一次函数与特殊平行四边形专题

一次函数与四边形教学目标：知识与技能：1.利用一次函数比例系数k 值特征证明直线位置关系与四边形的形状；2.利用平行四边形的性质，求一次函数解析式.过程与方法：通过一次函数与四边形的想和转换，感受数形结合的思想方法. 情感态度与价值观：通过思考，让学生体会学习数学方法对于学习数学的重要性.教学重难点：教学重点：一次函数比例系数k 值与平行四边形的性质与判定的相互转换. 教学难点：利用数形结合思想解决函数与几何问题.教学过程：课前一练：1.若一次函数的图像经过点），（01A 和点），（22-B ，则这个一次函数的解析式为 .2.已知直线b kx y l +=11：与直线x y l 2:22=相互平行，且经过点）（1,2，则直线1l 的函数解析式为 .知识回顾：问题1：平面直角坐标系中求一次函数解析式的方法？ 问题2：待定系数法求一次函数解析式的两种常见类型？一、利用一次函数证明四边形的形状例1：如图，直线b kx y +=经过），（3203-A 、），（45-B 两点，过点A 作x AD ⊥轴点D ，过点B 作y BC ⊥轴于点C ，AB 与x 轴相交于点E .（1）求点E 坐标；（2）证明：AB CD ∥；（3）判断四边形BCDE 的形状.二、利用特殊四边形的性质求一次函数解析式例2：如图，一次函数4y的图象与x、y轴=x2+分别相交于点A、B，以AB为边在直线AB右侧作正方形四边形ABCD．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求直线BD的函数解析式；（3）求直线AC的函数解析式．例3：如图所示，矩形ABCD中，5AD，==AB，3点A的坐标为）=：.l+（1,2，作直线bykx（1）当3k时，若直线l与矩形ABCD相交，求-=b的取值范围；（2）在（1）的条件下，若直线l平分矩形ABCD 面积，求直线l的解析式；（3）当2b时，若直线l平分矩形ABCD面积，=-求直线l的解析式；（4）在（3）的条件下，若直线l与矩形ABCD相交，求k的取值范围.。

专题12一次函数与几何图形综合题 （与三角形、与平行四边形、最值问题）类型一与三角形有关1.（2022·天津）如图，△OAB 的顶点O(0，0)，顶点A ，B 分别在第一、四象限，且AB ⊥x 轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A 的坐标是（ ）A ．(5,4)B ．(3,4)C ．(5,3)D ．(4,3)2.（2020·宁夏中考真题）如图，直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到11AO B ，则点1A 的坐标是_____．3.（2021·广西贺州市·中考真题）如图，一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点P ，C 分别是线段AB ，OB 上的点，且45OPC ∠=︒，PC PO =，则点P 的标为________．4.（2022·湖北黄冈）如图1，在△ABC 中，∠B ＝36°，动点P 从点A 出发，沿折线A →B →C 匀速运动至点C 停止．若点P 的运动速度为1cm/s ，设点P 的运动时间为t （s ），AP 的长度为y （cm ），y 与t 的函数图象如图2所示．当AP 恰好平分∠BAC 时，t 的值为________．5.（2020·四川内江?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A （-2，0），直线33:l y x =+与x 轴交于点B ，以AB 为边作等边1ABA ∆，过点1A 作11//A B x 轴，交直线l 于点1B ，以11A B 为边作等边112A B A ∆，过点2A 作22//A B x 轴，交直线l 于点2B ，以22A B 为边作等边223A B A ∆，以此类推……，则点2020A 的纵坐标是______________6.（2022·陕西）如图，ABC 的顶点坐标分别为(23)(30)(11)A B C ----，，，，，．将ABC 平移后得到A B C '''，且点A 的对应点是(23)A '，，点B 、C 的对应点分别是B C ''，．(1)点A 、A '之间的距离是__________； (2)请在图中画出A B C '''．7.（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．8.（2020·湖南湘西?中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A ，点B 在y 轴的正半轴上，30ABO ∠=︒．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在,,OA AB OB 上，2OD =．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为3CODE 向右平移的距离为___________．9.（2021·浙江金华市·中考真题）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(73,0)-，点B 在直线8:3l y x =上，过点B 作AB 的垂线，过原点O 作直线l 的垂线，两垂线相交于点C ． （1）如图，点B ，C 分别在第三、二象限内，BC 与AO 相交于点D ． ①若BA BO =，求证：CD CO =．②若45CBO ∠=︒，求四边形ABOC 的面积．（2）是否存在点B ，使得以,,A B C 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．10.（2020·河南中考真题）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点是弧上一动点，线段点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：根据点在弧上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值．操作中发现：①"当点为弧的中点时， "．则上中的值是 ②"线段的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由；D BC 8,BC cm =A BC C //CF BD DA F DCF ∆BD ()1D BC ,,BD CDFD D BC 5.0BD cm =a CF将线段的长度作为自变量和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值．(结果保留一位小数)．()2BD x CD ,FD x CD y FD y xOy FD y CD y ()3DCF ∆BD11.（2020·河北中考真题）如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN -匀速移动，到达点N 时停止；而点Q 在AC 边上随P 移动，且始终保持APQ B ∠=∠．（1）当点P 在BC 上时，求点P 与点A 的最短距离；（2）若点P 在MB 上，且PQ 将ABC ∆的面积分成上下4：5两部分时，求MP 的长； （3）设点P 移动的路程为x ，当03x ≤≤及39x ≤≤时，分别求点P 到直线AC 的距离（用含x 的式子表示）；（4）在点P 处设计并安装一扫描器，按定角APQ ∠扫描APQ ∆区域（含边界），扫描器随点P 从M 到B 再到N 共用时36秒．若94AK =，请直接．．写出点K 被扫描到的总时长．12.（2020·湖南衡阳?中考真题）如图1，平面直角坐标系中，等腰的底边在轴上，，顶点在的正半轴上，，一动点从出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达的中点停止．另一动点从点出发，以相同的速度沿向左运动，到达点停止．已知点、同时出发，以为边作正方形，使正方形和在的同侧．设运动的时间为秒（）．（1）当点落在边上时，求的值；（2）设正方形与重叠面积为，请问是存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取的中点，连结，当点、开始运动时，点从点出发，以每秒运动，到达点停止运动．请问在点的整个运动过程中，点可能在正方形内（含边界）吗？如果可能，求出点在正方形内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．xOy ABC ∆BC x 8BC =A y 2OA =E (3,0)CB OB F C CB O E F EF EFGH EFGH ABC ∆BC t 0t ≥H AC t EFGH ABC ∆S t 9136S =t AC D OD E F M O 5OD DC CD DO ---O E M EFGH M EFGH13.（2020·黑龙江哈尔滨?中考真题）已知，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴的正半轴交于点A ，与轴的负半轴交于点B ， ，过点A 作轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ，直线OC 的解析式为，过点C 作轴，垂足为．（1）如图1，求直线的解析式；（2）如图2，点N 在线段上，连接ON ，点P 在线段ON 上，过P 点作轴，垂足为D ，交OC 于点E ，若，求的值； （3）如图3，在（2）的条件下，点F 为线段AB 上一点，连接OF ，过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ，连接BQ ，过点F 作轴的平行线交BQ 于点G ，连接PF 交轴于点H ，连接EH ，若，求点P 的坐标．类型二与平行四边形有关O AB x y OA OB =x 34y x =CM y ⊥,9M OM =AB MC PD x ⊥NC OM =PEODx x ,2DHE DPH GQ FG ∠=∠-=14.（2022·山东泰安）如图，四边形ABCD 为平行四边形，则点B 的坐标为________．15.（2022·甘肃武威）如图1，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，动点P 从点A 出发，沿折线AD DC CB →→方向匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ，APB △的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（ ）A 3B ．3C ．33D ．4316.（2020·黑龙江牡丹江?中考真题）如图，已知直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，线段的长是方程的一个根，．请解答下列问题：（1）求点A ，B 的坐标；（2）直线交x 轴负半轴于点E ，交y 轴正半轴于点F ，交直线于点C ．若C 是的中点，，反比例函数图象的一支经过点C ，求k 的值； （3）在（2）的条件下，过点C 作，垂足为D ，点M 在直线上，点N在直线AB OA 27180x x --=12OB OA=EF AB EF 6OE =ky x=CD OE ⊥AB CD上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型三最值问题17.（2020·江苏宿迁?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q 是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q 绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q '，连接OQ '，则OQ '的最小值为( )A ．55B 5C ．523D ．5518.（2020·湖南永州?中考真题）已知点()00,P x y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式0021kx y bd k -+=+C 的圆心C 的坐标为()1,1，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C上的动点，则PQ 的最小值是（ ）A 35B 351-C 651D ．219.（2020·辽宁鞍山?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知(3,6),(2,2)A B -，在x 轴上取两点C ，D （点C 在点D 左侧），且始终保持1CD =，线段CD 在x轴上平移，当AD BC +的值最小时，点C 的坐标为________．20.（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是⊙O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线y =34x ﹣3与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则△CDE 面积的最小值为 ．21.（2020·江苏连云港?中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则CDE △面积的最小值为________．【答案】222.（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦（分别为点A ，B的对应xOy A B '',A B ''点），线段长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是 ；在点中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线AB 到⊙O 的“平移距离”为，求的最小值； （3）若点A 的坐标为，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为，直接写出的取值范围．AA '12PP 34P P 1234,,,P P P P 33y x =+1d 1d 32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2d 2d。

八年级数学培优第十三讲平行四边形与一次函数第十二讲平行四边形与一次函数考点•方法•破译⒈理解并掌握平行四边形的定义、性质、和判定方法，并运用它们进行计算与证明.⒉理解三角形中位线定理并会应用.⒊了解平行四边形是中心对称图形.经典•考题•赏析【例3】（南昌）如图:在平面直角坐标系中,有A（0,1）,B（－1,0）,C（1,0）三点.⑴若点D与A、B、C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D 的坐标；⑵选择⑴中符合条件的一点D，求直线BD的解析式．【解法指导】已知固定的三个点，作平行四边形应有三种可能性，如图所示，因而本题D点坐标应有三种可能性．【解】⑴D1（2，1）D2（－22，1）D3（0，－1）⑵若选择D3（0，－1），可求得解析式：y ＝－x－1【变式题组】已知固定的三个点，作平行四边形时应有三种可能性，如图所示，因而本题D点坐标应有三种可能性．【解】⑴D1（2，1）D2（－2，1）D3（0，－1）⑵若选择D3（0，－1），可求得解析式：y ＝－x－1【变式题组】3＋3与y01．如图，直线l1:y ＝－x2轴交于点A，与直线l2交于x轴上同一点B，直线l2交y轴于点3C，且点C与点A关于x轴对称．⑴求直线l2的解析式；⑵设D（0，－1），平行于y轴的直线x＝t分别交直线l1和l2于点E、F．是否存在t的值，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．02．如图，在直角坐标系中，A（1，0），B（3，1x上是否0），P是y轴上一动点，在直线y＝2存在点Q，使A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出对应的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．4503．（四川资阳）若一次函数y ＝2x －1和反比例函数y ＝x k 2的图象都经过点（1，1）．⑴求反比例函数的解析式；⑵已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标；⑶利用⑵的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．【例4】（齐齐哈尔）如图1.在四边形ABCD 中,AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME＝∠CNE（不需证明）(温馨提示:在图1中，连接BD,取BD的中点H,连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE．)问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB 与CD相交于点O,AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF,分别交DC、AB于M、N，判断∆OMN的形状，请直接写出结论．67问题二:如图3，在∆ABC 中，AC >AB ,D 点在AC 上，AB ＝CD ,E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ,若∠EFC ＝60°,连接GD ,判断∆AGD 的形状并证明.【解法指导】出现中点，联想到三角形中位线是常规思路，因为三角形中位线不仅能进行线段的替换，也可通过平行进行角的转移．【解】⑴△OMN 为等腰三角形．⑵△AGD 为含有30°的直角三角形．证明：连接BD ，取BD 的中点M ，连接FM 、EM ．∵AF ＝FD ，BM ＝MD ∴MF //21AB 同理ME //21CD ．∵AB ＝CD ∴MF ＝ME ，RP D CB A EF又∵∠2＝∠1＝60°，∴△MEF为等边三角形，∴∠4＝∠3＝60°，∠5＝60°∴△AGF为等边三角形∴FG＝FD∴∠ADG＝30°∴△AGD为含有30°的直角三角形．【变式题组】01．（扬州）如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（)A、线段EF的长逐渐增大B、线段EF的长逐渐减小C、线段EF的长不变D、线段EF的长与点P的位置有关02．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平89分线， BD ⊥AD 于D ,AB ＝12,AC ＝22,则MD 的长为（ ）.A .3B .4C .5D .6【例5】（浙江竞赛）如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°,点M 在BC 上，且BM ＝AC ,点N 在AC 上，且AN ＝MC ,AM 与BN 相交于点P ,求证：∠BPM ＝45°.【解法指导】题中相等线段关联性不强，能否把相等的线段（或角）通过改变位置，将分散的条件集中，从而构造全等三角形解决问题．【解】方法一、如图2，过M 作 ME AN ,连接BE ,EN ,则得 AMEN , ∴ME ⊥BC ,AM ＝EN在△AMC 和△BEM 中 ，AC ＝BN ,∠BNE＝∠C＝90°, ME＝MC∴△AMC≌△BEM∴BE＝AM＝EN,∠3＝∠4 ∵∠1＝∠2,∠1＋∠4＝90°∴∠2＋∠3＝90°, ∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE＝45°,∴∠BPM＝45°方法2：如图3，过B作BF AN,连接AF,FM也可证得．【变式题组】01．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC,延长边AB到点D,延长CA到点E,连接DE，若AD＝BC＝CE＝DE,求∠BAC的度数．10演练巩固反馈提高05．（浙江金华）某广场有一个形状是平行四边形的花坛（如图）分别种有红黄蓝绿橙紫6得颜色的花，如果有AB∥EF∥DC,BC∥GH ∥AD,那么下列说法错误的是A．红花，绿花种植面积一定相等B.紫花，橙花种植面积一定相等C.红花，蓝花种植面积一定相等D.蓝花，黄花种植面积一定相等06．（陕西）如图，l1∥l2BE∥CF, BA⊥l1DC⊥l2,下面四个结论中①AB＝DC;②BE＝CF③S△ADE＝S△DCF④S□ABCD ＝S□BCFE,其中正确的有（）A.4个B .3个C.2个D .1个07．(成都）已知四边形ABCD,有以下四个条件：①AB∥CD②AB＝CD③BC∥AD④BC＝AD从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD为平行四边形的选法种数有（）A.6种B.5种C.4种D.3种08．（厦门）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点，AD＝BC,∠PEF＝180,则∠PFE的度数为________09．.如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD中，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A恰好落在CD上的F点，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝3,AC＝4,将△ABC沿直线BC向右平移2.5个单位得到△DEF,AC与DE相交于点G,连接AD,AE,则下列结论中成立的是____①四边形ABED是平行四边；②△AGD≌△CGE③△ADE为等腰三角形④AC平分∠EAD11．(长春）如图□ABCD中，E是BC边上一点，且AB＝AE.求证:△ABC≌△EAD若AE平分∠DAB,∠EAC＝25°,求∠AED的度数．12．(荆州)如图，□ABCD内一点E满足ED⊥AD于D,且∠EBC＝∠EDC,∠ECB＝45°,找出图中一条与EB相等的线段，并加以证明．13．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F,连接DC,AE.⑴求证：△ADE≌△DFC⑵过点E作EH∥DC交DB于点G ,交BC于点H,连接AH,求∠AHE的度数．。

一次函数、平行四边形综合提高学生姓名年级学科授课教师日期时段核心内容一次函数、平行四边形知识的综合运用课型一对一/一对N教学目标1.能解决一次函数中平行四边形的存在问题2.能解决一次函数中的面积问题3.能解决一次函数中的长度问题重、难点对条件综合分析，有函数参数思想，结合平行四边形与一次函数相关知识进行综合解题课首沟通1.了解学生在校学习情况和进度2.检查作业知识导图课首小测1.[单选题] （2012年从化市一模）已知正比例函数y=kx（k≠0）函数值随x的增大而增大，则一次函数y=-kx+k的图象大致是（）A. B. C. D.2.(2012 番禺期末)如图，直线：与直线：相交于点P（，2），则关于的不等式的解集为.3.[单选题] （2015番禺区一模）如图，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm4.[单选题] （2015 青岛中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF= ，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）A.4B.C.D.285.[单选题] （2015天河区期末）如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（）。

A. B.2 C. D.导学一：一次函数中的一般平行四边形存在问题知识点讲解 1：一次函数中一般平行四边形的存在问题——三定一动型例 1. （2014校级期末）如图，直线l1的解析表达式为：y=-3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2 交于点C．（1）求直线l2的函数关系式；（2）求△ADC的面积；（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由。

1、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，-2），B（4，0），若C是坐标平面内一点，且以A，B，C，O为顶点的平行四边形是_______________________。

【答案】（-2,-2），（6，-2）或（2,2）。

2、已知M（1，1）是AB的中点，若点A的坐标为（3，2）则点B的坐标为_________。

【答案】（-1,0）。

1.线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则线段AB的中点坐标为1212,22x x y y++⎛⎫⎪⎝⎭。

2.平行四边形顶点坐标公式ABCD的顶点坐标分别为A（x A，y A）、B（x B，y B）、C（x C，y C）、D（x D，y D），则：x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D。

即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等。

解法点睛专题导入一次函数与平行四边形存在性问题3.一个基本事实，确定动点位置如图，已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内另找一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形.答案有三种：以AB 为对角线的ACBD 1，以AC 为对角线的ABCD 2，以BC 为对角线的ABD 3C 。

例1、已知：在平面直角坐标系中，点(1,0)A ，点(4,0)B ，点C 在y 轴正半轴上，且2OB OC =．（1）试确定直线BC 的解析式；（2）在平面内确定点M ，使得以点M 、A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标． 【答案】解：（1）(4,0)B ，4OB ∴=，又2OB OC =，C 在y 轴正半轴上，(0,2)C ∴．设直线BC 的解析式为(0)y kx b k =+≠．过点(4,0)B ，(0,2)C ，∴402k b b +=⎧⎨=⎩， 解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为122y x =-+． 专题精析（2）如图，①当BC 为对角线时，易求1(3,2)M ；②当AC 为对角线时，//CM AB ，且CM AB =．所以2(3,2)M -；③当AB 为对角线时，//AC BM ，且AC BM =．则||2y M OC ==，||5x M OB OA =+=，所以3(5,2)M -． 综上所述，符合条件的点M 的坐标是1(3,2)M ，2(3,2)M -，3(5,2)M -．【举一反三】如图，在平面直角坐标系中，直线4y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，直线3y kx =-经过点A ，且与y 轴交于点C ，若点M 在直线AB 上运动，点N 在直线AC 上运动，且以O ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，则点M 的坐标 ______ ．【答案】解：把0x =代入4y x =-+得：4y =，即点B 的坐标为：(0,4)，线段OB 的长度为：4，把0y =代入4y x =-+得：40x -+=，解得：4x =，即点A 的坐标为：(4,0)，把点(4,0)A 代入直线3y kx =-的：430k -=，解得：34k =，即直线AC 的解析式为：334y x =-，设点M 的横坐标为m ，则M 的坐标为：(,4)m m -+，根据题意得：点N 的坐标为：3(,3)4m m -当04m <<时，3(4)(3)44m m -+--=， 解得：127m =， 即点M 的坐标为：12(7，16)7， 当4m >时， 3(3)(4)44m m ---+=， 解得：447m =， 即点M 的坐标为：44(7，16)7-， 综上，点M 的坐标为：12(7，16)7或44(7，16)7-，如下图所示： 故答案为：12(7，16)7或44(7，16)7-．2．如图在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，且OA、OB 的长满足|2|0OA -．（1）求AB 的长；（2）若直线y kx b =+与线段AB 交于点E ，与坐标轴分别交于C 、D 两点，且点3(0,)2D ，(1,2)E ，求点C 的坐标；（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存点P ，使以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：|2|0OA -，2OA ∴=，4OB =，在RtAOB ∆中，根据勾股定理得，AB（2）将点3(0,)2D ，(1,2)E 代入直线y kx b =+中得，232k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线CD 是解析式为1322y x =+， 令0y =，则13022x +=，3x ∴=-， ∴点C 的坐标(3,0)-；（3）如图，连接BC ，由（1）知，2OA =，4OB =，点A 在x轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，(2,0)A∴，(0,4)B，由（2）知，(3,0)C-，5AC∴=，以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，①当AC为边时，//BP AC，5BP AC==，(5,4)P∴-或(5,4)；②当AC为对角线时，点B向下平移4个单位，再向右平移2个单位，∴点C向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到点P的坐标(32,04)-+-，(1,4)P∴--，即：点P的坐标为(5,4)-或(5,4)或(1,4)--．例2、如图，在已建立直角坐标系的44⨯正方形方格纸中，若每个小正方形的边长为1，将ABC∆绕点B顺时针旋转90︒到DBE∆（1）求线段BC扫过的面积；（2）平移线段DE后的像为GF，在正方形格点上是否存在点F，G，使得以D，E，F，G为顶点的四边形是菱形，求线段FG所在的直线解析式．【答案】解：（1）2902360Sππ==；（2）当(2,2)F ，(0,3)G 时，D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是菱形，设直线FG 的解析式为y kx b =+，223k b b +=⎧⎨=⎩， 解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，132FG y x =-+； 当(4,2)F ，(2,3)G 时，D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是菱形，设直线FG 的解析式为y mx n =+，4223m n m n +=⎧⎨+=⎩， 解得124m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，142FG y x =-+．【举一反三】如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线21y x =-+与坐标轴分别交于A ，B 两点，与直线y x a =+交于点D ，点B 绕点A 顺时针旋转90︒的对应点C 恰好落在直线y x a =+上．（1）求直线CD 的表达式；（2）若点E 在y 轴上，且CDE ∆的周长最小，求点E 的坐标；（3）点F 是直线21y x =-+上的动点，G 为平面内的点，若以点C ，D ，F，G 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】解：（1）如图1中，连接AC ，作CE x ⊥轴于E ．90BAC ∠=︒，90ABO BAO ∴∠+∠=︒，90BAO CAE ∠+∠=︒，ABO CAE ∴∠=∠，AB OC =，90AOB CEA ∠=∠=︒，ABO CAE ∴∆≅∆，12CE OA ∴==，1AE OB ==， 3(2C ∴，1)2， 把3(2C ，1)2代入y x a =+，得到1322a =+， 1a ∴=-，∴直线CD 的解析式为1y x =-．（2）如图2中，作D 关于y 轴的对称点D '，连接CD '交y 轴于E ，此时CDE ∆的周长最小．由121y x y x =-⎧⎨=-+⎩解得2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 2(3D ∴，1)3-，2(3D '-，1)3-， ∴直线CD '的解析式为511313y x =-，1(0,)13E ∴-．（3）如图3中，①如图3中，当DF 为菱形对角线时，四边形DCFG 是菱形，C ∴、G 关于AB 对称，易求直线CG 的解析式为1124y x =-， 由112421y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩，解得120x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，G ∴与C 关于1(2，0)对称，可得1(2G -，1)2-．②如图4中，当AC 为菱形的对角线时，F 、G 关于CD 对称，求出线段CD 的垂直平分线，同法可得7(3G ，7)6-． ③如图5中，当CF为菱形的对角线时，可得3(2G，12或32+，12．综上所述，满足条件的点G 坐标为1(2-，1)2-或7(3，7)6-或3(2，12+或32+，12．1．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，在格点ABC ∆中，点A 的坐标为(2,3)（1）若以A 、B 、C 及点D 为顶点的四边形是矩形，直接写出点D 的坐标： (0,4) ；（2）若以A 、B 、C 及点E 为顶点的四边形是平行四边形，请画出所有点E 的位置．【答案】解：（1）如图1所示：四边形ADBC是矩形，5CD AB ∴=，1OD =，4OD ∴=，(0,4)D ∴，故答案为：(0,4)；专题过关（2）如图2所示：2．如图，直线2y =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在y 轴上，且12OA AC =，直线CD AB ⊥于点P ，交x 轴于点D （1）求点P 的坐标（2）坐标系内是否存在点M ，使以点B ，P ，D ，M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）对于直线2y +，令0x =得到2y =，令0y =得到-(0,2)A ∴，(B -0)，2AC AO =，4AC ∴=，(0,6)C ∴，CD AB ⊥，∴直线CD 的解析式为6y =+，由26y x y ⎧+⎪⎨⎪=+⎩，解得3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P ∴，3)．（2）存在，P 点坐标3)，(23D，0)，(B -0)， BD ∴=，当1PM BD是平形四边形， 则1BD PM ==1(M ∴-3)，当2PBDM 是平形四边形，则2BD PM ==2M ∴，3)，P 到x 轴距离等于3M 到x 轴距离，故3M 的纵坐标为3-，BE DF BD DE ==-=FO ∴3M ∴的横坐标为 3M ∴的坐标为(3)-；综上所述M 点的坐标为：1(M -3)，2M3)，3(M ，3)-．3．如图， 在平面直角坐标系xOy ，直线1y x =+与24y x =-+交于点A ，两直线与x 轴分别交于点B 和点C ，D 是直线AC 上的一个动点， 直线AB 上是否存在点E ，使得以E ，D ，O ，A 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 求出点E 的坐标；若不存在， 请说明理由 ．【答案】解：①如下图： 当//OE AD 时，//OE AC ，所以直线OE 的解析式为2y x =-， 联立OE 、AB ，得12y x y x =+⎧⎨=-⎩①②，解得1323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即11(3E -，2)3；②如下图： 当//DE OA 时，//OD AB 时，//OD AB ，∴直线OD 的解析式为y x =，联立OD 、AC ，得24y xy x =⎧⎨=-+⎩，解得4343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，4(3D ，4)3． 联立AB 、AC 得241y x y x =-+⎧⎨=+⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ．OA 的解析式为2y x =， //DE OA ，∴设直线DE 的解析式为2y x b =+，将点D 的坐标代入直线的解析式得：42y x =-联立DE 、AB 得4231y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，解得73103x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，27(3E ，10)3． ③当OA 为对角线时，(1,2)A ，OA ∴的中点坐标为1(2，1)，点D 在直线24y x =-+上，∴设(,24)D m m -+，点E 在直线1y x =+上，∴设(,1)E n n +，DE ∴的中点坐标为(2m n +，241)2m n -+++， ∴122m n +=，24112m n -+++=， 43m ∴=，13n =-，1(3E ∴-，2)3综上所述：11(3E -，2)3，27(3E ，10)3．4．如图，四边形OABC 为矩形，A 点在x 轴上，C 点在y 轴上，矩形一角经过翻折后，顶点B 落在OA边的点G 处，折痕为EF ，F 点的坐标是(4,1)，30FGA ∠=︒． （1）求B 点坐标． （2）求直线EF 解析式．（3）若点M 在y 轴上，直线EF 上是否存在点N ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求N 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）F点的坐标是(4,1)，1FA∴=，4OA=，30 FGA∠=︒，GA∴=，2FG=，由折叠的性质知2BF FG==，3AB∴=，四边形OABC为矩形，4CB OA∴==，B∴点坐标为(4,3)；（2）903060AFG∠=︒-︒=︒，由折叠的性质知1(18060)602EFB EFG∠=∠=︒-︒=︒，BE∴=4CE∴=-(4E∴-3)，设直线EF的解析式是y kx b=+，∴41(44k bk b+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得1kb⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴直线EF的解析式是1y=++（3）①如图1中，当四边形MNGF是平行四边形时，易知点N的横坐标为点N在直线EF上，(N ∴2．②如图2中，当四边形MNFG 是平行四边形时，易知点N 点N 在直线EF 上，N ∴．③如图3中，当四边形MFNG 是平行四边形时，易知点N 的横坐标为8(8N ∴2)．5．平面直角坐标系中，直线132y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线(0)y kx k =≠交于点(2,)C m ．（1）求k 的值；（2）求OBC ∆的面积；（3）点M 为直线132y x =-+上一动点，过M 作/MN x 轴交直线y kx =于点N ，作MP x ⊥轴于点P ，过N作NQ x ⊥轴于点Q ，当以M ，N ，Q ，P 为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M 的坐标．【答案】解：（1）(2,)C m 在直线132y x =-+上2m ∴=(2,2)C ∴将(2,2)C 代入(0)y kx k =≠中得：1k =（2）直线132y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，(6,0)A ∴，(0,3)B (2,2)COBC ∴∆的面积为：13232⨯⨯= （3）MP x ⊥轴，NQ x ⊥轴//MP NQ ∴，90MPQ ∠=︒/MN x 轴，即/MN PQ∴以M ，N ，Q ，P 为顶点的四边形是矩形当以M ，N ，Q ，P 为顶点的四边形是正方形时，即四边形MNQP 为正方形∴当满足MN NQ =时，必有以M ，N ，Q ，P 为顶点的四边形是正方形设(,)N a a ，则(62,)M a a -|63|MN a ∴=-，||NQ a =|63|||a a ∴-=3a ∴=或32(0,3)M ∴或3(3,)26．已知，如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线1:3l y x =+分别交x 轴、y 轴于点A 、B 两点，直线2:3l y x =-过原点且与直线1l 相交于C ，点P 为y 轴上一动点． （1）求点C 的坐标；（2）在平面坐标系中是否存在点M ，使以A 、O 、C 、M 为顶点的四边形为平行四边形．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当PA PC +的值最小时，求此时点P 的坐标，并求PA PC +的最小值．【答案】解：（1）直线1:3l y x =+①与直线2:3l y x =-②相交于C ， 联立①②解得，34x =-，94y =，3(4C ∴-，9)4；（2）直线3y x =+交x 轴于点A ，(3,0)A ∴-，由（1）知，3(4C -，9)4，以A 、O 、C 、M 为顶点的四边形为平行四边形， 设(,)M m n 如图1，∴①当AC 是对角线时，131(3)242m --=，191(0)242n +=，154m ∴=-，94n =， 15(4M ∴-，9)4， ②当OC 是对角线时，131(0)(3)242m -=-+，191(0)(0)242n +=+，94m ∴=，94n =，19(4M ，9)4， ③当OA 为对角线时，113(03)()224m -=-，119(00)()224m +=+，94m ∴=-，94n =-．29(4M -，9)4，（3）如图2，作点(3,0)A -关于y 轴的对称点(3,0)A '，连接CA '交y 轴于点P ，此时，PC PA +最小，最小值为CA '= 由（1）知，3(4C -，9)4，(3,0)A '，∴直线A C '的解析式为3955y x =-+， 9(0,)5P ∴．。

一次函数与平行四边形的结合题型已知平行四边形ABCD的两个对角线AC和BD交于点O，点E是AC的中点，点F是BD的中点，点M是AB上一点，点N是CD上一点。

若直线MN与直线EF平行，且MN交AC于点P，MN交BD于点Q，求证： OP=2OQ。

解法一：向量法设向量$\vec{OM}$和$\vec{ON}$分别为$\vec{a}$和$\vec{b}$，则有$\vec{P}=t\vec{a}+(1-t)\vec{c}$和$\vec{Q}=s\vec{b}+(1-s)\vec{d}$，其中$\vec{c}$和$\vec{d}$分别为AC和BD的方向向量。

由MN与EF平行可知$\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}+\vec{d}$，即$\vec{a}-\vec{c}=\vec{d}-\vec{b}$。

由$E=\dfrac{A+C}{2}$可得$\vec{e}=\dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{1}{2}\vec{c}$，同理$\vec{f}=\dfrac{1}{2}\vec{b}+\dfrac{1}{2}\vec{d}$。

因此，$\vec{p}-\vec{o}=\vec{e}$，$\vec{q}-\vec{o}=\vec{f}$。

又因为$\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}$，所以$\vec{c}=\vec{a}+\vec{d}-\vec{b}$，代入$\vec{e}$中可得$\vec{e}=\dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{1}{2}(\vec{d}-\vec{b})=\vec{a}+\dfrac{1}{2}(\vec{d}-\vec{b})$。

同理，$\vec{f}=\vec{b}+\dfrac{1}{2}(\vec{c}-\vec{a})=\vec{b}+\dfrac{1}{2}(\vec{d}-\vec{a})$。

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题10 一次函数与平行四边形 【例题讲解】如图，直线27y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点C 、B ，与直线32y x =相交于点A ． （1）求A 点坐标；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在一点M ，使得以O ，A ，M ，C 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试写出所有符合条件的点M 的坐标；如果不存在，请说明理由；【分析】分三种情况：①当AC 是对角线时，②当AO 是对角线时，③当CO 是对角线时，分别求解即可． 解：（1）解方程组：2732y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得：23x y =⎧⎨=⎩，A ∴点坐标是(2,3)； （2）存在；令y =0代入27y x =-+，得027x =-+，解得：x =72，∴C （72，0），设M （x ，y ）如图所示：①当AC 是对角线时，x =2+72-0=72，y =3，∴点M 坐标是（5.5，3）；②当AO 是对角线时，x =2+0-72=-1.5，y =3，∴点M 坐标是（-1.5，3）；③当CO 是对角线时，x =0+72-2=1.5，y =-3，∴点M 坐标是（1.5，-3），综上所述：点M 坐标是（5.5，3），（-1.5，3），（1.5，-3）．【综合演练】1．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC 中，A 点坐标为(2，3)，B 点坐标为(﹣2，0)，C 点坐标为(0，﹣1)． (1)求证：AC ⊥BC ；(2)若以A 、B 、C 及点D 为顶点的四边形组成平行四边形，画出符合条件的所有平行四边形，并写出D 点的坐标 ．2．如图，直线l 1：y =2x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ；直线l 2：y =kx +b 与x 轴交于点B （3，0），与直线l 1交于点D ，且点D 的纵坐标为4．(1)不等式kx +b ＞2x +2的解集是 ；(2)求直线l 2的解析式及△CDE 的面积；(3)点P 在坐标平面内，若以A 、B 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点P 的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中．一次函数y =-2x + 12的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点A 的直线交y 轴正半轴于点M ．且点M 为线段OB 的中点．(1)求直线AM 的解析式；(2)在直线AM 上有一点P ，且ABP AOM S S ∆∆=，求点P 的坐标；(3)在坐标平面内是否存在点C ，使以A 、B 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系中，直线1:1l y x =+与y 轴交于点A ，过()6,1B 的直线2l 与直线1l 交于点(),5C m -．(1)求直线2l 的解析式；(2)若点D 是第一象限位于直线2l 上的一动点，过点D 作DH y ∥轴交1l 于点H ．当10DH =时，试在x 轴上找一点E ，在直线1l 上找一点F ，使得DEF 的周长最小，求出周长的最小值；(3)如图2，直线2l 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，将直线2l 绕点O 逆时针旋转90︒得到直线3l ，点P 是直线3l 上一点，且横坐标为2-．在平面内是否存在一点Q ，使得以点M ，C ，P ，Q 为项点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知矩形ABCD ，6AB =，10BC =，以BC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在CD 边上取一点E ，将ADE 沿AE 翻折，点D 恰好落在BC 边上的点F 处．(1)求线段EF 长；(2)如图1，点B 与点O 重合时，在平面内找一点G ，使得以A 、O 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点G 的坐标；(3)如图2，将图1翻折后的矩形沿y 轴正半轴向上平移(0)m m >个单位，在平面内找一点G ，若以A 、O 、F、G为顶点的四边形为菱形，请求出m的值并写出点G的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（16，0）、C（0，12），将矩形OABC 的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D．(1)线段OB的长度为______；(2)求直线BD所对应的函数表达式；(3)若点Q在线段BD上，在线段BC上是否存在点P，使以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝52x+b交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0，5），点C在x轴正半轴上，OC＝4．(1)求直线BC的解析式；(2)若P为线段BC上一点，且△ABP的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标；(3)在（2）的条件下，E为直线AP上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图1，平面直角坐标系中，一次函数132y x=+的图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y x b=-+的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点．(1)直线BC 的表达式为___________，并直接写出点C 的坐标___________； (2)若点P 在x 轴上方，且ACP △的面积为18，求P 点坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线，交直线BC 于点Q ．M 是x 轴上一点，在直线AB 上是否存在点N ，使以P 、Q 、M ，N 为顶点的四边形是以．PQ 为边．．的平行四边形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：112y x =+与x 轴交于点B ，直线2l 与直线1l 、x 轴分别交于点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭、点()4,0C ．(1)求直线2l 的解析式；(2)若点D 和点E 分别是直线2l 和y 轴上的动点，是否存在点D 、E ，使得以点A 、B 、D 、E 为顶点、AB 为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中直线l 1：32y x m =+与直线l 2交于点A （﹣2，3），直线l 2与x 轴交于点C （4，0），与y 轴交于点B ，过BD 中点E 作直线l 3⊥y 轴．(1)求直线l 2的解析式和m 的值；(2)点P 在直线l 1上，当S △PBC ＝6时，求点P 坐标；(3)点P 是直线l 1上一动点，点Q 是直线l 3上一动点，当以P 、Q 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，求Q 点坐标．11．如图1，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 的坐标为()4,0，直线134=-+y x 经过顶点B ，与y 轴交于顶点C ，AB OC ∥．(1)求顶点B 的坐标．(2)如图2，直线l 经过点C ，与直线AB 交于点M ，点O '与点O 关于直线l 对称，连接'CO 并延长交直线AB 于第一象限的点D ，当5CD =时，求直线l 的解析式；(3)在（2）条件下，点P 在直线l 上运动，点Q 在直线OD 上运动，当四边形PBCQ 是平行四边形时，求点P 的坐标．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 经过点()0,1A 、()2,2B ．将直线1l 向下平移m 个单位得到直线2l ，已知直线2l 经过点()1,2--，且与x 轴交于点C ．(1)求直线2l 的表达式及m 的值；(2)若点Q 是x 轴上一点，连接BQ ，当CBQ △面积等于4时，求点Q 的坐标； (3)点D 为直线2l 上一点，如果A 、B 、C 、D 四点能构成平行四边形，求点D 的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，过点(4,0)A -和(0,2)B 的直线与直线32y x =+相交于点C ，直线32y x =+与x轴相交于点D，点E在线段AB上，连接DE，CDE的面积为158．(1)求直线AB的解析式；(2)求点E的坐标；(3)点M是直线CD上的动点，点N在y轴上，是否存在点M、N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析【例题讲解】如图，直线27y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点C 、B ，与直线32y x =相交于点A ．（1）求A 点坐标； （2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在一点M ，使得以O ，A ，M ，C 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试写出所有符合条件的点M 的坐标；如果不存在，请说明理由；【分析】分三种情况：①当AC 是对角线时，②当AO 是对角线时，③当CO 是对角线时，分别求解即可． 解：（1）解方程组：2732y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得：23x y =⎧⎨=⎩，A ∴点坐标是(2,3)； （2）存在；令y =0代入27y x =-+，得027x =-+，解得：x =72，∴C （72，0），设M （x ，y ）如图所示：①当AC 是对角线时，x =2+72-0=72，y =3，∴点M 坐标是（5.5，3）；②当AO 是对角线时，x =2+0-72=-1.5，y =3，∴点M 坐标是（-1.5，3）；③当CO 是对角线时，x =0+72-2=1.5，y =-3，∴点M 坐标是（1.5，-3），综上所述：点M 坐标是（5.5，3），（-1.5，3），（1.5，-3）．【综合演练】1．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC 中，A 点坐标为(2，3)，B 点坐标为(﹣2，0)，C 点坐标为(0，﹣1)． (1)求证：AC ⊥BC ；(2)若以A 、B 、C 及点D 为顶点的四边形组成平行四边形，画出符合条件的所有平行四边形，并写出D 点的坐标 ．【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析，点D 坐标为(0，4)或(4，2)或(-4，-4)． 【分析】（1）根据勾股定理求出BC AB AC 、、，再根据勾股定理逆定理即可求证；（2）过A C 、、B 分别作BC AB AC 、、的平行线，分别相交于123D D D 、、，再根据平行四边形的性质即可求得D 点的坐标．【解答】解：（1）由勾股定理可得：22215BC =+=、22(22)35AB =++=、222425AC =+=， 又∵222(5)(25)5+=，即222AC BC AB +=， ∴ABC 为直角三角形，90ACB ∠=︒， ∴AC ⊥BC ；（2）过A C 、、B 分别作BC AB AC 、、的平行线，分别相交于123D D D 、、，如下图：①以AC BC 、为邻边时， 则//AC BD 、AC BD =又∵A 点坐标为(2，3)，C 点坐标为(0，﹣1)， C 点向右平移了2个单位，向上平移了4个单位，∴点D 可以由点B 右平移了2个单位，向上平移了4个单位得到， 又∵B 点坐标为(﹣2，0) 得到点D 坐标为(0，4)； ②以AB BC 、为邻边时， 则//AB CD 、AB CD =又∵A 点坐标为(2，3)，B 点坐标为(﹣2，0) B 点向右平移了4个单位，向上平移了3个单位∴点D 可以由点C 右平移了4个单位，向上平移了3个单位 又∵C 点坐标为(0，﹣1) 得到点D 坐标为 (4，2)； ③以AB AC 、为邻边时， 则//AB CD 、AB CD =又∵A 点坐标为(2，3)，B 点坐标为(﹣2，0) A 点向左平移了4个单位，向下平移了3个单位∴点D 可以由点C 左平移了4个单位，向下平移了3个单位 又∵C 点坐标为(0，﹣1)得到点D坐标为(-4，-4)．综上所述，点D坐标为(0，4)或(4，2)或(-4，-4)．【点评】此题主要考查了勾股定理以及逆定理的应用、平行四边形的性质，熟练掌握相关基本性质，利用平行四边形的性质求解点的坐标是解题的关键．2．如图，直线l1：y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C；直线l2：y=kx+b与x轴交于点B（3，0），与直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4．(1)不等式kx+b＞2x+2的解集是；(2)求直线l2的解析式及△CDE的面积；(3)点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点P的坐标．【答案】(1)x＜1(2)2(3)P（-3，4）或（5，4）或（1，-4）【分析】（1）直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4，则4=2x+2，解得：x=1，故点D（1，4），即可求解；（2）将点B、D的坐标代入y=kx+b，再求出点E，点C的坐标，再由三角形面积公式即可求解；（3）分AB是平行四边形的一条边、AB是平行四边形的对角线两种情况，分别求解．（1）对于直线l1：y=2x+2，交于点D，且点D的纵坐标为4，则4=2x+2，解得：x=1，故点D（1，4），从图象看，当x＜1时，kx+b＞2x+2，故答案为：x＜1；（2）将点B （3，0）、D （1，4）代入y =kx +b 得：034k b k b +⎧⎨+⎩＝＝， 解得：26k b -⎧⎨⎩＝＝， 故直线l 2：y =-2x +6，当x =0时，y =6,(0,6)E对于直线l 1：y =2x +2，当x =0时，y =2，∴(0,2)C∴624EC =-=∴1141222CDE D S CE x ∆=⨯⨯=⨯⨯= （3）分别过点A 、B 作l 2、l 1的平行线交于点P ″，交过点D 作x 轴的平行线于点P 、P ′，对于直线l 1：y =2x +2，当y =0时，x =-1，∴(1,0)A -∵B (3,0)3(1)4AB =--=①当AB 是平行四边形的一条边时，此时符合条件的点为下图中点P 和P ′，则AB =4=P A =P ′D ，故点P 的坐标为（-3，4）或（5，4）；②当AB 是平行四边形的对角线时，此时符合条件的点为图中点P ″，DA 平行且等于BP “，由平移可知，点P ″（1，-4）；综上，点P （-3，4）或（5，4）或（1，-4）．【点评】本题为一次函数综合运用题，涉及到平行四边形的基本性质、求解不等式等知识点，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．3．如图，在平面直角坐标系中．一次函数y =-2x + 12的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点A 的直线交y 轴正半轴于点M ．且点M 为线段OB 的中点．(1)求直线AM 的解析式；(2)在直线AM 上有一点P ，且ABP AOM S S ∆∆=，求点P 的坐标；(3)在坐标平面内是否存在点C ，使以A 、B 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6y x =-+(2)点P 的坐标为(0，6)或(12，-6)(3)存在，点C 的坐标为(6，-6)或(6，6)或(-6，18)【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标，由点M 为线段OB 的中点可得出点M 的坐标，根据点A ，M 的坐标，利用待定系数法即可求出直线AM 的函数解析式；（2）分两种情况：①由点M 为线段OB 的中点．可得ABM AOM S S =△△，即可得出点P 于点M 重合，②根据ABP PBM ABM PBM AOM S S S S S =-=-，即可得答案；（3）存在点C ，使以A 、B 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：①以AM ，BC 为对角线；②以AB ，CM 为对角线；③以AC ，BM 为对角线，根据平移的性质求解即可．（1）解：当x =0时，y =-2x +12=12，∴点B 的坐标为（0，12），当y =0时，-2x +12=0，解得：x =6，∴点A 的坐标为（6，0）．∵点M 为线段OB 的中点，∴点M 的坐标为（0，6）．设直线AM 的函数解析式为y =kx +b （k ≠0），将A （6，0），M （0，6）代入y =kx +b ，得606k b b +=⎧⎨=⎩，解得：16k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线AM 的函数解析式为y =-x +6；（2）解：①∵点M 为线段OB 的中点．∴ABM AOM S S =△△，∴点P 于点M 重合，∴点P 的坐标为（0，6）；②如图，∵点A 的坐标为（6，0）．点M 的坐标为（0，6）．∴12AOM S =△×6×6=18， ∵ABP AOM S S =△△，∴18ABP PBM ABM PBM AOM S S S S S =-=-=，设点P 的坐标为：（x ， -x +6），∴12×6x -18=18，解得x =12， ∴点P 的坐标为（12，-6）；∴点P 的坐标为（0，6）或（12，-6）；（3）解：分三种情况考虑（如图所示）：存在点C ，使以A 、B 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∵A （6，0），B （0，12），M （0，6），①以AM ，BC 为对角线，根据平移的性质，得点C （6，-6），②以AB ，CM 为对角线，根据平移的性质，得点C （6，6），③以AC ，BM 为对角线，根据平移的性质，得点C （-6，18），综上，点C 的坐标为（6，-6）或（6，6）或（-6，18）．【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．4．如图1，在平面直角坐标系中，直线1:1l y x =+与y 轴交于点A ，过()6,1B 的直线2l 与直线1l 交于点(),5C m -．(1)求直线2l 的解析式；(2)若点D 是第一象限位于直线2l 上的一动点，过点D 作DH y ∥轴交1l 于点H ．当10DH =时，试在x 轴上找一点E ，在直线1l 上找一点F ，使得DEF 的周长最小，求出周长的最小值；(3)如图2，直线2l 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，将直线2l 绕点O 逆时针旋转90︒得到直线3l ，点P 是直线3l 上一点，且横坐标为2-．在平面内是否存在一点Q ，使得以点M ，C ，P ，Q 为项点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． D ，关于1l D 的坐标和点，进而求得DEF 的最小值为（3）求出点旋转后的对应点的坐标，从而求出情况，结合根据平行四边形的性质，求得点)5-代入y =设点D 的坐标为1,22x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵DH y ∥轴，∴点(),1H x x +，∵10DH =，∴()112102x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，解得：14x =， ∴()14,5D ，()14,15H ，作点D 关于x 轴的对称点()14,5D '-，关于1l 的对称点D ''，连接D D '''，D H ''交x 轴于E ，交1l 于F ，则()4,15D ''，,10AHD D HF D H DH ''''∠=∠==，DEF 的周长最小，最小值为∶ '"D D ，∵直线1:1l y x =+由直线y x =沿y 轴向上平移1个单位得到的，且直线y x =为第一三象限的角平分线， ∴直线1:1l y x =+与坐标的夹角都为45︒，∴45AHD D HF ''∠=∠=︒，∴90D HD ''∠=︒，∵DH y ∥轴，∴点D ''的横坐标为14104-=，∴点D ''的坐标为()4,15，∴()()22144155105D D '''=-++=，∴DEF 的周长最小值为∶105；（3）如图，∵点()()4,0,0,2M N -，∴点M 和点N 旋转后的对应点()()0,4,2,0M N ''，∴直线3l 的解析式为∶24y x =-+，当2x =-时，()2248y =-⨯-+=，∴()2,8P -，当PCMQ 时，∵()()24610,80513⎡⎤⎡⎤-+--=+--=⎣⎦⎣⎦，∴()10,13Q ，当CMPQ 时，∵()21012,853--=--=，∴()12,3Q -，当PCQM 时，∵()46202---=，5021822-+-=-， ∴210,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 综上所述∶点()10,13Q 或()12,3Q -或210,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的分类，勾股定理等知识，解决问题的关键是作对称，确定点E ，F 的位置．5．已知矩形ABCD ，6AB =，10BC =，以BC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在CD 边上取一点E ，将ADE 沿AE 翻折，点D 恰好落在BC 边上的点F 处．(1)求线段EF 长；(2)如图1，点B 与点O 重合时，在平面内找一点G ，使得以A 、O 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点G 的坐标；(3)如图2，将图1翻折后的矩形沿y 轴正半轴向上平移(0)m m >个单位，在平面内找一点G ，若以A 、O 、F 、G 为顶点的四边形为菱形，请求出m 的值并写出点G 的坐标． 【答案】(1)103EF = (2)点G 的坐标为()8,6-或()8,6或()8,6-(3)4m =，点G 的坐标为：()8,6-或73m =，点G 的坐标为328,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或6m =，点G 的坐标为()8,6-【分析】（1）由矩形的性质得AD =BC =OC =10，CD =AB =OA =6，∠AOC =∠ECF =90°，由折叠性质得EF =DE ，AF =AD =10，则CE =6-EF ，由勾股定理求出BF =OF =8，则FC =OC -OF =2在Rt △ECF 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）分三种情况，当AB 为平行四边形的对角线时；当AF 为平行四边形的对角线时；当BF 为平行四边形的对角线时，分别去点G 的坐标即可；（3）分三种情况讨论，由菱形的性质得OA =AF =10，则矩形ABCD 平移距离m =OA -AB =4，即OB =4，设FG 交x 轴于H ，证出四边形OBFH 是矩形，得FH =OB =4，OH =BF =8，则HG =6，即可得出答案．（1）四边形ABCD 是矩形， 10AD BC OC ∴===，6CD AB OA ===，90AOC ECF ∠=∠=︒，由折叠性质得：EF DE =，10AF AD ==，6CE CD DE CD EF EF ∴=-=-=-，由勾股定理得：22100368BF OF AF OA ==-=-=，1082FC OC OF ∴=-=-=，在Rt ECF △中，由勾股定理得：222EF CE FC =+， 即：222(6)2EF EF =-+，解得：103EF =； （2）如图1所示：当AB 为平行四边形的对角线时，8AG BF ==，AG BF ∥， ∴点G 的坐标为：()8,6-；当AF 为平行四边形的对角线时，8AG BF ==，AG BF ∥， ∴点G 的坐标为：()8,6；当BF 为平行四边形的对角线时，6FG AB ==，FG AB ∥， ∴点G 的坐标为：()8,6-；综上所述，点G 的坐标为()8,6-或()8,6或()8,6-；（3）如图2，OA FG∥∴∠=FBO∴四边形∴=FH OB10∴=HG6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（16，0）、C（0，12），将矩形OABC 的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D．(1)线段OB 的长度为______；(2)求直线BD 所对应的函数表达式；(3)若点Q 在线段BD 上，在线段BC 上是否存在点P ，使以D ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)20(2)直线BD 所对应的函数表达式为220y x =-(3)存在，满足条件的点P 的坐标是（10，12）【分析】（1）由矩形的性质可得出点B 的坐标及OA ，AB 的长，利用勾股定理可求出OB 的长；（2）设AD a =，则DE a =，8OD a =-，1064OE OB BE =-=-=，利用勾股定理可求出a 值，进而可得出点D 的坐标，再根据点B ，D 的坐标，利用待定系数法可求出直线BD 所对应的函数表达式； （3）过点E 作EF x ⊥轴于点F ，由90BED BAD ∠=∠=︒，可得出18090OED BED ∠=︒-∠=︒，利用面积法可求出EF 的长，在Rt ΔOEF 中，利用勾股定理可求出OF 的长，进而可得出点E 的坐标，根据PE BD ∥，求出直线PE 的解析式，根据点E 的纵坐标求出其横坐标即可．（1）解：由题意，得：点B 的坐标为(16,12)，16OA =，12AB OC ==，2222161220OB OA AB ∴=+=+=，故答案为：20；（2）解：设AD a =，则DE a =，16OD a =-，20128OE OB BE =-=-=，222OD OE DE =+，即222(16)8a a -=+，6a ∴=，10OD ∴=，∴点D 的坐标为(10,0)．设直线BD 所对应的函数表达式为(0)y kx b k =+≠，将(16,12)B ，(10,0)D 代入y kx b =+，得：1612100k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：220k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BD 所对应的函数表达式为220y x =-；（3）解：存在，理由：过点E 作EF x ⊥轴于点F ，如图所示．90BED BAD ∠=∠=︒，18090OED BED ∴∠=︒-∠=︒1122ODE S OD EF OE DE ∆∴=⋅=⋅， 8624105OE DE EF OD ⋅⨯∴===， 在Rt ΔOEF 中，222224328()55OF OE EF =-=-=， ∴点E 的坐标为32(5，24)5， 由PE BD ∥，设直线PE 的解析式为：2y x b =+，把32(5E ，24)5代入得：2432255b =⨯+，解得：8b =-， ∴直线PE 的解析式为：28y x =-，令12y =，则1228x =-，解得：10x =，∴存在，点P 的坐标为(10,12)．【点评】本题属于一次函数综合题，考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝52x +b 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B （0，5），点C 在x 轴正半轴上，OC ＝4．(1)求直线BC的解析式；(2)若P为线段BC上一点，且△ABP的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标；(3)在（2）的条件下，E为直线AP上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝﹣54x+5(2)P（43，103）(3)D的坐标为（1，0）或（﹣11，0）或（7，0）【分析】（1）由点C在x轴正半轴上，OC＝4，得C（4，0），用待定系数法即得直线BC的解析式；（2）过P作PH⊥AC于H，设P（n，﹣54n+5），PH＝﹣54n+5，将B（0，5）代入y＝52x+b可得y＝52x+5，A（﹣2，0），根据△ABP的面积等于△AOB的面积，列方程计算即可；（3）由A（﹣2，0），P 410 33（，）代入得直线AP解析式为y＝x+2，设E（p，p+2），D（q，0），又B（0，5），C（4，0），分3种情况：①若ED，BC为对角线，则ED，BC的中点重合，可得425p qp+=⎧⎨+=⎩，即可解得D（1，0）；②若EB，DC为对角线，4250p qp=+⎧⎨++=⎩，D（﹣11，0）；③若EC，DB为对角线，425p qp+=⎧⎨+=⎩，D（7，0）．（1）∵点C在x轴正半轴上，OC＝4，∴C（4，0），由B（0，5）设直线BC解析式为y＝mx+5，将C（4，0）代入得：0＝4m+5，解得m＝﹣54，∴直线BC 的解析式为y ＝﹣54x +5； （2）过P 作PH ⊥AC 于H ，如图：设P （n ，﹣54n +5），则PH ＝﹣54n +5， 将B （0，5）代入y ＝52x +b 得： b ＝5，∴y ＝52x +5， 在y ＝52x +5中，令y ＝0得x ＝﹣2， ∴A （﹣2，0），∴AC ＝6，∴S △ABC ＝12AC •OB ＝12×6×5＝15，S △APC ＝12AC •PH ＝12×6×（﹣54n +5）＝﹣154n +15， ∵△ABP 的面积等于△AOB 的面积，∴15﹣（﹣154n +15）＝12×2×5， 解得n ＝43， ∴P 41033（，）；（3）存在点D ，使以点D ，E ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：设直线AP 解析式为y ＝kx +t ，将A （﹣2，0），P 41033（，）代入得： 2041033k t k t -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得12k t =⎧⎨=⎩，∴直线AP 解析式为y ＝x +2， 设E （p ，p +2），D （q ，0），又B （0，5），C （4，0），①若ED ，BC 为对角线，则ED ，BC 的中点重合，如图：∴425p q p +=⎧⎨+=⎩， 解得31p q =⎧⎨=⎩， ∴D （1，0）；②若EB ，DC 为对角线，同理可得：4250p q p =+⎧⎨++=⎩， 解得711p q =-⎧⎨=-⎩， ∴D （﹣11，0）；③若EC ，DB 为对角线，∴425p q p +=⎧⎨+=⎩， 解得37p q =⎧⎨=⎩， ∴D （7，0），综上所述，D 的坐标为（1，0）或（﹣11，0）或（7，0）．【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分列方程解决问题．8．如图1，平面直角坐标系中，一次函数132y x =+的图象分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，一次函数y x b =-+的图象经过点B ，并与x 轴交于点C ，点P 是直线AB 上的一个动点．(1)直线BC 的表达式为___________，并直接写出点C 的坐标___________；(2)若点P 在x 轴上方，且ACP △的面积为18，求P 点坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线，交直线BC 于点Q ．M 是x 轴上一点，在直线AB 上是否存在点N ，使以P 、Q 、M ，N 为顶点的四边形是以．PQ 为边．．的平行四边形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)3y x =-+，（3，0）；(2)P （2，4）；(3)存在，点N 的坐标为（0，3）或（－12，－3）．【分析】（1）求出x ＝0时，1332y x =+=可得点B 坐标，然后利用待定系数法求出直线BC 的表达式，令y ＝0，求出x 的值，即可得到点C 的坐标； （2）求出点A 坐标可得AC ＝9，设P （x ，132x +），根据ACP △的面积为18构建方程求出x 的值即可； （3）求出点Q 坐标，可得PQ ＝3，根据平行四边形的性质可得PQ MN ∥且PQ ＝MN ＝3，进而可得点N 的纵坐标为3或－3，然后代入直线BC 的解析式即可求出点N 的坐标．（1）解：在一次函数132y x =+中，当x ＝0时，y ＝3， ∴B （0，3），∵一次函数y x b =-+的图象经过点B ，并与x 轴交于点C ，∴3b =，∴直线BC 的表达式为3y x =-+，当y ＝0时，即03x =-+，解得：x ＝3，∴C （3，0），故答案为：3y x =-+，（3，0）；（2）9．如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：112y x =+与x 轴交于点B ，直线2l 与直线1l 、x 轴分别交于点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭、点()4,0C ．(1)求直线2l 的解析式；(2)若点D 和点E 分别是直线2l 和y 轴上的动点，是否存在点D 、E ，使得以点A 、B 、D 、E 为顶点、AB 为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)122y x =-+ (2)存在，D 点坐标为73,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由待定系数法求直线的解析式即可；（2）设1,22D t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,E m ，再分两种情况讨论：当AD 为平行四边形对角线时；当AE 为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可．（1）解：设直线2l 的解析式为y kx b =+，直线2l 与直线1l 、x 轴分别交于点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭、点()4,0C ， 3240k b k b ⎧+=⎪∴⎨⎪+=⎩，解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，直线2l 的解析式为122y x =-+； （2）解：存在，直线1l ：112y x =+与x 轴交于点B ， ()2,0B ∴-，设1,22D t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,E m ， 当AD 为平行四边形对角线时，31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,0B -， 2012213202222t t m -++⎧=⎪⎪∴⎨-++⎪+=⎪⎩，解得35t m =-⎧⎨=⎩， 73,2D ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭； ③当AE 为平行四边形的对角线时，31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,0B -， 0122231202222t m t +-+⎧=⎪⎪∴⎨+-++⎪=⎪⎩，解得31t m =⎧⎨=-⎩， 13,2D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭； 综上所述：存在，73,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ ． 【点评】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中直线l 1：32y x m =+与直线l 2交于点A （﹣2，3），直线l 2与x 轴交于点C （4，0），与y 轴交于点B ，过BD 中点E 作直线l 3⊥y 轴．(1)求直线l2的解析式和m的值；(2)点P在直线l1上，当S△PBC＝6时，求点P坐标；(3)点P是直线l1上一动点，点Q是直线l3上一动点，当以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，求Q点坐标．【答案】(1)y=12-x+2；m=6；(2)P点坐标为（12-，214）或（72-，34）；(3)Q点坐标为（283，4）或（203-，4）或（4，4）【分析】（1）由待定系数法求直线的解析式即可；（2）分点P在线段F A上和在线段DA上时，两种情况讨论，利用分割法和三角形面积公式列方程，再分别求P点坐标即可；（3）设P（t，32t+6），Q（m，4），再分三种情况讨论：①当PQ为平行四边形的对角线时；②当PB为平行四边形对角线时；③当PC为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可．（1）解：∵A（-2，3）在y=32x+m上，∴-3+m=3，∴m=6，∴y=32x+6，设直线l2的解析式为y=kx+b，∴4023k bk b+=⎧⎨-+=⎩，解得122kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线l2的解析式为y=12-x+2；（2）解：由（1）可得B（0，2），D（0，6），F（-4，0），∵C（4，0），∴S△DBC=12×4×4=8>6，S△FBC=12×8×2=8>6，∴点P一定在线段FD上，当点P在线段F A上时，连接PO，设点P的坐标为（a，32a+6），S△PBC=S△POB+S△COB-S△POC=12×2a+12×2×4-12×4×362a+=6，整理得362a+=-12a-1，即362a+=-12a-1或362a+=12a+1，解得：a=-72或a=-5(舍去)，∴点P的坐标为（-72，34）；当点P 在线段DA 上时，连接PO ，设点P 的坐标为（a ，32a +6），S △PBC = S △POC -S △POB -S △COB =12×4×362a +-12×2a -12×2×4=6，整理得362a +=5-12a ， 即362a +=5-12a 或362a +=12a -5， 解得：a =-12或a =-11(舍去)，∴点P 的坐标为（-12，214）；综上所述：P 点坐标为（-12，214）或（-72，34）；（3）解：由（1）可得B （0，2），D （0，6）， ∴E （0，4），∴直线l 3的解析式为y =4， 设P （t ，32t +6），Q （m ，4），①当PQ 为平行四边形的对角线时， 436422t m t +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得163283t m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴Q （283，4）； ②当PB 为平行四边形对角线时， 436242t m t =+⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得83203t m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴Q （-203，4）； ③当PC 为平行四边形的对角线时，43662t mt +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得04t m =⎧⎨=⎩， ∴Q （4，4）；综上所述：Q 点坐标为（283，4）或（-203，4）或（4，4）． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质、平行四边形的性质、坐标与图形，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．11．如图1，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 的坐标为()4,0，直线134=-+y x 经过顶点B ，与y 轴交于顶点C ，AB OC ∥．(1)求顶点B 的坐标．(2)如图2，直线l 经过点C ，与直线AB 交于点M ，点O '与点O 关于直线l 对称，连接'CO 并延长交直线AB 于第一象限的点D ，当5CD =时，求直线l 的解析式；(3)在（2）条件下，点P 在直线l 上运动，点Q 在直线OD 上运动，当四边形PBCQ 是平行四边形时，求点P 的坐标． 【答案】(1)()4,2B (2)132y x =-+(3)15,2⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）根据AB OC ∥，可得点B 的横坐标为4，再代入134=-+y x ，即可求解；（2）过C 点作CN AB ⊥于N ，可得到DCM DMC ∠=∠，从而得到5CD MD ==，再求出3OC =，DN =3，从而得到532NM =-=，继而得到AM =1，可得到点()4,1M ，即可求解； （3）连接OD ，先求出D 点坐标为()4,6，可得直线OD 解析式为32y x =，设P 点坐标为1,32a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Q点坐标为3,2b b ⎛⎫⎪⎝⎭，然后根据平行四边形对角线互相平分，即可求解．（1）解：∵()4,0A ，AB OC ∥， ∴点B 的横坐标为4，把4x =代入134=-+y x 中，得2y =，∴()4,2B ． （2）解：如图，过C 点作CN AB ⊥于N ，∵AB OC ∥， ∴OCM DMC ∠=∠，∵点O '为点O 关于直线l 的对称点， ∴DCM OCM ∠=∠， ∴DCM DMC ∠=∠， ∴5CD MD ==， ∵134=-+y x ，当0x =时，3y =， ∴点C （0，3）， ∴3OC =， ∵4CN OA ==，∴2222543DN CD CN =-=-=， ∴532NM =-=，∴321AM AN NM =-=-=， ∴()4,1M ，设直线l 解析式y kx b =+把()0,3C ，()4,1M 代入得： 341b k b =⎧⎨+=⎩，解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线l 的解析式为：132y x =-+．（3）解：如图，连接OD ，∵156AD AM MD =+=+=，AD OC ∥，A 点坐标为()4,0， ∴D 点坐标为()4,6，设OD 直线解析式为y kx =，将()4,6代入可得46k =，解得32k ， ∴直线OD 解析式为32y x =， ∵点P 在直线l 上运动，点Q 在直线OD 上运动，∴设P 点坐标为1,32a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Q 点坐标为3,2b b ⎛⎫⎪⎝⎭，∵四边形PBCQ 是平行四边形， ∴平行四边形对角线互相平分， 4022312332222b a b a ++⎧=⎪⎪⎨+-++⎪=⎪⎩，解得51a b =⎧⎨=⎩， 当5a =时，111353222a -+=-⨯+=，∴P 点坐标为15,2⎛⎫⎪⎝⎭．【点评】本题主要考查了一次函数与四边形的综合题，熟练掌握一次函数的图象和性质，平行四边形的性质是解题的关键．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 经过点()0,1A 、()2,2B ．将直线1l 向下平移m 个单位得到直线2l ，已知直线2l 经过点()1,2--，且与x 轴交于点C ．(1)求直线2l 的表达式及m 的值；(2)若点Q 是x 轴上一点，连接BQ ，当CBQ △面积等于4时，求点Q 的坐标； (3)点D 为直线2l 上一点，如果A 、B 、C 、D 四点能构成平行四边形，求点D 的坐标． 【答案】(1)52m =， 直线2l 为1322y x =- (2)()1,0Q -或()7,0.Q(3)点D 的坐标为（5，1）或（1，-1）．【分析】（1）根据待定系数法先求解1l 的解析式，再写出2l 的解析式为112y x m =+-，再利用待定系数法即可得到答案；（2）由2l 的解析式，令y =0，即可求得C 的坐标，设(),0,Q x 由4,CBQS = 可得1324,2x -⨯= 再解方程可得答案；（3）分两种情况，根据平行四边形的性质以及平移的规律即可求得D 的坐标． （1）解：设直线1l 的表达式为y =kx +b ， ∵直线1l 经过点A （0，1）、B （2，2），∴122b k b =⎧⎨+=⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线1l 的表达式为112y x =+； 将直线1l 向下平移m 个单位得到直线2l ，则直线2l 为112y x m =+-，∵直线2l 经过点（-1，-2），∴()12112m -=⨯-+-，解得52m =，∴直线2l 为1322y x =-， （2）令y =0，则130,22x -= 解得x =3，∴点C 的坐标为（3，0）；设(),0,Q x ∵4,CBQS =∴1324,2x -⨯= 解得：=1x -或7,x = ∴()1,0Q -或()7,0.Q （3）由题意可知AB CD ∥，如图，当A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形1ABD C 时，1AB CD =，。

1平行四边形存在性Ø知识点睛1.存在性问题处理框架：①研究背景图形．②根据不变特征，确定分类标准．③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解．④结果验证．2.平行四边形存在性问题特征举例：①三定一动，连接定点出现三条定线段．定线段分别作为平行四边形的________，利用________确定点的坐标．②两定两动，连接定点出现一条定线段．若定线段作为平行四边形的________，则通过________确定点的坐标；若定线段作为平行四边形的________，则定线段绕________旋转，利用________________确定点的坐标．Ø精讲精练1.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(4，0)，点C 在y 轴正半轴上，且OB =2OC ．若M 是坐标平面内一点，且以点M ，A ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形，则点M 的坐标为_____________________．2.如图，在平面直角坐标系中，已知A (3，0)，B (0，1)，C (2，2)，若D 是坐标平面内一点，且以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，则点D 的坐标为______________．CB A yOxxC BAy O3. 如图，在平面直角坐标系中，直线323y x =+与坐标轴分别交于点A ，B ，点C 在y 轴正半轴上，且12OA AC =，直线CD ⊥AB 于点P ，交x 轴于点D ．在坐标平面内是否存在点M ，使得以点B ，P ，D ，M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．的坐标；若不存在，请说明理由．xy ABCD OPxy ABCD OP4. 如图，在平面直角坐标系中，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点C 的坐标为(0，2-)．若点D 在直线AB 上运动，点E 在直线AC 上运动，当以点O ，A ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形时，求点D 的坐标．的坐标．y xCB AO5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是直角梯形，是直角梯形，BC ∥OA ，∠OCB =90°，AB =5，BC =1，直线112y x =-+经过点A ，且与y轴交于点D ．若M 是直线AD 上的一个动点，则在x 轴上是否存在点N ，使得以点O ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．标；若不存在，请说明理由．y xCB AO y x DC BA O y xD C BAO6. 如图，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，四边形四边形OABC 是矩形，顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，顶点B 的坐标为(3，4)，点E 在OC 边上，点F 的坐标为(2，4)．将矩形OABC 沿直线EF 折叠，点C 落在AB 边上的点G 处，若点N 在x 轴上，则直线EF 上是否存在点M ，使得以点F ，G ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．的坐标；若不存在，请说明理由．GF OAB C E xy GFOAB CE xy【参考答案】Ø 知识点睛 1. ①对角线①对角线 平移②边②边 平移平移 对角线对角线 其中点其中点 中点坐标公式 Ø 精讲精练1. (3,2)，(-3,2)，(5，-2) 2. (5,1)，(-1,3)，(1，-1) 3. 存在存在 (53，3)，(33-，3)，(3-，-3) 4. (125，65)，(285，-65) 5. 存在存在 (-3，0)，(7,0)，(3,0) 6. 存在存在 (4333-，3)，(4313-，3-)，(4313+，83-) 。

例题精讲考点一：一次函数中等腰三角形存在性问题【例1】．如果一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，M点在x轴上，并且使得以点A、B、M为定点的三角形是等腰三角形，则M点的坐标为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（﹣，0）．解：一次函数y＝﹣x+6中令x＝0，解得y＝6；令y＝0，解得x＝8，∴A（8，0），B（0，6），即OA＝8，OB＝6，在直角三角形AOB中，根据勾股定理得：AB＝10，分四种情况考虑，当BM＝BA时，由BO⊥AM，根据三线合一得到O为MA的中点，此时M1（﹣8，0）；当AB＝AM时，由AB＝10，得到OM＝﹣2或18，此时M2（﹣2，0），M3（18，0）；当MA＝MB时，∵A（8，0），B（0，6），∴AB的中点的坐标为（4，3），设直线AB的垂直平分线的解析式为y＝x+b，代入（4，3）得3＝+b，解得b＝﹣，∴直线AB的垂直平分线的解析式为y＝x﹣，令y＝0，解得x＝，此时M4（，0）．综上，这样的M点有4个，分别为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（，0）．故答案为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（，0）．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为（2，0）或（，0）或（，0）．解：∵在y＝﹣x+3中，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则﹣x+3＝0，解得x＝3，∴N（3，0），M（0，3），∴OM＝ON＝3，∵AN＝2AM，∴A（1，2），∴OA＝＝，当AO＝OB时，则OB＝，∴点B的坐标为（﹣，0）或（，0）；②当AO＝AB时，设点B的坐标为（m，0），则＝，整理得，（1﹣m）2＝1，解得m＝2或m＝0（舍去），∴点B的坐标为（2，0）．综上所述：点B的坐标为（2，0）或（，0）或（，0）．【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．（1）求点C的坐标．（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△OPC是等腰三角形时P的坐标．解：（1）联立两直线解析式成方程组，得，解得：，∴点C的坐标为（4，4）；（2）设点P（m，0），而点C（4，4），点O（0，0）；PC2＝（m﹣4）2+16，PO2＝m2，OC2＝42+42＝32；当PC＝PO时，（m﹣4）2+16＝m2，解得：m＝4；当PC＝OC时，同理可得：m＝0（舍去）或8；当PO＝OC时，同理可得：m＝±4；故点P的坐标为（4，0）或（8，0）或（4，0）或（﹣4，0）．考点二：一次函数中直角三角形存在性问题【例2】．已知点A、B的坐标分别为（2，2）、（5，1），试在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形．解：当△ABC为直角三角形时，设点C坐标为（x，0），分三种情况：①如果A为直角顶点，则AB2+AC2＝BC2，即（2﹣5）2+（2﹣1）2+（2﹣x）2+22＝（5﹣x）2+1，解得：x＝，②如果B为直角顶点，那么AB2BC2＝AC2，即（2﹣5）2+（2﹣1）2+（5﹣x）2+1＝（2﹣x）2+22，解得x＝，③如果C为直角顶点，那么AB2＝AC2+BC2，即（2﹣5）2+（2﹣1）2＝（2﹣x）2+22+（5﹣x）2+1，解得x＝3或4，综上可知，使△PAB为直角三角形的点C坐标为（，0）或（，0）或（3，0）或（4，0）．变式训练【变2-1】．如图，一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），且与x轴相交于点B．若点P 是x轴上的一点，且满足△ABP是直角三角形，则点P的坐标是（1，0）或（3，0）．解：∵一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），∴2＝k+1，解得k＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+1．∴当∠APB＝90°时，P1（1，0）；当∠BAP＝90°时，∵一次函数的解析式为y＝x+1，∴设直线AP的解析式为y＝﹣x+b，∵A（1，2），∴2＝﹣1+b，解得b＝3，∴直线AP的解析式为y＝﹣x+3，∴当y＝0时，x＝3，∴P2（3，0）．综上所述，点P的坐标是（1，0）或（3，0）．【变2-2】．如图，已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y＝4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y＝x﹣2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为（﹣2，﹣4）．（1）关于x、y的方程组的解为．（2）求△ABD的面积；（3）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵一次函数y＝x﹣2的图象与一次函数y＝4x+b的图象交于点D，且点D的坐标为（﹣2，﹣4），∴关于x、y的方程组的解是，∴关于x、y的方程组的解是，故答案为：；（2）把点D的坐标代入一次函数y＝4x+b中得：﹣8+b＝﹣4，解得：b＝4，∴B（0，4），∵A（0，﹣2），∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，＝＝6；∴S△ABD（3）存在，如图1，当点E为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于E，∵D（﹣2，﹣4），∴E（﹣2，0）；当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E；当点D为直角顶点时，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，作DF⊥x轴于F，设E（t，0），当y＝0时，4x+4＝0，∴x＝﹣1，∴C（﹣1，0），∵F（﹣2，0），∴CE＝﹣1﹣t，EF＝﹣2﹣t，∵D（﹣2，﹣4），∴DF＝4，CF＝﹣1﹣（﹣2）＝1，在Rt△DEF中，DE2＝EF2+DF2＝42+（﹣2﹣t）2＝t2+4t+20，在Rt△CDF中，CD2＝12+42＝17，在Rt△CDE中，CE2＝DE2+CD2，∴（﹣1﹣t）2＝t2+4t+20+17，解得t＝﹣18，∴E（﹣18，0），综上，点E的坐标为：（﹣2，0）或（﹣18，0）．考点三：一次函数中平行四边形存在性问题【例3】．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，3），B（﹣2，﹣1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）将A（1，3）、B（﹣2，﹣1），代入y＝kx+b得：，解得，∴一次函数的表达式为y＝x+；（2）在y＝x+中，令x＝0得y＝，∴OD＝，＝OD•|x A|＝××1＝，∴S△AODS△BOD＝OD•|x B|＝××2＝，＝S△BOD+S△AOD＝；∴△AOB的面积S△AOB（3）存在，理由如下：在y＝x+中，令y＝0得y＝﹣，∴C（﹣，0），设M（m，n），而B（﹣2，﹣1），O（0，0），①以OB、CM为对角线，则OB的中点即是CM的中点，如图：∴，解得，∴M（﹣，﹣1）；②以BC、OM为对角线，则BC的中点即是OM的中点，如图：∴，解得，∴M（﹣，﹣1）；③以BM、CO为对角线，则BM的中点即是CO的中点，如图：∴，解得，∴M（，1）；综上所述，M的坐标为：（﹣，﹣1）或（﹣，﹣1）；或（，1）．变式训练【变3-1】．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当B'C'经过点D时，求△BCD平移的距离及点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．（1）证明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，∴∠OCB+∠OBC＝90°，∠OCB+∠ECD＝90°，∴∠OBC＝∠ECD．∵将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，∴BC＝CD．在△BOC和△CED中，，∴△BOC≌△CED（AAS）．（2）解：∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，∴点B的坐标为（0，3），点A的坐标为（6，0）．设OC＝m，∵△BOC≌△CED，∴OC＝ED＝m，BO＝CE＝3，∴点D的坐标为（m+3，m）．∵点D在直线y＝﹣x+3上，∴m＝﹣（m+3）+3，解得：m＝1，∴点D的坐标为（4，1），点C的坐标为（1，0）．∵点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，0），∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3．设直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+b，将D（4，1）代入y＝﹣3x+b，得：1＝﹣3×4+b，解得：b＝13，∴直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+13，∴点C′的坐标为（，0），∴CC′＝﹣1＝，∴△BCD平移的距离为．（3）解：设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，﹣n+3）．分两种情况考虑，如图3所示：①若CD为边，当四边形CDQP为平行四边形时，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），∴，解得：，∴点P1的坐标为（0，）；当四边形CDPQ为平行四边形时，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），∴，解得：，∴点P2的坐标为（0，）；②若CD为对角线，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），∴，解得：，∴点P的坐标为（0，）．综上所述：存在，点P的坐标为（0，）或（0，）．考点四：一次函数中矩形存在性问题【例4】．Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∴OA＝8，OB＝6，在直角△AOB中，AB＝＝＝10；（2）∵BC平分∠ABO，CD⊥AB，AO⊥BO，∴OC＝CD，设OC＝x，则AC＝8﹣x，CD＝x．∵△ACD和△ABO中，∠CAD＝∠BAO，∠ADC＝∠AOB＝90°，∴△ACD相似于△ABO，∴，即，解得：x＝3．即OC＝3，则C的坐标是（﹣3，0）．设AB的解析式是y＝kx+b，根据题意得解得：则直线AB的解析式是y＝x+6，设CD的解析式是y＝﹣x+m，则4+m＝0，则m＝﹣4．则直线CE的解析式是y＝﹣x﹣4；（3）①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM1P1B，易知BC的直线方程为y＝2x+6，设M1（m，2m+6），P1（x，y），因为A（﹣8，0），B（0，6），则AM12＝（m+8）2+（2m+6）2，＝5m2+40m+100，BM12＝m2+（2m+6﹣6）2＝5m2，AB＝10，根据AB2+AM12＝BM12得100+5m2+40m+100＝5m2，m＝﹣5，∴M1（﹣5，﹣4），根据平移规律可以解得P1（3，2）②当AB为矩形的对角线时，此时有AB2＝AM22+BM22，即100＝5m2+40m+100+5m2，m ＝﹣4或m＝0（舍去），∴M2（﹣4，﹣2），根据平移规律可以解得P2（﹣4，8）综上可得，满足条件的P点的坐标为P1（3，2）或P2（﹣4，8）．变式训练【变4-1】．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求点H到x轴的距离；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）x2﹣4x+3＝0，解得：x＝3或1，故BC＝1，OC＝3，即点C（0，3）、点A（﹣1，0），则点B（﹣1，3），点D（3，0），点E（3，1），将B、D点的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线BD的表达式为：y＝﹣x+…①；（2）同理可得：直线OE的表达式为：y＝x…②，联立①②并解得：y＝，即点H到x轴的距离为：；（3）直线BD的表达式为：y＝﹣x+，则点F（0，），①当FD是矩形的一条边时，当点M在x轴上时，∵MF⊥BD，则直线MF的表达式为：y＝x+，当y＝0，x＝﹣，即点M（﹣，0），点F向右平移3个单位向下平移单位得到D，则点M向右平移3个单位向下平移单位得到N，则点N（，﹣）；当点M在y轴上时，同理可得：点N（﹣3，﹣）；②当FD是矩形的对角线时，此时点M在原点O，则点N（3，）；综上，点N的坐标为：（，﹣）或（﹣3，﹣）或（3，）．考点五：一次函数中菱形存在性问题【例5】．如图1，直线y＝x+6与x，y轴分别交于A，B两点，∠ABO的角平分线与x轴相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）在直线BC上有两点M，N，△AMN是等腰直角三角形，∠MAN＝90°，求点M 的坐标；（3）点P在y轴上，在平面上是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于直线y＝x+6，令x＝0，得到y＝6，∴B（0，6），令y＝0，得到x＝﹣8，∴A（﹣8，0）．∵A（﹣8，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝10，过点C作CH⊥AB于H，设OC＝t，∵BC平分∠ABO，∠AOB＝90°，∴CH＝OC＝t，＝S△ABC+S△BCO，∵S△ABO∴OA•OB＝AB•CH+OC•OB，∴6×8＝10t+6t，∴t＝3，∴OC＝3，∴C（﹣3，0）；（2）设线BC的表达式为：y＝kx+b，∵B（0，6），C（﹣3，0），∴直线BC的表达式为：y＝2x+6，设点M（m，2m+6）、N（n，2n+6），过点M作MF⊥x轴于点F，过点N作NE⊥x轴于点E，∵△AMN为等腰直角三角形，故AM＝AN，∵∠NAE+∠MAF＝90°，∠MAF+∠AMF＝90°，∴∠NAE＝∠AMF，∵∠AFM＝∠NEA＝90°，AM＝AN，∴△FMA≌△EAN（AAS），∴EN＝AF，MF＝AE，即﹣2n﹣6＝m+8，2m+6＝8+n，解得：m＝﹣2，n＝﹣6，故点M的坐标为（﹣2，2）、点N（﹣6，﹣6）；由于M，N的位置可能互换，故点N的坐标为（﹣2，2）、点M（﹣6，﹣6）；综上所述，点M的坐标为（﹣2，2）或（﹣6，﹣6）；（3）设点P（0，p），∴BP2＝（p﹣6）2，AP2＝82+p2，①当AB是边时，如图，∵点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，∴BP＝AB＝10，BP′＝AB＝10，OB＝OP″，∵B（0，6），∴P（0，16），P′（0，﹣4），P″（0，﹣6），∵A（﹣8，0），∴Q（﹣8，10），Q′（﹣8，﹣10），Q″（8，0）；②当AB是对角线时，如图，∵点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，∴AP＝BP，∴BP2＝AP2，∴（p﹣6）2＝82+p2，解得p＝﹣，∴P（0，﹣），∵A（﹣8，0），B（0，6），∴Q（﹣8，）；综上所述，点Q的坐标为（﹣8，10）或（﹣8，﹣10）或（8，0）或（﹣8，）．变式训练【变5-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点D、C，直线AB与y轴交于点B（0，﹣2），与直线CD交于点A（m，2）．（1）求直线AB的解析式；（2）点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F，若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；（3）设P是射线CD上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵点A（m，2）在直线y＝x+4上∴m+4＝2解得m＝﹣2∴点A的坐标为（﹣2，2）设直线AB的解析式为y＝kx+b∴解得∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2；（2）如图1，由题意设点E的坐标为（a，a+4），则∵EF∥y轴，点F在直线y＝﹣2x﹣2上∴点F的坐标为（a，﹣2a﹣2）∴EF＝|a+4﹣（﹣2a﹣2）|＝|3a+6|，∵以点O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，且EF∥OC∴EF＝OC∵直线y＝x+4与y轴交于点C∴点C的坐标为（0，4）∴OC＝4，即|3a+6|＝4解得：a＝﹣或a＝﹣∴点E的坐标为（﹣，）或（﹣，）；（3）如图2，当BC为对角线时，点P，Q都是BC的垂直平分线，且点P和点Q关于BC对称，∵B（0，﹣2），C（0，4），∴点P的纵坐标为1，将y＝1代入y＝x+4中，得x+4＝1，∴x＝﹣3，∴P''（﹣3，1），∴Q''（3，1）当CP是对角线时，CP是BQ的垂直平分线，设Q（m，n），∴BQ的中点坐标为（，），代入直线y＝x+4中，得+4＝①，∵CQ＝CB，∴m2+（n﹣4）2＝36②，联立①②得，（舍）或，∴Q'（﹣6，4），当PB是对角线时，PC＝BC＝6，设P（c，c+4），∴c2+（c+4﹣4）2＝36，∴c＝3（舍）或c＝﹣3，∴P（﹣3，﹣3+4），设Q（d，e）∴（﹣3+0）＝（0+d），（﹣3+4﹣2）＝（e+4），∴d＝﹣3，e＝﹣3﹣2，∴Q（﹣3，﹣3﹣2），即：点Q的坐标为（3，1），（﹣6，4）或（﹣3，﹣3﹣2）．1．一次函数y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为（﹣8，0）（3，0）（2，0）（，0）．解：当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣3，即A（﹣3，0），B（0，4），OA＝3，OB＝4，由勾股定理得：AB＝5，有三种情况：①以A为圆心，以AB为半径交x轴于两点，此时AC＝AB＝5，C的坐标是（2，0）和（﹣8，0）；②以B为圆心，以AB为半径交x轴于一点（A除外），此时AB＝BC，OA＝OC＝3，C的坐标是（3，0）；③作AB的垂直平分线交x轴于C，设C的坐标是（a，0），A（﹣3，0），B（0，4），∵AC＝BC，由勾股定理得：（a+3）2＝a2+42，解得：a＝，∴C的坐标是（，0），故答案为：（﹣8，0）（3，0）（2，0）（，0）．2．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，1），连接OA，点P是x轴上的一动点，如果△OAP是等腰三角形，请你写出符合条件的点P坐标P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．解：设P（x，0），当OA＝AP时，∵A（2，1），∴P1（4，0）；当OA＝OP时，∵A（2，1），∴OA＝＝，∴P2（，0），P3（﹣，0）；当AP＝OP时，∵P（x，0），（2，1），∴（2﹣x）2+12＝x2，解得x＝，∴P4（，0）．综上所述，P点坐标为：P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．故答案为：P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．解：如图，①当BC为对角线时，易求M1（3，2）；②当AC为对角线时，CM∥AB，且CM＝AB．所以M2（﹣3，2）；③当AB为对角线时，AC∥BM，且AC＝BM．则|M y|＝OC＝2，|M x|＝OB+OA＝5，所以M3（5，﹣2）．综上所述，符合条件的点D的坐标是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．故答案为：（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．4．如图，一次函数y＝k2x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y＝k1x的图象相交于点A（3，4），且OA＝OB．（1）分别求出这两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．解：（1）∵正比例函数y＝k1x的图象经过点A（3，4），∴3k1＝4，∴k1＝，∴正比例函数解析式为y＝x．如图1中，过A作AC⊥x轴于C，在Rt△AOC中，OC＝3，AC＝4，∴AO＝＝5，∴OB＝OA＝5，∴B（0，﹣5），∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝3x﹣5．（2）如图1中，过A作AD⊥y轴于D，∵A（3，4），∴AD＝3，＝；∴S△AOB（3）当OP＝OA时，P1（﹣5，0），P2（5，0），当AO＝AP时，P3（6，0），当PA＝PO时，线段OA的垂直平分线为y＝﹣，∴，满足条件的点P的坐标（﹣5，0）或（5，0）或（6，0）或．5．直线l1交x轴于点A（6，），交y轴于B（0，6）．（1）如图，折叠△AOB，使BA落在y轴上，折痕所在直线为l2，直线l2与x轴交于C 点，求C点坐标及l2的解析式；（2）在直线l1上找点M，使得以M、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有满足条件的M点的坐标．解：∵点A（6，0），交y轴于B（0，6）．∴OA＝6，OB＝6，∴tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝30°，∴∠OBA＝60°，∵折叠△AOB，∴∠OBC＝∠ABC＝30°，∴BC＝2OC，BO＝OC＝6，∴OC＝2，∴点C（2，0），设直线BC解析式为：y＝kx+b，解得：∴直线BC解析式为：y＝﹣x+6；（2）当点M与点B重合时，由（1）可知：∠AMC＝∠MAC＝30°，∴CM＝AC，∴△ACM是等腰三角形，∴当M为（0，6）时，△ACM是等腰三角形，∵OC＝2，OA＝6，∴AC＝4，若AM＝AC＝4，如图1：过点M作MH⊥AC，∵∠MAH＝30°，∴MH＝AM＝2，AH＝2MH＝6，∴OH＝6﹣6或6+6，∴点M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）若AM＝MC，如图2，过点M作MH⊥AC，∵AM＝MC，MH⊥AC，∴AH＝CH＝2，∴OC＝4，∵∠MAH＝30°，∴AH＝MH，∴MH＝2，∴点M（4，2），综上所述：点M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）或（4，2）或（0，6）．6．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+8k（k是常数，k≠0）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为（0，6）．（1）求点A的坐标；（2）如图1，将直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点C，求直线BC的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC上有一点M，坐标平面内有一点P，若以A、B、M、P 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点P的坐标．解：（1）令y＝kx+8k＝0，解得x＝﹣8，故点A的坐标为（﹣8，0）；（2）过点A作AD⊥AB交BC于点D，过点A作y轴的平行线交过点B与x轴的平行线于点M，交过点D与x轴的平行线于点N，∵∠ABC＝45°，故△ABD为等腰直角三角形，则AD＝AB，∵∠BAM+∠DAN＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°，∴∠BAM＝∠ADN，∵∠BMA＝∠AND＝90°，∴△BMA≌△AND（AAS），∴AN＝BM＝8，ND＝AM＝6，故点D的坐标为（﹣2，﹣8），设直线BC的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线BC的表达式为y＝7x+6；（3）设点M的坐标为（m，7m+6），点P（s，t），而点A、B的坐标分别为（﹣8，0）、（0，6），①当AB是边时，点A向右8个单位向上6个单位得到点B，同样，点M（P）向右8个单位向上6个单位得到点P（M），且AB＝BP（AB＝BM），则或，解得或或（不合题意的值已舍去）；故点P的坐标为（﹣8，7）或（﹣﹣8，﹣7）或（6，﹣2）；②当AB是对角线时，由中点坐标公式和AM＝BM得：，解得，故点P的坐标为（﹣7，7）；综上，点P的坐标为（﹣8，7）或（﹣﹣8，﹣7）或（6，﹣2）或（﹣7，7）．7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象交于点C（m，6）．（1）求一次函数的解析式；（2）求△BOC的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵将点C（m，6）代入y＝x，∴6＝m，∴m＝4，∴C（4，6），设一次函数的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x+3；（2）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，∴B（0，3），＝OB•|x C|＝×3×4＝6；∴S△BOC（3）在x轴上存在一点P，使得△ABP是等腰三角形，理由如下：∵A（﹣4，0），B（0，3），∴AB＝5，OA＝4，当B为等腰三角形顶角顶点时，P点与A点关于y轴对称，∴P（4，0）；当A为等腰三角形顶角顶点时，AP＝AB＝5，∴P（﹣9，0）或P（1，0）；当P为等腰三角形顶角顶点时，设P（t，0），∵PA＝PB，∴（t+4）2＝t2+9，解得t＝﹣，∴P（﹣，0），综上所述：P点坐标为（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．8．如图，已知一次函数y＝x+m的图象与x轴交于点A（﹣6，0），交y轴于点B．（1）求m的值与点B的坐标（2）问在x轴上是否存在点C，使得△ABC的面积为16？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．（3）问在x轴是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形，求出点P坐标．（4）一条经过点D（0，2）和直线AB上的一点的直线将△AOB分成面积相等的两部分，请求出这条直线的函数表达式．解：（1）把点A（﹣6，0）代入y＝x+m，得m＝8，∴点B坐标为（0，8）．（2）存在，设点C坐标为（a，0），由题意•|a+6|•8＝16，解得a＝﹣2或﹣10，∴点C坐标（﹣2，0）或（﹣10，0）．（3）如图1中，①当AB＝AP时，AP＝AB＝＝10，可得P1（﹣16，0），P2（4，0）．②当BA＝BP时，OA＝OP，可得P3（6，0）．③当PA＝PB时，∵线段AB的垂直平分线为y＝﹣x+，可得P4（，0），综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣16，0）或（4，0）或（6，0）或（，0）．（4）如图2中，设过点D的直线交AB于E，设E（b，），由题意BD•（﹣b）＝××6×8，∴b＝﹣4，∴点E坐标（﹣4，），设直线DE的解析式为y＝kx+b则有，解得，∴这条直线的函数表达式y＝﹣x+2．9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，交直线y＝kx于P（2，a）．（1）求点A、B的坐标；（2）若Q为x轴上一动点，△APQ为等腰三角形，直接写出Q点坐标；（3）点C在直线AB上，过C作CE⊥x轴于E，交直线OP于D，我们规定若C，D，E 中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则称C，D，E三点为“和谐点”，求出C，D，E三点为“和谐点”时C点的坐标．解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，∴点B的坐标为（0，2）；当y＝0时，有﹣x+2＝0，解得：x＝4，∴点A的坐标为（4，0）；（2）∵一次函数y＝﹣x+2的图象交直线y＝kx于P（2，a）．∴a＝﹣×2+2＝1，∴点P的坐标为（2，1），设点Q（m，0），而点A、P的坐标分别为：（4，0）、（2，1），则AP＝＝，AQ＝|4﹣m|，PQ＝，当AP＝AQ时，则＝|4﹣m|，解得m＝4±，∴点Q（4±，0）；当AP＝PQ时，＝，解得m＝0或4（舍去），∴点Q（0，0）；当PQ＝AQ时，即＝|4﹣m|，解得：m＝，∴点Q（，0）；综上，点Q的坐标为（4±，0）或（0，0）或（，0）；（3）∵y＝kx过P（2，1）．∴2k＝1，解得k＝，∴y＝x，设点C的坐标为（n，﹣n+2），则点D的坐标为（n，n），点E的坐标为（n，0），∴CD＝|﹣n+2﹣n|＝|2﹣n|，DE＝|n|，CE＝|﹣n+2|＝|n﹣2|，当D为CE的中点时，CD＝DE，∴|2﹣n|＝|n|，解得n＝或4（舍去），∴点C的坐标为（，）；当C为DE的中点时，CD＝CE，∴|2﹣n|＝|n﹣2|，解得n＝或0（舍去），∴点C的坐标为（，）；当E为CD的中点时，DE＝CE，∴|n|＝|n﹣2|，无解；综上，C，D，E三点为“和谐点”时C点的坐标为（，）或（，）．10．如图所示，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4）．（1）求△AOB的面积；（2）动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当动点M在x轴上移动的过程中，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）令y＝0，，解得x＝．令x＝0，y＝．∴A（，0），B（0，）．＝．∴△AOB的面积为12．（2）∵动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，∴AM＝t．当0≤t≤时，OM＝，OC＝．∴＝＝．当t＞时，OM＝t﹣．∴＝＝．综上，△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式：S＝．（3）在平面直角坐标系中存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形．①当AC，AM为菱形的边时，情况一：如图1，当点M在点A的左侧时，Rt△AOC中，＝，∴NC＝AC＝．∵NC∥AM，∴点N（，）．情况二，如图1′，当点M在点A的右侧时，由情况一同理可得点N的坐标为．②当AC为菱形的对角线时，如图2，此时M，O重合，四边形OANC为正方形，则点N（，）．③如图3，当AC为菱形的边，AM为菱形的对角线时，此时点C，N关于x轴对称，∴点N（0，﹣）．综上，在平面直角坐标系中存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，此时点N的坐标为：（，），，（，），（0，﹣）．11．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC与x轴、y轴分别交于C、B两点，连接BC，且OC＝OB．（1）求点A的坐标及直线BC的函数关系式；（2）点M在x轴上，连接MB，当∠MBA+∠CBO＝45°时，求点M的坐标；（3）若点P在x轴上，平面内是否存在点Q，使点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于直线y＝﹣x+4，令x＝0的y＝4，令y＝0得x＝4，∴A（4，0），B（0，4），∴OB＝OA＝4，∵OC＝OB，∴OC＝3，∴C（﹣3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+4．（2）如图1中，当点M在点A的左边时，∵OB＝OA＝4，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝45°，∴∠CBO+∠MBA＝∠MBA+∠MBO＝45°，∴∠CBO＝∠OBM，∵∠CBO+∠BCO＝90°，∠BMO+∠OBM＝90°，∴∠BCO＝∠BMO，∴BC＝BM，OC＝OM＝3，∴M（3，0），作点M关于直线AB的对称点N，作直线BN交x轴于M1，则∠M1BA＝∠MBA，点M1满足条件．∵N（4，1），B（0，4），∴直线BN的解析式为y＝﹣x+4，令y＝0，得x＝，∴M1（，0），综上所述，满足条件的点M的坐标为（3，0）或（，0）．（3）如图2中，∵BC＝＝5，当BC为菱形的边时，四边形CP1Q1B，四边形CP3Q3B，四边形BCQ2P2是菱形，此时Q1（﹣5，4），Q3（5，4），Q2（0，4），当BC是菱形的对角线时，四边形CP4BQ4是菱形，可得Q4（﹣，4）．综上所述，满足条件的点Q的坐标为（﹣5，4）或（5，4）或（0，﹣4）或．12．已知，一次函数y＝的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．（1）求点A，点B的坐标．（2）求点C到直线l的距离．＝S△BCP，求点P的坐标．（3）若S△AOC（4）若点E是直线y＝上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点E的坐标．解：（1）∵一次函数y＝的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，∴令y＝0，则＝0，∴x＝8，令x＝0，则y＝6，∴点A、B的坐标分别为：（8，0）、（0，6）；（2）解：得，，∴点C（3，），则C到直线l的距离为6﹣＝；＝×8×＝15＝S△BCP＝×BP×（y P﹣y C）＝BP×，（3）∵S△AOC解得：BP＝，故点P（，6）或（﹣，6）；（4）设点E（m，m）、点P（n，6）；①当∠EPA＝90°时，当点P在y轴右侧时，当点P在点E的左侧时，如图1，∵∠MEP+∠MPE＝90°，∠MPE+∠NPA＝90°，∴∠MEP＝∠NPA，AP＝PE，∵△EMP≌△PNA（AAS），则ME＝PN＝6，MP＝AN，即m﹣n＝6，m﹣6＝8﹣n，解得：m＝，当点P在点E的右侧时，如图，同理可得m＝16，当∠EAP＝90°时，当点P在y轴左侧时，如图2，同理可得：m﹣8＝6，m＝8﹣n，解得：m＝14，故点E（14，）；故点E（，）或（14，）或（16，20）；如图3，同理可得：△AMP≌△ANE（AAS），故MP＝EN，AM＝AN＝6，即m＝n﹣8，|8﹣m|＝6，解得：m＝2或14（不合题意舍去），故点E（2，）；综上，E（，）或（16，20）或（2，）或（14，）．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由．解：（1）∵直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，∴联立得，解得，∴点A（1，1），∵直线y＝﹣x+与x轴交于点B，∴令y＝0，得﹣x+＝0，解得x＝3，∴B（3，0），（2）存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形．①如图1，过点A作平行于x轴的直线，过点O作平行于AB的直线，两直线交于点C，∵AC∥x轴，OC∥AB，∴四边形CABO是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AC＝OB＝3，∴C（﹣2，1），②如图2，过点A作平行于x轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，∵AC∥x轴，BC∥AO，∴四边形CAOB是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AC＝OB＝3，∴C（4，1），③如图3，过点O作平行于AB轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，∵OC∥AB，BC∥AO，∴四边形CBAO是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AO＝BC，OC＝AB，作AE⊥OB，CF⊥OB，易得OE＝EF＝FB＝1，∴C（2，﹣1），（3）在直线OA上，存在一点D，使得△DOB是等腰三角形，①如图4，当OB＝OD时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°∴DE＝OE＝，∴D（﹣，﹣），②如图5，当OD＝OB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°∴DE＝OE＝，∴D（，），③如图6，当OB＝DB时，∵∠AOB＝∠ODB＝45°，∴DB⊥OB，∵OB＝3，∴D（3，3），④如图7，当DO＝DB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵∠AOB＝∠OBD＝45°，∴OD⊥DB，∵OB＝3，∴OE＝，AE＝，∴D（，）．综上所述，在直线OA上，存在点D（﹣，﹣），D（，），D（3，3）或D（，），使得△DOB是等腰三角形，14．如图，经过点B（0，2）的直线y＝kx+b与x轴交于点C，与正比例函数y＝ax的图象交于点A（﹣1，3）（1）求直线AB的函数的表达式；（2）直接写出不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；（3）求△AOC的面积；（4）点P是直线AB上的一点，且知△OCP是等腰三角形，写出所有符合条件的点P的坐标．解：（1）依题意得：，解得，∴所求的一次函数的解析式是y＝﹣x+2．（2）观察图形可知：不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；x＜﹣1．（3）对于y＝﹣x+2，令y＝0，得x＝2∴C（1，0），∴OC＝2．＝×2×3＝3．∴S△AOC（4）①当点P与B重合时，OP1＝OC，此时P1（0，2）；②当PO＝PC时，此时P2在线段OC的垂直平分线上，P2（1，1）；③当PC＝OC＝2时，设P（m．﹣m+2），∴（m﹣2）2+（﹣m+2）2＝4，∴m＝2±，可得P3（2﹣，），P4（2+，﹣），综上所述，满足条件的点P坐标为：（1，1）或（0，2）或P（2+，﹣）或（2﹣，）．15．如图1，已知直线l1：y＝kx+4交x轴于A（4，0），交y轴于B．（1）直接写出k的值为﹣1；（2）如图2，C为x轴负半轴上一点，过C点的直线l2：经过AB的中点P，点Q（t，0）为x轴上一动点，过Q作QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，且MN＝2MQ，求t的值；（3）如图3，已知点M（﹣1，0），点N（5m，3m+2）为直线AB右侧一点，且满足∠OBM＝∠ABN，求点N坐标．解：（1）把A（4，0）代入y＝kx+4，得0＝4k+4．解得k＝﹣1．故答案是：﹣1；（2）∵在直线y＝﹣x+4中，令x＝0，得y＝4，∴B（0，4），∵A（4，0），∴线段AB的中点P的坐标为（2，2），代入，得n＝1，∴直线l2为，∵QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，Q（t，0），∴M（t，﹣t+4），，∴，MQ＝|﹣t+4|＝|t﹣4|，∵MN＝2MQ，∴，分情况讨论：①当t≥4时，，解得：t＝10．②当2≤t＜4时，，解得：．③当t＜2时，，解得：t＝10＞2，舍去．综上所述：或t＝10．（3）在x轴上取一点P（1，0），连接BP，作PQ⊥PB交直线BN于Q，作QR⊥x轴于R，∴∠BOP＝∠BPQ＝∠PRQ＝90°，∴∠BPO＝∠PQR，∵OA＝OB＝4，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∵M（﹣1，0），∴OP＝OM＝1，∴BP＝BM，∴∠OBP＝∠OBM＝∠ABN，∴∠PBQ＝∠OBA＝45°，∴PB＝PQ，∴△OBP≌△RPQ（AAS），∴RQ＝OP＝1，PR＝OB＝4，∴OR＝5，∴Q（5，1），∴直线BN的解析式为，将N（5m，3m+2）代入，得3m+2＝﹣×5m+4解得，∴．16．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC＝1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM 的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）x2﹣（+1）x+＝0，（x﹣）（x﹣1）＝0，解得x1＝，x2＝1，∵OA＜OB，∴OA＝1，OB＝，∴A（1，0），B（0，），∴AB＝2，又∵AB：AC＝1：2，∴AC＝4，∴C（﹣3，0）；（2）∵AB＝2，AC＝4，BC＝2，∴AB2+BC2＝AC2，即∠ABC＝90°，由题意得：CM＝t，CB＝2．①当点M在CB边上时，S＝2﹣t（0≤t）；②当点M在CB边的延长线上时，S＝t﹣2（t＞2）；（3）存在．①当AB是菱形的边时，如图所示，在菱形AP1Q1B中，Q1O＝AO＝1，所以Q1点的坐标为（﹣1，0），在菱形ABP2Q2中，AQ2＝AB＝2，所以Q2点的坐标为（1，2），在菱形ABP3Q3中，AQ3＝AB＝2，所以Q3点的坐标为（1，﹣2），②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4，设菱形的边长为x，则在Rt△AP4O中，AP42＝AO2+P4O2，即x2＝12+（﹣x）2，解得x＝，所以Q4（1，）．综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：Q1（﹣1，0），Q2（1，2），Q3（1，﹣2），Q4（1，）．17．如图1，在平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C 在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．（1）证明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠BCO＝∠CDE，在△BOC和△CED中，。