2014年北师大版九年级数学上册第二章：2.2《用配方法求解一元二次方程》习题

得出结论： 当一元二次方程的一边是一个含有未知数的一次式
的平方，而另一边是一个非负实数时，可根据平方根的 意义，通过开平方求出这个方程的解。
对比探究，解决问题
问题2：做一做，填上适当的数，使下列等式成立。
x2+12x+( 62)=(x+6)2 x2+4x+( 22 )=(x+ 2 )2 x2-8x+( 42 )=(x- 4 )2
运用已有知识解决新问题。
创设情境，提出问题
要使一块矩形场地的长比宽多8米，并且 面积为9平方米，场地的长和宽各是多少？ （1）这个问题如何解决？
x·(x+8)= 9
↓
x2+8x-9= 0
（2）如何解列出的方程？
对比探究，解决问题
问题1：你会解下列一元二次方程？你是怎么做的？
(1) x2=5 (2)(x+2)2=5 (3) x2+6x+9=5
板书设计：
一、一元二次方程的一般形式 二、完全平方公式 三、平方根的概念 四、配方法的步骤
=25
变形
开平方，得
x+4=±5,
开方
即 所以
x+4=5,或x+4=-5.
求解
x1=1, x2=-9(如有实际问题背景则舍去）
.
对比探究，解决问题
什么是配方法？
通过配成完全平方形式求出一元二次方 程 的解的方法，称为配方法。
配方法的步骤：
移项 配方 变形 开方 求解
随堂练习，巩固深化
北师大版·九年级数学上册·第二章·一元二次方程
2.2 用配方法求解一元二次方程
第一课时
知识目标
理解配方法，会利用配方法

《22配方法公式法解一元二次方程》教案姓名年级性别教材第课教学课题教学目标1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。

2、进一步理解配方法的解题思路。

课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________过程一.教学内容：用配方法和公式法解一元二次方程1.知道配方法的意义及用配方法解一元二次方程的主要步骤，能够熟练地用配方法解系数较简单的一元二次方程．2.理解用配方法推导出一元二次方程的求根公式，了解求根公式中的条件b2－4ac≥0的意义，知道b2－4ac的值的符号与方程根的情况之间的关系．3.能熟练地运用求根的公式解简单的数字系数的一元二次方程．二. 知识要点：1.形如x2＝p或（mx＋n）2＝p（p≥0）的方程用开平方法将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程．通过配方，方程的左边变形为含x的完全平方形式（mx＋n）2＝p（p≥0），可直接开平方，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程．这样解一元二次方程的方法叫做配方法．3.用配方法解一元二次方程的步骤：用配方法解一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一般步骤：（1）移项：将常数项移到方程右边；（2）把二次项系数化为1：方程左右两边同时除以二次项系数（3）配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()x m n+=的形式即将2x mx±的式子加上2()2m，可得到完全平方式⇒222()()22m mx mx x±+=±（4）当0n≥时，用直接开方法解变形后方程三. 重点难点：本讲重点是用配方法和公式法解一元二次方程，难点是配方的过程和对求根公式推导过程的理解．【例题剖析】【衔接训练】1、一元二次方程230x -=的解是 （ ）A 、3x =B 、3x =-C 、123,3x x ==-D 、123,3x x ==- 2、一元二次方程21090x x ++=可变形为 （ ）A 、2(5)16x +=B 、2(5)34x +=C 、2(5)16x -=D 、2(5)25x +=5、用配方法解下列方程时，配方有错误的是 （ ）A 、22430(2)7x x x --=-=化为 B 、227252730()416x x x -+=-=化为 C 、22525490()33636x x x --=-=化为 D 、22517215()416y y y +=+=化为 6、将二次三项式241x x -+配方后得 （ ）A 、2(2)3x -+B 、2(2)3x --C 、2(2)3x ++D 、2(2)3x +-7、（1）226___(__)x x x ++=+； （2）224___(__)3x x x -+=-； （3）228___(__)x x x ++=+ （4）2214___(__)x x x -+=-（5）227___(__)x x x ++=+ （6）223___(__)5x x x -+=- （7）22___(__)x px x ++=+； （8）22___(__)b x x x a++=+；（9）222()___(__)x m n x x -++=- （10）22___(__)x ax x -+=- 8、用配方法解一元二次方程225033x x +-=时，此方程可变形为_____________，解得：12____,____x x == 9、解下列方程：（1）x 2＝2 （2）4x 2－1＝0 （３）（x ＋1）2= 2（4）22350x x --= （5） 22410x x --=（6）23(1)50x x +-= （7）(1)(2)12t t --=10、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程2430x x -+=的解，求这个三角形的周长。

独立 作业
1. 解下列方程:
知识的升华

(1).x2 +12x+ 25 = 0; (2).x2 +4x =1 0; (3).x 2 –6x =11; (4). x2 –2x-4 = 0.
独立 作业
知识的升华
2.如图,在一块长35m,宽26m的矩形地面上,修建同样宽的两条互 相垂直的道路（两条道路各与矩形的一边平行）,剩余部分栽种 花草,要使剩余部分的面积为850m2,道路的宽应是多少？ 35m 解：设道路的宽为 x m，根据题意得
你能从这道题的 解法归纳出一般的 解题步骤吗? 了一元二次方程的根,这种解一元二次方 程的方法称为配方法(solving by completing the square)
随堂练习 1
你能行吗
9.(x+3)² =6 ; 10.16x² -49=0 ; 11. (2x+3)² =5 ; 12. 2x² =128 ; 13. (x+1)² -12= 0 ; 14. x2 - 10x +25 = 0 15. x2 +6x =1; 16.49x2 - 42x – 1 = 0.
2 用配方法求解一元二次方程 第1课时
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
回顾与复习 1
如何求一元二次方程 的精确解
我们利用“先确定大致范围;再取值计算,逐步逼近
”的方法求得了一元二次方程的近似解. 如方程2x2-13x+11=0的解为x=1;即花边宽为1m. 如方程x2+12x-15=0的解约为1.2;即梯子底端滑动 的距离约为1.2m. 如方程x2-8x-20=0的解为x=10或x=-2;即五个连续 整数为-2,-1,0,1,2;或10,11,12,13,14.

2.2 用配方法求解一元二次方程一、选择题（本题包括6个小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 用配方法解方程x2﹣4x﹣7=0时，原方程应变形为（）A. （x﹣2）2=11B. （x+2）2=11C. （x﹣4）2=23D. （x+4）2=232. 将代数式x2+6x﹣3化为（x+p）2+q的形式，正确的是（）A. （x+3）2+6B. （x﹣3）2+6C. （x+3）2﹣12D. （x﹣3）2﹣123. 用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为（）A. （x﹣2）2=3B. 2（x﹣2）2=3C. 2（x﹣1）2=1D. 2（x﹣1）2=4. 已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（）A. M＜NB. M=NC. M＞ND. 不能确定5. 将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（）A. ﹣30B. ﹣20C. ﹣5D. 06. 对于代数式﹣x2+4x﹣5，通过配方能说明它的值一定是（）A. 非正数B. 非负数C. 正数D. 负数二、填空题（本题包括8个小题）7. 若x2﹣4x+5=（x﹣2）2+m，则m=________．8. 若a为实数，则代数式的最小值为________．9. 用配方法解方程3x2﹣6x+1=0，则方程可变形为（x﹣______）2=________．10. 已知方程x2+4x+n=0可以配方成（x+m）2=3，则（m﹣n）2016=________．11. 设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为________．12. 若实数a，b满足a+b2=1，则a2+b2的最小值是________．13. 将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab=________．14. 若代数式x2﹣6x+b可化为（x﹣a）2﹣3，则b﹣a=________．三、解答题（本题包括4个小题）15. 解方程：（1）x2+4x﹣1=0．（2）x2﹣2x=4．16. “a2=0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：因为x2﹣4x+6=（x）2+ ；所以当x= 时，代数式x2﹣4x+6有最（填“大”或“小”）值，这个最值为．（2）比较代数式x2﹣1与2x﹣3的大小．17. 阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．18. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？答案一、选择题1. 【答案】A【解析】方程x2−4x−7=0，变形得：x2−4x=7，配方得：x2−4x+4=11，即(x−2)2=11，故选：A.2. 【答案】C【解析】x2+6x−3=x2+6x+9−9−3=(x+3)2−12.故选：C.3. 【答案】C【解析】2x2-4x=-1，x2-2x=12-, x2-2x+1=12-+1,∴（x-1）2=12，即2（x-1）2=1.故选C.4. 【答案】A【解析】∵M=a﹣1，N=a2﹣a (a为任意实数)，∴N−M=a2−a+1=(a−)2+，∴N>M，即M<N.故选：A5. 【答案】A【解析】把常数项-5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方，即x2+4x-5=0，x2+4x=5，x2+4x+4=9，（x+2）2=9，故答案选A．考点：配方法解一元二次方程．6. 【答案】D【解析】−x2+4x−5=−(x2−4x)−5=−(x−2)2−1，∵−(x−2)2<0，∴−(x−2)2−1<0，故选：D.点睛：此题主要考查了配方法的应用，正确应用配方法是解题的关键.二、填空题7.【答案】1【解析】已知等式变形得：x2−4x+5=x2−4x+4+1=(x−2)2+1=(x−2)2+m，则m=1，故答案为：18. 【答案】3【解析】因，根据非负数的性质可得当a=3时，有最小值为9，所以当a=3时，有最小值为3.考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方；二次根式的性质与化简．9. 【答案】 (1). 1 (2).【解析】原方程为3x2−6x+1=0，二次项系数化为1，得x2−2x=−，即x2−2x+1=−+1，所以(x−1)2= .故答案为：1，.10. 【答案】1【解析】由(x+m)2=3，得：x2+2mx+m2−3=0，∴2m=4，m2−3=n，∴m=2，n=1，∴(m−n)2016=1，故答案为：1. 11.【答案】3【解析】原式=(x2+2x+1)+(4x2−8xy+4y2)=4(x−y)2+(x+1)2+3，∵4(x−y)2和(x+1)2的最小值是0，即原式=0+0+3=3，∴5x2+4y2−8xy+2x+4的最小值为3.故答案为：3.12. 【答案】【解析】∵a+b2=1，∴b2=1−a，∴a2+b2=a2+1−a=(a−)2+，∵(a−1)2⩾0，∴(a−1)2+⩾，故答案为：.13. 【答案】12【解析】x2−6x+5=0，x2−6x=−5，x2−6x+9=−5+9，(x−3)2=4，所以a=3，b=4，ab=12，故答案为：12.14. 【答案】3【解析】根据题意，得x2-6x+b=(x2-6x+9)+b-9=(x-3)2+b-9=(x-a)2-3,可得a=3，b−9=−3，解得：a=3，b=6，则b−a=3.故答案为：3.点睛：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.三、解答题15. 【答案】（1）x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2）x1=1+，x2=1﹣【解析】（1）利用配方法即可解决；（2）利用配方法即可解决．解：（1）∵x2+4x﹣1=0，∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4，∴（x+2）2=5∴x=﹣2±∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．（2）配方x2﹣2x+1=4+1∴（x﹣1）2=5∴x=1±∴x1=1+，x2=1﹣．点睛：本题考查一元二次方程的解法，记住配方法的解题步骤是解题的关键，属于中考常考题型．16. 【答案】（1）﹣2；2；2；小；2；（2）x2﹣1＞2x﹣3．【解析】（1）把原式利用平方法化为完全平方算与一个常数的和的形式，利用偶次方的非负性解答；（2）利用求差法和配方法解答即可．解：（1）x2-4x+6=（x-2）2+2，所以当x=2时，代数式x2-4x+6有最小值，这个最值为2，故答案为：-2；2；2；小；2；（2）x2-1-（2x-3）=x2-2x+2；=（x-1）2+1＞0，则x2-1＞2x-3．17.【答案】（1）4；（2）7；（3）2【解析】（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可；（3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可．解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1=0，∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0，∴（a+3b）2+（b+1）2=0，∴a+3b=0，b+1=0，解得b=-1，a=3，则a-b=4；（2）∵2a2+b2-4a-6b+11=0，∴2a2-4a++2+b2-6b+9=0，∴2（a-1）2+（b-3）2=0，则a-1=0，b-3=0，解得，a=1，b=3，由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，∴△ABC的周长为1+3+3=7；（3）∵x+y=2，∴y=2-x，则x（2-x）-z2-4z=5，∴x2-2x+1+z2+4z+4=0，∴（x-1）2+（z+2）2=0，则x-1=0，z+2=0，解得x=1，y=1，z=-2，∴xyz=2．点睛：本题主要考查的是配方法的应用和三角形三边的关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边的关系是解题的关键.18. 【答案】（1）；（2）5；（3）当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．【解析】 (1)将原式进行配方，然后根据非负数的性质得出最小值；(2)将原式进行配方，然后根据非负数的性质得出最大值；(2)、根据题意得出代数式，然后进行配方得出最值.解：(1) m2+m+4=（m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥，则m2+m+4的最小值是；(2)4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5；(3)、由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）=﹣2x2+20x，∵﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50=﹣2（x﹣5）2≤0，∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x=5，则当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．考点：一元二次方程的应用.。