高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数

§3.2 导数的计算

第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 学习目标 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．

知识点一 几个常用函数的导数

原函数 导函数

f(x)＝c f′(x)＝0

f(x)＝x f′(x)＝1

f(x)＝x2 f′(x)＝2x

f(x)＝1x f′(x)＝－1x2

f(x)＝x f′(x)＝12x

知识点二 基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0

f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sinx f′(x)＝cos_x

f(x)＝cosx f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax f′(x)＝axln_a(a>0)

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax f′(x)＝1xlna(a>0，且a≠1)

f(x)＝lnx f′(x)＝1x

1．若y＝3，则y′＝12×3＝32.( × )

2．若f′(x)＝sinx，则f(x)＝cosx．( × )

3．因为(lnx)′＝1x，则1x′＝lnx．( × )

类型一 利用导数公式求函数的导数

例1 求下列函数的导数．

(1)y＝x12；(2)y＝1x4；(3)y＝35x；

(4)y＝2sinx2cosx2；(5)y＝12logx；(6)y＝3x.

考点 基本初等函数的导数公式

题点 利用导数公式求函数的导数

解 (1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.

(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－4x5.

(3)y′＝(35x)′＝35x＝31535x＝2535x＝2535x.

(4)∵y＝2sinx2cosx2＝sinx，∴y′＝cosx.

(5)y′＝12logx＝1xln 12＝－1xln2.

(6)y′＝(3x)′＝3xln3.

反思与感悟 若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导．

跟踪训练1 求下列函数的导数．

(1)y＝(1－x)1＋1x＋x；

(2)y＝2cos2x2－1. 考点 基本初等函数的导数公式

题点 利用导数公式求函数的导数

解 (1)∵y＝(1－x)1＋1x＋x

＝1－xx＋x＝1x＝12x，

∴y′＝3212x.

(2)∵y＝2cos2x2－1＝cosx，

∴y′＝(cosx)′＝－sinx.

类型二 导数公式的应用

命题角度1 求切线方程

例2 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，请说明理由．

考点 导数的应用

题意 导数的应用

解 因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线．

设切点为(x0，y0)，由PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，

而切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－12.

所以切点为－12，14.

所以所求切线方程为y－14＝(－1)x＋12，

即4x＋4y＋1＝0.

引申探究

若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．

解 因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，

则0'|xxy＝2x0，

又因为PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1， 而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝12.

所以切点为M12，14.

所以所求切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.

反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用

(1)切点处的导数是切线的斜率．

(2)切点在切线上．

(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．

跟踪训练2 已知两条曲线y＝sinx，y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．

考点 导数的应用

题点 导数的应用

解 设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，

则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝0'|xxy＝cosx0，k2＝0'|xxy＝－sinx0.

要使两切线垂直，必须有k1k2＝cosx0(－sinx0)＝－1，

即sin2x0＝2，这是不可能的．

所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．

命题角度2 求切点坐标

例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．

考点 导数的应用

题点 导数的应用

解 依题意知抛物线y＝x2与直线x－y－2＝0平行的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x20)．

∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝12，

∴切点坐标为12，14，

∴所求的最短距离d＝12－14－22＝728.

反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．

跟踪训练3 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大．

考点 导数的应用

题点 导数的应用

解 设M(x0，y0)为切点，过点M与直线l平行的直线斜率k＝y′＝2x0，

∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0＝1.

故可得M(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0.

由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，

∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，

故点M(1,1)即为所求弧AOB上的点P，使△ABP的面积最大．

1．下列结论：

①(sinx)′＝cosx；②53x＝23x；

③(log3x)′＝13lnx；④(lnx)′＝1x.

其中正确的有( )

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

考点 基本初等函数的导数公式

题点 利用导数公式求函数的导数

答案 C

解析 ∵②x53′＝2353x；③(log3x)′＝1xln3，

∴②③错误，故选C.

2．质点的运动方程是s＝1t4(其中s的单位为m，t的单位为s)，则质点在t＝3s时的速度为( )

A．－4×3－4m/s B．－3×3－4 m/s C．－5×3－5m/s D．－4×3－5 m/s

考点 几个常用函数的导数

题点 几个常用函数导数的应用

答案 D

解析 ∵s′＝1t4′＝－4t－5，

∴s′|t＝3＝－4×3－5.

则质点在t＝3s时的速度为－4×3－5m/s.

3．曲线y＝lnx在x＝1处切线的倾斜角为( )

A．1 B．－π4

C.π4 D.5π4

考点 基本初等函数的导数公式

题点 指数函数、对数函数的导数

答案 C

解析 y′|x＝1＝1，则切线的倾斜角为π4.

4．曲线y＝ex在点(0,1)处的切线方程为________．

考点 基本初等函数的导数公式

题点 常数、幂函数的导数

答案 x－y＋1＝0

解析 y′|x＝0＝1，

∴切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.

5．当常数k为何值时，直线y＝kx与曲线y＝x2相切？请求出切点．

考点 几个常用函数的导数

题点 几个常用函数导数的应用

解 设切点为A(x0，x20)，因为y′＝2x，

所以 2x0＝k，x20＝kx0，

所以k＝0，故当k＝0时，直线y＝kx与曲线y＝x2相切，且切点坐标为(0,0)．

1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．

2．有些函数可先化简再应用公式求导．

如求y＝1－2sin2x2的导数．因为y＝1－2sin2x2＝cosx，

所以y′＝(cosx)′＝－sinx.

3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.

一、选择题

1．下列结论中正确的个数为( )

①y＝ln2，则y′＝12；②y＝f(x)＝1x2，则f′(3)＝－227；

③y＝2x，则y′＝2xln2；④y＝log2x，则y′＝1xln2.

A．0B．1C．2D．3

考点 基本初等函数的导数公式

题点 基本初等函数的导数公式的应用

答案 D

解析 ①中y＝ln2为常数，

所以y′＝0.①错．

2．已知f(x)＝1x，则ff′15等于( )

A．－25 B．－125

C.125 D．25

考点 几个常用函数的导数

题点 几个常用函数导数的应用

答案 B

解析 因为f(x)＝1x，所以f′(x)＝－1x2.故f′15＝－25，ff′15＝f(－25)＝－125.

3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a等于( )

A．4B．－4C．5D．－5