2018年高考数学总复习教师用书全套(含解析共1011页)

第五章⎪⎪⎪数 列第一节数列的概念与简单表示法1．数列的有关概念 概念 含义数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{a n }的第n 项a n通项公式 数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系能用公式a n ＝f (n )表示，这个公式叫做数列的通项公式前n 项和数列{a n }中，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 叫做数列的前n 项和列表法 列表格表示n 与a n 的对应关系 图象法 把点(n ，a n )画在平面直角坐标系中 公式法通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a 1和a n ＋1＝f (a n )或a 1，a 2和a n ＋1＝f (a n ，a n －1)等表示数列的方法n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.4．数列的分类[小题体验]1．已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，则数列{a n }的一个通项公式为________．答案：a n ＝2n －1(n ∈N *)2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋3，则a 5等于________． 答案：11613．(教材习题改编)已知函数f (x )＝x －1x ，设a n ＝f (n )(n ∈N *)，则{a n }是________数列(填“递增”或“递减”)．答案：递增1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．3．在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形．[小题纠偏]1．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式是________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥22．数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋9n ，则该数列第________项最大． 答案：4或5考点一 由数列的前几项求数列的通项公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知n ∈N *，给出4个表达式：①a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，1，n 为偶数，②a n ＝1＋(－1)n2，③a n ＝1＋cos n π2，④a n ＝⎪⎪⎪⎪sin n π2．其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④解析：选A 检验知①②③都是所给数列的通项公式． 2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)(易错题)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…； (3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，…．解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式a n ＝2(n ＋1)，n ∈N *． (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×1n (n ＋1)，n ∈N *．(3)这是一个摆动数列，奇数项是a ，偶数项是b ，所以此数列的一个通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，b ，n 为偶数. (4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n －1，n ∈N *．[谨记通法]由数列的前几项求数列通项公式的策略(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征等．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整．如“题组练透”第2(2)题．考点二 由a n 与S n 的关系求通项a n (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式． (1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n ＋b ．解：(1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5． (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1． 当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.[由题悟法]已知S n 求a n 的 3个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[即时应用]已知数列{a n }的前n 项和为S n ． (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ； (2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n ．解：(1)a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1) ＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)] ＝(－1)n ＋1·(2n －1)， 又a 1也适合此式， 所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1] ＝2·3n －1＋2， 由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.考点三 由递推关系式求数列的通项公式(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．常见的命题角度有： (1)形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n ； (2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n ；(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n ．[题点全练]角度一：形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n 1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式． 解：∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，a n －2＝n －3n －2a n －3，…，a 2＝12a 1．以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n ．当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立．∴a n ＝1n (n ∈N *)． 角度二：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n2．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式． 解：由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －22．又∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式，∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)．角度三：形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式． 解：∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1(n ∈N *)．[通法在握]典型的递推数列及处理方法[演练冲关]根据下列条件，求数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ； (2)a 1＝12，a n ＝n －1n ＋1a n －1(n ≥2)．解：(1)由题意知a n ＋1－a n ＝2n ，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n －1．(2)因为a n ＝n －1n ＋1a n －1(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n a n －1＝n －1n ＋1，所以a na n －1＝n －1n ＋1，a n －1a n －2＝n －2n ，…，a 3a 2＝24，a 2a 1＝13，以上n －1个式子相乘得a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·…·24·13，即a n a 1＝1n ＋1×1n ×2×1，所以a n ＝1n (n ＋1)． 当n ＝1时，a 1＝11×2＝12，也与已知a 1＝12相符，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝( )A ．n 2n ＋1B ．n2n －1 C ．n 2n －3D ．n2n ＋3解析：选B 由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n 2n －1．2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －3B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ＋3，n ≥2解析：选C 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，由于n ＝1时a 1的值不适合n ≥2的解析式，故通项公式为选项C ．3．若a 1＝12，a n ＝4a n －1＋1(n ≥2)，当a n >100时，n 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由a 1＝12，a n ＝4a n －1＋1(n ≥2)得，a 2＝4a 1＋1＝4×12＋1＝3，a 3＝4a 2＋1＝4×3＋1＝13，a 4＝4a 3＋1＝4×13＋1＝53，a 5＝4a 4＋1＝4×53＋1＝213>100．4．(2016·肇庆三模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．解析：由a n －a n －1＝n 得a 2－a 1＝2， a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n ， 上面(n －1)个式子相加得 a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)．又n ＝1时也满足此式， 所以a n ＝12n (n ＋1)．答案：12n (n ＋1)5．(2017·南昌模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2)，且S 2＝3，则a 1＋a 3的值为________．解析：∵S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2)，令n ＝2， 得S 2＋S 1＝3，由S 2＝3得a 1＝S 1＝0， 令n ＝3，得S 3＋S 2＝5，所以S 3＝2，则a 3＝S 3－S 2＝－1，所以a 1＋a 3＝0＋(－1)＝－1． 答案：－1二保高考，全练题型做到高考达标1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A ．(－1)n ＋12B ．cos n π2C ．cos n ＋12πD ．cos n ＋22π解析：选D 令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确．2．(2017·福建福州八中质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2017＝( )A ．1B ．0C ．2 017D ．－2 017解析：选A ∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2 017＝a 1＝1．3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a n ＝( ) A ．2n B ．2n －1 C ．2nD ．2n －1解析：选C 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2(a 1－1)，可得a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }为等比数列，公比为2，首项为2，所以a n ＝2n ．4．设曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·x 3·x 4·…·x 2 017＝( )A ．2 0162 017B ．12 017 C ．2 0172 018D ．12 018解析：选D 由f (x )＝x n ＋1得f ′(x )＝(n ＋1)x n ，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得x n ＝n n ＋1，故x 1·x 2·x 3·x 4·…·x 2 017＝12×23×…×2 0172 018＝12 018．5．(2017·衡水中学检测)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n ． 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7．∴满足条件的n 的值为7．6．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0．08是它的第____________项．解析：令n －2n 2＝0．08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0． 解得n ＝10或n ＝52(舍去)．答案：107．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n >1)，则a 2 017＝________，|a n ＋a n ＋1|＝________(n >1)．解析：由a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n >1)，得a 2＝a 21－1＝12－1＝0，a 3＝a 22－1＝02－1＝－1， a 4＝a 23－1＝(－1)2－1＝0，a 5＝a 24－1＝02－1＝－1，由此可猜想当n >1，n 为奇数时a n ＝－1，n 为偶数时a n ＝0， ∴a 2 017＝－1，|a n ＋a n ＋1|＝1． 答案：－1 18．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________．解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28．答案：289．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2； 同理，a 3＝3，a 4＝4．(2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0． 由于a n ＋a n －1≠0， 所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n ． 10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4．(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． 解：(1)由n 2－5n ＋4<0， 解得1<n <4．因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3． 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94， 由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2． (2)由a n ＋1>a n ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3．所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·2n ＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为________．a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ……解析：由题意可得该数阵中的第10行、第3个数为数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝9×102＋3＝48项，而a 48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵第10行、第3个数为97．答案：972．(2017·甘肃诊断性考试)已知数列{a n }满足a 1＝8999，a n ＋1＝10a n ＋1． (1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋19是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝lg ⎝⎛⎭⎫a n ＋19，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和，求证：T n <12． 证明：(1)由a n ＋1＝10a n ＋1，得a n ＋1＋19＝10a n ＋109＝10⎝⎛⎭⎫a n ＋19，即a n ＋1＋19a n ＋19＝10． 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋19是等比数列，其中首项为a 1＋19＝100，公比为10，所以a n ＋19＝100×10n －1＝10n ＋1，即a n ＝10n ＋1－19．(2)由(1)知b n ＝lg ⎝⎛⎭⎫a n ＋19＝lg 10n ＋1＝n ＋1， 即1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2． 所以T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2<12．第二节等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ．(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2． 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．[小题体验]1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________． 答案：102．(教材习题改编)已知等差数列{a n }，a 5＝－20，a 20＝－35，则a n ＝________ 答案：－15－n3．(教材习题改编)已知等差数列5,427，347，…，则前n 项和S n ＝________．答案：114(75n －5n 2)1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件．[小题纠偏]1．首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d 的取值范围是( ) A ．(－3，＋∞) B ．⎝⎛⎭⎫－∞，－83 C ．⎝⎛⎭⎫－3，－83 D ．⎣⎡⎭⎫－3，－83 答案：D2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3d ，所以12＝3×2＋3d ，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12．答案：12考点一 等差数列的基本运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2016·郑州二检)已知{a n }为等差数列，公差为1，且a 5是a 3与a 11的等比中项，S n是{a n }的前n 项和，则S 12的值为______．解析：由题意得，a 25＝a 3a 11，即(a 1＋4)2＝(a 1＋2)(a 1＋10)，a 1＝－1，∴S 12＝12×(－1)＋12×112×1＝54．答案：542．(2017·西安质检)公差不为零的等差数列{a n }中，a 7＝2a 5，则数列{a n }中第________项的值与4a 5的值相等．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 7＝2a 5，∴a 1＋6d ＝2(a 1＋4d )，则a 1＝－2d ，∴a n＝a 1＋(n －1)d ＝(n －3)d ，而4a 5＝4(a 1＋4d )＝4(－2d ＋4d )＝8d ＝a 11，故数列{a n }中第11项的值与4a 5的值相等．答案：113．(2016·江苏高考)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知S 5＝5a 1＋5×42d ＝10，得a 1＋2d ＝2，即a 1＝2－2d ．所以a 2＝a 1＋d ＝2－d ，代入a 1＋a 22＝－3，化简得d 2－6d ＋9＝0，所以d ＝3，a 1＝－4．故a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20．答案：204．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________． 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1， 公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72．答案：－72[谨记通法]等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，可“知三求二”．解决这些问题一般设基本量a 1，d ，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想．(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2结合使用，体现整体代入的思想．考点二 等差数列的判断与证明(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求a n 的表达式．解：(1)证明：∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 又a n ＝－2S n ·S n －1，∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0，n ≥2． 因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n．由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n (n －1)，又∵a 1＝12，不适合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.[由题悟法]等差数列的判定与证明方法[即时应用]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n 2a n ＋1＝2＋1a n ，∴b n ＋1－b n ＝2＋1a n －1a n ＝2．又b 1＝1a 1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知数列{b n }的通项公式为 b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n，∴a n ＝1b n ＝12n －1．∴数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1．考点三 等差数列的性质及最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8＝( ) A ．18 B ．12 C ．9D ．6解析：选D 由题意得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(2a 1＋10d )2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6．2．(2017·合肥质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 8＝1，S 16＝0，当S n 取最大值时n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a 8＝a 1＋7d ＝1，S 16＝16a 1＋16×152d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2，则S n ＝－n 2＋16n ＝－(n －8)2＋64，则当n ＝8时，S n 取得最大值．法二：因为{a n }是等差数列，所以S 16＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)＝0，则a 9＝－a 8＝－1，即数列{a n }的前8项是正数，从第9项开始是负数，所以(S n )max ＝S 8，选项B 正确．[由题悟法]1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n ．2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m ．[即时应用]1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 6a 5＝911，则S 11S9＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．12解析：选A S 11S 9＝11(a 1＋a 11)29(a 1＋a 9)2＝11a 69a 5＝119×911＝1．2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．解：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36， 又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18．答案：183．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________． 解析：依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d ．又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200．答案：200一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2017·桂林调研)等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d ＝( ) A ．14B ．12C ．2D ．－12解析：选A 由a 4＋a 8＝2a 6＝10，得a 6＝5，所以4d ＝a 10－a 6＝1，解得d ＝14，故选A ．2．等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，若a 5＝6，则S 9为( ) A ．45 B ．54 C ．63D ．27解析：选B 法一：∵S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝9×6＝54．故选B ．法二：由a 5＝6，得a 1＋4d ＝6，∴S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d )＝9×6＝54，故选B ．3．(2017·陕西质量监测)已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2．若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( )A ．21B ．22C ．23D ．24解析：选C 3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n ．∵a k ＋1·a k <0， ∴⎝⎛⎭⎫473－23k ⎝⎛⎭⎫453－23k <0，∴452<k <472，又∵k ∈N *， ∴k ＝23．4．(2016·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________．解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0． ∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2． ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6．答案：65．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5．答案：S 5二保高考，全练题型做到高考达标1．(2017·太原一模)在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0C ．14D ．12解析：选B 由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2， 又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝32．∴公差d ＝a 4－a 22＝12．∴a 1＝a 2－d ＝0．2．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( ) A ．10B ．15C ．－5D ．20解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋3n －[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，符合上式， ∴a n ＝4n ＋1，a p －a q ＝4(p －q )＝20．3．(2017·河南六市一联)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 6＝( )A ．114B ．32C ．72D ．1解析：选A 设{a n }的公差为d ，由题意得，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，又{a n }和{S n}都是等差数列，且公差相同，∴⎩⎨⎧d ＝ d 2，a 1－d2＝0，解得⎩⎨⎧d ＝12，a 1＝14，a 6＝a 1＋5d ＝14＋52＝114．4．(2017·沈阳教学质量监测)设等差数列{a n }满足a 2＝7，a 4＝3，S n 是数列{a n }的前n 项和，则使得S n >0成立的最大的自然数n 是( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选A 由题可得{a n }的公差d ＝3－74－2＝－2，a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，则{a n }是递减数列，且a 5>0>a 6，a 5＋a 6＝0，于是S 9＝2a 52·9>0，S 10＝a 5＋a 62·10＝0，S 11＝2a 62·11<0，故选A ．5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ， 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0． 因为对任意的正整数n 上式均成立， 所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0， 解得d ＝2，k ＝14．所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1．6．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________．解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910，a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10．答案：107．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78．答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则正整数m 的值为________．解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，数列的公差d ＝1，a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m－1＝5，即2a 1＋2m －1＝5， 所以a 1＝3－m ．由S m ＝(3－m )m ＋m (m －1)2×1＝0，解得正整数m 的值为5． 答案：59．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110． (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S nn ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n ．解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k ．由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10． (2)证明：由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)， 则b n ＝S nn ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2． 10．(2017·南昌调研)设数列{a n }的前n 项和为S n,4S n ＝a 2n ＋2a n －3，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，当n ≥5时，a n >0．(1)求证：当n ≥5时，{a n }成等差数列； (2)求{a n }的前n 项和S n ．解：(1)证明：由4S n ＝a 2n ＋2a n －3,4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3， 得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0． 当n ≥5时，a n >0，所以a n ＋1－a n ＝2， 所以当n ≥5时，{a n }成等差数列．(2)由4a 1＝a 21＋2a 1－3，得a 1＝3或a 1＝－1， 又a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列， 所以由(1)得a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5)，q ＝－1， 而a 5>0，所以a 1>0，从而a 1＝3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(－1)n －1，1≤n ≤4，2n －7，n ≥5，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32[1－(－1)n ]，1≤n ≤4，n 2－6n ＋8，n ≥5.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·安庆二模)已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且a n＝S 2n －1(n ∈N *)．若不等式λa n ≤n ＋8n对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为________．解析：a n ＝S 2n －1⇒a n ＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2＝(2n －1)a n ⇒a 2n ＝(2n －1)a n ⇒a n ＝2n－1，n ∈N *．λa n ≤n ＋8n 就是λ≤(n ＋8)(2n －1)n ⇒λ≤2n －8n ＋15，f (n )＝2n －8n ＋15在n ≥1时单调递增，其最小值为f (1)＝9，所以λ≤9，故实数λ的最大值为9．答案：92．已知数列{a n}满足，a n＋1＋a n＝4n－3(n∈N*)．(1)若数列{a n}是等差数列，求a1的值；(2)当a1＝2时，求数列{a n}的前n项和S n．解：(1)法一：∵数列{a n}是等差数列，∴a n＝a1＋(n－1)d，a n＋1＝a1＋nd．由a n＋1＋a n＝4n－3，得(a1＋nd)＋[a1＋(n－1)d]＝4n－3，∴2dn＋(2a1－d)＝4n－3，即2d＝4,2a1－d＝－3，解得d＝2，a1＝－12．法二：在等差数列{a n}中，由a n＋1＋a n＝4n－3，得a n＋2＋a n＋1＝4(n＋1)－3＝4n＋1，∴2d＝a n＋2－a n＝(a n＋2＋a n＋1)－(a n＋1＋a n)＝4n＋1－(4n－3)＝4，∴d＝2．又∵a1＋a2＝2a1＋d＝2a1＋2＝4×1－3＝1，∴a1＝－12．(2)由题意，①当n为奇数时，S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a n－1＋a n)＝2＋4[2＋4＋…＋(n－1)]－3×n－1 2＝2n2－3n＋52．②当n为偶数时，S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n ＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a n－1＋a n)＝1＋9＋…＋(4n －7) ＝2n 2－3n 2．第三节等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q ． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab ．2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)， 则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n (λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k ．[小题体验]1．(教材习题改编)将公比为q 的等比数列a 1，a 2，a 3，a 4，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，…．此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列C ．公比为q 3的等比数列D ．不一定是等比数列 答案：B2．等比数列{a n }中，a 3＝12，a 4＝18，则a 6＝________．解析：法一：由a 3＝12，a 4＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12，a 1q 3＝18，解得a 1＝163，q ＝32，∴a 6＝a 1q 5＝163×⎝⎛⎭⎫325＝812．法二：由等比数列性质知，a 23＝a 2a 4， ∴a 2＝a 23a 4＝12218＝8，又a 24＝a 2a 6，∴a 6＝a 24a 2＝1828＝812．答案：8123．(教材习题改编)在等比数列{a n }中，已知a 1＝－1，a 4＝64，则公比q ＝________，S 4＝________．答案：－4 511．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0．3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．[小题纠偏]1．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A ．5 B ．±5 C ．4D ．±4解析：选C a 25＝a 3a 7＝2×8＝16，∴a 5＝±4，又∵a 5＝a 3q 2>0，∴a 5＝4． 2．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q ＝________． 答案：－12或1考点一 等比数列的基本运算(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2017·武汉调研)若等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＋2a 2＝3，a 23＝4a 2a 6，则a 4＝( )A ．38B ．245 C ．316D ．916解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2a 1q ＝3，(a 1q 2)2＝4a 1q ·a 1q 5，解得⎩⎨⎧a 1＝32，q ＝12，所以a 4＝a 1q 3＝32×⎝⎛⎭⎫123＝316．2．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S n ＝126，∴2(1－2n )1－2＝126，∴n ＝6．答案：6[由题悟法]解决等比数列有关问题的2种常用思想方程 的思想等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解[即时应用]1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A ．13B ．－13C ．19D ．－19解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝a 1q ＋10a 1，a 1q 4＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧q 2＝9，a 1＝19.2．(2017·洛阳统考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋8a 4＝0，则S 4S 3＝( )A ．－53B ．157C ．56D ．1514解析：选C 在等比数列{a n }中，因为a 1＋8a 4＝0，所以q ＝－12，所以S 4S 3＝a 1(1－q 4)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1－⎝⎛⎭⎫－1241－⎝⎛⎭⎫－123＝151698＝56． 3．(2015·安徽高考)已知数列{}a n 是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{}a n 的前n 项和等于________．解析：设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{}a n 为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1－2n 1－2＝2n －1．答案：2n －1考点二 等比数列的判定与证明(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·全国丙卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0． (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ．解：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0． 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n ．由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1．因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列， 于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1．(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n．由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132．解得λ＝－1．[由题悟法]等比数列的4种常用判定方法[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．[即时应用]设数列{}a n 的前n 项和为S n ，n ∈N *．已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1．(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．解：(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝⎛⎭⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝⎛⎭⎫1＋32＝8⎝⎛⎭⎫1＋32＋54＋1，解得a 4＝78． (2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 得4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)． ∵4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，∴4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，∴a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n2(2a n ＋1－a n )＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．考点三 等比数列的性质(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2017·湖南师大附中月考)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选D 由等差数列的性质，得a 6＋a 8＝2a 7．由a 6－a 27＋a 8＝0，可得a 7＝2，所以b 7＝a 7＝2．由等比数列的性质得b 2b 8b 11＝b 2b 7b 12＝b 37＝23＝8．2．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2＝5，则S 8S 4＝________．解析：设数列{a n }的公比为q ， 由已知得S 4S 2＝1＋a 3＋a 4a 1＋a 2＝5，即1＋q 2＝5， 所以q 2＝4，S 8S 4＝1＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋q 4＝1＋16＝17． 答案：17[由题悟法]等比数列的性质可以分为3类[即时应用]1．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A ．5B ．9C ．log 345D ．10解析：选D 由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10．2．(2017·长春调研)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________．解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n－1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以3n －6＝36，即n ＝14．答案：14一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0，因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D ．2．在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且－a 3，a 2，a 4成等差数列，则S 7的值为( )A ．125B ．126C ．127D ．128解析：选C 设{a n }的公比为q ，则2a 2＝a 4－a 3，又a 1＝1，∴2q ＝q 3－q 2，解得q ＝2或q ＝－1，∵a n >0，∴q >0，∴q ＝2，∴S 7＝1－271－2＝127．3．(2016·石家庄质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．2n C ．2n －1D ．2n －2解析：选A 依题意，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)，则a n ＋1＝2a n ，令n ＝1，则S 1＝2a 1－4，即a 1＝4，∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，故选A ．4．在等比数列{a n }中，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a 6＝________． 解析：由题意得，a 2·a 4＝a 1·a 5＝16， ∴a 2＝2，∴q 2＝a 4a 2＝4，∴a 6＝a 4q 2＝32．答案：325．在等比数列{a n }中，a n >0，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________． 解析：∵a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6．∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝15，a 1q 3－a 1q ＝6(q ≠1)两式相除得(q 2＋1)(q 2－1)q ·(q 2－1)＝156，即2q 2－5q ＋2＝0， ∴q ＝2或q ＝12，当q ＝2时，a 1＝1； 当q ＝12时，a 1＝－16(舍去)．∴a 3＝1×22＝4． 答案：4二保高考，全练题型做到高考达标1．已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( ) A ．10 B ．20 C ．100D ．200解析：选C a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102＝100．2．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．18B ．－18C ．578D ．558解析：选A 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，。

高考导航函数是中学数学的核心内容,导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性（求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有:函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等,中、高档难度均有．热点一利用导数研究函数的性质以含参数的函数为载体，结合具体函数与导数的几何意义，研究函数的性质,是高考的热点重点．本热点主要有三种考查方式：(1）讨论函数的单调性或求单调区间；(2）求函数的极值或最值；（3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．【例1】(2015·全国Ⅱ卷）已知函数f(x）＝ln x＋a(1－x）．（1)讨论f(x)的单调性；(2）当f（x）有最大值,且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．解(1)f(x）的定义域为（0，＋∞),f′(x)＝错误!－a.若a≤0，则f′（x）〉0，所以f（x）在（0，＋∞)上单调递增．若a〉0，则当x∈错误!时，f′（x）〉0;当x∈错误!时，f′(x)<0.所以f（x)在错误!上单调递增，在错误!上单调递减．(2)由（1)知,当a≤0，f（x)在(0,＋∞)上无最大值;当a〉0时，f（x）在x＝错误!取得最大值,最大值为f错误!＝ln错误!＋a错误!＝－ln a＋a－1.因此f错误!〉2a－2等价于ln a＋a－1〈0.令g（a）＝ln a＋a－1,则g(a）在(0,＋∞）上单调递增，g(1）＝0。

于是，当0〈a<1时，g(a)<0；当a>1时，g（a)>0。

因此，a的取值范围是(0，1)．探究提高（1)判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题,最终归结到判断f′(x)的符号问题上,而f′（x)>0或f′(x)〈0，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题．（2）若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′（x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．【训练1】设f（x)＝－错误!x3＋错误!x2＋2ax.（1）若f(x)在错误!上存在单调递增区间，求a的取值范围;（2)当0＜a＜2时，f(x）在[1,4］上的最小值为－163，求f(x）在该区间上的最大值．解（1)由f′(x）＝－x2＋x＋2a＝－错误!2＋错误!＋2a，当x∈错误!时，f′（x）的最大值为f′错误!＝错误!＋2a；令错误!＋2a＞0，得a＞－错误!.所以，当a＞－错误!时，f(x)在错误!上存在单调递增区间．（2)已知0＜a＜2，f(x）在[1，4］上取到最小值－163,而f′(x)＝－x2＋x＋2a的图像开口向下，且对称轴x＝错误!，∴f′（1)＝－1＋1＋2a＝2a＞0，f′(4)＝－16＋4＋2a＝2a－12＜0，则必有一点x0∈[1，4]，使得f′(x0）＝0，此时函数f(x）在[1，x0]上单调递增,在[x0,4］上单调递减，f（1)＝－13＋错误!＋2a＝错误!＋2a＞0，∴f(4)＝－错误!×64＋错误!×16＋8a＝－错误!＋8a＝－错误!⇒a＝1.此时，由f′（x0)＝－x错误!＋x0＋2＝0⇒x0＝2或－1(舍去)，所以函数f（x)max＝f(2)＝错误!。

高考导航 从近几年的高考试题看，全国卷交替考查三角函数、解三角形．该部分解答题是高考得分的基本组成部分，不能掉以轻心．该部分的解答题考查的热点题型有：一考查三角函数的图像变换以及单调性、最值等；二考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题，在解题过程中抓住平面向量作为解决问题的工具，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化．热点一 三角函数的图像和性质(规范解答)注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图像与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图像的平移、由图像求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解．【例1】 (满分13分)(2015·北京卷)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值．满分解答 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3.2分 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－ 3.4分所以f (x )的最小正周期为2π.6分 (2)因为0≤x ≤2π3， 所以π3≤x ＋π3≤π.8分当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值.11分 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.13分❶将f (x )化为a sin x ＋b cos x ＋c 形式得…………2分； ❷将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)＋h 形式得…………2分； ❸求出最小正周期得…………2分． ❹写出ωx ＋φ的取值范围得…………2分． ❺利用单调性分析最值得…………3分． ❻求出最值得…………2分．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 周期与最值的模板第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋h 的形式；第二步：由T ＝2π|ω|求最小正周期； 第三步：确定f (x )的单调性；第四步：确定各单调区间端点处的函数值； 第五步：明确规范地表达结论．【训练1】 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )的图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为y ＝f (x )的图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω＞0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.设t ＝2x －π3，则函数f (x )可转化为y ＝－sin t .当π≤x ≤3π2时，5π3≤t ＝2x －π3≤ 8π3，如图所示，作出函数y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3 上的图像，由图像可知，当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3时，sin t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，故－1≤－sin t ≤32，因此－1≤f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤32. 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.热点二 解三角形高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题．【例2】 (2017·咸阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (x )＝2sin(x －A )cos x ＋sin(B ＋C )(x ∈R )，函数f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．(1)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，求函数f (x )的值域；(2)若a ＝7，且sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积． 解 (1)∵f (x )＝2sin(x －A )cos x ＋sin(B ＋C ) ＝2(sin x cos A －cos x sin A )cos x ＋sin A ＝2sin x cos A cos x －2cos 2x sin A ＋sin A ＝sin 2x cos A －cos 2x sin A ＝sin(2x －A )， 又函数f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝0，又A ∈(0，π)，则A ＝π3， 则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.由于x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3，即－32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1.(2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝143，则sin B ＝314b ，sin C ＝314c ，sin B ＋sin C ＝314(b ＋c )＝13314，即b ＋c ＝13. 由余弦定理，得a 2＝c 2＋b 2－2bc cos A ， 即49＝c 2＋b 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，即bc ＝40. 则△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×40×32＝10 3.探究提高 三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和(差)角公式的灵活运用是解决此类问题的关键．【训练2】 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，且AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求角C 的大小和线段BD 的长度； (2)求四边形ABCD 的面积． 解 (1)设BD ＝x ，在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝1＋4－x 22×2×1，在△BCD 中，由余弦定理，得cos C ＝9＋4－x 22×2×3，∵A ＋C ＝π，∴cos A ＋cos C ＝0. 联立上式，解得x ＝7，cos C ＝12. 由于C ∈(0，π)． ∴C ＝π3，BD ＝7.(2)∵A ＋C ＝π，C ＝π3，∴sin A ＝sin C ＝32. 又四边形ABCD 的面积S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·AD sin A ＋12CB ·CD sin C ＝32×(1＋3)＝23， ∴四边形ABCD 的面积为23. 热点三 三角函数与平面向量结合三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．【例3】 (2016·贵州适应性考试)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围．解 (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ， ∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，∴cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0， ∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0. 即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12. ∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3. (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号． ∴(a ＋c )2≤4，故a ＋c ≤2.又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2]． 即a ＋c 的取值范围是(3，2].探究提高 向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．【训练3】 已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间． 解 (1)由题意知f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6， 因此g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x .由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z . 所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z .(建议用时：70分钟)1．(2017·南昌调研)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图像如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上最大值和最小值．解 (1)由题得，f (x )的最小正周期为π，y 0＝3. 当y 0＝3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝1，由题干图像可得2x 0＋π6＝2π＋π2， 解得x 0＝7π6.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0.于是：当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0； 当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.2．(2017·郑州模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a sin 2B ＝3b sin A . (1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值． 解 (1)在△ABC 中， 由a sin A ＝bsin B ， 可得a sin B ＝b sin A ， 又由a sin 2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ， 又B ∈(0，π)，所以sin B ≠0， 所以cos B ＝32， 得B ＝π6.(2)由cos A ＝13，A ∈(0，π)，得sin A ＝223， 则sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )， 所以sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16.3．(2017·西安调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋2sin 2ωx 2(ω＞0)，已知函数f (x )的图像的相邻两对称轴间的距离为π. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c (其中b ＜c )，且f (A )＝32，△ABC 的面积为S ＝63，a ＝27，求b ，c 的值． 解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋1－cos ωx ＝32sin ωx －12cos ωx ＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1.∵函数f (x )的图像的相邻两对称轴间的距离为π，∴函数f (x )的周期为2π.∴ω＝1.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋1.(2)由f (A )＝32，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.∵S ＝12bc sin A ＝63，∴12bc sin π3＝63，bc ＝24，由余弦定理，得a 2＝(27)2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝b 2＋c 2－24. ∴b 2＋c 2＝52，又∵b ＜c ，解得b ＝4，c ＝6.4．(2016·济南名校联考)已知函数f (x )＝sin ωx ＋23cos 2ωx2＋1－3(ω＞0)的周期为π.(1)求f (x )的解析式并求其单调递增区间；(2)将f (x )的图像先向下平移1个单位长度，再向左平移φ(φ＞0)个单位长度得到函数h (x )的图像，若h (x )为奇函数，求φ的最小值． 解 (1)f (x )＝sin ωx ＋23cos 2ωx2＋1－3＝ sin ωx ＋23×1＋cos ωx2＋1－ 3 ＝sin ωx ＋3cos ωx ＋1＝2sin(ωx ＋π3)＋1. 又函数f (x )的周期为π，因此2πω ＝π，∴ω＝2. 故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k∈Z )．(2)由题意可知h (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋φ)＋π3，又h (x )为奇函数，则2φ＋π3＝k π，∴φ＝k π2－π6(k ∈Z )．∵φ＞0，∴当k ＝1时，φ取最小值π3. 5．已知△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝ (2sin B ，－3)，n ＝(cos 2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n . (1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值． 解 (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B2－1＝－3cos 2B ，∴sin 2B ＝－3cos 2B ，即tan 2B ＝－ 3. 又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)， ∴2B ＝2π3，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，b ＝2，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式，得ac ≤4， 当且仅当a ＝c ＝2时等号成立． 故S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3， 当且仅当a ＝c ＝2时等号成立， 即S △ABC 的最大值为 3.6．(2017·合肥模拟)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值． 解 (1)f (x )＝2 cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，又π3＜2A ＋π3＜7π3， ∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3.∵a ＝7，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，∴2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，②由①②得b ＝3，c ＝2.。

第十五单元 ⎪⎪⎪计数原理教材复习课“计数原理”相关基础知识一课过[过双基]两个计数原理[小题速通]1．从3名男同学和2名女同学中选1人主持本班某次主题班会，不同选法种数为( ) A ．6 B ．5 C ．3D ．2解析：选B 由分类加法计算原理知总方法数为3＋2＝5(种)．2．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数，a ，b 组成复数a ＋b i ，其中虚数有( ) A ．30个 B ．42个 C ．36个D ．35个解析：选C ∵a ＋b i 为虚数，∴b ≠0，即b 有6种取法，a 有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．3．(2016·西安质检)如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．解析：当相同的数字不是1时，有C 13个；当相同的数字是1时，共有C 13C 13个， 由分类加法计数原理知共有“好数”C 13＋C 13C 13＝12(个)．答案：12[清易错]1．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．2．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有()A．30B．20C．10 D．6解析：选D从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．2．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252C．261 D．279解析：选B0,1，2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．排列与组合1．排列与排列数(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A m n.2．组合与组合数(1)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C m n.3．排列数、组合数的公式及性质[小题速通]1．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实施中程序顺序的编排方法共有()A．34种B．48种C．96种D．144种解析：选C由题意知，程序A只能出现在第一步或最后一步，所以有A22＝2种结果．因为程序B和C实施时必须相邻，所以把B和C看作一个元素，有A44A22＝48种结果，根据分步乘法计数原理可知共有2×48＝96种结果，故选C.2．某学校周二安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求数学不排在第一节课，体育不排在第四节课，则这天课程表的不同排法种数为() A．720 B．504C．384 D．120解析：选B以数学课的排法进行分类：(1)数学排在第四节，则体育课可排在其余任意一节，故不同的排法种数为A55＝120.(2)数学排在除第一节、第四节外的其余四节，其排法为4种；体育课则从除第四节、数学选择的节次外的其余四节任选一节，其排法为4种；其余课程由剩余4节课进行全排，不同的排法种数为A44＝24.由分步乘法计数原理可得，不同的排法种数共有4×4×24＝384.综上，由分类加法计数原理可得，不同的排法种数有120＋384＝504.3．将某师范大学4名大四学生分成2人一组，安排到A 城市的甲、乙两所中学进行教学实习，并推选甲校张老师、乙校李老师作为指导教师，则不同的实习安排方案共有________种．解析：采取“学校”选“人”的思路，则不同的实习安排方案有C 24C 22＝6种．答案：64．方程3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x 的解为________．解析：由排列数公式可知3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)， ∵x ≥3且x ∈N *，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5或x ＝23(舍去)，∴x ＝5.答案：55．已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，则C m8＝________. 解析：由已知得m 的取值范围为{}m |0≤m ≤5，m ∈Z ， m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，整理可得m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝21(舍去)或m ＝2.故C m 8＝C 28＝28.答案：28[清易错]只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为( )A ．423B ．288C ．216D ．144解析：选B 若2,4相邻，把2,4捆绑在一起，与另外四个数排列(相当于5个元素排列)，1不在左、右两侧，则六位数的个数为2×C 13×A 44＝144，同理2,4与6相邻的有A 22×2×2×A 33＝48个，所以只有2,4相邻的有144－48＝96个，全部符合条件的六位数有96×3＝288个．1．二项式定理2．二项式系数的性质[小题速通]1．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 等于( )A ．63B ．64C ．31D ．32解析：选A 逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.故选A.2．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15D ．10解析：选C 因为(1＋x )6的展开式的第(r ＋1)项为T r ＋1＝C r 6x r ，x (1＋x )6的展开式中含x 3的项为C 26x 3＝15x 3，所以系数为15.3.⎝⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项共有________项．解析：∵T r ＋1＝C r 8(x )8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－124x r ＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 8x 16－3r4，∴r 为4的倍数，故r ＝0,4,8共3项． 答案：34．(2017·山西四校联考)如果(2x －1)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，那么a 1＋a 2＋…＋a 6的值等于________．解析：令x ＝0，有1＝a 0；令x ＝1，有1＝a 0＋a 1＋…＋a 6，所以a 1＋a 2＋…＋a 6＝0. 答案：0[清易错]1．二项式的通项易误认为是第k 项，实质上是第k ＋1项．2．易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C k n (k ＝0,1，…，n )．1．(2017·长沙长郡中学月考)若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中的所有二项式系数之和为512，则该展开式中常数项为( )A ．－84B ．84C ．－36D ．36解析：选B 由二项式系数之和为2n ＝512，得n ＝9.又T r ＋1＝(－1)r C r 9x18－3r，令18－3r ＝0，得r ＝6，故常数项为T 7＝84.故选B.2．若二项式⎝⎛⎭⎫x －2x n 展开式中的第5项是常数，则自然数n 的值为( ) A ．6 B ．10 C ．12D ．15解析：选C 由二项式⎝⎛⎭⎫x －2x n 展开式的第5项C 4n (x )n －4⎝⎛⎭⎫－2x 4＝16C 4n x n 2－6是常数项，可得n2－6＝0，解得n ＝12.[双基过关检测] 一、选择题1．(2017·滨州模拟)甲、乙两人从4门课程中选修2门，则甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法有( )A ．6种B ．12种C ．24种D ．30种解析：选C 分步完成：第一步，甲、乙选同一门课程有4种方法；第二步，甲从剩余的3门课程选一门有3种方法；第三步，乙从剩余的2门中选出一门课程有2种方法；∴甲、乙恰有1门相同课程的选法有4×3×2＝24(种)．2.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A．24种B．30种C．36种D．48种解析：选D按A→B→C→D顺序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48(种)．3．(2017·云南师大附中适应性考试)在(a＋x)7展开式中x4的系数为280，则实数a的值为()A．1 B．±1C．2 D．±2解析：选C由题知，C47a3＝280，得a＝2，故选C.4．(2016·佛山二模)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有() A．10种B．25种C．52种D．24种解析：选D每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法．5．张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人入园顺序的排法种数为()A．12 B．24C．36 D．48解析：选B将两位爸爸排在两端，有2种排法；将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上，有2A33种排法，故总的排法有2×2×A33＝24(种)．6．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是()A．150 B．300C．600 D．900解析：选C 若甲去，则乙不去，丙去，再从剩余的5名教师中选2名，有C 25×A 44＝240种方法；若甲不去，则丙不去，乙可去可不去，从6名教师中选4名，共有C 46×A 44＝360种方法．因此共有600种不同的选派方案．7．(2017·成都一中模拟)设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A 令等式中x ＝－1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝(1＋1)(－1)9＝－2，故选A. 8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20解析：选C lg a －lg b ＝lg ab ，从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a ，b ，共有A 25＝20种结果，其中lg 13＝lg 39，lg 31＝lg 93，故共可得到不同值的个数为20－2＝18.故选C.二、填空题9.⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的二项展开式中x 项的系数为________． 解析：⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项是T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r 5·(－1)r ·25－r ·x 5－2r.令5－2r ＝1得r ＝2.因此⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中x 项的系数是C 25·(－1)2·25－2＝80. 答案：8010．(2016·石家庄模拟)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为________(用数字作答)．解析：第1步，把甲、乙分到不同班级有A 22＝2种分法； 第2步，分丙、丁：①丙、丁分到同一班级有2种方法； ②丙、丁分到两个不同班有A 22＝2种分法．由分步乘法计数原理，不同的分法为2×(2＋2)＝8(种)． 答案：811．如图所示，在A ，B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A ，B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．解析：四个焊点共有24种情况，其中使线路通的情况有：1,4都通，2和3至少有一个通时线路才通，共有3种可能．故不通的情况有24－3＝13(种)可能．答案：1312.(2017·宁波调研)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有________种．解析：若1,3不同色，则1,2,3,4必不同色，有3A 44＝72种涂色法；若1,3同色，有C 14C 13A 22＝24种涂色法．根据分类计数原理可知，共有72＋24＝96种涂色法．答案：96 三、解答题13．已知(a 2＋1)n 展开式中的二项式系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的二项式系数最大的项等于54，求正数a 的值．解：⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5展开式的通项T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 5⎝⎛⎭⎫1655－r x 20－5r 2， 令20－5r ＝0，得r ＝4，故常数项T 5＝C 45·165＝16，又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和为2n ， 由题意得2n ＝16，∴n ＝4.∴(a 2＋1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3，从而C 24(a 2)2＝54，∴a ＝ 3.14．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C34种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C45种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A77种情况．所以符合题意的七位数有C34C45A77＝100 800个．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C34C45A33A55＝14 400个．(3)(1)中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C34C45A33A44A22＝5 760个．高考研究课(一)—————————————————————————————————————排列与组合常考3类型——排列、组合、分组分配————————————————————————————————————[全国卷5年命题分析][典例]3(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？(3)如果女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？[解](1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A66种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A33种排法，因此共有A66·A33＝4 320(种)不同排法．(2)(插空法)先排5个男生，有A55种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A36种排法，因此共有A55·A36＝14 400(种)不同排法．(3)法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A 66种排法，因此共有A 25·A 66＝14 400(种)不同排法．法二(元素分析法)：从中间6个位置选3个安排女生，有A 36种排法，其余位置无限制，有A 55种排法，因此共有A 36·A 55＝14 400(种)不同排法．(4)8名学生的所有排列共A 88种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中12， ∴符合要求的排法种数为12A 88＝20 160(种)．(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有A 77种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A 16种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A 16种，其余人全排列，共有A 16·A 16·A 66种．由分类加法计数原理，共有A 77＋A 16·A 16·A 66＝30 960(种)．法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有A 17种，余下7个位置全排，有A 77种，但应剔除乙在最右边时的排法A 16·A 66种，因此共有A 17·A 77－A 16·A 66＝30 960(种)．法三(间接法)：8个人全排，共A 88种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A 77种，乙在最右边时，有A 77种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A 66种．因此共有A 88－2A 77＋A 66＝30 960(种)．[方法技巧]求解排列应用题的主要方法[即时演练]1．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种解析：选B第一类：甲在左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)方法．所以共有120＋96＝216(种)方法．2．用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．解析：(捆绑法)首先排两个奇数1,3有A22种排法，再在2,4中取一个数放在1,3排列之间，有C12种方法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A22种排法，即满足条件的四位数的个数为A22C12A22＝8.答案：8[典例](1)(2017·名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为()A．360B．520C．600 D．720(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．[解析](1)根据题意，分2种情况讨论：若只有甲、乙其中一人参加，有C1·C35·A44＝2480种情况；若甲、乙两人都参加，有C22·C25·A44＝240种情况，其中甲、乙相邻的有C22·C25·A33·A22＝120种情况．则不同的发言顺序的种数为480＋240－120＝600.(2)第一类，含有1张红色卡片，不同的取法C14C212＝264种．第二类，不含有红色卡片，不同的取法C312－3C34＝220－12＝208种．由分类加法计数原理知，不同的取法共有264＋208[答案] (1)C (2)472 [方法技巧]组合问题常有的2类题型(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．[即时演练]1．如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有( )A ．50种B ．51种C ．140种D ．141种解析：选D 因为第一天和第七天吃的水果数相同，所以中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0,1,2,3，共4种情况，所以共有C 06＋C 16C 15＋C 26C 24＋C 36C 33＝141种，故选D.2．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( ) A ．24对 B ．30对 C ．48对D ．60对解析：选C 法一：直接法：如图，在上底面中选B1D 1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A 1C 1对应的也有8对，因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对，又正方体共有6个面，所以共有16×6＝96(对)，又因为每对被计算了2次，因此成60°的面对角线有12×96＝48(对)．法二：间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C 212－12－6＝48(对)．分组分配问题分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配.关于分组问题，有不等分、整体均分和部分均分三种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象.,常见的命题角度有：(1)不等分问题； (2)整体均分问题； (3)部分均分问题. 角度一：不等分问题1．若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．解析：将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C 16种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C 25种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C 33种取法．根据分步乘法计数原理，共有C 16C 25C 33＝60种取法．再将这3组教师分配到3所中学，有A 33＝6种分法， 故共有60×6＝360种不同的分法． 答案：360角度二：整体均分问题2．国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．解析：先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90种分派方法． 答案：90角度三：部分均分问题3．.(2016·内江模拟)某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为( )A ．144B ．72C ．36D ．48解析：选C 分两步完成：第一步将4名调研员按2,1,1分成三组，其分法有C 24C 12C 11A 22；第二步将分好的三组分配到3个学校，其分法有A33种，所以满足条件的分配方案有C24C12C11A22·A33＝36种．[方法技巧]解决分组分配问题的3种策略(1)不等分组只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．(2)整体均分解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n (n为均分的组数)，避免重复计数．(3)部分均分解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．1．(2012·全国卷Ⅰ)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有() A．12种B．10种C．9种D．8种解析：选A先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有C12C24＝12种安排方案．2．(2016·全国甲卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24 B．18C．12 D．9解析：选B由题意可知E→F有C24种走法，F→G有C13种走法，由乘法计数原理知，共C24·C13＝18种走法，故选B.3．(2016·四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A．24 B．48C．60 D．72解析：选D第一步，先排个位，有C13种选择；第二步，排前4位，有A44种选择．由分步乘法计数原理，知有C13·A44＝72(个)．4．(2015·四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A．144个B．120个C．96个D．72个解析：选B当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A34个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有C13A34个偶数．故符合条件的偶数共有2A34＋C13A34＝120(个)．5．(2014·重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120C．144 D．168解析：选B依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A33A34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A22A22A33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.6．(2014·北京高考)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：将A，B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，共有A22A44＝48种摆法，而A，B，C3件在一起，且A，B相邻，A，C相邻有CAB，BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A33＝12种摆法，故A，B相邻，A，C 不相邻的摆法有48－12＝36种．答案：36[高考达标检测]一、选择题1．将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种解析：选A 由分步乘法计数原理，先排第一列，有A 33种方法，再排第二列，有2种方法，故共有A 33×2＝12种排列方法．2．有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为( )A ．150B ．180C ．200D ．280解析：选A 分两类：一类，3个班分派的毕业生人数分别为2,2,1，则有C 25C 23A 22·A 33＝90种分派方法；另一类，3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3，则有C 35·A 33＝60种分派方法．所以不同分派方法种数为90＋60＝150.3．将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( )A ．15B ．20C ．30D ．42解析：选C 四个篮球中两个分到一组有C 24种分法，三组篮球进行全排列有A 33种，标号1,2的两个篮球分给同一个小朋友有A 33种分法，所以有C 24A 33－A 33＝36－6＝30种分法，故选C.4．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )A ．24B ．48C ．72D ．96解析：选B 据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有A 22A 24种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有A 22A 12C 12C 13种不同的摆放方法，由分类加法计数原理可得共有A 22A 24＋A 22A 12C 12C 13＝48种摆放方法．5．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是( )A．12 B．6C．8 D．16解析：选A若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有C12×3＝6种方法；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2＝6种方法．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12种．6．(2016·昆明调研)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为()A．72 B．324C．648 D．1 296解析：选D核潜艇排列数为A22，6艘舰艇任意排列的排列数为A66，同侧均是同种舰艇的排列数为A33A33×2，则舰艇分配方案的方法数为A22(A66－A33A33×2)＝1 296.7．(2016·青岛模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．18种B．24种C．36种D．72种解析：选C一个路口有3人的分配方法有C13C22A33(种)；两个路口各有2人的分配方法有C23C22A33(种)．∴由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为C13C22A33＋C23C22A33＝36(种)．8．市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是()A．48B．54C．72 D．84解析：选C由题意，先把3名乘客全排列，有A33种排法，产生四个空，再将2个连续空座位和一个空座位插入四个空中，有A24种排法，则共有A33·A24＝72(种)候车方式．故选C.二、填空题9．(2017·洛阳统考)四名学生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有________种．解析：分两步：先将四名学生分成2,1,1三组，共有C24种；而后，对三组学生进行全排列，有A33种．依分步乘法计数原理有C24A33＝36(种)保送方案．答案：3610．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种．解析：把g ，o ，o ，d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g 和d ，共有A 24种排法；第二步：排两个o ，共一种排法，所以总的排法种数有A 24＝12(种)．其中正确的有一种，所以错误的共有A 24－1＝12－1＝11(种)．答案：1111．(2017·江苏淮海中学期中)若A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同元素排成一列，要求A 不排在两端，且B ，C 相邻，则不同的排法有________种(用数字作答)．解析：由于B ，C 相邻，把B ，C 看做一个整体，有2种排法．这样，6个元素变成了5个．先排A ，由于A 不排在两端，则A 在中间的3个位子中，有A 13＝3种方法，其余的4个元素任意排，有A 44种不同方法，故不同的排法有2×3×A 44＝144种．答案：14412．(2017·济南模拟)航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________(用数字作答)．解析：优先安排第一项实验，再利用定序问题相除法求解．由于0号实验不能放在第一项，所以第一项实验有5种选择．最后两项实验的顺序确定，所以共有5A 55A 22＝300种不同的编排方法．答案：300 三、解答题13．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中． (1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？ (2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C 36＝20种不同的放入方式．(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C 310＝120种放入方式．。

第2讲统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体最新考纲 1.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点；2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释；4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想；5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．知识梳理1．用样本的频率分布估计总体分布(1)频率分布表与频率分布直方图频率分布表与频率分布直方图的绘制步骤如下：①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；②定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图．(2)频率折线图在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图．(3)茎叶图①茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．②对于样本数据较少，但较为集中的一组数据：若数据是两位整数，则将十位数字作茎，个位数字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶，样本数据为小数时做类似处理．2．样本的数字特征1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( )(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中．( )(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高．( )(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( )解析 (2)错误．方差越大，这种数据越离散．(4)错误．相同的数据叶要重复记录，故(4)错误．答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(必修3P70改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A.91.5和91.5 B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和92解析 这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位数是91＋922＝91.5，平均数x ＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5. 答案 A3．在样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积的和的14，且样本容量为80，则中间一组的频数为( )A ．0.25B ．0.5C ．20D ．16解析 设中间一组的频数为x ，依题意有x 80＝14(1－x 80)，解得x ＝16.答案 D4．(2016·江苏卷)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．解析 易求x ＝15(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，∴方差s 2＝15[(－0.4)2＋(－0.3)2＋02＋0.32＋0.42]＝0.1.答案 0.15．(2017·合肥调研)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________．解析 全体志愿者共有：20(0.24＋0.16)×1＝50(人)， 所以第三组有志愿者：0.36×1×50＝18(人)，∵第三组中没有疗效的有6人，∴有疗效的有18－6＝12(人)．答案 12考点一 茎叶图及其应用【例1】 (2014·全国Ⅱ卷)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．解 (1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为550＝0.1，850＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．规律方法 (1)茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．(2)①作样本的茎叶图时先要根据数据特点确定茎、叶，再作茎叶图；作“叶”时，要做到不重不漏，一般由内向外，从小到大排列，便于数据的处理．②根据茎叶图中数据数字特征进行分析判断考查识图能力，判断推理能力和创新应用意识；解题的关键是抓住“叶”的分布特征，准确提炼信息．【训练1】以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x＋y的值为________．解析由茎叶图及已知得x＝5，又乙组数据的平均数为16.8，即9＋15＋10＋y＋18＋245＝16.8，解得y＝8，因此x＋y＝13.答案13考点二频率分布直方图(多维探究)命题角度一用频率分布直方图求频率、频数【例2－1】(2016·山东卷)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A．56 B．60 C．120 D．140解析由频率分布直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，则每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200＝140.答案 D命题角度二用频率分布直方图估计总体【例2－2】(2016·四川卷)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，……，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．解(1)由频率分布直方图可知：月均用水量在[0,0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04. 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04，0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.(2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.又前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．规律方法(1)准确理解频率分布直方图的数据特点，频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率和条形图混淆．(2)“命题角度二”的例题中抓住频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键，并利用频率分布直方图可以估计总体分布．【训练2】(2017·佛山质检)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则从月平均用电量在[220,240)内的用户中应抽取多少户？解(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，得x＝0.007 5，∴直方图中x的值为0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，则(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，解得a＝224，即中位数为224.(3)月平均用电量在[220,240)内的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300]的用户分别有15户、10户、5户，故抽样比为1125＋15＋10＋5＝1 5.∴从月平均用电量在[220,240)内的用户中应抽取25×15＝5(户)．考点三样本的数字特征【例3】(2017·南昌一中检测)某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)．其中a，a分别表示甲组研发成功和失败；b，b分别表示乙组研发成功和失败.(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．解(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,0,1,1,1,0,1，其平均数为x甲＝1015＝23.方差s2甲＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－232×10＋⎝⎛⎭⎪⎫0－232×5＝29.乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为x乙＝915＝35.方差s2乙＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－352×9＋⎝⎛⎭⎪⎫0－352×6＝625.因为x甲>x乙，s2甲<s2乙，所以甲组的研发水平优于乙组．(2)记E＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，共7个．因此事件E发生的频率为7 15.用频率估计概率，即得所求概率为P(E)＝7 15.规律方法(1)平均数反映了数据的中心，是平均水平，而方差和标准差反映的是数据围绕平均数的波动大小．进行平均数与方差的计算，关键是正确运用公式．(2)平均数与方差所反映的情况有着重要的实际意义，一般可以通过比较甲、乙两组样本数据的平均数和方差的差异，对甲、乙两品种可以做出评价或选择．【训练3】(2015·山东卷)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()A．①③B．①④C．②③D．②④解析甲地5天的气温为：26,28,29,31,31，其平均数为x甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29；方差为s2甲＝15[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝3.6；标准差为s甲＝ 3.6.乙地5天的气温为：28,29,30,31,32，其平均数为x乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30；方差为s2乙＝15[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2；标准差为s乙＝ 2.∴x甲<x乙，s甲>s乙．答案 B[思想方法]1．用样本估计总体是统计的基本思想．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．2．(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量，与每个样本数据有关，这是中位数、众数所不具有的性质．(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度就越大．3．茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都可直观描述样本数据的分布规律．[易错防范]1．在使用茎叶图时，一定要注意看清楚所有的样本数据，弄清楚这个图中的数字特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．2．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，应注意这三者的区分：(1)最高的矩形的中点横坐标即众数；(2)中位数左边和右边的直方图的面积是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．3．直方图与条形图不要搞混频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2015·重庆卷)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是()A．19 B．20 C．21.5 D．23解析从茎叶图知所有数据为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32，中间两个数为20,20，故中位数为20，选B.答案 B2．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50](单位：元)内，其中支出在[30,50](单位：元)内的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n的值为()A．100 B．120 C．130 D．390解析支出在[30,50]内的同学的频率为1－(0.01＋0.023)×10＝0.67，n＝67 0.67＝100.答案 A3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A．134石B．169石C．338石D．1 365石解析254粒和1 534石中夹谷的百分比含量是大致相同的，可据此估计这批米内夹谷的数量．设1 534石米内夹谷x石，则由题意知x1 534＝28 254，解得x≈169.故这批米内夹谷约为169石．答案 B4．(2016·全国Ⅲ卷)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个解析对于选项A，由图易知各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；对于选项B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；对于选项C，三月和十一月的平均最高气温均为10 ℃，所以C正确；对于选项D，平均最高气温高于20 ℃的月份有七月、八月、共2个月份，故D 错误．答案 D5．(2015·安徽卷)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为()A．8 B．15 C．16 D．32解析已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16，故选C.答案 C 二、填空题6．(2015·广东卷)已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数x ＝5，则样本数据2x 1＋1,2x 2＋1，…，2x n ＋1的平均数为________． 解析 由条件知x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n ＝5，则所求平均数x 0＝2x 1＋1＋2x 2＋1＋…＋2x n ＋1n＝2(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n n＝2x ＋1＝2×5＋1＝11. 答案 117．某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm ，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x ，那么x 的值为________.解析 170＋17×(1＋2＋x ＋4＋5＋10＋11)＝175， 17×(33＋x )＝5，即33＋x ＝35，解得x ＝2. 答案 28．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.解析底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝24. 答案24三、解答题9．某车间20名工人年龄数据如下表：(1)求这20名工人年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；(3)求这20名工人年龄的方差．解(1)这20名工人年龄的众数为30；这20名工人年龄的极差为40－19＝21.(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图如下：(3)这20名工人年龄的平均数为(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30；所以这20名工人年龄的方差为120(30－19)2＋320(30－28)2＋320(30－29)2＋520(30－30)2＋420(30－31)2＋320(30－32)2＋120(30－40)2＝12.6.10．(2016·北京卷)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w ＝3时，估计该市居民该月的人均水费．解 (1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w 至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下：4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是( )A ．12.5,12.5B ．13,13C ．13.5,12.5D ．13.5,13解析 第1组的频率为0.04×5＝0.2，第2组的频率为0.1×5＝0.5，则第3组的频率为1－0.2－0.5＝0.3，估计总体平均数为7.5×0.2＋12.5×0.5＋17.5×0.3＝13.由题意知，中位数在第2组内，设为10＋x ，则有0.1x ＝0.3，解得x ＝3，从而中位数是13. 答案 B12．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( ) A.1169 B.367 C ．36 D.677解析 由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋917＝91，解得x＝4.所以s2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367.答案 B13．(2015·湖北卷)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．解析(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a ＝3.(2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.答案(1)3(2)6 00014．(2014·全国Ⅰ卷)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？解(1)样本数据的频率分布直方图如图所示：(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104. (3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.。

第6讲数学归纳法最新考纲 1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知识梳理1.数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.2.数学归纳法的框图表示诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( )(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( )(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.( )(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.( )解析对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一项.答案(1)√(2)×(3)×(4)×2.(选修2－2P99B1改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验n等于( )A.1B.2C.3D.4解析三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3. 答案 C3.已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则( )A.f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13B.f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14C.f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13D.f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14解析f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，1n＝12，1n2＝14，故f(2)＝12＋13＋14.答案 D4.用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1<n(n∈N，且n>1)，第一步要证的不等式是________.解析当n＝2时，式子为1＋12＋13<2.答案1＋12＋13<25.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真.解析由于步长为2，所以2k－1后一个奇数应为2k＋1.答案2k＋16.(2017·宁波调研)用数学归纳法证明“当n为正偶数时，x n－y n能被x＋y 整除”第一步应验证n＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________.解析因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除.答案 2 x2k－y2k能被x＋y整除考点一用数学归纳法证明等式【例1】用数学归纳法证明：1 2×4＋14×6＋16×8＋…＋12n（2n＋2）＝n4（n＋1）(n∈N*).证明(1)当n＝1时，左边＝12×1×（2×1＋2）＝1 8，右边＝14（1＋1）＝18，左边＝右边，所以等式成立.(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即有1 2×4＋14×6＋16×8＋…＋12k（2k＋2）＝k4（k＋1），则当n＝k＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k（2k＋2）＋12（k＋1）[2（k＋1）＋2]＝k4（k＋1）＋14（k＋1）（k＋2）＝k（k＋2）＋14（k＋1）（k＋2）＝（k＋1）24（k＋1）（k＋2）＝k＋14（k＋2）＝k＋14（k＋1＋1）.所以当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立.规律方法(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.(2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.【训练1】求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*). 证明(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)，所以当n＝k＋1时等式也成立.由(1)(2)可知，对所有n∈N*等式成立.考点二用数学归纳法证明不等式【例2】(2017·浙江五校联考)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝b x＋r(b>0，且b≠1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值；(2)当b＝2时，记b n＝2(log2a n＋1)(n∈N*).证明：对任意的n∈N*，不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bn>n＋1成立.(1)解由题意，S n＝b n＋r，当n≥2时，S n－1＝b n－1＋r，所以a n＝S n－S n－1＝b n－1(b－1)，由于b>0，且b≠1，所以n≥2时，{a n}是以b为公比的等比数列，又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，a2a1＝b，即b（b－1）b＋r＝b，解得r＝－1.(2)证明由(1)知a n＝2n－1，因此b n＝2n(n∈N*)，所证不等式为2＋1 2·4＋14·…·2n＋12n>n＋1.①当n＝1时，左式＝32，右式＝2，左式>右式，所以结论成立.②假设n＝k时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k＋12k>k＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32（k ＋1）>k ＋1·2k ＋32（k ＋1）＝2k ＋32k ＋1，要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥（k ＋1）（k ＋2），由基本不等式可得2k ＋32＝（k ＋1）＋（k ＋2）2≥（k ＋1）（k ＋2）成立， 故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以当n ＝k ＋1时，结论成立. 由①②可知，n ∈N *时， 不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立. 规律方法 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.【训练2】 求证：12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，n ∈N *.证明 ①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1).那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2.下面证明ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋2). 令f (x )＝ln(1＋x )－x 1＋x(x >0)，则f ′(x )＝x （1＋x ）2>0，∴f (x )在(0，＋∞)上递增，∴f (x )>f (0)＝0，∵1k ＋1>0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1>0，即ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1－1k ＋11＋1k ＋1>0，即ln k ＋2k ＋1－1k ＋2>0，∴ln(k ＋2)－ln(k ＋1)－1k ＋2>0，即ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋2). ∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立.综上由①②，12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，n ∈N *成立.考点三 归纳——猜想——证明【例3】 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n －1，且a n >0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明(1)中的猜想.(1)解 当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，即a 21＋2a 1－2＝0.∴a 1＝3－1(a 1>0).当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0. ∴a 2＝5－3(a 2>0).同理可得a 3＝7－ 5. 猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *).(2)证明 ①由(1)知，当n ＝1，2，3时，通项公式成立.②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，即a k＝2k＋1－2k－1.由于a k＋1＝S k＋1－S k＝ak＋12＋1ak＋1－ak2－1ak，将a k＝2k＋1－2k－1代入上式，整理得a2k＋1＋22k＋1a k＋1－2＝0，∴a k＋1＝2k＋3－2k＋1，即n＝k＋1时通项公式成立.由①②可知对所有n∈N*，a n＝2n＋1－2n－1都成立.规律方法(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性.(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.【训练3】设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)＝g(x)，g n＋1(x)＝g(g n(x))，n∈N*，求g n(x)的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N*，猜想g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明.解由题设得，g(x)＝x1＋x(x≥0).(1)由已知，g1(x)＝x1＋x，g2(x)＝g(g1(x))＝x1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x，g3(x)＝x 1＋3x ，…，可猜想g n(x)＝x1＋nx.下面用数学归纳法证明.①当n＝1时，g1(x)＝x1＋x，结论成立.②假设n＝k时结论成立，即g k(x)＝x1＋kx.那么，当n＝k＋1时，g k＋1(x)＝g(g k(x))＝gk （x）1＋g k（x）＝x1＋kx1＋x1＋kx＝x1＋（k＋1）x，即结论成立.由①②可知，结论对n∈N*成立.(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥ax1＋x恒成立.设φ(x)＝ln(1＋x)－ax1＋x(x≥0)，则φ′(x)＝11＋x－a（1＋x）2＝x＋1－a（1＋x）2，当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增.又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1时，ln(1＋x)≥ax1＋x恒成立(仅当x＝0时等号成立).当a>1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)≤0，∴(x)在(0，a－1]上单调递减，∴φ(a－1)<φ(0)＝0.即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，∴ln(1＋x)≥ax1＋x不恒成立，综上可知，实数a的取值范围是(－∞，1].(3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝12＋23＋…＋nn＋1，n－f(n)＝n－ln(n＋1)，猜想结果为g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln(n＋1).证明如下：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n＋1<ln(n＋1)，在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)>x1＋x，x>0.令x ＝1n ，n ∈N *，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明.①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立.②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1).那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋lnk ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)，即结论成立. 由①②可知，结论对n ∈N *成立.[思想方法]1.数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会导致错误.有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础.2.归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n ＝k ＋1时，必须用上归纳假设. 3.利用归纳假设的技巧在推证n ＝k ＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要掌握n ＝k 与n ＝k ＋1之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用. [易错防范]1.数学归纳法证题时初始值n 0不一定是1.2.推证n ＝k ＋1时一定要用上n ＝k 时的假设，否则不是数学归纳法.3.解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础，否则将会做大量无用功.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.用数学归纳法证明“2n＞2n＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )A.2B.3C.5D.6解析∵n＝1时，21＝2，2×1＋1＝3，2n＞2n＋1不成立；n＝2时，22＝4，2×2＋1＝5，2n＞2n＋1不成立；n＝3时，23＝8，2×3＋1＝7，2n＞2n＋1成立.∴n的第一个取值n0＝3.答案 B2.某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可以推出n＝k＋1时该命题也成立.现已知n＝5时该命题成立，那么( )A.n＝4时该命题成立B.n＝4时该命题不成立C.n≥5，n∈N*时该命题都成立D.可能n取某个大于5的整数时该命题不成立解析显然A，B错误，由数学归纳法原理知C正确，D错.答案 C3.利用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋12n－1>n2(n≥2，n∈N*)”的过程中，由“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边增加了( ) A.1项 B.k项 C.2k－1项 D.2k项解析左边增加的项为12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1共2k项，故选D.答案 D4.对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立.(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式k2＋k<k＋1成立，当n＝k＋1时，（k ＋1）2＋k ＋1＝k 2＋3k ＋2<（k 2＋3k ＋2）＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( ) A.过程全部正确 B.n ＝1验得不正确 C.归纳假设不正确D.从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法. 答案 D5.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( ) A.k 2＋1 B.(k ＋1)2C.（k ＋1）4＋（k ＋1）22D.(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2解析 当n ＝k 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2.当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2， 故当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.故选D. 答案 D 二、填空题6.设S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，则S n ＋1－S n ＝________.解析 ∵S n ＋1＝1＋12＋…＋12n ＋12n ＋1＋…＋12n ＋2n，S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n . ∴S n ＋1－S n ＝12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n.答案12n＋1＋12n＋2＋12n＋3＋…＋12n＋2n7.(2017·绍兴调研)数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝an3a n＋1(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4的值分别为________；猜想a n＝________.解析a1＝2，a2＝23×2＋1＝27，a3＝273×27＋1＝213，a4＝2133×213＋1＝219.由此，猜想a n是以分子为2，分母是以首项为1，公差为6的等差数列.∴a n＝26n－5.答案27，213，21926n－58.凸n多边形有f(n)条对角线.则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)与f(n)的递推关系式为________.解析f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1.答案f(n＋1)＝f(n)＋n－1三、解答题9.用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n2<2－1n(n∈N*，n≥2).证明(1)当n＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立.(2)假设n＝k时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k2<2－1k.当n＝k＋1时，1＋122＋132＋…＋1k2＋1（k＋1）2<2－1k＋1（k＋1）2<2－1k＋1k（k＋1）＝2－1k＋1k－1k＋1＝2－1k＋1，命题成立.由(1)(2)知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立.10.数列{a n}满足S n＝2n－a n(n∈N*).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；(2)证明(1)中的猜想.(1)解当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝32；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝7 4；当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝15 8.由此猜想a n＝2n－12n－1(n∈N*).(2)证明①当n＝1时，a1＝1，结论成立.②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，即a k＝2k－12k－1，那么n＝k＋1时，ak＋1＝S k＋1－S k＝2(k＋1)－a k＋1－2k＋a k＝2＋a k－a k＋1，∴2a k＋1＝2＋a k.∴a k＋1＝2＋a k2＝2＋2k－12k－12＝2k＋1－12k.所以当n＝k＋1时，结论成立.由①②知猜想a n＝2n－12n－1(n∈N*)成立.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.(2017·昆明诊断)设n为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，经计算得f(2)＝32，f(4)＞2，f(8)＞52，f(16)＞3，f(32)＞72，观察上述结果，可推测出一般结论( )A.f(2n)＞2n＋12B.f(n2)≥n＋22C.f(2n)≥n＋22D.以上都不对解析因为f(22)＞42，f(23)＞52，f(24)＞62，f(25)＞72，所以当n≥1时，有f(2n)≥n＋2 2.答案 C12.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”.那么，下列命题总成立的是( )A.若f(1)<1成立，则f(10)<100成立B.若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立C.若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立D.若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析选项A，B的答案与题设中不等号方向不同，故A，B错；选项C中，应该是k≥3时，均有f(k)≥k2成立；对于选项D，满足数学归纳法原理，该命题成立.答案 D13.(2017·金华调研)设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)＝________，f(n)＝________.(n≥1，n∈N*)解析易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n＋1个应与前面n 个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n＋1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，而f(1)＝2，从而f(n)＝n2－n＋2.答案 4 n2－n＋214.数列{x n}满足x1＝0，x n＋1＝－x2n＋x n＋c(n∈N*).(1)证明：{x n}是递减数列的充要条件是c＜0；(2)若0＜c≤14，证明数列{x n}是递增数列.证明(1)充分性：若c＜0，由于x n＋1＝－x2n＋x n＋c≤x n＋c＜x n，∴数列{x n}是递减数列.必要性：若{x n}是递减数列，则x2＜x1，且x1＝0.又x2＝－x21＋x1＋c＝c，∴c＜0.故{x n}是递减数列的充要条件是c＜0.(2)若0＜c ≤14，要证{x n }是递增数列.即x n ＋1－x n ＝－x 2n ＋c ＞0， 即证x n ＜c 对任意n ≥1成立. 下面用数学归纳法证明：当0＜c ≤14时，x n ＜c 对任意n ≥1成立.①当n ＝1时，x 1＝0＜c ≤12，结论成立.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即x k ＜c .因为函数f (x )＝－x 2＋x ＋c 在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12内单调递增，所以x k ＋1＝f (x k )＜f (c )＝c ，∴当n ＝k ＋1时，x k ＋1＜c 成立.由①，②知，x n ＜c 对任意n ≥1，n ∈N *成立. 因此，x n ＋1＝x n －x 2n ＋c ＞x n ，即{x n }是递增数列. 15.(2017·浙江名校协作体联考)已知函数f 0(x )＝sin xx(x >0)，设f n (x )为f n－1(x )的导数，n ∈N *.(1)求2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值；(2)证明：对任意的n ∈N *，等式|nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4|＝22都成立.(1)解 由已知，得f 1(x )＝f ′0(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x ′＝cos x x －sin x x 2，于是f 2(x )＝f ′1(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝－sin x x －2cos x x 2＋2sin x x 3，所以f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－4π2，f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－2π＋16π3.故2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1.(2)证明 由已知，得xf 0(x )＝sin x ，等式两边分别对x 求导，得f 0(x )＋xf ′0(x )＝cos x ，即f 0(x )＋xf 1(x )＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，类似可得2f 1(x )＋xf 2(x )＝－sin x ＝sin(x ＋π)， 3f 2(x )＋xf 3(x )＝－cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π2，4f 3(x )＋xf 4(x )＝sin x ＝sin(x ＋2π).下面用数学归纳法证明等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立.(ⅰ)当n ＝1时，由上可知等式成立.(ⅱ)假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时等式成立，即kf k －1(x )＋xf k (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2.因为[kf k －1(x )＋xf k (x )]′＝kf ′k －1(x )＋f k (x )＋xf ′k (x )＝(k ＋1)f k (x )＋xf k＋1(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2′＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（k ＋1）π2， 所以(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（k ＋1）π2. 因此当n ＝k ＋1时，等式也成立.综合(ⅰ)，(ⅱ)可知等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立. 令x ＝π4，可得nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋n π2(n ∈N *).所以|nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4|＝22(n ∈N *).高考导航考查内容主要集中在两个方面：一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，题目多为常规试题；二是等差、等比数列的通项与求和问题；三是结合函数、不等式(放缩法)等进行综合考查，难度较大，涉及内容较为全面，试题思维量较大.热点一等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.【例1】已知首项为32的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设T n＝S n－1Sn(n∈N*)，求数列{T n}的最大项的值与最小项的值.解(1)设等比数列{a n}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝a5a3＝14.又{a n}不是递减数列且a1＝32，所以q＝－12.故等比数列{a n}的通项公式为a n＝32×⎝⎛⎭⎪⎫－12n－1＝(－1)n－1·32n .(2)由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数，当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， 所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.探究提高 解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.【训练1】 (2017·乐清模拟)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5－2a 2＝25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设T n 是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和，是否存在k ∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)， ∴⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d －2（a 1＋d ）＝25，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ），解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1. ∵b 1＝a 1＝3，b 2＝a 4＝9，∴等比数列{b n }的公比q ＝3，∴b n ＝3n . (2)不存在.理由如下： ∵1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∴1－2T k ＝23＋12k ＋3(k ∈N *)，易知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12k ＋3为单调递减数列， ∴23<1－2T k ≤1315，又1b k ＝13k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13， ∴不存在k ∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k成立.热点二 数列的通项与求和(规范解答)数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【例2】 (满分12分)(2015·湖北卷)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n . 满分解答 (1)解 由题意有⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，2分 解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝29.4分故⎩⎨⎧a n ＝2n －1，b n＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n＝19（2n ＋79），b n＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.6分(2)解 由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1， 故c n ＝2n －12n －1，7分于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .②8分 ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n 10分 ＝3－2n ＋32n，11分 故T n ＝6－2n ＋32n －1.12分❶由题意列出方程组得2分； ❷解得a 1与d 得2分，漏解得1分； ❸正确导出a n ，b n 得2分，漏解得1分； ❹写出c n 得1分；❺把错位相减的两个式子，按照上下对应好，再相减，就能正确地得到结果，本题就得满分，否则就容易出错，丢掉一些分数.用错位相减法解决数列求和的模板第一步：(判断结构)若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q )的对应项之积构成的，则可用此法求和. 第二步：(乘公比)设{a n ·b n }的前n 项和为T n ，然后两边同乘以q . 第三步：(错位相减)乘以公比q 后，向后错开一位，使含有q k (k ∈N *)的项对应，然后两边同时作差.第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出T n . 【训练2】 已知数列{a n }，a n ＝(－1)n －14n（2n －1）（2n ＋1），求数列{a n }的前n 项和T n .解 a n ＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1， 当n 为偶数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数(或T n＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋1).热点三 数列的综合应用 热点3.1 数列的实际应用数列在实际问题中的应用，要充分利用题中限制条件确定数列的特征，如通项公式、前n 项和公式或递推关系式，建立数列模型.【例3－1】 某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元，该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元.(1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元. 解 设a n 为(2010＋n )年年底分红后的资金，其中n ∈N *， 则a 1＝2×1 000－500＝1 500，a 2＝2×1 500－500＝2 500，…， a n ＝2a n －1－500(n ≥2).∴a n －500＝2(a n －1－500)(n ≥2)，即数列{a n －500}是以a 1－500＝1 000为首项，2为公比的等比数列， ∴a n －500＝1 000×2n －1， ∴a n ＝1 000×2n －1＋500.(1)∵a 4＝1 000×24－1＋500＝8 500，∴该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元.(2)由a n >32 500，即2n －1>32，得n >6，∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元.热点3.2 数列与函数的综合问题数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选.【例3－2】 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n ，0)，且f ′(0)＝2n (n ∈N *).(1)求f (x )的解析式； (2)若数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式； (3)对于(2)中的数列{a n }，求证： ①∑nk ＝1a k <5；②43≤∑nk ＝1a k a k ＋1<2. (1)解 由f ′(x )＝2ax ＋b ，f ′(0)＝2n ，得b ＝2n ，又f (x )的图象过点(－4n ，0)，∴16n 2a －4nb ＝0，解得a ＝12.∴f (x )＝12x 2＋2nx (n ∈N *). (2)解 由(1)知f ′(x )＝x ＋2n (n ∈N *)，∴1a n ＋1＝1a n＋2n ，即1a n ＋1－1a n＝2n ，∴1a n －1a n －1＝2(n －1)，1a n －1－1a n －2＝2(n －2)，…，1a 2－1a 1＝2，∴1a n －14＝n 2－n ，∴a n ＝1n 2－n ＋14，即a n ＝4（2n －1）2(n ∈N *).(3)证明 ①a k ＝1k （k －1）＋14<1k （k －1）＝1k －1－1k(k ≥2).当n ＝1时，∑nk ＝1a k <5显然成立； 当n ≥2时，∑nk ＝1a k <4＋ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝5－1n <5. ②∵a k a k ＋1＝4（2k －1）（2k ＋1）＝22k －1－22k ＋1，∴∑nk ＝1 a k a k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－25＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22n －1－22n ＋1＝2－22n ＋1. ∵n ∈N *，∴2n ＋1≥3， ∴43≤2－22n ＋1<2. 综上，原不等式得证.热点3.3 数列与不等式的综合问题数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法. 【例3－3】 (2016·浙江卷)设数列{a n }满足|a n －a n ＋12|≤1，n ∈N *.(1)证明：|a n |≥2n －1(|a n |－2)，n ∈N *；(2)若|a n |≤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n，n ∈N *，证明：|a n |≤2，n ∈N *.证明 (1)由⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1得|a n |－12|a n ＋1|≤1，故|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1≤12n ，n ∈N *， 所以|a 1|21－|a n |2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a 1|21－|a 2|22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a 2|22－|a 3|23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n －1|2n －1－|a n |2n ≤121＋122＋…＋12n －1＜1，因此|a n |≥2n －1(|a 1|－2).(2)任取n ∈N *，由(1)知，对于任意m ＞n ，|a n |2n －|a m |2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n ＋1|2n ＋1－|a n ＋2|2n ＋2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a m －1|2m －1－|a m |2m≤12n ＋12n ＋1＋…＋12m －1＜12n －1，故|a n |＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋|a m |2m ·2n ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －1＋12m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ·2n＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ·2n .从而对于任意m ＞n ，均有|a n |＜2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34m·2n .由m 的任意性得|a n |≤2.① 否则，存在n 0∈N *，有|a n 0|＞2， 取正整数m 0＞log34|a n 0|－22n 0且m 0＞n 0，综上，对于任意n ∈N *，均有|a n |≤2.(建议用时：70分钟)1.(2015·重庆卷)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .解 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知条件得a 1＋2d ＝2，3a 1＋3×22d ＝92， 化简得a 1＋2d ＝2，a 1＋d ＝32，解得a 1＝1，d ＝12，故{a n }的通项公式a n ＝1＋n －12，即a n ＝n ＋12.(2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝15＋12＝8. 设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 4b 1＝8，从而q ＝2， 故{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－2n ）1－2＝2n－1.2.(2017·东北三省四校模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，且S 3＋S 5＝50，a 1，a 4，a 13成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n a n 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n .解(1)依题意得⎩⎨⎧3a 1＋3×22d ＋5a 1＋4×52d ＝50，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ），解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1.(2)∵b n a n＝3n －1，∴b n ＝a n ·3n －1＝(2n ＋1)·3n －1， ∴T n ＝3＋5×3＋7×32＋…＋(2n ＋1)×3n －1，3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)×3n －1＋(2n ＋1)×3n ， 两式相减得，－2T n ＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n －1－(2n ＋1)×3n＝3＋2×3（1－3n －1）1－3－(2n ＋1)×3n ＝－2n ×3n，∴T n ＝n ×3n .3.已知函数f (x )＝x 2－4，设曲线y ＝f (x )在点(x n ，f (x n ))处的切线与x 轴的交点为(x n ＋1，0)(n ∈N *)，其中x 1为正实数. (1)用x n 表示x n ＋1；(2)求证：对一切正整数n ，x n ＋1≤x n 的充要条件是x 1≥2.(1)解 ∵f ′(x )＝2x ，∴过点(x n ，f (x n ))的切线方程为y －(x 2n －4)＝2x n (x －x n )，将(x n ＋1，0)代入切线方程并整理，得x 2n ＋4＝2x n x n ＋1，显然x n ≠0，∴x n ＋1＝x n 2＋2x n. (2)证明 (必要性)若对一切正整数n ，x n ＋1≤x n ，则x 2≤x 1，即x 12＋2x 1≤x 1，而x 1>0，∴x 21≥4，故x 1≥2.(充分性)由x 1≥2>0，x n ＋1＝x n 2＋2x n ，易得数列{x n }为正项数列，从而x n ＋1＝x n 2＋2x n≥2x n 2·2x n＝2(n ≥1)，即x n ≥2(n ≥2)，又x 1≥2，∴x n ≥2(n ≥1).于是x n＋1－x n ＝x n 2＋2x n －x n ＝4－x 2n2x n ＝（2－x n ）（2＋x n ）2x n≤0，即x n ＋1≤x n 对一切正整数n 成立.4.(2015·浙江卷)已知数列{a n }满足a 1＝12且a n ＋1＝a n －a 2n (n ∈N *).(1)证明：1≤a na n ＋1≤2(n ∈N *)； (2)设数列{a 2n }的前n 项和为S n ，证明：12（n ＋2）≤S n n ≤12（n ＋1）(n ∈N *).(1)证明 由题意得a n ＋1－a n ＝－a 2n ≤0，即a n ＋1≤a n ， 故a n ≤12.由a n ＝(1－a n －1)a n －1得a n ＝(1－a n －1)(1－a n －2)…(1－a 1)a 1>0.由0<a n ≤12得a n a n ＋1＝a n a n －a 2n ＝11－a n ∈(1，2]，即1≤a na n ＋1≤2成立. (2)解 由题意得a 2n ＝a n －a n ＋1，所以S n ＝a 1－a n ＋1①由1a n ＋1－1a n ＝a n a n ＋1和1≤a n a n ＋1≤2得1≤1a n ＋1－1a n≤2， 所以n ≤1a n ＋1－1a 1≤2n ，因此12（n ＋1）≤a n ＋1≤1n ＋2(n ∈N *).②由①②得12（n ＋2）≤S n n ≤12（n ＋1）(n ∈N *).5.(2017·杭州调研)已知数列{a n }，{b n }中，a 1＝1，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2n a 2n ＋1·1a n ＋1，n ∈N *，数列{b n }的前n 项和为S n . (1)若a n ＝2n －1，求S n ；(2)是否存在等比数列{a n }，使b n ＋2＝S n 对任意n ∈N *恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由； (3)若{a n }是单调递增数列，求证：S n <2. (1)解 当a n ＝2n －1时，b n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－14·12n ＝32n ＋2. 所以S n ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋12n －1＝38×1－12n1－12＝34－32n ＋2. (2)解 满足条件的数列{a n }存在且只有两个， 其通项公式为a n ＝1和a n ＝(－1)n －1. 证明：在b n ＋2＝S n 中，令n ＝1，得b 3＝b 1.设a n ＝qn －1，则b n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1q 21q n .由b 3＝b 1得⎝⎛⎭⎪⎫1－1q 21q 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1q 21q . 若q ＝±1，则b n ＝0，满足题设条件. 此时a n ＝1和a n ＝(－1)n －1.若q ≠±1，则1q 3＝1q，即q 2＝1，矛盾.综上所述，满足条件的数列{a n }存在，且只有两个， 一个是a n ＝1，另一个是a n ＝(－1)n －1. (3)证明 因为1＝a 1<a 2<…<a n <…，故a n >0，0<a n a n ＋1<1，于是0<a 2na 2n ＋1<1.b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2n a 2n ＋1·1a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a n a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a n a n ＋1·1a n ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋a n a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1·a n a n ＋1<2⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1. 故S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n<2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ＋1<2.所以S n <2.6.已知正项数列{a n }满足S 2n ＝a 31＋a 32＋…＋a 3n (n ∈N *)，其中S n 为数列{a n }的前n 项的和.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：2n ＋1（n ＋1）n ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 332＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1a 2n ＋132<3. (1)解 ∵S 2n ＝a 31＋a 32＋…＋a 3n (n ∈N *)， ∴S 2n －1＝a 31＋a 32＋a 3n －1，两式相减得S 2n －S 2n －1＝a 3n ⇒a n (S n ＋S n －1)＝a 3n ⇒S n ＋S n －1＝a 2n ，则S n －1＋S n －2＝a 2n －1，两式相减得a n ＋a n －1＝a 2n －a 2n －1⇒a n －a n －1＝1，∴a n ＝n .(2)证明 根据(1)知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n 32＝1n n.∵k (2n ＋2－k )≤⎝⎛⎭⎪⎫k ＋2n ＋2－k 22＝(n ＋1)2， ∴1k k ＋1（2n ＋2－k ）2n ＋2－k> 2k （2n ＋2－k ）k （2n ＋2－k ）≥2（n ＋1）n ＋1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a k 32＋⎝⎛⎭⎪⎫1a 2n ＋2－k 32>2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋132， 令k ＝1，2，3，…，n ，累加后再加⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋132得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 332＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2n ＋132 >2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋132＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋132＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋132＋…＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋132 ＝(2n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋132＝2n ＋1（n ＋1）n ＋1.又∵11＋122＋133＋…＋1（2n ＋1）2n ＋1<3⇔122＋133＋…＋1（2n ＋1）2n ＋1<2，而1k k＝1k ·k ·k<1k ·k ·k －1＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k 1k －k －1＝k ＋k －1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k <2k k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k . 令k ＝2，3，4，…，2n ＋1，累加得 122＋133＋…＋1（2n ＋1）2n ＋1<2⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<2， ∴2n ＋1（n ＋1）n ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 332＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1a 2n ＋132<3.。

第九单元 ⎪⎪⎪不等式教材复习课“不等式”相关基础知识一课过[过双基]1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a <b ；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab >1⇔a >b (a ∈R ，b >0)，ab ＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b >0)，a b <1⇔a <b (a ∈R ，b >0).2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ； a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N，n ≥1)； (6)可开方：a >b >0n ∈N ，n ≥2)． 3．三个“二次”间的关系[小题速通]1．若a >b >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A.b a >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1b C ．a ＋1b >b ＋1aD.2a ＋b a ＋2b >a b解析：选C 由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a ，故选C.2．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M ＜ND ．M ≤N解析：选A 由题意知，M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝2a 2－4a －(a 2－2a －3)＝(a －1)2＋2>0恒成立，所以M >N ，故选A.3．不等式⎝⎛⎭⎫x ＋12⎝⎛⎭⎫32－x ≥0的解集是( ) A .⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <－12或x >32B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≤－12或x ≥32C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －12≤x ≤32D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －12<x <32解析：选C 将不等式化为⎝⎛⎭⎫x ＋12⎝⎛⎭⎫x －32≤0，故－12≤x ≤32. 4．(2017·南昌调研)设二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，13，则ab 的值为( ) A ．－6 B ．－5 C ．6D ．5解析：选C 由题意知，方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根为－1，13，则有⎩⎨⎧－b a ＝－1＋13，1a ＝－1×13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－2，∴ab ＝6，故选C.[清易错]1．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．2．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 3．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 1．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：选D 当c <0时，ac >bc 不成立，故A 不正确，当a ＝1，b ＝－3时，B 、C 均不正确，故选D.2．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，－1)C.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞) 解析：选C ①m ＝－1时，不等式为2x －6<0，即x <3不合题意．②m ≠－1时，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ<0，解得m <－1311.简单的线性规划问题[过双基]1．一元二次不等式(组)表示的平面区域不等式 表示区域Ax ＋By ＋C ＞0 直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线 Ax ＋By ＋C ≥0 包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2．线性规划中的基本概念名称意义[小题速通]1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.结合图形可知选C.2．(2017·南昌调研)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．7B ．8C ．22D ．23解析：选A 变量x ，y 满足的区域如图阴影部分所示： 作直线l ：2x ＋3y ＝0，平移直线l ，则在点(2,1)处z ＝2x ＋3y 取得最小值7，故选A.3．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2 B.13C.12D ．1解析：选D 作出可行域如图阴影部分所示，当点P 位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝1的交点(1,1)时，(k OP )max ＝1 ，故选D.[清易错]1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，若目标函数z ＝y －ax (a ∈R)取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A 作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，当a ≤0时，直线y ＝ax ＋z 知在点(1,3)不可能取得最大值，则当a >0时，目标函数z ＝y －ax 要在(1,3)处取得最大值时有唯一最优解应满足a >1，故选A.基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)； (4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．[小题速通]1．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A ．1 B.14C.12D.22解析：选B ∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．2．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C 由1a ＋2b ＝ab ，知a ＞0，b ＞0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a ＝2b，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.3．(2017·汉中一模)已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________． 解析：∵12＝4x ＋3y ≥24x ·3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2时xy 取得最大值3. 答案：3[清易错]1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件． 2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性． 1．在下列函数中，最小值等于2的函数是( ) A ．y ＝x ＋1x B ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x ＋4ex －2解析：选D 当x <0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错误；因为0<x <π2，所以0<cos x <1，所以y ＝cos x ＋1cos x>2，故B 错误；因为x 2＋2≥2，所以y ＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2中等号取不到，故C 错误；因为e x >0，所以y ＝e x ＋4e x －2≥2e x ·4e x －2＝2，当且仅当e x ＝4ex ，即e x ＝2时等号成立，故选D.2．函数y ＝1－2x －3x (x <0)的最小值为________．解析：∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－3x ≥1＋2 (－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. 答案：1＋2 6 [双基过关检测] 一、选择题1．(2017·洛阳统考)已知a <0，－1<b <0，那么( ) A ．a >ab >ab 2 B ．ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2 D ．ab >ab 2>a解析：选D ∵－1<b <0，∴b <b 2<1， 又a <0，∴ab >ab 2>a ，故选D. 2．下列不等式中正确的是( ) A ．若a ∈R ，则a 2＋9>6a B ．若a ，b ∈R ，则a ＋bab≥2 C ．若a ，b >0，则2lg a ＋b2≥lg a ＋lg bD ．若x ∈R ，则x 2＋1x 2＋1>1 解析：选C ∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab .∴2lg a ＋b 2≥2lg ab ＝lg(ab )＝lg a ＋lg b .3．(2016·武汉调研)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2解析：选D ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2.4．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72C.154D.152解析：选A 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0，(a >0)的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，解得a ＝52.5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1 B.12 C.13D.14解析：选D 作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.6．(2017·成都一诊)已知x ，y ∈(0，＋∞)，且log 2x ＋log 2y ＝2，则1x ＋1y 的最小值是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选D 1x ＋1y ＝x ＋y xy ≥2xy xy ＝2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号．∵log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )＝2，∴xy ＝4.∴1x ＋1y ≥2xy＝1.7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2解析：选A 法一：将z ＝y －2x 化为y ＝2x ＋z ，作出可行域和直线y ＝2x (如图所示)，当直线y ＝2x ＋z 向右下方平移时，直线y ＝2x ＋z 在y 轴上的截距z 减小，数形结合知当直线y ＝2x ＋z 经过点A (5,3)时，z 取得最小值3－10＝－7.故选A.法二：易知平面区域的三个顶点坐标分别为(1,3)，(2,0)，(5,3)，分别代入z ＝y －2x 得z 的值为1，－4，－7，故z 的最小值为－7.故选A.8．(2017·东北育才中学模拟)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2 a b ·b a ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.二、填空题9．(2017·沈阳模拟)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________． 解析：因为x 2＋y 2－xy ＝1， 所以x 2＋y 2＝1＋xy .所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时等号成立，即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2. 所以x ＋y 的最大值为2. 答案：210．(2016·郑州二模)某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a ＜7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.解析：画出线性目标函数所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，招聘的教师最多，此时x ＝a ＋b ＝13.答案：1311．一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________ m ，宽为________ m 时菜园面积最大．解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号． 答案：1515212．(2017·邯郸质检)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，y ≤kx ＋3，0≤x ≤3表示的平面区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k 的取值范围是________．解析：直线y ＝kx ＋3恒过定点(0,3)，作出不等式组表示的可行域知，要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线y ＝kx ＋3的斜率在0与1之间，即k ∈(0,1)．答案：(0,1) 三、解答题13．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6 ＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，故⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.14．(2016·济南一模)已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解：(1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy 时等号成立． ∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.高考研究课(一)—————————————————————————不等式性质、一元二次不等式—————————————————————————[全国卷5年命题分析]不等式的性质及应用利用不等式性质比较大小或判断命题真假，一般直接利用性质推导或特殊值法验证. [典例] 若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>lnb 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④[解析] 法一：用“特值法”解题因为1a <1b <0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D.法二：用“直接法”解题由1a <1b <0，可知b <a <0.①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <1ab ，即①正确； ②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误； ③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故③正确；④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确。

第3讲 等比数列及其前n 项和最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系．知 识 梳 理1．等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示． 数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n ＝q (n ∈N ＋，q 为非零常数)．(2)如果在a 与b 中插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，G a ＝bG ，G 2＝ab ，G ＝±ab ，那么G 叫作a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab . 2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n ) 1－q ＝a 1－a n q1－q .3．等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和． (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)等比数列{a n }的单调性：当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，数列{a n }是递增数列； 当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，数列{a n }是递减数列； 当q ＝1时，数列{a n }是常数列．(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示 (1)与等差数列类似，等比数列的各项可以是任意一个实数．( ) (2)公比q 是任意一个常数，它可以是任意实数．( ) (3)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n)1－a.( )(5)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) 解析 (1)在等比数列中，a n ≠0. (2)在等比数列中，q ≠0.(3)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列． (4)当a ＝1时，S n ＝na .(5)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列． 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)×2．(2017·西安模拟)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( ) A ．2 B ．4 C. 2 D ．2 2解析 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q ＝4.答案 B3．(2017·江西七市考试)公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析 由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9， ∴m ＝10，故选C. 答案 C4．(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________.解析 由a n ＋1＝2a n ，知数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2(1－2n )1－2＝126，解得n ＝6. 答案 65．(2015·广东卷)若a ，b ，c 三个正数成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b 的值为________．解析 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 即b 2＝(5＋26)(5－26)＝1，又b ＞0， ∴b ＝1. 答案1考点一 等比数列基本量的运算【例1】 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152 B.314 C.334 D.172(2)(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析(1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎨⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314. (2)设等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎨⎧ a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5⇒⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，∴a 1a 2…a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝2－n 22＋7n2.记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n )，结合n ∈N ＋，可知n ＝3或4时，t 有最大值6.又y ＝2t 为增函数．所以a 1a 2…a n 的最大值为64. 答案 (1)B (2)64规律方法 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．【训练1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．(2)(2017·合肥模拟)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列，则a n ＝________.解析 (1)由已知条件，得2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2，即2S n ＝2S n ＋2a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＋2a n ＋1＝－2. (2)由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2.解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q ＞1，所以q ＝2，所以a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.答案 (1)－2 (2)2n －1考点二 等比数列的性质及应用【例2】 (1)(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.18(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A ．2 B.73 C.83 D ．3解析 (1)由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 24，所以a 24＝4(a 4－1)，解得a 4＝2，设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.选C.(2)法一 由等比数列的性质及题意，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73.法二 因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a ，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a,2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73.答案 (1)C (2)B规律方法 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．【训练2】 (1)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝________.(2)已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为________．解析 (1)由等比数列性质，得a 3a 7＝a 25，a 2a 6＝a 3a 5，所以a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.(2)∵－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，∴y 2＝xz ＝(－1)×(－3)＝3，且x 2＝－y >0，即y <0， ∴y ＝－3，xz ＝3，∴xyz ＝－3 3. 答案 (1)8 (2)－3 3考点三 等比数列的判定与证明【例3】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，在数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． (1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列．又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，又c n ＝a n －1，首项c 1＝a 1－1，∴c 1＝－12，公比q ＝12. ∴{c n }是以－12为首项，以12为公比的等比数列． (2)解 由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .规律方法 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．【训练3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ， 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)解 由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.[思想方法]1．等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q . 2．已知等比数列{a n }(1)数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列． (2)a 1a n ＝a 2a n －1＝…＝a m a n －m ＋1. [易错防范]1．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么( ) A ．{a n ＋b n }，{a n ·b n }都一定是等比数列B ．{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n ·b n }不一定是等比数列C ．{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n ·b n }一定是等比数列D ．{a n ＋b n }，{a n ·b n }都不一定是等比数列 解析 两个等比数列的积仍是一个等比数列． 答案 C2．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为( ) A ．2 B.12 C ．2或12 D ．－2或12解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 4a 2＋a 3＝a 1(1＋q 3)a 1(q ＋q 2)＝1＋q 3q ＋q 2＝(1＋q )(1－q ＋q 2)q (1＋q )＝1－q ＋q 2q ＝1812，得q ＝2或q ＝12.故选C. 答案 C3．(教材改编)一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂( ) A ．55 986 B ．46 656 C ．216 D ．36解析 设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为a n ，根据题意得数列{a n }成等比数列，a 1＝6，q ＝6，所以{a n }的通项公式a n ＝6×6n －1，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a 6＝6×65＝66＝46 656只蜜蜂，故选B. 答案 B4．(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B. 答案 B5．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－50解析 依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)．即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30，又S 20＞0， 因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40， 故S 40－S 30＝80. S 40＝150.故选A. 答案 A 二、填空题6．(2017·安庆模拟)在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于________．解析 两式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3＝3.即q ＝3.答案 37．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 解析 因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，q 2＝－1舍去，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4. 答案 48．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________.解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，显然q ≠1且q ＞0，因为S 4＝3S 2，所以a 1(1－q 4)1－q ＝3a 1(1－q 2)1－q ，解得q 2＝2，因为a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2×22＝8. 答案 8 三、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设{a n }的公比为q ，依题意得 ⎩⎨⎧ a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝3. 因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (b 1＋b n )2＝n 2－n 2.10．(2017·合肥模拟)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解 (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q，∴S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾． 故数列{a n ＋1}不是等比数列．能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324， 因此q 3n －6＝81＝34＝q 36， 所以n ＝14，故选C. 答案 C12．(2016·临沂模拟)数列{a n }中，已知对任意n ∈N ＋，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2 B.12(9n －1) C ．9n －1 D.14(3n －1)解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N ＋，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1， ∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1， 又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1， 故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列．因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－9n )1－9＝12(9n －1)． 答案 B13．(2017·南昌模拟)在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是________．解析 当q >0时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1＋a 1＋a 3≥1＋2a 1a 3＝1＋2a 22＝3，当且仅当a 1＝a 3＝1时等号成立．当q <0时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1＋a 1＋a 3≤1－2a 1a 3＝1－2a 22＝－1，当且仅当a 1＝a 3＝－1时等号成立．所以，S 3的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案 (－∞，－1]∪[3，＋∞)14．(2015·四川卷)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值． 解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2.从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n .(2)由(1)得1a n＝12n ， 所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000，即2n＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n≥10，于是，使|T n－1|＜11 000成立的n的最小值为10.。

第1讲函数及其表示最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2。

在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；3。

了解简单的分段函数,并能简单地应用（函数分段不超过三段)．知识梳理1．函数的基本概念(1）函数的定义给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B 中都存在唯一的数f（x）与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B或y ＝f（x），x∈A，此时x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合｛f(x）｜x∈A}叫作函数的值域．(2)函数的三要素是:定义域、值域和对应关系．（3)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图像法．（4)分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集．2．函数定义域的求法类型x满足的条件错误!，n∈N＋f(x)≥0错误!与［f(x）]0f（x)≠0log a f（x)f（x）＞0四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”）精彩PPT展示（1）函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(）（2)与x轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．()(3）函数y＝错误!－1的值域是{y|y ≥1｝．（)（4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(）解析(1)函数y＝1的定义域为R,而y＝x0的定义域为{x｜x≠0｝，其定义域不同，故不是同一函数．(3）由于x2＋1≥1,故y＝错误!－1≥0,故函数y＝错误!－1的值域是{y|y≥0｝．（4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数．答案（1）×(2）√(3）×(4）×2．(教材改编）若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x｜－2≤x≤2},值域为N＝｛y｜0≤y≤2｝，则函数y ＝f(x)的图像可能是（)解析A中函数定义域不是［－2，2]，C中图像不表示函数，D中函数值域不是[0,2］．答案 B3．(2017·合肥一模）函数y＝错误!的定义域为(）A．(－∞,1]B．[－1,1]C．［1，2)∪（2，＋∞）D.错误!∪错误!解析由题意，得错误!解之得－1≤x≤1且x≠－1 2.答案 D4．（2015·陕西卷）设f（x)＝{1－x，x≥0，，2x，x<0，则f(f(－2)）等于()A．－1 B.错误!C。

第一单元 ⎪⎪⎪集合与常用逻辑用语第1课集__合[课前回扣教材][过双基]1．集合的含义及表示(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉. (3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法．(4)常用数集的记法：自然数集N ，正整数集N *或N ＋，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R.2．集合间的基本关系A B 或 B A3．集合的基本运算4．集合问题中的几个基本结论(1)集合A是其本身的子集，即A⊆A；(2)子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；(3)A∪A＝A∩A＝A，A∪∅＝A，A∩∅＝∅，∁U U＝∅，∁U∅＝U.[小题速通]1．(2017·云南统一检测)已知集合S＝{x|3x＋a＝0}，如果1∈S，那么实数a的值为() A．－3B．－1C．1 D．3解析：选A∵1∈S，∴3＋a＝0，∴a＝－3.2．(2017·江西临川一中期中)已知集合A＝{2,0,1,4}，B＝{k|k∈R，k2－2∈A，k－2∉A}，则集合B中所有的元素之和为()A．2 B．－2C．0 D. 2解析：选B若k2－2＝2，则k＝2或k＝－2，当k＝2时，k－2＝0，不满足条件，当k＝－2时，k－2＝－4，满足条件；若k2－2＝0，则k＝±2，显然满足条件；若k2－2＝1，则k＝±3，显然满足条件；若k2－2＝4，则k＝±6，显然满足条件．所以集合B中的元素为－2，±2，±3，±6，所以集合B中的元素之和为－2，故选B.3．已知集合P＝{x|x<2}，Q＝{x|x2<2}，则()A．P⊆Q B．P⊇QC．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P解析：选B解x2<2，得－2<x<2，∴P⊇Q.4．(2017·河南适应性测试)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∪B中的元素的个数为()A．6B．5C．4 D．3解析：选C因为B＝{0,2,4}，所以A∪B＝{0,1,2,4}，其元素的个数为4，故选C.5．(2016·全国丙卷)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝()A．[2,3]B．(－∞，2]∪[3，＋∞)C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)解析：选D由题意知S＝{x|x≤2或x≥3}，则S∩T＝{x|0<x≤2或x≥3}．故选D.6.设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A)∩B＝________.解析：由题意U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，则∁U A＝{4,6,7,9,10}，即(∁U A)∩B＝{7,9}．答案：{7,9}[清易错]1．在写集合的子集时，易忽视空集；在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，易忽略A＝∅的情况．2．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．3．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．1．(2017·西安质检)已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为()A．8 B．4C．3 D．2解析：选B由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个，故选B.2．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值为() A．0或1或2 B．1或2C．0 D．0或1解析：选A由题意A＝{1,2}，当B≠∅时，∵B⊆A，∴B＝{1}或{2}，当B＝{1}时，a·1－2＝0，解得a＝2；当B＝{2}时，a·2－2＝0，解得a＝1.当B＝∅时，a＝0.故a的值为0或1或2.3.设全集U＝R，A＝{x|2x(x－2)<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则右图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1} B．{x|x≤1}C．{x|0<x≤1} D．{x|1≤x<2}解析：选D由2x(x－2)<1，得x(x－2)<0，解得0<x<2，由1－x>0，得x<1.图中阴影部分表示的集合为A∩∁U B，因为∁U B＝[1，＋∞)，画出数轴，如图所示，所以A∩∁U B＝[1,2)．[课堂研究高考][全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度集合的基本概念5年2考集合的表示、集合元素的性质集合间的基本关系5年1考子集概念集合的基本运算5年7考交、并、补运算，多与不等式相结合集合的基本概念[典例](1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为()A．3B．4C．5 D．6(2)(2017·厦门模拟)已知P＝{x|2<x<k，x∈N}，若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为________．[解析](1)∵a∈A，b∈B，∴x＝a＋b为1＋4＝5,1＋5＝2＋4＝6,2＋5＝3＋4＝7,3＋5＝8.共4个元素．(2)因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为5<k≤6.[答案](1)B(2)(5,6][方法技巧]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．[即时演练]1．(2017·莱州一中模拟)已知集合A ＝{x ∈N|x 2＋2x －3≤0}，B ＝{C |C ⊆A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C A ＝{x ∈N|(x ＋3)(x －1)≤0}＝{x ∈N|－3≤x ≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B 中元素的个数为4，选C.2．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.答案：－32[典例] ，则集合A 的个数为( )A ．8B ．7C ．4D ．3(2)已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若B ⊆(A ∩B )，则a 的取值范围为________．[解析] (1)由题意可知，集合A 中必含有元素1和2，可含有3,4,5中的0个、1个、2个，则集合A 可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，共7个．故选B.(2)因为B ⊆(A ∩B )，所以B ⊆A . ①当B ＝∅时，满足B ⊆A ， 此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32；②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.由①②可知，a 的取值范围为(－∞，－1]．[答案] (1)B (2)(－∞，－1] [方法技巧]已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．[即时演练]1．(2017·兰州模拟)已知集合A ＝{x |y ＝ln(x ＋3)}，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( )A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅C ．A ⊆BD ．B ⊆A解析：选D 因为A ＝{x |x >－3}，B ＝{x |x ≥2}，所以结合数轴可得B ⊆A .2．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，则c ＝________.解析：由log 2x ≤2，得0<x ≤4，即A ＝{x |0<x ≤4}， 而B ＝(－∞，a )，由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4. 答案：4集合的基本运算集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力.,常见的命题角度有：(1)求交集或并集；(2)交、并、补的混合运算； (3)集合的新定义问题. 1．(2016·全国乙卷)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，3解析：选D ∵x 2－4x ＋3<0， ∴1<x <3，∴A ＝{x |1<x <3}．∵2x －3>0，∴x >32，∴B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32. ∴A ∩B ＝{x |1<x <3}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32＝⎝⎛⎭⎫32，3. 2．(2016·山东高考)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，B ＝{x |x 2－1＜0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选C 由已知得A ＝{y |y ＞0}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，则A ∪B ＝{x |x ＞－1}．故选C.角度二：交、并、补的混合运算3．(2017·开封模拟)设集合A ＝{n |n ＝3k －1，k ∈Z}，B ＝{x ||x －1|＞3}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．{－1,2}B ．{－2，－1,1,2,4}C ．{1,4}D ．∅解析：选A ∵B ＝{x |x >4或x <－2}， ∴∁R B ＝{x |－2≤x ≤4}， ∴A ∩(∁R B )＝{－1,2}．4．(2017·沈阳教学质量监测)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，B ＝{－1,1}，则下列结论中正确的是( )A ．A ∩B ＝{－1} B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，0)C ．A ∪B ＝(0，＋∞)D ．(∁R A )∩B ＝{－1} 解析：选D 由题意知，集合A ＝{x |x >0}，则∁R A ＝{x |x ≤0}．又B ＝{－1,1}，所以A ∩B ＝{1}，(∁R A )∪B ＝(－∞，0]∪{1}，A ∪B ＝{－1}∪(0，＋∞)，(∁R A )∩B ＝{－1}，故选D.角度三：集合的新定义问题5．设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________.解析：由已知，A ∪B ＝{}x |x ≥0，A ∩B ＝{x |0<x <2}，故由新定义结合数轴得A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞)．答案：{0}∪[2，＋∞)[方法技巧]解集合运算问题4个注意点(1)看元素构成：集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．(2)对集合化简：有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)应用数形：常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．(4)创新性问题：以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决．1．(2016·全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝() A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}解析：选C因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．2．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝()A．(－1,3) B．(－1,0)C．(0,2) D．(2,3)解析：选A将集合A与B在数轴上画出(如图)．由图可知A∪B＝(－1,3)，故选A.3．(2014·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{ x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝() A．∅B．{2}C．{0} D．{－2}解析：选B因为B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，A＝{－2,0,2}，所以A∩B＝{2}，故选B.4．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则()A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD.A ⊆B解析：选B 因为集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜x ＜5}＝R ，故选B.5．(2013·全国卷Ⅱ)已知集合M ＝{x |(x －1)2<4，x ∈R}，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( ) A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}解析：选A 不等式(x －1)2＜4等价于－2＜x －1＜2，得－1＜x ＜3，故集合M ＝{x |－1＜x ＜3}，则M ∩N ＝{0,1,2}，故选A.[高考达标检测] 一、选择题1．(2017·郑州质量预测)设全集U ＝{x ∈N *|x ≤4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{1,2,3}B ．{1,2,4}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}解析：选A 因为U ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{4}，所以∁U (A ∩B )＝{1,2,3}，故选A. 2．(2017·福州模拟)集合A ＝{－3，－1,2,4}，B ＝{x |2x <8}，则A ∩B ＝( ) A ．{－3} B ．{－1,2} C ．{－3，－1,2}D ．{－3，－1,2,4}解析：选C 由题意知，集合A ＝{－3，－1,2,4}，B ＝{x |2x <8}＝{x |x <3}，则A ∩B ＝{－3，－1,2}，故选C.3．(2017·重庆适应性测试)设全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －1x －2>0，B ＝{x ∈R|0<x <2}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．(1,2]B ．[1,2)C ．(1,2)D ．[1,2]解析：选B 依题意得∁U A ＝{x |1≤x ≤2}，(∁U A )∩B ＝{x |1≤x <2}＝[1,2)，选B. 4．(2017·武汉调研)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x 2＋2x －8>0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－∞，－4)∪[－2，＋∞) B ．(2,3]C ．(－∞，3]∪(4，＋∞)D．[－2,2)解析：选A因为B＝{x|x>2或x<－4}，所以A∪B＝{x|x<－4或x≥－2}，故选A.5．(2016·浙江高考)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝() A．[2,3]B．(－2,3]C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B∵Q＝{x∈R|x2≥4}，∴∁R Q＝{x∈R|x2＜4}＝{x∈R|－2＜x＜2}．∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，∴P∪(∁R Q)＝{x∈R|－2＜x≤3}＝(－2,3]．6．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是()A．7 B．10C．25D．52解析：选B因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．由x∈A∩B，可知x可取0,1；由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3.所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：所以A*B中的元素共有10个．7．(2017·吉林一模)设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B中只有一个元素，则实数a的取值范围是()A．{a|a<1} B．{a|0≤a<1}C．{a|a≥1} D．{a|a≤1}解析：选B由题意知，集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，画出数轴(图略)．若A∩B中只有一个元素，则0≤a <1，故选B.8．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，那么P －Q ＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3}解析：选B 由log 2x <1，得0<x <2， 所以P ＝{x |0<x <2}． 由|x －2|<1，得1<x <3， 所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}． 二、填空题9．(2017·辽宁师大附中调研)若集合A ＝{x |(a －1)·x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．解析：由题意知，集合A 有且仅有两个子集，则集合A 中只有一个元素．当a －1＝0，即a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，满足题意；当a －1≠0，即a ≠1时，要使集合A 中只有一个元素，需Δ＝9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18.综上可知，实数a 的值为1或－18.答案：1或－1810．(2017·湖南岳阳一中调研)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析：由∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}， 且A ∪(∁R B )＝R ， 可得a ≥2. 答案：[2，＋∞)11．(2017·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)解析：假设a 1∈A ，则a 2∈A ，由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，故假设不成立；假设a 4∈A ，则a 3∉A ，a 2∉A ，a 1∉A ，故假设不成立．故集合A ＝{a 2，a 3}．答案：{a 2，a 3}12．(2016·北京高考)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有________种； ②这三天售出的商品最少有________种．解析：设三天都售出的商品有x 种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y 种，则三天售出商品的种类关系如图所示．由图可知：①第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x )－x ＝16(种)． ②这三天售出的商品有(16－y )＋y ＋x ＋(3－x )＋(6＋x )＋(4－x )＋(14－y )＝43－y (种)．由于⎩⎪⎨⎪⎧16－y ≥0，y ≥0，14－y ≥0，所以0≤y ≤14.所以(43－y )min ＝43－14＝29. 答案：①16 ②29 三、解答题13．设全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． (1)分别求A ∩B ，A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}． 易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}，所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}．(2)由B ∪C ＝B ，可知C ⊆B ，画出数轴(图略)，易知2<a <a ＋1<4，解得2<a <3.故实数a 的取值范围是(2,3)．14．(2017·青岛模拟)若集合M ＝{x |－3≤x ≤4}，集合P ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}． (1)证明M 与P 不可能相等；(2)若集合M 与P 中有一个集合是另一个集合的真子集，求实数m 的取值范围．解：(1)证明：若M ＝P ，则－3＝2m －1且4＝m ＋1，即m ＝－1且m ＝3，不成立． 故M 与P 不可能相等．(2)若PM ，当P ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1<4，m ＋1≥2m －1或⎩⎪⎨⎪⎧－3<2m －1，m ＋1≤4，m ＋1≥2m －1，解得－1≤m ≤2；当P ＝∅时，有2m －1>m ＋1，解得m >2，即m ≥－1；若MP ，则⎩⎪⎨⎪⎧－3≥2m －1，4<m ＋1，m ＋1≥2m －1或⎩⎪⎨⎪⎧－3>2m －1，4≤m ＋1，m ＋1≥m －1，无解．综上可知，当有一个集合是另一个集合的真子集时，只能是P M ，此时必有m ≥－1， 即实数m 的取值范围为[－1，＋∞)．第2课命题及其关系__充分条件与必要条件[课前回扣教材][过双基]1．命题2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件[小题速通]1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：选D命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”，故选D.2．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析：选B原命题正确，所以逆否命题正确．模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．故选B.3．(2016·天津高考)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C当x＝1，y＝－2时，x>y，但x>|y|不成立；若x>|y|，因为|y|≥y，所以x>y.所以x>y是x>|y|的必要而不充分条件．4．(2017·保定调研)在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由A＝B得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.∵0<A<π，0<B<π，∴A＝B.故选C.[清易错]1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/B)两者的不同．1．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A，∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角[课堂研究高考][全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度四种命题及其关系5年1考复数相关命题的判断充分条件、必要条件未考查命题的相互关系及真假性[典例](1)(2017·西安八校联考)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定(2)原命题为“若a n＋a n＋12<a n，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假[解析](1)命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．(2)原命题即“若a n＋1<a n，n∈N*，则{a n}为递减数列”为真命题，则其逆否命题为真，逆命题是：“若{a n}为递减数列，n∈N*，则a n＋1<a n”为真命题，所以否命题也为真命题．[答案](1)B(2)A[方法技巧]命题的关系及真假判断(1)在判断命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性．(2)判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．[即时演练]1．(2017·河北承德模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题． A ．①③ B ．② C ．②③D ．①②③解析：选A 命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得，因此①正确，②错误，③正确，故选A.2．(2017·黄冈调研)给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C 易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．充分、必要条件的判定[典例] (1)(2016·山东高考)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面αβ内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·浙江名校联考)一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <0[解析] (1)由题意知a ⊂α，b ⊂β，若a ，b 相交，则a ，b 有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a ，b 的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.(2)因为y ＝－m n x ＋1n 的图象经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n <0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.[答案] (1)A (2)B [方法技巧]充要条件的3种判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q ，若q 则p 的真假．(2)等价法：即利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ；B ⇒A 与綈A ⇒綈B ；A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．[即时演练]1．(2016·四川高考)设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵⎩⎪⎨⎪⎧x >1，y >1，∴x ＋y >2，即p ⇒q .而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3>2，但不满足x >1且y >1，即q ⇒/p .故p 是q 的充分不必要条件．2．(2017·合肥一模)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a ≤0或a >1B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a <0解析：选D 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充要条件为a ≤0或a >1.由选项可知，使“a ≤0或a >1”成立的充分条件为选项D.根据充分、必要条件求参数的范围根据充分条件、必要条件求参数的范围是对充分条件、必要条件与集合之间关系的深层次考查．此类题的解决方法一般有两种：(1)先求出p ，q 为真命题时所对应的条件，然后表示出綈p 与綈q ，把綈p 是綈q 的必要不充分条件转化为綈p 与綈q 所对应集合之间的关系，列出参数a 所满足的条件求解；(2)利用等价转化法，把綈p ，綈q 的关系转化为p ，q 的关系．[典例] (2017·安徽黄山调研)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1，∴条件p 对应的集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1. 由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1， ∴条件q 对应的集合为Q ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． 法一：用“直接法”解题綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <12， 綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1或x <a }． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴a ＋1≥1且a ≤12，∴0≤a ≤12.即实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 法二：用“等价转化法”解题 ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴根据原命题与逆否命题等价，得p 是q 的充分不必要条件． ∴p ⇒q ，即P Q ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a <12，a ＋1≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1，解得0≤a ≤12.[答案] ⎣⎡⎦⎤0，12 [方法技巧]根据充要条件求解参数范围的注意点(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[即时演练]1．(2017·安阳调研)已知p：x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：x∈B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．若p是綈q的充分条件，则实数m的取值范围是________．解析：∵A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}，∴∁R B＝{x|x<m－2或x>m＋2}．∵p是綈q的充分条件，∴A⊆∁R B，∴m－2>3或m＋2<－1，∴m>5或m<－3.答案：(－∞，－3)∪(5，＋∞)2．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．解析：由x2>1，得x<－1，或x>1，又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.答案：－11．(2016·北京高考)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选D若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．2．(2015·陕西高考)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立，故选A.3．(2015·重庆高考)“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵x ＞1⇒log 12(x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，∴“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的充分而不必要条件．4．(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：选C 当f ′(x 0)＝0时，x ＝x 0不一定是f (x )的极值点，比如，y ＝x 3在x ＝0时，f ′(0)＝0，但在x ＝0的左右两侧f ′(x )的符号相同，因而x ＝0不是y ＝x 3的极值点．由极值的定义知，x ＝x 0是f (x )的极值点必有f ′(x 0)＝0.综上知，p 是q 的必要条件，但不是充分条件．5．(2013·浙江高考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R)，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若f (x )是奇函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z)，且当φ＝π2时，f (x )为奇函数，故f (x )是奇函数是φ＝π2的必要不充分条件．[高考达标检测] 一、选择题1．(2017·菏泽一中模拟)命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0 B ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0 C ．若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0解析：选D 命题的逆否命题是条件和结论对调且都否定，注意“且”应换成“或”． 2．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真解析：选D 对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.3．(2016·山西太原一模)“已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3”，则命题p 是命题q的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 法一：若cos α≠12，则α≠2k π±π3(k ∈Z)，则α也必然不等于π3，故p ⇒q ；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12，故q ⇒/p .所以p 是q 的充分不必要条件． 法二：綈p ：cos α＝12，綈q ：α＝π3，则有綈p⇒/綈q，綈q⇒綈p，即綈q是綈p的充分不必要条件，根据原命题与逆否命题的等价性，可得p是q的充分不必要条件．4．(2017·烟台诊断)若条件p：|x|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a 的取值范围是()A．[2，＋∞) B．(－∞，2]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]解析：选A p：|x|≤2⇔－2≤x≤2.因为p是q的充分不必要条件，所以[－2,2]⊆(－∞，a]，即a≥2.5．(2017·嘉兴质检)命题“对任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()A．a≥4 B．a>4C．a≥1 D．a>1解析：选B若“对任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题，则有a≥(x2)max，其中x∈[1,2]，所以a≥4，命题成立的一个充分不必要条件即寻找[4，＋∞)的一个真子集即可，故选B.6．(2017·河南质量检测)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件D．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B因为α⊥β，b⊥m，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b；但直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B.7．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．8．(2017·南昌调研)下列说法正确的是()A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题是“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的必要不充分条件C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题是真命题D ．“tan x ＝1”是“x ＝π4”的充分不必要条件解析：选C 由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x 2≠1，则x ≠1”，即A 不正确；因为x 2－x －2＝0，所以x ＝－1或x ＝2，所以由“x ＝－1”能推出“x 2－x －2＝0”，反之，由“x 2－x －2＝0”推不出“x ＝－1”，所以“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，即B 不正确；因为由x ＝y 能推得sin x ＝sin y ，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C 正确；由x ＝π4能推出tan x ＝1，但由tan x ＝1推不出x ＝π4，所以“tan x ＝1”是“x ＝π4”的必要不充分条件，即D 不正确．二、填空题9．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．解析：其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题． 答案：210．(2017·德州一中模拟)下列命题中为真命题的序号是________． ①若x ≠0，则x ＋1x ≥2；②命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1； ③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”． 解析：当x <0时，x ＋1x ≤－2，故①错误；根据逆否命题的定义可知，②正确；“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；根据否命题的定义知④正确．故填②④.答案：②④11．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2. 答案：(2，＋∞)12．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的________条件．解析：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，又S 4＝2S 2， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 1＋a 2)，∴a 3＋a 4＝a 1＋a 2， ∴q 2＝1⇔|q |＝1，∴“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的充要条件． 答案：充要 三、解答题13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．14．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 第3课简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[课前回扣教材][过双基]1．命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断2．全称量词与存在量词3．全称命题和特称命题[小题速通]1．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：选C 当x >y 时，－x <－y ，故命题p 为真命题，从而綈p 为假命题． 当x >y 时，x 2>y 2不一定成立，故命题q 为假命题，从而綈q 为真命题．故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③p ∧(綈q )为真命题；④(綈p )∨q 为假命题． 2．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2，q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( )A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析：选C ∵y ＝2x 在R 上为增函数， y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上为减函数， ∴y ＝－2－x ＝－⎝⎛⎭⎫12x 在R 上为增函数，∴y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，故p 1是真命题． ∵y ＝2x ＋2－x 在（0，+∞）上为增函数，故p 2是假命题． ∴q 1：p 1∨p 2是真命题，因此排除选项B 和选项D ， q 2：p 1∧p 2是假命题，q 3：(綈p 1)∨p 2是假命题，排除选项A ，故选C.3．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则綈p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1 D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤1解析：选B 命题p 为全称命题，所以綈p ：∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1. 4．已知命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0＜12x 0，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，sin x 0＝12x 0B ．∀x ∈R ，sin x ＜12x。