多元分析公式主成分分析因子分析的计算方法
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第十一章 多元分析:主成分分析与因子分析引言主成分分析和因子分析在多元分析框架内是数据结构分析技术,与第六章的多元回归、第七章的多变量协整一起是多变量分析中广泛使用的技术。
它们不同于多元回归。
回归的目标是识别外生变量与内生变量的关系,而在主成分分析和因子分析情形下,仅确定内生变量间的结构关系。
它们也不像协整,变量间不需要平稳性。
在金融、社会科学或其它领域,通常需要识别多变量结构的特征,其有两个特征是被子广泛关心的:1. 多变量结构中的波动性。
2. 变量间的相关或共线性。
在结构的整体变化中,通常是一些变量起产生主要的影响,而其它变量仅有次要的或不显著的影响。
困难的是要了解哪些变量能被确定在这个结构中和它在结构中应怎样度量。
例如,如果两个变量是完全相关的,则不需要第二个变量,它不会带来进一步的信息。
这类似多元回归的共线问题。
在一般情况下,包含哪个变量,剔除哪个变量并不是很清楚的,我们需要有能够程序化的有效方法来识别带有最可用信息的变量或变量组合。
主成分分析(PCA )是分析多变量结构波动时有用的技术。
因子分析(F A )在分析多变量结构变量的相关时很有用。
两者都依赖于方差/协方差矩阵,因为这个矩阵在一定范围内包含了变量间有用的全部信息。
因此在一定范围内,两者是重复的或相互补充的。
在这章,我们将方差/协方差矩阵记为C 。
尽管PCA 和F A 都利用方差/协方差矩阵,但它们不同于第四章和第九章中的均值—方差分析。
均值—方差分析度量了一组变量的总体变异性,而没有特别指明一部分变量对总变异性的贡献。
PCA 识别和排序了部分变量在总变异性中的贡献,每个部分变量称为“主成分”。
它识别了部分变量间组成的协方差的强度,每个主成分对总的变异性的贡献,并根据部分变量组的方差进行排序。
使用PCA ,数据内的总体变异性由特征值之和(它等于C矩阵主对角线上元素之和,也称为迹)度量,成分(变量的线性组合)的选择是依次序减少特征值,直到满足总变异性的一个足够大的比例。
因子分析和主成分分析的方法步骤
一、主成分分析
步骤(详细步骤见算法大全低二十九章:多元分析)
1)对原始数据进行标准化处理
2)计算相关系数矩阵R
3)计算特征值和特征向量
(要对特征向量进行正则化,即特征向量值/sqrt(对应的特征值),这一步需要自己计算)
4)根据累计贡献率得到主成分P,计算综合评价值
5)②计算综合得分
二、因子分析
步骤(详细步骤见算法大全低二十九章:多元分析)
1.选择分析的变量
2.计算所选原始变量的相关系数矩阵
3.提出公共因子
4.因子旋转
5.计算因子得分
用SPSS解决步骤:
注:以上为主成分分析和因子分析对应的操作步骤,对得到的结果进行相应的分析可以参考《SPSS 统计分析高级教程》中的主成分分析和因子分析。
多元统计分析公式速查手册多变量情况下的重要指标计算多元统计分析公式速查手册在进行多元统计分析时,常常需要计算各种重要的指标,本文为您提供了一个多元统计分析公式速查手册,方便您在实践中进行准确的计算。
1. 均值(Mean)多元变量X1, X2, ..., Xn的均值可以通过以下公式计算:μ = (ΣXi) / n2. 方差(Variance)方差是一个衡量数据分散程度的指标,可以通过以下公式计算:σ^2 = Σ(Xi - μ)^2 / (n-1)其中,Xi代表第i个变量的取值,μ代表均值,n代表样本容量。
3. 协方差(Covariance)协方差衡量两个变量之间的相关性质,可以通过以下公式计算:Cov(X, Y) = Σ((Xi - μx)(Yi - μy)) / (n-1)其中,X和Y分别代表两个变量,μx和μy分别代表对应变量的均值,n代表样本容量。
4. 相关系数(Correlation coefficient)相关系数度量两个变量之间的线性相关程度,可以通过以下公式计算:r = Cov(X, Y) / (σx * σy)其中,Cov(X, Y)代表协方差,σx和σy代表对应变量的标准差。
5. 多元回归系数(Multivariate regression coefficients)在多元回归分析中,通过最小二乘法可以求得多元回归系数,可以通过以下公式计算:β = (X'X)^(-1)X'Y其中,X代表自变量矩阵,Y代表因变量矩阵,(X'X)^(-1)代表X'X的逆矩阵。
6. 协方差矩阵(Covariance matrix)协方差矩阵用于描述多个变量之间的协方差关系,可以通过以下公式计算:Σ = (X'X)^(-1) * XX' * (X'X)^(-1)其中,X为变量矩阵。
7. 因子分析(Factor analysis)在因子分析中,常需要计算因子载荷矩阵和特征值,计算方法如下: - 因子载荷矩阵:λ = Φ * √D- 特征值:λ = (n-1) * eigvals其中,Φ代表因子旋转矩阵,D代表对角矩阵,eigvals代表特征值。
因子分析+聚类分析:一.对数据进行因子分析,实验步骤:1在SPSS窗口中选择:分析-降维-因子分析,在因子分析主界面将变量X1 移入变量框2点击“描述”,在对话框中,统计量选择:原始分析结果,相关矩阵选择:系数,以描述相关系数,点击继续3点击“抽取”,在对话框中,方法为主成份,分析选择:相关性矩阵,输出选择:未旋转的因子解和碎石图,抽取中选择基于特征值(特征值大于1)或者因子的固定数量(要提取的因子为2),点击继续4点击“旋转”,在对话框中,方法为最大方差法,在输出中选择旋转解和载荷图(当因子数=2时),点击继续5点击“得分”,在对话框中,选中“保存为变量”和“显示因子得分系数矩阵”,在方法中选择“回归”,点击继续6点击确定实验结果分析:1.特征根和累计贡献率由表中可以看出,因为成份1和2的特征值>1,被提取出来,而且由于第三个特征根相比下降比较快,我们也只选取两个公共因子,对1和2旋转后其累计贡献率为82.488%。
由碎石图,我们也可以看出1和2的特征值大于1,可以被提取出来,其余变量特征值过小,不予提取。
从旋转成份矩阵可以看出,经过旋转的载荷系数产生了明显的区别,横向找到最大的一个数,如上表中黄色部分画出,第一个公因子在v1,v3,v5上占有较大载荷,说明于这三个指标有较大的相关性,命名为;第二个公因子在v2,v4,v6上有较大载荷,有较大相关性,归为一类,可命名为。
该表为成分转换矩阵,给出旋转所需的矩阵可以用成份得分系数矩阵写出各个因子关于中心标准化后的变量的表达式。
F1=0.385x1-0.001x2+…..F2=…..(分析的举例:第一个因子在外貌自信心洞察力推销能力工作魄力志向抱负理解能力潜能等变量上有较大的系数,可以抽象为应聘者主客观工作能力因子第二个因子在简历格式工作经验适应力变量上有较大的系数,可抽象为应聘者对客观环境的适应力因子第三个因子在兴趣爱好诚信度求职渴望度变量上有较大的系数,可抽象为应聘者的兴趣和诚信因子。
一、问题的提出在科学研究或日常生活中,常常需要判断某一事物在同类事物中的好坏、优劣程度及其发展规律等问题。
而影响事物的特征及其发展规律的因素(指标)是多方面的,因此,在对该事物进行研究时,为了能更全面、准确地反映出它的特征及其发展规律,就不应仅从单个指标或单方面去评价它,而应考虑到与其有关的多方面的因素,即研究中需要引入更多的与该事物有关系的变量,来对其进行综合分析和评价。
多变量大样本资料无疑能给研究人员或决策者提供很多有价值的信息,但在分析处理多变量问题时,由于众变量之间往往存在一定的相关性,使得观测数据所反映的信息存在重叠现象。
因此为了尽量避免信息重叠和减轻工作量,人们就往往希望能找出少数几个互不相关的综合变量来尽可能地反映原来数据所含有的绝大部分信息。
而主成分分析和因子分析正是为解因子分相关。
1.2.),3. 主成分的各系数,是唯一确定的、正交的。
不可以对系数矩阵进行任何的旋转,且系数大小并不代表原变量与主成分的相关程度;而因子模型的系数矩阵是不唯一的、可以进行旋转的,且该矩阵表明了原变量和公共因子的相关程度。
4. 主成分分析,可以通过可观测的原变量X直接求得主成分Y,并具有可逆性;因子分析中的载荷矩阵是不可逆的,只能通过可观测的原变量去估计不可观测的公共因子,即公共因子得分的估计值等于因子得分系数矩阵与原观测变量标准化后的矩阵相乘的结果。
还有,主成分分析不可以像因子分析那样进行因子旋转处理。
5.综合排名。
主成分分析一般依据第一主成分的得分排名,若第一主成分不能完全代替原始变量,则需要继续选择第二个主成分、第三个等等,此时综合得分=∑(各主成分得分×各主成分所对应的方差贡献率),主成分得分是将原始变量的标准化值,代入主成分表达式中计算得到;而因子分析的综合得分=∑(各因子得分×各因子所对应的方差贡献率)÷∑各因子的方差贡献率,因子得分是将原始变量的标准化值,代入因子得分函数中计算得到。
多元统计分析公式主成分分析判别分析多元统计分析是一种通过收集和分析多个变量之间相互作用关系来帮助我们理解、解释和预测数据的方法。
其中,主成分分析和判别分析是常用的多元统计分析方法。
本文将对这两种方法的公式和应用进行介绍。
一、主成分分析主成分分析(Principal Component Analysis,简称PCA)是一种通过线性变换将一组可能存在相关性的变量转化为一组线性无关的新变量的方法。
它的基本思想是通过将原始变量进行线性组合来构建主成分,这些主成分能够解释原始数据中大部分的方差。
主成分分析的公式如下:X = A * T其中,X是原始数据矩阵,A是变量相关系数矩阵,T是主成分得分矩阵。
主成分分析的步骤如下:1. 标准化数据:将原始数据标准化,确保各个变量具有相同的尺度。
2. 计算相关系数矩阵:计算标准化后的数据的相关系数矩阵A。
3. 计算特征值和特征向量:对相关系数矩阵进行特征值分解,得到特征值和对应的特征向量。
4. 选择主成分:根据特征值的大小选择前n个主成分。
5. 计算主成分得分:将原始数据投影到所选的主成分上,得到主成分得分矩阵T。
主成分分析的应用十分广泛,常用于降维、数据可视化、变量选择等领域。
例如,在社会科学研究中,可以将大量的社会经济指标通过主成分分析进行降维,从而更好地理解社会现象。
二、判别分析判别分析(Discriminant Analysis)是一种帮助我们根据已知类别数据预测未知类别数据的方法。
判别分析通过寻找最佳投影方向,将不同类别的样本在投影后最大程度地分离开来,从而提高分类的准确性。
判别分析的公式如下:D = W * X其中,D是判别得分,W是权重系数,X是原始数据。
判别分析的步骤如下:1. 计算类内散度矩阵和类间散度矩阵:分别计算各个类别的散度矩阵。
2. 计算广义特征值和广义特征向量:对类内散度矩阵和类间散度矩阵进行广义特征值分解,得到广义特征值和对应的广义特征向量。
主成分分析法主成分分析法1. 因⼦分析1. EM算法求解因⼦分析对于EM算法⽽⾔,E-步是⾮常简单的,我们只需要计算Q i(z(i)) =p(z(i)|x(i); µ, Λ, Ψ)。
然⽽在这⾥的条件分布为,z(i)|x(i); µ, Λ, Ψ∼ N (µz(i)|x(i) , Σz(i)|x(i)),这⾥满⾜:由此,我们得到了E-步的更新公式:现在,我们想办法解决M-步。
我们需要最⼤化的下式:这⾥的参数是µ, Λ, Ψ。
这⾥仅给出Λ的推导过程。
根据我们需要最⼤化的式⼦,我们可以化简如下:这⾥的下标z(i)∼ Q i表⽰z(i)服从 Q i分布。
然后去掉与Λ⽆关的项。
得到我们最终想要最⼤化的结果:这⾥,只有最后⼀项是依赖于Λ的。
对其求偏导数,如下:上述的推导,使⽤了矩阵的⼀些公式,对于a ∈ R,tr a = a(tr表⽰取矩阵的迹),trAB = trBA,∇AtrABA T C = CAB + C T AB。
之后,让其等于0,化简结果如下:因此,我们得到Λ的值如下:这⾥我们发现⼀个有趣的现象。
这⾥得到的Λ结果和回归模型中最⼩⼆乘法的⽅程结果很类似(θT= (y T X )(X T X )−1)。
这⾥类⽐⼀下,x是z的线性函数(包含了⼀定的噪声),在E-步中给出了z的估计之后,我们需找的Λ实际上是x和z的线性关系。
⽽最⼩⼆乘法也是去寻找特征和结果的直接的线性关系。
⽽这两者很重要的不同点在于最⼩⼆乘⽤的z是最好的猜测(也就是所谓的观测到的分类)。
之后,我们会看到这些不同。
为了完成M-步的更新,我们需要求解出Λ结果中的各个期望值。
从开始的Q i定义,我们很容易得到:第⼀步是根据z的条件分布得到的,第⼆步是根据E[Y Y T] = E[Y ]E[Y ]T+ Cov(Y )得到的。
再带回到Λ的结果中,得到了M-步中的更新如下:这⾥很重要的⼀点是右侧等式中的Σz(i)|x(i),这是后验分布p(z(i)|x(i))的协⽅差,M-步中⼀定要考虑后验分布的z(i)不确定性。
多元分析公式主成分分析因子分析的计算方
法
多元分析公式——主成分分析和因子分析的计算方法
多元分析是一种统计分析方法,用于研究多个变量之间的关系和相
互作用。
在多元分析中,一种常见的计算方法是主成分分析和因子分析。
本文将介绍这两种方法的计算公式和步骤,帮助读者了解并掌握
它们的应用。
一、主成分分析
主成分分析是一种通过线性变换将多个相关变量转换为少数几个无
关变量(主成分)的方法。
它可以帮助我们减少数据集的维度,提取
主要特征,并发现变量之间的模式。
下面是主成分分析的计算方法:
1. 样本协方差矩阵的计算
首先,我们需要计算原始变量之间的协方差矩阵。
协方差矩阵的元
素是原始变量之间的协方差值,可以通过以下公式计算:
Cov(X,Y)=Σ[(X_i-μ_X)(Y_i-μ_Y)]/n
其中,X和Y分别表示两个原始变量,X_i和Y_i表示样本中的具
体观测值,μ_X和μ_Y分别表示X和Y的样本均值,n是样本数量。
2. 特征值和特征向量的计算
在计算样本协方差矩阵后,我们可以计算出它的特征值和特征向量。
特征值代表每个主成分的解释力度,特征向量则代表每个主成分的方
向。
特征值和特征向量可以通过使用数学软件或计算工具来进行计算
和获取。
3. 主成分的计算
接下来,我们根据每个特征值对应的特征向量,将原始变量进行线
性组合,得到主成分。
通常,我们选择特征值较大的几个主成分来解
释大部分的方差。
主成分的计算公式如下:
PC1=a_11X_1+a_12X_2+...+a_1kX_k
PC2=a_21X_1+a_22X_2+...+a_2kX_k
...
PCm=a_m1X_1+a_m2X_2+...+a_mkX_k
其中,PC1到PCm分别表示主成分,a_ij表示特征向量矩阵的元素,X_1到X_k表示原始变量。
二、因子分析
因子分析是一种用于确定观测数据背后的更基本的、不可观测的潜
在变量(因子)的方法。
它可以帮助我们理解数据背后的结构,并将
多个指标归结为更少的几个潜在因子。
下面是因子分析的计算方法:
1. 初始因子载荷矩阵的计算
首先,我们需要根据样本数据计算初始因子载荷矩阵。
因子载荷矩
阵的元素代表每个变量与每个因子之间的相关系数。
计算初始因子载
荷矩阵可以使用统计软件或特定的计算方法,例如主成分分析或最大
似然法。
2. 提取因子
接下来,我们需要筛选出影响最大的因子。
一种常用的方法是保留
具有特征值大于1的因子,并将其与初始因子载荷矩阵相乘,得到提
取的因子。
3. 因子旋转
在因子分析中,因子旋转是为了使得因子与原始变量之间的关系更
为清晰和易解释。
常用的因子旋转方法有正交旋转和斜交旋转。
4. 解释因子载荷矩阵
最后,我们需要解释因子载荷矩阵,找出每个因子对应的具体变量。
结论
本文介绍了主成分分析和因子分析的计算方法。
主成分分析可以帮
助我们提取主要特征并减少数据维度,而因子分析可以帮助我们理解
数据背后的结构和相关因素。
准确掌握这些计算方法可以帮助研究者
更好地应用多元分析方法,深入挖掘数据背后的规律和关系。