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1 第二课时 双曲线及其性质【学习目标】① 了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． ②了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．【考纲要求】双曲线为A 级要求 【自主学习】 1．双曲线的定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的 常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是 ．②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程 (1) 标准方程：12222=-b y a x ，焦点在 轴上；12222=-b x a y ，焦点在 轴上．其中：a 0，b 0，=2a ．(2) 双曲线的标准方程的统一形式：)0(122<=+nm ny mx3．双曲线的几何性质(对0,0,12222>>=-b a b y a x 进行讨论)(1) 范围：∈x ，∈y ．(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，渐近线方程为 ．(4) 离心率e = ，且∈e ，e 越大，双曲线开口越 ，e 越小，双曲线开口越 ，焦准距P ＝ ．(5) 具有相同渐近线x ab y ±=的双曲线系方程为(6) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为 ，离心率为 ． (7) 12222=-b y ax 的共轭双曲线方程为 ．【基础自测】1.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为 .2 2.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .3.已知椭圆2222b y a x +=1（a ＞b ＞0）与双曲线2222n y m x -=1（m ＞0,n ＞0）有相同的焦点（-c ，0）和（c ，0）.若c 是a 与m 的等比中项，n 2是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于 .4.设F 1、F 2分别是双曲线2222by ax -=1的左、右焦点.若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°且|AF 1|=3|AF 2|,则双曲线的离心率为 .5.（2008·上海春招）已知P 是双曲线9222y a x -=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x -y =0,设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点.若|PF 2|=3，则|PF 1|= .[典型例析]例1根据下列条件，写出双曲线的标准方程(1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5． (2) 与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．变式训练1：根据下列条件，求双曲线方程。
双曲线的标准方程及其性质一、双曲线的定义1、已知双曲线221916x y -=上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为__________________.2、若双曲线22221x y a b-=的两个焦点为F 1、F 2，12F F ＝10，P 为双曲线上一点，122PF PF =，12PF PF ⊥，求此双曲线的方程.3、在相距1400m 的A ，B 两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340m/s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？4、已知双曲线16x 2-9y 2=144，（1）设P 为双曲线上一点，且|PF 1|⋅|PF 2|=32，求12F PF S ∆；（2）设P 为双曲线上一点，且∠ F 1PF 2=120︒，求12F PF S ∆.二、双曲线的标准方程1、已知3,4a c ==的双曲线的标准方程是__________________.2、已知双曲线方程为221205x y -=，它的焦距是__________________. 3、设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m =__________________. 4、若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.5、双曲线222x y k -=的焦距是6，则实数k 的值是__________________.三、双曲线的性质1、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是__________________.2、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m =__________________.3、若双曲线的渐近线方程为,它的一个焦点是,则双曲线的标准方程是__________________. (3,0)5:4221mx y +=4、双曲线2221(0)y x b b -=>的一条渐近线方程为y =，则b =__________________. 四、直线与双曲线的位置关系五、1、已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB .(1) 求点B 的坐标；(2)若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；2、在平面直角坐标系中，已知双曲线（1）设是的左焦点，是右支上一点，若的坐标；（2）过的左焦点作的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积.3、在平面直角坐标系中，已知双曲线.（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成 的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交于P 、Q 两点，若l 与圆相切，求证： OP ⊥OQ .4、已知双曲线C ：的一个焦点是，且。
第二课时 双曲线及其性质
【学习目标】
① 了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． ②了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．
【考纲要求】
双曲线为A 级要求 【自主学习】 1．双曲线的定义
(1) 平面内与两定点F 1，F 2的 常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线．
注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是 ．
②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程 (1) 标准方程：
12
22
2=-b y a x ，焦点在 轴上；
12
22
2=-b x a y ，焦点在 轴上．其中：a 0，
b 0，=2a ．
(2) 双曲线的标准方程的统一形式：
)0(122<=+nm ny mx
3．双曲线的几何性质(对
0,0,12
22
2>>=-
b a b y a x 进行讨论)
(1) 范围：∈x ，∈y ．
(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．
(3) 顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长
为 ，渐近线方程为 ．
(4) 离心率e = ，且∈e ，e 越大，双曲线开口越 ，e 越小，双曲线
开口越 ，焦准距P ＝ ．
(5) 具有相同渐近线x a
b y ±=的双曲线系方程为
(6) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为 ，离心率
为 ． (7)
12
22
2=-b y a x 的共轭双曲线方程为 ．
【基础自测】
1.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为 .
2.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，
则△PF 2Q 的周长是 .
3.已知椭圆
2
22
2b y a x +
=1（a ＞b ＞0）与双曲线
2
22
2n y m x -
=1（m ＞0,n ＞0）有相同的焦点（-c ，
0）和（c ，0）.若c 是a 与m 的等比中项，n 2是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于 .
4.设F 1、F 2分别是双曲线22
22b
y a
x -=1的左、右焦点.若双曲线上存在点A ，
使∠F 1AF 2=90°且|AF 1|=3|AF 2|,则双曲线的离心率为 .
5.（2008·上海春招）已知P 是双曲线
9222
y a x -=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线
方程为3x -y =0,设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点.若|PF 2|=3，则|PF 1|= .
[典型例析]
例1根据下列条件，写出双曲线的标准方程
(1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5．
(2) 与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．
变式训练1：根据下列条件，求双曲线方程。
（1）与双曲线116y 9x 2
2=-有共同渐近线，且过点（-3，32）；
（2）与双曲线14
y 16x 2
2=-有公共焦点，且过点（23，2）.
例2. 双曲线C ：22
22b
y a
x -=1 (a ＞0,b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q （2a ，0），若C
上存在一点P ，使AP ·PQ =0，求此双曲线离心率的取值范围.
例3已知动圆M 与圆C 1：（x +4）2+y 2=2外切，与圆C 2：（x -4）2+y 2=2内切，求动圆圆心
M 的轨迹方程.
例4已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为
2
,且过点P （4，-
10
）.
（1）求双曲线方程；
（2）若点M （3，m ）在双曲线上，求证：1MF ·2MF =0； （3）求△F 1MF 2的面积.
[当堂检测]
1.双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m = .
2.双曲线2
22
2b y a x -
=1和椭圆
2
22
2b y m x +
=1 (a ＞0,m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a ,b ,m
为边长的三角形是 三角形.
3.（2008·重庆理）已知双曲线2
22
2
b
y a
x -
=1（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx （k ＞0）,
离心率e =5
k ，则双曲线方程为 .
4.已知双曲线4
122
2y x -=1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交
点，则此直线斜率的取值范围是 .
5.如图，F 1和F 2分别是双曲线
2
22
2b y a x -=1(a ＞0,b ＞0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，
以|OF 1|为半径的与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等
边三角形，则双曲线的离心率为 .。
