初中数学锐角三角函数的技巧及练习题含答案
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初中数学锐角三角函数的技巧及练习题含答案
一、选择题
1．如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45，向前走6m到达B点， 测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60和30，则该电线杆PQ的高度（ ）
A．623 B．63 C．103 D．83
【答案】A
【解析】
【分析】
延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则问题求解．
【详解】
解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x．
在直角△APE中，∠A=45°，
AE=PE=x；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE=33PE=33x，
∵AB=AE-BE=6米，
则x-33x=6，
解得：x=9+33．
则BE=33+3． 在直角△BEQ中，QE=33BE=33（33+3）=3+3．
∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23．
答：电线杆PQ的高度是（6+23）米．
故选：A．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，解答关键是根据题意构造直角三角形解决问题.
2．菱形ABCD的周长为20cm,DE⊥AB,垂足为E,sinA=35,则下列结论正确的个数有（ ）
①DE=3cm; ②BE=1cm; ③菱形的面积为15cm2; ④BD=210cm．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案
【详解】
∵菱形ABCD的周长为20cm
∴AD=5cm
∵sinA=35
∴DE=3cm（①正确）
∴AE=4cm
∵AB=5cm
∴BE=5﹣4=1cm（②正确）
∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm2（③正确）
∵DE=3cm,BE=1cm
∴BD=10cm（④不正确）
所以正确的有三个．
故选C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，熟练掌握性质是解题的关键
3．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（ ）
A． B．2 C．3 D．(31) 【答案】C
【解析】
【分析】
由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形．可计算边长为2，据此即可得出表面积．
【详解】
解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形．
∴正三角形的边长32sin60．
∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，
∴底面周长为2
∴侧面积为12222，∵底面积为2r，
∴全面积是3．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
4．如图，矩形纸片ABCD，4AB，3BC，点P在BC边上，将CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OPOF，则cosADF的值为（ ）
A．1113 B．1315 C．1517 D．1719
【答案】C
【解析】
【分析】 根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP= OF可得出△OEF≌AOBP(AAS)根据全等三角形的性质可得出0E=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=4-x、BF=PC=3-x，进而可得出AF=1+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出cos∠ADF的值．
【详解】
解：∵矩形纸片ABCD，点P在BC边上，将CDP沿DP折叠，点C落在点E处，
根据折叠性质，可得：△DCP≌△DEP ，
∴.DC=DE=4， CP= EP，
在△OEF和△OBP中
90 EOFBOPBEOPOF
∴△OEF≌△OBP(AAS)
∴ОE=OB， EF= ВР.
设EF=x,则BP=x，DF= DE-EF=4-X，
又∵ BF=OB+OF=OE+ OP=PE=PC, РС=ВC-BP=3-x,
∴AF=AB-BF=1+x.
在Rt△DAF中，AF2+AD2= DF2，即(1+x) 2+32= (4-x)2
解得: x=35 ∴DF=4-x=175
∴cos∠ADF=1517ADDF
故选: C.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x，求出AF的长度是解题的关键．
5．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图：
（1）作线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C；
（2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D； （3）连接BD，BC．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠ABD＝90° B．CA＝CB＝CD C．sinA＝32
D．cosD＝12
【答案】D
【解析】
【分析】
由作法得CA＝CB＝CD＝AB，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，点C是△ABD的外心，根据三角函数的定义计算出∠D＝30°，则∠A＝60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结论．
【详解】
由作法得CA＝CB＝CD＝AB，故B正确；
∴点B在以AD为直径的圆上，
∴∠ABD＝90°，故A正确；
∴点C是△ABD的外心，
在Rt△ABC中，sin∠D＝ABAD＝12，
∴∠D＝30°，∠A＝60°，
∴sinA＝32，故C正确；cosD＝32，故D错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
6．如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DEGFAB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B
【解析】
【分析】
连接GE，过点E作EM⊥BC于M，过点G作GN⊥AB于N，设AE=BG=x，然后利用锐角三角函数求出GN和EM，再根据S阴影=S△GDE＋S△EGF即可求出结论．
【详解】
解：连接GE，过点E作EM⊥BC于M，过点G作GN⊥AB于N
设AE=BG=x，则BE=AB－AE=AB－x
∴GN=BG·sinB=x·sinB，EM=BE·sinB=（AB－x）·sinB
∴S阴影=S△GDE＋S△EGF
=12DE·GN＋12GF·EM
=12DE·（x·sinB）＋12DE·[（AB－x）·sinB]
=12DE·[x·sinB＋（AB－x）·sinB]
=12DE·AB·sinB
∵DE、AB和∠B都为定值
∴S阴影也为定值
故选B．
【点睛】
此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和三角形的面积公式是解决此题的关键．
7．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2＋3 B．23 C．3＋3 D．33
【答案】A
【解析】 【分析】
【详解】
设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，BC=3x，
所以BD=BA=2x，即可得CD=3x+2x=（3+2）x，
在Rt△ACD中，tan∠DAC=(32)32CDxACx，
故选A.
8．为了方便行人推车过某天桥,市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道(如图所示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用正弦的定义得到sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠A．
【详解】
解：因为AC＝40，BC＝10，sin∠A＝BCAC，
所以sin∠A＝0.25.
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选：A．
点睛：
本题考查了计算器-三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
9．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC上找一点B，取145ABD，500BDm，55D，要使A，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（ ）
