【全国通用-2018高考推荐】高三数学(理科)下学期第一次模拟试题及答案解析

2018年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+2=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为（）A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，0，2}2．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i3．已知命题p：函数y=2﹣a x+1的图象恒过定点（1，2）；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q4．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A．24种B．48种C．96种D．144种5．执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．6．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2 B．5 C．6 D．77．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6 B．30+6C．56+12D．60+128．已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则9x+3y的最小值为（）A．2 B． C．6 D．99．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=2，1+=．则∠C=（）A．30°B．135° C．45°或135°D．45°10．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．11．设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．12．对于任意实数a，b，定义min{a，b}=，定义在R上的偶函数f （x）满足f （x+4）=f（x），且当0≤x≤2时，f （x）=min{2x﹣1，2﹣x}，若方程f （x）﹣mx=0恰有两个根，则m的取值范围是（）A．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）B．[﹣1，）∪C．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）D．（，）∪（，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．若tan（π﹣α）=2，则sin2α= ．14．展开式中不含x4项的系数的和为．15．如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）=sinx及直线x=a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a= ．16．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1．③在回归直线=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2单位．④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确的命题是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.17．设数列{a n}的前n项积为T n，且T n=2﹣2a n（n∈N*）．（Ⅰ）求证数列是等差数列；（Ⅱ）设b n=（1﹣a n）（1﹣a n+1），求数列{b n}的前n项和S n．18．“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话．活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10，20），[20，30），…，[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求二面角A﹣PB﹣E的大小．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于E、F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．21．已知函数，当时，函数f（x）有极大值．（Ⅰ）求实数b、c的值；（Ⅱ）若存在x0∈[﹣1，2]，使得f（x0）≥3a﹣7成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．（Ⅰ）求证：DC2=DE•DB；（Ⅱ）若CD=2，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）求证：﹣3≤f（x）≤3；（2）解不等式f（x）≥x2﹣2x．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+2=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为（）A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，0，2}【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】根据B⊆A，利用分类讨论思想求解即可．【解答】解：当a=0时，B=∅，B⊆A；当a≠0时，B={}⊆A，=1或=﹣1⇒a=﹣2或2，综上实数a的所有可能取值的集合为{﹣2，0，2}．故选D．【点评】本题考查集合的包含关系及应用．注意空集的讨论，是易错点．2．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】设出复数z，代入，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：由题意得z=ai．（a∈R且a≠0）．∴==，则a+2=0，∴a=﹣2．有z=﹣2i，故选D【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．3．已知命题p：函数y=2﹣a x+1的图象恒过定点（1，2）；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q【考点】复合命题的真假．【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】由函数的翻折和平移，得到命题p假，则￢p真；由函数的奇偶性，对轴称和平移得到命题q假，则命题￢q真，由此能求出结果．【解答】解：函数y=2﹣a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），所以函数y=2﹣a x+1恒过（﹣1，1）点，所以命题p假，则￢p真．函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x﹣1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，所以命题q假，则命题￢q真．综上可知，命题p∧￢q为真命题．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断，是中档题，解题时要认真审题，注意得复合命题的性质的合理运用．4．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A．24种B．48种C．96种D．144种【考点】计数原理的应用．【专题】计算题．【分析】本题是一个分步计数问题，A只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，程序B和C实施时必须相邻，把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列．【解答】解：本题是一个分步计数问题，∵由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果∵程序B和C实施时必须相邻，∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果根据分步计数原理知共有2×48=96种结果，故选C．【点评】本题考查分步计数原理，考查两个元素相邻的问题，是一个基础题，注意排列过程中的相邻问题，利用捆绑法来解，不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列．5．执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ）A ．﹣B ．C ．﹣D ．【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k 的值，当k=5时满足条件k ＞4，计算并输出S 的值为．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k ＞4，k=3不满足条件k ＞4，k=4不满足条件k ＞4，k=5满足条件k ＞4，S=sin =，输出S 的值为．故选：D ．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．6．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2 B．5 C．6 D．7【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先画出约束条件的可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=x ﹣y，不难求出目标函数z=x﹣y的最小值．【解答】解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域，由得A（3，5），当直线z=x﹣y平移到点A时，直线z=x﹣y在y轴上的截距最大，即z取最小值，即当x=3，y=5时，z=x﹣y取最小值为﹣2．故选A．【点评】本题主要考查线性规划的基本知识，用图解法解决线性规划问题时，利用线性规划求函数的最值时，关键是将目标函数赋予几何意义．7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6 B．30+6C．56+12D．60+12【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底==10，S后=，S右==10，S左==6．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力．8．已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则9x+3y的最小值为（）A．2 B． C．6 D．9【考点】基本不等式；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】由于⊥⇔=0，即可得出x，y的关系，再利用基本不等式即可得出9x+3y的最小值．【解答】解：∵⊥，∴（x﹣1，2）•（4，y）=0，化为4（x﹣1）+2y=0，即2x+y=2．∴9x+3y≥===6，当且仅当2x=y=1时取等号．故选C．【点评】本题考查了⊥⇔=0、基本不等式的性质，属于基础题．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=2，1+=．则∠C=（）A．30°B．135° C．45°或135°D．45°【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简即可．【解答】解：由1+=．得1+=．即cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosA，即sin（A+B）=2sinCcosA，即sinC=2sinCcosA，∴cosA=，即A=，∵a=2，c=2，∴a＞c，即A＞C，由正弦定理得，即，∴sinC=，即C=45°，故选：D【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．10．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可．【解答】解：由lnx≠0得，x＞0且x≠1，当0＜x＜1时，lnx＜0，此时y＜0，排除B，C，函数的导数f′（x）=，由f′（x）＞0得lnx＞1，即x＞e此时函数单调递增，由f′（x）＜0得lnx＜1且x≠1，即0＜x＜1或1＜x＜e，此时函数单调递减，故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的性质，利用定义域，单调性极值等函数特点是解决本题的关键．11．设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用三角形面积公式，可把△BCF与△ACF的面积之比转化为BC长与AC长的比，再根据抛物线的焦半径公式转化为A，B到准线的距离之比，借助|BF|=求出B点坐标，得到AB方程，代入抛物线方程，解出A点坐标，就可求出BN与AE的长度之比，得到所需问题的解．【解答】解：∵抛物线方程为y2=2x，∴焦点F的坐标为（，0），准线方程为x=﹣，如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，则|BF|=x2+=2，∴x2=2，把x2=2代入抛物线y2=2x，得，y2=﹣2，∴直线AB过点M（3，0）与（2，﹣2）方程为2x﹣y﹣6=0，代入抛物线方程，解得，x1=，∴|AE|=+=5，∵在△AEC中，BN∥AE，∴===，故选：A【点评】本题主要考查了抛物线的焦半径公式，侧重了学生的转化能力，以及计算能力．12．对于任意实数a，b，定义min{a，b}=，定义在R上的偶函数f （x）满足f （x+4）=f（x），且当0≤x≤2时，f （x）=min{2x﹣1，2﹣x}，若方程f （x）﹣mx=0恰有两个根，则m的取值范围是（）A．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）B．[﹣1，）∪C．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）D．（，）∪（，）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先由题意求出f（x），然后令g（x）=mx，转化为图象交点的问题解决．【解答】解：由题意得，又因为f（x）是偶函数且周期是4，可得整个函数的图象，令g（x）=mx，本题转化为两个交点的问题，由图象可知有三部分组成，排除B，D易得当过（3，1），（﹣3，1）点时恰有三个交点，此时m=±，故选A．【点评】本题考查的是函数的性质的综合应用，利用数形结合快速得解．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．若tan（π﹣α）=2，则sin2α= ．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式化简已知等式的左边求出tanα的值，再利用同角三角函数间的基本关系得到sinα=2cosα，且sinα与cosα异号，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系求出cos2α与sin2α的值，进而求出sinαcosα的值，最后利用二倍角的正弦函数公式即可求出sin2α的值．【解答】解：∵tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣=2，即=﹣2＜0，∴sinα=﹣2cosα，两边平方得：sin2α=4cos2α，∵sin2α+cos2α=1，∴cos2α=，sin2α=，∴sin2αcos2α=，即sinαcosα=﹣，则sin2α=2sinαcosα=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．14．展开式中不含x4项的系数的和为0 ．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】给二项式中的x赋值1，得到展开式的所有项的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为4求出展开式中x4的系数，利用系数和减去x4的系数求出展开式中不含x4项的系数的和．【解答】解：令x=1求出展开式的所有的项的系数和为1展开式的通项为令得r=8所以展开式中x4的系数为1故展开式中不含x4项的系数的和为1﹣1=0故答案为：0【点评】本题考查解决展开式的系数和问题常用的方法是赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．15．如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）=sinx及直线x=a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a= π．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】根据几何概型的概率公式，以及利用积分求出阴影部分的面积即可得到结论．【解答】解：根据题意，阴影部分的面积为==1﹣cosa，矩形的面积为，则由几何概型的概率公式可得，即cosa=﹣1，又a∈（0，2π），∴a=π，故答案为：π【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据积分的几何意义求出阴影部分的面积是解决本题的关键．16．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1．③在回归直线=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2单位．④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确的命题是②③．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】概率与统计；推理和证明．【分析】根据抽样方法的定义，可判断①；根据相关系数与相关性的关系，可判断②；根据相关系数的几何意义，可判断③；根据独立性检验的方法和步骤，可判断④．【解答】解：从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①错误；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0，故②正确；在回归直线=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2单位，故③正确；对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故④错误；故正确的命题是：②③，故答案为：②③【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了抽样方法，相关系数，回归分析，独立性检验等知识点，难度不大，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.17．设数列{a n}的前n项积为T n，且T n=2﹣2a n（n∈N*）．（Ⅰ）求证数列是等差数列；（Ⅱ）设b n=（1﹣a n）（1﹣a n+1），求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由已知，令n=1可求T1，然后利用已知变形可得：T n•T n﹣1=2T n ﹣1﹣2T n（n≥2），变形即可证明（Ⅱ）由等差数列，可求，进而可求a n，代入即可求解b n，结合数列的特点考虑利用裂项求和【解答】解：（Ⅰ）∵T n=2﹣2a n∴T1=2﹣2T1∴∴由题意可得：T n•T n﹣1=2T n﹣1﹣2T n（n≥2），所以∴数列是以为公差，以为首项的等差数列（Ⅱ）∵数列为等差数列，∴，∴，∴，∴==【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式及数列的裂项求和方法的应用．18．“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话．活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10，20），[20，30），…，[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图能求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数．（Ⅱ）由频率公布直方图知100×0.15=15，100×0.05=5，由此能求出抽取的8人中[50，60）年龄段抽取的人数．（Ⅲ）X的所有可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）1﹣10×（0.020+0.025+0.015+0.005）=0.35，100×0.35=35，即随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数为35．…（Ⅱ）100×0.15=15，100×0.05=5，所以，即抽取的8人中[50，60）年龄段抽取的人数为2．…（Ⅲ）X的所有可能取值为0，1，2．；；．所以X的分布列为X 0 1 2PX的数学期望为．…【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求二面角A﹣PB﹣E的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】空间角；空间向量及应用．【分析】（Ⅰ）由三角形中位线定理可得DE∥BC，进而由线面平行的判定定理得到DE∥平面PBC （II）连接PD，由等腰三角形三线合一，可得PD⊥AB，由DE∥BC，BC⊥AB可得DE⊥AB，进而由线面垂直的判定定理得到AB⊥平面PDE，再由线面垂直的性质得到AB⊥PE；（Ⅲ）以D为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面PBE的法向量和平面PAB的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角A﹣PB﹣E的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC．∵DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC．…（Ⅱ）连接PD，∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB．…．∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB…又∵PD∩DE=D，PD，DE⊂平面PDE∴AB⊥平面PDE…∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE…（Ⅲ）∵AB⊥平面PDE，DE⊥AB…如图，以D为原点建立空间直角坐标系，由PA=PB=AB=2，BC=3，则B（1，0，0），P（0，0，），E（0，，0），∴=（1，0，），=（0，，）．设平面PBE的法向量，∴令得…∵DE⊥平面PAB，∴平面PAB的法向量为．…设二面角的A﹣PB﹣E大小为θ，由图知，，所以θ=60°，即二面角的A﹣PB﹣E大小为60°…【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面位置关系的判定，性质是解答（I）和（II）的关键，而（III）的关键是建立空间坐标系，将空间角问题转化为向量夹角问题．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于E、F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）通过椭圆的离心率，直线与圆相切，求出a，b即可求出椭圆的方程．（2）设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，将y=kx代入椭圆的方程，利用韦达定理，结合点E，F到直线AB的距离分别，表示出四边形AEBF的面积，利用基本不等式求出四边形AEBF面积的最大值时的k值即可．【解答】解：（1）由题意知：=∴=，∴a2=4b2．…又∵圆x2+y2=b2与直线相切，∴b=1，∴a2=4，…故所求椭圆C的方程为…（2）设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，将y=kx代入椭圆的方程整理得：（k2+4）x2=4，故．①…又点E，F到直线AB的距离分别为，．…所以四边形AEBF的面积为==…===，…当k2=4（k＞0），即当k=2时，上式取等号．所以当四边形AEBF面积的最大值时，k=2．…【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想以及计算能力．21．已知函数，当时，函数f（x）有极大值．（Ⅰ）求实数b、c的值；（Ⅱ）若存在x0∈[﹣1，2]，使得f（x0）≥3a﹣7成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x+b，利用当时，函数f（x）有极大值，建立方程，即可求得实数b、c的值；（Ⅱ）存在x0∈[﹣1，2]，使得f（x0）≥3a﹣7成立，等价于x∈[﹣1，2]，使得f（x）max≥3a﹣7成立，分类讨论，求出函数的最大值，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x+b∵当时，函数f（x）有极大值，∴f′（）=﹣++b=0，f（）=﹣++c=，∴b=0，c=0；（Ⅱ）存在x0∈[﹣1，2]，使得f（x0）≥3a﹣7成立，等价于x∈[﹣1，2]，使得f（x）max≥3a﹣7成立由（Ⅰ）知，①﹣1≤x＜1时，f′（x）=﹣3x（x﹣），函数在（﹣1，0）上单调递减，在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减∵f（﹣1）=2，f（）=，∴﹣1≤x＜1时，f（x）max=2，；②2≥x≥1时，f′（x）=，1°、a＞0，函数在[1，2]上单调递增，f（x）max=f（2）=aln2，∴或，∴＜a≤或0＜a≤；2°、a≤0，函数在[1，2]上单调递减，f（x）max=f（1）=aln1=0，∴2≥3a﹣7，∴a≤3，∴a≤0综上，实数a的取值范围是a≤．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的绝对值，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．（Ⅰ）求证：DC2=DE•DB；（Ⅱ）若CD=2，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定；相似三角形的性质．【专题】选作题．【分析】（I）先证明△BCD∽△CED，可得，从而问题得证；（II）OD⊥AC，设垂足为F，求出CF=，利用DC2=CF2+DF2，建立方程，即可求得⊙O 的半径．【解答】（I）证明：连接OD，OC，由已知D是弧AC的中点，可得∠ABD=∠CBD∵∠ABD=∠ECD∴∠CBD=∠ECD∵∠BDC=∠EDC∴△BCD∽△CED∴∴CD2=DE•DB．（II）解：设⊙O的半径为R∵D是弧AC的中点∴OD⊥AC，设垂足为F在直角△CFO中，OF=1，OC=R，CF=在直角△CFD中，DC2=CF2+DF2∴∴R2﹣R﹣6=0∴（R﹣3）（R+2）=0∴R=3【点评】本题是选考题，考查几何证明选讲，考查三角形的相似与圆的性质，属于基础题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．【专题】计算题．【分析】（1）将直线化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，由此不难得到直线l 的极坐标方程；（2）将直线l的极坐标方程代入曲线C极坐标方程，可得关于ρ的一元二次方程，然后可以用根与系数的关系结合配方法，可以得到AB的长度．【解答】解：（1）直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程得：y=x∴在平面直角坐标系中，直线l经过坐标原点，倾斜角是，因此，直线l的极坐标方程是θ=，（ρ∈R）；…（2）把θ=代入曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0，得ρ2﹣ρ﹣3=0 ∴由一元二次方程根与系数的关系，得ρ1+ρ2=，ρ1ρ2=﹣3，∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|==．…【点评】本题以参数方程和极坐标方程为例，考查了两种方程的互化和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）求证：﹣3≤f（x）≤3；（2）解不等式f（x）≥x2﹣2x．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】（1）通过讨论x的范围得到相对应的f（x）的表达式，从而证明出结论；（2）利用分段函数解析式，分别解不等式，即可确定不等式的解集．【解答】解：（1）当x≤﹣1时，f（x）=3，成立；当﹣1＜x＜2时，f（x）=﹣2x+1，﹣4＜﹣2x＜2，∴﹣3＜﹣2x+1＜3，成立；当x≥2时，f（x）=﹣3，成立；故﹣3≤f（x）≤3；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）当x≤﹣1时，x2﹣2x≤3，∴﹣1≤x≤2，∴x=1；当﹣1＜x＜2时，x2﹣2x≤﹣2x+1，∴﹣1≤x≤1，∴﹣1＜x≤1；当x≥2时，x2﹣2x≤﹣3，无解；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综合上述，不等式的解集为：[﹣1，1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查绝对值函数，考查分类讨论的数学思想，确定函数的解析式是关键．。

陕西省黄陵中学高新部2018届高三数学下学期第一次大检测试题理第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足( 1+2i)z=4+3i，则z的虚部是A．-1 B．1 C．-2 D．22．已知A ={x|y=log2(3x -1)}，B={y|x2+y2=4），则(CRA )ClB=A．[-2，] B．[-2，) C.( ，2] D．(，2)3．甲、乙、丙三人站成一排照相，甲排在左边的概率是A．1 B． C． D．4．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的一种运算方法，执行该程序框图，若输入的a，b分别为12,20,则输出的a=A．0 B．14C．4 D．25.已知向量，且，则（）A.4B.2C.D.6.已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位，则得到的新函数图象的解析式为（）A. B.C. D.7.我国古代数学专著《九章算术》中有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，则需（）日两马相逢A.16B. 12C.9D.88.设且，则的最小值是（）A. B. C. D.9．已知函数f (x )＝sin x －12x (x ∈[0，π])，那么下列结论正确的是 ( )．A ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 B ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π上是减函数 C ．∃x ∈[0，π]，f (x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D ．∀x ∈[0，π]，f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 10．函数y ＝e sin x (－π≤x ≤π)的大致图象为( )．11．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 12．已知抛物线y 2＝4x 的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的焦距等于( )． A. 5 B ．2 5 C. 3 D ．2 3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量，满足，|，，则|．14.已知变量，满足，则的最大值为．15.中，是斜边上一点，且满足：，点在过点的直线上，若则的最小值为．16．设函数与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数的最大值为.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.已知p：方程x2+mx+4=0有两个不等的负根；q：方程4x2+4（m-2）x+1=0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围． (12分 )18.已知函数f（x）=lg[（a2-1）x2+（a+1）x+1]．设命题p：“f（x）的定义域为R”；命题q：“f（x）的值域为R” (12分 )（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；（2）若命题q为真，求实数a的取值范围；19． (12分 )已知等边△AB′C′边长为，△BCD中，（如图1所示），现将B与B′，C与C′重合，将△AB′C′向上折起，使得（如图2所示）．（1）若BC的中点O，求证：平面BCD⊥平面AOD；（2）在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明理由；（3）求三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积．20． (12分 )已知圆，将圆E2按伸缩变换：后得到曲线E1，（1）求E 1的方程；（2）过直线x=2上的点M 作圆E 2的两条切线，设切点分别是A ，B ，若直线AB 与E 1交于C ，D 两点，求的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）=（x 2+ax-2a-3）·e 3-x（a ∈R ）（1）讨论f （x ）的单调性；（2）设g （x ）=（a 2+254）e x （a>0），若存在x 1，x 2∈[0，4]使得|f （x 1）-g （x 2）|<1成立，求a 的取值范围．请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分分）选修4-4；坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线． （Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程． （Ⅱ）求曲线上的点到直线的距离的最大值．23.（本小题满分分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.（1）解不等式；（2）若、，，，证明：.参考答案1-4.BADC 5-8.AACA 9-12.DDAB 13. 2 14. 12 15.16． 17.解：p 满足m 2-16＞0，x 1+x 2=-m ＜0，x 1x 2=4＞0，解出得m＞4；q满足[4（m-2）]2-4×4＜0，解出得1＜m＜3，又因为“p或q”为真，“p且q”为假，∴p，q一真一假，∴或所以m∈（1，3）∪（4，+∞）．18.解：（1）若命题p为真，即f（x）的定义域是R，则（a2-1）x2+（a+1）x+1＞0恒成立，…（2分）则a=-1或…（3分）解得a≤-1或．∴实数a的取值范围为（-∞，，+∞）．…（6分）（2）若命题q为真，即f（x）的值域是R，设u=（a2-1）x2+（a+1）x+1的值域为A则A⊇（0，+∞），…（8分）等价于a=1或…（10分）解得．∴实数a的取值范围为[1，．…（12分）19【解答】解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且O为中点，∴BC⊥AO，BC⊥DO，∵AO∩DO=O，∴BC⊥平面AOD，又BC⊂面ABC∴平面BCD⊥平面AOD…（2）（法1）作AH⊥DO，交DO的延长线于H，则平面BCD∩平面AOD=HD，则AH⊥平面BCD，在Rt△BCD中，，在Rt△ACO中，，在△AOD中，，。

2018年高考数学理科一模试卷（南昌市带答案和解释）
5 c 5不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．
5不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）由绝对值的几何意义知，由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，可得，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a＜2时，（x）在单调递减，在单调递增，利用函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．
【解答】解（Ⅰ）由题f（x）≤2﹣|x﹣1|，即为．
而由绝对值的几何意义知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，∴ ，即0≤a≤4．∴实数a 的取值范围[0，4]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|的零点为和1，当a＜2时知，
∴ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
如图可知f（x）在单调递减，在单调递增，
∴ ，得a=﹣4＜2（合题意），即a=﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
2018年3月15日
5 c。

菏泽市2018届高三年级第一次模拟考试数学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.1.已知集合，则A. B. C. D.2.已知复数满足（为虚数单位），则为A.2B.C.D.13.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列正确的是A. 若，则B.若，则C. 若，则D.若，则4.若在区间上随机取两个数，则这两个数之和小于3的概率是A. B. C. D.5.若双曲线的离心率，则实数的取值范围为A. B. C. D.6.等比数列中，是方程的两个实数根，则的值为A.2B.或C.D.7.执行如图所示的程序框图，输入，若要求输出不超过500的最大奇数，则◇内应填A. B. C. D.8.若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则A. B. C. D.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是A. B. C. D.10.已知，若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为A. B. C. D.11.已知椭圆的左、右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若的内切圆半径为，则椭圆的离心率A. B.或 C. D.12.已知是定义域为的单调函数，若对任意都有，且关于的方程在区间上有两个不同实数根，则实数的取值范围是A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.记表示不超过的最大整数，例如，已知则__________.14.若实数满足，则的最小值是__________.15.已知平面向量均为单位向量，若，则的取值范围为__________.16.已知等差数列前项和为，且，若满足不等式的正整数有且仅有3个，则实数的取值范围为__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 第17题〜第21题为必考题，每个题目考生都必须作答. 第22题〜第23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题: 共60分.17.（本小题满分12分）在中，分别是角的对边，且，.（1）求的值；（2）若，求的面积.18.（本小题满分12分）如图，在几何体中，四边形是边长为2的菱形，平面，平面，，.（1）当长为多少时，平面平面？（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.19.（本小题满分12分）在一次诗词知识竞赛调查中，发现参赛选手分为两个年龄（单位:岁）段：，，其中答对诗词名句与否的人数如图所示.（1）完成下面2×2列联表；（2）是否有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关，请说明你的理由；（3）现按年龄段分层抽样选取6名选手，若从这6名选手中选取3名选手，求3名选手中年龄在岁范围人数的分布列和数学期望.注:，其中20.（本小题满分12分）已知抛物线的顶点为平面直角坐标系的坐标原点，焦点为圆的圆心.经过点的直线交抛物线于两点，交圆于两点，在第一象限，在第四象限.（1）求抛物线的方程；（2）是否存在直线使是与的等差中项？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围；（2）若对恒成立，求实数的取值范围.（二）选考题: 共10分. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4: 坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的普通方程；（2）若分别为曲线上的动点，求的最大值.23.（本小题满分10分）选修4-5: 不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）设，若对任意不等式成立，求实数的取值范围.菏泽市2018届高三年级第一次模拟考试·数学（理科）参考答案、提示及评分细则1.C 因为集合，，所以，故选C.2.C 由，得，∴，故选C.3.D 若，则，D正确；分析知选项A，B，C均不正确，故选D.4.A 如图，在区间[0，2]上随机取两个数为x，y，则不等式组，表示的平面区域为边长是2的正方形OACE区域．又，所以所求概率.故选A5.D 由题意易得，则，即．故选D.6.B 是方程的根，，即或..故选B.7.C 输入，则，不符合；，则，不符合；，则，符合.又，所以输出m的值应为5，所以空白框内应填输出．故选C8.C 展开式的通项为，因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，故n的最小值为5．所以.故选C9.D 由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于以俯视图为底面侧棱长为1的直三棱柱的外接球，再由正弦定理易得底面三角形的外接圆半径，球心到底面的距离，故球半径，故球的表面积，故选D.10.D 由得，又，则，所以，所以．将向右平移个单位长度后得到，因为函数的图象关于y轴对称，所以，即.又，所以当时，取得最小值. 故选D.11.B 如图，设内切圆圆心为C，半径为r，则.即，∴，∴.整理得，解得或.故选B.12.A 由题意知必存在唯一的正实数m满足，，∴，∴，∴，解得m=3．故．又关于x的方程在区间（0，3]上有两个不同实数根，即关于x的方程在区间（0，3]上有两个不同实数根．由，得.当时，，单调递减；与时，，单调递增，∴在处取得最大值a.，．分别作出函数和函数的部分图象：两图象只有一个交点（l，0），将的图象向上平移，且经过点（3，1），由，得．综上．故选A.13.∵，∴. 又∵，∴，即.14.不等式可表示为如图所示的平面区域.为该区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然，当x=3，y=1时，取得最小值.15.∵三个平面向量均为单位向量，，∴设，，，则，，∴.它表示单位圆上的点到定点P （2，3）的距离，其最大值是，最小值是.∴的取值范围是.16.不妨设，由，得，则，所以，令，则），易得数列在时单调递减；在n＞5时单调递增. 令，有，，. 若满足题意的正整数n只有3个，则n只能为4，5，6，故实数的取值范围为.17.解：（1）∵，由正弦定理得. ∴，∴.又，∴.∵，∴，∴，由3a=2b知，a＜b，∴A为锐角，∴.∴（2）∵b=6，，∴a=4.∴.18.证明：（1）连接BD交AC于点O，则AC⊥BD.取EF的中点G，连接OG，则OG∥DE.∵DE⊥平面ABCD，∴OG⊥平面ABCD.∴OG，AC，BD两两垂直.∴以AC，BD，OG所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），设，由题意，易求，∴，设平面AEF，平面CEF的法向量分别为，由，，得，∴解得. 令，∴. 同理可求.若平面AEF⊥平面CEF，则，∴，解得或（舍），即BF长为时，平面AEF⊥平面CEF.解:（2）当时，，∴，，∴EF⊥AF，EF⊥CF，∴EF⊥平面AFC，∴平面AFC的一个法向量为，设平面AEC的一个法向量为，则，∴，得，令，得，∴.从而.故所求的二面角E-AC-F的余弦值为.19.解：（1）2×2列联表：（2）.∵3＞2.706，∴有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关.（3）按年龄段分层抽取6人中，在范围[20，30）岁的人数是2（人），在[30，40]岁范围的人数是4（人）.现从6名选手中选取3名选手，设3名选手中在范围[20，30）岁的人数为，则的可能取值为0，1，2，，，∴的分布列为故的数学期望为.20.解：（1）∵圆F的方程为，∴圆心F的坐标为（2，0），半径r=1.根据题意设抛物线E的方程为，∴，解得p=4.∴抛物线E的方程为.（2）∵是与的等差中项，∴.∴.讨论：若垂直于x轴，则的方程为x=2，代入，解得.此时|AD|=8，不满足题意；若不垂直于x轴，则设的斜率为k（k≠0），此时的方程为，由，得.设，则.∵拋物线E的准线方程为x=-2，∴∴，解得.当时，化为.∵，∴有两个不相等实数根.∴满足题意.∴存在满足要求的直线或直线.21.解：（1）方程即为.令，则. 令，则（舍），.当x∈[1， 3]时，随x变化情况如表:极大值∴当x∈[1，3]时，.∴m的取值范围是.（2）据题意，得对恒成立.令，则.令，则当x＞0时，，∴函数在上递增.∵，∴存在唯一的零点c∈（0，1），且当x∈（0，c）时，；当时，.∴当x∈（0，c）时，；当时，.∴在（0，c）上递减，在上递增，从而.由得，即，两边取对数得，∴.∴，即所求实数a的取值范围是.22.解：（1）的普通方程为.∵曲线的极坐标方程为，∴曲线的普通方程为，即.（2）设为曲线上一点，则点到曲线的圆心的距离.∵，∴当时，d有最大值.又∵P，Q分别为曲线，曲线上动点，∴的最大值为.23.解：（1）因为，所以即为，整理得.讨论：①当时，，即，解得.又，所以.②当时，，即，解得. 又，所以.综上，所求不等式的解集为.（2）据题意，得对任意恒成立，所以恒成立.又因为，所以. 所以，解得.所以所求实数m的取值范围是.。

2018年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数a﹣（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．42．以下四个命题，正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程=0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，变量y一定增加0.2单位；④对于两分类变量X与Y，求出其统计量K2，K2越小，我们认为“X与Y有关系”的把握程度越小．A．①④ B．②③ C．①③ D．②④3．在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（）A．（4，10] B．（2，+∞）C．（2，4] D．（4，+∞）4．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．1285．将函数f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）=sin2x的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A．B．C．D．6．长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方匀在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=klnx+1（k∈R），函数g（x）=f（x2﹣4x+5），若存在实数k使得关于x的方程g（x）+sin x=0有且只有6个实数根，则这6个根的和为（）A．3πB．6 C．12 D．12π8．在菱形ABCD中，A=60°，AB=，将△ABD折起到△PBD的位置，若三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为，则二面角P﹣BD﹣C的正弦值为（）A．B．C．D．9．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C． D．10．已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成．若区域D的面积为8，则a+b的最小值为（）A．B．2 C．4 D．811．已知数列{a n}满足a n+a n﹣1=n（﹣1），S n是其前n项和，若S2017=﹣1007﹣b，且a1b＞0，则+的最小值为（）A．3﹣2B．3 C．2 D．312．设函数f（x）=x3+bx+c，η，ξ是方程f（x）=0的根，且f′（ξ）=0，当0＜ξ﹣η＜1时，关于函数g（x）=x3﹣x2+（b+2）x+（c﹣b+η）lnx+d在区间（η+1，ξ+1）内的零点个数的说法中，正确的是（）A．至少有一个零点B．至多有一个零点C．可能存在2个零点D．可能存在3个零点二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知集合A={x∈R|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x∈R|﹣1＜x＜m}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数m的取值范围为．14．在等差数列{a n}中，S n为数列{a n}的前n项和，d为数列{a n}的公差，若对任意n∈N*，都有S n＞0，且a2a4=9，则d的取值范围为．15．设椭圆C：+=1与函数y=tan的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是．16．已知kC n k=nC n﹣1k﹣1（1≤k≤n，且k，n∈N*）可以得到几种重要的变式，如：C n k，将n+1赋给n，就得到kC n+1k=（n+1）C n k﹣1，…，进一步能得到：1C n1+2C n2•21+…+nC n n•2n﹣1=nC n﹣10+nC n﹣11•21+nC n﹣12•22+…+nC n﹣1n﹣1•2n﹣1=n（1+2）n ﹣1=n•3n﹣1．请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：C n0×+C n1×（）2+C n2×（）3+…+C n n×（）n+1= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，，求△ABC的面积．18．《环境空气质量指标（AQI）技术规定（试行）》如表1：表1：空气质量指标AQI分组表AQI 0～5051～100101～150151～200201～300＞300级别Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级Ⅳ级Ⅴ级Ⅵ级类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（km）的情况．表2：AQI指数900 700 300 100空气可见度（千米）0.5 3.5 6.5 9.5表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日AQI指数频数统计表．表3：AQI指数[0，200]（201，400]（401，600]（601，800]（801，1000]频数 3 6 12 6 3（1）设x=，根据表2的数据，求出y关于x的回归方程；（2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元．（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望．（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率．（用最小二乘法求线性回归方程系数公式=，=﹣x）19．如图所示，异面直线AB，CD互相垂直，AB=，BC=，CD=1，BD=2，AC=3，截面EFGH分别与BD，AD，AC，BC相交于点E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD ∥平面EFGH．（1）求证：BC⊥平面EFGH；（2）求二面角B﹣AD﹣C的正弦值．20．如图，抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同的两点P1，P2，过P1，P2作圆心为Q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P1Q⊥P2Q．（1）求抛物线C和圆Q的方程；（2）过点F作倾斜角为θ（≤θ≤）的直线l，且直线l与抛物线C和圆Q依次交于M，A，B，N，求|MN||AB|的最小值．21．已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是圆O的直径，弦CE交AB于D，CD=4，DE=2，BD=2．（I）求圆O的半径R；（Ⅱ）求线段BE的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．选修4-5：不等式选讲24．关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数a﹣（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数a﹣=a﹣=a﹣（4+i）=（a﹣4）﹣i是纯虚数，∴a﹣4=0，解得a=4．故选：D．2．以下四个命题，正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程=0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，变量y一定增加0.2单位；④对于两分类变量X与Y，求出其统计量K2，K2越小，我们认为“X与Y有关系”的把握程度越小．A．①④ B．②③ C．①③ D．②④【考点】两个变量的线性相关；线性回归方程．【分析】①抽样是间隔相同，故①应是系统抽样；②根据相关系数的公式可判断；③由回归方程的定义可判断；④k越小，“X与Y有关系”的把握程度越小．【解答】解：根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；在回归直线方程=0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，故③为假命题相，若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小，故④为真命题．∴正确的是②④，故选：D．3．在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（）A．（4，10] B．（2，+∞）C．（2，4] D．（4，+∞）【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：设输入x=a，第一次执行循环体后，x=3a﹣2，i=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，x=9a﹣8，i=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，x=27a﹣26，i=3，满足退出循环的条件；故9a﹣8≤82，且27a﹣26＞82，解得：a∈（4，10]，故选：A4．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．128【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，计算出底面的周长和高，进而可得几何体的侧面积．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，∵它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，O1A1=6，O1C1=2，∴它的俯视图的直观图面积为12，∴它的俯视图的面积为：24，∴它的俯视图的俯视图是边长为：6的菱形，棱柱的高为4故该几何体的侧面积为：4×6×4=96，故选：C．5．将函数f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）=sin2x的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数g（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数f（x）=sin（2x﹣2φ）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨设：x2=，x1=，即f（x）在x1=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=+kπ，k∈Z，由于0＜φ＜，不合题意，不妨设：x2=，x1=﹣，即f（x）在x1=﹣，取得最小值，sin[2×（﹣）﹣2φ]=﹣1，此时φ=﹣kπ，k∈Z，当k=0时，φ=满足题意．故选：D．6．长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方匀在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|40≤x≤60，40≤y≤60}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|40≤x≤60，40≤y≤60}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（55，60），由得B（40，45），则S△ABC=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=，故选：A．7．已知函数f（x）=klnx+1（k∈R），函数g（x）=f（x2﹣4x+5），若存在实数k使得关于x的方程g（x）+sin x=0有且只有6个实数根，则这6个根的和为（）A．3πB．6 C．12 D．12π【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据条件，先判断g（x）关于x=2对称，然后利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可．【解答】解：∵y=x2﹣4x+5的对称轴为x=2，∴由g（x）=f（x2﹣4x+5），得g（x）关于x=2对称，由g（x）+sin x=0得g（x）=﹣sin x，作出函数y=﹣sin x的图象，若程g（x）+sin x=0只有6个根，则六个根两两关于x=2对称，则关于对称的根分别为x1和x2，x3和x4，x5和x6，则=2，=2，=2则x1+x2=4，x3+x4=4，x5+x6=4则这6个根之和为4+4+4=12，故选：C．8．在菱形ABCD中，A=60°，AB=，将△ABD折起到△PBD的位置，若三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为，则二面角P﹣BD﹣C的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】取BD中点E，连接AE，CE，则∠PEC是二面角P﹣BD﹣C的平面角，由此能求出二面角P﹣BD﹣C的正弦值．【解答】解：取BD中点E，连接AE，CE，则∠PEC是二面角P﹣BD﹣C的平面角，PE=CE=，三棱锥P﹣BCD的外接球的半径为R，则，解得R=，设△BCD的外接圆的圆心F与球心O的距离为OF=h，则CF==1，则R2=1+h2，即，解得h=，过P作PG⊥平面BCD，交CE延长线于G，过O作OH∥CG，交PG于H，则四边形HGFO是矩形，且HG=OF=h=，PO=R=，∴，解得GE=，PH=，∴PG=，CG=，∴PC==，∴cos∠PEC==﹣，∴sin∠PEC==．∴二面角P﹣BD﹣C的正弦值为．故选：C．9．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，可得a，b的关系，再由a，b，c的关系可得a，c的关系．由离心率公式计算即可得到．【解答】解：∵过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且|BC|=|CF 2|， ∴|BF 1|=2a ，设切点为T ，B （x ，y ），则利用三角形的相似可得==∴x=，y=，∴B （，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a ，则c==a ，即有e==．故选C ．10．已知点A （1，﹣1），B （4，0），C （2，2），平面区域D 由所有满足（1＜λ≤a ，1＜μ≤b ）的点P （x ，y ）组成．若区域D 的面积为8，则a+b 的最小值为（ ）A ．B ．2C ．4D ．8【考点】简单线性规划．【分析】如图所示，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABCD ．分别作=，=，则由所有满足（1＜λ≤a ，1＜μ≤b ）表示的平面区域D 为平行四边形DEQF.=，=，由于=（3，1），=（1，3），=6．可得==.=．由于S 平行四边形DEQF ==8（λ﹣1）（μ﹣1）=8，化为λμ=λ+μ，利用基本不等式的性质可得λ+μ≥4．由（1＜λ≤a ，1＜μ≤b ），可得，于是x+y=4（λ+μ）≤4（a+b ）．即可得出．【解答】解：如图所示，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABCD ．分别作=， =， 则由所有满足（1＜λ≤a ，1＜μ≤b ）表示的平面区域D 为平行四边形DEQF ．=，=，=（3，1），=（1，3），=6．∴=，∴==．∴==．∴S平行四边形DEQF==（λ﹣1）（μ﹣1）×=8（λ﹣1）（μ﹣1）=8，化为（λ﹣1）（μ﹣1）=1，∴λμ=λ+μ≥，可得λμ≥4，∴λ+μ≥4，当且仅当λ=μ=2时取等号．∵（1＜λ≤a，1＜μ≤b），∴==（1，﹣1）+λ（3，1）+μ（1，3），∴，∵1＜λ≤a，1＜μ≤b，∴x+y=4（λ+μ）≤4（a+b）．∴a+b≥λ+μ≥4，∴a+b的最小值为4．故选：C．11．已知数列{a n}满足a n+a n﹣1=n（﹣1），S n是其前n项和，若S2017=﹣1007﹣b，且a1b＞0，则+的最小值为（）A．3﹣2B．3 C．2 D．3【考点】基本不等式．【分析】由已知递推式得到：a3+a2=3，a5+a4=﹣5，…a2017+a2016=﹣2017，累加可求S2017﹣a1，结合S2017=﹣1007﹣b，求得a1+b=1，代入+，展开后利用基本不等式求最值．【解答】解：由已知得：a3+a2=3，a5+a4=﹣5，…a2017+a2016=﹣2017，把以上各式相加得：S2017﹣a1=﹣1008，即：a1﹣1008=﹣1007﹣b，∴a1+b=1，∴+=+=3++2≥3+2，故选：D．12．设函数f（x）=x3+bx+c，η，ξ是方程f（x）=0的根，且f′（ξ）=0，当0＜ξ﹣η＜1时，关于函数g（x）=x3﹣x2+（b+2）x+（c﹣b+η）lnx+d在区间（η+1，ξ+1）内的零点个数的说法中，正确的是（）A．至少有一个零点B．至多有一个零点C．可能存在2个零点D．可能存在3个零点【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得f（x）=x3+bx+c=（x﹣η）（x﹣ξ）2，进一步得到η+2ξ=0，2ηξ+ξ2=b，﹣ηξ2=c，且x∈（﹣2ξ，ξ），把函数g（x）求导，用η，ξ表示b，c，二次求导可得在区间（η+1，ξ+1）内h′（x）＜0，则答案可求．【解答】解：∵η，ξ是方程f（x）=0的根，且f′（ξ）=0，∴f（x）=x3+bx+c=（x﹣η）（x﹣ξ）2，即得η+2ξ=0，2ηξ+ξ2=b，﹣ηξ2=c，且x∈（﹣2ξ，ξ），由0＜ξ﹣η＜1，得0＜ξ，η＜0，则g′（x）=x2﹣3x+（b+2）+=，令h（x）=x3﹣3x2+（b+2）x+c﹣b+η=x3﹣3x2+（2﹣3ξ2）x+2ξ3+3ξ2﹣2ξ=（x﹣1）3﹣（1+3ξ2）（x﹣1）+2ξ2﹣2ξ，则h′（x）=3（x﹣1）2﹣（3ξ2+1），当x∈（﹣2ξ+1，ξ+1）时，h′（x）＜h′（﹣2ξ+1）=（3ξ+1）（3ξ﹣1）＜0．∴h（x）在（η+1，ξ+1）上为减函数，而h（﹣2ξ+1）=﹣8ξ3+2ξ（3ξ2+1）+（2ξ3﹣2ξ）=0，当x∈（﹣2ξ+1，ξ+1）时，h′（x）＜h′（﹣2ξ+1）=0，即当x∈（﹣2ξ+1，ξ+1）时，h′（x）＜0，∴g（x）在（η+1，ξ+1）上为减函数，至多有一个零点．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知集合A={x∈R|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x∈R|﹣1＜x＜m}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（3，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可求出m的取值范围．【解答】解：A={x∈R|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⊊B，则m＞3，故答案为：（3，+∞）14．在等差数列{a n}中，S n为数列{a n}的前n项和，d为数列{a n}的公差，若对任意n∈N*，都有S n＞0，且a2a4=9，则d的取值范围为．【考点】等差数列的通项公式．【分析】对任意n∈N*，都有S n＞0，可得：a1＞0，d≥0．由于a2a4=9，化为3d2+4a1d+﹣9=0，△＞0，而且两根之和=﹣4d＜0，而必须至少有一个正实数根．可得3d2﹣9≤0，d≥0，解出即可得出．【解答】解：对任意n∈N*，都有S n＞0，∴a1＞0，d≥0．∵a2a4=9，∴（a1+d）（a1+3d）=9，化为+4a1d+3d2﹣9=0，△=16d2﹣4（3d2﹣9）=4d2+36＞0，∴方程有两个不相等的实数根，并且两根之和为﹣4d＜0，而必须至少有一个正实数根．d=时，a1=0，舍去．则d的取值范围为．故答案为：．15．设椭圆C：+=1与函数y=tan的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C 上，且直线PA2的斜率的取值范围[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是．【考点】椭圆的简单性质．【分析】椭圆C：+=1与函数y=tan的图象相交于A1，A2两点，可知：A1，A2两点关于原点对称，设A1（x1，y1），A2（﹣x1，﹣y1），P（x0，y0），分别代入椭圆方程可得：=．由于直线PA2的斜率k1的取值范围[﹣2，﹣1]，可得﹣2≤≤﹣1，==k2，可得k1k2=．即可得出．【解答】解：∵椭圆C：+=1与函数y=tan的图象相交于A1，A2两点，∴A1，A2两点关于原点对称，设A1（x1，y1），A2（﹣x1，﹣y1），=1，=．设P（x0，y0），则=1，可得：=．∴=．∵直线PA2的斜率k1的取值范围[﹣2，﹣1]，∴﹣2≤≤﹣1，==k2，∴k1k2===．∴，∴﹣1，解得．那么直线PA1斜率的取值范围是．故答案为：．16．已知kC n k=nC n﹣1k﹣1（1≤k≤n，且k，n∈N*）可以得到几种重要的变式，如：C n k，将n+1赋给n，就得到kC n+1k=（n+1）C n k﹣1，…，进一步能得到：1C n1+2C n2•21+…+nC n n•2n﹣1=nC n﹣10+nC n﹣11•21+nC n﹣12•22+…+nC n﹣1n﹣1•2n﹣1=n（1+2）n ﹣1=n•3n﹣1．请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：C n0×+C n1×（）2+C n2×（）3+…+C n n×（）n+1= ．【考点】组合及组合数公式；类比推理．【分析】由，可得，即，再利用二项式定理即可得出．【解答】解：由，得，，∴==．故案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，，求△ABC的面积．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公化简函数的解析式为sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由已知，可得sin（2A+）=，求得A=，再利用正弦定理求得b的值，由三角形内角和公式求得C的值，再由S=ab•sinC，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）=sin2xcos+cos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．（Ⅱ）由已知，可得sin（2A+）=，因为A为△ABC内角，由题意知0＜A＜π，所以＜2A+＜，因此，2A+=，解得A=．由正弦定理，得b=，…由A=，由B=，可得sinC=，…∴S=ab•sinC==．18．《环境空气质量指标（AQI）技术规定（试行）》如表1：表1：空气质量指标AQI分组表AQI 0～5051～100101～150151～200201～300＞300级别Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级Ⅳ级Ⅴ级Ⅵ级类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（km）的情况．表2：AQI指数900 700 300 100空气可见度（千米）0.5 3.5 6.5 9.5表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日AQI指数频数统计表．表3：AQI指数[0，200]（201，400]（401，600]（601，800]（801，1000]频数 3 6 12 6 3（1）设x=，根据表2的数据，求出y关于x的回归方程；（2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元．（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望．（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率．（用最小二乘法求线性回归方程系数公式=，=﹣x）【考点】线性回归方程；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）利用公式计算线性回归方程系数，即可得到y关于x的线性回归方程；（2）（ⅰ）由表2知AQI指数不高于200的频率为0.1，AQI指数在200至400的频率为0.2，AQI指数大于400的频率为0.7，确定饭馆每天的收入的取值及概率，从而可求分布列及数学期望；（ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含1A2C，3B，2B1C，1B2C，3C 五种情况”，即可求出小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率．【解答】解：（1），，，，所以，，所以y关于x的回归方程是．（2）由表3知AQI不高于200的频率为0.1，AQI指数在200至400的频率为0.2，AQI 指数大于400的频率为0.7．设“洗车店每天亏损约200元”为事件A，“洗车店每天收入约400元”为事件B，“洗车店每天收入约700元”为事件C，则P（A）=0.1，P（B）=0.2，P（C）=0.7，（ⅰ）设洗车店每天收入为X元，则X的分布列为X ﹣200 400 700P 0.1 0.2 0.7则X的数学期望为EX=﹣200×0.1+400×0.2+700×0.7=550（元）．（ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含1A2C，3B，2B1C，1B2C，3C 五种情况”，则“连续三天洗车店收入不低于1200元”的概率：．19．如图所示，异面直线AB，CD互相垂直，AB=，BC=，CD=1，BD=2，AC=3，截面EFGH分别与BD，AD，AC，BC相交于点E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD ∥平面EFGH．（1）求证：BC⊥平面EFGH；（2）求二面角B﹣AD﹣C的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AB∥EF，CD∥HE，AB⊥BC，BC⊥DC，BC⊥EF，BC⊥EH，由此能证明BC⊥平面EFGH．（2）作，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，Cz为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AD﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）∵AB∥平面EFGH，又∵AB⊂平面ABD，平面ABD∩平面EFGH=EF，∴AB∥EF，同理CD∥HE，∵，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，同理BC⊥DC，∴BC⊥EF，同理BC⊥EH，又∵EF，EH是平面EFGH内的两相交直线，∴BC⊥平面EFGH．（2）由（1）及异面直线AB，CD互相垂直知，直线AB，BC，CD两两垂直，作，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，Cz 为z 轴，建立空间直角坐标系C ﹣xyz ，如图所示，则，∵x 轴⊂平面ACD ，∴平面ACD 的一个法向量可设为，∵，∴，得：，即，又∵z 轴∥平面ABD ，∴平面ABD 的一个法向量可设为，∴，得，即，设二面角B ﹣AD ﹣C 的大小为θ，那么，∴，∴二面角B ﹣AD ﹣C 的正弦值为．20．如图，抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点为F （0，1），取垂直于y 轴的直线与抛物线交于不同的两点P 1，P 2，过P 1，P 2作圆心为Q 的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P 1Q ⊥P 2Q ．（1）求抛物线C 和圆Q 的方程；（2）过点F 作倾斜角为θ（≤θ≤）的直线l ，且直线l 与抛物线C 和圆Q 依次交于M ，A ，B ，N ，求|MN||AB|的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求出p值，可得抛物线方程，再由，代入抛物线方程有，抛物线在点P2处切线的斜率为．由，知，求出r，b，可得圆Q的方程；（2）设出直线方程y=kx+1且，和抛物线方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式求得|MN|，再由圆心距、圆的半径和弦长的关系求得|AB|，从而求得|MN|•|AB|的最小值．【解答】解：（1）因为抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），所以，解得p=2，所以抛物线C的方程为x2=4y．由抛物线和圆的对称性，可设圆Q：x2+（y﹣b）2=r2，∵P1Q⊥P2Q，∴△P1QP2是等腰直角三角形，则，∴，代入抛物线方程有．由题可知在P1，P2处圆和抛物线相切，对抛物线x2=4y求导得，所以抛物线在点P2处切线的斜率为．由，知，所以，代入，解得b=3．所以圆Q的方程为x2+（y﹣3）2=8．（2）设直线l的方程为y=kx+1，且，圆心Q（0，3）到直线l的距离为，∴，由，得y2﹣（2+4k2）y+1=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，由抛物线定义知，，所以，设t=1+k2，因为，所以，所以，所以当时，即时，|MN||AB|有最小值．21．已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．【分析】（I）①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h （x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，利用导数得到h（x）的单调性即可证明；②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，利用导数得出h（x）的单调性即可证明．（II）利用（I）的结论得到f（x）≥1﹣x，于是G（x）=f（x）﹣g（x）≥=．再令H（x）=，通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围．【解答】（I）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，则h′（x）=x（e x﹣e﹣x）．当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，1）上是增函数，∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1﹣x．②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，则u′（x）=e x﹣1．当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，∴f（x）．综上可知：．（II）解：设G（x）=f（x）﹣g（x）=≥=．令H（x）=，则H′（x）=x﹣2sinx，令K（x）=x﹣2sinx，则K′（x）=1﹣2cosx．当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．∴当a≤﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．下面证明当a＞﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．f（x）﹣g（x）≤==﹣x．令v（x）==，则v′（x）=．当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．当a＞﹣3时，a+3＞0．∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）．即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是圆O的直径，弦CE交AB于D，CD=4，DE=2，BD=2．（I）求圆O的半径R；（Ⅱ）求线段BE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）由相交弦定理可得CD•DE=AD•DB，求出AD，即可求圆O的半径R；（Ⅱ）求出cos∠DOE，即可求线段BE的长．【解答】解：（I）由相交弦定理可得CD•DE=AD•DB，∵CD=4，DE=2，BD=2，∴4×2=2AD，∴AD=8∴AB=10，∴圆O的半径R=5；（Ⅱ）△ODE中，DE=2，OD=3，OE=5，∴cos∠DOE==，∴BE==．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴|AB|=|t1﹣t2|==，∵|AB|=，∴=．∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．选修4-5：不等式选讲24．关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当m=1时，原不等式可变为0＜|x+3|﹣|x﹣7|＜10，通过两边平方和绝对值不等式的性质，即可得到解集；（Ⅱ）设t=|x+3|﹣|x﹣7|，则0＜t≤10，f（x）＜m恒成立，只需m＞f（x）max，求得最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）当m=1时，原不等式可变为0＜|x+3|﹣|x﹣7|＜10，由|x+3|＞|x﹣7|，两边平方，解得，x＞2，由于||x+3|﹣|x﹣7||≤|（x+3）﹣（x﹣7）|=10，即有﹣10≤|x+3|﹣|x﹣7|≤10，且x≥7时，|x+3|﹣|x﹣7|=x+3﹣（x﹣7）=10．则有2＜x＜7．故可得其解集为{x|2＜x＜7}；（Ⅱ）设t=|x+3|﹣|x﹣7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知，0＜t≤10，因y=lgx在（0，+∞）上为增函数，则lgt≤1，当t=10，即x=7时，lgt=1为最大值，故只需m＞1即可，即m＞1时，f（x）＜m恒成立．2016年9月3日。

丰台区2018年高三年级第二学期综合练习（一）数学（理科）2018.03 （本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2.本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知全集U={x I x < 5}，集合，则(A) (B) (C) (D)(2）已知命题p：x <1，，则为(A) x ≥1,(B)x <1,(C) x <1,(D) x ≥1,(3)设不等式组表示的平面区域为.则(A）原点O在内(B)的面积是1(C)内的点到y轴的距离有最大值(D)若点P(x0,y0) ，则x0+y0≠0(4)执行如图所示的程序框图，如果输出的a=2，那么判断框中填入的条件可以是(A) n≥5 (B) n≥6(C) n≥7(D) n≥8(5）在平面直角坐标系xO y中，曲线C的参数方程为（为参数）．若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为(A)=sin(B)=2sin(C) =cos(D) =2cos(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(A)(B)(C) 2 (D)(7）某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为(A)4 (B)8(C) 12 (D) 24(8）设函数,若函数恰有三个零点x1, x2, x3 (x1<x2 <x3)，则x1 + x2 + x3的取值范围是(A)(B)(C) (D)第二部分〔非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2018年高考数学（理科）模拟试卷（一）（本试卷分第I卷和第H卷两部分.满分150分，考试时间120分钟）第I卷（选择题满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （2016年四川）设集合A ={x|1W x w 5}, Z为整数集，则集合A A Z中元素的个数是（）A. 6B. 5C. 4D. 31. B 解析：由题意，A A Z = {1,2,3,4,5}，故其中的元素的个数为5•故选B.2. （2016年山东）若复数z满足2z+ "z = 3-2i,其中i为虚数单位，则z=（）A . 1 + 2i B. 1 —2iC.- 1 + 2iD. —1 —2i2. B 解析：设z= a+ bi（a, b€ R）,贝U 2z+ z = 3a+ bi = 3-2i，故a= 1, b =- 2, 则z= 1 - 2i.故选B.3. （2015年北京）某四棱锥的三视图如图M1-1,该四棱锥最长棱的棱长为（）图M1-1A. 1B. .'2C. .3 D . 23 . C 解析：四棱锥的直观图如图D188 :由三视图可知，SC丄平面ABCD , SA是四棱锥最长的棱，SA= SC2+ AC2= SC2+ AB2+ BC2= 3.故选 C.•S'4. 曲线y= x3- 2x+ 4在点（1,3）处的切线的倾斜角为（）n n n nA6 B.3 C.4 D・2n4. C 解析：f' (x)= 3x2—2, f' (1) = 1,所以切线的斜率是1，倾斜角为4.5. 设x€ R, [x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得[t] = 1 , [t2] = 2，…，[t n] =n同时成立，则正整数n的最大值是()A. 3B. 4C. 5D. 65. B 解析：因为[x]表示不超过x的最大整数.由[t] = 1,得1 w t<2，由[t2] = 2，得2W t2<3. 由[t3] = 3，得3< t3<4.由[t4] = 4，得4W t4<5.所以2< t2< 5•所以6< t5<4 5•由[t5] = 5,得5< t5<6，与6<t5<4 5矛盾，故正整数n的最大值是4.6. (2016年北京)执行如图M1-2所示的程序框图，若输入的a值为1,则输出的k值为( )图M1-2A. 1B. 2C. 3D. 46. B 解析：输入a = 1，贝U k= 0, b = 1;1进入循环体，a=—2，否，k= 1, a=—2,否，k= 2, a= 1,此时a= b= 1,输出k,贝U k= 2•故选B.7. 某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3,其中甲组学生成绩的平均数是88,乙组学生成绩的中位数是89,则m+ n的值是()5 m29 2 2 5A . 10B . 11C . 12D . 13别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A.12万元 B . 16万元 C . 17万元 D . 18万元& D 解析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，则利润z = 3x + 4y.3x + 2y w 12, x + 2y w 8,由题意可得其表示如图D189阴影部分区域:x > 0, y > 0.当直线3x + 4y - z = 0过点A(2,3)时，z 取得最大值，所以 Z max = 3 X 2+ 4 X 3 = 18.故选D.9. （2016年新课标川）定义“规范01数列” ｛a n ｝如下：｛a n ｝共有2m 项，其中m 项为0, m 项为1，且对任意k w 2m , a 1, a 2,…，a k 中0的个数不少于1的个数.若 m = 4,则不同 的“规范01数列”共有（）A . 18 个B . 16 个C . 14 个D . 12 个9. C 解析：由题意，必有a 1 = 0, a 8= 1,则具体的排法列表如下：图 M1-37. C 解析: 故选C.由题意, ZR 78+ 88 + 84+ 86+ 92+ 90+ m + 95 oo 得=88,n = 9.所以 m + n = 12.& （2015年陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用 A ，B 两种原料.已知分别生产 1 吨甲、乙产品需原料及每天原料的可用限额如表所示, 如果生产1吨甲、乙产品可获利润分l I]1l0 lI ll I 0 I0 L J l 0 1 l (J I，0 1 I 0 I0 I 1 l ,0 1 L 0 l 00 1 L 0x 1110. (2016 年天津)已知函数 f(x) = si 门号+ ^sin wx — ^(w >0), x € R.若 f(x)在区间(n 2 n)内没有零点，贝U w 的取值范围是( )■ nk n+ /4(n 2n) (k € Z).D.11.四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为正方形，PA 丄底面ABCD , AB = 2，若该四棱锥的 所有顶点都在体积为Z432的同一球面上，则 PA =( )11.B 解析：如图D190,连接AC , BD 交于点E ,取PC 的中点0,连接OE ,贝U OE // PA ，所以OE 丄底面ABCD ，则O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，；PC =fi C图 D190C. 0,10.D 1- 85- 8u1- 4D. 0,4'解析: f(x) =1 — cos wx+ sin wx 1 -2sin7t3X —f(x) = 0? sin n八wx — 4 = 0,所以 因此 8' 4 8'0,4，8 •故选+ 8,所以由球的体积可得 ；n 2 PA 2 + 8243 n 16，解得PA = 2.故选B. BA . 3B.|1FA 2+ AC 2=12. 已知F为抛物线y2= x的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴两侧，若OA OB =6(0为坐标原点)，则△ ABO与厶AOF面积之和的最小值为()A. 4B.3-2^C.^4"2D. 1012. B 解析：设直线AB的方程为x= ty+ m,点A(x i, y i), B(x2, y2),直线AB与x 轴的交点为M(m,0),将直线方程与抛物线方程联立，可得y2—ty- m= 0,根据韦达定理有y i y2=—m,因为OA OB = 6,所以x i X2 + y i y2= 6,从而(y i y2)2+ y i y2 —6 = 0，因为点A, B 位于x 轴的两侧，1所以y1 y2=—3，故m= 3,不妨令点A在x轴上方，则y1>0，又F 4, 0,所以&ABO+&1、/c、〃1、/1 13 913 9 1 3 13 13y1 9 前AFO= 2 X 3X (y1—y2)+ 1X鲜=§0 + 亦》2十y1 9 订=2，当且仅当8=亦，即y1 =时取等号，故其最小值为呼3故选B.13 2第H卷(非选择题满分90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13〜21题为必考题，每个试题考生必须作答•第22〜23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5 分.13. __________ 平面向量a= (1,2), b= (4,2), c= ma + b(m € R),且c与a的夹角等于c与b 的夹角，贝U m= __ .13. 2 解析：a= (1,2), b = (4,2)，则c= ma + b= (m+ 4,2m+ 2), |a|= 5, |b|= 2 5,c a c b 5m + 8 a c= 5m + 8, b c = 8m+ 20. •/ c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，二|c| |a|= |c| |b「，^5 =；+；°解得m= 2.x2 v214. 设F是双曲线C:二一七=1的一个焦点，若C上存在点P,使线段PF的中点恰 a b为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 ___________ .14. 5解析：根据双曲线的对称性，不妨设F(c,0),虚轴端点为(0, b),从而可知点(一c,2b)在双曲线上，有* —晋=1，贝V e2= 5, e=/5.15. (2016年北京)在(1 —2x)6的展开式中，x2的系数为_________ .(用数字作答)15. 60解析：根据二项展开的通项公式T r +1 = C6 (—2)r x r可知，x2的系数为C6(—2)2=60,故填60.116. 在区间［0, n上随机地取一个数x,则事件"sin x<㊁”发生的概率为1 nn时，sin x< 2.16.3解析：由正弦函数的图象与性质知，当x€ 0, - U5 nn6 —0+ n—-6 1所以所求概率为=1.n 3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)已知｛a n｝是各项均为正数的等比数列，｛b n｝是等差数列，且a1 =1, b2+ b3= 2a3, a5—3b2= 7.(1) 求｛a n｝和｛b n｝的通项公式；(2) 设c n= a n b n, n€ N*，求数列｛ C n｝的前n项和.2q2—3d= 2,17. 解：(1)设｛a n｝的公比为q,｛b n｝的公差为d，由题意知q>0.由已知，有4““q —3d= 10.消去d,得q4—2q2—8= 0解得q = 2, d= 2.所以｛a n｝的通项公式为a n= 2n 1, N ,｛ b n｝的通项公式为b n= 2n—1, n€ N*.(2)由(1)有c n= (2n—1)2n—1，设｛C n｝的前n 项和为S n,贝y S n= 1 x 20+ 3 X 21+ 5X 22+ …+ (2n—1) X 2n—1,2S n= 1 X 21+ 3 X 22+ 5 X 23+ …+ (2n —1) X 2n.两式相减，得一S n = 1 + 22+ 23+…+ 2n—(2n —1) X 2n=—(2n—3)X 2n— 3.所以S n= (2n—3) 2n+ 3, n € N*.18. (本小题满分12分)(2014年大纲)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6, 0.5, 0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1) 求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2) X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.18. 解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i = 0,1,2.B表示事件：甲需使用设备.C表示事件：丁需使用设备.D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.(1) 因为P(B) = 0.6, P(C) = 0.4, P(A i) = C2X 0.52, i = 0,1,2,所以P(D)= P(A1 B C+ A2 B + A2 • B C)= P(A1 B C) + P(A2 B) + P(A2 • B C)=P(A1)P(B)P(C) + P(A2)P(B) + P(A2)P( B )P(C) = 0.31.(2) X的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为P(X = 0) = P( B A 0 • C ) =P( B )P(A 0)P( C )=(1 — 0.6) X 0.52X (1 — 0.4)=0.06,P(X = 1) = P(B A 0 • C + B A 0 C + B A 1 • C ) =P(B)P(A 0)P( C ) + P( B )P(A 0)P(C)+ P( B )P(A 1)P( C )=0.6X 0.52X (1 — 0.4) + (1 - 0.6) X 0.52X 0.4+ (1 - 0.6) X 2 X 0.52X (1 - 0.4) = 0.25, P (X = 4) = P(A 2 B C)= P(A 2)P(B)P(C) =0.52X 0.6X 0.4 = 0.06,P(X = 3) = P(D)-P(X = 4) = 0.25,P(X = 2) = 1- P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 3)- P(X = 4) =1 — 0.06 — 0.25 — 0.25 — 0.06 = 0.38,所以 E(X)= 0 X P(X = 0) + 1 X P(X = 1) + 2 X P(X = 2) + 3X P(X = 3) + 4 X P(X = 4) =0.25+ 2X 0.38+ 3X 0.25+ 4X 0.06= 2.19.（本小题满分 12分）（2016年四川）如图M1-4,在四棱锥 P-ABCD中，AD // BC ,/ ADC 1=/ PAB = 90° ° BC = CD = ^AD , E 为边AD 的中点，异面直线 PA 与CD 所成的角为90 °（1）在平面PAB 内找一点M ，使得直线 CM //平面PBE ，并说明理由;19. 解：（1）在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行.延长AB , DC ,相交于点 M （M €平面FAB ），点M 即为所求的一个点.理由如下： 由已知，BC // ED ，且 BC = ED , 所以四边形BCDE 是平行四边形. 所以 CD // EB. 从而 CM // EB.又EB?平面PBE , CM 平面PBE , 所以CM //平面 PBE.（说明：延长 AP 至点N ,使得AP = PN ，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点） （2）方法一，由已知， CD 丄 PA , CD 丄 AD , PA A AD = A , 所以CD 丄平面PAD. 从而CD 丄PD.所以/ PDA 是二面角P-CD-A 的平面角. 所以/ PDA = 45°.设 BC = 1,则在 Rt △ PAD 中，PA = AD = 2.如图D191，过点A 作AH 丄CE ,交CE 的延长线于点 H ,连接PH. 易知PA 丄平面ABCD , 从而PA 丄CE.于是CE 丄平面PAH.所以平面PCE 丄平面PAH.过A 作AQ 丄PH 于Q ,贝U AQ 丄平面PCE.⑵若二面角P-CD-A 的大小为所以/ APH是PA与平面PCE所成的角. 在Rt△ AEH 中，/ AEH = 45° AE = 1,所以AH = 2.2在 Rt △ PAH 中，PH=q RA 2+ AH 2 =色^2，图 D191方法二，由已知， CD 丄PA , CD 丄AD , PA A AD = A , 所以CD 丄平面PAD. 于是CD 丄PD.从而/ PDA 是二面角P-CD-A 的平面角. 所以/ PDA = 45°由PA 丄AB ，可得PA 丄平面 ABCD. 设 BC = 1,则在 Rt A PAD 中，PA = AD = 2.作Ay 丄AD ，以A 为原点，以AD , A P 的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图D192 所示的空间直角坐标系 Axyz ，则 A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以 PE = (1,0，- 2)，EC = (1,1,0)，AP = (0,0,2) 设平面PCE 的法向量为n = (x ，y ，z)，n PE = 0， x -2z = 0， 由得 nEC = 0，x+ y = 0.设 x = 2,解得 n = （2，- 2,1）. 设直线PA 与平面PCE 所成角为a ，1所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为320. (本小题满分12分)(2016年新课标川)设函数f(x)= In x — x + 1. (1)讨论f(x)的单调性；x 一 1⑵证明当 x € (1，+^)时，1<in _x<x ；⑶设 c>1，证明当 x € (0,1)时，1 + (c — 1)x>c x . 120.解：(1)由题设，f(x)的定义域为(0，+ s )，f ' (x) = 一一 1,令 f ' (x) = 0，解得 x = 1. x当 0<x<1 时，f ' (x)>0，f(x)单调递增； 当x>1时，f ' (x)<0，f(x)单调递减.⑵由(1)知，f(x)在x = 1处取得最大值，最大值为 f(1) = 0. 所以当X M 1时，In x<x — 1.则sin |n AP| a=|n| |晶22X 22+ — 2 2+ 1211 x ——1故当 x € (1,+g )时，In x<x — 1, In 丄<丄一1，即卩 1< <x x x In x '⑶由题设 c>1,设 g(x) = 1 + (c — 1)x — c x , 则 g ' (x)= c -1- c x in c.当x<x o 时，g ' (x)>0, g(x)单调递增；当X>X o 时，g ' (x)<0 , g(x)单调递减.c ——1由⑵知，1<I n c <c ,故 0<x o <1.又 g(0) = g(1)= 0，故当 0<x<1 时，g(x)>0. 所以 x € (0,1)时，1 + (c - 1)x>c x .21. (本小题满分12分)(2016年广东广州综合测试一)已知椭圆C 的中心在坐标原点， 焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1( — 2, 0),点B(2, . 2)在椭圆C 上，直线y = kx(k ^ 0) 与椭圆C 交于E , F 两点，直线AE , AF 分别与y 轴交于点M , N.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理 由.x 2 y 221. 解：(1)设椭圆C 的方程为a 2 + b 2= 1(a>b >0),因为椭圆的左焦点为 F 1( — 2,0)，所以a 2——b 2= 4•①因为点B(2, 2)在椭圆C 上，所以42+ $= 1.②a b由①②，解得a = 2 2, b = 2.所以椭圆C 的方程为:+ y = 1. 8 4⑵因为椭圆C 的左顶点为A ,则点A 的坐标为(一2 2, 0).x 2 y 2因为直线y = kx(k z 0)与椭圆° + ： = 1交于两点E , F , 8 4设点 E (X 0, y o )(不妨设 X 0>0)，则点 F(-X 0,— y o ).2百k y0 = 1+ 2k 2. y =— (x + 2 V 2). 1+ 1 + 2 k 2 因为直线AE , AF 分别与y 轴交于点M , N ,令x = 0得y =— ，即点M 0, —2卜2k 21 + ^1 +2 k 2 1 +V 1 + 2k 22 \2k同理可得点N 0,——2严 2 .1 — 0'1 +2 k 2In (x)= 0，解得 x o = c - 1 In c In cy = kx ,联立方程组x 2 y 2 消去y ,得x 2= I?.+ y = 1 1 + 2 k 2 8 4所以％0=严2亏，贝y 1 + 2k 2所以直线AE 的方程为所以 |MN|= J ------------ 2 r 2 =： 1+p 1 + 2 k 2 1—讨 1 + 2 k 2 设MN 的中点为P ,则点P 的坐标为P 0, 则以MN 为直径的圆的方程为 x 2+ y + ,2k令 y = 0,得 x 2= 4,即 x = 2 或 x =— 2.故以MN 为直径的圆经过两定点 P 1(2,0), P 2( — 2,0), |k| - 辽 k -2,即卩 x 2+ y 2 + 华y = 4. |k| 请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答•注意：只能作答在所选定的题目上•如果多 做，则按所做的第一个题目计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:极坐标与参数方程 x = 2cos 0, 已知曲线C 的参数方程是 (0为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴 y = sin 04 n 为极轴建立极坐标系， A 、B 的极坐标分别为 A(2, n 、B2,— (1)求直线AB 的直角坐标方程; ⑵设M 为曲线C 上的动点，求点 M 至煩线AB 距离的最大值.4 n 4 n 22.解：(1)将 A 、B 化为直角坐标为 A(2cos ,n 2sin n) 2cos 3 , 2sin 3，即 A , B 的直角坐标分别为 A( — 2,0), B(— 1,— 3),. -W -0 = o g = — 1 + 2 =—3, •••直线AB 的方程为y — 0=— 3(x + 2), 即直线AB 的方程为 3x + y + 2 3 = 0. (2)设M(2cos 0, sin 0),它到直线 AB 的距离 |2 %?3cos 0+ sin 0+ 2 3| | 13sin 0+$+ 2 3| d = = 23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)= |x — 2|—|2x — a|, a € R. (1)当a = 3时，解不等式f(x)>0 ; ⑵当x € ( — a, 2)时，f(x)<0恒成立，求a 的取值范围. 23.解：(1)当 a = 3 时，f(x)>0 ,即即 |x — 2|— |2x — 3|>0, 等价于X W 2， x — 1>0, 3 <x<2, x > 2, 或2 ， 或 ，—x + 1>0.—3x + 5>0,解得i<x w 2，或2<x<；.5所以原不等式的解集为x 1<x<5 .3(2)f(x)= 2-x—|2x—a|,所以f(x)<0可化为|2x—a|>2 —x, ①即2x—a>2 —x,或2x—a<x— 2.①式恒成立等价于(3x—2) min>a 或(X+ 2)max<a , •/ x€ (—8, 2),••• a>4.。

山西省孝义市2018届高三下学期一模考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析:先化简集合B,再求A∩B，即得解.详解：由题得，∴.故选A.点睛：本题主要考查集合的交集运算，属于基础题.2. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数在复平面对应的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先化简复数z,再求z的共轭复数，再判断的共轭复数在复平面对应的点的坐标.详解：由题得，∴，所以的共轭复数在复平面对应的点的坐标是（-1，-3）.故选D.点睛：本题主要考查复数的运算、共轭复数和复数的几何意义，属于基础题.3. 一次考试中，某班学生的数学成绩近似服从正态分布，则该班数学成绩的及格率可估计为（成绩达到分为及格）（参考数据：）（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先求出，再求出，最后根据正态分布求出该班数学成绩的及格率.详解：由题得∵∴.∴∵,∴该班数学成绩的及格率可估计为0.34+0.5=0.84.故选D.点睛：本题主要考查正态分布及其计算，对于这些计算，千万不要死记硬背，要结合正态分布的图像理解掌握，就能融会贯通.4. 若函数为奇函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数为奇函数，所以可得，，故选D.5. 已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为，，且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先分析得到四边形PMON是正方形，再分析出，再根据点到直线的距离求出b的值.详解：由题得,∴四边形PMON是正方形，∴|PO|=,∵满足以上条件的点有且只有一个，∴，∴.故选B.点睛：本题的关键是对已知条件的分析转化，首先要分析出四边形PMON是正方形，再分析出，再根据点到直线的距离求出b的值.6. 已知不等式组表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域上的点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：作出可行域，由y=|x﹣1|的图象特点，平移图象可得．详解：作出不等式组表示的平面区域D（如图阴影），函数y=|x﹣1|的图象为直线y=x﹣1保留x轴上方的并把x轴下方的上翻得到，其图象为关于直线x=1对称的折线（图中红色虚线），沿x=1上下平移y=|x﹣1|的图象，当经过点B时m取最小值，过点D时m取最大值，由可解得，即B（2，﹣1）此时有﹣1=|2﹣1|+m，解得m=﹣2；由可解得，即B（1，1）此时有1=|1﹣1|+m，解得m=1；故实数m的取值范围为[﹣2，1]，故答案为[﹣2，1]．故选C.点睛：本题考查简单线性规划，数形结合分析是解决问题的关键.7. 某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：详解：该几何体是半个圆柱和半个圆锥组合而成，其中圆柱的底面半径为2，高为4.圆锥的底面半径和高均为2，所以其体积为故选A.点睛：本题主要考查三视图还原为几何体原图，考查组合体的体积的计算,属于基础题.8. 设，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据计算出n的值，再利用二项式展开式的通项求.详解：由题得二项式展开式的通项为,∵0，∴.∴n=5.∴.故选A.点睛：本题主要考查二项式展开式的通项和二项式展开式的系数，属于基础题.9. 执行如图所示的程序框图，输出的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：直接按照程序框图运行程序，找到函数的周期，即可求出输出值.详解：当n=1,S=0时，S=；执行第一次循环可得n=2,S=;执行第二次循环可得n=3,S=;执行第三次循环可得n=4,S=;执行第四次循环可得n=5,S=;执行第五次循环可得n=6,S=;执行第六次循环可得n=7,S=，归纳可知，其周期为6,所以.所以输出S=.点睛：本题主要考查程序框图和数列的周期性，属于基础题.10. 设为双曲线上的点，，分别为的左、右焦点，且，与轴交于点，为坐标原点，若四边形有内切圆，则的离心率为（）A. B. C. D.。

2018年高考第一次模拟考试理科数学仿真卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()1i 2i z -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{}2=36M x x <，{}2,4,6,8N =，则M N = （ ） A ．{}24，B ．{}46，C ．{}26，D ．{}246，，3．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12B ．13C ．41-πD ．42-π4．将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．42种 B ．48种 C ．54种 D ．60种5．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（ ）A ．323π B ．643π C ．32π D ．3π6.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知ABC △的顶点()2,0A ，()0,4B ，AC BC =，则ABC △的欧拉线方程为（ ）A ．230x y +-=B ．230x y -+=C ．230x y --=D ．230x y -+=7．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ） A ．4097 B ．9217 C ．9729D ．204818．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ为常数，且0A >，0ω>，2ϕπ<）的部分图象如图所示，若()32f α=，则sin 26απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．34-B ．18-C ．18D ．139．已知实数ln22a =，ln33b =，ln55c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b a c <<10．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1111,B C C D 的中点，点P 是底面1111A B C D 内一点，且AP ∥平面EFDB ，则1tan APA ∠的最大值是（ ）A．2B ．1 CD．11．已知双曲线2221y x b -=的左右焦点分别为12F F 、，过点2F 的直线交双曲线右支于A B 、两点，若1ABF △是等腰三角形，120A ∠=︒．则1ABF △的周长为（ ）A．)21B4+ C4 D8+ 12.已知函数()23e x f x -=，()1ln 42xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ）A ．1ln22+B ．ln2C ．12ln22+D ．2ln2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知向量()12,a k = ，()1,14b k =- ，若a b ⊥，则实数k =__________．14．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知)cos cos a C c A b -=，60B =︒，则A 的大小为__________．15．已知直线:l (0)x my n n =+>过点()A，若可行域0 0x my n x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥的外接圆直径为20，则n =_____．16． “求方程34155x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的解”有如下解题思路：设()3455x xf x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在R 上单调递减，且()21f =，所以原方程有唯一解2x =．类比上述解题思路，不等式()()63222x x x x -+>+-的解集是__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n pn =+，且2a ，5a ，10a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若151n n n b a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．某单位鼓励员工参加健身运动，推广了一款手机软件，记录每人每天走路消耗的卡路里；软件的测评人员从员工中随机地选取了40人（男女各20人），记录他们某一天消耗的卡路里，并将数据整理如下：（1）已知某人一天的走路消耗卡路里超过180千卡被评测为“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题中数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有99%以上把握认为“评定类型”与“性别”有关？（2）若测评人员以这40位员工每日走路所消耗的卡路里的频率分布来估计其所有员工每日走路消耗卡路里的频率分布，现在测评人员从所有员工中任选2人，其中每日走路消耗卡路里不超过120千卡的有X 人，超过210千卡的有Y 人，设X Y ξ=-，求ξ的分布列及数学期望． 附：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：19．如图，已知AB BC ⊥，BE CD ∥，90DCB ∠=︒，平面B C D E ⊥平面ABC ，2AB BC BE ===，4CD =，F 为AD 中点． （1）证明：EF ⊥平面ACD ；（2）求直线CE 与平面ABD 所成角的余弦值．20．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点1,⎛ ⎝⎭，焦距为 （1）求椭圆E 的标准方程；（2）直线():l y m m =+∈R 与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交y 轴交于点M，若tan AMB ∠=-，求m 的值．21.已知函数()()223e x f x x ax a =+--．（1）若2x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值．（2）设0a <，当[]1,2x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2e y =的上方，求实数a 的取值范围．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为1 (2x t y =⎪=⎧⎪⎨⎪⎪⎩为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=； （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交点分别为,A B ，点()1,0P ，求11PA PB+的值．23．已知函数()2121f x x x =-++． （1）求函数()f x 的最小值m ；（2）若正实数,a b 满足11a b +=2212m a b+≥．参考答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】 ()1i 2i z -=+，()()()()1i 1i 2+i 1i z ∴-+=+，213i z =+，13i 22z =+，13i 22z =-，z 的共轭复数在复平面内对应点坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D ． 2．【答案】A【解析】()6,6M =-，故{}2,4M N = ． 3．【答案】C【解析】令圆的半径为1，则()22'41S P S π-π-===-ππ，故选C ． 4．【答案】A【解析】最左端排甲时，有44A 24=种排法；最左端排乙时，有333A 18= 种排法，所以共有241842+=种排法，选A ． 5．【答案】D【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同． 由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形， 可得底面三角形外接圆的半径为2r =， 由棱柱高为4，可得22OO =，故外接球半径为R ==故外接球的体积为(3433V =π⨯=π．选D ． 6．【答案】D【解析】线段AB 的中点为M （1，2），k AB =﹣2， ∴线段AB 的垂直平分线为：y ﹣2=12（x ﹣1），即x ﹣2y +3=0． ∵AC =BC ，∴△ABC 的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上， 因此△ABC 的欧拉线的方程为：x ﹣2y +3=0．故选：D ． 7．【答案】B【解析】阅读流程图可知，该流程图的功能是计算：0129122232102S =⨯+⨯+⨯++⨯ ， 则123102122232102S =⨯+⨯+⨯++⨯ ，以上两式作差可得：10191012012222210210212S --=++++-⨯=-⨯- ， 则：109219217S =⨯+=．本题选择B 选项． 8．【答案】B【解析】由函数图象可知：2A =，函数的最小正周期：724263T ππ⎛⎫=⨯-=π ⎪⎝⎭，则21T ωπ==，当23x π=时，()212,2326x k k k ωϕϕϕπππ+=⨯+=π+∴=π-∈Z ， 令0k =可得6ϕπ=-，函数的解析式：()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 由()32f α=可得：332sin ,sin 6264ααππ⎛⎫⎛⎫-=∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则： 2π91sin 2sin 2cos 212sin 1263236168ααααππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．本题选择B 选项． 9．【答案】B【解析】∵ln3ln22ln33ln2ln9ln803266b a ---=-==>，∴b a >； 又ln2ln55ln22ln5ln32ln250251010a c ---=-==>，∴a c >， ∴b ac >>，即c a b <<．选B ． 10．【答案】D【解析】由题意可得，点P 位于过点A 且与平面EFDB 平行的平面上， 如图所示，取1111,A D A B 的中点,G H ，连结,,,GH AH AG GE ，由正方形的性质可知：EF GH ∥，由ABEG 为平行四边形可知AG BE ∥， 由面面平行的判定定理可得：平面AGH ∥平面BEFD ， 据此可得，点P 位于直线GH 上，如图所示，由1AA ⊥平面1111A B C D 可得11AA A P ⊥， 则111tan AA APA A P∠=，当1tan APA ∠有最大值时，1A P 取得最小值，即点P 是GH 的中点时满足题意，结合正方体的性质可得此时1tan APA ∠的值是本题选择D 选项．11．【答案】C【解析】双曲线的焦点在x 轴上，则1,22a a ==；设2AF m =，由双曲线的定义可知：1222AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：22BF =，又1212,4BF BF BF -=∴=，1ABF △由正弦定理有：11sin120sin30BF AF =︒︒，则11BF =，即：)42m =+，解得：2m =，则△ABF 1的周长为：()422424m ++=+=． 本题选择C 选项． 12．【答案】A【解析】设()()f m g n t ==，()23e x f x -= ，()1ln 42xg x =+， ()231e ln 042m xt t -∴=+=>， 1423ln e 2t n m t -∴-==，，ln 32t m +∴=，142e t n -=，()14ln 32e02t t n m t -+-=->， 令()()14ln 32e02t t h t t -+=->， 则()()1412e02t h t t t --'=>，()1'4212e 02t h t t-⎡⎤∴=+>⎣'⎦， ()h t ∴'在()0+∞，上为增函数，且104h ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，当14t >时，()0h t '>，当104t <<时，()0h t '<， ()h t ∴在104⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为减函数，在14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上为增函数，∴当14t =时，()h t 取得最小值， 此时11441ln 31142eln 2422h -+⎛⎫=⨯-=+ ⎪⎝⎭，即n m -的最小值为1ln 22+，故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】6-【解析】由题意，()121140k k -+=，则6k =-． 14．【答案】75︒)cos cos a C c A b -=)sin cos sin cos sin A C C A B -=，即()A C -=，()1sin 2A C -=，1306A C -=π=︒，又180120A CB ︒-=︒+= ，2150A ∴=︒，75A =︒，故答案为75︒．15．【答案】【解析】由题意知可行域为图中△OAB 及其内部，解得(),0,B n AB =，又tan AOB ∠=，则∠AOB =30°，由正弦定理得2sin 20sin3010AB R AOB =∠=⨯︒=，解得n =．故答案为：16．【答案】()(),12,-∞-⋃+∞【解析】不等式x 6﹣（x +2）＞（x +2）3﹣x 2变形为，x 6+x 2＞（x +2）3+（x +2）； 令u =x 2，v =x+2，则x 6+x 2＞（x +2）3+（x+2）⇔u 3+u ＞v 3+v ；考查函数f （x ）=x 3+x ，知f （x ）在R 上为增函数， ∴f （u ）＞f （v ），∴u ＞v ；不等式x 6+x 2＞（x +2）3+（x +2）可化为x 2＞x +2，解得x ＜﹣1或x ＞2； ∴不等式的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．【答案】（1）25n a n =+；（2）214541449n n nT n +=+．【解析】（1）当2n ≥时，121n n n a S S n p -=-=-+，当1n =时，111a S p ==+，也满足21n a n p =-+，故21n a n p =-+， ∵2510,,a a a 成等比数列，∴()()()23199p p p ++=+， ∴6p =．∴25n a n =+． （2）由（1）可得()()155511111252722527n n n b a a n n n n +⎛⎫=+=+=+- ⎪⋅++++⎝⎭，∴2511111151454279911252714491449n n n nT n n n n n n +⎛⎫=+-+-+⋯+-=+= ⎪++++⎝⎭． 18．【答案】（1）有99％以上把握认为“评定类型”与“性别”有关；（2）58．【解析】（1）由题意完成2×2列联表如下：则()224015155510>6.63520202020K ⨯-⨯==⨯⨯⨯，故有99％以上把握认为“评定类型”与“性别”有关．（2）任选一人，由题知：每日走路消耗卡路里不超过120千卡的概率为18，超过210千卡的概率为14，所以ξ的分布列为：则数学期望为：()2930550126464648E ξ=⨯+⨯+⨯=． 19．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）证明：设AC 中点为G ，连,FG BG ， ∵F 为AD 中点，∴1,2FG DC FG DC =∥， 又由题意BE CD ∥，12BE CD = ∴EB FG ∥，且EB FG =，∴四边形BEFG 为平等四边形，∴，EF BG ∥ ∵90DCB ∠=︒ ∴DC BC ⊥，又∵平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE 平面ABC BC =，DC ⊂平面BCDE ， ∴DC ⊥平面ABC ．又BG ⊂平面ABC ，∴DC BG ⊥，∴DC EF ⊥， 又AB BC =，∴AC BG ⊥，∴AC EF ⊥，∵AC DC C = ，AC ⊂平面ACD ，DC ⊂平面ACD ， ∴EF ⊥平面ACD ．（2）以点B 为原点，以BA 方向为x 轴，以BC 方向为y 轴，以BE 方向为z 轴，建立如图所示坐标系()0,0,0B ，()0,0,2E ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()0,2,4D ，设平面ABD 的法向量(),,n x y z = ，则0n BA n BD ⋅=⋅⎧⎨⎩= ，∴20240x y z =+=⎧⎨⎩取1z =，()021n =- ，，，()0,2,2CE =- ，∴cos ,CE n CE n CE n ⋅〈〉===， 设直线CE 与平面ABD 所成角为θ，则sin θ=，∴cos θ=，即直线CE 与平面ABD所成角的余弦值10． 20．【答案】（1）2214x y +=；（2）1m =或1m =-．【解析】（1）由题意得2c =，所以c =又点1,⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以：222231413a b b a +==-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 整理得：42419120a a -+=，解得：24a =或234a =（舍），∴21b =， ∴椭圆的标准方程为：2214x y +=．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 中点坐标()()330,,0,C x y M y ，由221,4y m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩整理得：229440x m ++-=，∴()()2224944144160m m ∆=-⨯⨯-=->， ∴29m <，又129x x +=-，212449m x x -⋅=，∴1232x x x +==∴339my m =+=， ∴线段AB 的中点C坐标为,99m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭又12AB x =-=∴AC =，又0MCmy k -==，∴03m y =-， ∴点M 坐标为0,3m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴MC=m =， ∵CM 垂直平分AB ， ∴2AMB AMC ∠=∠， 又22tan tan 1tan AMCAMB AMC∠∠==--∠，解得tanAMC ∠=tan 2AMC ∠=-（舍）， ∴在Rt AMC ∆中，AC AMC MC ∠====2298m m -=，∴1m =或1m =-． 21．【答案】（1）5a =-；（2）[)e 2,0--． 【解析】（1）由()()223e x f x x ax a =+--可得：()()()()222e 23e 23e x x xf x x a x ax a x a x a ⎡⎤=+++--=++--⎣⎦'，∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴()20f '=，∴()25e 0a +=，计算得出5a =-．代入()()()()()31e 21e x x f x x a x x x =++=--'-， 当12x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>， ∴2x =是()f x 的极值点．∴5a =-．（2）当[]1,2x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2e y =上方， 等价于[]1,2x ∈，()2e f x ≤恒成立， 即[]1,2x ∈，()2max e f x ≤恒成立， 由（1）知，()()()31e x f x x a x =++-'， 令()0f x '=，得13x a =--，21x =， ①当5a -≤时，32a --≥， ∴()f x 在[]1,2x ∈单调减，()()()2max 12e e f x f a ==--≤，e 2a --≥与5a -≤矛盾，舍去． ②当54a -<<-时，132a <--<，()f x 在()1,3x a ∈--上单调递减，在()3,2x a ∈--上单调递增，∴()max f x 在()1f 或()2f 处取到，()()12e f a =--，()22e f =，∴只要()()212e e f a =--≤， 计算得出e 24a --<-≤． ③当40a -<≤时，31a --≤，()f x 在[]1,2x ∈上单调增，()()2max 2e f x f ==，符合题意，∴实数a 的取值范围是[)e 2,0--．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．【答案】（1）:10l x y +-=，曲线22:40C x y x +-=；（2）3． 【解析】（1）:10l x y +-=，曲线22:40C x y x +-=；（2）将12 2x y ⎧⎪==⎨-⎪⎪⎪⎩（t为参数）代入曲线C的方程，得23=0t -，12t t ∴-==，121211t t PA PB t t -∴+==． 23．【答案】（1）2；（2）见解析．【解析】（1）()()212121212x x x x -++--+=≥当且仅当1122x -≤≤时，等式成立．（2）2221211112a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥则22122a b +≥，当且仅当2b a =时取，等号成立．。

(银川一中第一次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|1242x ≤≤}，N={x|x-k>0},若M ∩N=φ，则k 的取值范围为普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学A. [)2,+∞B.（2，+∞）C.（-∞，-1）D.(],1-∞-2．复数()21i 1i+-等于A ．-1-iB ．1+iC ．1-iD ．-1+i3．下列说法正确的是A ．命题“R x ∈∃使得0322<++x x ”的否定是：“032,2>++∈∀x x R x ”B ．a ∈R,“1a<1”是“a>1”的必要不充分条件C ．“p q ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的必要不充分条件D ．命题p ：“2cos sin ,≤+∈∀x x R x ”，则⌝p 是真命题 4．等差数列{}n a 中，564a a +=，则10122log (222)a a a ⋅⋅⋅⋅=A ．10B ．20C ．40D ．2+log 25 5．如图，长方形的四个顶点为)2,0(),2,4(),0,4(),0,0(C B A O ，曲线x y =经过点B ．现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 A ．125 B ．21C ．32 D ．436．要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣 小组学习，则按分层抽样组成此课外兴趣小组的概率为A ．42105615A A C ⋅B ．615615C AC ．33105615C C C ⋅D ．42105615C C C ⋅7．执行如图的程序框图，那么输出S 的值是 A ．2 B ．21C ．-1D ．1理科数学试卷 第1页(共6页)8．已知y x z c y x y x x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≥++-≤+≥302,42,且目标函数满足的最小值是5，则z 的最大值是 A ．10 B ．12 C ．14D ．159．若,,均为单位向量，∙21-=，y x +=，),(R y x ∈，则y x +的最大值是 A ． 21 10．将函数f （x ）＝3sin （4x ＋6π）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象．则y ＝g （x ）图象的一条对称轴是 A ．x ＝12π B ．x ＝6π C ．x ＝3π D ．x ＝23π11．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边 长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 A ．34πB ．π3C ．πD ．π23 12．在直线2-=y 上任取一点Q ，过Q 作抛物线y x 42=的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过的点是A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（2，0）D ．（1，0）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若二项式22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式共7项，则该展开式中的常数项为___________. 14．在△ABC 中，ABAC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于 .15．设双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B两点,则22BF AF +的最小值为____________.16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12(2)n n a S n -=≥，则n a = .三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17．(本题满分12分)设函数2()sin(π)2cos 1(0).62f x x x ωωω=--+>直线y =与函数()y f x =图象相邻两交点的距离为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若点（,02B ）是函数()y f x =图象的一个对称中心，且3b =，求△ABC 周长的取值范围.18．(本题满分12分)如图，在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,a CB DC AD ===,60=∠ABC ,平面⊥ACFE 平面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,a AE =,点M 在线段EF 上.(1)求证:⊥BC 平面ACFE ;(2)当EM 为何值时,AM ∥平面BDF ?证明你的结论; (3)求二面角D EF B --的平面角的余弦值.19.（本小题满分12分）为迎接2012年伦敦奥运会,在著名的海滨城市青岛举行了一场奥运选拔赛,其中甲、乙两名运动员为争取最后一个参赛名额进行的7轮比赛的得分如茎叶图所示：（1）若从甲运动员的每轮比赛的得分中任选3个不低于80且不高于90的得分，求甲的三个得分与其每轮比赛的平均得分的差的绝对值都不超过2的概率；M FECD B理科数学试卷 第3页(共6页)（2）若分别从甲、乙两名运动员的每轮比赛不低于80且不高于90的得分中任选1个，求甲、乙两名运动员得分之差的绝对值ξ的分布列与期望.20. （本小题满分12分）已知函数()f x 是奇函数，()f x 的定义域为(,)-∞+∞．当0x <时，()f x ln()ex x-=．(e 为自然对数的底数)． (1)若函数()f x 在区间1(,)(0)3a a a +>上存在极值点，求实数a 的取值范围； (2)如果当x ≥1时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本小题满分12分）如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点.（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成 、正三角形，求椭圆的方程；（2）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.若直线l 绕点F 任意转动，则有|OA |2+|OB |2<|AB |2,求a 的取值范围.8甲乙7 95 4 5 4 18 4 4 6 7 4 191请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，圆1O 与圆2O 相交于A 、B 两点，AB 是圆2O 的直径，过A 点作圆1O 的切线交圆2O 于点E ，并与BO 1的延长线交于点P ，PB 分别与 圆1O 、圆2O 交于C ，D 两点。