2020-2021初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附解析(2)

2020-2021初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附解析(2)

一、选择题

1．“奔跑吧，兄弟！”节目组，预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需经A、B、C、D四地．如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向、在C地北偏西45°方向．C地在A地北偏东75°方向．且BD=BC=30m．从A地到D地的距离是（ ）

A．303m B．205m C．302m D．156m

【答案】D

【解析】

分析：过点D作DH垂直于AC，垂足为H，求出∠DAC的度数，判断出△BCD是等边三角形，再利用三角函数求出AB的长，从而得到AB+BC+CD的长．

详解：过点D作DH垂直于AC，垂足为H，由题意可知∠DAC=75°﹣30°=45°．∵△BCD是等边三角形，∴∠DBC=60°，BD=BC=CD=30m，∴DH=32×30=153，∴AD=2DH=156m．故从A地到D地的距离是156m．

故选D．

点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC上找一点B，取145ABDo，500BDm，55Do，要使A，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（ ）

A．500sin55mo B．500cos55mo C．500tan55mo D．500cos55mo 【答案】B

【解析】

【分析】

根据已知利用∠D的余弦函数表示即可．

【详解】

在Rt△BDE中，cosD=DEBD，

∴DE=BD•cosD=500cos55°．

故选B．

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．

3．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到达C处，在C处观察B地的俯角为，则AB两地之间的距离约为（ ）

A．1000sin米 B．1000tan米 C．1000tan米 D．1000sin米

【答案】C

【解析】

【分析】

在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tanACAB，即可解决问题．

【详解】

解：在RtABC中，∵90CABo，B，1000AC米，

∴tanACAB，

∴1000tantanACAB米．

故选：C．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

4．在半径为1的Oe中，弦AB、AC的长度分别是3，2，则BAC为（ ）度． A．75 B．15或30 C．75或15 D．15或45

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意画出草图，因为C点位置待定，所以分情况讨论求解．

【详解】

利用垂径定理可知：AD=3222AE，

．

sin∠AOD=32，∴∠AOD=60°；

sin∠AOE=22，∴∠AOE=45°；

∴∠BAC=75°．

当两弦共弧的时候就是15°．

故选：C．

【点睛】

此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.

5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABCV如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tanCBE的值是（ ）

A．247 B．73 C．724 D．13

【答案】C

【解析】

试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．

在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62，

解得x=254，故CE=8-254=74，

∴tan∠CBE=724CECB. 故选C.

考点：锐角三角函数.

6．如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，则tan∠DEC的值是（ ）

A．1 B．12 C．32 D．33

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据题意过点C作CF⊥BD与点F可求得△AEB≌△CFD（AAS），得到AE＝CF＝1，EF＝323-=333，即可求出答案

【详解】

过点C作CF⊥BD与点F．

∵∠BAE＝30°，

∴∠DBC＝30°，

∵BC＝2，

∴CF＝1，BF＝3 ，

易证△AEB≌△CFD（AAS）

∴AE＝CF＝1，

∵∠BAE＝∠DBC＝30°，

∴BE＝33 AE＝33，

∴EF＝BF﹣BE＝3 ﹣33＝233 ，

在Rt△CFE中，

tan∠DEC＝132332CFEF，

故选C．

【点睛】

此题考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等

7．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（ ）

A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米

【答案】C

【解析】

【分析】

根据正切函数可求小河宽PA的长度．

【详解】

∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，

∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．

故选：C．

【点睛】

此题考查解直角三角形的应用，解题关键在于掌握解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．

8．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（ ）

A．3 B．23 C．32 D．233

【答案】A

【解析】

连接OC，

∵OA=OC，∠A=30°，

∴∠OCA=∠A=30°，

∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，

∵PC是⊙O切线，

∴∠PCO=90°，∠P=30°，

∵PC=3，

∴OC=PC•tan30°=3，

故选A

9．如图，Oe是ABCV的外接圆，AD是Oe的直径，若Oe的半径是4，1sin4B，则线段AC的长是（ ）．

A．2 B．4 C．32 D．6

【答案】A

【解析】

【分析】

连结CD如图，根据圆周角定理得到∠ACD＝90，∠D＝∠B，则sinD＝sinB＝14，然后在Rt△ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长．

【详解】

连结CD，如图，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD＝90，

∵∠D＝∠B， ∴sinD＝sinB＝14，

在Rt△ACD中，∵sinD＝ACAD＝14，

∴AC＝14AD＝14×8＝2．

故选A．

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．

10．cos60tan45oo的值等于( )

A．32 B．22 C．32 D．1

【答案】A

【解析】

【分析】

根据特殊角的三角函数值计算即可．

【详解】

解：原式13122．

故选A．

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．

11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosA的值是（ ） A．45

B．35 C．43 D．34

【答案】B

【解析】

【分析】

根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．

【详解】

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，

由勾股定理，得AB=22ACBC=5

cosA=ACAB=35

故选：B．

【点睛】

本题考查锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

12．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为( )

A．asinα+asinβ B．acosα+acosβ C．atanα+atanβ D．tantanaa

【答案】C

【解析】

【分析】

在Rt△ABD和Rt△ABC中，由三角函数得出BC＝atanα，BD＝atanβ，得出CD＝BC+BD＝atanα+atanβ即可．

【详解】

在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝BCAB，tanβ＝BDAB，

∴BC＝atanα，BD＝atanβ，

∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ，

故选C．