北师大版九年级数学上册第4章 图形的相似 单元测试题(解析版)

一、选择题1．在ABC 中，10AB AC ==，72ABC ∠=︒，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，则CD 的长为（ ）A ．5B ．555-C ．1555-D ．551- 2．如图，ABC 中，AD BC ⊥于点D ，下列条件中不．能判定ABC 是直角三角形的是（ ）A ．B DAC ∠=∠B ．90B DAC ∠+∠=︒ C ．2AB BD BC =⋅ D ．2AC CD BC =⋅3．如图，ABC 的两个顶点B 、C 均在第一象限，以点()0,1A 为位似中心，在y 轴左侧作ABC 的位似图形ADE ，ABC 与ADE 的位似比为1：2若点C 的纵坐标是m ，则其对应点E 的纵坐标是（ ）A ．32m -+B ．23m +C ．()23m -+D ．23m -+ 4．下列说法中，正确的说法有（ ）①对角线互相平分且相等的四边形是菱形；②一元二次方程2340x x --=的根是14x =，21x =-；③两个相似三角形的周长的比为23，则它们的面积的比为49； ④对角线互相垂直的平行四边形为正方形；⑤对角线垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，:4:25DEF ABF S S =，则:DE AB 的值是（ ）A ．2：5B ．2：3C ．3：5D ．3：2 6．如图，在△ABC 中，EF //BC ，EG //AB ，则下列式子一定正确的是（ ）A ．AE EF EC CD =B ．EF EG CD AB =C ．CG AF BC AD = D ．AF BG DF GC= 7．下列各组图形中，一定相似的是（ ）A ．两个等腰三角形B ．两个等边三角形C ．两个平行四边形D ．两个菱形 8．若275x y z ==，则2x y z x z +-+的值是（ ） A ．67 B ．13 C ．49 D ．49．两个相似三角形面积比是4:9，其中一个三角形的周长为18，则另一个三角形的周长是（ ）A ．12B ．12或24C ．27D ．12或27 10．如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，动点P 从A 点出发，按A B C →→的方向在AB 和BC 上移动，记PA x =，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．若ad=bc，则下列不成立的是( )A．a cb d=B．a c ab d b-=-C．a b c db d++=D．1 111a cb d++=++ 12．复印纸的型号有0A、1A、2A、3A、4A等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如3A）的复印纸较长边的中点对折后，就能得到两张下一型号（4A）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似（如图），那么这些型号的复印纸的宽与长之比为（）A．12B．22C．32D．512-二、填空题13．如图，在ABC中，90ACB∠=︒，30A∠=︒，3BC=．点D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰直角三角形CDE，使90CED∠=︒，连接BE．（1）若点E恰好落在AB上，则AD的值为______；（2）线段BE的最小值为______．14．如图，平面直角坐标系中，点(0,2),(4,0)A B，将ABO沿着垂直于x轴的直线CD 折叠（点C在x轴上，点D在AB上，点D不与A，B重合），点B的对应点为点E，则当ADE为直角三角形时BDCADESS的值是_____________．15．如图，在ABC 中，:1:2CE EB =，DE //AC ，已知1ABC S =△，那么AED S =△____．16．在平面直角坐标中，△ABC 的顶点坐标分别是A （1，1），B （4，2），C （3，5），以点A 为位似中心，相似比为1：2，把三角形ABC 缩小，得到△AB 1C 1，则点C 的对应点C 1的坐标为_________．17．如图，在ABC ∆中，点111,,A B C 分别是,,AC BC AB 的中点，连接1111,AC A B ，四边形111A B BC 的面积记作1S ；点222,,A B C 分别是1111,,A C B C A B 的中点，连接2222,A C A B ，四边形2212A B B C 的面积记作2S …，按此规律进行下去，若ABC S a ∆=，则3S =__________；n S =__________．（n 为正整数）18．如图所示，在ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，已知FC 长是6，则线段OC 的长为______．19．如图，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 到墙距离BC 是1.6米梯上的点D 到墙距离DE 是1.4米，BD 的长是0.55米，则梯子的长为__________米．20．如图，90APD ∠=︒，AP PB BC CD ===，在APB △、APC △、APD △、ABC 、ABD △、ACD △中写出一对相似三角形______________．三、解答题21．在ABC 中，14AB =，12AE =，7BD =，28BC =，且BAD EAC ∠=∠．（1）EC 的长?（2）AED ∽BEA △是否相似？说明理由．22．如图1，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD 和对角线AC 的中点，（1）CF DE的值为 ； （2）①将△AEF 绕点A 旋转，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情况进行证明；如果不成立，请说明理由；②如果AB ＝2，当以点E ，F ，C 在一条直线上时，请直接写出CF 的值．23．如图，在矩形ABCD 中，24BC AB ==，点G 为边BC 上一点，过点G 作GE AG ⊥，且2GE AG =，GE 交DC 于点F ，连接AE ．（1）求证：ABG GCF ∽△△；（2）连接CE ，求证：DCE AEG ∠=∠；（3）当点E 正好在BD 的延长线上时，求BG 的长．24．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ，BD 交于点E ，过点E 作MN ∥AD ，分别交AB ，CD 于点M ，N ．（1）求证：△AME~△ABC ；（2）求证：111ME AD BC=+； （3）若AD=5，BC=7，求MN 的长．25．在锐角△ABC 中，点D ，E 分别在AC 、AB 上，AG ⊥BC 与点G ，AF ⊥DE 于F ，∠EAF =∠GAC ．（1）求证：△AEF ∽△ACG ．（2）求证：∠ADE =∠B ．（3）若AD =3，AB =5，求AF AG．26．（基础巩固）（1）如图1，在ABD △中，D 为AB 上一点，ACD B ∠=∠．求证：2AC AD AB =⋅．（尝试应用）（2）如图2，在ABCD 中，E 为BC 上一点，F 为CD 延长线上一点，BFE A =∠∠，若4BF =，3BE =，求AD 的长．（拓展提高）（3）如图3，在菱形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是ABC 内一点，//EF AC ，2AC EF =，12EDF BAD ∠=∠，2AE =，5DF =，求菱形ABCD 的边长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】证明△ABC ∽△BCD ，得到AB BC BC CD =，设CD=x ，表示出BC ，代入得到方程，解之即可． 【详解】解：如图，∵AB=AC ，∠ABC=72°，∴∠C=72°，∴∠A=180°-2×72°=36°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴AD=BD ，∠BDC=72°，∴BC=BD ，在△ABC 和△BCD 中，∠A=∠CBD ，∠ABC=∠C ，∴△ABC ∽△BCD ，∴AB BC BC CD=， 设CD=x ，则BD=AD=BC=10-x ，∴101010x x x-=-， 解得：x=1555+（舍）或1555-，故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据已知条件证明出△ABC ∽△BCD ．2．B解析：B【分析】根据已知对各个条件进行分析，从而得到答案．【详解】解：A.能，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B=∠DAC，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠B=90°；∴△ABC是直角三角形；B.不能，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠DAC，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴无法证明△ABC是直角三角形；C.能，∵2=⋅AB BD BC∴AB BC=BD AB∵∠B=∠B∴△CBA∽△ABD，∴∠ADB=∠BAC ，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠BAC=90°∴△ABC是直角三角形；D.能，∵2=⋅，AC CD BC∴AC BC=CD AC∵∠C=∠C∴△CBA∽△CAD，∴∠ADC=∠BAC=90°∴△ABC是直角三角形．故选：B【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意相似三角形的判定与性质的应用．3．D解析：D【分析】设点C 的纵坐标为m ，然后表示出AC 、EA 的纵坐标的距离，再根据位似比列式计算即可；【详解】设点C 的纵坐标为m ，则A 、C 间的纵坐标的长度为()1m -，∵△ABC 放大到原来的2倍得到△ADE ，∴E 、A 间的纵坐标的长度为()21m -,∴点E 的纵坐标为()()2112323m mm ⎡⎤---=--=-+⎣⎦；故答案选D ．【点睛】 本题主要考查了位似变换，坐标与图形的性质，准确分析计算是解题的关键． 4．C解析：C【分析】根据矩形的判定定理、一元二次方程的解法、【详解】解：①对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故①错误；②一元二次方程x 2-3x -4=0（x -4）（x +1）=0x -4=0或x =1=0x 1=4，x 2=-1，故②正确；③两个相似三角形的周长的比为23，则它们的面积的比为22()349=，故③正确； ④对角线相等且互相垂直的平行四边形为正方形，故④错误；⑤对角线垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形，说法正确．故选：C【点睛】 本题考查的是命题的真假判断，掌握矩形的判定定理、一元二次方程的解法、中点四边形的性质、矩形、菱形和正方形的判断是解题的关键．5．A解析：A【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方求解即可．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DE ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ，∴2:(:)DEF ABF S S DE AB =△△,∵:4:25DEF ABF S S =∴:DE AB =2：5,故选A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，三角形相似的判定方法和性质是解题的关键．6．D解析：D【分析】根据平行线分线段成比例定理逐一判断即可．【详解】∵EG //AB ，EF //BC ，∴AE AF AC FD=， ∵AC≠EC ∴AE EF EC CD=不成立， ∴选项A 错误；∵EG //AB ，EF //BC ， ∴EF AE CD AC =，EG EC AB AC=， ∵AE≠EC ， ∴EF EG CD AB=不成立， ∴选项B 错误；∵EG //AB ，EF //BC ，∴CG CE CB CA =DF DA=， ∵DF≠AF ∴CG AF BC AD=不成立， ∴选项C 错误；∵EG //AB ，EF //BC ， ∴AF AE DF EC =，AE BG EC GC =， ∴AF BG DF GC=， ∴选项D 正确；故选D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理，特别是比例中对应线段的属性保持一致是解题的关键．7．B解析：B【分析】根据相似图形的概念进行判断即可；【详解】任意两个等腰三角形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，故A 错误；任意两个等边三角形的对应角相等，都是60°，故一定相似，故B 正确；任意两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，故不一定相似，故C 错误；任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，故D 错误； 故答案选B ．【点睛】本题主要考查了相似图形的定义判断，准确理解是解题的关键．8．C解析：C【分析】 根据275x y z k ===，则x ＝2k ，y ＝7k ，z ＝5k ，代入2x y z x z+-+进行计算即可． 【详解】 解：275x y z k ===（k≠0）， 则x ＝2k ，y ＝7k ，z ＝5k ，∴2x y z x z+-+＝2754495k k k k k +-+=， 故选：C ．【点睛】 本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行解题．9．D解析：D【分析】把面积之比转化为周长之比，后分周长为较大三角形或较小三角形的两种情形求解即可.【详解】∵两个相似三角形面积比是4:9，∴两个相似三角形周长比是2：3，当较大三角形的周长为18时，较小三角形的周长为18×23=12； 当较小三角形的周长为18时， 较大三角形的周长为18×32=27； 故选D.【点睛】本题考查了相似三角形面积之比，周长之比，解答时，熟练将面积之比转化为周长之比，会用分类思想求解是解题的关键. 10．A解析：A【分析】①点P 在AB 上时，点D 到AP 的距离为AD 的长度，②点P 在BC 上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD ，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y 与x 的关系式，从而得解．【详解】解：①当点P 在AB 上运动时，D 到PA 的距离8y AD ==，∴当06x ≤≤时，8y =，②当P 在BC 上运动时，∵∠APB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠APB=∠PAD ，又∵∠B=∠DEA=90°，∴△ABP ∽△DEA ， ∴AB AP DE AD=，即：68x y =， ∴当610x <≤时，48y x =， ∴()()80648610x y x x ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩， 即当06x ≤≤时，函数图象为平行于x 轴的线段，且8y =；当610x <≤时，函数图象为反比例函数，故选项A 符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查动点问题函数图象，解题关键是利用相似三角形的判定与性质，难点在于根据点Ｐ的位置分情况讨论．11．D解析：D【分析】根据比例和分式的基本性质，进行各种演变即可得到结论．【详解】A 由a c b d=可以得到ad=bc ，故本选项正确，不符合题意； B 、由a c ab d b -=-可得：（a-c ）b=（b-d ）a ，即ad=bc ，故本选项正确，不符合题意； C 、由a b c d b d ++=可得（a+b ）d=（c+d ）b ，即ad=bc ，故本选项正确，不符合题意； D 、由1?111a cb d ++=++，可得（a+1）（d+1）=（b+1）（c+1），即ad+a+d=bc+c ，不能得到ad=bc ，故本选项错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了比例线段，根据比例的性质能够灵活对一个比例式进行变形．12．B解析：B【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b 、a ，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．【详解】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b 、a ，∵得到的矩形都和原来的矩形相似， ∴2ba a b=，则b 2=2a 2，∴b a= ∴：1，∴故选：B ．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等． 二、填空题13．【分析】（1）根据含30°的直角三角形的性质可得AB=6BE=CE=再根据等腰直角三角形的性质得出CE=DE=最后依据AD=AB-BE-ED 得出结果；（2）以BC 为直角边向左构造以∠CBH 为直角的等【分析】（1）根据含30°的直角三角形的性质可得AB=6，BE=32，CE=2，再根据等腰直角三角形的性质得出AD=AB-BE-ED 得出结果； （2）以BC 为直角边向左构造以∠CBH 为直角的等腰直角三角形BCH ，先证明△CDH ∽△CEB ，得出DH BE=DH 取最小值时，BE 边为最小值，当DH ⊥AB 时，DH 最小，即图中的D H '，根据含30°的直角三角形的性质可得出结论．【详解】（1）如图所示：∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=3，∴AB=6，BE=32，CE=332， ∵△CDE 为等腰直角三角形，∴33， ∴AD=6-32-332=933- （2）以BC 为直角边向左构造以∠CBH 为直角的等腰直角三角形BCH ，∵△CDE 为等腰直角三角形，∴∠DCE=∠HCB=45°，∠DCH=∠HCB ， ∵2CD CH CE CB== ∴△CDH ∽△CEB ， ∴2DH BE= ∴当DH 取最小值时，BE 边为最小值，当DH ⊥AB 时，DH 最小，即图中的D H '，∵∠A=30°，∠ACB=90°∴∠ABC=60°∵∠CBH=90°∴D BH '∠=30°∵BH=BC=3 ∴32D H '= ∴3242BE =最小值， 933-32．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是证明△CDH ∽△CEB ．14．或【分析】分两种情况：当是以点E 为直角顶点时和当是以点A 为直角顶点时分别利用相似三角形的判定及性质求解即可【详解】①当是以点E 为直角顶点时∵将沿着垂直于x 轴的直线折叠（点C 在x 轴上点D 在上点D 不与A 解析：310或56【分析】 分两种情况：当ADE 是以点E 为直角顶点时和当ADE 是以点A 为直角顶点时，分别利用相似三角形的判定及性质求解即可．【详解】①当ADE 是以点E 为直角顶点时，(0,2),(4,0)A B ，2,4OA OB ∴==，2225AB OA OB ∴=+=∵将ABO 沿着垂直于x 轴的直线CD 折叠（点C 在x 轴上，点D 在AB 上，点D 不与A ，B 重合），点B 的对应点为点E ，,,BD DE BC EC DBC DEC ∴==∠=∠，90,90AEO DEB AEO OAE ∠+∠=︒∠+∠=︒，DEB AOE ∴∠=∠，DBO OAE ∴∠=∠．又90AOB EOA ∠=∠=︒，AOE BOA ∴△△， 12AO OE BO AO ∴==， 1OE ∴=，22135,3,22AE AO OE BE OB OE BC BE ∴=+==-===． 1tan 2AO DC ABO OB CB ∠===， 34DC ∴=， 22354BD DE BC CD ∴==+=， 11339113515,5224216228BDC ADE S DC BC S AE DE ∴=⋅=⨯⨯==⋅=⨯⨯=△△， 931615108BDCADE SS ∴==； ②当ADE 是以点A 为直角顶点时，90,90AEO EAO AEO ABO ∠+∠=︒∠+∠=︒，EAO ABO ∴∠=∠．又90AOB EOA ∠=∠=︒，AOE BOA ∴△△，12AO OE BO AO ∴==， 1OE ∴=， 22155,5,22AE AO OE BE OB OE BC BE ∴=+==+===． 1tan 2AO DC ABO OB CB ∠===， 54DC ∴=，4BD∴==，AD AB BD∴=-=，1155251115,222416228 BDC ADES DC BC S AD DE∴=⋅=⨯⨯==⋅==△△，255161568BDCADESS∴==，综上所述，BDCADESS为310或56．故答案为：310或56．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质并分情况讨论是解题的关键．15．【分析】根据相似三角形相似比的平方为其对应的面积比即可求解【详解】解：∵CE：EB=1：2设CE=k则EB=2k∵DE∥AC∴△BDE∽△BAC∴BE：BC=2k：3k=2：3∴∵∴∵DE∥AC∴∴解析：29【分析】根据相似三角形相似比的平方为其对应的面积比，即可求解．【详解】解：∵CE：EB=1：2，设CE=k，则EB=2k，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC∴BE：BC=2k：3k=2：3，∴222()()349BDEABCS BES BC∆∆===，∵1ABCS=△∴49BDES=，∵DE∥AC，∴12AD CEDB BE==，∴12ADE BDE S AD S BD ∆∆==， 则1229ADE BDE S S ∆∆==． 故答案为29． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握三角形的面积比与对应边之比之间的关系．16．(23)或(0-1)【分析】以A 点为坐标原点建立新的直角坐标系得知C 点在新的直角坐标系中的坐标再根据相似比可求出C1在新的直角坐标系中的坐标最后即可知道点C1在原坐标系中的坐标【详解】以A 点为坐标原解析：(2，3)或(0，-1)【分析】以A 点为坐标原点建立新的直角坐标系，得知C 点在新的直角坐标系中的坐标，再根据相似比，可求出C 1在新的直角坐标系中的坐标，最后即可知道点C 1在原坐标系中的坐标．【详解】以A 点为坐标原点建立新的直角坐标系，则在新的直角坐标系中，C 点的坐标为(3-1，5-1)，即C(2，4)．根据题意可知在新的直角坐标系中11AB C △是以点A 为位似中心，相似比为1：2，把ABC 缩小后得到的三角形．∵点C 在新的直角坐标系中的坐标为(2，4)，∴点C 的对应点C 1在新的直角坐标系中的坐标为()112422⨯⨯，或()112422⨯-⨯-，，即(1，2)或(-1，-2)． ∴点C 1在原坐标系中的坐标为(1+1，2+1)或(-1+1，-2+1)，即(2，3)或(0，-1)．故答案为(2，3)或(0，-1)．【点睛】本题考查的是位似图形，熟练掌握位似变换是解题的关键．17．【分析】根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定和性质可求出S1的值进而可得出S2的值找出规律即可求值【详解】解：∵是的中位线∴∴∴同理∴；同理可得∴故答案为：；【点睛】本题考查的是相似三角形的性质 解析：a 32 212n a - 【分析】根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定和性质可求出S 1的值，进而可得出S 2的值，找出规律即可求值．【详解】解：∵1111,AC A B 是ABC ∆的中位线， ∴11111,//2AC BC AC BC =， ∴11AC A ABC ∆∆， ∴111144AC A ABC S S a ∆∆==，同理111144A CB ABC S S a ∆∆==， ∴1111442S a a a a =--=； 同理可得，2335,,2232a a a S S ===， ∴212n n aS -=． 故答案为：a 32；212n a - 【点睛】 本题考查的是相似三角形的性质及三角形中位线定理，正确得出面积变化规律是解答此题的关键．18．4【分析】根据已知利用相似三角形的判定可得到△EFO ∽△BCO 根据相似比可求得CO 的长即可【详解】解：∵点EF 分别是△ABC 中ACAB 边的中点∴EF 是△ABC 的中位线∴EF=BCEF ∥BC ∴△EFO解析：4【分析】根据已知利用相似三角形的判定可得到△EFO ∽△BCO ，根据相似比可求得CO 的长即可．【详解】解：∵点E 、F 分别是△ABC 中AC 、AB 边的中点．∴EF 是△ABC 的中位线．∴EF=12BC ，EF ∥BC ． ∴△EFO ∽△BCO ，且相似比为1：2．∴CO=2FO ．∵FC =6．∴OC=2FO=4．故答案为4．【点睛】此题主要考查三角形的中位线的定理和相似三角形的判定方法的掌握．19．4【分析】由DE//BC 可得到进而利用相似三角形的对应边成比例可得到梯子AB 的长；【详解】∵∴DE ∥BC ∴∴解得：；故答案是44【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用准确计算是解题的关键解析：4【分析】由DE//BC 可得到ADE ABC ，进而利用相似三角形的对应边成比例可得到梯子AB 的长；【详解】∵DE AC ⊥，AC CB ⊥，∴DE ∥BC ，∴ADE ABC ， ∴AD DE AB BC=， 0.55 1.41.6AB AB -=， 解得： 4.4AB =；故答案是4.4．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，准确计算是解题的关键．20．【分析】设AP 求得AB=由相似三角形的判定定理可求解【详解】解：设AP ∵∠APD=90°AP=PB=BC=CD ∴AP=PB=BC=CD ∴AB=∴∴又∵∠ABC=∠DBA ∴△ABC ∽△DBA 故答案为：解析：ABC DBA ∽【分析】设AP a =，求得，由相似三角形的判定定理可求解．【详解】解：设AP a =，∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD ，∴AP=PB=BC=CD a =，∴，∴AB BD =，BC AB = ∴AB BC BD AB=， 又∵∠ABC=∠DBA ，∴△ABC ∽△DBA ，故答案为：△ABC ∽△DBA ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．三、解答题21．（1）12EC =；（2）AED ∽BEA △，见解析【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等判定△ABD ∽△CBA ，根据相似三角形的性质得∠BAD=∠EAC ，从而有∠EAC=∠C ，即可得EC=AE ；（2）由ED EA EA EB=、∠AED=∠BEA 可判定△AED ∽△BEA ． 【详解】解：（1）∵14AB =，12AE =，7BD =，28BC =， ∴141282AB BC ==，71142BD BA ==， ∴AB BD BC BA=． 又∵B B ∠=∠，∴ABD △∽CBA △，∴BAD C ∠=∠．又∵BAD EAC ∠=∠，∴EAC C ∠=∠，∴12EC AE ==．（2）AED ∽BEA △，∵28BC =，7BD =，12EC =，∴9DE =， ∵93124ED EA ==，123794EA EB ==+， ∴ED EA EA EB=， 又∵AED BEA ∠=∠，∴AED ∽BEA △．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似是解决此题的关键．22．（1；（2）①仍然成立，理由见解析；．【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形可知AC ．又因为E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD 和对角线AC 的中点，即可推出22CF DE ，即CF DE． （2）①因为△AFE 和△ACD 都是等腰直角三角形，可推出△AFE ∽△ACD ，即得出结论，AF AC AE AD=∠FAE ＝∠CAD ＝45°，可推出∠FAC ＝∠EAD ，即证明△ACF ∽△ADE ，即得出结论CF AC DE AD= ②由题意可知AD ＝CD ＝AB ＝2， EF ＝AE ＝12AD ＝1，∠ADC ＝90°，∠AEF ＝90°．因为点E ，F ，C 在一条直线上，说明∠AEC ＝90°．在Rt AEC 中，利用勾股定理可求出CE 的长度，即可求出CF 的长度．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠D ＝90°， ∴AC ，∵E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD 和对角线AC 的中点，∴=2=2AD DE AC CF ，，∴22CF DE ，即CF DE． （2）①（1）中的结论仍然成立，理由如下：∵△AFE 和△ACD 都是等腰直角三角形，∴△AFE ∽△ACD ，∴AF AC AE AD= ∵∠FAE ＝∠CAD ＝45°，∴∠FAE +∠CAE ＝∠CAD +∠CAE ，即∠FAC ＝∠EAD ，∴△ACF ∽△ADE ，∴CF AC DE AD= ②如图3所示： ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ＝AB ＝2，∠ADC ＝90°， ∴AC ==同②得：EF ＝AE ＝12AD ＝1，∠AEF ＝90°， ∵点E ，F ，C 在一条直线上，∴∠AEC ＝90°，在Rt AEC 中，CE ，∴CF ＝CE +EF 1．【点睛】本题为四边形综合题，掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理是解答本题的关键．23．（1）见解析；（2）见（3）43【分析】（1）根据两组对应角相等的三角形相似进行判定即可；（2）连接AC ，交GE 于M 点，先证明△AGE ∽△ABC 得∠AEG=∠ACB ，进一步证得△AME ∽△GMC 和△AMG ∽△EMC ，得到∠ECM=90°，最终根据余角性质推出∠ACB=∠DCE ，即可得证；（3）作EH ⊥BC 的延长线于H 点，设BG=x ，根据△ABG ∽△GHE ，分别表示出EH ，BH ，再通过△DCB ∽△EHB 建立方程求解并检验即可．【详解】（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B=∠D=90°，∵GE AG ⊥，∴∠AGB+∠CGF=90°，又∵∠BAG+∠AGB=90°，∴∠BAG=CGF ，∴ABG GCF ∽△△；（2）如图所示，连接AC ，交GE 于M 点，∵2GE AG =，2BC AB =， ∴GE AG BC AB=， 又∵∠AGE=∠B=90°，∴△AGE ∽△ABC ，∴∠AEG=∠ACB ，∵∠AME=∠GMC ，∴△AME ∽△GMC ， ∴AM ME GM MC=， 又∵∠AMG=∠EMC ，∴△AMG ∽△EMC ，∴∠AGM=∠ECM=90°，即：∠BCD=∠ECM=90°，∴∠ACB=∠DCE ，∴∠AEG=∠DCE ；（3）如图，作EH ⊥BC 的延长线于H 点，设BG=x ，∵△ABG ∽△GHE ，2GE AG =∴EH=2BG=2x ，GH=2AB=4，则BH=BG+GH=4+x ，∵△DCB ∽△EHB ， ∴12DC EH BC BH ==， ∴2142x x =+， 解得：43x =， 经检验，43x =是原分式方程的解， ∴BG 的长为43．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合，熟练掌握并灵活运用相似三角形的各种判定方法是解题关键．24．（1）见详解；（2）见详解；（3）356 【分析】（1）利用相似三角形的判定定理直接证明即可（2）利用平行线分线段成比例定理，再证明,ABC DBC △AME ∽△△DEN ∽△，CEN AME ABC △∽CAD,△∽△，根据三角形相似的性质即可解答．（3）结合（2）的结论将AD=5，BC=7，代入即可求得MN 的长【详解】（1）//MN BCAME ABC ∴△∽△，（2）//AD MN ，//AD BCDE AE BD AC∴= //MN BC,ABC DBC ∴△AME ∽△△DEN ∽△,AE ME DE NE AC BC BD CB ∴== ME NE BC BC∴= ME NE ∴=∴E 是MN 的中点，ME=NE=12MN //BC//AD MNCEN AME ABC ∴△∽CAD,△∽△,NE CE ME AE AD AC BC AC ∴== 1NE ME CE AE AC AD BC AC AC AC ∴+=+== 1NE ME AD BC ∴+= 111ME AD BC∴=+ （3）结合（2）的结论，5,7AD BC == 11157MN ∴=+ 3512ME ∴= ME NE = 7035126MN ME NE ∴=+== 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，利用比例的等量关系解题．25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）35AF AG =． 【分析】（1）根据条件AG BC AF DE ⊥⊥，，EAF GAC ∠=∠，可得AED ACB ∠=∠，又EAD BAC ∠=∠，证明即可；（2）由（1）知EAF ACG △∽△，证明得到∠AEF =∠D ，再利用公共角相等即可证明∠ADE=∠B ；（3）由（2）知35AD AE AB AC ==，再证明EAF CAG ，运用相似三角形对应边的比相等即可求解出结果．【详解】证明：（1）如图AG ⊥BC 与点G ，AF ⊥DE 于F∴∠AFE =∠AGC =90°在ΔAEF 与ΔACG 中∠AFE =∠AGC =90°∠EAF =∠GAC∴ΔAEF ∽ΔACG（2）由（1）知EAF ACG △∽△， ∴∠AEF =∠C在ΔADE 与ΔABC 中∵∠AEF =∠D ，∠DAE =∠BAC （公共角）∴∠ADE =∠B（3）由（2）知在ΔADE 与ΔABC 中∵∠AEF =∠C∠DAE =∠BAC （公共角）ΔADE ∽ΔABC∴AE AD AC AB= 由（1）知EAF ACG △∽△∴AE AF AC AG = ∴AF AD AG AB= 又已知AD =3，AB =5，∴35AF AG =． 【点睛】 本题考查相似三角形判定和性质综合运用，需要有一定的推理论证能力，熟练掌握相似三角形判定和性质是解决本题的关键．26．（1）见解析；（2）163AD =；（3）2． 【分析】 （1）由ACD B ∠=∠，A A ∠=∠，可得ADC ACB △∽△．可得AD AC AC AB =即可； （2）由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD BC =，A C ∠=∠由BFE A =∠∠，BFE C ∠=∠,可证BFE BCF ∽，可得BF BE BC BF=，可求BC 即可； （3）分别延长EF ，DC 相交于点G ,由四边形ABCD 是菱形，可得//AB DC ，12BAC BAD ∠=∠，由//AC EF ，可得四边形AEGC 为平行四边形，可证EDF EGD ∽，可得ED EF EG DE=．可得2DE EF EG =⋅，可得DE =，可求DG ==2DC D CG =-=．【详解】解：（1）证明：∠ACD=∠B ，A A ∠=∠，ADC ACB ∴∽△△．AD AC AC AB∴=． 2AC AD AB ∴=⋅（2）四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，A C ∠=∠又BFE A ∠=∠，BFE C ∴∠=∠又FBE CBF ∠=∠，BFE BCF ∴△∽△， BF BE BC BF ∴=， 2BF BE BC ∴=⋅2241633BF BC BE ∴===， 163AD ∴=． （3）如图，分别延长EF ，DC 相交于点G四边形ABCD 是菱形，//AB DC ∴，12BAC BAD ∠=∠， //AC EF ，∴四边形AEGC 为平行四边形，AC EG ∴=，CG AE =，EAC G ∠=∠， 12EDF BAD ∠=∠， EDF BAC ∴∠=∠，EDF G ∴∠=∠，又DEF GED ∠=∠，EDF EGD ∴∽，ED EF EG DE∴=． 2DE EF EG ∴=⋅，又2EG AC EF ==，222DE EF ∴=，2DE EF ∴=，又DE DF EFDG =， 252DG DF ∴==．522DC D CG ∴=-=-．【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，掌握相似三角形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，关键是引辅助线构造相似与平行四边形．。

第四章 图形的相似（单元综合卷）一、单选题1．若0234a b c ==≠，则22a b c a-+= ( ) A ．45 B ．54 C ．34 D ．无法确定【答案】B【解析】【分析】设比值为k ，然后用k 表示出a 、b 、c ，再代入算式进行计算即可求解.【详解】 设234a b c k ===、 则2a k =、3b k =、4c k =、 ∴2223452224a b c k k k a k -+⨯-+==⨯. 故选、B .【点睛】本题考查了比例的性质，利用设“k ”法表示出a 、b 、c 是解题的关键，设“k ”法是中学阶段常用的方法之一，需熟练掌握并灵活运用.2．若、ABC、、DEF ，且、ABC 与、DEF 的面积比是94，则、ABC 与、DEF 对应中线的比为（ ） A ．23 B ．8116 C ．94 D ．32【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．【详解】、、ABC、、DEF、、ABC与、DEF的面积比是9 4、、、ABC与、DEF的相似比为3 2、、、ABC与、DEF对应中线的比为3 2、故选D、【点睛】考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．3．如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，过点G作//GE BD，交AB边于点E，作//GF AC，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是（）A．AB AGAE AD=B．DF DGCF AD=C．FG EGAC BD=D．AE CFBE DF=【答案】D 【解析】由GE、BD、GF、AC利用平行线分线段成比例，可得出AE AGBE DG=，AG CFDG DF=，进而可得出AE CFBE DF=，此题得解．【详解】、GE、BD，GF、AC，、AE AGBE DG=，AG CFDG DF=，、AE CF BE DF=．故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，利用平行线分线段成比例，找出AE AGBE DG=，AG CFDG DF=是解题的关键．4．如图，平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，把、EFO缩小为、E′F′O，且、E′F′O与、EFO的相似比为1：2，则点E的对应点E′的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（8，﹣4）C．（2，﹣1）或（﹣2，1）D．（8，﹣4）或（﹣8，4）【答案】C【解析】【分析】利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E'的坐标．【详解】、点E（﹣4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把、EFO缩小为、E'F'O，、点E的对应点E'的坐标为：（2，﹣1）或（﹣2，1）．故选C．【点睛】本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意熟记位似图形的性质是解答此题的关键．5．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（、A．11.5米B．11.75米C．11.8米D．12.25米【答案】C【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在台阶上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上台阶的高就是树高．【详解】如图，根据题意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，则ED=4.6米，、同一时刻物高与影长成正比例，、AE、ED=1、0.4、即AE、4.6=1、0.4、、AE=11.5米，、AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，、树的高度是11.8米、故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，根据相似三角形的相似比，列出方程进行求解是关键.6．如图所示的两个四边形相似、则α的度数是()A．60°B．75°C．87°D．120°【答案】C【解析】【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫故选C【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.7．下列条件中，能使ABC DEF ∽△△成立的是（ ）A ．、C ＝98°，、E ＝98°，AC DE BC DF； B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，EF ＝8，DE ＝10，FD ＝6C ．、A ＝、F ＝90°，AC ＝5，BC ＝13，DF ＝10，EF ＝26；D ．、B ＝35°，BC ＝10，BC 上的高AG ＝7；、E ＝35°，EF ＝5，EF 上的高DH ＝3.5【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对四个选项进行分析即可.【详解】A 、若、ABC~、DEF ，则AC DF =BC EF，故本选项错误； B 、若、ABC~、DEE ，则AB AC BC ==DE DF EF 而AB 1=DE 10≠AC 1.5=DF 6，故本选项错误； C 、若、ABC~、DEF ，、A ＝90°，则、D ＝90°，故本选项错误；D 、BC AG ==2EF DH且、AGC ＝、BHF ＝90°，因此、AGC、、BHF ，所以、C ＝、F ，而、B ＝、E ＝35°，因此可判断相似，故本选项正确；所以D 选项是正确的.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定定理，解答此类题目时要熟知相似三角形的判定方法，即：（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似8．如图，、ABC 中，点D 在AB 上，过点D 作DE、BC 交AC 于点E ，过点E 作 EF、AB 交BC 于点F ，连接CD ，交EF 于点G ，则下列说法不正确的是（ 、A ．BD BF FG FC =B ．DE AE BC AC = C ．AD AE AB AC = D ．BF AD BC AB= 【答案】A【解析】因为DE、BC, 所以,,DE AE AD AE BC AC AB AC== 因为EF、AB, 所以,,BF AE BD BC BC AC FK CF== 所以,BF AD BC AB = 故选A.9．如图， ABC 中， 90C ∠=︒，3,4,AC BC M ==是BC 边上的动点，过M 作//MN AB 交AC 于点,N P 是MN 的中点，当PA 平分BAC ∠时， BM =（ ）A ．2011B ．2013C ．1511D ．2513【答案】A【解析】【分析】根据题意作PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于,E MF AB ⊥于F ，利用相似三角形判定证得BMF BAC ∽，进而设3,PD PE MF x ===建立方程求解即可．【详解】解：作PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于,E MF AB ⊥于F ，则,PD PE MF BMF BAC ==∽．、3,4,AC BC ==、5AB =设3,PD PE MF x ===则26,5CM PD x BM x ===由65114,BC x x x =+==得420 =,1111x BM =． 故选：A ．【点睛】 本题考查三角形动点问题，熟练掌握相似三角形判定并运用方程结合思维进行分析是解题的关键． 10．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分、DCB 交BD 于点F ，且、ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ，下列结论：、、ACD ＝30°；、S 平行四边形ABCD ＝AC BC ⋅；、OE ：AC ＝1：4；、S 、OCF ＝2S 、OEF ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，得到、ABC=、ADC=60°，、BAD=120°，根据角平分线的定义得到、DCE=、BCE=60°推出、CBE 是等边三角形，证得、ACB=90°，求出、ACD=、CAB=30°，故、正确； 由AC、BC ，得到S、ABCD=AC•BC ，故、正确；根据直角三角形的性质得到，根据三角形的中位线的性质得到OE=12BC ，于是得到OE ：AC=6，故、错误；由三角形的中位线可得BC、OE ，可判断、OEF、、BCF ，根据相似三角形的性质得到CF BC EF OE==2，求得S 、OCF =2S 、OEF ；故、正确．【详解】解：、四边形ABCD是平行四边形，、、ABC=、ADC=60°，、BCD=120°，、CE平分、BCD交AB于点E，、、DCE=、BCE=60°、、CBE是等边三角形，、BE=BC=CE，、AB=2BC，、AE=BC=CE，、、ACB=90°，、、ACD=、CAB=30°，故、正确；、AC、BC，、S、ABCD=AC•BC，故、正确，在Rt、ACB中，、ACB=90°，、CAB=30°，，、AO=OC，AE=BE，、OE=12 BC，、OE：6；故、错误；、AO=OC，AE=BE，、OE、BC，、、OEF、、BCF ， 、CF BC EF OE==2 、S 、OCF ：S 、OEF =CF EF =2， 、S 、OCF =2S 、OEF ；故、正确．故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线、相似三角形的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．二、填空题11．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且3AB =，4BC =， 4.8EF =，则DE 的长为__________．【答案】3.6【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】由平行线分线段成比例定理得：AB DE BC EF= 3AB =，4BC =， 4.8EF =34 4.8DE ∴= 解得 3.6DE =故答案为：3.6．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．12．已知x 是正整数，且x 是4和16的比例中项，那么x =______．【答案】8【解析】【分析】根据比例中项的性质进行求解．【详解】解：、x 是4和16的比例中项，且是正整数，、241664x =⨯=，解得8x =．故答案是：8．【点睛】本题考查比例中项的性质，解题的关键是掌握比例中项的性质．13．如图，、ABC 与、A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__、【答案】（9，0）【解析】【分析】【详解】根据位似图形的定义，连接A′A，B′B并延长交于(9，0)，所以位似中心的坐标为(9，0)．故答案为：(9，0)．14．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.【答案】4【解析】【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt、EDC、Rt、CDF，进而可得EDDC=DCFD；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．【详解】如图：过点C作CD、EF，由题意得：、EFC是直角三角形,、ECF=90°，、、EDC=、CDF=90°，、、E+、ECD=、ECD+、DCF=90°，、、E=、DCF，、Rt、EDC、Rt、CDF，有EDDC=DCFD;即DC2=ED FD，代入数据可得DC2=16，DC=4；故答案为4.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键.15．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，且矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则BC 的长为_____．【解析】【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【详解】、矩形ABCD与矩形EABF相似，、AEAB＝ABAD，即121AD＝1AD，解得，AD，、矩形ABCD 的面积＝AB •AD ，．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键.16．如图，////AB EF DC ，//AD BC ，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有__________对．【答案】6【解析】【分析】图中三角形有：、AEG ，、ADC ，、CFG ，、CBA ，因为////AB EF DC ，//AD BC ，所以、AEG、、ADC、、CFG、、CBA ，有6中组合，据此可得出答案.【详解】图中三角形有：、AEG ，、ADC ，、CFG ，、CBA ，、////AB EF DC ，//AD BC ，、、AEG、、ADC、、CFG、、CBA共有6个组合分别为：、AEG、、ADC ，、AEG、、CFG ，、AEG、、CBA ，、ADC、、CFG ，、ADC、、CBA ，、CFG、、CBA故答案为6.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.17．如图，在三角形ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似，则AE＝__________.【答案】9或16【解析】【分析】根据相似三角形的判断，要使得、ADE与、ABC相似，已经满足、BAC＝、DAE，因此只要两边对应成比例即可，由于本题中三角形相似，对应点没有确定，因此分两种情况，画出图形，然后根据相似三角形对应边成比例，就出AE的长.【详解】第一种情况：当、ABC、、ADE时，如图、；、、ABC、、ADE，、AB AC AD AE=，、AB＝24，AC＝18，AD＝12，、2418 12AE=，、AE＝9.第二种情况：当、ABC、、AED ，如图、；、、ABC、、AED ， 、AB AC AE AD=， 、AB ＝24，AC ＝18，AD ＝12， 、241812AE =， 、AE ＝16.故填9或16.考点：相似三角形的性质.18．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE AC ，若:1:4BDE CDE S S ∆∆=，则:BDE ACD S S ∆∆=______.【答案】1:20【解析】【分析】根据、BDE和、CDE高相同得到BE:EC=1:4,再证明、BDE、、BAC,利用面积比等于相似比的平方即可解题.【详解】、、BDE和、CDE高相同,且:1:4BDE CDES S=,、BE:EC=1:4,、//DE AC、、BDE、、BAC,即BE:BC=1：5、:BDE BACS S=1:25、:BDE ACDS S=1、、25-1-4、=1:20【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,熟悉相似三角形性质是解题关键.19．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt、BEF的顶点E在边CD上，且、BEF＝90°，EF＝12 BE，DF BE＝_____．【解析】【分析】过F作FG、CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝12EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝12x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝94，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长．【详解】解：如图所示，过F作FG、CD，交CD的延长线于G，则、G＝90°，、四边形ABCD是矩形，、、C＝90°，AB＝CD＝2，又、、BEF＝90°，、、FEG+、BEC＝90°＝、EBC+、BEC，、、FEG＝、EBC，又、、C＝、G＝90°，、、BCE、、EGF，、FG GE EF EC CB BE ==，即142EG CE EC ==， 、FG ＝12EC ，GE ＝2＝CD ， 、DG ＝EC ，设EC ＝x ，则DG ＝x ，FG ＝12x ， 、Rt、FDG 中，FG 2+DG 2＝DF 2，、（12x ）2+x 22， 解得x 2＝94， 即CE 2＝94，、Rt、BCE 中，BE ==．【点睛】本题主要考查了相似三角形和勾股定理的结合，准确分析计算是解题的关键．20．如图，在直角坐标系中，将OAB 绕原点旋转到OCD ，其中()3,1A -、()4,3B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为_______．【答案】913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】连接AC 、BD ，设点C 的坐标为（a ，b ），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式即可求出OA 、OB ，由旋转的性质即可求出OC 和OD ，从而证出OAC、OBD ，列出比例式即可求出AC ，再利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式列出方程即可求出结论．【详解】解：连接AC 、BD ，设点C 的坐标为（a ，b ）、()3,1A -、()4,3B ，=5由旋转的性质可得，OD=OB=5，、AOC=、BOD、点D 的坐标为（5,0）,OA OC OB OD==OAC、OBD、AC OA BDOB== 解得AC=2、()()222210314a b a b ⎧+=⎪⎨++-=⎪⎩ 解得：95135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或31a b =-⎧⎨=-⎩ 、点C 在第二象限，、95135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即点C 913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 故答案为：913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】此题考查的是坐标与图形的变化、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式，此题难度较大，掌握旋转的性质、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式是解决此题的关键．三、解答题21．化简并求值：已知2,235a c e a c e b d f===-+=，求b -2d+3f 的值． 【答案】52【解析】【分析】 由2a c e b d f===可知2,2,2a b c d e f ===，代入235a c e -+=易得b -2d+3f 的值． 【详解】 解：2a c e b d f=== 2,2,2a b c d e f ∴===232462(23)5a c e b d f b d f ∴-+=-+=-+=5232b d f ∴-+=【点睛】 本题考查了比例的性质，灵活的利用比例进行等量代换是解题的关键.22．如图，已知DE、BC ，FE、CD ，AF ＝3，AD ＝5，AE ＝4．（1）求CE 的长；（2）求AB 的长．【答案】（1）CE＝83；（2）AB＝253．【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式求出AC即可解决问题；（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，然后代入数据计算即可．【详解】解：（1）、FE、CD，、AEAC＝AFAD，即4AC＝35，解得，AC＝203，则CE＝AC﹣AE＝203﹣4＝83；（2）、DE、BC，、ADAB＝AEAC，即5AB＝4203，解得，AB＝253．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．23．如图，在、ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，、AED=、B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且AD DF AC CG=．（1）求证：、ADF、、ACG；（2）若12ADAC=，求AFFG的值．【答案】(1)证明见解析；（2、1.【解析】（1）欲证明、ADF、、ACG，由可知，只要证明、ADF=、C即可．（2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明．【解答】（1）证明：、、AED=、B，、DAE=、DAE，、、ADF=、C，、，、、ADF、、ACG．（2）解：、、ADF、、ACG，、，又、，、，、1．24．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：2CF GF EF=⋅．【答案】详见解析【解析】【分析】由平行四边形对边互相平行，可得平行线分线段成比例，得出比例式进行等比代换即可得证.【详解】解：、四边形ABCD 是平行四边形，、AD BC ∥，AB CD ∥． 、GF DF CF BF =，CF DF EF BF= 、GF CF CF EF =， 即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查证明线段乘积关系，由平行线分线段成比例得到比例式是解决本题的关键.25．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点、ABC （顶点是网格线的交点），在建立的平面直角坐标系中，、ABC 绕旋转中心P 逆时针旋转90°后得到、A 1B 1C 1、、1）在图中标示出旋转中心P ，并写出它的坐标；、2）以原点O 为位似中心，将、A 1B 1C 1作位似变换且放大到原来的两倍，得到、A 2B 2C 2，在图中画出、A 2B 2C 2，并写出C 2的坐标．【答案】、1、见解析、P点坐标为（3、1、、、2、作图见解析、C2的坐标为（2、4）或（﹣2、、4、、【解析】【分析】、1）作BB1和AA1的垂直平分线，它们的交点即为P点，然后写出P点坐标；（2）把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以2或-2得到对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到、A2B2C2、【详解】、、、1）如图，点P为所作，P点坐标为（3、1、、、2）如图，、A2B2C2为所作，C2的坐标为（2、4）或（﹣2、、4、、【点睛】本题考查了位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．26．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE、BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且、AFE=、B（1）求证：、ADF、、DEC；（2）若AB=8，AE的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似、ADF、、DEC.（2）利用、ADF、、DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt、ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.【详解】解：（1）证明：、四边形ABCD是平行四边形，、AB、CD，AD、BC、、C+、B=180°，、ADF=、DEC、、AFD+、AFE=180°，、AFE=、B，、、AFD=、C在、ADF与、DEC中，、、AFD=、C，、ADF=、DEC，、、ADF、、DEC（2）、四边形ABCD是平行四边形，、CD=AB=8．由（1）知、ADF、、DEC，、AD AF DE CD=，、AD CDDE12AF⋅===在Rt、ADE中，由勾股定理得：AE6===27．如图，在菱形ABCD中，60C︒∠=，4AB=,点E是边BC的中点，连接DE,AE.（1）求DE的长；（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若DAG FEG∠=∠,、求证：、AGE∽、DGF；、求DF的长.【答案】（1）DE=（2）、详见解析；、1.【解析】【分析】（1）只要证明DE 是等边、DBC 的高即可解决问题；（2）、由、AGD、、EGF ，可得AG DG EG FG=，即可推出AG EG DG FG =又、AGE=、DGF ，即可推出、AGE、、DGF ； 、根据相似求出EF,再根据勾股定理求出FH 的长，再求出CF 即可解决问题.【详解】解：（1）连结BD4604122∵四边形是菱形，∵△是等边三角形∵点是边的中点ABCD CB CD AB C CDB DB DC BC E BC BE EC BC DE BCDE ︒∴===∠=∴∴===∴===∴⊥∴==（2）、DAG FEG AGD EGFAGD EGFAG DG EG FG AG EG DG FGAGE DGFAGE DGF∠=∠∠=∠∴∴=∴=∠=∠∴∵，△∽△又∵△∽△ 、,9030,901222131∵△∽△∵又∵过点作于点在△中，AGE DGF DE BCEAG GDF C AGD EGF AGE DGFGFE ADG DE EF AE E EH DC HRt ECH FH CF FH CH DF CD CF ︒︒︒⊥∴∠=∠=-∠=∠=∠∠=∠∴∠=∠==∴===⊥==∴=+=+=∴=-=【点睛】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形30°角性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，所以中考常考题型．。

第四章测试卷(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分，共30分，)题号12345678910答案B C A D B C C C A C1.下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( )2.在比例尺为1：500000的交通地图上，玉林到灵山的长度约为 23.6cm ，则它的实际长度约为( )A.0.118km B.1.18km C.118km D.1180km3.如图，以A ，B ，C 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )A.2:1B.3:1C.4:3D.3:24.在△ABC 中,D 是AB 中点,E 是AC 中点,若△ADE 的面积是3，则△ABC 的面积是 ( )A.3 B.6 C.9 D.125.如图,在△ABC 中,点D 在AB 边上,过点 D 作DE ∥BC 交AC 于点E,DF ∥AC 交BC 于F,若AE:DF=2:3,则BF:BC 的值是 ( )A. 23 B. 35 C. 12D. 256.如图,在四边形ABCD 中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是 ( )A.∠DAC=∠ABC B. AC 是∠BCD 的平分线 C.AC²=BC ⋅CD D.ADAB =DCAC7. 若△ABC 的各 边都分别扩大到原来的 2 倍，得到△A ₁B ₁C ₁，下列结论正确的是 ( )A.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的对应角不相等 B.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁不一定相似C.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为1:2 D.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为2:18.如图,点 E 是▱ABCD 的边 BC 延长线上的一点,AE 和CD 交于点G ，AC 是▱ABCD 的对角线，则图中相似三角形共有 ( )A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对9.如图,已知E(-4,2),F(--2,--2),以O 为位似中心,把△EFO 缩小到原来的 12，则点E 的对应点的坐标为( )A.(2,一1)或(-2,1)B.(8,一4)或(一8,4)C.(2,-1)D.(8,-4)10.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 、F 分别在边AD 和CD 上,AF ⊥BE,垂足为G,若 AEED =2,则 AGGF 的值为( )A. 45B. 56C.67D.78二、填空题(每小题3分，共15分)11.若△ABC ∽△A'B'C',且相似比为3:5,已知△ABC 的周长为21,则△A'B'C'的周长为 .12.如图是一架梯子的示意图，其中 AA₁‖BB₁‖CC₁‖DD₁,且AB=BC=CD.为使其更稳固，在A ，D ₁间加绑一条安全绳( 线段AD ₁),量得 AE=0.4m,则 AD₁= m13.如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3m 宽的亮区.已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=7m ，窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高BC 等于 m.14.如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC 与△CDE 的面积比为 .15.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点，且 CF =14CD,下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE ∽△ECF,③AE ⊥EF,④△ADF ∽△ECF.其中正确的结论是 (填序号).三、解答题(本大题8个小题，共75 分)16.(8分)根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. AB =3,BC =4,AC =5,A 'B '=12,B 'C '=16,C 'A '=2017.(9分)如图,D 是△ABC 的边AC 上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C,BC=6,BD=4,如果△ABD 的面积为4,求△BC D 的面积.18.(9分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(4,1),C(1,1).(1)画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A ₁B ₁C ₁;(2)画出△ABC 以点O 为位似中心,相似比为 1:2的△A ₂B ₂C ₂.19.(9分)如图,四边形ABCD 是菱形,AF ⊥BC 交BD 于E,交 BC 于F.求证: AD 2=12DE ⋅DB.20.(10分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一颗大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了 B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆DE，使得点 E 与点C、A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m，测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽 AB.21.(10分)如图,E是平行四边形ABCD的边 DA 延长线上一点,连结 EC 交AB 于 P.(1)写出图中的三对相似三角形(不添加辅助线)；(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由.22.(10分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,则ABAC =BDCD.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图2,过点C作CE∥DA,交 BA的延长线于点 E⋯任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5cm ,AC=4 cm,BC=7 cm.求 BD的长.23.(10分)在矩形 ABCD中,点 E 是对角线AC 上一动点,连接 DE,过点 E 作EF⊥DE 交AB 于点 F.(1)如图1,当DE=DA时,求证:AF=EF;(2)如图2，点E 在运动过程中，DEEF的值是否发生变化?请说明理由.第四章测试卷答案一、选择题1、B2、C3、A4、D5、B6、C7、C8、C9、A 10、C 二、填空题11、35 12、1.2m 13、2.4m 14、4:1 15、②③三、解答题16、解：相似，理由： ∵AB A 'B '=312=14,BC B 'C '=416=14,AC A 'C '=520=14,∴ABA 'B'=BCB 'C '=ACA 'C ',∴ABC ∽A 'B 'C '.17、解:∵∠ABD=∠C,又∠A=∠A,∴△ABD ∽△ACB,S ABD S ACB=(BD CB )2=(46)2=49,18、解：如图所示19、证明:连接AC 交 BD 于点O,∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD,BO=OD,∵AE ⊥AD,∴△AOD ∽△EAD, ∴AD OD=ED AD,∴A D 2=ED ⋅OD,即 A D 2=12DE ⋅DB.20、解:∵CB ⊥AD,ED ⊥AD, ∴∠CBA =∠EDA =90°.∵∠CAB=∠EAD, ∴ABCOADE,∴AB AD=BC DE,∴AB AB +8.5=11.5,∴AB =17,.∴河宽为17m.21、解:(1)△EAP ∽△CBP,△AEP ∽△DEC,△BCP ∽△DEC.(2)选. △EAPO △CBP,理由如下:在▱ABCD 中AD ∥BC,∴∠EAP=∠B.又∵∠APE=∠BPC,∴△EAP ∽△CBP.22、解:(1)证明:如图2,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, ∵CEDA,∴BDCD =BAEA,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∠ACE=∠E,∴AE=AC,∴ABAC =BDCD；(2)∵AD是角平分线, ∴ABAC =BDCD,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm, C.54=BD7−BD,解得BD=359cm.23、解:(1)证明:如图,连接 DF，在矩形ABCD 中,∠DAF=90°,又∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∵AD=DE,DF=DF,∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL),∴AF=EF;(2)DEEF 的值不变.如图,过点E作EM⊥AD于点M,过点E 作EN⊥AB 于点 N,∵EM∥CD,EN∥BC,∴EMCD =AEAC,ENBC=AEAC,∴EMEN=CDBC,∵∠DEF=∠MEN=90°,∴∠DEM=∠FEN,又·∴∠DME=∠ENF=90°,∴△DME⊗△FNE,∴DEEF =EMEN,∴DEEF=CDBC,∵CD 与BC 的长度不变, ∴DEFF的长度不变.。

第四章 图形的相似 单元测试一、单选题1．下列各组线段中，能成比例的是（ ）A ．1 cm ，3 cm ，4 cm ，6 cmB ．2 cm ，1 cm ，4 cm ，1.5 cmC ．0.1 cm ，0.2 cm ，0.3 cm ，0.4 cmD ．3 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cm 【答案】D【解析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．解：A 、1×6≠3×4，故不符合题意；B 、1×4≠2×1.5，故不符合题意；C 、0.1×0.4≠0.2×0.3，故不符合题意；D 、3×8=4×6，故正确．故选：D ．【点睛】根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．2．如图，123l l l ，2AB =，4BC =，3DB =，则DE 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．9【答案】D【解析】 根据平行线分线段成比例解答本题即可．解：∵123l l l ∵AB DB BC BE= ∵2AB =，4BC =，3DB =∵6BE =∵369DE DB BE =+=+=故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是平行线分线段成比例，解此题的关键是利用线段间的比例关系结合已知条件求出BE 的长．3．如图，AB ∵CD ∵MN ，点M ，N 分别在线段AD ，BC 上，AC 与MN 交于点E ．则（ ）A．DM CEAE AM=B．AM BNCN DM=C．DC ABME EN=D．AE CEAM DM=【答案】D【解析】根据平行线分线段成比例列出比例式，进然后行判断即可．解：A、∵AB∵CD∵MN，∵DM CEAM AE=，本选项结论不正确；B、∵AB∵CD∵MN，∵AM BNDM CN=，本选项结论不正确；C、∵AB∵CD∵MN，∵DC ACME AE=，AC ABEC EN=，∵DC ABME EN≠，本选项结论不正确；D、∵AB∵CD∵MN，∵AE CEAM DM=，本选项结论正确；故选：D．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，找准对应关系是解题的关键．4．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝xcm，宽BC＝ycm，把这张纸片沿一组对边AB和D的中点连线EF对折，对折后所得矩形AEFD与原矩形ADCB相似，则x：y的值为（）A ．2BC ．25+D ．2【答案】B【解析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．解：∵四边形ABCD 是矩形，宽BC ＝ycm ，∵AD=BC=ycm ，由折叠的性质得：AE=12AB=12x ， ∵矩形AEFD 与原矩形ADCB 相似， ∵AE AD AD AB =，即12x y y x=， ∵x 2=2y 2，y ，∵x y=． 故选：B ．【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．5．在下列条件中，不能判断∵ABC 与∵DEF 相似的是（ ）A ．∵A ＝∵D ，∵B ＝∵EB ．BC EF ＝AC DF且∵B ＝∵EC．ABDE＝BCEF＝ACDFD．ABDE＝ACDF且∵A＝∵D【答案】B【解析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．解：A、∵A＝∵D，∵B＝∵E，可以得出∵ABC∵∵DEF，故此选项不合题意；B、BCEF＝ACDF，且∵B＝∵E，不是两边成比例且夹角相等，不能得出∵ABC∵∵DEF，故此选项符合题意；C、ABDE＝BCEF＝ACDF，可以得出∵ABC∵∵DEF，故此选项不合题意；D、ABDE＝ACDF，且∵A＝∵D，可以得出∵ABC∵∵DEF，故此选项不合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．6．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高米，那么窗口底部离地面的高度BC为（）A．2米B．2.5米C．3米D．4米【答案】B【解析】根据光沿直线传播的道理可知AD∵BE，则∵BCE∵∵ACD，根据相似三角形的对应边的比相等即可解答．由题意知，可得，∵，∵（米），米，∵，∵米，故选B.【点睛】题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．7．∵∵∵∵∵∵ABCD∵∵∵∵AC∵BD∵∵∵∵O∵∵ACB∵∵∵∵∵∵∵∵AB∵BD∵M∵N∵∵∵∵AM∵2∵∵∵∵O N∵∵∵( )A ．2B ．2C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】作MH∵AC 于H ，如图，根据正方形的性质得∵MAH=45°，则∵AMH 为等腰直角三角形，所以，再根据角平分线性质得，则，于是利用正方形的性质得到AB=2，OC=12+1，所以CH=AC -，然后证明∵CON∵∵CHM ，再利用相似比可计算出ON 的长．【详解】 试题分析：作MH∵AC 于H ，如图，∵四边形ABCD 为正方形，∵∵MAH=45°，∵∵AMH 为等腰直角三角形，， ∵CM 平分∵ACB ，），∵OC=12，CH=AC ﹣+2， ∵BD∵AC ，∵ON∵MH ，∵∵CON∵∵CHM ，∵ON OCMH CH == ∵ON=1．故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．8．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,4)A -，(8,2)B --，以原点O 为位似中心，相似比为12，把ABO ∆缩小，则点A 的对应点A '的坐标是（ ）A ．(1,2)-B ．(9,18)-C ．(9,18)-或(9,18)-D ．(1,2)-或(1,2)-【答案】D【解析】【分析】根据位似变换的性质计算即可.【详解】 解：点()2,4A -，()8,2B --，以原点O 为位似中心，相似比为12，把ABO ∆缩小，则点A 的对应点A '的坐标是112,422⎛⎫-⨯⨯ ⎪⎝⎭或112,422⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()1,2-或()1,2-. 故选：D.【点睛】本题考查位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.9．如图，平行四边形ABCD 中，M 为BC 边的中点，DM 交AC 于点E ，则图中阴影部分面积与平行四边形ABCD 的面积之比为（ ）A ．1:2B ．2:5C ．5:12D ．6:13【答案】C【解析】【分析】 根据等底等高的三角形面积比和相似三角形的相似比推出阴影部分面积．【详解】设平行四边形的边AD =2a ，AD 边上的高为3b ；过点E 作EF ∵AD 交AD 于F ，延长FE 交BC 于G∵平行四边形的面积是6ab∵FG =3b∵AD ∵BC∵∵AED ∵∵CEM∵M 是BC 边的中点， ∵2EF AD EG MC==, ∵EF =2b ，EG =b ∵1122CEM S EG CM ab =⨯=∵1322CDM ACM S SFG CM ab ==⨯= ∵CDE CDM CEM S S S ab =-= ∵阴影部分面积=52ACM CDE S S ab =+= ∵阴影部分面积：平行四边形ABCD 的面积=5:65:122ab ab = 故选：C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边上的高线的比等于相似比．10．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，MN 垂直平分AC ，延长BC 至点D ，使12CD BC =，连接．DN 若5DN ，则AB 等于（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C【解析】【分析】 根据垂直平分线的性质证明AMN ABC ，可得到12MN BC =，即可得到MN CD =，得到△△Rt AMN Rt NDC ≅，即可得到结果；【详解】由题意知：MN 垂直平分AC ，∵12AN CN AC ==，90ANM ∠=︒， ∵90ACB ∠=︒，∵MN BC ，90ACD ∠=︒，∵AMN ABC ，90ANM ACB ∠=∠=︒， ∵12AN AM NM AC AB BC ===， ∵12MN BC =， ∵12CD BC =， ∵MN CD =，在Rt∵AMN 和Rt∵NDC 中，AN NC NM CD⎧=⎨=⎩， ∵△△Rt AMN Rt NDC ≅，∵AM DN =，∵5DN ，∵5AM =，512AB =， ∵10AB =．故选：C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形性质和判定及相似三角形的判定和性质，准确计算是解题的关键．11．如图，D∵E分别是∵ABC的边AB∵BC上的点，且DE∵AC∵AE∵CD相交于点O，若S∵DOE∵S∵COA=1∵25，则S∵BDE与S∵CDE的比是（）A．1∵3B．1∵4C．1∵5D．1∵25【答案】B【解析】【详解】∵DE∵AC∵∵∵DOE∵∵COA∵∵S∵DOE∵S∵COA=1∵25∵∵15 DEAC=∵∵DE∵AC∵∵15 BE DEBC AC==∵∵14 BEEC=∵∵S∵BDE∵S∵CDE∵∵∵1∵4∵∵∵B∵12．如图，在线段BD上任取一点C，将线段CB逆时针旋转90︒得到线段AB，将线段CD顺时针旋转90︒得到线段ED，连接AE，AC，CE，M是AE的中点，连接BM交AC于点P，连接DM交CE于点Q．直线PQ分别交AB，ED于F，G两点，有下列结论：∵BM DM⊥；∵四边形AFGE为平行四边形；∵FP GQ PQ+=；∵2BF DGAF=⋅．其中正确的结论是（）A．∵∵∵B．∵∵∵C．∵∵∵D．∵∵∵∵【答案】D【解析】【分析】∵过点M作MN∵BD，垂足为N，则MN∵DE∵AB，根据平行线分线段成比例定理得出N为BD中点，由线段垂直平分线的性质得到BM=DM，再根据梯形中位线、等腰直角三角形的性质得出MN=12BD，则∵BMD=90°，判断∵正确；∵先由等腰直角三角形的性质及三角形内角和定理得出∵BPC=90°，再根据等腰三角形三线合一的性质得出AP=PC，同理得出EQ=QC，则PQ是∵CAE的中位线，由三角形中位线定理得到PQ∵AE，PQ=12AE，又AF∵EG，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断∵正确；∵先由平行四边形的性质得出FG=AE，又由∵知PQ=12AE，则FP+GQ=12AE=PQ，判断∵正确；∵先证明∵APF=∵DQG，又∵FAP=∵GDQ=45°，根据两角对应相等的两三角形相似得出∵APF∵∵DQG，由相似三角形对应边成比例得出AF PFDG QG=，同理∵BPF∵∵EQG，PF BFQG EG=，则AF BFDG EG=，AF•EG=BF•DG，又AF=EG，判断∵正确．【详解】解：∵过点M作MN∵BD，垂足为N，则MN∵DE∵AB，∵点M是AE的中点，∵N为BD中点，即MN垂直平分BD，∵BM=DM．∵MN是梯形ABDE的中位线，∵MN=12（AB+ED）=12（BC+CD）=12BD=BN=ND，∵∵BMD=90°，即BM∵DM，故∵正确；∵∵∵BMD、∵ABC均是等腰直角三角形，∵∵MBD=∵ACB=45°，∵∵BPC=90°，即BP∵AC，∵AP=PC，同理EQ=QC，∵PQ是∵CAE的中位线，∵PQ∵AE，PQ=12 AE，又∵AF∵EG，∵四边形AFGE为平行四边形，故∵正确；∵∵四边形AFGE为平行四边形，∵FG=AE，∵PQ=12 AE，∵FP+GQ=FG-PQ=AE-12AE=12AE=PQ，即FP+GQ=PQ，故∵正确；∵∵∵ACB=∵MDB=45°，∵AC∵DM，∵∵CPQ=∵MQP，∵∵APF=∵CPQ，∵MQP=∵DQG，∵∵APF=∵DQG，∵∵FAP=∵GDQ=45°，∵∵APF∵∵DQG，∵AF PF DG QG=，同理∵BPF∵∵EQG，∵PF BF QG EG=，∵AF BF DG EG=，∵AF•EG=BF•DG，∵四边形AFEG是平行四边形，∵AF=EG，∵AF2=BF•DG，故∵正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，线段垂直平分线的性质，三角形与梯形中位线的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形、平行四边形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．二、填空题13．8与2的比例中项是_____________．【答案】4或﹣4【解析】【分析】先根据比例中项的定义列出比例式，再利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．【详解】解：设8与2的比例中项是x，可得：8：x=x：2，解得：x=4或﹣4，故答案为：4或﹣4【点睛】本题主要考查了比例线段问题，关键是利用比例中项和比例的基本性质解答．14．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝10．则AP＝__（结果保留根号）．【答案】5【解析】【分析】根据黄金分割比的定义计算即可．【详解】根据黄金分割比，有1110522AP AB -==⨯=故答案为：5．【点睛】本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比的定义是解题的关键．15．如图，在∵ABC 中，M 是AC 边中点，E 是AB 上一点，且AE ＝14AB ，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，此时BC∵CD 为__________．【答案】2∵1【解析】【分析】过C 点作CP∵AB ，交DE 于P ，由PC∵AE 知PC CM AE AM =，由AM=CM ，得PC=AE ，根据AE ＝14AB 得CP ＝14AB ，CP ＝13BE ，由CP∵BE 得13CP CD BE BD ==，可得BD=3CD ，继而得到答案. 【详解】过C 点作CP ∵AB ，交DE 于P ，如图，∵PC ∵AE ， ∵PC CM AE AM=， 而AM =CM ，∵PC =AE ，∵AE =14AB ， ∵CP =14AB ， ∵CP =13BE ， ∵CP ∵BE ， ∵13CP CD BE BD ==， ∵BD =3CD ，∵BC =2CD ，即BC :CD 为2:1，故答案为：2:1.【点睛】本题考查平行线分线段成比例.16．如图，在ABC △中，若21BD DC CE EA ==∶∶∶，AD 与BE 交于F ，则AF FD =∶________.【答案】34【解析】【分析】过点D 作DH BE ∥交AC 于点H ，根据平行线分线段成比例进行计算即可得到答案.【详解】过点D 作DH BE ∥交AC 于点H ，∵2EH BD HC DC ==，∵23EH CE =，∵::2:1BD DC CE EA ==，∵1324AE CE EH ==，∵34AF AE FD EH ==.【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例.17．两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形周长为36cm ，则较大多边形周长为_____．【答案】48cm【解析】【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．【详解】解：两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4：3．相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为xcm ， 则有36x ＝43， 解得：x ＝48大多边形的周长为48cm ．故答案为48cm ．【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．18．如图，∵ABC 中，P 为AB 上点，在下列四个条件中：∵∵AC P=∵B ；∵∵APC =∵ACB ：∵∵CAP =∵BAC ；∵AC AP AB AC．能确定∵APC 和∵ACB 相似的是___________（只填写序号）．【答案】∵∵∵【解析】【分析】∵和∵根据两组角相等证明相似，∵根据两组对应边成比例且夹角相等证明相似．【详解】解：∵∵ACP B ∠=∠，CAP BAC ∠=∠，∵APC ACB ； ∵∵APC ACB ∠=∠，CAP BAC ∠=∠，∵APC ACB ； ∵不可以证明； ∵∵AC AP AB AC =，CAP BAC ∠=∠，∵APC ACB ．故答案是：∵∵∵．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟悉相似三角形的判定方法．19．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的P 点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．【答案】22.5【解析】根据题意画出图形，构造出∵PCD∵∵PAB ，利用相似三角形的性质解题．解：过P 作PF∵AB ，交CD 于E ，交AB 于F ，如图所示设河宽为x 米．∵AB∵CD ，∵∵PDC=∵PBF ，∵PCD=∵PAB ，∵∵PDC∵∵PBA ， ∵AB PF CD PE=， ∵AB 15x CD 15+=， 依题意CD=20米，AB=50米， ∵1520 5015x =+， 解得：x=22.5（米）．答：河的宽度为22.5米．20．已知：如图，()6,2-E ，()2,2--F ，以原点O 为位似中心，相似比1:2，把EFO △在点O 另一侧缩小，则点E 的对应点'E 的坐标为________．【答案】()31-,【分析】根据题意，可得2'OE OE =，且点'E 在第四象限，又由E 的坐标，计算可得答案．【详解】解：根据题意，可得2'OE OE =，且点'E 在第四象限；又由E 的坐标为()6,2-，则对应点'E 的坐标为()3,1-．故答案是：()3,1-【点睛】本题主要考查位似图形的坐标特征，熟练掌握坐标系中位似图形对应点的坐标特征，是解题的关键． 21．如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，点D 在AB 上，连接CD ，2ADC A ∠=∠，4AC =，5BC =，则线段CD =___________________．【解析】【分析】作CE ＝AC 交AB 于E ，证明∵DCE 是等腰三角形，过点D 作DF∵CE 于F ，求出CF ＝2，然后证明∵ABC∵∵CDF ，利用相似三角形的性质列出比例式计算即可．解：如图，作CE＝AC交AB于E，则∵A＝∵CEA，CE＝4，∵∵ADC＝∵DCE＋∵CEA，∵ADC＝2∵A，∵∵DCE＝∵A＝∵CEA，∵DC＝DE，过点D作DF∵CE于F，则CF＝EF＝12CE＝2，∵∵DCE＝∵A，∵DFC＝∵BCA＝90°，∵∵ABC∵∵CDF，∵CF CD AC AB，在Rt∵ABC中，AB，∵2441，∵41 CD，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，通过作辅助线，构造出等腰三角形和相似三角形是解题的关键．22．如图，在矩形ABCD 中， 6,,AD AE BD =⊥垂足为,3E ED BE =，点,P Q 分别在,BD AD 上，则AP PQ +的最小值为 ___________【答案】【解析】【分析】 在Rt∵ABE 中，利用三角形相似可求得AE 、DE 的长，设A 点关于BD 的对称点A′，连接A′D ，可证明∵ADA′为等边三角形，当PQ∵AD 时，则PQ 最小，所以当A′Q∵AD 时AP+PQ 最小，从而可求得AP+PQ 的最小值等于DE 的长，可得出答案.【详解】解：设BE=x ，则DE=3x ，∵四边形ABCD 为矩形，且AE∵BD ，∵∵ABE∵∵DAE ，∵AE 2=BE•DE ，即AE 2=3x 2，，在Rt∵ADE 中，由勾股定理可得AD 2=AE 2+DE 2，即62=）2+（3x ）2，解得∵AE=3，如图，设A 点关于BD 的对称点为A′，连接A′D ，PA′，则A′A=2AE=6=AD ，AD=A′D=6，∵∵AA′D 是等边三角形，∵PA=PA′，∵当A′、P 、Q 三点在一条线上时，A′P+PQ 最小，又垂线段最短可知当PQ∵AD 时，A′P+PQ 最小，∵AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=故答案为：【点睛】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A 的对称点，从而确定出AP+PQ 的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明∵A′DA 是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．三、解答题23．已知::3:4:5x y z =．（1）求x y z+的值； （2）若6x y z ++=，求x 、y 、z ．【答案】（1）75x y z +=；（2） 1.5,2, 2.5x y z === 【解析】（1）根据比例的意义，用a 表示x ，y ，z ，根据分式的性质，可得答案；（2）根据解方程，可得a ，可得答案．【详解】（1）设3,4,5x a y a z a ===，34755x y a a z a ++==； （2）将3,4,5x a y a z a ===代入6x y z ++=，得3456a a a ++=，解得0.5a =所以3 1.5,42,5 2.5x a y a z a ======【点睛】本题考查了比例的性质与分式的性质，利用a 表示出x ，y ，z 是解题关键．24．如图，已知AD∵EB∵FC ，AC=12，DB=3，BF=7，求EC 的长．【答案】EC 的长为425． 【解析】【分析】根据AD∵EB∵FC ，由平行线分线段成比例可得EC ：AC= BF ：DF ，代入数据计算即可．∵AD∵EB∵FC，∵EC：AC= BF：DF，∵EC：12=7：10，∵EC=425．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线写出对应比例式是解题的关键．25．如图，B、C、D、N分别是∵AMO边AO、MO上的点，MC∵ND，OB ODAB CD=，求证：NB∵MA【答案】证明过程见解析【解析】【分析】利用平行线分线段成比例就可解决问题．【详解】解：∵MC∵ND∵OD ON CD MN=∵ OB OD AB CD=∵OB ON AB MN∵NB∵MA【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．26．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE∵BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∵AFE=∵B（1）求证：∵ADF∵∵DEC；（2）若AB=8，AE的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似∵ADF∵∵DEC.（2）利用∵ADF∵∵DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt∵ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB∵CD，AD∵BC∵∵C+∵B=180°，∵ADF=∵DEC∵∵AFD+∵AFE=180°，∵AFE=∵B，∵∵AFD=∵C在∵ADF与∵DEC中，∵∵AFD=∵C，∵ADF=∵DEC，∵∵ADF∵∵DEC（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∵CD=AB=8．由（1）知∵ADF∵∵DEC，∵AD AF DE CD=，∵AD CDDE12AF⋅===在Rt∵ADE中，由勾股定理得：AE6===27．如图，在∵ABC中，BA＝BC，过C点作CE∵BC交∵ABC的角平分线BE于点E，连接AE，D是BE 上的一点，且∵BAD＝∵CAE.求证：∵ABD∵∵ACE.【答案】证明见解析.【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质得出BE∵AC，利用等角代换可证明出∵ABD＝∵ACE，继而可得出结论.【详解】∵BA＝BC，BE平分∵ABC，∵∵ABE＝∵CBE，BE∵AC(等腰三角形三线合一的性质)，∵∵CBE+∵ACB＝90°，又∵CE∵BC，∵∵ACE+∵ACB＝90°，∵∵CBE＝∵ACE，∵∵ABE＝∵ACE，∵∵BAD＝∵CAE，∵∵ABD∵∵ACE.【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质及等角代换的知识得出∵ABE=∵ACE，另外要求同学们掌握相似三角形的判定定理．28．如图，∵ABC中，∵BAC＝90°，∵B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将∵ACD沿AD折叠，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E．（1）求∵BDE的度数．（2）求证：∵DEB∵∵ADB．（3）若BC＝4，求BE的长．【答案】（1）36°；（2）详见解析；（31【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∵C=90°-∵B=54°．由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD=BD=CD，利用等腰三角形的性质求出∵BAD=∵B=36°，∵DAC=∵C=54°，利用三角形内角和定理求出∵ADC=180°-∵DAC-∵C=72°．再根据折叠的性质得出∵ADF=∵ADC=72°，然后根据平角的定义得出∵BDE=180°-∵ADC-∵ADF=36°．（2）根据∵B＝∵B，∵BDE＝∵BAD证明即可；（3）由∵DEB∵∵ADB得BE BDBD AB，设BE＝x得方程x(x+2)=4∵求解方程即可.【详解】（1）∵在Rt∵ABC中，∵BAC=90°，∵B=36°，∵∵C=90°-∵B=54°．∵AD是斜边BC上的中线，∵AD=BD=CD，∵∵BAD=∵B=36°，∵DAC=∵C=54°，∵∵ADC=180°-∵DAC-∵C=72°．∵将∵ACD沿AD对折，使点C落在点F处，∵∵ADF=∵ADC=72°，∵∵BDE=180°-∵ADC-∵ADF=180°-72°-72°=36°．（2）∵∵BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，∵AD＝BD，∵∵B＝36°，∵∵BAD＝36°，∵∵BDE＝36°，∵∵B＝∵B，∵BDE＝∵BAD，∵∵DEB∵∵ADB．（3）∵∵DEB∵∵ADB，∵BE BDBD AB=，设BE＝x，∵BC＝4，∵(2)4x x+=，∵BE＝x1【点睛】此题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．29．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．【答案】13.5m【解析】【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用∵CGE∵∵AHE，得出CG EGAH EH=，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m．【详解】解：∵CD∵FB，AB∵FB，∵CD∵AB∵∵CGE∵∵AHE∵CG EG AH EH=即：CD EF FD AH FD BD-=+∵3 1.62215 AH-=+∵AH＝11.9∵AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．【点睛】此题考查的是相似三角形的应用,掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键.30．如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线． 如图2，在∵ABC 中，∵A=36°，AB=AC ，∵C 的平分线交AB 于点D ．（1）证明点D 是AB 边上的黄金分割点；（2）证明直线CD 是∵ABC 的黄金分割线．【答案】∵1∵详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)证明AD=CD=BC,证明∵BCD∵∵BCA,得到BC BD AB BC =.则有AD BD AB AD =,所以点D 是AB 边上的黄金分割点;(2)证明::ACD ABC BCD ACD SS S S =,直线CD 是∵ABC 的黄金分割线;【详解】 解：(1)点D 是AB 边上的黄金分割点.理由如下:AB=AC,∵A=36o ,∴∵B=∵ACB=72o .∴CD 是角平分线, ∴∵ACD=∵BCD=36o ,∴∵A=∵ACD,∴AD=CD.∴∵CDB=180o 180-∵B -∵BCD=72o ,∴∵CDB=∵B,∴BC=CD.∴BC=AD.在∵BCD 与∵BCA 中, ∵B=∵B,∵BCD=∵A=36o ,∴∵BCD∵∵BCA, ∴BC BD AB BC= ∴AD BD AB AD= ∴点D 是AB 边上的黄金分割点.(2)直线CD 是∵ABC 的黄金分割线.理由如下:设ABC 中,AB 边上的高为h,则12ABC S AB h =⋅,12ACD S AD h =⋅,12BCD S BD h =⋅, ∴::ACD ABC S S AD AB =::BCD ACD S S BD AD =由（1）得点D 是AB 边上的黄金分割点，AD BD AB AD= ∴::ACD ABC BCD ACD S S S S =∵∴直线CD 是∵ABC 的黄金分割线【点睛】本题主要考查三角想相似及相似的性质，注意与题中黄金分割线定义相结合解题.31．如图，（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在∵ABC 中，点O 在线段BC 上，∵BAO ＝20°，∵OAC ＝80°，AO ＝BO ：CO ＝1：3，求AB 的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∵AC，交AO的延长线于点D，通过构造∵ABD就可以解决问题（如图2），请回答：∵ADB＝°，AB＝．（2）请参考以上思路解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC∵AD，AO＝∵ABC＝∵ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．【答案】（1）80，（2）DC＝【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∵ADB＝∵OAC＝80°，即可证明∵BOD∵∵COA，可得13OD OBOA OC==，求出AD的长度，再根据角的和差关系得∵ABD＝180°﹣∵BAD﹣∵ADB＝80°＝∵ADB，即可得出AB＝AD＝8（2）过点B作BE∵AD交AC于点E，通过证明∵AOD∵∵EOB，可得BO EO BEOD AO DA==，根据线段的比例关系，可得AB＝2BE，根据勾股定理求出BE的长度，再根据勾股定理求出DC的长度即可．【详解】解：（1）∵BD∵AC，∵∵ADB＝∵OAC＝80°，∵∵BOD＝∵COA，∵∵BOD∵∵COA ， ∵13OD OB OA OC ==∵AO ＝∵OD ＝13AO ＝∵AD ＝AO+OD ＝，∵∵BAD ＝20°，∵ADB ＝80°，∵∵ABD ＝180°﹣∵BAD ﹣∵ADB ＝80°＝∵ADB ，∵AB ＝AD ＝，故答案为：80，（2）过点B 作BE∵AD 交AC 于点E ，如图3所示：∵AC∵AD ，BE∵AD ，∵∵DAC ＝∵BEA ＝90°，∵∵AOD ＝∵EOB ，∵∵AOD∵∵EOB ， ∵BO EO BE OD AO DA== ∵BO ：OD ＝1：3， ∵13EO BE AO DA ==∵AO ＝∵EO ＝13AO ＝∵AE ＝AO+EO ＝∵∵ABC ＝∵ACB ＝75°，∵∵BAC ＝30°，AB ＝AC ，∵AB ＝2BE ，在Rt∵AEB 中，BE 2+AE 2＝AB 2，即（2+BE 2＝（2BE ）2，解得：BE ＝8，∵AB ＝AC ＝16，AD ＝3BE ＝24，在Rt∵CAD 中，AC 2+AD 2＝DC 2，即162+242＝DC 2，解得：DC ＝【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握平行线的性质、相似三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．。

第四章 图形的相似一、选择题(本大题共7小题，共28分)1．已知x y ＝32，那么下列等式中，不一定正确的是( )A .x ＋2y ＋2＝32B ．2x ＝3yC .x ＋y y ＝52 D .x x ＋y ＝352．如图4－Z －1，l 1∥l 2∥l 3，已知AB ＝6 cm ，BC ＝3 cm ，A 1B 1＝4 cm ，则线段B 1C 1的长为( )A ．6 cmB ．4 cmC ．3 cmD ．2 cm图4－Z －1图4－Z －23．如图4－Z －2所示，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 边上的点，AB ∥DE ，CF 为AB 边上的中线．若AD ＝5，CD ＝3，DE ＝4，则BF 的长为( )A .323B .163C .103D .83图4－Z －34．如图4－Z －3，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论：①DE BC ＝12；②S △DOE S △COB ＝12；③AD AB ＝OE OB ；④S △ODB S △BDC ＝13.其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠C ＝∠F ＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是( )A ．∠A ＝55°，∠D ＝35°B ．AC ＝9，BC ＝12，DF ＝6，EF ＝8 C ．AC ＝3，BC ＝4，DF ＝6，DE ＝8D ．AB ＝10，AC ＝8，DE ＝15，EF ＝96．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为( )A ．12.36 cmB ．13.64 cmC ．32.36 cmD ．7.64 cm7．如图4－Z －4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6 cm ，点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒 2 cm 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1 cm 的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P ′.设点Q 运动的时间为t s ，若四边形QPCP ′为菱形，则t 的值为( )图4－Z －4A . 2B ．2C ．2 2D ．3二、填空题(本大题共6小题，共24分)8．有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m ．在图纸上，这条边的长为5 cm ，其他两条边的长都为4 cm ，则其他两边的实际长度都是________ m .9．若a 5＝b 7＝c8，且3a －2b ＋c ＝3，则2a ＋4b －3c ＝________．10．已知甲、乙两个相似三角形对应中线之比为1∶2，甲三角形的面积为5 cm 2，则乙三角形的面积为__________．11．如图4－Z －5，在两个直角三角形中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，AC ＝6，AD ＝2.当AB ＝________时，△ABC ∽△ACD.4－Z－54－Z－612．如图4－Z－6，数学兴趣小组想测量电线杆AB的高度，他们发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝4 m，BC＝10 m，CD与地面成30°角，且此时测得高1 m的标杆的影长为2 m，则电线杆的高度为________m(结果保留根号)．图4－Z－713．如图4－Z－7，将边长为6 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C 落在点Q处，EQ与BC相交于点G，则△EBG的周长是________ cm.三、解答题(共48分)14．(10分)如图4－Z－8，矩形ABCD是台球桌面，AD＝260 cm，AB＝130 cm，球目前在E的位置，AE ＝60 cm，如果小宝瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点D的位置．(1)求证：△BEF∽△CDF；(2)求CF的长．图4－Z－815．(12分)如图4－Z－9，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△A′B′C′.(1)在图中的第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；(2)求△A′B′C′的面积．图4－Z－916．(12分)如图4－Z－10，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝12 cm，高AD＝8 cm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？图4－Z－1017．(14分)如图4－Z－11，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M为AD的中点，连接CM交BD于点N，且ON＝1.(1)求BD的长；(2)若△CND的面积为2，求四边形ABNM的面积．图4－Z－11详解1．A2．D [解析] ∵l 1∥l 2∥l 3，∴A 1B 1B 1C 1＝AB BC. ∵AB ＝6 cm ，BC ＝3 cm ，A 1B 1＝4 cm ， ∴4B 1C 1＝63，∴B 1C 1＝2(cm)．故选D. 3．B 4.C5．C [解析] A 项，∵∠A ＝55°，∴∠B ＝90°－55°＝35°.∵∠D ＝35°，∴∠B ＝∠D .又∵∠C ＝∠F ，∴△ABC ∽△EDF ；B 项，∵AC ＝9，BC ＝12，DF ＝6，EF ＝8，∴AC DF ＝BC EF ＝32.又∵∠C ＝∠F ，∴△ABC ∽△DEF ；C 项，有一组角相等、两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；D 项，易得AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE ＝15，DF ＝12，EF ＝9，∴AC DF ＝BC EF ＝23.又∵∠C ＝∠F ，∴△ABC ∽△DEF .故选C.6．A7．B [解析] 连接PP ′交BC 于点O ，∵四边形QPCP ′为菱形，∴PP ′⊥QC ，∴∠POQ ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴PO ∥AC ，∴AP AB ＝CO CB .∵点Q 运动的时间为t s ，∴AP ＝2t ，QB ＝t ，∴QC ＝6－t ，∴CO ＝3－t2.∵AC ＝CB ＝6，∠ACB ＝90°，∴AB ＝6 2，∴2t6 2＝3－t26，解得t ＝2.8．20 [解析] 设其他两边的实际长度都是x m ，由题意，得x 4＝255，解得x ＝20.即其他两边的实际长度都是20 m.9.143 [解析] 设a 5＝b 7＝c8＝x ，则a ＝5x ，b ＝7x ，c ＝8x .因为3a －2b ＋c ＝3，所以15x －14x ＋8x ＝3，解得x ＝13，所以2a ＋4b －3c ＝10x ＋28x －24x ＝14x ＝143.10．20 cm 211.312．(7＋3)[解析] 如图，过点D 作DE ⊥BC 交其延长线于点E ，连接AD 并延长交BC 的延长线于点F ，∵CD ＝4 m ，CD 与地面成30°角，∴DE ＝12CD ＝12×4＝2(m)，CE ＝CD 2－DE 2＝2 3 m ．∵高1 m 的标杆的影长为2 m ，∴DE EF ＝12，AB BF ＝12，∴EF ＝2DE ＝2×2＝4(m)，∴BF ＝BC ＋CE ＋EF ＝10＋2 3＋4＝(14＋2 3)m ，∴AB ＝12×(14＋2 3)＝(7＋3)m.13．[全品导学号：52652189]12 [解析] 根据折叠的性质可得∠FEG ＝90°，设AF ＝x cm ，则EF ＝(6－x )cm.在Rt △AEF 中，AF 2＋AE 2＝EF 2，即x 2＋32＝(6－x )2，解得x ＝94，所以AF ＝94 cm ，EF ＝154 cm ，根据△AFE ∽△BEG ，可得AF BE ＝AE BG ＝EF EG ，即943＝3BG ＝154EG，所以BG ＝4 cm ，EG ＝5 cm ，所以△EBG 的周长为3＋4＋5＝12(cm)．14．解：(1)证明：由题意，得∠EFG ＝∠DFG .∵∠EFG ＋∠BFE ＝90°，∠DFG ＋∠CFD ＝90°，∴∠BFE ＝∠CFD . 又∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△BEF ∽△CDF . (2)∵△BEF ∽△CDF ，∴BE CD ＝BF CF ，即70130＝260－CF CF， ∴CF ＝169(cm)．15．解：(1)△A ′B ′C ′如图所示．(2)图中每个小正方形的边长为1个单位长度，由勾股定理可得AC ＝2，AB ＝CB ＝5，AC 边上的高＝（5）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝322，所以△ABC 的面积S ＝12×2×32 2＝32.设△A ′B ′C ′的面积为S ′，因为△ABC ∽△A ′B ′C ′，所以S S ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，得S ′＝4S ＝4×32＝6，即△A ′B ′C ′的面积为6.16．解：如图，∵四边形EFHG 是正方形， ∴EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，而AD ⊥BC ， ∴EF BC ＝AK AD.设正方形EFHG 的边长为x cm ，则AK ＝(8－x )cm ，∴x 12＝8－x 8，解得x ＝4.8. 答：这个正方形零件的边长为4.8 cm.17．解：(1)∵在▱ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝BC ，OB ＝OD ， ∴∠DMN ＝∠BCN ，∠MDN ＝∠NBC ， ∴△MND ∽△CNB ， ∴MD CB ＝DN BN. ∵M 为AD 的中点，∴MD ＝12AD ＝12BC ，即MD CB ＝12，∴DN BN ＝12，即BN ＝2DN . 设OB ＝OD ＝x ，则BD ＝2x ，BN ＝OB ＋ON ＝x ＋1，DN ＝OD －ON ＝x －1，∴x ＋1＝2(x －1)，解得x ＝3， ∴BD ＝2x ＝6.(2)∵△MND ∽△CNB ，且相似比为1∶2， ∴MN ∶CN ＝DN ∶BN ＝1∶2，∴S △MND ＝12S △CND ＝1，S △CNB ＝2S △CND ＝4，∴S △ABD ＝S △BCD ＝S △CNB ＋S △CND ＝4＋2＝6， ∴S 四边形ABNM ＝S △ABD －S △MND ＝6－1＝5.。

第四章图形的相似数学九年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，若AB=2，BC=4．则DC的长度为（）A.1B.C.3D.22、如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N，设△BPQ, △DKM, △CNH 的面积依次为S1， S2， S3。

若S1+ S3=20，则S2的值为 ( )A.8B.10C.12D.3、如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A' 处，得到折痕BM，且BM与EF相交于点N，若直线BA'交直线CD 于点O，BC ＝，EN ＝，则OD的长为（）A. B.1 C. D.4、如图，，∠1＝∠2，则对于结论：①△ABE∽△ACF；②△ABC∽△AEF ③④，其中正确的结论的个数是（）A.1B.2C.3D.45、若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为（）A.1：4B.1：2C.2：1D.1：6、如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为（）A.6B.5C.2D.7、若△ABC∽△DEF，且面积比为1 ：9，则△ABC与△DEF的周长比为（）A.1 ：3B.1 ：9C.3 ：1D.1 ：818、如图，在▱ABCD中，点E、F分别为边AD、BD上的点，EF∥AB.若DE= EA，EF=4，则CD的长为（）A.6B.8C.12D.169、如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A.1：1B.1：2C.1：3D.2：310、下列命题是真命题的是（）A.相等的角是对顶角B.两直线被第三条直线所截，内错角相等 C.若m 2=n 2,则m=n D.所有的等边三角形都相似11、如图，在矩形ABCD中，AD＝AB.将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G.下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC＝MP；④BP＝AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心.其中正确的个数为（）A.2个B.3个C.4个D.5个12、如图1，在等边三角形和矩形中，，点，，都在直线上，且于点，于点，且，，三点共线，将矩形以每秒1个单位长度的速度从左向右匀速运动，直至矩形和：无重叠部分；设矩形运动的时间为秒，矩形和重叠部分的面积为；图2为随的变化而变化的函数图象，则函数图象中点的纵坐标是（）A. B. C. D.13、在△ABC中，点D、E在AB，AC上，给出下列四组条件：①∠ADE=∠C②AD•AB=AE•AC③AD=4，AB=6，DE=2，BC=3④AD：AB=1：3，AE：EC=1：2从其中任选一组条件，能判定△ABC和△ADE相似的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个14、下列说法中正确的是（）A.所有的等腰三角形都相似B.所有的矩形都相似C.所有的等腰直角三角形都相似D.所有的菱形都相似15、如图所示，某校宣传栏后面2米处种了一排树，每隔2米一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3米处，正好看到两端的树干，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的长为（）米．（不计宣传栏的厚度）A.4B.5C.6D.8二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE：AE=1：5，BE=3，则△ABD的面积为________ ．&nbsp;17、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的直角顶点C在第一象限，CB⊥x轴于点B，点A在第二象限，AB与y轴交于点G，且满足AG＝OG＝BG，反比例函数y＝的图象分别交BC，AC于点E，F，CF＝k.以EF为边作等边△DEF，若点D恰好落在AB 上时，则k的值为________18、如图，已知A（-4，0）、B（0，3），一次函数与坐标轴分别交于C、D 两点，G为CD上一点，且DG：CG＝1：2，连接BG，当BG平分∠ABO时，则b的值为________.19、若，则________．20、如图，扇形中，. 为弧上的一点，过点作，垂足为，与交于点，若，则该扇形的半径长为________21、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，点D在边BC上，CD=5,BD=13.点P是线段AD 上一动点，当半径为6的OP与△ABC的一边相切时，AP的长为________.22、如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上.若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为30cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为________.23、如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②；③DP2=PH•PB；④．其中正确的是________ ．（写出所有正确结论的序号）24、如图，在△ABC中，E为AB边上的一点，要使△ABC∽△ADE成立，还需要添加一个条件为________25、如图，点P为∠MON平分线OC上一点，以点P为顶点的∠APB两边分别与射线OM、ON 相交于点A、B，如果∠APB在绕点P旋转时始终满足，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角．如果∠MON=50°，∠APB是∠MON的关联角，那么∠APB的度数为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知＝，求的值.27、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA和CD的延长线交于P，AC和BD交于点O，连接PO并延长分别交AD、BC于M、N．求证：AM=DM．28、如图，放大镜中的三角形与原三角形具有怎样的关系？29、如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，那么▱ABCD与四边形EFGH是否是位似图形？为什么？30、已知：如图，△ABC中，AD=DB，∠1=∠2．求证：△ABC∽△EAD．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、A3、B4、B5、B6、D7、A8、C9、B10、D11、B12、D13、C14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、30、。

九（上）第四章图形的相似单元测试一、选择题1、【基础题】在比例尺为1：5000的地图上，量得甲，乙两地的距离为25 cm ，则甲、乙两地的实际距离是 ( ) A.1250千米 B.125千米 C.12.5千米 D. 1.25千米2、【基础题】已知135＝a b ，则ba ba ＋－的值是（）★A. 32B. 23C. 49D. 943、【基础题】如右图，在△ABC 中，看DE ∥BC ，12AD BD =，DE ＝4 cm ，则BC 的长为( ) A ．8 cm B ．12 cm C ．11 cm D ．10 cm 4、【基础题】如右图，DE 是ΔABC 的中位线，则ΔADE 与ΔABC 的面积之比是（） A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:45、【基础题】如下图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是( )★★★6、【基础题】下列结论不正确的是( ) ★ A.所有的矩形都相似B.所有的正方形都相似C.所有的等腰直角三角形都相似D.所有的正八边形都相似7、【基础题】下列说法中正确的是( )★A.位似图形可以通过平移而相互得到B.位似图形的对应边平行且相等C.位似图形的位似中心不只有一个D.位似中心到对应点的距离之比都相等 8、【综合题Ⅰ】如左下图，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP 相似的是（ ）★★★ A. ∠APB ＝∠EPC B. ∠APE ＝90°C. P 是BC 的中点 D. BP ︰BC ＝2︰39、【综合题Ⅱ】（2008山东潍坊）如右上图,Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AB =3，AC =4，P 是BC 边上一点，作PE⊥AB 于E ，PD ⊥AC 于D ，设BP ＝x ，则PD+PE ＝（）A.35x + B.45x -C.72D.21212525x x -10、【综合题Ⅲ】如图，在Rt ABC △内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形．则a 、b 、c 满足的关系式是（）A . b a c =+B . b ac =C . 222b ac =+D . 22b a c ==二、填空题 11、【基础题】在同一时刻，高为1.5m 的标杆的影长为2.5m ，一古塔在地面上AB CA BCDE P影长为50m ，那么古塔的高为． 12、【基础题】两个相似三角形面积比是9∶25，其中一个三角形的周长为36cm ，则另一个三角形的周长是． 13、【综合题Ⅰ】如左下图，在△ABC 中，AB ＝5，D 、E 分别是边AC 和AB 上的点，且∠ADE ＝∠B ，DE ＝2，那么AD ·BC ＝. ★★★ 14、【基础题】如右上图，在△ABC 和△DEF 中，G 、H 分别是边BC 和EF 的中点，已知AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠BAC ＝∠EDF .那么AG ：DH ＝，△ABC 与△DEF 的面积比是.★★★15、【基础题】把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，边长应缩小到原来的____倍. 16、【综合Ⅱ】如左下图在Rt △ABC 中, ∠ACB ＝90°,CD ⊥AB 于D ，若AD ＝1，BD ＝4，则CD ＝. ★ 17、【基础题】如右上图，一人拿着一支厘米小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上12厘米的长度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，则电线杆的高为. ★★★ 18、【基础题】已知一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是20 cm ，则它的宽为_____cm.（结果保留根号） 19、【综合Ⅲ】顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，BD 是三角形ABC 的角平分线，那么AD ＝. ★ 20、【提高题】如图，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △、323A B B △的面积分别为1、4，则图中三个阴影三角形面积之和为． 三、解答题21、【基础题】（2008无锡）如图，已知点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于点F ，求证△ABF ∽△EAD ．22、【综合Ⅰ】如图27－106所示，已知E 为ABCD 的边CD 延长线上的一点，连接BE 交AC 于O ，交AD 于F ． 求证BO 2＝OF ·OE ．23、如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12 cm ，OB=6 cm ，点P 从O 点开始沿OA 边向点A 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1cm/s 的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （单位：秒） 表示移动的时间（06t ≤≤），那么：（1）当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似？（2）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式。

北师大版九年级数学上册第4章《图形的相似》单元练习题（含答案）一、单选题1．在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是（ ）A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR2．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC ，②△ADE ，③△AEF ，④△AFH ，⑤△AHG ，在②至⑤中，与①相似的三角形是（ ）A ．②④B ．②⑤C ．③④D ．④⑤ 3．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中b 为2米，则a 约为（ ）A ．1．24米B ．1．38米C ．1．42米D ．1．62米 4．如图，123l l l ∥∥，若23=AB BC ，15DF =，则EF =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．95．如图，点O 是四边形ABCD 内一点，A '、B '、C '、D 分别是OA 、OB 、OC 、OD 上的点，且::::2:1OA A A OB B B OC CC OD D D '''''''====，若四边形A B C D ''''的面积为12cm 2，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．18cm 2B ．27cm 2C ．36cm 2D ．54cm 26．已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比（ ）A ．1 ：3B ．1：6C ．1：9D ．3：17．如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB ．如果OA ：OC =OB ：OD =3，且量得CD =3cm ，则零件的厚度x 为（ ）A ．0.3cmB ．0.5cmC ．0.7cmD ．1cm8．下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件不能满足△ADE ∽△ACB 的条件是（ ）A ．∠AED =∠BB ．AD AE AC AB = C ．AD ·BC = DE ·ACD ．DE //BC 10．已知23a b =，那么下列等式中成立的是（ ） A ．23a b = B ．1314a b +=+ C ．53a b b += D ．13a b b -=． 11．如图，在ABC ∆中，AB AC <，将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ．下列结论：①AFE DFC △△；②DA 平分BDE ∠；③CDF BAD ∠=∠，其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 12．如图，ABC 中，点D 是边BC 上一点，下列条件中，不能判定ABC 与ABD △相似的是（ ）A ．2AB BD BC =⋅B ．BDA BAC ∠=∠ C ．ADC C B ∠=∠+∠D ．AD BC AB AC ⋅=⋅二、填空题13．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF 将矩形窗框ABCD 分为上下两部分，其中E 为边AB 的黄金分割点，即2BE AE AB =⋅．已知AB 为2米，则线段BE 的长为______米．14．为了测量河宽AB ，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD ∥AB ，并使点B ，D ，O 和点A ，C ，O 分别在同一条直线上，量得CD ＝10米，OC ＝15米，OA ＝45米，则河宽AB ＝______米．15．如图，△ABC 与△A B C '''是位似图形，点O 是位似中心，若3OA AA '=，9ABC S =，则A B C S '''=________．16．如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，2AO =，4=AD ，6OC =，8BC =，如果DAO CBO ∠=∠，那么ABCD ∶的值是___________．17．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A 的坐标为（3，4），点B 的坐标为（7，0），D ，E 分别是线段AO ，AB 上的点，以DE 所在直线为对称轴，把△ADE 作轴对称变换得△A′DE ，点A′恰好在x 轴上，若△OA′D 与△OAB 相似，则OA′的长为________.（结果保留2个有效数字）18．如图所示，在ABC 中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =．（1）如图1，四边形DEFG 为ABC 的内接正方形，则正方形DEFG 的边长为_________；（2）如图2，若ABC 内有并排的n 个全等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC ，则正方形的边长为_________．三、解答题19．如图，DA ⊥AB 于A ，EB ⊥AB 于B ，C 是AB 上的动点，若∠DCE =90°．求证：△ACD ∽△BEC20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC 于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．(1)求线段DE的长；(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求EF DF的值．21．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．22．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足438324a b c+++==，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．23．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．24．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．点M，N分别是BD，CE的中点，连接AM，AN，MN．（1）求证：△CAE≌△BAD；（2）求证：△AMN∽△ABC；（3）若AC＝6，AE＝4，∠EAC＝60°，求AN的长．25．如图，小明同学为了测量路灯OP 的高度，先将长2m 的竹竿竖直立在水平地面上的B 处，测得竹竿的影长3m BE =，然后将竹竿向远离路灯的方向移动5m 到D 处，即5m BD =，测得竹竿的影长5m DF =（AB 、CD 为竹竿）．求路灯OP 的高度．26．如图，在ABC 中，90B ，12cm AB =，24cm BC =，动点P 从点A 开始沿着边AB 向点B 以2cm s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿着边BC 向点C 以4cm s 的速度移动（不与点C 重合）．若P 、Q 两点同时移动()s t ．(1)当移动几秒时，BPQ 的面积为232cm ．(2)设四边形APQC 的面积为()2cm S ，当移动几秒时，四边形APQC 的面积为2108cm ？(3)当移动几秒时，BPQ与ABC相似？27．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．28．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．（1）求证：△AEB∽△CFB；EF ，BD＝6．求AD的长．（2）若CE＝5，25参考答案1．A2．A3．A4．D5．B6．C7．B8．D9．C10．C11．D12．D 13．(51)##1514．3015．1616．2317．2.0或3.318．6037602512n+19．证明：∵AD⊥AB，BE⊥AB，∴∠DAC=90°=∠EBC，∴∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，∵∠DCE=90°，∴∠DCA+∠ECB=90°，∴∠D=∠ECB，∵∠DAC=90°=∠EBC，∴△ACD∽△BEC．20．解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝3在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝3∴BD＝BC－CD＝43∵DE∥CA，∴DECA23 BDBC==，∴DE＝4；（2）解：如图．∵点M 是线段AD 的中点，∴DM ＝AM ，∵DE ∥CA ， ∴DF AG ＝DM AM ． ∴DF ＝AG ．∵DE ∥CA ，∴EF AG ＝BF BG ，BF BG ＝BD BC ． ∴EF AG ＝BD BC ． ∵BD ＝43， BC ＝63， DF ＝AG ， ∴23EF DF =．21．解：∵∠DEF ＝∠BCD ＝90°，∠D ＝∠D ，∴△DEF ∽△DCB ， ∴BC DC EF DE=， ∵DF ＝0.5 m ，EF ＝0.3 m ，AC ＝1.5 m ，CD ＝10 m ，由勾股定理得DE 22DF EF -0.4 m ，∴100.30.4BC =， ∴BC ＝7.5m ，∴AB ＝AC +BC ＝1.5+7.5＝9（m ），答：树高AB 是9m ．22．解：令438324a b c +++===k ， ∴a +4=3k ，b +3=2k ，c +8=4k ，∴a =3k ﹣4，b =2k ﹣3，c =4k ﹣8，又∵a +b +c =12，∴（3k ﹣4）+（2k ﹣3）+（4k ﹣8）=12，∴k =3，∴a =5，b =3，c =4，∵32+42=52，∴△ABC 是直角三角形．23．解：延长OD ，∵DO ⊥BF ，∴∠DOE=90°，∵OD=1m ，OE=1m ，∴∠DEB=45°，∵AB ⊥BF ，∴∠BAE=45°，∴AB=BE ，设AB=EB=x m ，∵AB ⊥BF ，CO ⊥BF ，∴AB ∥CO ，∴△ABF ∽△COF ， ∴ABCOBF OF =，1.51(51)5x x +∴=+-，解得：x=4．经检验：x=4是原方程的解．答：围墙AB 的高度是4m ．24．（1）∵∠BAC=∠AE ，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE ，∴∠EAC=∠DAB ，在△CAE 与△BAD 中，AB AC EAC DAB AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAE ≌△BAD （SAS ）；（2）由（1）得△CAE ≌△BAD ，∴∠ACE=∠ABD ，CE=BD ，∵M 、N 分别是BD ，CE 的中点，∴CN=BM ，在△CAN 与△BAM 中，AC AB ACE ABD CN BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAN ≌△BAM （SAS ），∴AN=AM ，∠CAN=∠BAM ，∴∠CAN+∠BAN=∠BAM+∠BAN ，即∠CAB=∠NAM ，∵AC=AB ，AN=AM ， ∴AN AM AC AB=， ∴△AMN ∽△ABC ；（3）取AC 的中点F ，连接FN ，过点点N 作NG ⊥AC 于点G ，∵点N 是CE 的中点，∴NF ∥AE ，NF=12AE=2，∴∠GFN=∠EAC=60°，∴∠FNG=30°，∴FG=12FN=1，∴AG=1+3=4，2221-3在Rt △ANG 中，根据勾股定理可知：1925．解：由已知得，2AB CD ==m ，3BE =m ，5BD =m ，5DF =m ， 90POE ABE CDF ∠=∠=∠=︒，AEB PEO ∠=∠，CFD PFO ∠=∠，∴在EAB ∆和EPO ∆中，AEB PEO ABE POE∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴EAB ∆∽EPO ∆ ∴AB OP BE OE =，即233OP OB =+， ∴263OB OP +=，在FCD ∆和FPO ∆中CFD PFO CDF POF ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴FCD ∆∽FPO ∆， ∴CD OP DF OF =，即2510OP OB =+， ∴2205OB OP +=，∴263OB OP +=，2205OB OP +=，∴7.5OB =，7OP =，即路灯OP 的高度为7m ．26．（1）求出运动时间为t 秒时PB 、BQ 的长度，根据三角形的面积公式结合△BPQ 的面积为32cm 2，即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）用△ABC 的面积减去△BPQ 的面积即可得出S ，令其等于108即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）分两种情况：①当△BPQ ∽△BAC 时，②当△BPQ ∽△BCA 时，分别利用相似三角形的性质列式求解即可．（1）解：运动时间为t 秒时（0≤t ＜6），PB ＝12−2t ，BQ ＝4t ，由题意得：S △BPQ ＝12PB ·BQ ＝12（12−2t ）·4t ＝2244t t -＝32， 解得：t 1＝2，t 2＝4，答：当移动2秒或4秒时，△BPQ 的面积为32cm 2；（2） 由题意得：()2212444241441082ABC BPQ S S S AB BC t t t t =-=⋅--=-+=△△， 解得：t ＝3，答：当移动3秒时，四边形APQC 的面积为108cm 2；（3）分两种情况：①当△BPQ ∽△BAC 时， 则BP BQ BA BC=，即12241224t t -=， 解得：3t =，②当△BPQ ∽△BCA 时， 则BP BQ BC BA=，即12242412t t -=， 解得：65t =， 综上，当移动3秒或65秒时，BPQ 与ABC 相似． 27．解：由题意可得：△DEF ∽△DCA ， 则DE EF DC AC=， ∵DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，DG ＝1.5m ，DC ＝20m ， ∴0.50.2520AC=， 解得：AC ＝10，故AB ＝AC+BC ＝10+1.5＝11.5（m ）．答：旗杆的高度为11．5m ．28．（1）证明：90ACB ∠=︒，90ACD BCD ∴∠+∠=︒， CD 为AB 边上的高，90A ACD ∴∠+∠=︒，A BCD ∴∠=∠， BE 是ABC ∠的平分线，ABE CBE ∴∠=∠，AEB CFB ∴∆∆∽．（2）解：如图，作CH EF ⊥于H ．∵∠BFD +∠ABE =90°，∠CEB +∠CBE =90°，∠ABE =∠CBE ， ∴∠BFD =∠CEB ，∵∠BFD =∠CFE ，CEF CFE ∴∠=∠，CEF ∴为等腰三角形，CE CF ∴=，CH EF ⊥，∴点H 为EF 的中点，5EH FH ∴==，22225(5)25CH EC EH ∴--=,90BFD CFH CHF BDF ∠=∠∠=∠=︒，BFD CFH ∴∆∆∽， ∴DF BD HF CH =， ∴5253DF ∴=，8CD CF DF =+=，90ADC CDB ∠==︒，,ECH FCH FBD CBF ∠=∠∠=∠，根据BFD CFH ∆∆∽，即FCH FBD ∠=∠，ACD CBD∴∆∆∽，∴AD CD CD BD=，∴8 86 AD=，323 AD∴=．。

北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试题一．选择题（共10小题）1．如图，△ABC中，DE∥BC分别交BA、CA的延长线于点E、D，则下列比例式正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．已知△ABC∽△DEF，若周长比为4：9，则AC：DF等于（）A．4：9B．16：81C．3：5D．2：33．如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝4．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若AC＝8，CE＝12，BD＝6，则BF的值是（）A．14B．15C．16D．175．下面四组图形中，必是相似三角形的为（）A．两个直角三角形B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形C．有一个角为40°的两个等腰三角形D．有一个角为100°的两个等腰三角形6．如图，在▱ABCD中，R为BC延长线上的点，连接AR交BD于点P，若CR：AD＝2：3，则AP：PR的值为（）A．3：5B．2：3C．3：4D．3：27．我国古代数学著作中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”其大意是：一座正方形城池，西、北边正中各开一道门，从北门往正北方向走40步后刚好有一树木，若从西门往正西方向走810步后正好看到树木，则正方形城池的边长为（）步．A．360B．270C．180D．908．若两个相似三角形的周长之比是1：4，那么这两个三角形的面积之比是（）A．1：4B．1：2C．1：16D．1：89．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A’的坐标是（）A．（1，﹣2）B．（2，1）C．（﹣2，﹣1）或（2，1）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）10．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝9，将△ABC沿图中的线段剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）11．在比例尺为1：100000的地图上，相距3m的两地，它们的实际距离为km．12．如图所示，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AEFD是正方形，若矩形BCFE 和矩形ABCD相似，且AD＝2，则AB的长为．13．如图，l1∥l2∥l3，直绒l4、l5被这组平行线所截，且直线l4、l5相交于点E，已知＝，则＝．14．已知Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，且∠C＝∠C′＝90°，若AC＝3，BC＝4，A′B′＝10，则A′C′＝．15．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（8，0），B（8，6），D （0，6），已知矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，则点B1的坐标是．16．如图，△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，BD＝2，AB＝6，AC＝9，则AE的长为．17．利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E．若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝16米，则建筑物的高AB为米．18．如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝2，BC＝12，DC＝10，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有个．三．解答题（共8小题）19．若x：y＝3：5，y：z＝2：3，求5x﹣2z的值．20．如图，已知：l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DF＝12．求DE的长．21．如图，已知在ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝3，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMIN与△ABC相似，求线段MN的长．22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为4cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？（2）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？23．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S＝50，△AOC 求：（1）AO的长；（2）求S△BOD24．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC和点D．（1）过点D作△DEF，使得＝＝＝，且点E、F均在格点上；（2）△ABC的面积是个平方单位，△DEF的面积是个平方单位．25．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（4，2）．（1）以点A（1，1）为位似中心画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1（2）点B1的坐标为；点C1的坐标为．26．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．请回答下列问题：（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为m，DE＝15，求△DEF的面积．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴，，则A，B，D不正确，故选：C．2．解：∵△ABC∽△DEF，∴＝＝．故选：A．3．解：∵2a＝5b，∴＝或＝或＝．故选：C．4．解：∵a∥b∥c，AC＝8，CE＝12，BD＝6，∴＝，即＝，解得BF＝15．故选：B．5．解：两个直角三角形不一定相似；因为只有一个直角相等，∴A不一定相似；两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；因为这个对应角不一定是夹角；∴B不一定相似；有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似；因为40°的角可能是顶角，也可能是底角，∴C不一定相似；有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似；因为100°的角只能是顶角，所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，∴D一定相似；故选：D．6．解：∵在▱ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，∴△ADP∽△RBP，∴，∴．∴＝．故选：A．7．解：如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE＝x，∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，∴Rt△BEA∽Rt△EDC，∴，即，∴x＝360，即正方形城池的边长为360步．故选：A．8．解：∵相似三角形的周长之比是1：4，∴对应边之比为1：4，∴这两个三角形的面积之比是：1：16，故选：C．9．解：以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点A的坐标为（﹣2，4），则点A的对应点A′的坐标为（﹣2×，4×）或（2×，﹣4×），即（﹣1，2）或（1，﹣2），故选：D．10．解：A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：B．二．填空题（共8小题）11．解：3÷＝300000（m），300000m＝300km；答：它们的实际距离为300km；故答案为：300．12．解：设EB＝x，∵矩形BCFE和矩形ABCD相似，∴＝，∵四边形AEFD是正方形，∴AD＝BC＝2，∴＝，解得：x＝﹣1±（负数不合题意舍去），∴BE＝﹣1+，故AB＝2﹣1+＝1+，故答案为：1+．13．解：∵l1∥l2∥l3，∴AC∥BD，∴△ACE∽△BDE，∴＝，故答案为：．14．解：∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∵Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∴∴A'C'＝＝6，故答案为6．15．解：∵矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，∴点B1的坐标是：（4，3）或（﹣4，﹣3）．故答案为：（4，3）或（﹣4，﹣3）．16．解：∵DE∥BC，∴，即，即，解得：AE＝6．故答案为：617．解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴，即，∴AB＝13.5（米）．故答案为：13.518．解：∵AD∥BC，∠D＝90°∴∠C＝∠D＝90°∵AD＝2，BC＝12，DC＝10．设PD＝x，则PC＝10﹣x；①若PD：PC＝AD：BC，则△PAD∽△PBC∴x：（10﹣x）＝2：12，解得x＝，即PD＝；②若PD：BC＝AD：PC，则△PAD∽△CBP∴x：12＝2：（10﹣x），解得：x＝4或x＝6，即PD＝4或PD＝6．∴这样的点P存在的个数有3个．故答案为3．三．解答题（共8小题）19．解：∵x：y＝3：5，y：z＝2：3，∴x＝y，z＝y，∴5x﹣2z＝5×y﹣2×y＝3y﹣3y＝0．20．解：∵l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DF＝12，∴＝，即＝，解得DE＝4．21．解：当△AMN∽△ABC时，∵点M为AB的中点，AB＝，AC＝2，BC＝3，∴，∴，即，解得MN＝；当△ANM∽△ABC时，∵，即，解得MN＝．22．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝16cm，∴AB＝＝20cm．∵D、E分别是AC、AB的中点．AD＝DC＝6cm，AE＝EB＝10cm，DE∥BC且DE＝BC＝8cm，①PQ⊥AB时，∵∠PQB＝∠ADE＝90°，∠AED＝∠PEQ，∴△PQE∽△ADE，∴，由题意得：PE＝8﹣2t，QE＝4t﹣10，即，解得t＝；②如图2中，当PQ⊥DE时，△PQE∽△DAE，∴，∴，∴t＝，∴当t为s或s时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似．（2）如图3中，当点Q在线段BE上时，由EP＝EQ，可得8﹣2t＝10﹣4t，t＝1．如图4中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝EP，可得8﹣2t＝4t﹣10，解得t＝3．如图5中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝QP，可得（8﹣2t）：（4t﹣10）＝4：5，解得t ＝．如图6中，当点Q在线段AE上时，由PQ＝EP，可得（4t﹣10）：（8﹣2t）＝4：5，解得t ＝．综上所述，t＝1或3或或秒时，△PQE是等腰三角形．23．解：（1）∵△OBD∽△OAC，∴＝＝，∵BO＝6，∴AO＝10；（2）∵△OBD∽△OAC，＝，∴＝，∵S＝50，△AOC＝18．∴S△BOD24．解：（1）如图所示，△DEF即为所求：（2）△ABC的面积＝＝4个平方单位，△DEF的面积＝＝8个平方单位，故答案为：4；825．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）点B1的坐标为（3，5）；点C1的坐标为（7，3）．故答案为：（3，5）；（7，3）．26．解：（1）观点一正确；观点二不正确．理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，∴AB∥DE，AC∥DF，∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，∴△ABC∽△DEF，∴观点一正确；②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，则新矩形邻边为4和8，∵＝，＝，∴，∴新矩形于原矩形不相似，∴观点二不正确；（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，∵A到DE、DF的距离都为1，∴DA是∠FDE的角平分线，同理，EB是∠DEF的角平分线，∴点O是△ABC的内心，∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴△ABC是直角三角形，设△ABC的内切圆的半径为r，则6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2，过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，∵AB∥DE，∴OG⊥AB，∴OG＝r＝2，∴＝＝，同理＝＝＝，∴DF＝9，EF＝12，∴△DEF的面积为：×9×12＝54．。