[考研类试卷]考研数学二(线性代数)模拟试卷51.doc

考研数学二（解答题）模拟试卷135(题后含答案及解析)题型有：1.1．设函数y=y(x)由方程xsiny—ex+ey=0所确定．求正确答案：一2 涉及知识点：一元函数微分学2．已知A是三阶矩阵，αi(i=1，2，3)是三维非零列向量，令α=α1+α2+α3。

若Aαi=iαi(i=1，2，3)，证明：α，Aα，A2α线性无关。

正确答案：由Aαi=iαi(i=1，2，3)，且αi(i=1，2，3)非零可知，α1，α2，α3是矩阵A的属于不同特征值的特征向量，故α1，α2，α3线性无关。

又A α=α1+2α2+3α3，A2α=α1+4α2+9α3，所以(α，Aα，A2α)=(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)P，而矩阵P是范德蒙德行列式，故｜P｜=2≠0，所以α，Aα，A2α线性无关。

涉及知识点：向量3．求下列极限：正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续4．设矩阵，已知A有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值，试求可逆矩阵P，使得P-1 AP为对角形矩阵．正确答案：于是得到矩阵A的特征值：λ1=λ2=2，λ3=6. 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量5．作函数的图形．正确答案：①定义域为(一∞，0)∪(0，+∞)，无周期性无奇偶性．y’=0的根为y”=0的根为x=一1．③列表由表可知函数的极小值点在处取得，拐点为(一1，0)．④铅直渐近线：无斜渐近线．⑤作图(如图1．2—2)．涉及知识点：一元函数微分学6．求正确答案：因为涉及知识点：函数、极限、连续7．设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0xf(x)sinxdx=0．∫0xf(x)cosdx=0．证明在(0，π)内f(x)至少有两个零点．正确答案：反证法，如果f(x)在(0，π)内无零点(或有一个零点，但f(x)不变号，证法相同)，即f(x)＞0(或＜0)，由于在(0，π)内，有sinx＞0，因此，必有∫0πf(x)sinxdx＞0(或＜0)?这与假设相矛盾．如果f(x)在(0，π)内有一个零点，而且改变一次符号，设其零点为a∈(0，π)，于是在(0，a)与(a，π)内f(x)sin(x 一a)同号，因此∫0πf(x)sin(x一a)dx≠0.但是，另一方面∫0πf(x)sin(x一a)dx=∫0πf(x)(sincosa一cosxsina)dx=cosa∫0πf(x)sinxdx一sina∫0πf(x)cosxdx=0．这个矛盾说明f(x)也不能在(0，π)内只有一个零点，因此它至少有两个零点．涉及知识点：一元函数积分学8．求下列函数在指定点处的二阶偏导数：正确答案：(Ⅰ)按定义故(Ⅱ) 涉及知识点：多元函数微分学9．在极坐标变换下将f(χ，y)dσ化为累次积分，其中D为：χ2＋y2≤2ax 与χ2＋y2≤2ay的公共部分(a＞0)．正确答案：由于两个圆在极坐标下的表达式分别为：r＝2acosθ与r＝2asin θ，交点P处的极坐标是，于是连接OP将区域D分成两部分(见图8．13)，则或者先对θ积分，则涉及知识点：二重积分10．求函数f(χ)＝在[0，2]上的最大和最小值．正确答案：故f(χ)在[0，2]上最大值为0，最小值为ln．涉及知识点：一元函数微分学及应用11．计算正确答案：各行减上行，a(a-b)4-b(c-a)(a-b)3+b(c-a)2(a-b)2-b(c-a)3(a-b)+b(c-a)4．涉及知识点：行列式12．求xy”一y’ln y’+y’ln x=0满足y(1)=2和y’(1)=e2的特解．正确答案：设y’=p，则y”=p’，代入原方程中，xp’一pln p+pln x=0，即积分得y=(x一1)ex+1+C2．代入初值条件y(1)=2，解得C2=2，故所求特解为y=(x一1)ex+1+2．涉及知识点：微分方程13．矩阵A＝，求解矩阵方程2A＝XA－4X．正确答案：化2A＝XA－4X得X(A－4E)＝2A．用初等变换法解此矩阵方程：涉及知识点：矩阵设14．证明当n≥3时，有An=An-2+A2一E；正确答案：用归纳法．因验证得当n=3时，A3=A+A2一E，上式成立．假设当n=k一1(n＞3)时成立，即Ak-1=Ak-3+A2-E成立，则Ak=AAk-1=A(Ak-3+A2一E)=Ak-2+A3一A =Ak-2+(A+A2一E)一A=Ak-2+A2一E，即n=k时成立．故An=An-2+A2一E对任意n(n≥3)成立．涉及知识点：线性代数15．求A100．正确答案：由上述递推关系可得涉及知识点：线性代数16．设A=E+αβT，其中α=[a1，a2，…，an]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T ≠0，且αTβ=2．(1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆矩阵P，使得P一1AP=A．正确答案：(1)设(E+αβT)ξ=λξ．①左乘βT，βT(E+αβT)ξ=(βT+βTαβT)ξ=(1+βTα)βTξ=λβTξ，若βTξ≠0，则λ=1+βTα=3；若βTξ=0，则由①式，λ=1．λ=1时，(E一A)X=一αβTX=一[b1，b2，…，bn]X=0．即[b1，b2，…，bn]X=0，因αTβ=2，故α≠0，β≠0，设b1≠0，则ξ1=[b2，一b1，0，…，0]T，ξ2=[b3，0，一b1，…，0]T，…，ξn一1=[bn，0，…，0，一b1]T；λ=3时，(3E一A)X=(2E一αβ)X=0，ξn=α=[a1，a2，…，an] (2)取涉及知识点：线性代数17．计算其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤1，χ≥0，y≥0}正确答案：由极坐标法得涉及知识点：重积分18．设A为m×n阶实矩阵，且r(A)=n．证明：ATTA的特征值全大于零．正确答案：首先ATA为实对称矩阵，r(ATA)=n，对任意的X>0，XT(ATA)X=(AX)T(AX)，令AX=α，因为r(A)=n，所以α≠0，所以(AX)T(AX)=αTα=｜α｜2＞0，即二次型XT(ATA)X是正定二次型，ATA为正定矩阵，所以ATA的特征值全大于零．涉及知识点：线性代数部分19．正立方体的棱长x＝10m，如果棱长增加0．1m，求此正立体体积增加的精确值与近似值．正确答案：正立方体的体积v＝x3。

[考研类试卷]考研数学（数学二）模拟试卷446一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设F(x)=∫－1x f(t)dt，则F(x)在x=0处 ( )（A）极限不存在．（B）极限存在但不连续．（C）连续但不可导．（D）可导．2 当x→0时，下列3个无穷小按后一个无穷小比前一个高阶的次序排列，正确的次序是 ( )（A）α，β，γ．（B）γ，β，α．（C）γ，α，β．（D）α，γ，β．3 设则下列函数在x=0处间断的是 ( )（A）max{f(x)，g(x)}．（B）min{f(x)，g(x))．（C）f(x)－g(x)．（D）f(x)+g(x)．4 设f(x，y)=|x－y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则“φ(0，0)=0”是“f(x，y)在点(0，0)处可微”的 ( )（A）必要条件而非充分条件．（B）充分条件而非必要条件．（C）充分必要条件．（D）既非充分又非必要条件．5 设，n=0，1，2，…．则下列关于a n的关系式成立的是 ( )（A）a n+2=a n+1+ a n．（B）a n+3=a n．（C）a n+4=a n+2+ a n．（D）a n+6=a n．6 设A，B，C为常数，则微分方程y″+2yˊ+5y=e－x cos2x有特解形式 ( )（A）e－x(A+Bcos2x+Csin2x)．（B）e－x(A+Bxcos2x+Cxsin2x)．（C）e－x(Ax+Bcos2x+Csin2x)．（D）e－x(Ax+Bxcos2x+Cxsin2x)．7 已知n维向量组α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax=0的基础解系，则向量组aα1+bα4，aα2+bα3，aα3+bα2，aα4+bα1也是Ax=0的基础解系的充分必要条件是 ( ) （A）a=b．（B）a≠－b．（C）a≠b．（D）a≠±b．8 设，则A合同于( )二、填空题9 设y=y(x)由方程所确定，则______．10 在(－∞，+∞)内连续的充要条件是a=______，b=______．11 设y=y(x)由y3+(x+1)y+x2=0及y(0)=0所确定，则______．12 设y″的系数为1的某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个特解为y1*=(1－x+x2)e x与y1*= x2e x则该微分方程为______．13 设fˊ(lnx)=xlnx，则f(n)(x)= ______．14 设若A，B等价，则参数t应满足条件______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（选择题）模拟试卷105(题后含答案及解析)题型有：1.1．当x→0时，f(x)=x一sinax与g(x)=x2ln(1一bx)是等价无穷小，则( ) A．a=1，b=。

B．a=1，b=。

C．a=一1，b=。

D．a=一1，b=。

正确答案：A解析：本题可以利用排除法解答，由于ln(1—bx)与一bx为等价无穷小，则所以a3=一6b，故排除B，C。

另外是存在的，即满足1—acosax→0(x→0)，故a=1，排除D。

所以本题选A。

知识模块：函数、极限、连续2．设当x→0时，(1一cosx)In(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn 是tt(ex2一1)高阶的无穷小，则正整数n等于( )A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：B解析：因当x→0时，而由(1一cosx)ln(1+x2)是比xsinxu高阶的无穷小，知4＞n+1，即n＜3；由xsinxn是比(ex2一1)高阶的无穷小，知n+1＞2，即n＞1．因此正整数n=2，故选B．知识模块：函数、极限、连续3．设f1(x)=，f2(x)=f1[f1(x)]，fk+1(x)=f1[fk(x)]，k=1，2，…，则当n＞1时，fn(x)= ( )A．B．C．D．正确答案：C解析：知识模块：函数、极限、连续4．设f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+Py’+qy=sin2x+2ex的满足初始条件f(0)=f’(0)-0的特解，则当x→0时，( )A．不存在B．等于0C．等于1D．其他正确答案：C解析：因为f(0)=f’(0)=0，所以f’’(0)=2，于是，选(C)．知识模块：高等数学5．设f(x)是不恒为零的奇函数，且f’(0)存在，则g(x)=( )．A．在x=0处无极限B．x=0为其可去间断点C．x=0为其跳跃间断点D．x=0为其第二类间断点正确答案：B解析：因为f’(0)存在，所以f(x)在x=0处连续，又因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0，显然x=0为g(x)的间断点，因为，所以x=0为g(x)的可去间断点，选(B) 知识模块：高等数学部分6．设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有( )A．A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。

[考研类试卷]考研数学二（二次型）模拟试卷4一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设矩阵，则矩阵A与B( )（A）合同，且相似．（B）合同，但不相似．（C）不合同，但相似．（D）既不合同，也不相似．2 下列二次型中是正定二次型的是( )（A）f1=(x1一x2)2+(x2一x3)2+(x3一x1)2．（B）f2=(x1+x2)2+(x2一x3)2+(x3+x1)2．（C）f3=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3一x4)2+(x4一x1)2．（D）f4=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4一x1)2．3 设A是n阶实对称矩阵，将A的i列和j列对换得到B，再将B的i行和j行对换得到C，则A与C( )（A）等价但不相似．（B）合同但不相似．（C）相似但不合同．（D）等价，合同且相似．4 下列矩阵中，正定矩阵是( )（A）（B）（C）（D）5 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( ) （A）二次型x T Ax的负惯性指数为零．（B）存在可逆矩阵P使P一1AP=E．（C）存在n阶矩阵C使A=C一1C．（D）A的伴随矩阵A*与E合同．6 下列矩阵中不是二次型的矩阵的是( ) （A）（B）（C）（D）7 n元实二次型正定的充分必要条件是( )（A）该二次型的秩=n．（B）该二次型的负惯性指数=n．（C）该二次型的正惯性指数=官的秩．（D）该二次型的正惯性指数=n．8 下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是( )（A）A一1正定．（B）A没有负的特征值．（C）A的正惯性指数等于n．（D）A合同于单位阵．9 关于二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是( ) （A）是正定的．（B）其矩阵可逆．（C）其秩为1．（D）其秩为2．10 设f=X T AX，g=X T BX是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( ) （A）X T(A+B)X（B）X T A一1X（C）X T B一1X（D）X T ABX．11 设A，B为正定阵，则( )（A）AB，A+B都正定．（B）AB正定，A+B非正定．（C）AB非正定，A+B正定．（D）AB不一定正定，A+B正定．12 实对称矩阵A的秩等于r，它有t个正特征值，则它的符号差为( )（A）r．（B）t一r．（C）2t一r．（D）r一t．13 f(x1，x2，x3)=x12一2x1x2+4x32对应的矩阵是( )（A）（B）（C）（D）二、填空题14 设f=x12+x22+5x32+2ax1x2—2x1x3+4x2x3为正定二次型，则未知系数a的范围是________．15 二次型f(x1，x2，x3)=x T Ax=2x2+2x32+4x1x2+8x2x3—4x1x3的规范形是_________．16 若二次曲面的方程为x2+3y2+x2+2axy+2xz+2yx=4，经正交变换化为y12+4z12=4，则a=_________．17 设则二次型的对应矩阵是__________．18 二次型f(x1，x2，x3，x4)=x32+4x42+2x1x2+4x3x4的规范形是___________．19 若二次型f(x1，x2，x3)=ax12+4x22+ax32+6x1x2+2x2x3是正定的，则a的取值范围是__________．20 设A是3阶实对称矩阵，满足A3=2A2+5A一6E，且kE+A是正定阵，则k的取值范围是________．21 设A是m×n矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=一aE+A T A是正定阵，则a的取值范围是______.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（线性代数）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设n维行向量α=，A=E-αTα，B=E+2αTα，则AB为( )．A．OB．-EC．ED．E+αTα正确答案：C解析：由ααT=，得AB=(E-αTα)(E+2αTα)=E，选(C) 知识模块：线性代数部分2．设A，B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=O，则( )．A．r(B)=nB．r(B)<nC．A2-B2=(A+B)(A-B)D．｜A｜=0正确答案：D解析：因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)≥1，从而r(A)<n，于是｜A｜=0，选(D) 知识模块：线性代数部分3．设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，…，γn)，记向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βm；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γm，若向量组(Ⅲ)线性相关，则( )．A．(Ⅰ)，(Ⅱ)都线性相关B．(Ⅰ)线性相关C．(Ⅱ)线性相关D．(Ⅰ)，(Ⅱ)至少有一个线性相关正确答案：D解析：若α1，α2，…，αn线性无关，β1，β2，…，βn线性无关，则r(A)=n，r(B)=n，于是r(AB)=n．因为γ1，γ2，…，γm线性相关，所以r(AB)=r(γ1，γ2，…，γn)只有零解，而无解，故(A)不对；方程组有非零解，而无解，故(B)不对；方程组无解，但只有零解，故(C)不对；若Ax=b有无穷多个解，则r(A)=r()B．C．λ｜A｜D．λ｜A｜n-1正确答案：B解析：因为A可逆，所以λ≠0，令AX=λX，则A*AX=λA*X，从而有A*X=选(B) 知识模块：线性代数部分6．设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是( )．A．可逆矩阵B．实对称矩阵C．正定矩阵D．正交矩阵正确答案：B解析：因为A与对角阵合同，所以存在可逆矩阵P，使得pTAP=A，从而A=(pT)-1P-1=(p-1)TP-1，AT=[(P-1)TP-1]T=(P-1)TP-1=A，选(B) 知识模块：线性代数部分填空题7．设f(x)=，则x2项的系数为_______．正确答案：x解析：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以x2项的系数为23．知识模块：线性代数部分8．设A是三阶矩阵，且｜A｜=4，则=_______正确答案：2解析：=｜2A-1｜=23｜A-1｜=2 知识模块：线性代数部分9．设A=，则(A-2E)-1=_______．正确答案：解析：A-2E= 知识模块：线性代数部分10．设，且α，β，γ两两正交，则a=_______，b=_______．正确答案：-4，-13解析：因为α，β，γ正交，所以，解得a=-4，b=-13．知识模块：线性代数部分11．设A=(a(C1，C2为任意常数)解析：因为AX=0有非零解，所以｜A｜=0，而｜A｜==-(a+4)(a-6)且a(C1，C2为任意常数)．知识模块：线性代数部分12．设A为三阶矩阵，A的各行元素之和为4，则A有特征值_______，对应的特征向量为_______正确答案：4，解析：因为A的各行元素之和为4，所以，于是A有特征值4，对应的特征向量为知识模块：线性代数部分13．设5x12+x22+tx3x2+4x1x2-2x1x3-2x2x3为正定二次型，则t的取值范围是_______．正确答案：t>2解析：二次型的矩阵为A=，因为二次型为正定二次型，所以有5>0，=1>0，｜A｜>0，解得t>2．知识模块：线性代数部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（选择题）高频考点模拟试卷50(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设f(x)可导，f(x)=0，f’(0)=2，F(x)=∫0xt2f(x3－t3)dt，g(x)=，则当x →0时，F(x)是g(x)的( )A．低阶无穷小。

B．高阶无穷小。

C．等价无穷小。

D．同阶但非等价无穷小。

正确答案：D解析：先改写知识模块：函数、极限、连续2．A．0．B．－∞．C．＋∞．D．不存在但也不是∞．正确答案：D解析：因为＝＋∞，＝0，故要分别考察左、右极限．由于因此应选D．知识模块：极限、连续与求极限的方法3．设向量β可由向量组α1，α2，...，αm线性表示，但不能由向量组(I)：α1，α2，...，αm-1线性表示，向量组(Ⅱ):α1，α2，...，αm-1,β，则A．αm不能由(I)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．B．αm不能由(I)线性表示，也可能由(Ⅱ)线性表示．C．αm可由(I)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示．D．αm可由(I)线性表示，也不可由(Ⅱ)线性表示．正确答案：B 涉及知识点：向量4．设函数f(x)=则f(x)在x=0处( )A．极限不存在。

B．极限存在但不连续。

C．连续但不可导。

D．可导。

正确答案：C解析：显然f(0)=0，对于极限是无穷小量，为有界变量，故由无穷小量的运算性质可知，=0。

因此f(x)在x=0处连续，排除A、B。

又因为不存在，所以f(x)在x=0处不可导，故选C。

知识模块：一元函数微分学5．f(x)=则f(x)在x=0处( )A．极限不存在。

B．极限存在，但不连续。

C．连续但不可导。

D．可导。

正确答案：C解析：由f＋’(0)，f－’(0)都存在可得，f(x)在x=0右连续和左连续，所以f(x)在x=0连续；但f＋’(0)≠f－’(0)，所以f(x)在x=0处不可导。

所以选C。

知识模块：一元函数微分学6．则f(x在x=0处( )．A．不连续B．连续不可导C．可导但f’(x)在x=0处不连续D．可导且f’(x)在x=0处连续正确答案：D解析：显然f(x)在x=0处连续，因为，所以f(x)在x=0处可导，当x＞0时，f’(x)=arctan当x＜0时，所以f’(x)在x=0处连续，选(D)．知识模块：高等数学7．设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若，则线性方程组( )A．Ax=α必有无穷多解．B．Ax=α必有唯一解．C．仅有零解．D．必有非零解．正确答案：D解析：本题考查线性方程组有解的判定方法．所涉及的知识点是(1)对于齐次线性方程组Ax=0，若｜A｜≠0，则Ax=0仅有零解，若｜A｜=0，则Ax=0有非零解．(2)对于非齐次线性方程组Ax=b有唯一解r(A)=r(Ab)=r=n，Ax=b有无穷多解r(A)=r(Ab)=r＜n，Ax=b无解r(A)≠r(Ab)．若必有非零解．因而选D．选项C错．又当｜A｜≠0，α=0时，选项A错；当｜A｜=0，α=0时，选项B错．知识模块：线性方程组8．设αi=(ai，bi，ci)T，i=1，2，3，α=(d1，d2，d3)T，则三个平面a1x+b1y+c1z+d1=0，a2x+b2y+c2z+d2=0，a3x+b3y+c3z+d3=0，两两相交成三条平行直线的充分必要条件是( )A．R(α1，α2，α3)=1，R(α1，α2，α3，α)=2。

考研数学二（线性代数）模拟试卷51(总分70,考试时间90分钟)选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1. 设A是秩为n一1的n阶矩阵，α1，α2是方程组Ax=0的两个不同的解向量，则Ax=0的通解必定是( )A. α1+α2B. kα1C. k(α1+α2)D. k(α1一α2)2. 已知向量组(I)α1，α2，α3，α4线性无关，则与(I)等价的向量组是( )A. α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1B. α1-α2，α2-α3，α3一α4，α4-α1C. α1+α2，α2-α3，α3+α4，α4-α1D. α1+α2，α2-α3，α3一α4，α4一α13. 设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是( )A. α1+α2，α2+α3，α3一α1B. α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3C. α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1D. α1+α2+α3，2α1—3α2+22α3，3α1+5α2—5α34. 已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组2α1+α3+α4，α2一α4，α3+α4，α2+α3，2α1+α2+α3的秩是( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 设xOy平面上n个不同的点为Mi(xi，yi)，i=1，2，…，n(n≥3)，记则M1，M2，…，Mn共线的充要条件是r(A)= ( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则( )A. r＞r1B. r＜r1C. r=r1D. r和r1的关系依C而定7. 设A为m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是( )A. A的列向量线性无关B. A的列向量线性相关C. A的行向量线性无关D. A的行向量线性相关8. 已知β1，β2是AX=b的两个不同的解，α1，α2是相应的齐次方程组AX=0的基础解系，k1，k2是任意常数，则AX=b的通解是( )A. B.C. D.9. 设A是m×n矩阵，非齐次线性方程组为AX=b，①对应的齐次线性方程组为AX=0，②则( )A. ①有无穷多解②仅有零解B. ①有无穷多解②有无穷多解C. ②仅有零解①有唯一解D. ②有非零解①有无穷多解10. 设矩阵Am×n的秩r(A)=r([A|b])=m＜n，则下列说法错误的是( )A. AX=0必有无穷多解B. AX=b必无解C. AX=b必有无穷多解D. 存在可逆矩阵P，使AP=[EmO]11. 已知α1=[一1，1，a，4]T，α2=[-2，1，5，a]T，α3=[a，2，10，1]T是4阶方阵A的三个不同特征值对应的特征向量，则a的取值范围为( )A. a≠5B. a≠一4C. a≠一3D. a≠一3且a≠一4E. D2. 填空题1. 设则A-1=__________．2. 已知A2一2A+E=O，则(A+B)-1=_________．3. 设则(A-1)*=_________．4. 设则B-1=_______．5. 设A是4×3矩阵，且r(A)=2，而则r(AB)=____________．6. 设A，B均为3阶矩阵，E是3阶单位矩阵，已知AB=2A+3B，则(B-2E)-1=__________．7. 设α1=[1，0，一1，2]T，α2=[2，-1，一2，6]T，α3=[3，1，t，4]T，β=[4，一1，一5，10]T，已知β不能由α1，α2，α3线性表出，则t=_________．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（线性代数）-试卷15(总分：58.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6( )．（分数：2.00）A.24B.-24C.48D.-48 √(D)3.设A为m×n阶矩阵，C为n阶矩阵，B=AC，且r(A)=r，r(B)=r 1，则( )．（分数：2.00）A.r＞r 1B.r＜r 1C.r≥r 1√D.r与r 1的关系依矩阵C的情况而定解析：解析：因为r 1=r(B)=r(AC)≤r(A)=r，所以选(C)4.设向量组α1，α2，…，αm线性无关，β1可由α1，α2，…，αm线性表示，但β2不可由α1，α2，…，αm线性表示，则( )．（分数：2.00）A.α1，α2，…，αm-1，β1线性相关B.α1，α2，…，αm-1，β1，β2线性相关C.α1，α2，…，αm，β1 +β2线性相关D.α1，α2，…，αm，β1 +β2线性无关√解析：解析：(A)不对，因为β1可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不一定能被α1，α2，…，αm-1线性表示，所以α1，α2，…，αm-1，β1不一定线性相关； (B)不对，因为α1，α2，…，αm-1，β1不一定线性相关，β2不一定可由α1，α2，…，αm-1，β1线性表示，所以α1，α2，…，αm-1，β1，β2不一定线性相关；(C)不对，因为β2不可由α1，α2，…，αm线性表示，而β1可由α1，α2，…，αm线性表示，所以β1 +β2不可由α1，α2，…，αm线性表示，于是α1，α2，…，αm，β1 +β2线性无关，选(D)5.设α，β为四维非零列向量，且α⊥β，令A=αβT，则A的线性无关特征向量个数为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3 √D.4解析：解析：因为α，β为非零向量，所以A=αβT≠O，则r(A)≥1，又因为r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，所以r(A)=1．令AX=λX，由A 2 X=．αβT．αβT X=O= 2 X得λ=0，因为r(OE-A)=r(A)=1，所以A 的线性无关的特征向量个数为3，应选(C)6.n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )．（分数：2.00）A.A无负特征值B.A是满秩矩阵C.A的每个特征值都是单值D.A *是正定矩阵√解析：解析：A正定的充分必要条件是A的特征值都是正数，(A)不对；若A为正定矩阵，则A一定是满秩矩阵，但A是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对； (C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件．二、填空题(总题数：7，分数：14.00)n≥2，则A n -2A n-1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：O）解析：解析：由A 2 =2A得A n =2 n-1 A，A n-1 =2 n-2 A，所以A n -2A n-1 =0．8.设 A -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）9.设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，r(AB)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为｜B｜=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．10.设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，r(A)=3，且α1 +α2 = ，α2 +α3，则方程组AX=b的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：X=k[*](k为任意常数)）解析：解析：因为r(A)=3，所以方程组AX=b的通解为kξ+η，其中ξ=α3-α1=(α2+α3)-(α1+α2 )= η=1／2(α2 +α3 )= ，于是方程组的通解为(k为任意常数)．11.设A是三阶矩阵，其三个特征值为1，则｜4A * +3E｜= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：10）解析：解析：｜A｜= ，A *的特征值为4A * +3E的特征值为5，1，2，于是｜4A * +3E｜=10．12.设α，β为三维非零列向量，(α，β)=3，A=αβT，则A的特征值为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0或者3）解析：解析：因为A 2 =3A，令AX=λX，因为A 2 X=λ2 X，所以有(λ2 =3λ)X=0，而X≠0，故A 的特征值为0或者3，因为λ1 +λ2 +λ3 = T r(A)=(α，β)，所以λ1 =3，λ2 =λ3 =0．13.二次型f(x 1，x 2，x 3 )=(x 1 -2x 2 ) 2 +4x 2 x 3的矩阵为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：因为f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 -4x 1 x 2 +4x 2 x 3 ，所以三、 解答题(总题数：13，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（填空题）模拟试卷51(题后含答案及解析) 题型有：1.1．若3阶非零方阵B的每一列都是方程组的解，则λ=______，｜B｜=_______．正确答案：1；0解析：由条件知方程组有非零解，故其系数行列式｜A｜==5(λ-1)=0，故λ=1．又由条件知AB=O，若｜B｜≠0，则B可逆，用B-1右乘AB=O两端得A=O，这与A≠O矛盾，故｜B｜=0．知识模块：线性方程组2．设A，B为3阶矩阵，且｜A ｜=3，｜B ｜=2，｜A-1+B｜=2，则｜A+B-1 ｜=_____________.正确答案：3 涉及知识点：行列式3．当x→0时，kx2与[*]是等阶无穷小，则k=___________.正确答案：3/4 涉及知识点：行列式4．设函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，则A=______。

正确答案：解析：令函数其中g(x)，h(x)分别在[a，x0]，(x0，b]上是初等函数，因此连续，且f(x)在x0连续。

所以g(x0)=h(x0)。

对任意常数A，显然x≠1时，f(x)连续。

当且仅当时，f(x)在x=1连续。

因此，当时，f(x)在(一∞，+∞)上连续。

知识模块：函数、极限、连续5．已知且AXA*=B，r(X)=2，则a=_____________?正确答案：0解析：根据A可逆可知，其伴随矩阵A*也是可逆的，因此r(AXA*)=r(X)=2=r(B)，因此可得｜B｜=0，则知识模块：矩阵6．设函数f(x)=且1+bx＞0，则当f(x)在x=0处可导时，f’(0)_________正确答案：解析：利用洛必达法则，，由于f(x)在x=0处可导，则在该点处连续，就有b=f(0)=一1，再由导数的定义及洛必达法则，有知识模块：一元函数微分学7．设矩阵A与B=相似，则r(A)+r(A一2E)=_________。

正确答案：3解析：矩阵A与B相似，则A一2E与B一2E相似，而相似矩阵具有相同的秩，所以r(A)+r(A一2E)=r(B)+r(B一2E)=2+1=3。

2024考研数学真题及参考答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 设函数f(x)在x=0的某邻域内连续，且f(0)=0，若极限lim(x→0)f(x)/x=1，则f'(0)等于（）A. 0B. 1C. 2D. 不存在【参考答案】B【解析】由于lim(x→0)f(x)/x=1，且f(0)=0，根据导数的定义，f'(0)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/x=lim(x→0)f(x)/x=1。

2. 设函数y=ln(x+√(x^2+1))，则y''在x=0处的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 2【参考答案】B【解析】首先求y'，y'=(1/(x+√(x^2+1)))×(1+1/(2√(x^2+1)))。

然后求y''，y''=(1/(x+√(x^2+1)))'×(1+1/(2√(x^2+1)))+(1/(x +√(x^2+1)))×(1+1/(2√(x^2+1)))'。

将x=0代入y''，得y''(0)=0。

3. 设函数z=f(x,y)由方程x^2+y^2+2xy-z=0确定，则f(x,y)在点(1,1)处的偏导数f'x(1,1)等于（）A. -1B. 0C. 1D. 2【参考答案】C【解析】对方程x^2+y^2+2xy-z=0两边关于x求偏导，得2x+2y-f'x(x,y)=0。

将x=1, y=1代入，得2+2-f'x(1,1)=0，解得f'x(1,1)=1。

4. 设矩阵A的伴随矩阵A的秩为1，则矩阵A的秩r(A)等于（）A. 0B. 1C. 2D. 3【参考答案】B【解析】由于矩阵A的伴随矩阵A的秩为1，根据矩阵秩的性质，r(A)+r(A)≥n，其中n为矩阵A的阶数。

又因为r(A)≤r(A)，所以r(A)=1。