高中数学专题复习：专题复习(六)——函数与导数

专题复习（六）—— 函数与导数（一）知识梳理 1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)导数的几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率． (3)函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数． 2．基本初等函数的导数公式3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．函数的单调性与导数的关系 已知函数f (x )在某个区间内可导，则(1)如果f ′(x )＞0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增； (2)如果f ′(x )＜0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减； (3)若f ′(x )＝0恒成立，则f (x )在这个区间内是常数函数． 5．理清导数与函数单调性的关系(1)f ′(x )>0(或<0)是f (x )在(a ，b )内单调递增(或递减)的充分不必要条件； (2)f ′(x )≥0(或≤0)是f (x )在(a ，b )内单调递增(或递减)的必要不充分条件 (f ′(x )＝0不恒成立)．注意：由函数f (x )在区间[a ，b ]内单调递增(或递减)，可得f ′(x )≥0(或≤0)在该区间恒成立，而不是f ′(x )>0(或<0)恒成立，“＝”不能少． 6．函数极值的概念函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值． 7．函数的最值（1）在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．（2）若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 8．定积分的概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 9．定积分的运算性质(1)⎠⎛a b kf (x ) d x ＝k ⎠⎛ab f (x ) d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )] d x ＝⎠⎛a b f 1(x ) d x ±⎠⎛ab f 2(x ) d x ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (a ＜c ＜b )．10．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x ) d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．可以把F (b )－F (a )记为()baF x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝()b aF x ＝F (b )－F (a )．（二）考点剖析考点一：导数的运算例1：求下列函数的导数： (1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝ln－x x；(3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5)；(5)y ＝sin 2xcos x. 解: (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ； (2)y ′＝1－x ·(－1)x －ln (－x )x 2＝1－ln (－x )x 2；(3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝12－12cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋23π. 设y ＝12－12cos u ，u ＝4x ＋23π，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝12sin u ·4＝2sin u ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋23π； (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，因此y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5； (5)y ＝sin 2x cos x ＝2sin x cos xcos x＝2sin x ，∴y ′＝(2sin x )′＝2cos x . 考点释疑：(1)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后再进行求导，可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错． (2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后由外向内逐层求导．考点二：导数的几何意义例2：(1)[曲线在某点处的切线方程]设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝___________．(2)[过某点的曲线的切线方程]过点(0，－1)且与曲线y ＝x 2相切的切线方程为___________． (3)[两条曲线的公切线]已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解：(1)令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1. 由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1. 又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3. (2)设切点为(x 0，x 20)，由y ＝x 2得y ′＝2x . ∴2x 0＝x 20＋1x 0①当x 0＝1时，切点为(1,1)，斜率k ＝y ′|x ＝1＝2. 所求切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.②当x 0＝－1时，切点为(－1,1)，斜率k ＝y ′|x ＝－1＝－2. 所求切线方程为y －1＝－2(x ＋1)，即y ＝－2x －1. 综上所述，所求切线方程为y ＝2x －1或y ＝－2x －1.(3)因为y ＝x ＋ln x ，所以y ′＝1＋1x ，1|2x y ='∴=所以曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.因为 y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， 所以a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 考点释疑：(1)求曲线切线方程的步骤：①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数， 即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)求曲线切线方程需注意两点：①当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0； ②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再利用两点连线的斜率等于切点的导数值求解． (3)求两条曲线的公切线的方法：方法1：利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解． 方法2：利用公切线得出关系式．设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，y 1)，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，y 2)，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f (x 1)－g (x 2)x 1－x 2.考点三：利用导数求函数的单调区间例3：已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数； 考点释疑：利用导数求函数单调区间的一般步骤：①确定函数f (x )的定义域； ②求导数f ′(x )；③在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； ④根据③的结果确定函数f (x )的单调区间． 考点四：导数在证明函数单调性中的应用例4： 已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x .讨论f (x )的单调性．解： f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x －2ax ＋(2－a )＝－(2x ＋1)(ax －1)x.①若a ≤0, f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a ＞0，则由f ′(x )＝0得x ＝1a，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )＞0，当x ＞1a时，f ′(x )＜0. 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 考点释疑：利用导数证明(或判断)函数在区间上单调性的步骤： ①正确求出函数的导数，并注意函数的定义域； ②利用等价转化思想，转化成关于导函数的不等式；③解导函数的不等式．考点五：利用函数的单调性求参数范围例5：若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是 .解：由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增⇔f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立． 由于k ≥1x ，而0<1x <1，所以k ≥1，即k 的取值范围为[1，＋∞)． 考点释疑：利用函数的单调性求参数范围的方法： ①利用集合间的包含关系处理，即y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集； ②转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”．考点六：函数的极值点与极值 例6： 已知函数f (x )＝e xx . (1)求函数f (x )的极值；(2)设g (x )＝xf (x )－ax ＋1，若g (x )在(0，＋∞)上存在极值点，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )＝e xx ，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴f ′(x )＝e x (x －1)x 2.当f ′(x )＝0时，x ＝1.f ′(x )与f (x )随x 的变化情况如下表：(2)g (x )＝e x －ax ＋1，x ∈(0，＋∞)，∴g ′(x )＝e x －a ， ①当a ≤1时，g ′(x )＝e x －a >0，即g (x )在(0，＋∞)上递增，此时g (x )在(0，＋∞)上无极值点． ②当a >1时，令g ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ； 令g ′(x )＝e x －a >0，得x ∈(ln a ，＋∞)； 令g ′(x )＝e x －a <0，得x ∈(0，ln a )．故g (x )在(0，ln a )上递减，在(ln a ，＋∞)上递增，∴g (x )在(0，＋∞)有极小值无极大值，且极小值点为x ＝ln a . 故实数a 的取值范围是a >1. 考点释疑：(1)运用导数求可导函数y ＝f (x )极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值，如果左右符号相同，则此根处不是极值点．(2)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同． (3)利用x ＝x 0是极值点可得f ′(x 0)＝0，求解相关问题． 考点七：函数在给定区间上的最值问题例7：设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切．(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值．解：(1)f ′(x )＝a x －2bx ，∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝a －2b ＝0，f (1)＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12. (2)f (x )＝ln x －12x 2，f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x ，当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得1e≤x <1；令f ′(x )<0，得1<x ≤e ，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，1上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝－12.考点释疑：求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： ①求函数在(a ，b )内的极值；②求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；③将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 考点八：定积分的计算例8：(1)[直接计算]设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈(1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于 .(2)[利用几何意义计算] ⎠⎛-11(1－x 2＋x )dx 的值为 .解：(1) ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛1x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56 . (2) ⎠⎛-11 (1－x 2＋x ) d x ＝⎠⎛-111－x 2 d x ＋⎠⎛-11x d x ，根据定积分的几何意义可知⎠⎛-111－x 2 d x 等于半径为1的半圆的面积，即⎠⎛-111－x 2d x ＝π2，⎠⎛-11x d x ＝12x 2⎪⎪⎪1－1＝0，∴⎠⎛-11 (1－x 2＋x) d x ＝π2.考点释疑：(1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解．(2)对函数图象和与圆有关的定积分可以利用定积分的几何意义求解．考点九：定积分求平面图形面积及几何概型例9：(1) [平面图形面积]曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．(2)[几何概型]如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________． 解：(1)如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A (1,1)．故所求面积为1223100111()()236S x x dx x x =-=-=⎰. (2)由题意知，阴影部分的面积22321115(4)(4)33S x dx x x =-=-=⎰∴所以所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.考点释疑：(1)对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，确定积分区间．(2)对于求几何概型的问题，应首先利用定积分求出相应图形的面积，再用相应概率公式进行计算． 考点十：定积分在物理学中的应用例10：(1) [求变速运动的路程]一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为________m.(2)[求变力做功]设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1的方向和x 轴正向相同，则变力F(x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ，力的单位：N)．解：(1)由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ， 0≤t ≤1，2， 1＜t ≤3，13t ＋1， 3＜t ≤6.因此该物体在12s ～6 s 间运动的路程为:61362132611113132221149()22(1)2()()364s v t dt tdt dt t dt t t t t m ==+++=+++=⎰⎰⎰⎰.(2)由题意知变力F (x )对质点M 所做的功为102310111(1)()342()3W x dx x x J =+=+=⎰.考点释疑：定积分在物理学中的两个应用：①变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛abv (t )d t. ②变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )dx .（三）历年高考真题训练1、（2011年高考全国卷Ⅰ）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。