(高考第二轮专题复习)高考数学第二轮专题复习数列与不等式专题

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数列与不等式专题

一. 高考说明剖析

江苏省2005年高考数学考试大纲，对于 《不等式》一章的考试内容及考试要 求为：(1)理解不等式的性质及其证明。(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。 (3)掌握分析法、综合法、比较法

证明简单的不等式。(4)掌握简单不等式的解法。 (5)理解不等式丨a I- | b|< | a+b|<

I a | + | b|对于《数列》一章的考试内容及考试要求为 ：(1)理解数列的概念，了解数 列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法， 并能根据递推公式写出数列的

前几项。(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式，并能解

决简单的实际问题。(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n项和公

式，并能解决简单的实际问题。这同江苏省2004年高考数学考试大纲对这两部分 内容的要求完全一样。据此我们判断：稳定是江苏省高考自主命题的指导思想之

传统的数学高考，重点考查的内容有五大块：函数与方程、不等式、数列、 直线和平面、圆锥曲线。而新高考，重点考查的内容则有八大块：函数与方程、 不等式、数列、导数、概率、平面向量、圆锥曲线、直线与平面。这是总的格局， 再细化一下，看2004年高考关于不等式、数列的试题配置：江苏省2004年高考 数学试卷中不等式与数列所占的权重都分别考了一个填空题和一个解答题 (数列

为第20题，不等式为第22题)。其它省份的数学试卷以及全国数学试卷也都在 不同程度上体现了数列与不等式的重点地位。由此可以看出，不等式和数列是传 统高考考查的重点内容，也是新高考考查的重点内容。还应指出的是：数列、不 等式也是《新课标》必修模块5的内容。因此，我们有理由相信：不等式、数列 内容仍将是今年高考考查的重点。

二. 高考试题研究

例1. (2004年江苏高考20题)

设无穷等差数列｛an｝的前n项和为Sn。

3 o

⑴若首项ai= 2,公差d= 1,求满足Sk2 = (Sk)2的正整数k；

⑵求所有的无穷等差数列｛an｝，使得对于一切正整数k都有Sk2 = (Sk)2成立。

学生正确理解了有关符号，不难得出本题的正确结果。其中，第二句话具有 高等数学的语言味道。

例2. (2004年江苏高考22题)

已知函数f(x)(x € R)满足下列条件：对于任意的实数 XI、X2，都有入Xi-X2)2 < (X1-

X2)[f(x 1) — f(X 2)]和 | f(xi)- f(X2) |<| Xi —X2 |，其中 入是大于 0 的常数。

设实数a。、a、b满足f(a°) = 0和b= a—并(a)。

(I )证明：1，并且不存在 5工a0，使得f(b0) = 0；

2 2 2

(H )证明:(b — a0) < (1 —入)(a — a0);

⑴)证明:[f(b)] < (1—入)[f(a)]。

本题具有高等数学背景，字母多，函数抽象，学生无从下手，得分度极低， 区分度极差。从某种意义上讲，经过直觉判断后 95%学生可放弃解答本题。 学习好资料 欢迎下载

例3. （2004年全国高考数学试卷二19题）

数列仙｝的前n项和为Sn,已知a仟1, an+i二吐2 Sn（n= 1, 2, 3,…）。证 n

明：⑴数列｛箒是等比数列；⑵Sn+1二4ano

解答本题，有两个方面的素养必须具备，一是正确理解符号 ｛目｝的意义，二 是把握项与和的关系（消项留和）。

例4. （2004年北京高考18题）

X 1 1

f（x）是定义在［0,1］上的增函数，f（x）=2f（ 2 ）且f（1） = 1,在每个区间（另，尹］

（i=1 , 2, 3,…）上, y=f（x）的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。

1 1 1

⑴求f（0）及f（2 ）、f（4 ）的值，并归纳出fQ ）（i=1 , 2, 3,…）的表达式；

⑵略

解答本题必须具有识别数列模式的能力。

例5. （2004年北京高考20题）给定有限个正数满足条件T:每个数都不大于 50且总和L = 1275。现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于 150

且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组， 使得150与这

组数之和的差r1与所有可能的其它选择相比是最小的，r1称为第一组的余差；然 后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组， 这里的余差为「2；如此继续构成第三组（余差为「3）、第四组（余差为「4）、…，直至 第N组（余差为「N）把这些数全部分完为止。

⑴判断「1,「2,…，rN的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数； ⑵当构成第n（nV N）组后，指出余下每个数与的 「n的大小关系，并证明「n-1 >

150 n— L

n—1 ；

⑶对任何满足条件T的有限个正数，证明：N< 11 （本题是理科试题最后一题）o 阅读本题要有足够的耐心；解答本题要会捕捉有用信息；完整解答本题，需

要对不等式变换特别是放缩法有较高的技能； 第1小题多数学生可以做出来，不

难逻辑分析出来，也能够直觉猜想出来。

三. 高考命题展望

回顾2004年江苏省高考数学试卷，并纵观别的省份的高考数学试卷，都有 一个共同的特点，就是一改近几年高考数学试卷难度偏大， 体现了对学生分层要 求（全体学生的要求，多数学生的要求，少数学生的要求） ，让每个学生都有成

功感。

江苏省2004年高考数学试卷与2003年高考数学试卷相比，难易程度明显降 低，相对来说是比较平妥的。但有一点未变，这就是突出考查主干知识和基本能 力。这是因为主干知识和基本能力是支撑知识体系的主要内容， 高考时必须保持

较高的比例予以考查，并达到必要的深度，以保证高考目标的实现。

2005年的高考考试大纲对于不等式、数列的要求同 2004年要求完全一样。

根据上述三点，我们对2005年高考数学命题展望如下：学习好资料 欢迎下载

1 •贴近生活，贴近实际，更贴近考生的水平

贴近生活，贴近实际，更贴近考生的水平，最后的诠释是高考试题。如2004 年北京高考数学试题第19题。

例6.某段铁路线上依次有 A、B、C三站，AB = 5km，BC = 3km，在列车 运行时刻表上，规定列车8点整从A站出发，8时07分到达B站并停车1分钟， 8时12分到达C站。在实际运行时，假设列车从 A站正点出发，在B站并停留 1分钟，并在行驶时以同一速度 v km/h匀速行驶，列车从A站到达某站的时间 与时刻表上的相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。

⑴分别写出列车在B、C两站的运行误差；

⑵要求列车在B、C两站的运行误差之和不超过2分钟，求v的取值范围。 本题以解不等式等基本知识，考查学生应用数学知识分析问题和解决问题的 能力。本题具有一定的生活背景和文化背景， 而且其数学模型是一个简明的绝对 值不等式模型，解决问题的关键是确立时间误差分别为I

阅读量较小，测试的阶梯明显，第一问检测学生的数学建模能力， 第二问检测学 生的数学解模能力。估计学生解答此题的第一个障碍是题意的理解， 第二个障碍 是用数学的术语、符号表达问题，极有可能在列表达式时出现单位错误 ，第三个 障碍是不会解不等式，或解解不等式时分类不全，乱分类。

2. 考查学生的数学探究能力

《普通高中数学课程标准》指出：数学是研究空间形式和数量关系的科学， 是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。 数学教学使学生掌握数学的 基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实 事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识 世界。

例7(2005北京春季高考第20题)

现有一组互不相同且从小到大排列的数据： a0，a1，a2，as，a4，a5，其中ao

=0。为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记 T= a0

+ ai + a2 + a3+ a4+ a5，xn= 5，yn= @0+ ◎ + ••• + an)，作函数 y=f(x)，使其图象 为逐点依次连接点Pn(Xn， yn)(n = 0， 1， 2，…，5)的折线。

(1) 求f(0)和f(1)的值；

(2) 设 Pn-1Pn的斜率为 kn(n= 1，2，3，4，5)，判断 k1，k2，k3，k4，k5的 大小关系；

(3) 证明：当 x€ (0，1)时，f(x) vx;

(4) 求由函数y= x与y = f(x)的图象所围成图形的面积 S (用a1，a2，a3， a4，

as表示)。

本题以数字为研究对象，波及的知识点多，这点对于学生来说，具有一定的 挑战性。但更具有值挑战性的是，学生要有勇气、毅力和探究能力。

3. 适度综合

由学习和教学的特点，只能将结构完整的蕴含着深刻思想的有着内在联系的 知识网络，人为地加以分割成条、块，而后，按一定的顺序，渐次展开进行教学。 但在应用中，往往480

v

11丨，进而得出不等式: 300-7 I 和 I v 480

v -11 I < 2。本题作为应用题，它的 学习好资料 欢迎下载

需要将知识综合 ，需要数学思想指导，需要数学方法支撑，

才能够解决问题，支离破碎的知识是不行的(有用捕捉，有关提取，有效整合) 。

不等式与函数、数列、二项式定理、解析几何等知识的综合，数列与函数、 方程、不等式、解析几何等的综合，既有天然的因素，也有人工的成份。试题渗 透归纳猜想、类比联想、等价转化、分类讨论等重要的数学思想，试题难度一般 均属中等以上。例如2004年上海高考数学试卷的第22题。

例8. (2004年上海高考22题)

设 Pi(xi, yi), P2(X2, y2),…，Pn(xn, yQ(n>3, n€ N)是二次曲线 C 上的点， 且 ai=|

OPi | 2, a2=| OP2 I 2,…，an=| OPn I 2 构成了一个公差为 d(d^ 0) 的等差数列，其中0是坐标原点。记Sn= ai +十+…+命。

2

仪)⑴若C的方程为X9一 y2= 1, n=3,点Pi(3, 0)且S3= 162,求点F3的坐标；

(只需写出一个)

⑵若C的方程为y2 = 2px(p^0),点Pi(0, 0),对于给定的自然数n,证明：

2 2 2 2 、 (xi + p)、(X2 + p)、(X3+ p)、…、(Xn+ p)成等差数列；

2 2

⑶若C的方程为字+ ” 1(a>b>0),点Pi(a, 0),对于给定的自然数n, 当 公差d变化时，求Sn的最小值。

本题在二次曲线与数列的交汇点设计试题，题型新颖，解法多样。

四. 高考复习建议

关于数列与不等式这部分内容的复习， 提几点建议，一家之言，仅供大家参

考：

1. 注重双基，降低难度，突出主干知识。

比如数列中对an与Sn符号的理解：2004年江苏省高考数学试卷的第20题， 考查了学生对符号Sk^的理解。学生明白二f(n)意义标准是：⑴数列｛ an｝第n项 就是f(n)；⑵数列｛ a. ｝第n项与其序号n的对应关系就是f。类似的还有符号 xi (i=0, 1, 2,…)。