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第01讲 函数的概念及其表示知识点必背 1、函数的概念
设A 、B 是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数,记作()y f x =,x A ∈.
其中:x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域
与x 的值相对应的()f x 值叫做函数值,函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的值域.
2、同一(相等)函数
函数的三要素:定义域、值域和对应关系.
同一(相等)函数:如果两个函数的定义和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据
.
3、函数的表示
4、分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.
5、高频考点结论
5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围,常见基本初等函数定义域的要求为:
(1)分式型函数:分母不等于零.
(2)偶次根型函数:被开方数大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R
(4)0()f x x =的定义域是{|0}x x ≠.
5.2函数求值域。
知识点最新考纲函数及其表示了解函数、映射的概念．了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)． 了解简单的分段函数,会用分段函数解决简单的问题.函数的基本性质理解函数的单调性、奇偶性,会判断函数的单调性、奇偶性． 理解函数的最大(小)值的含义,会求简单函数的最大(小)值. 指数函数了解指数幂的含义,掌握有理指数幂的运算．理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象、性质及应用. 对数函数理解对数的概念,掌握对数的运算,会用换底公式． 理解对数函数的概念,掌握对数函数的图象、性质及应用. 幂函数了解幂函数的概念．掌握幂函数y ＝x,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝1x,y ＝x 12的图象和性质.函数与方程 了解函数零点的概念,掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法. 函数模型及其应用了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征．能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题,并给予解决.第1讲 函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合 A 、B设A,B 是两个非空的数集设A,B 是两个非空的集合 对应关系 f ：A→B如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个元素x,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称 称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法 y ＝f(x)(x∈A)对应f ：A→B 是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f(x),x ∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然,值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．( ) (2)函数f(x)＝x 2－2x 与g(t)＝t 2－2t 是同一函数．( )(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数．( )(4)若A ＝R,B ＝{x|x ＞0},f ：x→y＝|x|,则对应关系f 是从A 到B 的映射．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )(6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集,值域等于各段值域的并集．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1．(必修1P18例2改编)下列函数中,与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x2x＋1D ．y ＝x 2＋1解析：选B.对于A,函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x|x≥－1},与函数y ＝x ＋1的定义域不同,不是相等函数；对于B,定义域和对应关系都相同,是相等函数；对于C,函数y ＝x2x ＋1的定义域为{x|x≠0},与函数y ＝x ＋1的定义域不同,不是相等函数；对于D,定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数,故选B.2．(必修1P25B 组T1改编)函数y ＝f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．答案：[－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]3．(必修1P19T1(2)改编)函数y ＝x －2·x ＋2的定义域是________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋2≥0，⇒x ≥2.答案：[2,＋∞) [易错纠偏](1)对函数概念理解不透彻； (2)换元法求解析式,反解忽视范围．1．已知集合P ＝{x|0≤x≤4},Q ＝{y|0≤y≤2},下列从P 到Q 的各对应关系f 中不是函数的是________．(填序号)①f ：x→y＝12x ；②f：x→y＝13x ；③f：x→y＝23x ；④f：x→y＝x.解析：对于③,因为当x ＝4时,y ＝23×4＝83∉Q,所以③不是函数．答案：③2．已知f(x)＝x －1,则f(x)＝________．解析：令t ＝x,则t≥0,x ＝t 2,所以f(t)＝t 2－1(t≥0),即f(x)＝x 2－1(x≥0)． 答案：x 2－1(x≥0)函数的定义域(1)(2020·杭州学军中学月考)函数f(x)＝x ＋2x2lg （|x|－x ）的定义域为________．(2)若函数y ＝f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)＝f （2x ）x －1的定义域为________．(3)若函数f(x)＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R,则a 的取值范围为________． 【解析】 (1)要使函数f(x)有意义,必须使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x 2≥0，|x|－x>0，|x|－x≠1，解得x<－12.所以函数f(x)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<－12.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，得0≤x<1,即定义域是[0,1)．(3)因为函数f(x)的定义域为R,所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x∈R 恒成立,即2x 2＋2ax －a ≥20,x 2＋2ax －a≥0恒成立,因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0,解得－1≤a≤0.【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<－12 (2)[0,1) (3)[－1,0](变条件)若将本例(2)中“函数y ＝f(x)”改为“函数y ＝f(x ＋1)”,其他条件不变,如何求解？ 解：由函数y ＝f(x ＋1)的定义域为[0,2], 得函数y ＝f(x)的定义域为[1,3],令⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x ≤3，x －1≠0，得12≤x ≤32且x≠1.所以g(x)的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32.函数定义域的求解策略(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f(x)的定义域为(a,b),则解不等式a ＜g(x)＜b 即可求出y ＝f(g(x))的定义域；②若y ＝f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得y ＝f(x)的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围,可将问题转化成含参数的不等式(组),然后求解． [提醒] (1)求函数定义域时,对函数解析式先不要化简； (2)求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式．1．(2020·浙江新高考优化卷)函数f(x)＝3x21－x＋lg(－3x 2＋5x ＋2)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 解析：选B.依题意可得,要使函数有意义,则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x>0－3x 2＋5x ＋2>0,解得－13<x<1.故选B. 2．(2020·浙江新高考预测卷)已知集合A ＝{x|y ＝x －x 2},B ＝{x|y ＝ln(1－x)},则A∪B＝( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(－∞,1]D ．(－∞,1)解析：选C.因为由x －x 2≥0得0≤x≤1, 所以A ＝{x|0≤x≤1}． 由1－x>0得x<1,所以B ＝{x|x<1},所以A∪B＝{x|x≤1}． 故选C.3．若函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域为实数集,则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时,1≥0恒成立；当m≠0时,则⎩⎪⎨⎪⎧m>0，Δ＝m 2－4m≤0， 解得0<m≤4. 综上可得0≤m≤4. 答案：[0,4]求函数的解析式(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2,求f(x)的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x,求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数,且f(0)＝0,f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1,求f(x)； (4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x,求f(x)的解析式．【解】 (1)(配凑法)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2,所以f(x)＝x 2－2,x ≥2或x≤－2,故f(x)的解析式是f(x)＝x 2－2,x ≥2或x≤－2. (2)(换元法)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1,代入得f(t)＝lg 2t －1,又x ＞0,所以t ＞1,故f(x)的解析式是f(x)＝lg2x －1,x ＞1. (3)(待定系数法)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0), 由f(0)＝0,知c ＝0,f(x)＝ax 2＋bx, 又由f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1,得a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1, 即ax 2＋(2a ＋b)x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1,所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f(x)＝12x 2＋12x,x ∈R.(4)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x,① 得f(x)＋2f(－x)＝2－x,② ①×2－②,得,3f(x)＝2x ＋1－2－x.即f(x)＝2x ＋1－2－x3. 所以f(x)的解析式是f(x)＝2x ＋1－2－x3,x ∈R.求函数解析式的4种方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x 替代g(x),便得f(x)的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围．(4)解方程组法：已知关于f(x)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f(－x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)．[提醒] 求解析式时要注意新元的取值范围．1．(2020·杭州学军中学月考)已知f(x ＋1)＝x ＋2x,则f(x)的解析式为f(x)＝__________． 解析：法一：设t ＝x ＋1,则x ＝(t －1)2(t≥1)；代入原式有f(t)＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f(x)＝x 2－1(x≥1)．法二：因为x ＋2x ＝(x)2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1,所以f(x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1), 即f(x)＝x 2－1(x≥1)． 答案：x 2－1(x≥1)2．设y ＝f(x)是二次函数,方程f(x)＝0有两个相等的实根,且f′(x)＝2x ＋2,则f(x)的解析式为f(x)＝________．解析：设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0), 则f′(x)＝2ax ＋b ＝2x ＋2, 所以a ＝1,b ＝2,f(x)＝x 2＋2x ＋c. 又因为方程f(x)＝0有两个相等的实根, 所以Δ＝4－4c ＝0,c ＝1,故f(x)＝x 2＋2x ＋1. 答案：x 2＋2x ＋1分段函数(高频考点)分段函数是一类重要的函数,是高考的命题热点,多以选择题或填空题的形式呈现,试题多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)分段函数求值；(2)已知函数值,求参数的值(或取值范围)； (3)与分段函数有关的方程、不等式问题． 角度一 分段函数求值(2020·杭州萧山中学高三适应性考试)若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，f （x ＋2），x ≤0，g(x)＝x 2,则f(8)＝________；g[f(2)]＝________；f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________．【解析】 f(8)＝log 28＝3,g[f(2)]＝g(log 22)＝g(1)＝1,f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 212＝f(－1)＝f(1)＝log 21＝0.【答案】 3 1 0角度二 已知函数值求参数的值(或取值范围)(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1（x≥1）log 2（1－x ）（x<1）,若f(f(a))＝3,则a ＝________．【解析】 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1（x≥1）log 2（1－x ）（x<1）,若f(f(a))＝3,当a≥1时,可得f(－2a 2＋1)＝3,可得log 2(2a 2)＝3,解得a ＝2.当a<1时,可得f(log 2(1－a))＝3,log 2(1－a)≥1时,可得－2(log 2(1－a))2＋1＝3,解得a∈∅. log 2(1－a)<1时,可得log 2(1－log 2(1－a))＝3,即1－log 2(1－a)＝8,log 2(1－a)＝－7,1－a ＝1128,可得a ＝127128.综上得a 的值为2或127128.【答案】 2或127128角度三 与分段函数有关的方程、不等式问题(2020·镇海中学5月模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2，x ≤－1，（x －2）（|x|－1），x ＞－1，则f(f(－2))＝________,若f(x)≥2,则x 的取值范围为________．【解析】 由分段函数的表达式得f(－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2－2＝4－2＝2,f(2)＝0,故f(f(－2))＝0.若x≤－1,由f(x)≥2得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2≥2,得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥4,则2－x≥4,得－x≥2,则x≤－2,此时x≤－2.若x ＞－1,由f(x)≥2得(x －2)(|x|－1)≥2, 即x|x|－x －2|x|≥0,若x≥0,得x 2－3x≥0,则x≥3或x≤0,此时x≥3或x ＝0； 若－1＜x ＜0,得－x 2＋x≥0,得x 2－x≤0,得0≤x≤1,此时无解． 综上得x≥3或x ＝0或x≤－2. 【答案】 0 x≥3或x ＝0或x≤－2(1)根据分段函数解析式,求函数值的解题思路先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值．(2)已知分段函数的函数值,求参数值的解题思路先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,构造关于参数的方程．然后求出相应自变量的值,切记要代入检验．(3)已知分段函数的函数值满足的不等式,求自变量取值范围的解题思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果并起来．1．(2020·浙江教育评价高三第二次联考))设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1，x ≥1log 2（1－x ），x<1,则f(f(4))＝( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：选C.f(f(4))＝f(－31)＝log 2 32＝5.故选C.2．(2020·Z20联盟开学联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋2|－1，x ≤0log 2 x ，x>0,若f(a)≤1,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,－4]∪[2,＋∞)B ．[－1,2]C ．[－4,0)∪(0,2]D ．[－4,2]解析：选D.f (a)≤1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，|a ＋2|－1≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log 2 a ≤1， 解得－4≤a≤0或0<a≤2,即a∈[－4,2],故选D.核心素养系列2 数学抽象——函数的新定义问题以学习过的函数相关知识为基础,通过一类问题共同特征的“数学抽象”,引出新的概念,然后在快速理解的基础上,解决新问题．在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N *)个整点,则称函数f(x)为n 阶整点函数．给出下列函数：①f(x)＝sin 2x ；②g(x)＝x 3； ③h(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；④φ(x)＝ln x.其中是一阶整点函数的是( ) A ．①②③④ B ．①③④ C ．①④D ．④【解析】 对于函数f(x)＝sin 2x,它的图象(图略)只经过一个整点(0,0),所以它是一阶整点函数,排除D ；对于函数g(x)＝x 3,它的图象(图略)经过整点(0,0),(1,1),…,所以它不是一阶整点函数,排除A ；对于函数h(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x,它的图象(图略)经过整点(0,1),(－1,3),…,所以它不是一阶整点函数,排除B.故选C.【答案】 C本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义,学会语言的翻译、新旧知识的转化,便可使问题顺利获解．如本例,若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点,问题便迎刃而解．1．若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y ＝x 2＋1,值域为{1,3}的同族函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C.由x 2＋1＝1得x ＝0,由x 2＋1＝3得x ＝±2,所以函数的定义域可以是{0,2},{0,－2},{0,2,－2},故值域为{1,3}的同族函数共有3个．2．若定义在R 上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量x,使得f(－x)＝f(x),则称f(x)为“类偶函数”,则下列函数中为类偶函数的是( )A ．f(x)＝cos xB ．f(x)＝sin xC ．f(x)＝x 2－2xD ．f(x)＝x 3－2x解析：选D.A 中函数为偶函数,则在定义域内均满足f(x)＝f(－x),不符合题意；B 中,当x ＝k π(k∈Z)时,满足f(x)＝f(－x),不符合题意；C 中,由f(x)＝f(－x),得x 2－2x ＝x 2＋2x,解得x ＝0,不符合题意；D 中,由f(x)＝f(－x),得x 3－2x ＝－x 3＋2x,解得x ＝0或x ＝±2,满足题意,故选D.[基础题组练]1．函数f(x)＝1x －2＋ln(3x －x 2)的定义域是( )A ．(2,＋∞)B ．(3,＋∞)C ．(2,3)D ．(2,3)∪(3,＋∞)解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，3x －x 2＞0，解得2＜x ＜3,则该函数的定义域为(2,3),故选C. 2．(2020·嘉兴一模)已知a 为实数,设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a，x<2，log 2（x －2），x ≥2，则f(2a＋2)的值为( )A ．2aB ．aC ．2D ．a 或2解析：选B.因为函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a，x<2，log 2（x －2），x ≥2，所以f(2a ＋2)＝log 2(2a＋2－2)＝a,故选B. 3．下列哪个函数与y ＝x 相等( ) A ．y ＝x2xB ．y ＝2log 2xC ．y ＝x 2D ．y ＝(3x)3解析：选D.y ＝x 的定义域为R,而y ＝x2x的定义域为{x|x∈R 且x≠0},y ＝2log 2x 的定义域为{x|x∈R ,且x>0},排除A 、B ；y ＝x 2＝|x|的定义域为x∈R ,对应关系与y ＝x 的对应关系不同,排除C ；而y ＝(3x)3＝x,定义域和对应关系与y ＝x 均相同,故选D.4．(2020·杭州七校联考)已知函数f(x)＝x 3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋1,若f(a)＝2,则f(－a)的值为( )A ．3B ．0C ．－1D ．－2解析：选B.因为函数f(x)＝x 3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋1,所以f(x)＝x 3＋sin x ＋1,因为f(a)＝2,所以f(a)＝a 3＋sin a ＋1＝2,所以a 3＋sin a ＝1,所以f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1＝－1＋1＝0.故选B.5．已知a,b 为两个不相等的实数,集合M ＝{a 2－4a,－1},N ＝{b 2－4b ＋1,－2},f ：x→x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x,则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.由已知可得M ＝N,故⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＝－2b 2－4b ＋1＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0， 所以a,b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根,故a ＋b ＝4. 6．存在函数f(x)满足：对于任意x∈R 都有( ) A ．f(sin 2x)＝sin x B ．f(sin 2x)＝x 2＋x C ．f(x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f(x 2＋2x)＝|x ＋1| 解析：选D.取特殊值法．取x ＝0,π2,可得f(0)＝0,1,这与函数的定义矛盾,所以选项A 错误；取x ＝0,π,可得f(0)＝0,π2＋π,这与函数的定义矛盾, 所以选项B 错误；取x ＝1,－1,可得f(2)＝2,0,这与函数的定义矛盾, 所以选项C 错误；取f(x)＝x ＋1,则对任意x∈R 都有f(x 2＋2x)＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|,故选项D 正确．7．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2,则f(x)的解析式为( )A ．f(x)＝x1＋x2B ．f(x)＝－2x1＋x2C ．f(x)＝2x1＋x 2 D ．f(x)＝－x1＋x2解析：选C.令1－x 1＋x ＝t,则x ＝1－t 1＋t ,所以f(t)＝（1＋t ）2－（1－t ）2（1＋t ）2＋（1－t ）2＝2t1＋t 2,故函数f(x)的解析式为f(x)＝2x1＋x2,故选C. 8．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ＞0，1，x ＜0，则（a ＋b ）＋（a －b ）·f（a －b ）2(a≠b)的值为( )A ．aB ．bC ．a,b 中较小的数D ．a,b 中较大的数解析：选C.若a －b ＞0,即a ＞b,则f(a －b)＝－1, 则（a ＋b ）＋（a －b ）·f（a －b ）2＝12[(a ＋b)－(a －b)]＝b(a ＞b)；若a －b ＜0,即a ＜b,则f(a －b)＝1, 则（a ＋b ）＋（a －b ）·f（a －b ）2＝12[(a ＋b)＋(a －b)]＝a(a ＜b)．综上,选C.9．(2020·绍兴高三教学质量调研)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋n ，x ＜1log 2x ，x ≥1,若f(f(34))＝2,则实数n 为( )A ．－54B ．－13C.14D.52解析：选D.因为f(34)＝2×34＋n ＝32＋n,当32＋n ＜1,即n ＜－12时,f(f(34))＝2(32＋n)＋n ＝2,解得n ＝－13,不符合题意；当32＋n≥1,即n≥－12时,f(f(34))＝log 2(32＋n)＝2,即32＋n ＝4,解得n ＝52,故选D. 10．设f(x),g(x)都是定义在实数集上的函数,定义函数(f·g)(x)：对任意的x∈R ,(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，x 2，x ≤0，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，则( )A ．(f·f)(x)＝f(x)B ．(f·g)(x)＝f(x)C ．(g·f)(x)＝g(x)D ．(g·g)(x)＝g(x)解析：选A.对于A,(f·f)(x)＝f(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）＞0，f 2（x ），f （x ）≤0，当x ＞0时,f(x)＝x ＞0,(f·f)(x)＝f(x)＝x ；当x ＜0时,f(x)＝x 2＞0,(f·f)(x)＝f(x)＝x 2；当x ＝0时,(f·f)(x)＝f 2(x)＝0＝02,因此对任意的x∈R ,有(f·f)(x)＝f(x),故A 正确,选A.11.若函数f(x)在闭区间[－1,2]上的图象如图所示,则此函数的解析式为________．解析：由题图可知,当－1≤x<0时,f(x)＝x ＋1；当0≤x≤2时,f(x)＝－12x,所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x<0，－12x ，0≤x ≤2.答案：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x<0，－12x ，0≤x ≤212．若f(x)对于任意实数x 恒有2f(x)－f(－x)＝3x ＋1,则f(1)＝________． 解析：令x ＝1,得2f(1)－f(－1)＝4,① 令x ＝－1,得2f(－1)－f(1)＝－2,② 联立①②得f(1)＝2. 答案：213．函数f(x),g(x)分别由下表给出．x 1 2 3 x 1 2 3 f(x)131g(x)321则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))＞g(f(x))的x 的值为________． 解析：因为g(1)＝3,f(3)＝1,所以f(g(1))＝1.当x ＝1时,f(g(1))＝f(3)＝1,g(f(1))＝g(1)＝3,不合题意． 当x ＝2时,f(g(2))＝f(2)＝3,g(f(2))＝g(3)＝1,符合题意． 当x ＝3时,f(g(3))＝f(1)＝1,g(f(3))＝g(1)＝3,不合题意． 答案：1 214．设函数f(x)＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x ＜1，4－x －1，x ≥1，则使得f(x)≥1的自变量x 的取值范围是________．解析：f(x)≥1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，（x ＋1）2≥1或⎩⎨⎧x ≥1，4－x －1≥1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，（x ＋1）2≥1，得x≤－2或0≤x＜1. 由⎩⎨⎧x≥1，4－x －1≥1，得1≤x≤10. 综上所述,x 的取值范围是x≤－2或0≤x≤10. 答案：(－∞,－2]∪[0,10]15．已知实数a≠0,函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x<1，－x －2a ，x ≥1.若f(1－a)＝f(1＋a),则a 的值为________．解析：当a>0时,1－a<1,1＋a>1,此时f(1－a)＝2(1－a)＋a ＝2－a,f(1＋a)＝－(1＋a)－2a ＝－1－3a.由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a ＝－1－3a,解得a ＝－32.不合题意,舍去． 当a<0时,1－a>1,1＋a<1,此时f(1－a)＝－(1－a)－2a ＝－1－a, f(1＋a)＝2(1＋a)＋a ＝2＋3a,由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a ＝2＋3a,解得a ＝－34.综上可知,a 的值为－34.答案：－3416．(2020·杭州市富阳二中高三(上)开学考试)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1x ＋6x －6，x>1,则f(f(－2))＝________,f(x)的最小值是________．解析：由题意可得f(－2)＝(－2)2＝4, 所以f(f(－2))＝f(4)＝4＋64－6＝－12；因为当x≤1时,f(x)＝x 2,由二次函数可知当x ＝0时,函数取最小值0； 当x>1时,f(x)＝x ＋6x－6,由基本不等式可得f(x)＝x ＋6x －6≥2x ·6x－6 ＝26－6,当且仅当x ＝6x 即x ＝6时取到等号,即此时函数取最小值26－6；因为26－6<0,所以f(x)的最小值为26－6. 答案：－1226－617．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x<0.若a[f(a)－f(－a)]>0,则实数a 的取值范围为________．解析：易知a≠0.由题意得,当a>0时,则－a<0,故a[f(a)－f(－a)]＝a(a 2＋a －3a)>0,化简可得a 2－2a>0,解得a>2或a<0.又因为a>0,所以a>2.当a<0时,则－a>0,故a[f(a)－f(－a)]＝a[－3a －(a 2－a)]>0,化简可得a 2＋2a>0,解得a>0或a<－2,又因为a<0,所以a<－2.综上可得,实数a 的取值范围为(－∞,－2)∪(2,＋∞)．答案：(－∞,－2)∪(2,＋∞)[综合题组练]1．设x∈R ,定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，则( )A ．|x|＝x|sgn x|B ．|x|＝xsgn|x|C ．|x|＝|x|sgn xD ．|x|＝xsgn x解析：选D.当x<0时,|x|＝－x,x|sgn x|＝x,x ·sgn|x|＝x,|x|sgn x ＝(－x)·(－1)＝x,排除A,B,C,故选D.2．(2020·宁波市九校期末联考)已知下列各式：①f(|x|＋1)＝x 2＋1；②f(1x 2＋1)＝x ；③f(x 2－2x)＝|x|；④f(|x|)＝3x＋3－x.其中存在函数f(x)对任意的x∈R 都成立的序号为________．解析：①f(|x|＋1)＝x 2＋1,由t ＝|x|＋1(t≥1),可得|x|＝t －1,则f(t)＝(t －1)2＋1,即有f(x)＝(x －1)2＋1对x∈R 均成立；②f(1x 2＋1)＝x,令t ＝1x 2＋1(0＜t≤1),x ＝±1t－1,对0＜t≤1,y ＝f(t)不能构成函数,故不成立；③f(x 2－2x)＝|x|,令t ＝x 2－2x,若t ＜－1时,x ∈∅；t≥－1,可得x ＝1±1＋t (t≥－1),y ＝f(t)不能构成函数；④f(|x|)＝3x＋3－x,当x≥0时,f(x)＝3x＋3－x；当x ＜0时,f(－x)＝3x＋3－x；将x 换为－x 可得f(x)＝3x＋3－x；故恒成立．综上可得①④符合条件．答案：①④3．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x<0，2x ，x ≥0，且f(－2)＝3,f(－1)＝f(1)．(1)求f(x)的解析式； (2)画出f(x)的图象．解：(1)由f(－2)＝3,f(－1)＝f(1),得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1,b ＝1,所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x<0，2x ，x ≥0.(2)f(x)的图象如图：4．已知f(x)＝x 2－1,g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x>0，2－x ，x<0.(1)求f(g(2))与g(f(2))； (2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．解：(1)g(2)＝1,f(g(2))＝f(1)＝0；f(2)＝3,g(f(2))＝g(3)＝2. (2)当x>0时,f(g(x))＝f(x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x<0时,f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x 2－4x ＋3.所以f(g(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x>0，x 2－4x ＋3，x<0.同理可得g(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x<－1或x>1，3－x 2，－1<x<1. 5．设计一个水渠,其横截面为等腰梯形(如图),要求满足条件AB ＋BC ＋CD ＝a(常数),∠ABC ＝120°,写出横截面的面积 y 关于腰长x 的函数,并求它的定义域和值域．解：如图,因为AB ＋BC ＋CD ＝a,所以BC ＝EF ＝a －2x>0, 即0<x<a2,因为∠ABC＝120°,所以∠A＝60°,所以AE ＝DF ＝x 2,BE ＝32x,y ＝12(BC ＋AD)·BE＝3x 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（a －2x ）＋x 2＋x 2＝34(2a －3x)x ＝－34(3x 2－2ax) ＝－334⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋312a 2, 故当x ＝a 3时,y 有最大值312a 2,它的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2,值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，312a 2. 6．已知函数f(x)对任意实数x 均有f(x)＝－2f(x ＋1),且f(x)在区间[0,1]上有表达式f(x)＝x 2. (1)求f(－1),f(1.5)；(2)写出f(x)在区间[－2,2]上的表达式．解：(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0, f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－12f(0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x∈[0,1]时,f(x)＝x 2；当x∈(1,2]时,x －1∈(0,1],f(x)＝－12f(x －1)＝－12(x －1)2；当x∈[－1,0)时,x ＋1∈[0,1), f(x)＝－2f(x ＋1)＝－2(x ＋1)2； 当x∈[－2,－1)时,x ＋1∈[－1,0),f(x)＝－2f(x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－12（x －1）2，x ∈（1，2]x 2，x ∈[0，1]－2（x ＋1）2，x ∈[－1，0）4（x ＋2）2，x ∈[－2，－1）.。
§2.1函数的概念及其表示考试要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．常用结论1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×)(2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．(×)(3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．(×)(4)函数f (x )－1，x ≥0，2，x <0的定义域为R .(√)教材改编题1．(多选)下列所给图象是函数图象的是()答案CD 解析A 中，当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；B 中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；CD 中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．2．下列各组函数表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1与y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x －1与y ＝－1xC ．y ＝2x 2与y ＝2xD ．y ＝2x －1与v ＝2t －1答案D 解析y ＝x －1的定义域为R ，y ＝x 2－1x ＋1的定义域为{x |x ≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A 不正确；y ＝x －1＝1x 与y ＝－1x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B 不正确；y ＝2x 2＝2|x |与y ＝2x 的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C 不正确；y ＝2x －1与v ＝2t －1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D 正确．3．已知函数f (x )x ，x >0，x ，x ≤0，则函数f ()A ．3B ．－3 C.13D ．－13答案C解析由题意可知，f ln 13＝－ln 3，所以f f (－ln 3)＝e －ln 3＝13.题型一函数的定义域例1(1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为()A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]答案C解析＋1>0，x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，故定义域为(－1,1)．(2)已知函数f (x )的定义域为(－4，－2)，则函数g (x )＝f (x －1)＋x ＋2的定义域为________．答案[－2，－1)解析∵f (x )的定义域为(－4，－2)，要使g (x )＝f (x －1)＋x ＋2有意义，4<x －1<－2，＋2≥0，解得－2≤x <－1，∴函数g (x )的定义域为[－2，－1)．思维升华(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x 的取值集合；(2)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(3)若复合函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则函数f (x )的定义域为g (x )在[a ，b ]上的值域．跟踪训练1(1)函数f (x )＝1ln (x －1)＋3－x 的定义域为()A ．(1,3]B ．(1,2)∪(2,3]C ．(1,3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，3)答案B解析－1>0，－1≠1，－x ≥0，所以1<x <2或2<x ≤3，所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．(2)(2023·南阳检测)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，则函数g (x )＝f (x －1)＋2x －1的定义域是()A ．{x |x >2或x <0}|12≤x <2C ．{x |x >2}|x ≥12答案B 解析要使f (x )＝lg 1－x 1＋x 有意义，则1－x 1＋x>0，即(1－x )(1＋x )>0，解得－1<x <1，所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．要使g (x )＝f (x －1)＋2x －1有意义，1<x －1<1，x －1≥0，解得12≤x <2，所以函数g (x )|12≤x <2题型二函数的解析式例2(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式；(2)已知f x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．(4)已知f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，求f (x )的解析式．解(1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0,2]，则sin x ＝1－t ，∵f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ，∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]．即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)(配凑法)∵f x 2＋1x2＝－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)(待定系数法)∵f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17.即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，＝2，a ＋b ＝17，＝2，＝7.∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.思维升华函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．跟踪训练2(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是() A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7C．f(x)＝x2＋2x－3D．f(x)＝x2＋6x－10答案A解析f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x.(2)若f ＝x1－x，则f(x)＝________.答案1x－1(x≠0且x≠1)解析f(x)＝1x1－1x＝1x－1(x≠0且x≠1)．(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f3x，则f(2)等于()A．－3B．3C．－1D．1答案A解析f(x)＋2f3x，①则f2f(x)＝－3x，②联立①②解得f(x)＝－2x－x，则f(2)＝－22－2＝－3.题型三分段函数例3(1)已知函数f(x)x－1)，x>0，ln(x＋e)＋2，x≤0，则f(2024)的值为() A．－1B．0C．1D．2答案C解析因为f (x )x －1)，x >0，ln (x ＋e )＋2，x ≤0，所以f (2024)＝f (2023)＝f (2022)＝…＝f (1)，又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f (2024)＝1.(2)已知函数f (x )x 2－3x ＋2，x <－1，x －3，x ≥－1，若f (a )＝4，则实数a 的值是________；若f (a )≥2，则实数a 的取值范围是________．答案－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)解析若f (a )＝4，<－1，a 2－3a ＋2＝4≥－1，a －3＝4，解得a ＝－2或a ＝5.若f (a )≥2，<－1，a 2－3a ＋2≥2≥－1，a －3≥2，解得－3≤a <－1或a ≥4，∴a 的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＋2，x ≤0，＋1x ，x >0，若f (f (a ))＝2，则a 等于()A ．0或1B ．－1或1C ．0或－2D ．－2或－1答案D 解析令f (a )＝t ，则f (t )＝2，可得t ＝0或t ＝1，当t ＝0时，即f (a )＝0，显然a ≤0，因此a ＋2＝0⇒a ＝－2，当t ＝1时，即f (a )＝1，显然a ≤0，因此a ＋2＝1⇒a ＝－1，综上所述，a ＝－2或－1.(2)(2023·重庆质检)已知函数f (x )2x ，x >1，2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案－12，＋∞解析当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)等价于x 2－1<(x ＋1)2－1，解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1，此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，x ＋1>2，f (x )<f (x ＋1)等价于log 2x <log 2(x ＋1)，此时也恒成立．综上，不等式f (x )<f (x ＋1)－12，＋课时精练1．函数f (x )＝lg(x －2)＋1x －3的定义域是()A ．(2，＋∞)B ．(2,3)C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)答案D 解析∵f (x )＝lg(x －2)＋1x －3，－2>0，－3≠0，解得x >2，且x ≠3，∴函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．2．(2023·北京模拟)已知集合A ＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤4}，则下列对应关系中是从集合A 到集合B 的函数是()A ．y ＝x ＋1B ．y ＝e xC ．y ＝x 2D ．y ＝|x |答案B 解析对于A ，当x ＝－1时，由y ＝x ＋1得y ＝0，但0∉B ，故A 错误；对于B ，因为从A ＝{x |－2<x ≤1}中任取一个元素，通过y ＝e x 在B ＝{x |0<x ≤4}中都有唯一的元素与之对应，故B 正确；对于C ，当x ＝0时，由y ＝x 2得y ＝0，但0∉B ，故C 错误；对于D ，当x ＝0时，由y ＝|x |得y ＝0，但0∉B ，故D 错误．3．已知f (x 3)＝lg x ，则f (10)的值为()A ．1 B.310 C.13 D.1310答案C 解析令x 3＝10，则x ＝1310，∴f (10)＝lg 1310＝13.4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h ，注水时间为t ，则下面选项中最符合h 关于t 的函数图象的是()答案A 解析水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A 符合．5．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为()－∞，32D.32，＋∞答案B解析设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x ∞，32.6．已知函数f (x )x 2＋2x ＋3，x ≤2，＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)，若函数f (x )的值域是(－∞，4]，则实数a 的取值范围是()B.22，C ．(1，2]D ．(1，2)答案B 解析当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，当x ＝1时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3取得最大值4，所以当x ≤2时，函数f (x )的值域是(－∞，4]，所以当x >2时，函数f (x )＝6＋log a x 的值域为(－∞，4]的子集，当a >1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递增，此时f (x )>f (2)＝6＋log a 2>6，不符合题意，当0<a <1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递减，此时f (x )<f (2)＝6＋log a 2≤4，即log a 2≤－2，所以a 2≥12，可得22≤a <1，所以实数a 的取值范围是22，7．(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是()A ．y ＝－x ＋1B ．133,0,1,0x x y x x⎧≤⎪=⎨⎪>⎩C ．y ＝ln|x |D ．y ＝2x －1x －2答案ABD 解析对A ，函数的定义域和值域都是R ；对B ，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R ；对C ，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R ；对D ，因为函数y ＝2x －1x －2＝2＋3x －2，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．所以ABD 是定义域和值域相同的函数．8．(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，则下列对应法则f 满足函数定义的有()A ．f (x 2)＝|x |B ．f (x 2)＝xC ．f (cos x )＝xD ．f (e x )＝x 答案AD 解析令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝|±t |＝t ，故A 符合函数定义；令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝±t ，设t ＝4，f (t )＝±2，一个自变量对应两个函数值，故B 不符合函数定义；设t ＝cos x ，当t ＝12时，x 可以取±π3等无数多个值，故C 不符合函数定义；令t ＝e x (t >0)，f (t )＝ln t ，故D 符合函数定义．9．已知函数f (x )x ，x <0，x －π)，x >0，则f ________.答案12解析由已知得f f f f f ＝12.10．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________.答案x 2－1(x ≥0)解析令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．11．已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x 的定义域为__________．答案[－1,0]解析2≤2x ≤2，－2x ≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]．12．已知f (x )x ＋3，x >0，2－4，x ≤0，若f (a )＝5，则实数a 的值是__________；若f (f (a ))≤5，则实数a 的取值范围是__________．答案1或－3[－5，－1]解析①当a >0时，2a ＋3＝5，解得a ＝1；当a ≤0时，a 2－4＝5，解得a ＝－3或a ＝3(舍)．综上，a ＝1或－3.②设t ＝f (a )，由f (t )≤5得－3≤t ≤1.由－3≤f (a )≤1，解得－5≤a ≤－1.13．(2022·广州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，则f (1)等于()A ．－1B ．1C ．－13 D.13答案B解析∵定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，∴当x ＝0时，f (1)＋2f (0)＝1，①当x ＝1时，f (0)＋2f (1)＝2，②②×2－①，得3f (1)＝3，解得f (1)＝1.14．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )3，x ≤0，x >0，若f (a －3)＝f (a ＋2)，则f (a )等于()A ．2 B.2C ．1D ．0答案B解析作出函数f (x )的图象，如图所示．因为f (a －3)＝f (a ＋2)，且a －3<a ＋2，－3≤0，＋2>0，即－2<a ≤3，此时f (a －3)＝a －3＋3＝a ，f (a ＋2)＝a ＋2，所以a ＝a ＋2，即a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1(不满足a ＝a ＋2，舍去)，则f (a )＝ 2.15．∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n 的取值范围是()A．(－2,2)B．(－2,0)∪(0,2)C．[－2,2]D．(－2，2)答案B解析当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，所以M(x)||－1，x≥1或x≤－1，1－x2，－1<x<1，若M(n)<1，则当－1<n<1时，1－n2<1⇒－n2<0⇒n≠0，即－1<n<0或0<n<1，当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，解得－2<n≤－1或1≤n<2，综上，－2<n<0或0<n<2.16．(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数，下列说法正确的是() A．F(F(x))＝0B．对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立C．任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立D．存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等边三角形答案BD解析∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；取x1＝－33，x2＝0，x3＝33，可得F(x1)＝0，F(x2)＝1，F(x3)＝0，所以A－33，0，B(0,1)，C33，0△ABC为等边三角形，故D正确．。
学习资料2022版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第一讲函数及其表示学案（含解析）新人教版班级：科目：第二章函数、导数及其应用第一讲函数及其表示知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一函数的概念及表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A,B 设A，B是两个__非空数集__设A，B是两个__非空集合__对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个数x，在集合B中有__唯一__的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个元素x在集合B中有__唯一__的元素y与之对应名称称对应__f：A→B__为从集合A到集合B的一个函数称对应__f：A→B__为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f（x），x∈A 对应f：A→B是一个映射(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．（2）函数的三要素：__定义域、值域、对应法则__.(3）函数的表示法:__解析法、图象法、列表法__。
(4）两个函数只有当__定义域和对应法则__都分别相同时,这两个函数才相同．知识点二分段函数及应用在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系,这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．错误!错误!错误!错误!1．映射：(1)映射是函数的推广，函数是特殊的映射，A,B为非空数集的映射就是函数；(2)映射的两个特征：第一，在A中取元素的任意性；第二，在B中对应元素的唯一性；（3)映射问题允许多对一，但不允许一对多．2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×"）(1)f（x)＝错误!＋错误!是一个函数．（×)(2)函数f(x)的图象与直线x＝1的交点只有1个．(×)(3）已知f(x）＝m（x∈R），则f(m3）等于m3。
