2020-2021初中数学锐角三角函数的真题汇编附解析

2020-2021初中数学锐角三角函数的真题汇编附解析

一、选择题

1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )

A．5342 B．5342 C．23 D．432

【答案】A

【解析】

【分析】

连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.

【详解】

连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，

则有AD=2AH，∠AHO=90°，

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，tan∠A=23323BCAB，

∴∠A=30°，

∴OH=12OA=32，AH=AO•cos∠A=33322，∠BOC=2∠A=60°，

∴AD=2AH=3，

∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=26031132323222360=5342，

故选A.

【点睛】

本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

2．菱形ABCD的周长为20cm,DE⊥AB,垂足为E,sinA=35,则下列结论正确的个数有（ ）

①DE=3cm; ②BE=1cm; ③菱形的面积为15cm2; ④BD=210cm．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【解析】

【分析】

根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案

【详解】

∵菱形ABCD的周长为20cm

∴AD=5cm

∵sinA=35

∴DE=3cm（①正确）

∴AE=4cm

∵AB=5cm

∴BE=5﹣4=1cm（②正确）

∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm2（③正确）

∵DE=3cm,BE=1cm

∴BD=10cm（④不正确）

所以正确的有三个．

故选C．

【点睛】

本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，熟练掌握性质是解题的关键

3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（ ）

A．2＋3 B．23 C．3＋3 D．33

【答案】A

【解析】

【分析】 【详解】

设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，BC=3x，

所以BD=BA=2x，即可得CD=3x+2x=（3+2）x，

在Rt△ACD中，tan∠DAC=(32)32CDxACx，

故选A.

4．如图，四边形ABCD内接于Oe，AB为直径，ADCD，过点D作DEAB于点E，连接AC交DE于点F.若3sin5CAB，5DF，则AB的长为( )

A．10 B．12 C．16 D．20

【答案】D

【解析】

【分析】

连接BD，如图，先利用圆周角定理证明ADEDAC得到5FDFA，再根据正弦的定义计算出3EF，则4AE，8DE，接着证明ADEDBE∽，利用相似比得到16BE，所以20AB．

【详解】

解：连接BD，如图，

ABQ为直径，

90ADBACB，

ADCDQ，

DACDCA，

而DCAABD，

DACABD，

DEAB∵⊥，

90ABDBDE，

而90ADEBDE， ABDADE，

ADEDAC，

5FDFA，

在RtAEF中，3sin5EFCABAFQ，

3EF，

22534AE，538DE，

ADEDBEQ，AEDBED，

ADEDBE∽，

::DEBEAEDE，即8:4:8BE，

16BE，

41620AB．

故选：D．

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．

5．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数1yx、2yx的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（ ）

A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变

【答案】D

【解析】

【分析】

如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到BEOEOFAF；设B为（a，1a），A为（b，2b），得到OE=-a，EB=1a，OF=b，AF=2b，进而得到222ab，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=22为定值，即可解决问题．

【详解】 解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，

则△BEO∽△OFA，

∴BEOEOFAF，

设点B为（a，1a），A为（b，2b），

则OE=-a，EB=1a，OF=b，AF=2b，

可代入比例式求得222ab，即222ab，

根据勾股定理可得：OB=22221OEEBaa，OA=22224OFAFbb，

∴tan∠OAB=2222222212244baOBabOAbbbb=222214()24bbbb=22

∴∠OAB大小是一个定值，因此∠OAB的大小保持不变.

故选D

【点睛】

该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．

6．如图，在矩形ABCD中，AB＝23，BC＝10，E、F分别在边BC，AD上，BE＝DF．将△ABE，△CDF分别沿着AE，CF翻折后得到△AGE，△CHF．若AG、CH分别平分∠EAD、∠FCB，则GH长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．7

【答案】B

【解析】

【分析】

如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．通过解直角三角形求出AM、GM的长，同理可得HT、CT的长，再通过证四边形ABNM为矩形得MN＝AB＝23，BN＝AM＝3，最后证四边形GHTN为平行四边形可得GH＝TN即可解决问题．

【详解】

解：如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．

∵△ABE沿着AE翻折后得到△AGE，

∴∠GAM＝∠BAE，AB＝AG＝23，

∵AG分别平分∠EAD，

∴∠BAE＝∠EAG，

∵∠BAD＝90°，

∴∠GAM＝∠BAE＝∠EAG＝30°，

∵GM⊥AD，

∴∠AMG＝90°，

∴在Rt△AGM中，sin∠GAM＝GMAG，cos∠GAM＝AMAG，

∴GM＝AG•sin30°＝3，AM＝AG•cos30°＝3，

同理可得HT＝3，CT＝3，

∵∠AMG＝∠B＝∠BAD＝90°，

∴四边形ABNM为矩形，

∴MN＝AB＝23，BN＝AM＝3，

∴GN＝MN﹣GM＝3，

∴GN＝HT，

又∵GN∥HT，

∴四边形GHTN是平行四边形，

∴GH＝TN＝BC﹣BN﹣CT＝10﹣3﹣3＝4，

故选：B．

【点睛】

本题考查翻折变换，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

7．如图，已知圆O的内接六边形ABCDEF的边心距2OM，则该圆的内接正三角形ACE的面积为（ ）

A．2 B．4 C．63 D．43

【答案】D

【解析】

【分析】

连接,OCOB，过O作ONCE于N，证出COB是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．

【详解】

解：如图所示，连接,OCOB，过O作ONCE于N，

∵多边形ABCDEF是正六边形，

∴60COBo，

∵OCOB，

∴COB是等边三角形，

∴60OCMo，

∴sinOMOCOCM•，

∴43()sin603OMOCcm．

∵30OCNo，

∴123,223ONOCCN，

∴24CECN， ∴该圆的内接正三角形ACE的面积123344323，

故选：D．

【点睛】

本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OC是解决问题的关键．

8．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（ ）

A．3 B．23 C．32 D．233

【答案】A

【解析】

连接OC，

∵OA=OC，∠A=30°，

∴∠OCA=∠A=30°，

∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，

∵PC是⊙O切线，

∴∠PCO=90°，∠P=30°，

∵PC=3，

∴OC=PC•tan30°=3，

故选A