．平行四边形的直观图一定是平行四边形C．正方形的直观图是正方形D．菱形的直观图是菱形12．多面体的直观图如图所示，则其正视图为（）A．B．C．D．二、填空题13．函数f（x8）=log2x，则f（16）的值是．14．设a=sin（sin2008°），b=sin（cos2008°），c=cos（sin2008°），d=cos（cos2008°）．则a，b，c，d从小到大的顺序是．15．b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为．16．已知数列{log2（a n﹣1）}，（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．17．一物体受到与它运动方向相同的力：的作用，（x 的单位：m，F的单位：N），则它从x=0运动到x=1时F（x）所做的功等于．18．空间直角坐标系中两点A（0，0，1），B（0，1，0），则线段AB的长度为．三、解答题19．已知椭圆┍的方程为+=1（a＞b＞0），点P的坐标为（﹣a，b）．（1）若直角坐标平面上的点M、A（0，﹣b），B（a，0）满足=（+），求点M的坐标；（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆┍于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若k1•k2=﹣，证明：E为CD的中点；（3）对于椭圆┍上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆┍上存在不同的两个交点P1、P2满足+=，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ的取值X围．20．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．21．在三角形ABC中，，求三角形ABC的面积S．22．对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：寿命/小时100～200 200～300 300～400 400～500 500～600个数20 30 80 40 30（1）完成频率分布表；分组频数频率100～200200～300300～400400～500500～600合计（2）完成频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100～400小时以内的概率；（4）估计电子元件寿命在400小时以上的概率．23．求出函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间．2015-2016学年某某某某市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．正三棱柱的左视图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为（）A．4 B．12 C．D．24【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】通过左视图，判断几何体的数据，然后求解侧面积．【解答】解：∵正三棱柱的左视图为：，正三棱柱的底面是正三角形，由图知底面正三角形的高为，∴易求得正三角形的边长为2，∴正三棱柱的侧面积为：2×2×3=12．故选：B．【点评】本题考查三视图侧面积的求法，考查学生的视图能力以及计算能力．2．直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】根据圆心C到直线l的距离正好等于半径，可得直线和圆相切．【解答】解：由于圆心C（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离为=2，正好等于半径，故直线和圆相切，故选：B．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．3．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由B中的不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，∵全集U=R，∴∁U B={x|x＜1}，则A∩（∁U B）={x|0＜x＜1}．故选：A．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．4．已知复数z=，则z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到选项．【解答】解：复数z==所以它的共轭复数为：1﹣i故选A【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能力，常考题型．5．若l、a、b表示直线，α、β表示平面，下列命题正确的是（）A．l∥α，a⊂α⇒l∥a B．a∥α，a∥b⇒b∥αC．a∥α，b⊥α⇒a⊥b D．a∥α，α∥β⇒a∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】A．根据线面平行的性质定理进行判断．B．根据线面平行的判定定理进行判断．C．根据线面垂直的性质定理进行判断．D．根据线面平行的性质进行判断．【解答】解：A．根据线面平行的性质可知，l∥a不一定成立，有可能是异面直线．B．当b⊄α，结论成立，当b⊂α，则结论不成立．C．根据线面垂直和线面平行的性质可知，若a∥α，b⊥α，则a⊥b成立．D．若a∥α，α∥β，则a∥β或a⊂β，∴结论不成立．故选：C．【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握平行或垂直定理的内容及应用．6．过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A．3x﹣2y=0 B．x+y﹣5=0C．3x﹣2y=0或x+y﹣5=0 D．2x﹣3y=0或x+y﹣5=0【考点】直线的截距式方程．【专题】计算题；分类讨论．【分析】分两种情况：当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为y=kx，把P 的坐标代入即可求出k的值，得到直线l的方程；当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线l的方程为x+y=a，把P的坐标代入即可求出a的值，得到直线l的方程．【解答】解：①当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为：y=kx把点P（2，3）代入方程，得：3=2k，即所以直线l的方程为：3x﹣2y=0；②当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线l的方程为：把点P（2，3）代入方程，得：，即a=5所以直线l的方程为：x+y﹣5=0．故选C【点评】本题题考查学生会利用待定系数法求直线的解析式，直线方程的截距式的应用，不要漏掉截距为0的情况的考虑，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题7．将球的半径变为原来的两倍，则球的体积变为原来的（）A．2倍B．8倍C．4倍D．0.5倍【考点】球的体积和表面积．【专题】规律型；空间位置关系与距离．【分析】根据“球的体积V=πr3”进行推导，进而得出结论．【解答】解：设球的半径为r，则原来的体积S=πr3，当半径变为原来的2倍时，即半径为2r，则体积V=π（2r）3=πr3×8，即这个球的体积就变为原来的8倍．故选B．【点评】解答此题要明确球的半径扩大n倍，其周长扩大n倍，面积扩大n2倍，体积扩大n3倍．8．若幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上是增函数，则（）A．a＞0 B．a＜0 C．a=0 D．不能确定【考点】幂函数的性质．【专题】计算题．【分析】由幂函数的性质可判断α的取值，当α＞0时，函数单调递增，当α＜0时，函数在（0，+∞）单调递减可求【解答】解：由幂函数的性质可知，当α＞0时，函数单调递增，当α＜0时，函数在（0，+∞）单调递减可求∵f（x）=x a在（0，+∞）上是增函数∴a＞0故选A【点评】本题主要考查了幂函数的单调性的应用，解题中要注意α的符号对函数单调性的影响．属于基础试题9．已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则这样的集合B有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据题意得到集合B是集合A的子集，所以求出集合A子集的个数即为集合B的个数．【解答】解：因为A∪B={1，2}=A，所以B⊆A，而集合A的子集有：∅，{1}，{2}，{1，2}共4个，所以集合B有4个．故选A【点评】本题重在理解A∪B=A表明B是A的子集，同时要求学生会求一个集合的子集．10．在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH相交于点P，那么（）A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外【考点】平面的基本性质及推论．【专题】计算题．【分析】由EF属于一个面，而GH属于另一个面，且EF和GH能相交于点P，知P在两面的交线上，由AC是两平面的交线，知点P必在直线AC上．【解答】解：∵EF属于一个面，而GH属于另一个面，且EF和GH能相交于点P，∴P在两面的交线上，∵AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．故选A．【点评】本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．11．关于斜二侧画法，下列说法正确的是（）A．三角形的直观图可能是一条线段B．平行四边形的直观图一定是平行四边形C．正方形的直观图是正方形D．菱形的直观图是菱形【考点】平面图形的直观图．【专题】对应思想；定义法；空间位置关系与距离．【分析】根据斜二侧直观图的画法法则，直接判断选项的正确性即可．【解答】解：对于A，三角形的直观图仍然是一个三角形，命题A错误；对于B，平行四边形的直观图还是平行四边形，命题B正确；对于C，正方形的直观图不是正方形，应是平行四边形，命题C错误；对于D，菱形的直观图不是菱形，应是平行四边形，命题D错误．故选：B．【点评】本题考查了斜二侧画直观图的应用问题，注意平行x，y轴的线段，仍然平行坐标轴，不平行坐标轴的线段，只看它们的始点和终点，是基础题．12．多面体的直观图如图所示，则其正视图为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】计算题；规律型；空间位置关系与距离．【分析】直接利用三视图的画法，判断选项即可．【解答】解：应用可知几何体的正视图为：．故选：A．【点评】本题考查简单几何体的三视图，是基础题．二、填空题13．函数f（x8）=log2x，则f（16）的值是．【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】令x8=16，利用指数知识求得x=，再代入解析式右端求出即可．【解答】解：令x8=16，x8=24=8，解得x=，所以f（16）=log2=故答案为：【点评】本题考查函数值求解，要对函数的概念及表示方法有准确的理解和掌握．14．设a=sin（sin2008°），b=sin（cos2008°），c=cos（sin2008°），d=cos（cos2008°）．则a，b，c，d从小到大的顺序是b＜a＜d＜c．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；规律型；转化思想；三角函数的求值．【分析】先应用诱导公式化简sin2008°=﹣sin28°，cos2008°=﹣cos28°=﹣sin62°，从而a=﹣sin（sin28°），b=﹣sin（sin62°），c=cos（sin28°），d=cos（sin62°），再根据正弦、余弦函数的单调性即可判断a，b，c，d的大小．【解答】解：∵2012°=5×360°+208°，∴a=sin（sin2008°）=sin（sin208°）=sin（﹣sin28°）=﹣sin（sin28°）＜0，b=sin（cos2008°）=sin（cos208°）=sin（﹣cos28°）=﹣sin（cos28°）＜0，c=cos（sin2008°）=cos（sin208°）=cos（﹣sin28°）=cos（sin28°）＞0，d=cos（cos2008°）=cos（cos208°）=cos（﹣cos28°）=cos（cos28°）＞0，∵cos28°=sin62°，∴＜sin32°＜＜sin62°，∴c＞d，﹣b＞﹣a，∴b＜a＜d＜c故答案为：b＜a＜d＜c．【点评】本题考查正弦函数、余弦函数的单调性及应用，注意单调区间，同时考查诱导公式的应用，是一道中档题．15．b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为．【考点】不等关系与不等式．【专题】计算题．【分析】根据“甜度”的定义，先表示出“甜度”为的b千克糖水中加入m（m＞0）千克糖时的“甜度”：是，再由“糖水会更甜”，可知此时糖水的“甜度”大于原来糖水的“甜度”，即．【解答】解：∵b千克糖水中含a千克糖（0＜a＜b）时，糖水的“甜度”为，∴若在该糖水中加入m（c＞0）千克糖，则此时的“甜度”是，又∵糖水会更甜，∴故答案为：【点评】本题考查生活常识中出现的不等式及运用不等式求解，易错点是得到加糖后糖的质量和糖水的质量．16．已知数列{log2（a n﹣1）}，（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】等差数列的前n项和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其对数的运算性质即可得出；（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列 {log2（a n﹣1）}，（n∈N*）的公差为d．由且a1=3，a3=9，可得：log2（9﹣1）=log2（3﹣1）+2d，∴3=1+2d，解得d=1．∴log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）=n，∴a n=2n+1．（2）由a n=2n+1．∴数列{a n}的前n项和S n=+n=2n+1﹣2+n．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．一物体受到与它运动方向相同的力：的作用，（x 的单位：m，F的单位：N），则它从x=0运动到x=1时F（x）所做的功等于．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题；规律型；转化思想．【分析】本题是一个求变力做功的问题，可以利用积分求解，由题意，其积分区间是[0，1]，被积函数是力的函数表达式，由积分公式进行计算即可得到答案【解答】解：由题意，的作用，（x 的单位：m，F的单位：N），则它从x=0运动到x=1时F（x）所做的功等于又===综上知，从x=0运动到x=1时F（x）所做的功等于故答案为【点评】本题考查定积分的应用，物理中的变力所做的功用定积分求解是定积分在物理中的重要应用，正确解答本题的关键是理解功与定积分的对应，用代数方法求解物理问题是一个学科之间结合的问题，在近几个的高考改革中，此类问题渐成热点18．空间直角坐标系中两点A（0，0，1），B（0，1，0），则线段AB的长度为．【考点】空间两点间的距离公式．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据空间两点之间的距离公式，将A、B两点坐标直接代入，可得本题答案．【解答】解：∵点A（0，0，1），点B（0，1，0），∴根据空间两点之间的距离公式，可得线段AB长|AB|==故答案为：【点评】本题给出空间两个定点，求它们之间的距离，着重考查了空间两点之间距离求法的知识，属于基础题．三、解答题19．已知椭圆┍的方程为+=1（a＞b＞0），点P的坐标为（﹣a，b）．（1）若直角坐标平面上的点M、A（0，﹣b），B（a，0）满足=（+），求点M的坐标；（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆┍于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若k1•k2=﹣，证明：E为CD的中点；（3）对于椭圆┍上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆┍上存在不同的两个交点P1、P2满足+=，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ的取值X围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】（1）设M（x，y）根据=（+）分别用三点的坐标表示出三个向量，进而解得x和y，则M点坐标可得．（2）直线l1与椭圆方程联立消去y，根据判别式求得，a2k12+b2﹣p2＞0，设C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中点坐标为（x0，y0），利用韦达定理可求得x1+x2的表达式，进而求得x0，代入直线方程求得y0，两直线方程联立根据直线l2的斜率求得x=x0，y=y0进而判断出E为CD的中点；（3）先求出PQ的中点的坐标，进而求出直线OE的斜率，再由+=，知E为CD的中点，根据（2）可得CD的斜率，直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标．欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，进而求得q的取值X围．【解答】解：（1）设M（x，y）∵=（+），∴2（x+a，y﹣b）=（a，﹣2b）+（2a，﹣b）∴，解得x=y=﹣M点坐标为（，﹣）（2）由方程组，消y得方程（a2k′1+b2）x2+2a2k1px+a2（p2﹣b2）=0，因为直线l1：y=k1x+p交椭圆于C、D两点，所以△＞0，即a2k12+b2﹣p2＞0，设C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中点坐标为（x0，y0），则x0==﹣，y0=k1x0+p=，由方程组，消y得方程（k2﹣k1）x=p，又因为k2=﹣，所以x==x0，y=k2x=y0故E为CD的中点；（3）求作点P1、P2的步骤：1°求出PQ的中点E（﹣，），2°求出直线OE的斜率k2==，3°由+=，知E为CD的中点，根据（2）可得CD的斜率k1=，4°从而得直线P1P2的方程：y﹣=（x+），5°将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标．欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，所以+＜1，化简得sinθ﹣cosθ＜，∴sin（θ﹣）＜，又0＜q＜p，所以﹣＜θ﹣＜arcsin，故q的取值X围是（0，+arcsin）【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的前提是要求学生对基础知识有相当熟练的把握．20．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）把已知数列递推式变形，得到，然后利用累加法求数列的通项公式；（Ⅱ）分组后利用等差数列的前n项和及错位相减法求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解（Ⅰ）由a n+1=（1+）a n+，得，∴，，，…，累加得：=．∴；（Ⅱ）=，令，则，=，∴，则．【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．21．在三角形ABC中，，求三角形ABC的面积S．【考点】正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】先根据cosB求出sinB的值，再由两角和与差的正弦公式求出sinA的值，由余弦定理求出c的值，最后根据三角形的面积公式求得最后答案．【解答】解：由题意，得为锐角，，，由正弦定理得，∴．【点评】本题主要考查两角和与差的正弦公式和三角形面积公式的应用，属基础题．寿命/小时100～200 200～300 300～400 400～500 500～600个数20 30 80 40 30分组频数频率100～200200～300300～400400～500500～600合计（2）完成频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100～400小时以内的概率；（4）估计电子元件寿命在400小时以上的概率．【考点】互斥事件的概率加法公式；频率分布直方图．【专题】计算题；作图题．【分析】（1）由题意知，本题已经对所给的数据进行分组，并且给出了每段的频数，根据频数和样本容量做出频率，填出频率分布表（2）结合前面所给的频率分布表，画出坐标系，选出合适的单位，画出频率分步直方图．（3）由累积频率分布图可以看出，寿命在100～400h内的电子元件出现的频率为0.65，我们估计电子元件寿命在100～400h内的概率为0.65．（4）由频率分布表可知，寿命在400h以上的电子元件出现的频率，我们估计电子元件寿命在400h以上的概率为0.35．【解答】解：（1）完成频率分布表如下：分组频数频率100～200 20 0.10200～300 30 0.15300～400 80 0.40400～500 40 0.20500～600 30 0.15合计200 1（2）完成频率分布直方图如下：（3）由频率分布表可知，寿命在100～400小时的电子元件出现的频率为0.10+0.15+0.40=0.65，所以估计电子元件寿命在100～400小时的概率为0.65（4）由频率分布表可知，寿命在400小时以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，所以估计电子元件寿命在400小时以上的概率为0.35【点评】本题在有些省份会作为高考答题出现，画频率分布条形图、直方图时要注意纵、横坐标轴的意义．通过本题可掌握总体分布估计的各种方法和步骤．23．求出函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间．【考点】正弦函数的单调性．【专题】转化思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】y=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣），利用复合三角函数的单调性转化为求y=sin （x﹣），x∈[﹣2π，2π]的单调递减区间．【解答】解：y=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣），要求函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间．即求y=sin（x﹣），x∈[﹣2π，2π]的单调递减区间．∴由2kπ+≤x﹣≤+2kπ（k∈Z）得：4kπ+≤x≤+4kπ（k∈Z），∴y=sin（﹣x）的递增区间为[4kπ+，+4kπ]（k∈Z），又x∈[﹣2π，2π]，∴y=sin（﹣x）在x∈[﹣2π，2π]上的递增区间为[﹣2π，﹣]和[，2π]．【点评】本题考查复合三角函数的单调性，由2kπ+≤x﹣≤+2kπ（k∈Z）求得y=sin（﹣x）的递增区间是关键，也是易错点，属于中档题．。

江苏省苏州市高新区第一中学教育集团2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
(2)若49n n
T a l £+对任意*n ÎN 恒成立，求实数l 的取值范围．
六、问答题
22．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：221x y +=，点()2,0F ，以线段FG 为直径的圆与圆O 相切，记动点G 的轨迹为W ．(1)求W 的方程；
(2)设点M 在x 轴上，点()0,1N ，在W 上是否存在两点A ，B ，使得当A ，B ，N 三点共
线时，ABM V 是以AB 为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点M 的坐标和直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．
F
P
H
P
20．(1)21n
a n =-(2)(,126]
-¥a a
当1k =时，点M 的坐标为()2,0，直线AB 的方程为1y x =+；当1k =-时，点M 的坐标为()2,0-，直线AB 的方程为1y x =-+．所以存在满足题意的两点A ，B ，此时()2,0M ，直线AB 的方程为1y x =+；或()2,0M -，直线AB 的方程为1y x =-+．。

2024-2025学年第一学期聊城市水城慧德学校十二月月考高二数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知直线,则直线l的倾斜角为( )2．已知直线与圆则( )A.4B.-4C.2D.-23．已知椭圆上存在两点M、N关于直线对称.若椭的中点坐标为( )A. B. C. D.4．设是正三棱锥,是的重心,G是上的一点,且,若,则( )D.15．已知抛物线的焦点为F,准线为l,且l过点,M在抛物线C 上,若点,则的最小值为( )A.2B.3C.4D.56．已知点,.则动点P的轨迹方程为( )与曲线（）的( ):310l y-+=:20l x y+-=22:44M x y x y a+--+=a=()2222:10x yC a ba b+=>>10x y--=()5,4()4,3()3,2()2,1O ABC-1G ABC△1OG13OG GG=OG xOA yOB zOC=++x y z++=2:2(0)C y px p=>(3,2)-(2,4)N||||MF MN+()M-(N4PM PN-=(21216yx=≥()21216yx-=≤-()2144yx=≥()2144yx-=≤-217y+=11122na nnb-⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7k<A.短轴长相等B.长轴长相等C.焦距相等D.离心率相等8．如图,已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”,其中.“果圆”与轴的交点分别为,,与y 轴的交点分别为,,点P 为半椭圆上一点（不与重合）,若存在.,则半椭圆的离心率的取值范围为( )A. B. C. D.二、多项选择题9．向量,,若,则( )A.C. D.10．已知直线l 经过点,且被两条平行直线和截得的线段长为5,则直线l 的方程为( )A. B. C. D.11．已知F 为椭圆的左焦点，直线，与椭圆C 交于A 、B 两点，，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则( )A.的最小值为2B.C.直线的斜率为D.为直角()22122:10x y C x a b +=≥22222:1(0)y x C x b c+=<222,0a b c a b c =+>>>x 1A 2A 1B 2B 2C 1A 1PA 20PA =1C 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭12⎛ ⎝23⎫⎪⎪⎭()2,1,3a x = ()1,2,9b y =- //a bx =32y =-13a b= 12a b= (3,1)P 1:10x y l ++=26:0l x y ++=2x =3x =1y =2y =22:142x y C +=:l y kx =()0k ≠AE x ⊥轴14AF BF+ABE △BE 2kPAB ∠三、填空题12．已知圆,过圆C 外一点P 作C 的两条切线,切点分别为A ,B ,若__________.13．已知点在抛物线上，F 为抛物线的焦点，直线与准线相交于点B ，则线段的长度为________.四、双空题14．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，且，则______________.五、解答题15．(1)已知空间向量,(2)已知,,若,求实数的值16．如图所示，C ，D 分别为半圆锥的底面半圆弧上的两个三等分点，O 为中点，E 为母线的中点.（1）证明：平面；（2）若为等边三角形，求平面与平面的夹角的余弦值.17．如图,在四棱锥中,平面,,,,,M 为棱的中点(1)证明：平面;221:x C y +=120APB ∠=(,4)A a 24y x =AF ||FB 1l ()7,3,4-2l (),,8x y 12//l l x =y =()2,1,2a =-- (1,1,4b =--()2,1,3a =- ()1,2,1b =-()a ab λ⊥- λPAB AB PB //DE PAC PAB △PAB PAD P ABCD -PD ⊥ABCD AD DC ⊥//AB DC 122AB AD CD ===2PD =PC //BM PAD(2)求平面和平面夹角的余弦值;18．如图,在五棱锥中,,,,,（1）证明:平面.（2）求平面与平面的夹角的余弦值.19．如图,直四棱柱中底面为平行四边形,,的中点.（1）证明:平面;（2）求二面角的余弦值.PDM DMB P ABCDE -AB AE ⊥//BC AE //DE AB 222AB AE DE BC ====PA =PE ==PA ⊥ABCDE PAB PCD 1111ABCD A B C D -ABCD 2AB AC ==1AD AA ==1CP ⊥1ACB 1P AB C --参考答案1．答案：A 2．答案：D 3．答案：C 4．答案：C 5．答案：D 6．答案：A 7．答案：C 8．答案：D 9．答案：BC 10．答案：BC 11．答案：BCD 12．答案：114．答案：-14;615．答案：(1)(2)2.16．（1）设的中点为F ，连接，，，，，在中，为三角形的中位线，所以，，因为C ，D 分别为半圆弧上的两个三等分点，为等边三角形，所以，，易得四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面；PA FC CD PAB △//EF AB EF OC BD EF 12EF AB =OCD △ODC DOB ∠=∠=//CD AB 12CD AB =CDEF //DE CF CF ⊂PAC DE ⊂/PAC //DE PAC（2）解法一：过D 作的垂线，则垂足M 为的中点，过M 作的垂线，设垂足为N ，连接，因为平面平面，平面平面，，所以平面，，又因为，，所以平面，，则为平面与平面的夹角，设底面半径为R ，则，，，在中，，即，所以与平面解法二：AB OB PA MN PAB ⊥ABCD PAB ABCD AB =DM AB ⊥DM ⊥PAB DM PA ⊥PA MN ⊥DM MN M = PA ⊥DMN PA DN ⊥DNM ∠PAB PAD DM R =BF =34MN BF R ==Rt DMN △22223916DN DM MN R =+=DN R =cos MN DNM DN ∠==PAB作的中点Q ，连接，以O 为坐标原点，，，所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设底面半圆的半径为2，则，，，，，，由图形可知平面的法向量为，设平面的法向量为，则，令，，所以是平面的一个法向量，即平面与平面17．(1)取中点N ,连接,.在中,M ,N 分别为,的中点,则,,因为,,则,,可知四边形为平行四边形,则,且平面,平面,所以平面.(2)因为平面,,平面,则,,且,以D 为坐标原点,,,所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,CD OQ OQ OB OP ()0,0,0O (0,0,P ()0,2,0A -)D (0,2,PA =--)AD =PAB ()1,0,0n =PAD (),,m x y z =2030PA m y AD m y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ y =1z =-3x =-()1m =--PAD cos m n m n m n ⋅⋅===⋅PAB PAD PD AN MN PCD △PC PD //MN DC 12MN DC =//AB DC 12AB DC =AB MN ∥AB MN =ABMN BM AN ∥BM ∉PAD AN ⊂PAD //BM PAD PD ⊥ABCD AD DC ⊂ABCD PD AD ⊥PD DC ⊥AD DC ⊥DA DC DP D xyz -取的中点E ,连接,因为,,则,.又因为,所以四边形为矩形,且,可知四边形是以边长为2的正方形,则,,,,,,可得,,,设平面的法向量为,所以,令,则,,所以平面的一个法向量为,易知为平面的一个法向量,所以所以平面和平面18．（1）证明:因为,所以,,则,,因为,平面,平面,所以平面.（2）根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系.CD BE //AB DC 12AB DC =//AB DE AB DE =AD DC ⊥ABED 2AB AD ==ABED ()0,0,0D ()2,0,0A ()2,2,0B ()0,4,0C ()0,0,2P ()0,2,1M ()2,0,0DA = ()0,2,1DM = ()2,2,0DB =BDM (),,n x y z = 20220n DM y z n DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1y =-1x =2z =BDM ()1,1,2n =-DAPDM cos ,n DA n DA n DA⋅===PDM PA ===2AB AE ==222PA AB PB +=222PA AE PE +=PA AB ⊥PA AE ⊥AB AE A = AB ⊂ABCDE AE ⊂ABCDE PA ⊥ABCDE,,,则,.易得平面的一个法向量为,设平面的法向量为,则,可取.设平面与平面的夹角为,则即平面与平面19．（1）连接,因为,,所以,所以,所以,又,所以,因为,,所以,又四棱柱为直四棱柱,所以平面,平面,所以,又,平面,(0,0,P (2,1,0)C (1,2,0)D (2,1,PC =- (1,1,0)CD =-PAB (0,1,0)n =PCD (,,)x m y z =200m PC x y m CD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ m =PAB PCD θcos cos ,m n m n m n θ⋅====PAB PCD 1C D 11CC AA ==2=DP ==190C CD CDP =∠=︒1C CD CDP △∽△190PCD CDC PCD CPD ∠+∠=∠+∠=︒1C D CP ⊥11//AB DC 1AB CP ⊥2CD AC ==AD =222AC CD AD +=AC CD ⊥1111ABCD A B C D -1CC ⊥ABCD AC ⊂ABCD 1CC AC ⊥1CD CC C = 1,CD CC ⊂11CDD C所以平面,又平面,所以,又,,平面,所以平面;（2）由（1）可知、、两两互相垂直,如图建立空间直角坐标系,则,,,,所以,,,设平面的法向量为,则,取,则,,;由（1）得平面的法向量,设二面角为,显然二面角为锐二面角,所以()0,0,0A ()0,2,0C (12,0,B (2,P -(CP =- (2,AP =-(12,0,AB =1PAB (),,n x y z =122020n AP x y n AB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩z =AC ⊥11CDD C CP ⊂11CDD C AC CP ⊥1AC AB A = AC 1AB ⊂1ACB CP ⊥1ACB AB AC 1AA 2x =-3y =-(2,n =--1ACB (m CP ==-1P AB C --θ1P AB C --cos m n m n θ⋅==⋅ 1P AB C --。

2021年高二12月月考 数学 含答案一、选择题(共12个小题，每小题5分，共60分)1．命题“如果，那么”的逆否命题是 （ ）A ．如果，那么B ．如果，那么C ．如果，那么D ．如果，那么 2．已知则是的 ( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知向量的夹角为 ( )A.0°B.45°C.90D.180°4．已知方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．m <2 B ．1<m <2 C ．m <－1或1<m < D ．m <－1或1<m <25．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于 （ ）A ．B ．C ．D ． 6. 已知的值分别为与则若μλμλλ,//),2,12,6(),2,0,1(b a b a -=+= ( ) A.B.5，2C.D.-5，-27．若 是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则Δ的面积为 （ ）A ．B ．C ．D ． 8．在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（ ）9．已知圆锥曲线的离心率e 为方程的两根，则满足条件的圆锥曲线的条数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．410．已知双曲线的离心率为2,有一个焦点恰好是抛物线的焦点,则此双曲线的渐近线方程是( )A． B． C． D．11．椭圆上有n个不同的点:P1 ,P2 ,…,P n , 椭圆的右焦点为F，数列｛|P n F|｝是公差大于的等差数列, 则n的最大值是（）A．198 B．199 C．200 D．20112．若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5:3两段，则此椭圆的离心率为（）A． B．C．D．二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分)13．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是;否命题是 .14.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，则= 。

2024-2025学年酒泉市高二数学上学期期中考试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列1，3，……，则该数列的第25项是（）A.7B.C. D.52.已知数列{}n a 的前n 项和()22n S n =+，则567a a a ++的值为（）A.81B.36C.45D.333.在等差数列{}n a 中，67821a a a ++=，则59a a +的值为（）A.7B.14C.21D.284.20y -+=的倾斜角为（）A.π6B.π 3 C.2π3D.5π65.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =-，则791012a a a a ++的值为（）A.8B.4C.14D.186.若点()1,2P -在圆22:0C x y x y m ++++=的外部，则m 的取值一定不是（）A.4- B.1- C.0D.27.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，且316=S S ，则下列说法正确的是（）A.公差0d >B.190S >C.使0nS <成立的n 的最小值为20D.110a >8.已知,A B 是圆224x y +=上的两个动点，且AB =，点()00,M x y 是线段AB 的中点，则004x y +-的最大值为（）A.12B. C.6D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线l 过点()0,4，40y -+=及x 轴围成等腰三角形，则直线l 的方程可能为（）A.40y +-=B.40y -+=C.30y -+=D.3120y -+=10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法中正确的是（）A.若2n S n =，则{}n a 是等差数列B.若2nn S =，则{}n a 是等比数列C.若{}n a 是等差数列，则202510132025S a =D.若{}n a 是等比数列，且0n a >，则221212n n nS S S -+⋅>11.已知圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=，则下列结论中正确的是（）A.圆1O 与圆2O 相交B.圆1O 与圆2O 的公共弦AB 所在的直线方程为0x y -=C.圆1O 与圆2O 的公共弦AB 的垂直平分线方程为10x y +-=D.若AB 为圆1O 与圆2O 的公共弦，P 为圆1O 上的一个动点，则△PAB面积的最大值为1+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线l 的方向向量为()1,2，且直线l 经过点()2,3-，则直线l 的一般式方程为________．13.圆C ：22650x y x +-+=，0,0为圆C 上任意一点，则y x 的最大值为______．14.已知等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a =-，N n +∈，则a ＝________；设数列{}n a 的前n 项和为n T ，若5n T n λ>+对N n +∈恒成立，则实数λ的取值范围为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线()1:220l x m y +-=，2:220l mx y +-=，且满足12l l ⊥，垂足为C .（1）求m 的值及点C 的坐标.（2）设直线1l 与x 轴交于点A ，直线2l 与x 轴交于点B ，求ABC V 的外接圆方程.16.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S .17.已知圆C ：2244100x y x y m +----=，点()1,0P ．（1）若17m =-，过P 的直线l 与C 相切，求l 的方程；（2）若C 上存在到P 的距离为1的点，求m 的取值范围．18.已知数列{}n a 满足：()*312232222n na a a a n n +++⋅⋅⋅+=∈N ，数列{}nb 满足5012n nb a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求100n n b b -+的值；（3）求12399b b b b +++⋅⋅⋅+的值.19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，410S =，数列{}n b 满足13b =，121n n b b +=-．（1）证明：数列{}1n b -是等比数列；（2）证明：2112n n n n S b S b ++⋅>⋅；（3）若()421nn n a c b =-，求数列{}n c 的前n 项和nT 2024-2025学年酒泉市高二数学上学期期中考试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列1，3，……，则该数列的第25项是（）A.7B.C. D.5【答案】A 【解析】【分析】根据数列的规律及通项可得数列的项.【详解】由已知数列1，，3，……，，……，则数列的第n第257=，故选：A.2.已知数列{}n a 的前n 项和()22n S n =+，则567a a a ++的值为（）A.81B.36C.45D.33【答案】C 【解析】【分析】根据数列的前n 项和，可得数列的项，进而可得值.【详解】由已知数列{}n a 的前n 项和()22n S n =+，则75746a a a S S ++=-()()227242=+-+45=，故选：C.3.在等差数列{}n a 中，67821a a a ++=，则59a a +的值为（）A.7B.14C.21D.28【答案】B 【解析】【分析】由等差中项的性质计算即可；【详解】因为在等差数列{}n a 中，67821a a a ++=，所以678773217a a a a a ++==⇒=，所以759214a a a ==+，故选：B.4.20y -+=的倾斜角为（）A.π6B.π 3 C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】先由直线方程得到斜率，进而可得其倾斜角.【详解】由题意可得直线的斜率为k =设其倾斜角为α，则tan α=，又[)0,πα∈，所以π3α=，故选：B5.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =-，则791012a a a a ++的值为（）A.8B.4C.14D.18【答案】D 【解析】【分析】易知数列前n 和求出通项公式，再由等比数列的性质化简求得结果.【详解】当1n =时，11121a S a ==-，∴11a =，当2n ≥时，1121n n S a --=-，则1122n n n n n a S S a a --=-=-，∴12n n a a -=，即数列{}n a 是首项11a =，公比2q =的等比数列，即12n n a -=，∴()()27793210121011181a q a a a a q a q ++===++故选：D.6.若点()1,2P -在圆22:0C x y x y m ++++=的外部，则m 的取值一定不是（）A.4-B.1- C.0D.2【答案】D 【解析】【分析】根据点在圆外及方程表示圆求出m 的范围得解.【详解】因为点()1,2P -在圆C ：220x y x y m ++++=的外部，所以22(1)2120m -+-++>，解得6m >-，又方程表示圆，则1140m +->，即12m <，所以162m -<<，结合选项可知，m 的取值一定不是2.故选：D.7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，且316=S S ，则下列说法正确的是（）A.公差0d >B.190S >C.使0nS <成立的n 的最小值为20D.110a >【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式，前n 项和公式，结合条件10a >，逐项进行判断即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由316=S S ，得113316120a d a d +=+，即1131170a d +=，即11090a d a +==，又10a >，所以0d <，所以110a <；故AD 错，()1191910191902a a S a +===，故B 错因为190S =，0d <，所以180S >，200S <，所以0nS <成立的n 的最小值为20.故C 正确.故选：C8.已知,A B 是圆224x y +=上的两个动点，且AB =，点()00,M x y 是线段AB 的中点，则004x y +-的最大值为（）A.12 B.C.6D.【答案】C 【解析】【分析】先根据题意求出M 的轨迹方程为222x y +=，设()00,M x y 到直线40x y +-=的距离为d ，由此可得004x y +-=，将问题转化为求圆222x y +=上的点到直线40x y +-=距离的最大值，先求圆心到直线的距离再加半径即可求解.【详解】根据已知有，圆心0,0，半径2r =，因为弦AB =，所以圆心到AB 所在直线的距离d ==又因为M 为AB 的中点，所以有OM =，所以M 的轨迹为圆心为0,0，半径为1r =的圆，M 的轨迹方程为222x y +=；令直线为40x y +-=，则()00,M x y 到直线40x y +-=的距离为d ，则d =，即004x y +-=，所以当d 最大时，004x y +-=也取得最大值，由此可将问题转化为求圆222x y +=上的点到直线40x y +-=距离的最大值的2倍，设圆心0,0到直线的距离为0d ，则0d ==，所以max 0d d =+=所以004x y +-的最大值为6.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线l 过点()0,4，40y -+=及x 轴围成等腰三角形，则直线l 的方程可能为（）A.40y +-=B.40y -+=C.30y -+= D.3120y -+=【答案】AD 【解析】【分析】由题意知直线l 过点()0,4，所以根据直线l 是否存在斜率进行分类讨论，结合等腰三角形等知识，即可求解.【详解】设()0,4为点A ，易知点()0,4A 40y -+=上，直线40y -+=与x轴的交点,03B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 过点()0,4，所以直线l 的方程为0x =，与x 轴的交点为()0,0O ；此时4OA =，3OB =，3AB =，所以AOB V 不是等腰三角形，故直线l 存在斜率；设B 关于y轴的对称点为C ⎫⎪⎭，当直线l 过A ，C 两点时，AB AC =，ABC V 是等腰三角形，同时直线ABπ3，所以ABC V 是等边三角形，所以AC BC =，此时直线l 的方程为144x y +=40y +-=，设直线l 与x 轴相交于点D，如图所示，若AB BD =，则π6ADB ∠=，所以直线AD ，即直线l的斜率为3，此时方程为343y x =+3120y -+=；所以直线l40y +-=3120y -+=故选：AD.10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法中正确的是（）A.若2n S n =，则{}n a 是等差数列B.若2nn S =，则{}n a 是等比数列C.若{}n a 是等差数列，则202510132025S a =D.若{}n a 是等比数列，且0n a >，则221212n n nS S S -+⋅>【答案】AC 【解析】【分析】利用n S 和n a 的关系即可判断A ，B 选项；利用等差数列的求和公式即可判断C 选项；通过举例即可判断D 选项.【详解】对于A ，若2n S n =，则当1n >时，121n n n a S S n -=-=-，当1n =时，111a S ==，符合21n a n =-，故21n a n =-，则{}n a 是等差数列，故A 正确；对于B ，若2nn S =，则112a S ==，2212a S S =-=，3324a S S =-=，故a a a a ≠2312，{}n a 不是等比数列，故B 错误；对于C ，若{}n a 是等差数列，则()1202520251013202520252a a S a +==，故C 正确；对于D ，若1n a =，符合{}n a 是等比数列，且0n a >，此时()()22121212141n n S S n n n -+⋅-+==-，2224n S n =，不满足221212n n n S S S -+⋅>，故D 错误.故选：AC11.已知圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=，则下列结论中正确的是（）A.圆1O 与圆2O 相交B.圆1O 与圆2O 的公共弦AB 所在的直线方程为0x y -=C.圆1O 与圆2O 的公共弦AB 的垂直平分线方程为10x y +-=D.若AB 为圆1O 与圆2O 的公共弦，P 为圆1O 上的一个动点，则△PAB 面积的最大值为1+【答案】ABC 【解析】【分析】根据圆的一般方程确定圆心、半径，判断1212||,,O O r r 的关系判断A ，两圆方程相减求相交线方程判断B ；应用点斜式写出公共弦AB 的垂直平分线方程判断C ；数形结合判断使△PAB 面积最大时P 点的位置，进而求最大面积判断D.【详解】由题设2121)1:(x O y -+=，则1(1,0)O ，半径11r =，222:(1)(2)5O x y ++-=，则2(1,2)O -，半径2r =，所以12||1,1)O O =，两圆相交，A 对；两圆方程相减，得公共弦AB 所在直线为0x y -=，B 对；公共弦AB 的垂直平分线方程为20(1)(1)11y x x -=⋅-=----，即10x y +-=，C 对；如下图，若O 与B 重合，而1O 到0x y -=的距离d =，且||2AB ==，要使△PAB 面积最大，只需P 到AB 的距离最远为11d r +=，所以最大面积为1121)22+=，D 错.故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线l 的方向向量为()1,2，且直线l 经过点()2,3-，则直线l 的一般式方程为________．【答案】270x y --=【解析】【分析】根据点斜式求得直线方程，并化为一般式.【详解】直线l 的方向向量为()1,2，所以直线l 的斜率为2，所以直线方程为()32224,270y x x x y +=-=---=.故答案为：270x y --=13.圆C ：22650x y x +-+=，0,0为圆C 上任意一点，则0y x 的最大值为______．【答案】5【解析】【分析】设0y k x =，则直线00y kx =与圆有公共点，联立方程消元后，利用判别式即可得解.【详解】设y k x =，则00y kx =，联立0022000650y kx x y x =⎧⎨+-+=⎩，消元得()22001650k x x +-+=，由()2Δ362010k=-+≥，解得252555k -≤≤，所以00y x 的最大值为5.故答案为：514.已知等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a =-，N n +∈，则a ＝________；设数列{}n a 的前n 项和为n T ，若5n T n λ>+对N n +∈恒成立，则实数λ的取值范围为________．【答案】①.1②.9λ<-【解析】【分析】根据等比数列的性质，结合2n n S a =-，有(2)(21)2n n a a --=-，即可求a 值，进而有12n n a -=即(1)l 2n n =-，结合5n T n λ>+对N n +∈恒成立求λ的范围即可.【详解】由等比数列的前n 项和2n n S a =-知，1q ≠，所以1(1)21n n n a q S a q-==--，所以2q =，而112a S a ==-，2q =，∴(2)(21)2n n a a --=-，即1a =，由上知：12nn a -=，则(1)l 2n n =-，∴==2−>5+，即226(3)9,N n n n n λ+<-=--∈，当3n =时，2(3)9,N n n +--∈的最小值为9-，所以9λ<-.故答案为：1；9λ<-四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线()1:220l x m y +-=，2:220l mx y +-=，且满足12l l ⊥，垂足为C .（1）求m 的值及点C 的坐标.（2）设直线1l 与x 轴交于点A ，直线2l 与x 轴交于点B ，求ABC V 的外接圆方程.【答案】（1）12m =；()1,1C .（2）()2211x y -+=【解析】【分析】（1）根据题意，求得两直线的斜率，结合121k k ×=-，求得12m =，得出直线的方程，联立方程组，求得交点坐标.（2）由（1）中的直线方程，求得()0,0A ，()2,0B ，得到ABC V 的外接圆是以AB 为直径的圆，求得圆心坐标和半径，即可求解.【小问1详解】解：显然1m ≠，可得1122k m =--，22k m =-，由12l l ⊥，可得121k k ×=-，即()12122m m ⎛⎫-⋅-=- ⎪-⎝⎭，解得12m =，所以直线1l ：0x y -=，直线2l ：20x y +-=，联立方程组020x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以点()1,1C ．【小问2详解】解：由直线1l ：0x y -=，直线2l ：20x y +-=，可得()0,0A ，()2,0B ，所以ABC V 的外接圆是以AB 为直径的圆，可得圆心1,0，半径112r AB ==，所以ABC V 的外接圆方程是()2211x y -+=．16.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）221nn S n =+-.【解析】【分析】（1）设公差为d ，公比为q ()0q >，根据已知列出方程可求出2=d ，2q =，代入通项公式，即可求出结果；（2）分组求和，分别求出{}n a 和{}n b 的前n 项和，加起来即可求出结果.【小问1详解】设{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ()0q >，因为111a b ==，则由3521a b +=可得，41221d q ++=，即4202q d =-，由5313a b +=可得，21413d q ++=，解得2124q d =-，则3d <.所以有()24202124q d d =-=-，整理可得2847620d d -+=，解得2=d 或3138d =>（舍去）.所以2=d ，则212424q =-⨯=，解得2q =±（舍去负值），所以2q =.所以有()12121n a n n =+-=-，11122n n n b --=⨯=.【小问2详解】由（1）知，21n a n =-，12n n b -=，则1212n n n a b n -+=-+.()()()1122n n n S a b a b a b =++++++L 1212n n a a a b b b =+++++++ ()()112112212n n n n ⨯--=⨯++-221n n =+-.17.已知圆C ：2244100x y x y m +----=，点()1,0P ．（1）若17m =-，过P 的直线l 与C 相切，求l 的方程；（2）若C 上存在到P 的距离为1的点，求m 的取值范围．【答案】（1）1x =或3430x y --=（2）1212⎡---+⎣【解析】【分析】（1）对直线l 的斜率是否存在讨论，根据直线与圆的位置关系列式运算；（2）要使圆C 上存在到点P 的距离为1的点，则圆心C 到()1,0P 的距离d 满足，11180r d r m -≤≤+⎧⎨+>⎩，运算得解.【小问1详解】因为17m =-，所以圆C 的方程为()()22221x y -+-=①当l 的斜率不存在时，l 的方程为1x =，与圆C 相切，符合题意；②当l 的斜率存在时，设l 的方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，圆心C 到l 的距离1d =，解得34k =，则l 的方程为()314y x =-，即3430x y --=，综上可得，l 的方程为1x =或3430x y --=．【小问2详解】由题意可得圆C ：()()222218x y m -+-=+，圆心()2,2C ，半径r =，则圆心C 到()1,0P 的距离d ==要使C 上存在到P 的距离为1的点，则11180r d r m -≤≤+⎧⎨+>⎩，即11180m -≤+>⎪⎩，解得1212m ---+≤≤，所以m 的取值范围为1212⎡---+⎣．18.已知数列{}n a 满足：()*312232222n n a a a a n n +++⋅⋅⋅+=∈N ，数列{}n b 满足5012n n b a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求100n n b b -+的值；（3）求12399b b b b +++⋅⋅⋅+的值.【答案】（1）2nn a =（2）5012（3）51992【解析】【分析】（1）根据题意，当2n ≥时，可得311223112222n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=-，两式相减，求得2n n a =，再由1n =，得到12a =，即可求得数列的通项公式.（2）由（1）得50122n n b =+，结合指数幂的运算法则，即可求得100n n b b -+的值；.（3）由（2）知1005012n n b b -+=，结合倒序相加法，即可求解.【小问1详解】由数列满足：()*312232222n n a a a a n n +++⋅⋅⋅+=∈N ，当2n ≥时，可得311223112222n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=-，两式相减，可得12n n a=，所以2n n a =，当1n =，可得112a =，所以12a =，适合上式，所以数列的通项公式为2n n a =.【小问2详解】由数列满足505011222n n n b a ==++，则100100505010050502222211122222nn n nn nn b b --+++++++==⋅5050505505005022+212(2+2)(222)21+22n n n n n =+==+.【小问3详解】由（2）知1005012n n b b -+=，可得123995050129509111222222b b b b +++⋅⋅⋅+++++++=，则999899997150580510211122222b b b b +++⋅⋅⋅++++++=+ ，两式相加可得123995099(2)2b b b b +++⋅⋅=⋅+，所以1239951992b b b b +++⋅⋅⋅=+.19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，410S =，数列{}n b 满足13b =，121n n b b +=-．（1）证明：数列{}1n b -是等比数列；（2）证明：2112n n n n S b S b ++⋅>⋅；（3）若()421nn n a c b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）11634994n n n T -+=-⋅.【解析】【分析】（1）由递推关系得112(1)n n b b +-=-，结合等比数列定义证明；（2）由等差数列前n 项和求基本量，结合（1）结论，写出等差、等比数列通项公式、前n 项和公式，再应用作差法比较大小即可；（3）应用错位相减、等比数列前n 项和求结果.【小问1详解】由题设112112(1)n n n n b b b b ++=-⇒-=-，而112b -=，所以{}1n b -是首项、公比均为2的等比数列，得证.【小问2详解】令数列{}n a 的公差为d ，而414646101S a d d d =+=+=⇒=，所以(1)(1)22n n n n n S n -+=+=，又12nn b -=，则2111(21)()222(1)22222n n n n n n n S b n n b n S ++++++=⨯-⨯⋅⋅-⨯(21)(1)22(1)2n n n n n n =++⨯-+⨯(1)20n n =+⨯>恒成立，所以2112n n n n S b S b ++⋅>⋅，得证.【小问3详解】由上知n a n =，则()4214441nn n n n a n nc b -===-，则21231444n n n T -=++++L ，即2311231444444n n n T n n --=+++++ ，所以2311131111411444444414n n n n n T n n --=+++++-=-- ，即11634994n n n T -+=-⋅。

广西“贵百河”2023-2024学年高二上学期12月新高考月考测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．()12b c a+-B ．125．在棱长为a 的正方体ABCD A ．60°C ．90°6．已知命题p ：方程25x m m +-不必要条件是（）A ．35m <<B ．4<7．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中二、多选题三、单选题11．为了考查某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为()A ．9B ．10C ．11D ．12四、多选题12．已知3log ,a e =2log 3b =，ln 3c =，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．a c b+>D ．a c b+<五、填空题六、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2,==PA AD E 为PB 的中点，F 为AC 与BD 的交点．(1)证明：EF //平面PCD ；(2)求三棱锥E ABF -的体积．18．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足22()b c a bc -=-．(1)求角A 的大小；(2)若2,sin 2sin a C B ==，求△ABC 的面积．19．已知直线:20,R l x ay a --=∈．(1)求证：直线l 与圆224x y +=恒有公共点；(2)若直线l 与圆心为C 的圆22()(1)4x a y -+-=相交于A B 、两点，且ABC 为直角三角形，求a 的值．20．甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏，规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球，其中2个红球，2个白球，甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，然后让乙猜．若乙猜出的结果与摸出的2个球特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮（每轮游戏都由甲摸球）．乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种；猜法一：猜“第二次取出的球是红球”；猜法二：猜“两次取出球的颜色不同”．请回答：(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；(2)假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方，且整个游戏停止．若乙按照（1）中的选择猜法进行游戏，求乙获得游戏胜利的概率．21．如图，已知点()11,0F -，圆222:(1)16F x y -+=，点Q 在圆2F 上运动，1QF 的垂直平分线交2QF 于点P .(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)直线l 与曲线C 交于M N ､两点，且MN 中点为()1,1，求直线l 的方程及1F MN △的面积.22．如图，在三棱锥-P ABC 中，PAC △是正三角形，AC BC ⊥，2AC BC ==，D 是AB 的中点．(1)证明：AC PD ⊥；(2)若二面角P AC D --为150︒，求直线BC 与平面PAB 所成角的正弦值．。

高二上数学月考（一）（答案在最后）一､单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）32211834297864540732524206443812234356773578905642 84421253313457860736253007328623457889072368960804 32567808436789535577348994837522535578324577892345A.623B.328C.072D.457【答案】A【解析】【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确.故选：A.2.某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为b，则（）A.19b= B.29b= C.310b= D.110b=【答案】D【解析】【分析】根据题意，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等即可求解.【详解】因为总体中共有10个个体，所以五班第一次没被抽到，第二次被抽到的可能性为91110910b=⨯=.故选：D.3.已知向量1,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，122BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则ABC ∠=（）A.30°B.150°C.60°D.120°【答案】B 【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.【详解】因为向量13,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,22BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以13312222cos ,2AB BC AB BC AB BC⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯- ⎪ ⎪⋅==⋅，又0,180AB BC ≤≤，所以,30AB BC =，所以,18030150BA BC =-= ，所以150ABC ∠=o .故选：B.4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若//a b ，,b a αα⊂⊄，则//a αB.若,a b αα⊥⊥，则//a bC.若,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则a β⊥D.若,a b 为异面直线，,a b αβ⊂⊂，//a β，//b α，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理判断A ，根据线面垂直的性质判断B ，当a α⊄时即可判断C ，根据异面直线的定义及线面平行的性质定理判断D.【详解】对于A ：若//a b ，,b a αα⊂⊄，根据线面平行的判定定理可知//a α，故A 正确；对于B ：若,a b αα⊥⊥，则//a b ，故B 正确；对于C ：当a α⊂时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，由面面垂直的性质定理可得a β⊥，当a α⊄时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则//a β或a β⊂或a 与β相交，故C 错误；对于D ：因为a α⊂，//b α，所以存在b α'⊂使得//b b '，又b β⊂，b β'⊄，所以//b β'，又//a β且,a b 为异面直线，所以平面α内的两直线b '、a 必相交，所以//αβ，故D 正确.故选：C5.下列说法正确的是（）A.互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B.若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件C.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为25D.事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率不一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件和古典概型及其计算逐一判定即可．【详解】对于A ，由互斥事件和对立事件的关系可判断，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A 错误;对于B ，由()()1P A P B +=，并不能得出A 与B 是对立事件，举例说明：现从a ，b ，c ，d 四个小球中选取一个小球，已知选中每个小球的概率是相同的，设事件A 表示选中a 球或b 球，则1()2P A =，事件B 表示选中b 球或c 球，则1()2P B =，所以()()1P A P B +=，但A ，B 不是对立事件，故B 错误;对于C ，该试验的样本空间可表示为：{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9)(5,7,9)}Ω=，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个，故所求概率310P =，故C 错误;对于D ，若A ，B 是互斥事件，事件A ，B 中至少有一个发生的概率等于A ，B 中恰有一个发生的概率，故D 正确．故选：D.6.一组数据：53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）．A.58或64B.58C.59或64D.59【答案】A 【解析】【分析】先对数据从小到大排序，分57x ≤，79x ≥，5779x <<三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案,【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．若57x ≤，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；若79x ≥，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；若5779x <<，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x 和61（或61和x ），则613x -=，解得58x =或64x =故选：A7.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面,,2ABCD FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥,,E ACD F ABC F ACE ---的体积分别为123,,V V V ，则（）A.322V V =B.31V V =C.3123V V V =-D.3123V V =【答案】D 【解析】【分析】结合线面垂直的性质，确定相应三棱锥的高，求出123,,V V V 的值，结合选项，即可判断出答案.【详解】连接BD 交AC 于O ，连接,OE OF ，设22AB ED FB ===，由于ED ⊥平面,ABCD FB ED ∥，则FB ⊥平面ABCD ,则1211141112222,22133233323ACD ABC V S ED V S FB =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ；ED ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故ED AC ⊥，又四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，而,,ED BD D ED BD =⊂ 平面BDEF ，故AC ⊥平面BDEF ，OF ⊂平面BDEF ，故AC OF ⊥，又ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故,ED BD FB BD ⊥⊥，222222,26,3,BD OD OB OE OD ED OF OB BF =∴===+==+=而()223EF BD ED FB =+-=，所以222EF OF OE +=，即得OE OF ⊥，而,,OE AC O OE AC =⊂ 平面ACE ，故OF ⊥平面ACE ，又22222AC AE CE ===+=，故(2231131323233434F ACE V V ACE S OF AC OF =-=⋅=⨯⋅=⨯= ，故323131231,2,,233V V V V V V V V V ≠≠≠-=，故ABC 错误，D 正确，故选：D8.已知平面向量a ，b ，e ，且1e = ，2a = .已知向量b 与e所成的角为60°，且b te b e -≥- 对任意实数t 恒成立，则12a e ab ++-的最小值为（）A.31+ B.23C.35 D.25【答案】B【解析】【分析】b te b e -≥-对任意实数t 恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出||2b =r ，借助2a =，得到122a e a e +=+ ，12a e a b ++- 的最小值转化为11222a e a b++- 的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可【详解】根据题意，1cos 602b e b e b ⋅=⋅︒=，b te b e -≥- ，两边平方22222||2||2b t e tb e b e b e +-⋅≥+-⋅ ，整理得到210t b t b --+≥ ，对任意实数t 恒成立，则()2Δ||410b b =--+≤ ，解得2(2)0b -≤ ，则||2b =r .由于2a =，如上图，122a e a e +=+ ，则111112(2)()22222a e a b a e a b a e a b ++-=++-≥+--222843e b e b b e =+=++⋅12a e ab ++- 的最小值为23当且仅当12,,2e b a -终点在同一直线上时取等号.故选：B ．二､多项选择题.本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）A.丁险种参保人数超过五成B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C.18－29周岁人群参保的总费用最少D.人均参保费用不超过5000元【答案】ACD 【解析】【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例10.020.040.10.30.54----=，故A 正确;由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的45%不到五成，B 错误;由不同年龄段人均参保费用图可知，1829~周岁人群人均参保费用最少()3000,4000，但是这类人所占比例为15%，54周岁以上参保人数最少比例为10%，54周岁以上人群人均参保费用6000,所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C 正确．由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元,故D 正确;故选：ACD ．10.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3.则甲､乙､丙､丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有（）A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地【答案】AD 【解析】【分析】假设最多一天疑似病例超过7人，根据极差可判断AD ；根据平均数可算出10天疑似病例总人数，可判断BC ．【详解】解：假设甲地最多一天疑似病例超过7人，甲地中位数为2，说明有一天疑似病例小于2，极差会超过5，∴甲地每天疑似病例不会超过7，∴选A ．根据乙、丙两地疑似病例平均数可算出10天疑似病例总人数，可推断最多一天疑似病例可能超过7人，由此不能断定一定没有发生大规模群体感染，∴不选BC ；假设丁地最多一天疑似病例超过7人，丁地总体平均数为2，说明极差会超过3，∴丁地每天疑似病例不会超过7，∴选D ．故选：AD ．11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为22-B.勒洛四面体被平面ABC 截得的截面面积是(2π-C.勒洛四面体表面上交线AC 的长度为2π3D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项：求出正四面体ABCD 的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B 选项，作出截面图形，求出截面面积；C 选项，根据对称性得到交线AC 所在圆的圆心和半径，求出长度；D 选项，作出正四面体对棱中点连线，在C 选项的基础上求出长度.【详解】A 选项，先求解出正四面体ABCD 的外接球，如图所示：取CD 的中点G ，连接,BG AG ，过点A 作AF BG ⊥于点F ，则F 为等边ABC V 的中心，外接球球心为O ，连接OB ，则,OA OB 为外接球半径，设OA OB R ==，由正四面体的棱长为2，则1CG DG ==，BG AG ==133FG BG ==，233BF BG ==3AF ===，3OF AF R R =-=-，由勾股定理得：222OF BF OB +=，即22233R R ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2R =，此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ，连接BO 交平面ACD 于点E ，交 AD 于点F ，其中 AD 与ABD △共面，其中BO 即为正四面体外接球半径2R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则22r OF BF BO ==-=-，故A 正确；B 选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：面积为(2221π333322222344⎛⎫⨯⨯⨯-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎭⎝，B 正确；C 选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线AC 所在圆的圆心为BD 的中点M ，故3MA MC ==2AC =，由余弦定理得：2221cos 23233AM MC AC AMC AM MC +-∠===⋅⨯⨯，故1arccos3AMC ∠=3AC 133，C 错误；D 选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：连接GH ，交AB 于中点S ，交CD 于中点T ，连接AT ，则22312ST AT AS =-=-=则由C 选项的分析知：3TG SH ==，所以323322GH =+=，故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D 正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质：①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为232a a ⎫->⎪⎪⎭，②表面6个弧长之和不是6个圆心角为60︒的扇形弧长之和，其圆心角为1arccos 3，半径为32a .三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中的A 型号产品有15件，那么样本容量n 为________．【答案】70【解析】【分析】利用分层抽样的定义得到方程，求出70n =.【详解】由题意得315347n=++，解得70n =.故答案为：7013.平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD =BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.【答案】3π【解析】【分析】根据BD ⊥CD ，BA ⊥AC ，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积.【详解】因为平面A′BD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABD ，∴CD ⊥BA ，又BA ⊥AD ，∴BA ⊥面ADC ，所以BA ⊥AC ，所以△BCD 和△ABC 都是直角三角形，由题意，四面体A ﹣BCD 顶点在同一个球面上，所以BC 的中点就是球心，所以BC =2所以球的表面积为：242π⋅=3π.故答案为：3π.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.14.若一组样本数据12,,n x x x 的平均数为10，另一组样本数据1224,24,,24n x x x +++ 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是__________.【答案】54【解析】【分析】计算出1n ii x =∑、21nii x=∑的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的方差.【详解】由题意可知，数据12,n x x x 的平均数为10，所以12)101(n x x x x n =+++= ，则110ni i x n ==∑，所以数据1224,24,,24n x x x +++ 的平均数为121(242424)210424n x x x x n'=++++++=⨯+= ，方差为()(()222221111444[24241010n n n i i i i i i s x x x x n n n n n ===⎤⎡⎤=+-+=-=-⨯⨯⎦⎣⎦∑∑∑2144008n i i x n ==-=∑，所以21102nii xn ==∑，将两组数据合并后，得到新数据1212,24,24,,24,n n x x x x x x +++ ，，则其平均数为11114)4)11113]4)[(2(3(222n i nn n i i i i i i i x x x x x n n n ====''=+=⨯+=⨯++∑∑∑∑()13104172=⨯⨯+=，方差为()()2222111111172417(586458)22n n n ni i i i i i i i s x x x x n n n ====⎡⎤=-++-=-+⎢⎥⎣⎦'∑∑∑∑1(51028610458)542n n n n=⨯-⨯+=.故答案为：54.四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1,2,3,4.（1）从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率;（2）从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.【答案】（1）23（2）是公平的，理由见解析【解析】【分析】（1）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式即可求解;（2）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式及概率进行比较即可求解.【小问1详解】试验的样本空间{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}Ω=，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B ，则B 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，所以42().63P B ==【小问2详解】试验的样本空间Ω{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}=，共有16个，设标号和为奇数为事件C ，事件C 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，共8个,故所求概率为81()162P C ==,即甲胜的概率为12，则乙胜的概率为12,所以甲、乙获胜的概率是公平的.16.（1）请利用已经学过的方差公式：()2211ni i s x xn ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x x n ==-∑；（2）如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 相互独立吗？请给予证明.【答案】（1）证明见解析；（2）独立，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，对方差公式恒等变形，分析可得结论；（2）根据相互独立事件的定义，只需证明()()()P AB P A P B =即可.【详解】（1）()()()()2222212111n i n i s x xx x x x x x n n =⎡⎤=-=-+-++-⎢⎥⎣⎦∑ ()()2222121212n n x x x x x x x nx n ⎡⎤=+++-+++⎢⎥⎣⎦ ()22221212n x x x x nx nx n ⎡⎤=+++-⨯+⎢⎥⎣⎦ ()222121n x x x nx n ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦ 2211n i i x x n ==-∑；（2）因为事件A 与B 相互独立，所以()()()P AB P A P B =，因为()()()P AB P AB P A +=，所以()()()()()()P AB P A P AB P A P A P B =-=-()()()()()1P A P B P A P B =-=，所以事件A 与B 相互独立.17.如图，四棱锥P ABCD -的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为矩形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为AB ，AD 的中点，二面角D PN C --的正切值为2.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）证明：DM PC⊥（3）求直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值.【答案】（1）3（2）证明见解析（3）35【解析】【分析】（1）先证明DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，可得底面ABCD 为正方形，利用锥体的体积公式计算即可；（2）利用线面垂直的判定定理证明DM ⊥平面PNC ，即可证明DM PC ⊥；（3）由DM⊥平面PNC 可得MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角，计算其正弦值即可.【小问1详解】解：∵PAD △是边长为2的正三角形，N 为AD 中点，∴PN AD ^，PN =又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =∴PN ^平面ABCD又NC ⊂平面ABCD ，∴PN NC ⊥∴DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，∴tan 2DC DNC DN∠==又1DN =，∴2DC =∴底面ABCD 为正方形.∴四棱P ABCD -的体积12233V =⨯⨯=.【小问2详解】证明：由（1）知，PN ^平面ABCD ，DM ⊂平面ABCD ，∴PN DM⊥在正方形ABCD 中，易知DAM CDN ≌△△∴ADM DCN ∠=∠而90ADM MDC ∠+∠=︒，∴90DCN MDC ∠+∠=︒∴DM CN ⊥∵PN CN N = ，∴DM ⊥平面PNC∵PC ⊂平面PNC ，∴DM PC ⊥.【小问3详解】设DM CN O ⋂=，连接PO ，MN .∵DM⊥平面PNC .∴MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角∵2,1AD AM ==，∴DM =5DO ==∴55MO ==又MN =PM ==∴35sin 5MO MPO PM ∠===∴直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值为35.18.某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖A ，B ，C 三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：kW h ⋅），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.（1）求m 的值；（2）若去年小明家的月均用电量为234kW h ⋅，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？（3）通过进一步计算抽样的样本数据，得到A 区样本数据的均值为213，方差为24.2；B 区样本数据的均值为223，方差为12.3；C 区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算）【答案】（1）0.016m =（2）不正确（3）78.26【解析】【分析】（1）利用频率和为1列式即可得解；（2）求出85%分位数后判断即可；（3）利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解.【小问1详解】根据频率和为1，可知()0.0090.0220.0250.028101m ++++⨯=，可得0.016m =.【小问2详解】由题意，需要确定月均用电量的85%分位数，因为()0.0280.0220.025100.75++⨯=，()0.0280.0220.0250.016100.91+++⨯=，所以85%分位数位于[)230,240内，从而85%分位数为0.850.7523010236.252340.910.75-+⨯=>-.所以小明的估计不正确.【小问3详解】由题意，A 区的样本数为1000.440⨯=，样本记为1x ，2x ，L ，40x ，平均数记为x ；B 区的样本数1000.440⨯=，样本记为1y ，2y ，L ，40y ，平均数记为y ；C 区样本数为1000.220⨯=，样本记为1z ，2z ，L ，20z ，平均数记为z .记抽取的样本均值为ω，0.42130.42230.2233221ω=⨯+⨯+⨯=.设该市第二档用户的月均用电量方差为2s ，则根据方差定义，总体样本方差为()()()40402022221111100i j k i i i s x y z ωωω===⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()()4040202221111100i j k i i i x x x y y y z z z ωωω===⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑因为()4010ii x x =-=∑，所以()()()()404011220iii i x x x x x x ωω==--=--=∑∑，同理()()()()404011220jji i yyy y yy ωω==--=--=∑∑，()()()()202011220kki i zz z z zz ωω==--=--=∑∑，因此()()()()4040404022222111111100100i j i i i i s x x x y y y ωω====⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()202022111100k i i z z z ω==⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑，代入数据得()()222114024.2402132214012.340223221100100s ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦=⨯+⨯-+⨯-⎣+⨯()212038.32023322178.26100⎡⎤+⨯+⨯-=⎣⎦.19.在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B ，C ，D 三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A ，B ，C ，D 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是13，每场比赛的结果相互独立.（1）求A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；（2）已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A 球队胜2场，负1场，求A 球队最终小组出线的概率.【答案】（1）427（2）7981【解析】【分析】（1）分类讨论只积3分的可能情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）由题意，若A 球队参与的3场比赛中胜2场，负1场，根据获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论结合独立事件概率乘法公式运算求解.【小问1详解】A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分，有两种情况.第一种情况：A 球队在3场比赛中都是平局，其概率为111133327⨯⨯=.第二种情况：A球队在3场比赛中胜1场，负2场，其概率为11113 3339⨯⨯⨯=.故所求概率为114 27927+=.【小问2详解】不妨假设A球队参与的3场比赛的结果为A与B比赛，B胜；A与C比赛，A胜；A与D比赛，A胜.此情况下，A积6分，B积3分，C，D各积0分.在剩下的3场比赛中：若C与D比赛平局，则C，D每队最多只能加4分，此时C，D的积分都低于A的积分，A可以出线；若B与C比赛平局，后面2场比赛的结果无论如何，都有两队的积分低于A，A可以出线；若B与D比赛平局，同理可得A可以出线.故当剩下的3场比赛中有平局时，A一定可以出线.若剩下的3场比赛中没有平局，则当B，C，D各赢1场比赛时，A可以出线.当B，C，D中有一支队伍胜2场时，若C胜2场，B胜1场，A，B，C争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=；若D胜2场，B胜1场，A，B，D争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=.其他情况A均可以出线.综上，A球队最终小组出线的概率为1179 1818181⎛⎫-+=⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于分类讨论获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，讨论要恰当划分，做到不重不漏，从而即可顺利得解.。

专题05 数 列（单选题）1．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S = A ．31 B ．32 C ．63D ．64【试题来源】甘肃省张掖市第二中学2020-2021学年高二第一学期期中考试（文） 【答案】C【分析】根据等比数列前n 项和的性质列方程，解方程求得6S ．【解析】因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列， 所以()()242264S S S S S -=-，即()()62153315-=-S ，解得663S =．故选C ． 2．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S = A ．200 B ．100 C ．90D ．80【试题来源】广东省东莞市第四高级中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】C【解析】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=．故选C ． 3．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a = A ．7 B ．10 C ．13D ．16【试题来源】山东省济宁市2020-2021学年高三第一学期学分认定 【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，141,16a S ==，41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=，71613a a d ∴=+=．故选C ．4．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a = A ．13 B ．14 C ．15D ．16【试题来源】广西南宁市第十中学2020-2021学年高二上学期段考【答案】A【解析】由等差数列的性质可得1742a a a +=， 所以1474339a a a a ++==，解得413a =，故选A ．5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和．若1476a a a ++=，则7S = A ．10- B ．8 C ．12D ．14【试题来源】福建省莆田第二十五中学2020-2021学年高二上学期期中考试 【答案】D【分析】利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可 【解析】147446=32a a a a a ++=∴=，则()177477142a a S a +===，故选D ． 6．在数列{}n a 中，21n n a n +=+，则{}n a A ．是常数列 B ．不是单调数列 C ．是递增数列D ．是递减数列【试题来源】河南省焦作市2020-2021学年高二（上）期中（理） 【答案】D【分析】由21111n n a n n +==+++，利用反比例函数的性质判断即可． 【解析】在数列{}n a 中，21111n n a n n +==+++， 由反比例函数的性质得{}n a 是*n N ∈时单调递减数列，故选D ． 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S = A ．45 B ．50 C ．60D ．80【试题来源】江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三第二次模拟考试（文） 【答案】C【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解． 【解析】{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =，1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====，故选C ．8．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为 A ．8 B ．13 C ．26D ．162【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2020-2021学年高一上学期期中联考（理） 【答案】B【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据()11313713132a a S a +==求解出结果．【解析】因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =， 又()1131371313131132a a S a +===⨯=，故选B ．【名师点睛】等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=．9．已知函数()()837,8,8x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩，若数列{}n a 满足()()*n a f n n N =∈，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是 A ．()1,3B ．17,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．17,39⎛⎫⎪⎝⎭D ．[)2,3【试题来源】湖北省随州市2020-2021学年高二上学期9月联考 【答案】C【分析】由题意可得分段函数()f x 在每一段都是单调递增且98a a >，即可得解．【解析】因为函数()()837,8,8x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩，()()*n a f n n N =∈，且{}n a 是递增数列，则()98301837a a a a -⎧->⎪>⎨⎪>--⎩，解得1739a <<．故选C ． 【名师点睛】在处理函数与数列的综合问题时，要注意数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点．10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，则n n S =aA ．14n -B ．41n -C ．12n -D ．21n -【试题来源】河南省洛阳市第一高级中学2020-2021学年高三上学期10月月考（文） 【答案】D【解析】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，所以2413514522q a a a a =++==，因此()()111111111221112n nn n n n n n na q Sq q a a q q q ---⎛⎫- ⎪--⎝⎭====--⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选D ．11．设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若4228S S =+，则d = A ．1 B ．2 C ．3D ．4【试题来源】浙江省温州市2020-2021学年高三上学期11月高考适应性测试（一模） 【答案】B【分析】由4228S S =+，直接利用等差数列的前n 项和公式求解． 【解析】因为4228S S =+，所以()()14124282a a a a +=++， 所以()()11112328a a d a a d ++=+++，即48d =，解得2d =，故选B ．12．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =A ．1B ．8【试题来源】吉林省乾安县第七中学2020-2021学年高二上学期第二次质量检测（理） 【答案】B【解析】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==， 所以33810371178b b b b b b b ===．故选B ．13．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231n n a nb n =+，则2121S T 的值为A ．1315 B ．2335C ．1117D ．49【试题来源】甘肃省会宁县第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试（理） 【答案】C 【解析】2121S T ＝12112121()21()22a ab b ++÷＝121121a a b b ++＝1111a b ＝2113111⨯⨯+＝1117．故选C ．14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=A ．2B ．3C ．4D ．5【试题来源】江苏省苏州市相城区陆慕高级中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】B【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果． 【解析】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=， 解得343a a +=．故选B ．15．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =C ．6D ．3【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2019-2020学年高一下学期期中（文） 【答案】A【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ，代入即可得出结论．【解析】由3914a a +=，23a =，又{}n a 为等差数列，得39121014a a a d +=+=，213a a d =+=，解得12,1a d ==，则101+92911a a d ==+=；故选A ．16．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是 A ．32n - B ．322n - C ．3122n -D ．3122n +【试题来源】内蒙古呼和浩特市第十六中学2020-2021学年高二上学期期中考试（文） 【答案】C【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式． 【解析】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则公差为31322a a d -==， 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-．故选C ． 17．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于 A ．160 B ．180 C ．200D ．220【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高三上学期期中 【答案】B【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解． 【解析】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=， 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=．所以2012020()10181802S a a =+=⨯=．故选B ． 18．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a = A ．29B ．38【试题来源】甘肃省永昌县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学理试题 【答案】A【分析】根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ； 【解析】因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==， 所以414a =．由59410a a a a +=+43=，得1029a =，故选A ． 19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a = A ．11 B ．12 C ．23D ．24【试题来源】河南省焦作市2020-2021学年高二（上）期中（理） 【答案】C 【解析】32153S a ==，25a ∴=，12a =，∴公差213d a a =-=，81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选C ．20．若数列{}n a 的通项公式为2(2)n a n n =-，其中*n N ∈，则5a = A ．25 B ．50 C ．75D ．100【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题 （理） 【答案】C 【解析】2(2)n a n n =-，525375a ∴=⨯=，故选C ．21．已知数列{}n a 满足121n n n a a a +-=，132a =，则2021a = A ．20202019 B ．20212020 C ．20222021D ．20232022【试题来源】甘肃省永昌县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学理试题 【答案】D【分析】根据题意可得112n n a a +=-，先求132a =，211423a a =-=，321524a a =-=，431625a a =-=，…，所以猜测21n n a n +=+，经验证即可得解． 【解析】因为121n n n a a a +-=，所以112n na a +=-， 因为132a =，所以211423a a =-=，321524a a =-=，431625a a =-=，…， 所以猜测21n n a n +=+，代入124231211121n n n n n n n a a a n n n n +++++-=-⨯==++++， 所以21n n a n +=+满足题意，所以202120232022a =，故选D ．【名师点睛】本题考查了通过数列的递推关系求通项公式，考查了利用规律对通项公式的猜想和验算，属于中档题．解本类问题有两个关键点：（1）当数列无法直接得出通项公式时，可观察前几项的规律；（2）通过前几项的规律进行猜想；（3）最后验算，必须带入原等式进行验算． 22．数列1111,,,57911--，…的通项公式可能是n a = A ．1(1)32n n --+B ．(1)32nn -+C ．1(1)23n n --+D ．(1)23nn -+【试题来源】甘肃省庆阳市宁县第二中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】D【解析】因为数列1111,,,, (57911)--可写成()()()()2342322311111,1,1,12,..24.333-⨯-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯， 所以其通项公式为(1)(1)23213nnn a n n -=-=++⨯．故选D ． 23．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n －2)，其中n ∈N *，则a 6＝ A ．8B ．15C ．24D ．35【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题 （文） 【答案】C【解析】代入通项公式得，66424a =⨯=，故选C ． 24．数列{}n a 的通项公式为2π1sin2n n a n =+，前n 项和为n S ，则100S = A ．50 B ．-2400 C ．4900-D ．9900-【试题来源】河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试（理） 【答案】C 【分析】由πsin2n y =的周期为4，可得22222210010013579799S =+-+-+⋅⋅⋅+-，利用并项求和可得解．【解析】2111a =+，21a =，2313a =-，41a =，…，考虑到πsin2n y =的周期为4， 所以()222222100100135797991002135799S =+-+-+⋅⋅⋅+-=-⨯++++⋅⋅⋅+(199)50100249002+⨯=-⨯=-．故选C ．25．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）．则下列埃及分数113⨯，135⨯，157⨯，…，120192021⨯的和是A ．20202021 B ．10102021C ．10092019D ．20182019【试题来源】江苏省南通市平潮高级中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】B【解析】因为()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭111113355720192021∴++++⨯⨯⨯⨯11111111123355720192021⎛⎫=-+-+-+⋯+- ⎪⎝⎭11122021⎛⎫=- ⎪⎝⎭10102021=，故选B ． 26．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为A ．89B ．910C ．1011D ．1112【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文） 【答案】C【分析】首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案．【解析】当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=． 检验111a S ==，所以n a n =．设()1111111n n n b a a n n n n +===-++，前n 项和为n T ， 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…．故选C ． 27．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为 A ．2± B ．2 C ．3±D ．3【试题来源】江苏省无锡市锡山高级中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】D【解析】4个数成等比数列，则3813q =，故3q =．故选D ．28．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于若第六个单音的频率为f ，则A ．第四个单音的频率为1122f - B ．第三个单音的频率为142f - C ．第五个单音的频率为162fD ．第八个单音的频率为1122f【试题来源】湖北省宜昌市秭归县第一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】B【分析】根据题意得该单音构成公比为再根据等比数列通项公式依次求第三、四、五、八项即可得答案．【解析】根据题意得该单音构成公比为f ，141422f f -==．661122f f -==．所以第五个单音的频率为1122f =．所以第八个单音的频率为1262f f =，故选B ．29．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则352a a += A ．45 B ．54 C ．99D ．81【试题来源】河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试（理） 【答案】C【解析】设数列{}n a 的公比为q ，因为341a a q =，所以3q =，所以24352299a a q q +=+=．故选C ．30．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于 A ．40 B ．81 C ．121D ．242【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2020-2021学年高一上学期期中联考（理） 【答案】C【分析】根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前n 项和公式求解出5S 的结果．【解析】因为12234,12a a a a +=+=，所以23123a a q a a +==+，所以1134a a +=，所以11a =，所以()5515113121113a q S q--===--，故选C ．31的等比中项是A ．－1B ．1CD ．【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题 （理） 【答案】D【解析】23111()()()2222-==±，12与12的等比中项是2±． 故选D ．32．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a = A ．2 B ．4 C ．8D ．16【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文） 【答案】C【分析】根据等比数列的通项公式将53134a a a =+化为用基本量1,a q 来表示，解出q ，然后再由前4项和为30求出1a ，再根据通项公式即可求出3a ． 【解析】设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为53134a a a =+，所以4211134a q a q a =+，则42340q q --=，解得24q =或21q =-（舍），所以2q，又等比数列{}n a 的前4项和为30，所以23111130a a q a q a q +++=，解得12a =，所以2318a a q ==．故选C ． 33．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =．则313232020log log log a a a +++=A ．3B ．505C ．1010D ．2020【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（理）【答案】C【解析】由120202201932018101010113a a a a a a a a =====，所以313232020log log log a a a +++()10103101010113log log 31010a a ===．故选C ．34．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则42S S = A ．76B ．32 C ．2132D ．14【试题来源】四川省内江市第六中学2020-2021学年高三上学期第三次月考（文） 【答案】B【分析】由5312a a a +=，解得q ，然后由414242212(1)111(1)11a q S q q q a q S qq---===+---求解． 【解析】在等比数列{}n a 中，5312a a a +=，所以421112a q a q a +=，即42210q q +-=，解得212q =，所以414242212(1)1311(1)121a q S q q q a q S q q---===+=---，故选B ． 35．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5=10S ，1050S =，则15=S A ．180 B ．160 C ．210D ．250【试题来源】云南省玉溪第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试（理） 【答案】C【分析】首先根据题意得到5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案．【解析】因为{}n a 为等比数列，所以5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列． 所以()()2155010=1050S --，解得15210S =．故选C ．36．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则2122210log log log a a a +++=A ．15B ．10C ．5D ．3【试题来源】甘肃省庆阳市宁县第二中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】A【解析】因为478a a ⋅=， 则()()52212221021210110log log log log ...log a a a a a a a a ⋅⋅⋅=+⋅++=()2475log 15a a =⋅=．故选A ．37．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21(1*)n n S a n n N =-≥∈，，则数列{}n na 前5项和为 A ．126 B ．127 C ．128D ．129【试题来源】江苏省苏州市星海中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】D【分析】利用已知n S 和n a 的关系，求{}n a 的通项公式，即可求解． 【解析】当1n =时，11121S a a =-=，解得11a = 当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=- ，即12n n a a -=， 所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n na ，所以{}n na 前5项和为012341222324252129⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故选D ． 【名师点睛】本题考查已知n S 和n a 的关系，求{}n a 的通项公式，分三步： 当1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，检验1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥，即可得{}n a 的通项公式．38．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大212，则该数列的项数是 A ．8 B ．4 C ．12D ．16【试题来源】安徽省蚌埠市第三中学2019-2020学年高一下学期5月月考 【答案】A【分析】设项数为2n ，由题意可得()21212n d -⋅=，及6S S nd -==奇偶可求解． 【解析】设等差数列{}n a 的项数为2n ，末项比首项大212，()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=①24S =奇，30S =偶，30246S S nd ∴-=-==奇偶②．由①②，可得32d =，4n =，即项数是8，故选A ．39．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则S n 取最大值时n 的值为 A ．4 B ．5 C ．4或5D ．5或6【试题来源】湖南省五市十校2020-2021学年高二上学期第一次联考 【答案】C【分析】由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差12d =-，再由等差数列的前n 项和公式即可得解．【解析】设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠，134,,a a a 成等比数列，2314a a a ∴=即2(22)2(23)d d +=+，则12d =-，()()211119812244216n n n n n S a n d n n --⎛⎫∴=+=-=--+ ⎪⎝⎭，所以当4n =或5时，n S 取得最大值．故选C ．40．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【试题来源】江苏省苏州市吴中区2020-2021学年高二上学期期中 【答案】C【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ． 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =，故选C ．41．若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a = A ．1010 B ．1011 C ．2020D ．2021【试题来源】四川省遂宁市2021届高三零诊考试（理） 【答案】B【解析】由121()2n n a a n N *++=∈，则11()2n n a a n N *+=+∈，即112n n a a +-=，所以数列{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列，所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=，所以2021a =2021110112+=．故选B ． 42．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S = A ．7 B ．12 C ．14D ．21【试题来源】广东省东莞市第四高级中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】C【分析】判断出{}n a 是等差数列，然后结合等差数列的性质求得7S ．【解析】因为212n n n a a a ++=-，所以211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 为等差数列． 因为534a a =-，所以354a a +=，所以173577()7()1422a a a a S ++===．故选C ． 43．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于 A ．8 B ．10 C ．12D ．14【试题来源】北京市第三中学2021届高三上学期期中考试 【答案】C【解析】{a n }为等差数列，S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =．由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=， 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=， 所以62612a =⨯=．故选C ．44．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+ A1 B1 C．3-D．3+【试题来源】福建省莆田第二十五中学2020-2021学年高二上学期期中考试 【答案】D【分析】根据1a ，312a ，22a 成等差数列可得3121222a a a ⨯=+，转化为关于1a 和q 的方程，求出q 的值，将91078a a a a ++化简即可求解．【解析】因为{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列， 所以3121222a a a ⨯=+，即21112a q a a q =+，所以2210q q --=，解得1q =1q =，2229107878783a a a q a q q a a a a ++===+++D ． 45．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【试题来源】北京市铁路第二中学2021届高三上学期期中考试 【答案】B【解析】设等比数列{}n a 为q ，则等比数列的公比414141328a qa -===，所以12q =， 则其通项公式为116113222n n n n a a q ---⎛⎫=⋅=⨯= ⎪⎝⎭，所以()()5611542212622222nn +n n n n n T a aa ---==⨯==，令()11t n n =-，所以当5n =或6时，t 有最大值，无最小值，所以n T 有最大项，无最小项．故选B ．46．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为 A ．825两 B ．845两 C ．865两 D ．885两 【试题来源】吉林省通榆县第一中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文） 【答案】C【分析】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，数列{}n a 是等差数列，8106100a S =⎧⎨=⎩利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目1a ．【解析】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，由题意可得 设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，则由题意得8106100a S =⎧⎨=⎩，即1176109101002a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得186585a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 所以长兄分得865两银子．故选C ． 【名师点睛】本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式． 47．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S = A ．16 B ．-16 C ．4D ．-4【试题来源】吉林省通榆县第一中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文）【答案】A 【解析】由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====．故选A ．48．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a = A ．1n - B ．n C ．21n -D ．2n【试题来源】贵州省遵义市2020~2021学年度高二上学期数学期中联合考试 【答案】B【解析】因为3518a S +=，633a a =+，所以11161218523a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，所以111a d =⎧⎨=⎩，所以()111n a n n =+-⨯=，故选B ．49．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划．已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离．若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为A ．34000米B ．36000米C ．38000米D ．40000米【试题来源】江苏省无锡市锡山高级中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】B【解析】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故143600a =，则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=．故选B ． 50．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有 A ．a 5＝4 B ．a 6＝4 C ．a 5＝2D ．a 6＝2【试题来源】湖北省宜昌市秭归县第一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】C【解析】因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2．故选C ．51．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是 A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列【试题来源】湖北省宜昌市秭归县第一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】D【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误．【解析】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误．故选D ．52．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为 A ．24- B ．3- C ．3D ．8【试题来源】甘肃省张掖市第二中学2020-2021学年高二第一学期期中考试（文） 【答案】A【分析】根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d ，由此求得{}n a 的前6项的和．【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2326a a a =，即2(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-， 故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)661(2)2422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-．故选A ． 53．已知数列{}n a 满足11a =，+121nn n a a a =+，则数列{}1n n a a +的前n 项和n T =A ．21nn - B ．21nn + C ．221nn + D ．42nn +【试题来源】吉林省长春市长春外国语学校2020-2021学年高三上学期期中考试 【答案】B【分析】利用倒数法求出数列{}n a 的通项公式，进而利用裂项相消法可求得n T ． 【解析】已知数列{}n a 满足11a =，+121nn n a a a =+，在等式+121n n n a a a =+两边同时取倒数得112112n n n n a a a a ++==+，1112n na a +∴-=， 所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且首项为111a ，公差为2，则()112121n n n a =+-=-，121n a n ∴=-，()()11111212122121n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭，因此，1111111111111112323525722121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21nn =+．故选B ． 【名师点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．54．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =．定义数列{}m b 如下：()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519b b b b ++++=A ．25B ．50C ．75D ．100【试题来源】河南省商丘市虞城高级中学2020~2021学年高三11月质量检测（理） 【答案】B【分析】根据2n S n =先求出21n a n =-；由题意，得出21m k =-，得出()()11212m m m mk m b m m +===++，即21212k k b --=，根据等差数列的性质，即可得出结果． 【解析】由2n S n =，可得()1212n n n a S S n n -=-=-≥，当1n =时，111a S ==满足21n a n =-，所以21n a n =-，n ∈+N ； 由n a m ≥，得21n m -≥，解得12m n +≥．当21m k =-，（*k N ∈）时，1m m b k m+=， 即()()11212m m m mk m b m m +===++，即21212k k b --=， 从而()()13519111351951195022b b b b +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=⨯⨯+=．故选B ． 【名师点睛】求解本题的关键，在于根据()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，求出21m k =-，得出21212k k b --=，根据等差数列的性质求解． 55．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律．其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”．现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为 A ．32 B ．33 C ．34D ．35【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题 （理） 【答案】D【分析】设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，由他们年龄依次相差一岁得出(1)(2)(28)1520n n n n m ++++++++=，结合等差数列的求和公式得出111429m n =-，再由[]90,100m ∈求出n 的值．【解析】根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，[]90,100m ∈， 则有(1)(2)(28)294061520n n n n m n m ++++++++=++=，则有291114n m +=，则111429m n =-，所以90111429100m ≤-≤， 解得34.96635.31n ≤≤，因为年龄为整数，所以35n =．故选D ．56．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为 A ．21 B ．20 C ．19D ．19或20【试题来源】甘肃省永昌县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学理试题 【答案】B【分析】由题得出1392a d =-，则2202n dS n dn =-，利用二次函数的性质即可求解．【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由11101921a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+， 解得1392a d =-，10a <，0d ∴>，()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小．故选B ．57．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 A ．4S B ．5S C ． 6SD ． 7S【试题来源】云南省玉溪第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试（理） 【答案】B【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值．【解析】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩，所以015n a n >⇒≤≤， 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S ．故选 B ． 58．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝132，a 8＋a 9＝272，则S 3＝A ．35B ．78C ．98D ．127【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题 （文） 【答案】B【解析】设数列{}n a 的公差为d ，则212891327,22S a a a a =+=+=，两式相减得14d =7，故12d =，代入12132a a +=，得13a =，所以13131211337822S ⨯=⨯+⨯=，故选 B ． 59．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：n m n m S S S ++=，且110a =，那么10a = A ．1 B ．9 C ．10D ．55【试题来源】宁夏银川市北方民族大学附属中学2020-2021学年度（上）高二10月月考 （理） 【答案】C【分析】首先赋值令1m =，利用n a 与n S 的关系求通项公式． 【解析】令1m =，则11n n S S S ++=， 则11110n n S S S a +-===，所以110n a +=， 所以数列{}n a 是常数列，则1010a =．故选C ．60．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第20项与21项的和为A ．380B ．410C ．420D ．462【试题来源】湖北省随州市2019-2020学年高二下学期期末 【答案】C【分析】由前10项，可得奇数项和偶数项的通项公式，再求2021a a +．【解析】由数列的前10项可知，数列的偶数项的通项公式222n a n =，220210200a ∴=⨯=， 奇数项的通项公式()2121n a n n -=-，21211121011220a a ⨯-∴==⨯⨯=，2021200220420a a ∴+=+=．故选C ．61．已知在数列{}n a 中，112,1n n na a a n +==+，则2020a 的值为 A ．12020 B ．12019C ．11010D ．11009【试题来源】江苏省苏州市相城区陆慕高级中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】C 【解析】11n n na a n +=+，即11n n a n a n +=+，12321123211232121232n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⨯--2n=， 20202120201010a ∴==．故选C ． 62．数列{}n a 满足1111,(2)2n n n a a a n a --==≥+，则5a 的值为A ．18 B ．17 C ．131D ．16【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2019-2020学年高一下学期期中（文） 【答案】C【解析】因为1111,(2)2n n n a a a n a --==≥+，所以211123a ==+，31131723a ==+，411711527a ==+，51115131215a ==+，故选C ． 63．定义12nn p p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n，又2n n a b =，则1223910111b b b b b b +++= A ．817B ．1021C ．1123D ．919【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2019-2020学年高一下学期期中（文） 【答案】D【解析】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由题意可得12n n S n=，则：22n S n =， 当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，142n n n a S S n -=-=-， 且14122a =⨯-=，据此可得 42n a n =-，故212nn a b n ==-，()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 据此有1223910111111111112189191933517192b b b b b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选D ．64．已知lg3≈0．477，[x ]表示不大于x 的最大整数．设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2且S n +1＝3S n -2n +2，则[lg(a 100-1)]＝ A ．45 B ．46 C ．47D ．48【试题来源】湖北省宜昌市秭归县第一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】C【分析】利用数列的递推式，得到a n +1＝3a n -2，进而得到a n ＝3n -1+1，然后代入[lg(a 100-1)]可求解．【解析】当n ≥2时，S n ＝3S n -1-2n +4，则a n +1＝3a n -2，于是a n +1-1＝3(a n -1)，当n ＝1时，S 2＝3S 1-2+2＝6，所以a 2＝S 2-S 1＝4．此时a 2-1＝3(a 1-1)，则数列{a n -1}是首项为1，公比为3的等比数列．所以a n -1＝3n -1，即a n ＝3n -1+1，则a 100＝399+1，则lg(a 100-1)＝99lg3≈99×0．477＝47．223，故[lg(a 100-1)]＝47．故选C ．65．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，则{}n a 的前2021项之积为 A ．23B ．13C ．2-D ．3-【试题来源】河南省焦作市2020-2021学年高二（上）期中（理）【答案】B【解析】因为111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，所以111n n na a a ++=-，21132113a +∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯，4n n a a +∴=． 123411···2(3)()132a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=．则{}n a 的前2021项之积50511133=⨯=．故选B ．【名师点睛】已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解．66．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，则13525a a a a ++++=A ．350B ．351C ．674D ．675【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2020-2021学年高一上学期期中联考（理） 【答案】A【分析】先利用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值．【解析】当1n =时，21112112a S ==+⨯-=；当2n ≥时，()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦．12a =不适合上式，2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩．因此，()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=；故选A ．【名师点睛】利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥．67．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．下图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1，3，6，10，⋅⋅⋅构成的数列{}n a 的第n 项，则15a 的值为A ．210B ．150C ．120D ．118【试题来源】内蒙古呼和浩特市2021届高三质量普查调研考试（理） 【答案】C【分析】通过观察可得()11n n a a n n N *+=++∈，通过累加法可得211,22n a n n n N *=+∈，从而可求出15a ．【解析】由题意知，()11n n a a n n N *+=++∈，即()11n n a a n n N *+-=+∈，所以2132123...1n n a a a a a a n +-=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=+⎩ ，则()21111323..12222n n n a a n n n n +--=++++=+=+，即2211131312222n a a n n n n +=++=++，当2n ≥时，()()2213111112222n a n n n n =-+-+=+，当1n =时，111122a =+=，所以211,22n a n n n N *=+∈，则21511151512022a =⨯+⨯=．故选C ．68．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()(),(1)32f x f x f -=-=，数列{}n a 满足11a =，且21n nS a n n=-，(n S 为{}n a 的前n 项和，*)n N ∈，则56()()f a f a += A ．1 B ．3 C ．-3D ．0【试题来源】云南省玉溪第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试（理） 【答案】C【分析】判断出()f x 的周期，求得{}n a 的通项公式，由此求得56()()f a f a +．【解析】依题意定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()()2f x f x -=，所以()333332222f x f x f x fx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()32f x f x f x ⎛⎫=---=--= ⎪⎝⎭，所以()f x 是周期为3的周期函数．由21n n S a n n=-得2n n S a n =-①， 当1n =时，11a =，当2n ≥时，()1121n n S a n --=--②， ①-②得11221,21n n n n n a a a a a --=--=+（2n ≥），所以21324354213,217,2115,2131a a a a a a a a =+==+==+==+=，652163a a =+=．所以56()()f a f a +=()()()()()()()316331013211013f f f f f f f +=⨯++⨯=+=--=-，故选C ．69．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n n S a b n =---⨯+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列C ．·n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 【试题来源】河南省焦作市2020-2021学年高二（上）期中（理） 【答案】D【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项． 【解析】(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，∴当1n =时，有110S a a ==≠；当2n ≥时，有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅，又当1n =时，01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，令n b a b bn =+-，12n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确； 因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{}12n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数列，故AB 错．故选D ．【名师点睛】由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力．70．已知1()()32g x f x =+-是R 上的奇函数，1(0)()n a f f n=++1()(1)n f f n-++，n *∈N ，则数列{}n a 的通项公式为A ．1n a n =+B ．31n a n =+C ．33n a n =+D ．223n a n n =-+【试题来源】江苏省扬州中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】C【分析】由()132F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在R 上为奇函数，知11622f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12t x =-，则112x t +=-，得到()()16f t f t +-=．由此能够求出数列{}n a 的通项公式． 【解析】由题已知()132F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，故()()F x F x -=-， 代入得()11622f x f x x R ⎛⎫⎛⎫-++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数()f x 关于点132⎛⎫⎪⎝⎭，对称， 令12t x =-，则112x t +=-，得到()()16f t f t +-=， 因为()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，。

高二12月月考（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.（5分）1．直线x﹣y+1＝0的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣2.（5分）2．已知向量＝（2，3，1），＝（1，2，0），则|+|等于（）A．B．3C．D．93.（5分）3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，则下列向量与相等的是（）A．﹣﹣+B．+﹣C．﹣++D．++4.（5分）4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）A．6.5尺B．13.5尺C．14.5尺D．15.5尺5.（5分）5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM和CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．﹣6.（5分）6．历时23天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中2020年11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点F1，若其近月点A（离月球表面最近的点）与月球表面距离为r1公里，远月点B（离月球表面最远的点）与月球表面距离为r2公里，并且F1，A，B在同一直线上已知月球的半径为R公里，则该椭圆形轨道的离心率为（）A．B．C．D．7.（5分）7．已知动点P在直线l1：3x﹣4y+1＝0上运动，动点Q在直线l2：6x+my+4＝0上运动，且l1∥l2，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．8.（5分）8．若等差数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＞0，a2020+a2021＞0，a2020•a2021＜0，则满足S n＞0成立的最大正整数n是（）A．4039B．4040C．4041D．4042二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.（5分）9．关于双曲线C1：＝1与双曲线C2：＝1，下列说法正确的是（）A．它们的实轴长相等B．它们的渐近线相同C．它们的离心率相等D．它们的焦距相等10.（5分）10．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣4x＝0的公共点为A，B，则（）A．|C1C2|＝2B．直线AB的方程是x＝C．AC1⊥AC2D．|AB|＝11.（5分）11．若数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N+），则称数列{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的是（）A．a7＝13B．a1+a3+a5+……+a2019＝a2020C．S7＝54D．a2+a4+a6+……+a2020＝a202112.（5分）12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，F在平面A1B1C1D1内，若|AE|＝，AC⊥DF，则（）A．点E的轨迹是一个圆B．点F的轨迹是一个圆C．|EF|的最小值为﹣1D．AE与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为三、填空题（本题共计3小题，总分15分）13.（5分）13．若直线x﹣y+1＝0与直线mx+3y﹣1＝0互相垂直，则实数m的值为．14.（5分）14．若双曲线的渐近线为，则双曲线C的离心率为．15.（5分）16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点（，0）的直线l与圆C：x2+y2﹣4x+8＝0交于A，B两点，则四边形OACB面积的最大值为．四、解答题（本题共计7小题，总分75分）16.（5分）15．已知四面体ABCD的顶点分别为A（2，3，1），B（1，0，2），C（4，3，﹣1），D（0，3，﹣3），则点D到平面ABC的距离．17.（10分）17．在：①圆C与y轴相切，且与x轴正半轴相交所得弦长为2；②圆C经过点A（4，1）和B（2，3）；③圆C与直线x﹣2y﹣1＝0相切，且与圆Q：x2+（y﹣2）2＝1相外切。

贵百河联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设为虚数单位，若复数，则复数的实部为（ ）A ．B ．C ．D ．2．若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（）A ．B ．C ．D ．3．定义运算：．已知，则（ ）ABC ．D ．4．已知，两点到直线的距离相等，求的值（ ）A．B ．C ．或D ．或5．从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的60％分位数是（ ）A ．16B ．30C ．32D ．516．关于的方程有一根为1，则一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形7．如图，在直三棱柱中，，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A ．B C ．D ．i 121iz i +=+z 12-39-1232)a =l l 6π3π23π56πa b ad bc c d =-()sin cos180sin 270cos tan 60ααα︒︒=+tan α=()3,4A --()6,3B :10l ax y ++=a 1397-13-79-1379-x 22cos cos cos 02Cx x A B -⋅⋅-=ABC △111ABC A B C -1AC AB AA ==120BAC ∠= D E F 11B C BC 11A C AD EF 310257108．已知函数，则有（ ）A ．最小值B ．最大值C ．最小值D ．最大值二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2023-2024学年广西钦州市高二上册期末考试数学模拟试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）1.若直线过点)3-和点()0,4-，则该直线的方程为A.43y x =-B.43y x =+C.6y =- D.323y x =+【正确答案】A 【分析】（法一）利用直线的两点式方程直接求解；（法二）利用斜率公式知直线的斜率，再用点斜式写出直线方程．【详解】解：（法一）因为直线过点)3-和点()0,4-，所以直线的方程为()()343040y x ----=---，整理得343y x =-；（法二）因为直线过点)3-和点()0,4-，所以直线的斜率为33k =，所以直线的方程为4y +=，整理得343y x =-；故选：A ．本题主要考查直线的两点式方程的应用，属于基础题．2.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上一点(),P x y 到焦点1F 的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C 的离心率为（）A.12B.25C.23D.52【正确答案】B【分析】根据点(),P x y 在椭圆上得22221x y a b +=，且a x a -≤≤，再利用两点距离求得1c PF x a a =+，从而可确定1PF 的最大值与最小值，即可求得,a c 的值，即可得离心率ce a=的值.【详解】解：设椭圆的半焦距为c ，若椭圆上一点(),P x y ，则22221x ya b+=，且a x a-≤≤又1(,0)F c -，222a b c =+则1c PF x aa ====+由于a x a -≤≤，所以11max min 7,3PF a c PF a c =+==-=于是可得5a =，2c =，所以椭圆C 的离心率25c e a ==.故选：B3.已知()2,1,2a =- ，()1,,1b t =- ，若a b ⊥，则实数t 的值为（）A.0B.4- C.12D.4【正确答案】B【分析】由空间向量垂直的坐标表示进行计算即可.【详解】∵a b ⊥，∴()()2112140a b t t ⋅=-⨯-+⨯+⨯=+=，∴4t =-.故选：B.4.我们知道，在日常学习与生活中养成根据现实世界的情景提出问题的习惯对培养自己的创新素养起着至关重要作用.关于实际情景“日常洗衣服都要经历两个阶段，第一阶段是用去污剂搓洗衣服，第二阶段是漂洗衣服.一般来讲要漂洗多次，漂洗的次数越多衣服越干净”，提出的问题最恰当的是（）A.在给定漂洗所用的清水量的前提下，选择什么牌子的洗衣粉能使衣服更干净？B.在给定漂洗衣服的前提下，漂洗所用的清水量多少合适？C.在给定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗时放多少衣物才能使衣服干净？D.在给定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗多少次能使衣服干净？【正确答案】D【分析】根据给定条件，结合各选项的条件分析、判断作答.【详解】对于A ，好的洗衣粉，去污能力强，但必须经过多次漂洗才能将洗衣粉及污物去掉，所提出问题与漂洗次数无关，A 不是；对于B ，漂洗所用的清水量多，附着衣服的污物经过一次漂洗，去掉的不多，所提出问题与漂洗次数无关，B 不是；对于C ，漂洗时放一件衣物，若只漂洗一次，去掉的污物不多，所提出问题与漂洗次数无关，C 不是；对于D ，用适当的清水量，多次漂洗，能使衣服干净，提出的问题最恰当，D 是.故选：D5.双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上且120PF =，则2PF 等于（）A.14B.26C.14或26D.16或24【正确答案】C【分析】根据双曲线的方程可得,,a b c ，由212PF PF a -=即可求解.【详解】由双曲线的方程可得3,4,5a b c ===，故22PF c a ≥-=.因为1226P F F P a ==-，故2206PF -=，解得214PF =或26.故选:C.6.已知向量()12,0,2n =-- ，()22,2,0n =分别为平面α和平面β的法向量，则平面α与平面β的夹角为（）A.30︒ B.45︒C.60︒D.120︒【正确答案】C【分析】根据坐标可求出121cos ,2n n =- ，根据夹角的范围以及平面的夹角与平面法向量之间的关系即可求出答案.【详解】解：由已知可得1n =u r，2n =u u r ()122202204n n ⋅=-⨯+⨯+-⨯=-u r u u r，所以1212121cos ,2n n n n n n ⋅==-u r u u ru r u u r u r u u r .设θ为平面α与平面β的夹角，则0,90 q 轾Î臌，又121cos cos ,2n n θ==u r u u r ，所以60θ= .故选：C.7.已知圆O ：222(0)x y r r +=>上有且只有两个点到直线l ：34150x y --=的距离为1，则圆O 半径r 的取值范围为（）A.()2,4 B.[]2,4 C.(]2,3 D.[)3,4【正确答案】A【分析】求出到直线l 的距离为1的点的轨迹，再根据给定条件，数形结合列出不等式求解作答.【详解】平面内到直线l 距离为1的点的轨迹是与直线l 平行且距离为1的两条直线12,l l ，设12,l l 的方程为340(15)x y m m --=≠1=，解得10m =或20m =，即直线1:34100l x y --=，直线2:34200l x y --=，如图，圆O ：222(0)x y r r +=>上有且只有两个点到直线l 的距离为1，则圆O 与1l 相交，与2l 相离，圆O 的圆心(0,0)O 到直线1l 的距离12d ==，到直线2l 的距离24d ==，所以圆O 半径r 的取值范围为24r <<，即()2,4r ∈.故选：A8.设()12345,,,,x x x x x 是1，2，3，4，5的一个排列，若()()1120i i i i x x x x +++--<对一切{}1,2,3i ∈恒成立，就称该排列是“交替”的，则“交替”的排列的数目是（）A.16B.25C.32D.41【正确答案】C【分析】由已知可知当12x x <时，此时有25x =或45x =.由“交替”的排列的概念可得，当25x =时，43x =或44x =，分别求解即可得到当25x =时，43x =或44x =时，有8种方法.同理可求得当45x =，23x =或24x =，此时也有8种方法.然后得出12x x >时，21x =或41x =时“交替”的排列数目，相加即可得出结果.【详解】由已知可得()()22130x x x x --<，()()32340x x x x --<，()()34450x x x x --<.（ⅰ）当120x x -<时，12x x <，可推出23x x >，34x x <，45x x >，此时有25x =或45x =.①当25x =时，由已知可得43x =或44x =当25x =，43x =时，此时必有14x =，排列可以是()4,5,1,3,2或()4,5,2,3,1两种；当25x =时，44x =时，此时135,,x x x 可选择1，2，3中的任意排列，共33A 6=中排列.综上所述，共有8种方法；②同理可得当45x =，可得23x =或24x =，也有8种方法.综上所述，当12x x <时，“交替”的排列的数目是16；（ⅱ）当120x x ->时，12x x >，可推出23x x <，34x x >，45x x <，此时有21x =或41x =.①当21x =时，由已知可得42x =或43x =当21x =，43x =时，此时必有12x =，排列可以是()2,1,4,3,5或()2,1,5,3,4两种；当21x =时，42x =时，此时135,,x x x 可选择3，4，5中的任意排列，共33A 6=中排列.综上所述，共有8种方法；②同理可得当41x =，可得22x =或23x =，此时也有8种方法.综上所述，当12x x <时，“交替”的排列的数目是16.所以，“交替”的排列的数目是32.故选：C.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）9.已知两条不重合的直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，下列结论正确的是（）A.若12l l ∥，则12k k = B.若12k k =，则12l l ∥C.若121k k =，则12l l ⊥ D.若12l l ⊥，则121k k =-【正确答案】ABD【分析】根据直线的位置关系与斜率关系即可判断.【详解】对A ，若12l l ∥，则12k k =，故A 正确；对B ，若12k k =，又两直线不重合，则12l l ∥，故B 正确；对C ，若121k k =，则1l 与2l 不垂直，故C 错误；对D ，若12l l ⊥，则121k k =-，故D 正确.故选：ABD.10.若椭圆()222:108x y C b b+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，则下列b 的取值能使以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点的是（）A.b =B.b =C.2b = D.b =【正确答案】ABC【分析】根据给定的条件，确定以12F F 为直径的圆半径，再结合椭圆的性质列出不等式求出b 的范围作答.【详解】令椭圆()222:108x y C b b+=>的半焦距为c ，则以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，因圆222x y c +=与椭圆C 有公共点，则有22c b ≥，即228b b -≥，解得02b <≤，显然选项A ，B ，C 满足，D 不满足.故选：ABC11.下列结论正确的是（）A.两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =--，则12//l l B.两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =- ，()3,4,2v =-，则αβ⊥C.直线l 的方向向量()1,2,1a =- ，平面α的法向量()3,6,m k =，若l α⊥，则15k =D.若()2,1,4AB =-- ，()4,2,0AC = ，()0,4,8AP =--，则点Р在平面ABC 内【正确答案】ABD【分析】对于A ，验证,a b r r 是否平行即可；对于B ，验证,u v是否垂直即可；对于C ，根据线面关系得//a b，求解k 得值即可判断；对于D ，验证是否四点共面即可.【详解】解：对于A ，因为()2,3,1a =- ，()2,3,1b =-- ，所以a b =-，又两条不重合直线1l ，2l ，所以12//l l ，故A 正确；对于B ，平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =-，()3,4,2v =-，且6820u v ⋅=-+-=，所以u v ⊥，则αβ⊥，故B 正确；对于C ，直线l 的方向向量()1,2,1a =- ，平面α的法向量()3,6,m k = ，若l α⊥，则//a b，则3k =-，故C 错误；对于D ，因为()2,1,4AB =-- ，()4,2,0AC = ，()0,4,8AP =--，存在实数,λμ使得AB AC AP μλ=+ ，则2=41=244=8λ-λ-μ--μ⎧⎪⎨⎪⎩，解得11,22λμ==，则1212AB AC AP =+ ，所以,,,A B C P 四点共面，即点Р在平面ABC 内，故D 正确.故选：ABD .12.天山社区将红树林中学的甲、乙、丙、丁4名红志愿者分别安排到A ，B ，C 三个村民小组进行暑期社会实践活动，要求每个村民小组至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是（）A.共有18种安排方法B.若甲、乙两名志愿者被安排在同一村民小组，则有6种安排方法C.若两名志愿者被安排在A 村民小组，则有24种安排方法D.若甲志愿者被安排在A 村民小组，则有12种安排方法【正确答案】BD【分析】对于A ：4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，对于B ：甲、乙被安排到同一村民小组，先从3个村民小组中选一个安排甲和乙，对于C ：A 村民小组需要两名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A 村民小组，对于D ；甲志愿者被安排在A 村民小组，分两种情况讨论，即可判断各个选项的正误.【详解】对于A ：4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，所以安排方法为：2343C A 36=，A 错误；对于B ：甲、乙被安排到同一村民小组，先从3个村民小组中选一个安排甲和乙，剩余两个村民小组和志愿者进行全排列，所以安排方法为：1232C A 6=，B 正确；对于C ：A 村民小组需要两名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A 村民小组，再把剩余两个村民小组和志愿者进行全排列，所以安排方法为：2242C A 12=，C 错误；对于D ；甲志愿者被安排在A 村民小组，分两种情况讨论，当A 村民小组安排两名志愿者时，先从剩余3名志愿者选出一个，分到A 村民小组，再把剩余两个村民小组和志愿者进行全排列，所以安排方法为：1232C A 6=，当A 村民小组只安排甲志愿者时，剩余3名志愿者安排到两个村民小组中去，所以安排方法为：2232C A 6=，所以一共有安排方法为：6612+=，D 正确；故选：BD.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知点(,)P m n 为抛物线2:4C y x =上的点，且点P 到抛物线C 的焦点F 的距离为3，则m =____________．【正确答案】2【分析】由抛物线的方程求出抛物线的焦点和准线，然后利用抛物线的定义结合已知条件列方程求解即可.【详解】抛物线2:4C y x =的焦点为(1,0)，准线为=1x -，因为点(,)P m n 为抛物线2:4C y x =上的点，且点P 到抛物线C 的焦点F 的距离为3，所以13m +=，得2m =，故214.当直线l ：20x my m -+-=截圆C ：22230x y x +--=所得的弦长最短时，实数m 的值为______.【正确答案】1-【分析】由已知可得直线l 过定点()2,1A ，当CA l ⊥时，弦长最短.根据斜率关系即可求出实数m 的值.【详解】由已知可将直线l 的方程化为()210x m y ---=，解2010x y -=⎧⎨-=⎩可得21x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点()2,1A .又由圆的方程可得圆心()1,0C ，半径2r =，则AC r ==<，所以点A 在圆内.当AC l ⊥时，圆心()1,0C 到直线l 的最大距离，直线l 被圆截得的弦长最短.因为01112AC k -==-，所以直线l 的斜率为1-，即111m⨯=-，所以1m =-.故答案为.1-15.已知42345012345(3)(2)x x a a x a x a x a x a x -+=+++++，则实数2a 的值为______.【正确答案】40-【分析】先求出()42x +的展开式的通项4142C kkkk T x-+=⋅，再分别求出3x -选取x 以及3-时，2x 的系数，相加即可得出结果.【详解】()42x +的展开式的通项44144C 22C kkk k k kk T xx --+=⋅⨯=⋅，0,1,2,3,4k =.当3x -选取x 时，应取()42x +展开式中含x 的项，令41k -=，则3k =，33442C 32T x x =⋅=，此时2x 的系数为32；当3x -选取3-时，应取()42x +展开式中含2x 的项，令42k -=，则2k =，2222342C 24T x x =⋅=，此时2x 的系数为32472-⨯=-.所以2327240a =-=-.故答案为.40-16.“结题”是研究小组向老师和同学们报告数学建模研究成果并进行答辩的过程，结题会是展示研究小组“会用数学眼光观察现实世界，会用数学思维思考现实世界，会用数学语言表达现实世界”的重要场合.一般来说，结题会是结题的基本形式，小组长负责呈现研究的核心内容.假设你是研究小组的组长，研究的实际问题是“车辆的运行速度和刹车距离之间关系”，那么，为了准备结题会材料，你整理研究成果的核心内容是：______.【正确答案】论文【分析】根据课题结题的一般形式即可写出答案.【详解】根据课题结题的一般形式而言，论文是整理研究成果的核心内容，故论文.四、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点()2,4P 和直线l .210x y ++=（1）求经过点P 且与l 平行的直线方程；（2）求经过点P 且在两坐标轴上截距相等的直线方程.【正确答案】（1）280x y +-=；（2）2y x =或60x y +-=.【分析】（1）根据已知可设直线方程为20x y m ++=，代入点P 坐标求出m 的值即可得出直线的方程；（2）当直线在两坐标轴上截距都为0时，求出直线的斜率，得出直线的方程；当截距不为0时，可设直线方程为0x y n ++=，代入点P 坐标求出n 的值即可得出直线的方程.【小问1详解】设与直线l 平行的直线方程为20x y m ++=.因为直线经过点()2,4P ，所以2240m ⨯++=，解得8m =-.所以直线方程为280x y +-=.【小问2详解】当经过点(2,4)P 且在两坐标轴上截距都为0时，斜率40220k -==-，此时所求直线为2y x =；当经过点(2,4)P 且在两坐标轴上截距都不为0时，由已知可设直线方程为0x y n ++=，因为直线经过点()2,4P ，所以240n ++=，解得6n =-.所以直线方程为60x y +-=.综上所述，直线的方程为2y x =或60x y +-=.18.已知椭圆C 的中心在坐标原点，左焦点1F 和右焦点2F 都在x 轴上，长轴长为12，离心率为23.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点M 为椭圆C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，求点M 的坐标.【正确答案】（1）2213620x y +=（2）(【分析】（1）根据题意布列基本量的方程组，即可得到结果；（2）讨论两腰的位置，结合椭圆定义即可得到结果.【小问1详解】根据题意：21223a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得6a =，4c =.∴22220b a c =-=，∴椭圆C 的标准方程为2213620x y +=.【小问2详解】∵M 在第一象限，∴12MF MF >，当21228MF F F c ===时，1224MF a MF =-=与12MF MF >矛盾.所以11228MF F F c ===，即24MF =，设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又12142MF F S =⨯=，∴04y =0y =，∴220(15)13620x +=，解得03x =（03x =-舍去），∴M的坐标为(.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，2PD DA ==，1DC =，M 是BC 的中点，点Q 在PM 上，且2PQ QM =.（1）证明：DQ ⊥平面PAM ；（2）求平面PAM 与平面PDC 的夹角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）33.【分析】(1)利用坐标法或几何法利用线面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量计算面面角.【小问1详解】证明：由题PD⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，以D 为原点，直线DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -如图：则()2,0,0A ，()0,0,0D ，()0,1,0C ，()1,1,0M ，()002P ,,，222,,333Q ⎛⎫⎪⎝⎭，222,,333DQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()1,1,0AM =- ，()2,0,2AP =-，∵0DQ AM ⋅=∴DQ AM ⊥，∵0DQ AP ⋅=，∴⊥DQ AP ，∵AM AP A = ,且,AM AP ⊆平面PAM ，∴DQ ⊥平面PAM .（法二）证明：由题PD⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，以D 为原点，直线DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -如图：则()2,0,0A ，()0,0,0D ，()0,1,0C ，()1,1,0M ，()002P ,,，222,,333Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),,n x y z =是平面PAM 的一个法向量.()1,1,0AM =- ，()2,0,2AP =-..0.220n AM x y n AP x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩取1x =，有111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()1,1,1n =，222,,333DQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则23DQ n = ，DQ n ∥ .∴DQ ⊥平面PAM .（法三）证明：连接DM ∵PD⊥平面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ,∴PD AM ⊥.在AMD 中，2AM DM ==，2AD =.∵222AM DM AD +=，∴AM DM ⊥，且PD DM D ⋂=，∴AM ⊥平面PDM ，又∵DQ ⊂平面PDM ，∴AM DQ ⊥.∵23cos 36DMPDM PM∠===，又∵633cos 32QM DMQ DM ∠===，∴PDM DQM △△∽，∴DQ PM ⊥.且AM PM M = ，且,AM PM ⊆平面PAM ，∴DQ ⊥平面PAM .【小问2详解】（接向量法）由（1）可知平面PAM 的法向量为222,,333DQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭（也可为()1,1,1n =）.平面PCD 的一个法向量为()1,0,0m = .23cos ,3233m DQ m DQ m DQ⋅==⋅.∴平面PAM 与平面PDC 的夹角的余弦值为33.（法二）延长AM ，DC ，交于点N ，连接PN.∵N AM ∈，∴N ∈平面PAM ，∵N CD ∈，∴N ∈平面PCD .∴平面PAM ⋂平面PCD PN =.过D 做DT PN ⊥于T ，连接AT .∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AD ⊥.又AD CD ⊥，CD PD D = ，∴AD ⊥平面PCD ，又PN ⊂平面PCD ，∴⊥AD PN .又∵DT PN ⊥，DT AD D ⋂=，,DT AD ⊂平面ADT ,∴PN ^平面ADT ，∴PN AT ⊥，∴ATD ∠为二面角A PN D --的平面角.在Rt ATD △中，AT =，∴cos 3DTATD AT∠===.∴平面PAM 与平面PDC的夹角的余弦值为3.20.用0，1，2，3，L ，9这十个数字.（1）可组成多少个三位数？（2）可组成多少个无重复数字的三位数？（3）可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？【正确答案】（1）900；（2）648；（3）379.【分析】（1）根据题意，分别得出三位数各位的种数，根据分步乘法计数原理相乘即可得出结果；（2）根据题意，分别得出三位数各位的种数，根据分步乘法计数原理相乘即可得出结果；（3）根据题意，分成三种情况，分别计算得出各种情况的种数，根据分类加法计数原理相加即可得出结果.【小问1详解】要确定一个三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，百位不能为0，有9种选法；第二步，确定十位数，有10种选法；第三步，确定个位数，有10种选法.根据分步乘法计数原理，共有91010900⨯⨯=种.【小问2详解】要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，有9种选法；第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法.根据分步乘法计数原理，共有998648⨯⨯=个无重复数字的三位数.【小问3详解】由已知，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类，第一类，满足条件的一位自然数：有10个，第二类，满足条件的两位自然数：有9981⨯=个，第三类，满足条件的三位自然数：第一步，确定百位数，百位数字可取1，2，3，4，有4种选法；第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法.根据分步乘法计数原理，有498288⨯⨯=个.由分类加法计数原理知共有1081288379++=，共有379个小于500且无重复数字的自然数.21.平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒.（1）求线段1AC 的长；（2）若AB a =，AD b =，1AA c = ，用空间向量的一组基底{},,a b a b c +- 表示向量1A B uuu r .【正确答案】（16；（2）()()11122A B a b a b c =++--uuu r r r r r r.【分析】（1）易得11AC AB AD AA =++ ，根据向量数量积的运算律结合已知条件可求出216AC =uuu r ，即可得出结果；（2）设1()()A B x a b y a b zc =++-+uuu r r r r r r ()()x y a x y b zc =++-+r r r .由1A B a c =-uuu r r r 以及,,a b c 不共面，得出方程组，求解即可得出结果.【小问1详解】解：因为111AC AB BC CC AB AD AA =++=++，所以()2211AC AB AD AA =++ 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅ =111211cos60211cos60211cos606︒︒︒+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，所以16AC =所以线段1AC 6.【小问2详解】解.11A B AB AA a c=-=-uuu r uu u r uuu r r r 设1()()A B x a b y a b zc =++-+uuu r r r r r r，,,x y z ∈R ，则()()1A B x y a x y b zc =++-+uuu r r r r .因为,,a b c 不共面，所以有101x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩，解得12121x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩.所以()()11122A B a b a b c =++--uuu r r r r r r.22.已知直线l ：240x y -+=与圆C ：222280x y x y +++-=相交于A ，B 两点.（1）求圆心为()3,3D -，过A ，B 两点的圆D 的方程；（2）求经过点A 和点B 且面积最小的圆的方程.【正确答案】（1）()()223310x y ++-=；（2）22(2)(1)5++-=x y .【分析】（1）联立直线l 与圆C 的方程，求出交点(4,0)A -，(0,2)B .求出圆的半径，即可得出圆的方程；（2）当线段AB 为圆的一条直径时，面积最小.求出AB =AB 的中点，即可得出圆的方程.【小问1详解】解：联立直线l 与圆C 的方程222402280x y x y x y -+=⎧⎨+++-=⎩可得，220y y -=，解得10y =，22y =，代入直线方程可得14x =-，20x =，不妨设(4,0)A -，(0,2)B .又圆心为()3,3D -，则圆D 的r DA ===所以圆D 的方程为()()223310x y ++-=.【小问2详解】解：要使圆的面积最小，则应使半径最小.当线段AB 为圆的一条直径时，面积最小.AB ==，所以圆的半径12AB r ==又圆心即线段AB 的中点()2,1-，所以圆的方程为22(2)(1)5++-=x y .。

南宁三中2024~2025学年度上学期高二月考（二）数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B.C.D.2.复数，则的虚部为（ ）A.B. C. D.3.已知空间向量，且与垂直，则等于（ ）A.4B.1C.3D.24.“”是“直线与直线垂直”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若实数m 满足，则曲线与曲线的（ ）A.离心率相等B.焦距相等C.实轴长相等D.虚轴长相等6.已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（ ）A.2B.3C.4D.67.已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（ ）A.B.4C.6D.8.已知椭圆的左､右焦点分别为，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则的离心率为（）{}1,{22}A xx B x x =>=-<<∣∣()R A B ⋂=ð()2,1-(]2,1-(),2∞-(]1,2i 21iz -=+z 3i 23232-3i 2-()()3,2,5,1,,1a b x =-=- a bx 1m =()1:110l x m y +++=()2:110l m x my +--=05m <<221155x y m -=-221155x y m -=-2212:1,,94x y C F F +=P C 122PF PF -=12PF F 222x y -=12,F F P ()0,2Q 1PQ PF +()2222:10x y C a b a b+=>>12,F F ()11,P x y C 12PF F ()22,Q x y 12x =2x =CD.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.若，则直线的倾斜角为C.若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点D.直线的纵截距为10.已知点在抛物线上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（）A. B.点的坐标为C.直线与抛物线相切D.11.已知正方体棱长为4，点是底面正方形内及边界上的动点，点是棱上的动点（包括点），已知为中点，则下列结论正确的是（）A.无论在何位置，为异面直线B.若是棱中点，则点C.存在唯一的位置，使平面D.AP与平面所成角的正弦最大值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.两条平行直线与之间的距离是__________.13.若圆与圆相内切，则__________.14.已知双曲线的焦点分别为为双曲线上一点，若1-2()()1,3,1,3A B-AB90()1,245 ()3,42y kx=-2-()1,2A()220y px p=>()1,0Q-2p=F()2,0AQ AF AQ⊥1111ABCD A B C D-N ABCD M 1DD1,D D4,MN P=MN,M N1,AP CCM1DD P,M N1A P∥1AB C11A BCD121:68100l x y+-=2:6850l x y+-=221:(2)1C x y-+=222:460C x y x y m++++=m=()222210,0x ya ba b-=>>12,F F M､，则双曲线的渐近线方程为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）分别求出适合下列条件的方程：（1）已知抛物线的焦点为，且抛物线上一点到焦点的距离为5，求抛物线的方程；（2）已知圆C 的圆心在轴上，并且过原点和，求圆C 的方程.16.（15分）记的内角的对边分别为，且.（1）求角A ；（2）若，求的周长.17.（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18.（17分）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆的上顶点时，.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值.19.（17分）已知双曲线，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.（1）若离心率时，求的值；122π,3F MF OM ∠==()2:20C y px p =>F ()3,A m y ()ABC ,,A B C ,,a b c sin2sin b A a B =a ABC =ABC P ABCD -ABCD PAD CD ⊥,,,,PAD E F G O ,,,PC PD BC AD PO ⊥ABCD EFG ABCD ()2222:10x y E a b a b+=>>()()121,01,0,F F M -､E 12MF F E :l y kx m =+E ,P Q 22434k m +=OPQ O ()222Γ:1,0y x b b-=>12,A A ()2,0M -l Γ,P Q 2e =b（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标；（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围.2b MA P =P P OQ ΓR 121A R A P ⋅=b南宁三中2024~2025学年度上学期高二月考（二）数学试题参考答案题号1234567891011答案BBAABCDABCDACABD12.13. 14. 15.（1）因为抛物线上一点到焦点的距离为5，准线为，故，故抛物线标准方程为.（2）设圆C 方程：，由已知，解得，圆C 方程为.16.（1）因为，所以.根据正弦定理，得，因为，所以.又，所以1/0.5223-y x =()3,Am 2p x =-352p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭4p =28y x =()222()0x y b rr +-=>22222((3)b r b r⎧=⎪⎨+-=⎪⎩22b r =⎧⎨=⎩∴22(2)4x y +-=sin2sin b A a B =2sin cos sin b A A a B =2sin sin cos sin sin B A A A B =sin 0,sin 0B A ≠≠1cos 2A =()0,πA ∈π3A =（2）在中，由已知，因为由余弦定理可得，即，即，又，所以.所以的周长周长为17.（1）证明：是等边三角形，是的中点，，又平面平面，又平面平面平面.由（1）得平面，连接，建立以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示，底面是边长为4的正方形，则，，则，设平面的法向量为，则取平面的法向量为，又平面的法向量为，平面与平面的夹角的余弦值为ABC11sin 622ABC S bc A bc bc ===∴= π,3A a ==2222cos a b c bc A =+-217()222b c bc bc ⎛⎫=+--⋅ ⎪⎝⎭27()3b c bc =+-0,0b c >>5b c +=ABC 5PAD O AD PO AD ∴⊥CD ⊥,PAD PO ⊂,PAD CD PO ∴⊥,AD CD D AD ⋂=⊂,ABCD CD ⊂,ABCD PO ∴⊥ABCD PO ⊥ABCD OG O ,,AD OG OP x y z O xyz -ABCD ()()()()0,0,0,2,0,0,2,4,0,2,4,0O A B C -()()(((2,0,0,0,4,0,0,0,,1,,D G P E F ---()(0,2,0,1,2,FE EG == EFG (),,n x y z = 20,20,n FE y n EG x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ x =0,1,y z ==∴EFG )n = ABCD (0,0,OP =∴EFG ABCD.18.（1）根据题意，.在椭圆上顶点，此时.所以，则求椭圆的方程.（2）如图所示，设，联立直线与椭圆的方程得，.，又，因为点到直线的距离，所以.1cos ,2OP n OP n OP n ⋅<>===⋅ 1c =M E 121212MF F S F F MO b === 2224a b c =+=E 22143x y +=()()1122,,,P x y Q x y l E 22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2223484120k x kmx m +++-=()()()22222222Δ644344121924814448430k m k mk m k m =-+-=-+=-+>21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++2PQ x =-===O PQ d =22434k m +=22222211666322343442PQOm m m S PQ d k k m =⨯⨯=====++综上，的面积为定值.19.（1）由题意得，则.（2）当时，双曲线，其中，因为为等腰三角形，则①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；...②当以为底时，，设，则，联立解得或，因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；③当以为底时，，设，其中，则有，解得，即.综上所述：.（3）由题知，当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，则设直线，设点，根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知，联立有，显然二次项系数，其中，①②，OPQ 3221c ce a ===2,c b ===b=22Γ:183y x -=()()22,0,1,0M A -2MA P 2MA P 12x =-P 2A P 23MP MA ==(),P x y 2222318(2)9y x x y ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩2311x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2311x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩10x y =⎧⎨=⎩P 2MP MA >MP 223A P MA ==()00,P x y 000,0x y >>()2200220019183x y y x ⎧-+=⎪⎪⎨-=⎪⎪⎩002x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,P (2,P ()()121,0,1,0A A -l 120A R A P ⋅=0l k ≠:2l x my =-()()1122,,,P x y Q x y OQ ΓR ()22,R x y --()22222222214301x my b m y b my b y x b =-⎧⎪⇒--+=⎨-=⎪⎩2210b m -≠()()22222422Δ44134120mb b m b b m b =---=+>2122241b m y y b m +=-2122231b y y b m =-()()1222111,,1,A R x y A P x y =-+-=-则，因为在直线上，则，即，即，将①②代入有即，化简得所以，代入到，得，所以，且，解得，又因为，则，综上知，.()()122112111A R A P x xy y ⋅=-+--=()()1122,,,P x y Q x y l 11222,2x my x my =-=-()()2112331my my y y ----=()()2121213100y y m y y m +-++=()22222223413100,11b b mm m b m b m +⋅-⋅+=--()()2222231341010bmm b m b m +-⋅+-=2223100b m b +-=22103m b=-2210b m -≠21031b -≠23b ≠221030m b =-≥2103b ≤0b >21003b <≤()(2100,33,,3b b ⎛⎤∈⋃∴∈⋃ ⎥⎝⎦。

2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试 注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1. 已知集合，，则（）{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B =A B = A.B.C.D.{}2,1-{}2,1,2-{}0,3{}2,0,1,2,3-2.在复平面内对应的点位于（ ）2(2i)4z =+-A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（ ）A. 5、10、15B. 3、9、18C. 3、10、17D. 5、9、164. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 95. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A. B. C. D. 132312256. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）a b 1a =2b = 60a b = ,2a b- A. C. D. 1247. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ）()1,2,3m =n //m n u r r7⋅= m n n A. B.13,1,22⎛⎫⎪⎝⎭13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C. D. 31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭31,1,22⎛⎫⎪⎝⎭8. 已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）1B D 11AB D二、多选题9. 设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（ ）,A B A. 若A 和互斥，则A 和一定相互独立B B B. 若事件，则A B ⊆()()P A P B ≤C. 若A 和相互独立，则A 和一定不互斥B B D.不一定成立()()()P A B P A P B<+10.如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平,,,,A B C M N //MN 面的是（）ABC A .B.C. D.11. 如图，在平行四边形ABCD 中，，，，沿对角线BD 将△ABD 1AB =2AD =60A ∠=︒折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A .平面PCD ⊥平面PBDB. 三棱锥外接球的表面积为P BCD -10πC. PD 与平面PBCD. 若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分1413别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．13. 已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A 到直线的距1111ABCD A B C D -2E 11A B BE 离是__________．14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD ，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），2PA AB ==,E F ,CD CP T PAB 若平面，则点的轨迹的长度为__________.CT ∥AEF T 四、解答题15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽[)80,90[]90,100样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的A =测试成绩分别位于和”，求.[)80,90[]90,100()P A 16. 在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .17. 已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．18. 如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点在底面圆周上，为垂足.E ,AF DE F ⊥（1）求证.AF DB⊥（2）当直线与平面所成角的正切值为2时，DE ABE ①求平面与平面夹角的余弦值；EDC DCB ②求点到平面的距离.B CDE 19. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，ABCD AB CD ∥90D Ð=°ABCE 并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，60BCE ∠=︒BE BCE C 1C 1AC =如图2.（1）求证：平面平面；1BC E ⊥ABED （2）在棱上是否存在点，使得到平面，若存在，则的1DC P P 1ABC 1DP PC 值；（3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值.EP 1ABC2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试 注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1. 已知集合，，则（）{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B =A B = A .B.C.D.{}2,1-{}2,1,2-{}0,3{}2,0,1,2,3-【正确答案】C【分析】运用交集性质即可得.【详解】由，，则.{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B ={}0,3A B ⋂=故选：C.2.在复平面内对应的点位于（ ）2(2i)4z =+-A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【正确答案】B【分析】将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.【详解】，2(2i)414i z =+-=-+则在复平面内对应的点位于第二象限，z 故选：B.3. 某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（ ）A. 5、10、15B. 3、9、18C. 3、10、17D. 5、9、16【正确答案】B【分析】利用分层抽样的定义求出对应人数，得到答案.【详解】抽取的高级职称人数为，中级职称人数为，一般职员的15303150⨯=45309150⨯=人数为，903018150⨯=故抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为3、9、18.故选：B4. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（ ）A .6B. 7C. 8D. 9【正确答案】C【分析】借助百分位数定义计算即可得.【详解】由，故这组数据的中位数为.60.53⨯=7982+=故选：C.5. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A. B. C. D. 13231225【正确答案】D【分析】应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】任取2个不同数可能有、、、、、、、(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)、、，共10种情况，(3,4)(3,5)(4,5)其中和为偶数的情况有、、、，共4种情况，(1,3)(1,5)(2,4)(3,5)所以取到的2个数之和为偶数的概率为.42105=故选：D6. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）a b 1a =2b = 60a b = ,2a b- A. C. D. 124【正确答案】C【分析】根据向量的模长公式即可求解.【详解】因为2222222(2)4444cos a b a b a a b b a a b a b b-=-=-⋅+=-+ ,，所以．14412442=-⨯⨯⨯+=22a b -= 故选:C7. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ）()1,2,3m =n //m n u r r7⋅= m n n A. B.13,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C.D. 31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭31,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.【详解】∵，且空间向量满足，()1,2,3m =n //m n u r r ∴可设，(),2,3n m λλλλ==又，∴，得．7⋅= m n 1233147λλλλ⨯+⨯+⨯==12λ=∴，故A 正确.113,1,222n m ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 故选：A.8. 已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1，则直线与平面所成角的余弦值为（）1B D 11AB D【正确答案】A【分析】先由等面积法求得的长，再以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1AA 1A ，运用线面角的向量求解方法可得答案．1A xyz -【详解】如图，连接交于点，过点作于，11AC 11BD O C CH AO ⊥H 则平面，则，CH ⊥11ABD CH =设，1AA a =则，AO CO AC ===则根据三角形面积得，1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯代入解得．a=以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．1A 1A xyz -则，1111(2,0,0),(0,2,0),(0,2,(2,0,A B D D AD AB =-=-，1(2,2,B D =-设平面的法向量为，，，11AB D (n x =y )z则，即，令，得．1100n AD n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩2020y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩x=n =，111cos ,||||B D n B D n B D n ⋅〈〉==所以直线与平面1B D 1111D C B A 故选：．A二、多选题9. 设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（ ）,A B A. 若A 和互斥，则A 和一定相互独立B B B. 若事件，则A B ⊆()()P A P B ≤C. 若A 和相互独立，则A 和一定不互斥B B D.不一定成立()()()P A B P A P B <+ 【正确答案】BC【分析】对于AC ：根据互斥事件和独立事件分析判断即可；对于B ：根据事件间关系分析判断即可；对于D ：举反例说明即可.【详解】由题意可知：，()()0,0P A P B >>对于选项A ：若A 和互斥，则，B ()0P AB =显然，所以A 和一定不相互独立，故A 错误；()()()P AB P A P B ≠B 对于选项B ：若事件，则，故B 正确；A B ⊆()()P A P B ≤对于选项C ：若A 和相互独立，则，B ()()()0P AB P A P B =>所以A 和一定不互斥，故C 正确；B 对于选项D ：因为，()()()()P A B P A P B P AB =+- 若A 和互斥，则，则，故D 错误；B ()0P AB =()()()P A B P A P B =+ 故选：BC.10.如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平,,,,A B C M N //MN 面的是（）ABCA. B.C.D.【正确答案】ACD【分析】结合题目条件，根据线面平行的判断定理，构造线线平行，证明线面平行.【详解】对A ：如图：连接，因为为正方体棱的中点，所以，又，所以，EF ,M N //MN EF //EF AC //MN AC 平面，平面，所以平面.故A 正确；AC ⊂ABC MN ⊄ABC //MN ABC对B ：如图：因为是正方体棱的中点，所以，，，,,,,A B C M N //MN GH //BC EF //GH EF 所以，//BC MN 同理：，.//AB DN //AM CD 所以5点共面，所以平面不成立.故B 错误；,,,,A B C M N //MN ABC 对C ：如图：因为是正方体棱的中点，所以，，所以.,B C //BC EF //MN EF //BC MN 平面，平面，所以平面.故C 正确；⊂BC ABC MN ⊄ABC //MN ABC 对D ：如图：因为为正方体棱的中点，连接交于，连接，,.B C M ME AC F BF 则为的中位线，所以，BF MNE //BF MN 平面，平面，所以平面.故D 正确.BF ⊂ABC MN ⊄ABC //MN ABC故选：ACD11. 如图，在平行四边形ABCD 中，，，，沿对角线BD 将△ABD 1AB =2AD =60A ∠=︒折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A. 平面PCD ⊥平面PBDB. 三棱锥外接球的表面积为P BCD -10πC. PD 与平面PBCD. 若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM【正确答案】ACD【分析】结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验A,根据外接球的球心位置即可结合三角形的边角关系求解半径，可判断B,结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验．CD 【详解】中，，，，BCD △1CD =2BC =60A ∠=︒所以，故，所以，BD =222BD CD BC +=BD CD ⊥因为平面平面,且平面平面，又，平面PBD ⊥BCD PBD BCD BD =BD CD ⊥CD ⊂BCD所以平面，平面,所以平面平面，故A 正确；CD ⊥PBD CD ⊂PCD PCD ⊥BPD 取的中点为,中点为,过作,由平面平面,BC N PB Q N 12ON //PB,ON PB=PBD ⊥BCD 且平面平面，又,平面,故平面,因此PBD BCD BD =BD PB ⊥PB ⊂PBD PB ⊥BCD 平面,由于为直角三角形，且为斜边中点，所以,又ON ⊥BCD BCD △N OB OC OD ==,所以,因此,因此为三棱锥12ON //PB,ON PB=QB ON ,BQ //ON =OP OB =O外接球的球心，且半径为,故球的表面积为P BCD-OB ，故B 错误，54π=5π4´以为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则，D B 0，，，1，，0，，0)(0C 0)P 1)因为，0，，，1，，,(0BP = 1)(BC =0))01DP ,= 设平面的法向量为，PBC (),,mx y z =所以，取0000zm BP y m BC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩x =)30m ,= 所以，故PD 与平面PBC，故cos ,||||m DP m DP m DP⋅<>===C 正确，因为在线段上，设，0，，则，0，，MPD M )a MB =-)a -所以点到的距离，M BCd ===当时，，此时面积取得最小值，D 正37a =d MBC ∆12BC =确．故选：ACD ．第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分1413别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．【正确答案】112【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解．【详解】从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，1413现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率．1114312P =⨯=故．11213. 已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A 到直线的距1111ABCD A B C D -2E 11A B BE 离是__________．【分析】以D 为原点，以的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标1,,DA DC DD系，利用点到直线的向量公式可得.【详解】以D 为原点，以的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标1,,DA DC DD 系.则，()()()2,0,0,2,2,0,2,1,2A B E 所以，()()0,2,0,0,1,2BA BE =-=-记与同向的单位向量为，则，BE u0,u ⎛= ⎝所以，点A 到直线BE 的距离.d ===14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD ，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），2PA AB ==,E F ,CD CP T PAB 若平面，则点的轨迹的长度为__________.CT ∥AEF T【分析】记的中点为，点的轨迹与交于点，则平面平面，建AB G T PB H //CHG AEF 立空间直角坐标系，利用垂直于平面，的法向量确定点的位置，利用向量即可CHAEF H 得解.【详解】由题知，两两垂直，,,AB AD AP 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，A ,,AB AD AP ,,x y z 记的中点为，连接，AB G CG因为为正方形，为中点，所以，且，ABCD E CD //AG CE AG CE =所以为平行四边形，所以，AGCE //CG AE 又平面，平面，所以平面，CG ⊄AEF AE ⊂AEF //CG AEF 记点的轨迹与交于点，由题知平面，T PB H //CH AEF 因为是平面内的相交直线，所以平面平面，,CH CG CHG //CHG AEF 所以即为点的轨迹，GH T 因为，()()()()()()0,0,0,1,2,0,1,1,1,2,2,0,0,0,2,2,0,0A E F C P B 所以，()()()()2,0,2,2,2,2,1,2,0,1,1,1PB CP AE AF =-=--==设，PH PB λ= 则，()()()2,2,22,0,222,2,22CH CP PH CP PB λλλλ=+=+=--+-=---设为平面的法向量，(),,n x y z =AEF 则，令得，200AE n x y AF n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 1y =()2,1,1n =-因为，所以，CH n ⊥()2222220λλ---+-=解得，则，又23λ=22,2,33CH ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ()1,2,0GC AE == 所以，()22121,2,0,2,,0,3333GH GC CH ⎛⎫⎛⎫=+=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以.12,0,33GH ⎛⎫===⎪⎝⎭关键点睛：本题关键在于利用向量垂直确定点的轨迹与的交点位置，然后利用向量运T PB 算求解即可.四、解答题15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽[)80,90[]90,100样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的A =测试成绩分别位于和”，求.[)80,90[]90,100()P A 【正确答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79；（2）.()35P A =【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数；（2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于和的人数，按照古典概型计算即[)80,90[]90,100可.【小问1详解】由频率分布直方图可知测试成绩的平均数.450.04550.06650.2750.3850.24950.1676.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=测试成绩落在区间的频率为，[)40,70()0.0040.0060.02100.3++⨯=落在区间的频率为，[)40,80()0.0040.0060.020.03100.6+++⨯=所以设第57百分位数为a ，有，()0.3700.030.57a +-⨯=解得；79a =【小问2详解】由题知，测试分数位于区间、的人数之比为，[)80,90[)90,1000.2430.162=所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间中3人，用，，表示，在区间[)80,901A 2A 3A 中2人，用，表示，[)90,1001B 2B 从这5人中抽取2人的所有可能情况有：，，，，，，，，()12,A A ()13,A A ()11,A B ()12,A B ()23,A A ()21,A B ()22,A B ()31A B ，，共10种，()32,A B ()12,B B 其中“分别落在区间和”有6种，[)80,90[)90,100所以.()35P A =16. 在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .【正确答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面.1B D ⊥ABD （2）利用向量法证得平面平面.//EGF ABD 【小问1详解】以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，BA BD1B D ·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .1B D BA 1B D BD又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .【小问2详解】由(1)知，E (0,0,3)，G ，F (0,1,4)，则＝，＝(0,1,1)，,1,42a ⎛⎫ ⎪⎝⎭EG u u u r ,1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭EF·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .1B D EG u u u r 1B D EF又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF . 结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .17. 已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．【正确答案】（1）0.72（2）0.98【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式即可求出答案.（2）利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式即可求得答案.【小问1详解】因为甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立，设事件A 表示甲命中，事件B 表示乙命中，则,()0.8P A =()0.9P B =所以甲、乙两人同时命中目标的概率,()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=【小问2详解】甲乙两人中至少有1人命中目标的对立事件是甲、乙都没击中目标，甲、乙都没击中目标的概率,()()()()()10.810.90.02P AB P A P B ==--=所以甲乙两人中至少有1人命中目标的概率为：()()110.020.98P A B P AB =-=-= 18. 如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点在底面圆周上，为垂足.E ,AF DE F ⊥（1）求证.AF DB⊥（2）当直线与平面所成角的正切值为2时，DE ABE ①求平面与平面夹角的余弦值；EDC DCB ②求点到平面的距离.B CDE 【正确答案】（1）证明见解析（2）；【分析】（1）利用线面垂直得到平面，进而证明即可.AF ⊥BED AF DB ⊥（2）①建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法处理即可.②利用点到平面的距离公式求解即可.【小问1详解】由题意可知底面平面，故，DA ⊥,ABE BE ⊂ABE BE DA ⊥又平面，,,,BE AE AE DE E AE DE ⊥⋂=⊂AED 故平面，由平面，得，BE ⊥AED AF ⊂AED AF BE ⊥又平面，,,,AF DE BE DE E BE DE ⊥⋂=⊂BED 故平面，由平面，可得.AF ⊥BED DB ⊂BED AF DB ⊥【小问2详解】①由题意，以为原点，A 分别以AB ，AD 所在直线为轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，y z并设AD 的长度为2，则，(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)A B C D 因为平面，所以就是直线DE 与平面所成的角，DA ⊥ABE DEA ∠ABE 所以，所以，tan 2DA DEA AE ∠==1AE =所以1,02E ⎫⎪⎪⎭由以上可得，1(0,2,0),,22DC DE ⎫==-⎪⎪⎭ 设平面的法向量为，EDC (,,)n x y z = 则即0,0,n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩20,120,2y x y z =⎧+-=取，得.4x=n = 又是平面的一个法向量，设平面与平面夹角的大小为，(1,0,0)m = BCD EDC DCB θ所以，cos cos m θ= 所以平面与平面.EDC DCB②因为，3,02BE ⎫=-⎪⎪⎭ 所以点到平面的距离.BCDE d 19. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，ABCD AB CD ∥90D Ð=°ABCE并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，60BCE ∠=︒BE BCE C 1C 1AC =如图2.（1）求证：平面平面；1BC E ⊥ABED （2）在棱上是否存在点，使得到平面，若存在，则的1DC P P 1ABC 1DP PC 值；（3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值.EP 1ABC 【正确答案】（1）证明见详解（2）存在，11DP PC =（3【分析】（1）作出辅助线，得到⊥BE ，⊥BE ，且，由勾股定理逆AF 1C F 1AF C F ==定理求出AF ⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直；1C F （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求解出点P 的坐标，1ABC （3）根据（2）可得，利用空间向量求线面夹角.12EP =u u r 【小问1详解】取BE 的中点F ，连接AF ，，1C F因为四边形ABCE 是边长为4的菱形，并且，60BCE ∠=︒所以均为等边三角形，1,ABE BEC故⊥BE ，⊥BE ，且，AF 1C F 1AF C F ==因为，所以，1AC =22211AF C F AC +=由勾股定理逆定理得：AF ⊥，1C F 又因为，平面ABE ，AF BE F ⋂=,AF BE ⊂所以⊥平面ABED ，1C F 因为平面，1C F ⊂1BEC 所以平面平面ABED ；1BC E ⊥【小问2详解】以F 为坐标原点，FA 所在直线为x 轴，FB 所在直线为y 轴，所在直线为z 轴，建立空1FC 间直角坐标系，则，()()()()()10,0,0,,0,2,0,0,0,,3,0,0,2,0F A B C D E --设，，，(),,P m n t 1DP DC λ= []0,1λ∈即，解得：，()(3,m n t λ-+=,33,m n t λ==-=故，),33,P λ-设平面的法向量为，1ABC (),,v x y z = 则，则，()(12,0,AB AC =-=-1200v AB y v AC ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令，则，故，1x=1y z ==()v =其中1,33,C P λ=-- 则，d 解得：或（舍去），12λ=32所以否存在点，使得到平面，此时.P P 1ABC 11DP PC =【小问3详解】由（2）可得：，()310,2,022EP =---= 设直线与平面所成角为，EP 1ABC θ则，sin cos ,EP θ=所以直线与平面EP 1ABC。

广西南宁市第二中学2024--2025学年上学期九年级10月月考数学试卷一、单选题1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下面图形中的角，是圆周角的是（）A． B．C．D．3．5G是第五代移动通信技术的简称，是最新一代蜂窝移动通信技术，它将带领人类进入新智能时代，5G网络以每秒1048576KB以上的速度传输数据，将数据“1048576”用科学记数法表示为（）A．5⨯1.04857610⨯B．510.4857610C．6⨯1.048576101.04857610⨯D．74．如图，小明从A入口进入博物馆参观，参观后可从B，C，D三个出口走出，他恰好从C 出口走出的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．235．在一元二次方程2230x x --=中，常数项是（ ） A ．3B ．2-C ．3-D ．06．如图，CD 是O e 的直径，点A 、B 在O e 上．若»»AC BC=，36AOC ∠=o ，则D ∠=（ ）A ．9oB ．18oC ．36oD ．45o7．关于二次函数2(2)6y x =-+的图象，下列结论不正确的是（ ） A ．开口向上B ．对称轴是2x =C ．与y 轴交于点()0,6D ．当2x <时，y 随x 的增大而减小8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，20ABD ∠=o ，则BCD ∠的度数是（ ）A ．90°B ．100°C ．110°D ．120°9．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A ．()22001242x += B ．()22001242x -= C ．()20012242x +=D ．()20012242x -=10．苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的六边形（正六边形），图2是其平面示意图，则1∠的度数为（ ）A ．130︒B ．120︒C ．110︒D ．60︒11．如图，在正方形ABCD 的边CD 上有一点E ，连接AE ，把AE 绕点E 逆时针旋转90︒，得到FE ，连接CF 并延长与AB 的延长线交于点G ．则FGCE的值为（ ）AB C D 12．如图，抛物线21462y x x =-+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，线段CD 在抛物线的对称轴上移动（点C 在点D 下方），且3CD =．当A D B C +的值最小时，点C 的坐标是（ ）A ．()8,6B ．()8,3C ．()4,2-D ．()4,1二、填空题13．在平面直角坐标系中，若点()2,1P -与点()2,Q m -关于原点对称，则m 的值是．14x 的取值范围是 ． 15．圆弧的半径为2，弧所对的圆心角为120°，则该弧的长度为．16．如图：一把折扇的骨架长是30厘米，扇面宽为20厘米，完全展开时圆心角为135°，扇面的面积为平方厘米．17．如图，O e 的直径AB =AM ，BN 分别是它的两条切线，DE 与O e 相切于点E ，并与AM ，BN 分别交于D ，C 两点，AD x =，BC y =，则y 关于x 的函数表达式为．18．第二十四届国际数学家大会会微的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直角三角形()DAE ABF BCG CDH V V V V ，，，和中间一个小正方形EFGH 拼成的大正方形ABCD 中，连接BE ．若EBF △的内切圆半径为1，小正方形EFGH 的面积为16，则大正方形ABCD 的面积为．三、解答题19．计算：()()()22934-+÷-⨯-． 20．解方程：x 2+10x +9＝0．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC V 的三个顶点分别为()3,4A -，()5,1B -，()1,2C -．(1)画出ABC V 关于原点对称的111A B C △，并写出点1A 的坐标；(2)画出ABC V 绕原点逆时针旋转90°后的222A B C △，并写出点2C 的坐标．22．如图，某校食堂实行统一配餐，为方便学生取餐，食堂开设了4个窗口，分别记为①、②、③、④，学生可以从这4个窗口中任意选取一个窗口取餐．(1)若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是________； (2)若小红和小丽-起去食堂用餐时4个窗口都没有人，求小红和小丽在相邻窗口取餐的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）23．每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x 元，每天的销售利润为y 元． (1)求y 与x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 24．【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带．步骤1：如图1，将一个底面半径为r 的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l 、圆心角为n ︒的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，(1)现在需要制作一个10cm r =，30cm l =的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；(2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A 处开始，绕侧面一周又回到点A 的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 25．如图，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴正半轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B （0，3）直线l 的函数表达式为6y x =-+， （1）求抛物线的函数表达式；（2）动点P 在抛物线AB 段上运动，经过点P 作y 轴的平行线交直线l 于点Q ，求线段PQ 的取值范围．26．定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点．(1)如图1，AB AC ，是O e 的等垂弦，OD AB OE AC ⊥⊥，，垂足分别为D ，E ．求证：四边形ADOE 是正方形；(2)如图2，AB 是O e 的弦，作OD OA OC OB ⊥⊥，，分别交O e 于D ，C 两点，连接CD ．求证：AB ，CD 是O e 的等垂弦；(3)已知O e 的半径为10，AB ，CD 是O e 的等垂弦，P 为等垂点．若3=AP BP ，求AB 的长．。

江西省2024—2024学年高二数学12月统一调研测试留意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标为A ( -1,0) B. C.( 0,-1)2.过点(2.3)且一个方向向量为(1，-1)的直线方程为A.x+y-5=0B.x+y-1 =0C.x-y+1 =0B.x-y-5=03.已知点P为△ABC所在平面内一点，O为平面ABC外一点，若则m+n的值为A.1B.- 1C.2D.-24.为了深化贯彻党中心“动态清零”的疫情防控要求，更好地开展常态化疫情防控核酸检测服务工作，现选派5名党员志愿者参与星期一至星期五(每人一天)的值日，帮助免费采样工作.依据大家的时间支配，志愿者中的A必需排在B前面值日，则不同的支配方法种数为A.36B.60C.118D.1205.已知圆0₁:x²+y²=4和圆O₂:( x-1)²+( y+1)²=a的公共弦所在直线经过原点，则实数a 的值为A.6B.4C.-6D.-46.已知直线l:xsin α+y cosα=2(α∈R)与圆O:x²+y²=16相交于A，B两点，则△AOB的面积为A.2C.4.13D与α有关的不确定值7.如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,.AB=BC =2AA₁ ,当时,有D₁P∥平面BDC₁,则实数λ的值为A.1B.2C.38.已知点点P为圆上一点,则PA|-|PB|的最小值为A.2B.4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知平面α的一个法向量为m=(3,x,-x),平面β的一个法向量为n=(2,x,5),若α⊥β,则实数x的值可能为A.1B.2C.3D.410.对于曲线下列说法正确的有A.曲线C不行能是圆B.曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线C.若k>8,则曲线C为椭圆D.若曲线C为双曲线,则211.已知空间四边形OABC的各边及对角线AC，OB的长度均相等，E，F分别为OA，BC的中点，则12.如图,椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，且AB⊥BF，则C的离心率为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线x+ my-2=0在两坐标轴上的截距相等,则实数m的值为.14.已知双曲线的焦距为4，焦点到C的一条渐近线的距离为1，则C的渐近线方程为15.设n∈N⁺,且能被6整除，则n的值可以为.(写出一个满意条件的n的值即可)16.“双减”政策实施以来，各地中小学纷纷开展丰富的课后活动.某校主动开展各种棋类益智活动，某项单人跳棋嬉戏的规则如下：如图所示，棋子的初始位置为①处，玩家每掷出一枚骰子，朝上一面的点数即为棋子沿棋盘实线顺时针方向前进的格子数，即玩家掷出的点数为。

2026届高二数学秋季月考卷第一期考试范围：大部分学校已经学习过的内容：考试时间：120分钟：满分：150分注意事项：1.答题前填写好自已的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知向量()2,4a =，()1,1b =− ，则2a b −=A. ()5,7B. ()5,9C. ()3,7D. ()3,9【答案】A 【解析】【详解】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b −=−−=（5，7），故选A. 考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.2. 已知直线12:320,:310l x y l x ay −+=−−=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A. 1 B.12C. 12−D. 1−【答案】D 【解析】【分析】对a 进行分类讨论，代入121k k =− 求解即可.【详解】当0a =时，直线1:320l x y −+=的斜率113k =， 直线2:310l x ay −−=的斜率不存在，此时两条直线不垂直； 当0a ≠时，直线1:320l x y −+=的斜率113k =， 直线2:310l x ay −−=的斜率23k a=，因为12l l ⊥，所以121k k =− ， 所以13113a a×==−，解得：1a =−. 故选：D.3. 已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ） A. (),20−∞ B. (),5−∞C. ()5,+∞D. ()20,+∞【答案】B 【解析】分析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数m 的不等式，解出即可.【详解】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +−>，解得5m <. 因此，实数m 的取值范围是(),5−∞. 故选：B.【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.4. 设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A. 若a b ，与α所成的角相等，则aa ∥bb B. 若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则aa ∥bb C. 若a b a b αβ⊂⊂ ，，，则αβ∥ D. 若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥【答案】D 【解析】【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误； 故选D.5. 直线3y kx =+与圆()()22324x y −+−=相交于M 、N两点，若MN =，则k 等于（ ）A. 0B. 23−C. 23−或0 D. 34−或0 【【答案】D 【解析】【分析】求出MN 到圆心的距离和圆心 (3,2) 到直线 3y kx =+ 的距离，即可求出k 的值. 【详解】由题意，∵MN =，∴MN 到圆心的距离为1=，∴圆心 (3,2) 到直线 3y kx =+ 的距离为：1=，即229611k k k ++=+.解得：0k =或34−， 故选：D.6. 过点()1,3P 作直线l ，若l 经过点(),0A a 和()0,B b ，且,a b 均为正整数，则这样的直线l 可以作出（ ）， A. 1条 B. 2条C. 3条D. 无数条【答案】B 【解析】【分析】假设直线截距式方程，代入已知点坐标可得,a b 之间关系，根据,a b 为正整数可分析得到结果. 【详解】,a b 均为正整数，∴可设直线:1x yl a b+=， 将()1,3P 代入直线方程得：131a b+=， 当3b =时，10a =，方程无解，3331333b b a b b b −+∴===+−−−， a ∗∈N ，303b ≠−，33b ∗∴∈−N ，31b ∴−=或33b −=，44b a = ∴ =或62b a = = ，即满足题意的直线l 方程有2条.故选：B.7. 已知长方体1111ABCD A B C D −中，12AA AB ==，若棱AB 上存在点P ，使得1D P PC ⊥，则AD 的取值范围是（ ）A [)1,2B. (C. (]0,1D. ()0,2【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设AD a =，求出1D P 、CP，利用10D P CP ⋅= ，求出a 的范围．【详解】解：如图建立坐标系，设(0)ADa a =>，(02)AP x x =<<， 则(),,2P a x ，()0,2,2C ，()10,0,0D ，∴()1,,2D P a x = ，(),2,0CP a x =−，1D P PC ⊥ ，∴10D P CP ⋅=，即2(2)0a x x +−=，所以a ， 当02x <<时，所以(]2(1)10,1x −−+∈，所以(]0,1a ∈．故选：C ．8. 已知点P 在直线3y x =−−上运动，M 是圆221x y +=上的动点，N 是圆22(9)(2)16x y −+−=上的动点，则PM PN +的最小值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 8【答案】D 【解析】【分析】根据圆的性质可得5PM PN PO PC +≥+−，故求PM PN +的最小值，转化为求.PC PO +的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.【详解】如图所示，圆22(9)(2)16x y −+−=的圆心为()9,2C ，半径为4， 圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，可知44,11PC PN PC PO PM PO −≤≤+−≤≤+， 所以5PM PN PO PC +≥+−，故求PM PN +的最小值，转化为求PC PO +的最小值，设()0,0O 关于直线3y x =−−的对称点为G ，设G 坐标为(),m n ， 则1322nmn m ==−− ，解得33m n =− =− ，故()3,3G −−， 因为PO PG =，可得13PO PC PG PC GC +=+≥=，当,,P G C 三点共线时，等号成立， 所以PM PN +的最小值为1358−=. 故选：D.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9. 三条直线0x y +=，0x y −=，3x ay +=构成三角形，则a 的值不能为（ ） A. 1 B. 2 C. 1− D. －2【答案】AC【解析】【分析】由三条直线可构成三角形可知，直线3x ay +=不经过两条直线的交点，且与两条直线任意一条不平行.【详解】直线0x y +=与0x y −=都经过原点，而无论a 为何值，直线3x ay +=总不经过原点， 因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线3x ay +=与另两条直线不平行， 所以1a ≠±． 故选：AC.10. 正方体1111ABCD A B C D −中，下列结论正确的是（ ） A. 直线1AD 与直线11A C 所成角为3πB. 直线1AD 与平面ABCD 所成角为3πC. 二面角1D AB D −−的大小为4πD. 平面11AB D ⊥平面11B D C【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：先判断出1AD 与11A C 所成角即为1AC B ,利用1ABC 为正三角形，即可判断； 选项B ：1AD 与平面ABCD 所成角为14DAD π∠=，即可判断；选项C ：二面角1D AB D −−的平面角为14DAD π∠=，即可判断； 选项D ：设1111D B AC O = ，连结,,AO CO AC ，可以判断出AOC ∠即为二面角11A B D C −−的平面角.在三角形ACO 中，求出各边长，可以判断出90AOC ∠≠°，即可判断.【详解】选项A ：先判断出1AD 与11A C 所成角即为1BC 与11A C 所成角，1ABC 为正三角形，所以该角为3π；故A正确.选项B ：1AD 与平面ABCD 所成角为14DAD π∠=；故B 错误.选项C ：二面角1D AB D −−的平面角为14DAD π∠=；故C 正确. 选项D ：设1111D B AC O = ，连结,,AO CO AC ，因为11AD AB =，所以11AO B D ⊥. 同理可证：11CO B D ⊥,所以AOC ∠即为二面角11A B D C −−的平面角。

2024-2025学年天立教育高二数学第一学期期中测试卷本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列关于函数()f x 的图象中，可以直观判断方程()20f x -=在(0)∞－，上有解的是A. B. C. D.2.要得到函数π2sin(24y x =+的图象，只需将函数2sin y x =的图象上所有点（）A.向左平移8π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）B.向左平移4π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）C.向左平移8π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）D.向左平移4π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）3.“2a b +<-，且1ab >”是“1a <-，且1b <-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有7名评委给选手评分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生均参与网络评分．某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如下图所示：评委序号①②③④⑤⑥⑦评分108989109记现场评委评分的平均分为1x ，网络评分的平均分为2x ，所有评委与场外学生评分的平均数为x ，那么下列选项正确的是（）A.122x x x +< B.122x x x +=C.122x x x +>D.x 与122x x +关系不确定5.已知函数()2xf x x =-，方程()()=f x f x -有三个解123,,x x x ，则()123f x x x ++=（）A.0B.1C.2D.36.若0.6a =，sin 0.6b =，tan 0.6c =，则（）A.c a b>> B.a b c>> C.a c b>> D.b c a >>7.如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且B ，C ，D 三点共线，则下列结论不．成立．．的是（）A.CD =B.0CA CE ⋅=C.AB与DE共线D.CA CB CE CD⋅=⋅8.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1BB 的中点，平面1A DM 将该正方体分成两部分，其体积分别为1V ，2V ，()12V V <，则12V V =（）A.519B.13C.717D.12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.若a b >，则11a b< B.若0a b <<，则22a b >C.若22ac bc >，则a b> D.若4ab =，则4a b +≥10.甲乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床的正品率是0.8，乙机床的正品率为0.9，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则（）A.两件都是次品的概率为0.02B.事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”是互斥事件C.恰有一件正品的概率为0.26D.事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件11.如图，点M 是正方体1111ABCD A B C D -中的线段1A D 上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.存在点M ，使//CM 平面11A BCB.点M 存在无数个位置满足1CM AD ⊥C.若正方体的棱长为1，三棱锥1B C MD -的体积最大值13D.存在点M ，使异面直线1C M 与AB 所成的角是30o 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.圆锥和圆柱的底面半径、高都是R ，则圆锥的表面积和圆柱的表面积之比为_______．13.若实数,x y 满足22x y +=，则224x y +的最小值为______；24x y +的最小值为________．14.函数()2221f x ax x a =+-+在[1，3]上有且只有一个零点，则a 的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求值：（1）4839(log 3log 3)(log 2log 2)++；（2）31log 529-.16.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是11,DD BD BB ，的中点，（1）求证：EF CF ⊥;（2）求点G 到平面EFC 的距离.17.心理学研究表明，学生在课堂上各时段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x 分钟时，学生的接受能力为()f x （()f x 值越大，表示接受能力越强），f x （）与x 的函数关系为：()20.1 2.644,01060,10153105,152530,2540x x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎪<≤⎩．（1）上课开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？（2）若一个数学难题，需要56及以上的接受能力（即()56f x ≥）以及12分钟时间才能讲述完，则老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 2的正方形，PA BD ⊥．（1）求证：=PB PD ；（2）若,E F 分别为,PC AB 的中点，⊥EF 平面PCD ，求直线PB 与平面PCD所成角的大小．19.已知函数2()(2)2f x ax a x =-++，(R)a ∈.（1）当2a =-时，()ln ()g x f x =，则不等式()(21)g x g x <-的解集；（2）若存在0m >使关于x 的方程1(||)1f x m m=++有四个不同的实根，求实数a 的取值范围天立教育2024-2025学年高二第一学期期中测试数学试卷（备选卷）本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列关于函数()f x 的图象中，可以直观判断方程()20f x -=在(0)∞－，上有解的是A. B. C. D.【答案】D 【解析】【详解】方程f （x ）-2=0在（-∞，0）上有解，∴函数y=f （x ）与y=2在（-∞，0）上有交点，分别观察直线y=2与函数f （x ）的图象在（-∞，0）上交点的情况，选项A ，B ，C 无交点，D 有交点，故选D点睛：这个题目考查了方程有解的问题，把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，要求图像的画法要准确．2.要得到函数π2sin(24y x =+的图象，只需将函数2sin y x =的图象上所有点（）A.向左平移8π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）B.向左平移4π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）C.向左平移8π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）D.向左平移4π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的变换规则判断可得；【详解】解：将函数2sin y x =的图象上所有点向左平移4π个单位长度得到函数2sin(4y x π=+的图象，再将2sin(4y x π=+的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数π2sin(2)4y x =+的图象，∴要得到函数π2sin(2)4y x =+的图象，只需将函数2sin y x =的图象上所有点向左平移4π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），故选：B ．3.“2a b +<-，且1ab >”是“1a <-，且1b <-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】若1a <-，且1b <-，根据不等式的加法和乘法法则可得2a b +<-，且1ab >，即必要性成立；当13,2=-=-a b ，满足2a b +<-，且1ab >，但是112b =->-，故充分性不成立，所以“2a b +<-，且1ab >”是“1a <-，且1b <-”的必要不充分条件.故选：B4.为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有7名评委给选手评分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生均参与网络评分．某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如下图所示：评委序号①②③④⑤⑥⑦评分108989109记现场评委评分的平均分为1x ，网络评分的平均分为2x ，所有评委与场外学生评分的平均数为x ，那么下列选项正确的是（）A.122x x x +< B.122x x x +=C.122x x x +>D.x 与122x x +关系不确定【答案】C 【解析】【分析】根据表格数据及频率直方图求1x 、2x ，若场外学生有a 人可得639.37ax a +=+且100a >，即可比较122x x x +的大小关系.【详解】由题设，110898910997x ++++++==，270.180.190.2100.69.3x =⨯+⨯+⨯+⨯=，∴129.152x x +=，若场外学生有a 人，则639.3 2.19.377a x a a +==-++，又100a >，∴9.15x >，即122x x x +>.故选：C5.已知函数()2xf x x =-，方程()()=f x f x -有三个解123,,x x x ，则()123f x x x ++=（）A.0B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】变换得到2202x x x ---=，设()222xxg x x --=-，确定函数为奇函数，得到130x x +=，20x =，计算得到答案.【详解】()2xf x x =-，()()=f x f x -，即22x x x x --=+，即2202x x x ---=，设()222xxg x x --=-，函数定义域为R ，()()222x x g x x g x -+==---，函数()g x 为奇函数，()00g =，不妨取123x x x <<，则130x x +=，20x =，()()12301f x x x f ++==.故选：B.6.若0.6a =，sin 0.6b =，tan 0.6c =，则（）A.c a b >>B.a b c>> C.a c b>> D.b c a>>【答案】A 【解析】【分析】设扇形OBC 的面积为1S ，由三角函数线结合1OBC OBD S S S << 得到答案.【详解】画出π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的三角函数线，如下：则sin AC θ= ，tan BD θ=， BCθ=，设扇形OBC 的面积为1S ，则112S θ=，1111sin ,tan 2222OBC OBD S OB AC S OB BD θθ=⋅⋅==⋅= ，又1OBC OBD S S S << ，故111sin tan 222θθθ<<，所以sin tan <<θθθ，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为π0.60,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0.60.6tan 0.6<<.所以c a b >>.故选：A7.如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且B ，C ，D 三点共线，则下列结论不．成立．．的是（）A.CD =B.0CA CE ⋅=C.AB 与DE共线D.CA CB CE CD⋅=⋅ 【答案】D 【解析】【分析】根据直角三角形的性质、向量的线性运算，即可判定.【详解】设BC DE m ==，∠A =30°，且,,B C D 三点共线，则CD AB ==，2AC EC m ==，60ACB CED ∠=∠=︒，90ACE ∠=︒，所以,·0,//CD CA CE AB DE ==.故A 、B 、C 成立，D 不成立.故选：D8.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1BB 的中点，平面1A DM 将该正方体分成两部分，其体积分别为1V ，2V ，()12V V <，则12V V =（）A.519B.13C.717D.12【答案】C 【解析】【分析】如图，取BC 的中点N ，连接1,,MN ND B C ，则可得梯形1MNDA 为平面1A DM 所在的截面，则1V 为三棱台1BMN AA D -的体积，设正方体的棱长为2，先求出1V ，从而可求出2V ，进而可求出12V V的值【详解】如图，取BC 的中点N ，连接1,,MN ND B C ，因为M 为棱1BB 的中点，所以MN ∥1B C ，112MN B C =，因为11A B ∥CD ,11A B CD =，所以四边形11A B CD 为平行四边形，所以1B C ∥1A D ，11B C A D =，所以MN ∥1A D ，112MN A D =，所以梯形1MNDA 为平面1A DM 所在的截面，则1V 为三棱台1BMN AA D -的体积，不妨设正方体的棱长为2，则正方体的体积为8，因为111111,222222BMN AA D S S =⨯⨯==⨯⨯= ，所以111(3BMN AA D S V S AB =++⋅ 117212323⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭,所以217178833V V =-=-=，所以12717V V =，故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.若a b >，则11a b <B.若0a b <<，则22a b >C.若22ac bc >，则a b> D.若4ab =，则4a b +≥【答案】BC【解析】【分析】根据不等式性质，结合特值法对每个选项逐一分析即可.【详解】A ：不妨取1,1a b ==-，满足a b >，但1111a b =>=-，故错误；B ：因为()()22a b a b a b -=+-，由0a b <<，故可得220a b ->，即22a b >，故正确；C ：因为22ac bc >，不等式两边同除以不为零的常数2c ，即可得a b >，故正确；D ：不妨取1,4a b =-=-，满足4ab =，但54a b +=-<，故错误.综上所述，正确的选项是：BC.故选：BC.10.甲乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床的正品率是0.8，乙机床的正品率为0.9，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则（）A.两件都是次品的概率为0.02B.事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”是互斥事件C.恰有一件正品的概率为0.26D.事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件【答案】ACD【解析】【分析】运用互斥事件、对立事件的定义可判断B 项、D 项，运用概率的加法公式及相互独立事件的概率公式计算可判断A 项、C 项.【详解】对于A ，若取出的两件都是次品，其概率()()10.810.90.20.10.02P =-⨯-=⨯=，故A 项正确；对于B ，事件“至多有一件正品”包含有两件次品、一件正品和一件次品，“至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品，所以两个事件不是互斥事件，故B 项错误；对于C ，恰有一件正品，其概率()()0.810.910.80.90.080.180.26P =⨯-+-⨯=+=，故C 项正确；对于D ，“至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品，所以事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件，故D 项正确；故选：ACD .11.如图，点M 是正方体1111ABCD A B C D -中的线段1A D 上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.存在点M ，使//CM 平面11A BC B.点M 存在无数个位置满足1CM AD ⊥C.若正方体的棱长为1，三棱锥1B C MD -的体积最大值13D.存在点M ，使异面直线1C M 与AB 所成的角是30o【答案】ABC【解析】【分析】取1A D 的中点为M ，则可证明//CM 平面11A BC ，又可证明1AD ⊥平面1A DC ，从而可判断B 的正误，通过计算可判断CD 的正误.【详解】连接1AD ，取1AD 与1A D 的交点为M ，连接11,B C BC ，它们的交点为N ，连接1111,,A N A C A B .由正方体1111ABCD A B C D -可得1111//,=,A B CD A B CD 故四边形11A B CD 为平行四边形，故11//A D B C ，11=A D B C .由正方形11A D DC 为正方形可得M 为1A D 的中点，同理N 为1B C 的中点，故11//,=,A M NC A M NC 所以四边形1A NCM 为平行四边形，故1//A N CM ，因为CM ⊄平面11A C B ，1A N ⊂平面11A C B ，故//CM 平面11A C B ，故A 正确.由正方体1111ABCD A B C D -可得11A B ⊥平面11A ADD ，而1AD ⊂平面11A ADD ，故111A B AD ⊥，由正方形11A D DA 可得11A D AD ⊥，而1111A B A D A = ，故1AD ⊥平面11A B CD ，无论M 在1A D 何处，总有CM ⊂平面11A B CD ，故1AD CM ⊥，故B 成立.当M 变化时，B 到平面1MDC 的距离为定值，当M 与1A 重合时，三棱锥1B C MD -的体积最大，此时113111141411323B C MD C BDC V V --=-⨯=-⨯⨯⨯⨯=，故C 正确.设正方体的棱长为1，因为11//AB C D ，故异面直线1C M 与AB 所成的角即为11MC D ∠或其补角，在直角三角形11D C M中，112D M ≤≤,，故11111tan ,12D M MC D D C ⎤∠=∈⎥⎣⎦，故不存在点M ，使异面直线1C M 与AB 所成的角是30o.故选：ABC.【点睛】思路点睛：对于与立体几何中的动点的恒成立线线关系问题，一般可转化为线面关系的判定问题，而与动点相关的最值或范围问题，则通过极端位置对应的值来讨论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.圆锥和圆柱的底面半径、高都是R ，则圆锥的表面积和圆柱的表面积之比为_______．【答案】14+【解析】【分析】根据题意分别计算圆锥和圆柱的表面积，然后计算比值即可.【详解】由图得：圆锥的表面积是由底面和侧面构成，则221(1S R R R πππ=+⨯⨯=+，圆柱的表面积是由上下底面和侧面构成，则222224S R R R R πππ=+⨯=,所以圆锥的表面积和圆柱的表面积之比:(212211244R S S R ππ++==,故答案为：14+.【点睛】圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．13.若实数,x y 满足22x y +=，则224x y +的最小值为______；24x y +的最小值为________．【答案】①.2②.4【解析】【分析】利用基本不等式的变形22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭可直接求得224x y +的最小值；根据a b +≥可求得24x y +的最小值.【详解】22242122x y x y ++⎛⎫≥= ⎪⎝⎭（当且仅当2x y =时取等号），224x y ∴+的最小值为2；20x > ，40y >，224224x y x y ∴+=+≥（当且仅当222x y =，即2x y =时取等号），24x y ∴+的最小值为4.故答案为：2；4.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14.函数()2221f x ax x a =+-+在[1，3]上有且只有一个零点，则a 的取值范围是__________.【答案】(,1][3,)-∞-⋃+∞【解析】【分析】讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系，即可得答案；【详解】当0a >时，对称轴10x a=-<，原函数在[1，3]上有且只有一个零点，则(1)30(3)770f a f a =-≤⎧⎨=+≥⎩，得3a ≥；当0a <时，由于()0210f a =-+>，要使原函数在[1，3]上有且只有一个零点，则(1)30(3)770f a f a =-≥⎧⎨=+≤⎩得1a ≤-；当0a =时，()21f x x =+在[1，3]上没有零点.综上所述：a 的取值范围是][,(),13∞-⋃+∞-.故答案为：][,(),13∞-⋃+∞-.【点睛】本题考查根据二次函数零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求值：（1）4839(log 3log 3)(log 2log 2)++；（2）31log 529-.【答案】（1）54；（2）325．【解析】【分析】（1）利用对数换底公式及对数性质计算得解.（2）利用指数运算及指数与对数互化关系计算即得.【小问1详解】32248393223log 2log 3log 3(log 3log 3)(log 2log 2)()(log 2)log 4log 8log 9++=++322323log 2log 3log 3535()(log 2)log 3log 2232624=++=⋅⋅=.【小问2详解】31log 529-33331log 2(log 5)1log 25252333325--====.16.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是11,DD BD BB ，的中点，（1）求证：EF CF ⊥;（2）求点G 到平面EFC 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）263.【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标和EF ，CF 的坐标，根据数量积的结果，即可证明；（2）求得平面EFC 的法向量和CG 的坐标，以及CG在法向量上的投影向量的模长，即可求得结果.【小问1详解】建立以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如下所示：则()()()()0,0,1,1,1,0,0,2,0,2,2,1E F C G ，()()1,1,1,1,1,0,EF CF =-=- ()()1111100EF CF ⋅=⨯+⨯-+-⨯= ，则EF CF ⊥ ，故EF CF ⊥.【小问2详解】因为()0,2,1CE =- ，设平面CEF 的法向量为n (,,)x y z =，则有,,n CE n CF ⊥⊥ 故00n CE n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即200y z x y -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，则1,2x z ==，即()1,1,2n = ，又()2,0,1CG = ，所以点G 到平面CEF的距离3CG n d n ⋅= .17.心理学研究表明，学生在课堂上各时段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x 分钟时，学生的接受能力为()f x （()f x 值越大，表示接受能力越强），f x （）与x 的函数关系为：()20.1 2.644,01060,10153105,152530,2540x x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎪<≤⎩．（1）上课开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？（2）若一个数学难题，需要56及以上的接受能力（即()56f x ≥）以及12分钟时间才能讲述完，则老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？【答案】（1）开始10分钟接受能力最强，且能维持5分钟；（2）不能.【解析】【分析】（1）分别求出各段的最大值即可得解；（2）分段求解不等式()56f x ≥即可得解.【小问1详解】由题意可知，当010x <≤时，()()20.11360.9f x x =--+，所以当10x =时，的最大值为60，因为当1015x <≤时，()60f x =，当1525x <≤时，()()1560f x f <=，当2540x <≤时，()30f x =.所以开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟.【小问2详解】当010x <≤时，()20.1 2.64456f x x x =-++≥，解得610x ≤≤，当1015x <≤时，()6056f x =>，满足要求，当1525x <≤时，310556x -+≥，解得115163x <≤，故111661033-=分钟12<分钟，老师不能在所需接受能力的状态下讲完这个难题．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的正方形，PA BD ⊥．（1）求证：=PB PD ；（2）若,E F 分别为,PC AB 的中点，⊥EF 平面PCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．【答案】（1）详见解析；（2）6π.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，先证出BD ⊥平面PAC ，利用线面垂直的性质定理得BD PO ⊥，在PBD △中再证明=PB PD ；（2）先证明,,AB AP AD 两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求出平面PCD 的法向量，再求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值，最后确定角.【详解】（1）连接,AC BD ，,AC BD 交于点O ，因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥且O 为BD 的中点.又,,PA BD PA AC A ⊥⋂=所以BD ⊥平面PAC ，由于PO ⊂平面PAC ,故BD PO ⊥.又BO DO =,故=PB PD .（2）设PD 的中点为Q ,连接,AQ EQ ,EQ //CD ，12EQ CD =,所以AFEQ 为平行四边形，EF //AQ ，因为⊥EF 平面PCD ，所以AQ ⊥平面PCD ，所以AQ PD ⊥,PD 的中点为Q ,所以AP AD ==.由AQ ⊥平面PCD ，又可得AQ CD ⊥，又AD CD ⊥，又AQ AD A= 所以CD ⊥平面PAD所以CD PA ⊥,又BD PA ⊥,所以PA ⊥平面ABCD由题意,,,AB AP AD 两两垂直，,以A 为坐标原点,向量,,AB AD AP的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,则(0,0,0),(0,),(0,(0,0,22A B Q D P(0,,),22AQ PB == AQ 为平面PCD 的一个法向量.设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，1sin 2PB AQ PB AQθ⋅==⋅ 所以直线PB 与平面PCD 所成角为6π.19.已知函数2()(2)2f x ax a x =-++，(R)a ∈.（1）当2a =-时，()ln ()g x f x =，则不等式()(21)g x g x <-的解集；（2）若存在0m >使关于x 的方程1(||)1f x m m =++有四个不同的实根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1|13x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）(,4-∞--【解析】【分析】（1）根据题意得到()2()ln 22g x x =-+，然后结合函数的单调性解不等式即可；（2）先令11t m m =++，再根据0m >，得到3t ≥，再将21(2)21a x a x m m-++=++有四个不同的实根可转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不等正根，再根据根与系数的关系列出不等式即可解出实数a 的取值范围.【小问1详解】根据题意，当2a =-时()222f x x =-+，所以()2()ln ()ln 22g x f x x ==-+.令2220x -+>，解得11x -<<，所以()2()ln 22g x x =-+的定义域为−1,1，因为()222f x x =-+在()1,0-单调递增，在0,1单调递减，函数ln y x =为增函数，根据复合函数的单调性可知()2()ln 22g x x =-+在()1,0-单调递增，在0,1单调递减，因为()(21)g x g x <-，所以0211x x ≤-<<，解得113x <<，所以不等式()(21)g x g x <-的解集为1|13x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.【小问2详解】令11t m m=++，因为0m >，所以1113t m m =++≥=，当且仅当1m =时等号成立.因为1(||)1f x m m =++，所以2(2)2a x a x t -++=，即2(2)20a x a x t -++-=有四个不同的实根，令()2(2)2h x a x a x t =-++-，可知ℎ为偶函数，图象关于y 轴对称，所以2(2)20a x a x t -++-=有四个不同的实根可转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不等正根，所以1212Δ000x x x x >⎧⎪+>⎨⎪>⎩，即()()224202020a a t a a t a⎧⎪+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩，由2020a a t a+⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩可得2a <-，因为()()22420a a t +-->，即存在[)3,t ∞∈+，使不等式()24280at a a ++->成立，故()243280a a a ⨯++->，即2840a a ++>，解得4a <--4a >-+，故实数a的取值范围为(,4∞---。

2024-2025学年广西南宁二中高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z =1+ii ，其中i 为虚数单位，则|z|=( )A. 12B.22C.2 D. 22.已知向量a =(1,3)，b =(t,1)，若(a−b )//b ，则实数t 的值为( )A. 13B. 3C. −1D. −1或23.体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是( )A. 98B. 99C. 99.5D. 1004.已知圆柱和圆锥的高相等，底面半径均为2，若圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的2倍，则圆柱的表面积为( )A. 8πB. 12πC. 16πD. 24π5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10−S 3=35，a 3+a 10=7，则{a n }的公差为( )A. 1B. 2C. 3D. 46.函数f(x)=x 3+e x −ax 在区间[0,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A. [0,1)B. (0,1]C. [1,+∞)D. (−∞,1]7.已知f(x)=sin (x +π2)，g(x)=cos (x−π2)，则下列结论中不正确的是( )A. 函数y =f(x)⋅g(x)的最小正周期为πB. 函数y =f(x)⋅g(x)的最大值为12C. 函数y =f(x)⋅g(x)的图象关于点(π4,0)成中心对称D. 将函数f(x)的图象向右平移π2个单位后得到函数g(x)的图象8.已知函数f(x)的定义域为R ，f(x)−1为奇函数，f(x +2)为偶函数，则f(1)+f(2)+⋯+f(16)=( )A. 0B. 16C. 22D. 32二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。