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平面向量运算

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- 1 - 平面向量运算

平面向量运算是指二维空间中的向量表示及其运算，它是数学中重要的分支学科，与空间向量和三维向量运算相比，平面向量运算更加简单。它是一种基本的数学运算，能够用来研究物理量的空间表示，也能用于解决各种实际问题。

一、平面向量的概念

平面向量运算的基本概念是平面向量。平面向量是一种二维向量，它有两个分量：一个是平面上的横坐标，一个是平面上的纵坐标，其构成可以表示为a=(a1,a2)。横坐标代表着向量的横向距离，纵坐标代表着向量的纵向距离，它们可以组合成一个平行四边形，即向量的模式。

二、平面向量的运算

平面向量的运算包括加法、减法、数乘和点积。

1、加法：两个向量的加法，即把它们的横坐标和纵坐标相加，即可得到新的向量。例如：若A=(a1,a2)和B=(b1,b2)，则A+B=(a1+b1,a2+b2)

2、减法：两个向量的减法，即把它们的横坐标和纵坐标相减，即可得到新的向量。例如：若A=(a1,a2)和B=(b1,b2)，则A-B=(a1-b1,a2-b2)

3、数乘：也叫标量乘法，即用一个数乘以一个向量，即可得到新的向量。例如：若A=(a1,a2)，k为一个实数，则ka=(ka1,ka2)

4、点积：若A=(a1,a2)，B=(b1,b2)，则AB=a1b1+a2b2，结果为 - 2 - 一个实数，它代表两个向量之间的夹角的余弦值。

三、平面向量的应用

1、地图测量：平面向量可用于计算地图上两点之间的距离，最早的应用就是地图测量，可用于计算实际路线所经历的距离、方位角及其他量。

2、航空航天：由于它能够计算出一个物体在太空中的实际位置，因此平面向量运算在航空航天技术中有着重要的应用。

3、机器人技术：机器人技术中也有着平面向量的应用，机器人能够利用平面向量来定位自己，掌握自己的运动状态，并实现正确的运动方向。

4、图形学：平面向量运算在图形学中的应用也是现实中的常用技术，它使我们能够用二维图形建模，来更加清晰地表示物体的形状和外观，从而制作出更加精细、逼真的图像。

综上所述，平面向量运算是数学中重要的分支学科，它主要是用来研究二维空间中的向量表示及其运算的。它的运算包括加法、减法、数乘和点积，其应用也极其广泛，应用于地图测量、航空航天、机器人技术和图形学等多领域。可以说，平面向量运算对于现代科学和技术的发展有着重要积极作用，未来也将成为更多新技术的基础技术之一。

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平面向量的运算法则

平面向量的运算法则

平面向量运算法则

（1）实数与向量的运算法则：设、为实数，则有：

1）结合律：aa)()(。

2）分配律：aa)(，baba)(。

（2）向量的数量积运算法则：

1）abba••。

2）)()()(babababa•••。

3）cbcacba•••)(。

（3）平面向量的基本定理。

21,ee是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a，有且仅有一对实数21,，满足2211eea。

（4）a与b的数量积的计算公式及几何意义：cos||||baba•，数量积ba•等于a的长度||a与b在a的方向上的投影cos||b的乘积。

（5）平面向量的运算法则。

1）设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，则a+b＝1212(,)xxyy。

2）设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，则a-b＝1212(,)xxyy。

3）设点A11(,)xy，B22(,)xy，则2121(,)ABOBOAxxyy。

4）设a＝(,),xyR，则a＝(,)xy。

5）设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，则a•b＝1212()xxyy。

（6）两向量的夹角公式：

121222221122cosxxyyxyxy（a＝11(,)xy，b＝22(,)xy）。

（7）平面两点间的距离公式：

,ABd＝||ABABAB222121()()xxyy（A11(,)xy，B22(,)xy）。

（8）向量的平行与垂直：设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，且b0，则有：

1）a||bb＝a12210xyxy。

2）ab （a0） a·b＝012120xxyy。

（9）线段的定比分公式：

设111(,)Pxy，222(,)Pxy，(,)Pxy是线段12PP的分点，是实数，且12PPPP，则

平面向量线性运算

平面向量线性运算

第1页，共18页

平面向量线性运算

一、选择题

1. 在矩形ABCD中， ， ，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上 若 ，则 的最大值为

A. 3 B. C. D. 2

2. 设O为 的外心，若 ，则M是 的

A. 重心 三条中线交点 B. 内心 三条角平分线交点

C. 垂心 三条高线交点 D. 外心 三边中垂线交点

3. 在 中， ， ，

若动点P满足

， ，则点P的轨迹与直线BC，AC所围成的封闭区域的面积为

A. 5 B. 10 C. D.

4. 如图，在矩形ABCD中，

A.

B.

C.

D.

5. 向量 ， ， 在正方形网格中的位置如图所示，则

A.

B.

C.

D.

6. 如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，A，B，C，D，则

A.

B.

C.

D.

7. 若 ， 是非零向量，“ ”是“函数 为一次函数”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要不充分条件

平面向量及其运算

平面向量及其运算

平面向量及其运算

Prepared on 22 November 2020

1、向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行。

③单位向量：模为1个单位长度的向量。

④ 相等向量：长度相等且方向相同的向量。

⑤平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。

2、向量加减法：

①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

②向量的减法向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差。即：a b= a+

(b)；

ba可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点。

③实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）aa； （Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向相反；当0时，0a，方向是任意的。

④两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a。

3、平面向量的坐标表示

（1）平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a可表示成axiyj，记作a=(x,y)。

（2）平面向量的坐标运算：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.

①

若1122,,,axybxy，则1212,abxxyy

②若2211,,,yxByxA，则2121,ABxxyy

③若1122,,,axybxy，则1221//0abxyxy

④ 若1122,,,axybxy，则1212abxxyy；若ab，则02121yyxx

平面向量 平面向量的线性运算基础训练

平面向量 平面向量的线性运算基础训练

1 平面向量的线性运算（基础训练）

1. 下列各式正确的是（ ）

A．若ar，br同向，则|a+b|=|a|+|b|

B．abrr与|a|+|b|表示的意义是相同的

C．若ar，br不共线，则|a+b|＞|a|+|b|

D．aabrrr永远成立

2．AOOBOCCABOuuuruuuruuuruuruuur等于（ ）

A． B． 0r C． D．

3．下列命题

①如果ar，br的方向相同或相反，那么abrr的方向必与ar，br之一的方向相同。

②△ABC中，必有0r

③若0r，则A、B、C为一个三角形的三个顶点。

④若ar，br均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|一定相等。

其中真命题的个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

4．已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为ar，br，cr，则向量等于（ ）

A．abcrrr B．abcrrr C．abcrrr D．abcrrr

2

5．在四边形ABCD中，设,,ABaADbBCcuuurruuurruuurr，则等于（ ）

A． abcrrr B．()bacrrr

C．abcrrr D．bacrrr

6．设br是ar的相反向量，则下列说法错误的是（ ）

A．ar与br的长度必相等 B．ar∥br

C．ar与br一定不相等 D．ar是br的相反向量

7．ACuuur可以写成：①；②；③；④，其中正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

8.如图所示，在 ABCD中，已知,ABaDBbuuurruuurr，用ar与br表示向量ADuuur、。