均值不等式归纳总结
1. (1)若R b a,，则ab b
a 22
2
(2)若R b a,，则2
2
2
b a ab
（当且仅当b
a 时取“=”）2. (1)若*
,R b a ，则ab
b
a 2
(2)若*
,R b a ，则ab
b a 2（当且仅当b
a 时取“=”）
(3)若*
,R b a ，则2
2
b
a a
b (当且仅当b a 时取“=”）
3.若0x ，则12
x x
(当且仅当1x 时取“=”）
若0x ，则12
x x
(当且仅当1x
时取“=”）
若0x ，则11122-2
x
x x
x x
x
即或(当且仅当b a
时取“=”）
4.若0ab
，则2
a
b b
a
(当且仅当b a
时取“=”）若0ab ，则
22-2
a b a b a b b
a
b
a
b
a
即
或(当且仅当b a 时取“=”）
5.若R b a,，则2
)
2
(2
2
2
b
a
b a
（当且仅当b a 时取“=”）
『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和
为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』
应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y＝3x 2＋
1
2x 2
（2）y＝x＋
1
x
解：(1)y ＝3x 2＋
1
2x 2
≥23x 2·1
2x
2
＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）
(2)当x ＞0时，y ＝x ＋
1x
≥2
x ·1
x
＝2；当x ＜0时，y ＝x ＋
1x
= －（－x －
1x
）≤－2
x ·1x
=－2
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧
技巧一：凑项
例
已知54
x
，求函数
142
45
y x x 的最大值。
解：因450x ，所以首先要“调整”符号，又1(42)
45
x
x 不是常数，所以对
42x 要进行拆、凑项，
5,5404x
x
，
1142
5
43
45
5
4y
x x
x x
231
当且仅当15454x
x
，即1x 时，上式等号成立，故当
1x
时，max 1y 。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x 的最大值。
解析：由
知，
，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为
定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x 为定值，故只需将(82)y x x 凑上一个系数即可。
当，即x ＝2时取等号当x ＝2时，(82)y x x 的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设2
30
x
，求函数)23(4x x y 的最大值。
解：∵2
30x ∴023x ∴2
9
2
2322
)23(22)23(42
x x x x x x y 当且仅当,23
2x x
即2
3,
04
3x
时等号成立。
技巧三：分离例3. 求2
710(1)1
x
x y
x
x 的值域。
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的
项，再将其分离。
当,即时,421)
591
y x x （（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分
离求最值。
2
2
(1)
7(1+1054
4=
5
t
t t
t y
t
t
t
t
）当,即t=时,4259y t
t
（当t=2即x ＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为
()
(0,0)()
A y
mg x B A
B
g x ，g(x)恒正
或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()a f x x x
的单调性。例：求函数22
54
x
y
x
的值域。
