第十六讲 找规律画图形 2

第十六讲 特殊图形一、长方体和正方体如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．)②长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体；长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．二、圆柱与圆锥c b a HG F EDC B A1.掌握立体图形的特征，能通过分析图形的特征解题。

2.灵活应用公式解题。

例1：如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【解析】我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10⨯10⨯6=600．例2：右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）【解析】原正方体的表面积是4⨯4⨯6=96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．从而，它的表面积是：96+4⨯6=120平方厘米．例3：下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为14厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【解析】我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2⨯2⨯2=8(平方厘米)；左右方向、前后方向：2⨯2⨯4=16(平方厘米)，1⨯1⨯4=4(平方厘米)，1 2⨯1 2⨯4=1(平方厘米)，14⨯14⨯4=14(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：816++4+1+14=1294(平方厘米).例4：一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？【解析】 锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数⨯2=增加的面数．原正方体表面积：1⨯1⨯6=6(平方米)，一共锯了(2-1)+(3-1)+(4-1)=6次，6+1⨯1⨯2⨯6=18(平方米)．例5：如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？【解析】 当小积木互相重合的面最多时表面积最小.设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个333⨯⨯的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.例6：要把12件同样的长a 、宽b 、高h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？⑴当 b =2h 时，如何打包？⑵当 b <2h 时，如何打包？⑶当 b >2h 时，如何打包？【解析】 图2和图3正面的面积相同，侧面面积=正面周长⨯长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图2的正面周长是8h +6b ，图3的周长是12h +4b .两者的周长之差为2（b -2h ）.当b =2h 时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b <2h 时，按图2打包；当b >2h 时，按图3打包.25块积木图3图2图1hba（分A/B/C易、中、难三档，每档题目数量根据课程难度自行搭配，总共不少于15道题。

一年级数学思维训练：《找规律画图》《找规律画图》课前预热所属体系板块：第一级下找规律画图主要知识点：1）规律的种类：重复、数量、颜色、组合、位置、旋转；2）找规律技巧：分部分看.能力培养：观察力、逻辑思维体系对接：第三级下发现图形规律例题展示：根据规律，找到下一个图形.课前预热：1）认识规律：能知道下一个是什么；2）了解图形的特征与变化规律：形状、颜色、大小、方向、位置、数量…….《有趣的立体图形》知识点精讲一、规律的种类1、重复变化【例】根据规律，画出下一个图形.【解析】形状的重复变化：本组图的规律就是正方形、三角形、圆形三个不同形状的图形为一组，重复出现.2、数量变化【例】根据规律，画出下一组图形.【解析】本组图的规律是圆形的数量发生了变化，依次增加1个.3、颜色变化【例】根据规律，画出下一个图形.【解析】本组图的规律是心形的颜色发生了变化，每三个心形为一组，颜色发生蓝红黄的重复变化.4、组合变化完全组合、部分组合.【例1】根据规律，把空缺的部分补充完整.【解析】本组图需要观察图形的形状，是一种完全组合规律题.一行一行横着看，会发现，第一行中，第一个图形和第二个图形组合在一起，变成了第三个图形，为了验证这一规律，需要看第二行是否也存在第一行的情况，结果验明规律成立，则第三行的第三个图形是由第一个和第二个图形组合而成.【例2】根据规律，把空缺的部分补充完整.【解析】本组图需要观察图形的形状，是一种部分组合规律题.一行一行横着看，会发现，第一行中，第一个图形和第三个图形外面是重叠的，里面的线段组合在一起，就变成了第二个图形，为了验证这一规律，需要看第三行是否也存在第一行的情况，结果验明规律成立，则第二行的第三个图形的外面形状是三角形，里面的线段是第二个图形里面较长的那条线段.5、位置变化【例】根据规律，把空缺的部分补充完整.【解析】本题的规律是第一行的第一个图形向右下方向移动到一个位置，依次移动，第四个图形移动到第二行的第一个位置，就组成了第二组图.第二组的第四个图形移动到第三行的第一个位置，其它图形依次往后一小格就变成了第三组图.这中位置变化的规律同样适用于第三行，所以第四行的图形就是按照这一规律得出的.6、旋转变化【例】根据规律，把空缺的部分补充完整.【解析】可以将此组图中的每一个大圆内的图形看成一个整体，则下一个图形就是上一个大圆按顺时针依次旋转90度得来的，展现的是旋转变化规律.二、找规律技巧分部分看【例】根据规律，在线段上画出正确的图形.【解析】分部分看.本题中，图形的颜色以及数量都在发生变化，所以需要分部分来看.首先看颜色，题目中的颜色是按照红黄绿的规律发生变化的，所以线段上的颜色就是黄色；再来看数量，本组图的规律是圆形的数量依次增加1个，所以线段上圆形的数量就是5个.《找规律画图》课后拓展练习1、根据规律，画出下一个图形.2、根据规律，在横线上画出正确的图形.3、根据规律，在“？”处填上正确的图形.4、根据规律，在“？”处填上正确的图形.5、根据规律，在“？”处填上正确的图形.【答案解析】1、知识点：数量变化规律和方向变化规律，运用分部分看的技巧. 答案：2、知识点：位置变化规律.答案：3、知识点：完全组合变化规律.答案：4、知识点：部分组合规律.答案：5、知识点：旋转变化规律.答案：。

第十六讲找规律画图形
例题
例1.根据规律接着画：
？
例2.根据规律接着画：
图1 图2 图3 图4
例3.根据规律接着画：
图1 图2 图3 图4 例4.根据规律接着画：
例5.根据规律接着画：
练习：
1.根据规律接着画：
A B C D A B C A
2.根据规律接着画：
3.根据规律接着画：
4.根据规律接着画：
□△□△□△□＿
●○●○＿○●○
5.小红在院子里采了许多花,把它们整整齐齐的排列着。

接下来应该怎么放?
6.仔细观察下图回答问题：图4与图8的黑点在什么位置。

7.仔细观察，寻找规律，在空白处填上适当的图形。

8.根据规律，将空白的地方填上适当的图形。

家庭作业：
1.观察前几幅画的规律，在后面空白处填上适当的图形。

2.根据下列黑白珠子的排列顺序，看看后面哪些白珠子应该涂黑？
3.认真观察规律，将第三幅图补充完整。

4.仔细观察规律，将图中空白处补充完整。

第十六讲完美的正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，换句话说：正方形是各边都相等的矩形，正方形是各角都相等的菱形，正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的一切性质．矩形、菱形，正方形都是特殊的四边形，它们的概念交错，关系复杂，性质有许多相似之处，一些判定和性质定理又是可逆的，所以在学习中注重概念的理解，着眼于概念间的区别与联系．连正方形的对角线，能得到特殊三角形、全等三角形，由于正方形常常与直角三角形联系在一起，所以在解有关正方形问题时要用到直角三角形性质，具有代数风格，体现数形结合思想．熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．(北京市竞赛题)思路点拨图中还有等腰三角形，利用等腰三角形性质计算．注可以证明，在所有用长相等的四边形中，正方形的面积最大．我们熟悉的“七巧板”，那是把一块正方形板切分成三角形、正方形、平行四边形的7块，用它可以拼出许多巧妙的图形，“七巧板”是我国古代人民智慧的结晶．【例2】如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OC⊥OF，分别交AB、BC 于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为( )A．7 B．5 C．4 D．3(江苏省泰州市中考题)思路点拨AE、CF、EF不在同一个三角形中，运用全等三角形寻找相等的线段，使分散的条件集中到同一个三角形中．【例3】如图，正方形ABCD中，E、F是AB、BC边上两点，且EF=AC+FC，DG⊥EF于G，求证：DC=DA．(重庆市竞赛题)思路点拨构造AE+FC的线段是解本例的关键．【例4】已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBZ的平分线于N(如图甲)．(1)求证：MD=MN(2)若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变(如图乙)，则结论“MD=MN”还成立吗?如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(上海市闽行区中考题)思路点拨对于图甲，取AD中点F，通过构造全等三角形证明MD=MN；这种证法能否迁移到图乙情景中去?从而作出正确的判断．注探索是学习的生命线，深入探究、学会探索是时代提出的新要求．数学解题中的探索活动可从以下几个方面进行：(1)在题设条件不变情况下，发现挖掘更多的结论；(2)通过强化或弱化来改变条件，考查结论是否改变或寻求新的结论；(3)构造逆命题．对于例3，请读者思考，在不改变题设条件的前提下，(1)∠EDF等于多少度?(2)怎样证明明逆命题?例4改变点的位置，赋以运动，从特殊到一般，(1)的结果为(2)的猜想提供了借鉴的依据，又为猜想设置了障碍，前面的证明思路是后面的证明模式．【例5】操作：将一把三角尺放在边长为l的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．探究：设A，P两点间的距离为x(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论；(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围；(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由(图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2、图3备用)．思路点拨本例是探究式的操作型试题，第(1)问需抓住滑动中∠BPQ是直角这一不变量，画出滑动中一般情形的图形，通过观察提出猜想，再给予论证，第(3)问需要在操作中观察出使△PCQ是等腰三角形的两种情形．注数学学习是一个生动活泼的过程，动手实践，自主探索是学习数学的重要形式，它说明了存在的事实是怎样被发现和被发现的现象又是怎样获得证实的，解这类问题，需边操作，边观察、边思考，综合运用相关知识方法探究结论．学力训练1．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′= ．河南省中考题)2．如图，正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，CE=CF ，若∠BEC=60°，则∠EFD 的度数为 ． (苏州市中考题)3．如图，∠POQ=90°，边长为2㎝的正方形ABCD 的顶点B 在OP 上，C 在OQ 上，且∠OBC=30°，则A 、D 到OP 的距离分别为 ． (南京市中考题)4．如图，正方形ABCD 中，CE ⊥MN ，若∠MCE ＝35°，则∠ANM 的度数是 ．5．如图，E 是边长为l 的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值为( ) (河北省中考题)A ．22 B ．21 C ．23 D ．326．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于E ，8 ABCD S 四边形，则BC 的长为( )A ．2B ．3C ．3D ．22 (武汉市选拔赛试题)7．如图，在正方形ABCD 中，C 为CD 上的一点，延长月C 至F ，使CF=CE ，连结DF ，BE 与DF 相交于G ，则下面结论错误的是( )A ．BE=DFB ．BG ⊥DFC ．∠F+∠CEB=90°D ．∠FDC+∠ABG ＝90°(山东省临沂市中考题)8．如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，Rt △CEF 的面积为200，则BE 的值是( )A ．15B ．12C ．11D ．109．(1)如图甲，若点P 为正方形ABCD 边AB 上一点，以PA 为一边作正方形AEFP ，连BE 、DP ，并延长DP 交BE 于点H ，求证：DH ⊥BF ；(2)如图乙，若点P 为正方形ABCD 内任一点，其余条件不变，(1)的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．(泰州市中考题)10．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，PF⊥CD，PE⊥BC，C、F分别为垂足，探索AP与EF的关系．11．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积．( “希望杯”邀请赛试题)12．如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF= ．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，OC=24，则BC边的长为．( “希望杯”邀请赛试题)14．如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7㎝2和11㎝2，则△CDE 的面积等于 cm 2．(武汉市选拔赛试题)15．如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在边CD 上的E 点，然后压平得折痕FG ，若GF 的长为13cm ，则线段CE 的长为 ． (北京市竞赛题)16．将一个正方形分割成n 个小正方形(n>1)，则n 不可能取( )A ．4B ．5C ．8D ．9(江苏省竞赛题)17．如图，正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，若∠PAQ=45°，∠BAP=20°，则∠AQP=( )A ．65°B ． 60°C ．35°D ．70°18．如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE=a ，AF=b ，若S EFGH =32，则a b 等于( )A ．22B ．32C ．23D ．33 ( “希望杯”邀请赛试题) 19．如图，BF 平行于正方形ADCD 的对角线AC ，点E 在BF 上，且AE=AC ，CF ∥AC ，则∠BCF 等于( )A ．150°B ．135°C ． 105°D ．120°20．图甲中，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为17，10，13，图乙中，DPQR 为矩形，对照图乙，计算图甲中六边形ABCIGH 的面积．(江苏省竞赛题)21．如图，在正方形ABCD中，P是CD上一点，且AP=BC+CP，Q为CD中点，求证：∠BAP=2∠QAD．22．如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．(1)判定四边形PQEF的形状；(2)PE是否总是经过某一定点，井说明理由；(3)四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大?各是多少?23．如图a，D为线段AE上任一点，分别以AD、DE为边作正方形ABCD和正方形DEFG，连结BF、AG、CE、BG、BE、BG、BE分别交AD，DC于P、Q两点．(1)①找出图中三对相等的线段(正方形边长相等除外)；②找出图中三对相等的钝角；③找出图中一对面积相等的钝角三角形，这两个三角形全等吗?(2)如图b，当正方形ABCD和正方形DEFG都变为菱形，且∠GDE=∠ADC时，(1)中的结论哪些成立，哪些不成立?请对不成立的情况说明理由．(3)如图“当正方形ABCD和正方形DEFG都变为矩形，且DA＞DC，DE>DG，△ABD∽△EFD时，(1)中的结论哪些不成立，哪些成立？．如果成立，请证明．(郴州市中考题)24．如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明你的结论．(北京市竞赛题)。

找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力.一般地说，在观察图形变化规律时，应抓住一下几点来考虑问题：⑴图形数量的变化； ⑵图形形状的变化； ⑶图形大小的变化； ⑷图形颜色的变化； ⑸图形位置的变化； ⑹图形繁简的变化.对于较复杂的图形，也可分为几部分来分别考虑，总而言之，只要全面观察，勤于思考就一定能抓住规律，解决问题.模块一、图形规律——数量规律【例 1】 观察这几个图形的变化规律，在横线上画出适当的图形．【考点】图形找规律 【难度】1星 【题型】填空【解析】 几个图形的边数依次增加，因此横线上应为一个七边形． 【答案】七边形【例 2】 请找出下面哪个图形与其他图形不一样.（1）（2）（3）（4）（5）【考点】图形找规律 【难度】1星 【题型】填空【解析】 这组图形的共同特征是，连接各边上一点，组成一个复合图形.所不同的是，第四个图形是一个六边形，而其它几个都是四边形，这样，只有（4）与其它不一样【答案】（4）【例 3】 观察图形变化规律，在右边补上一幅，使它成为一个完整系列。

【考点】图形找规律 【难度】2星 【题型】填空例题精讲知识点拨4-1-2.图形找规律【解析】观察发现，乌龟的顺序是：头、身→一只脚、背上一个点→两只脚、背上两个点→两只脚、一条尾、背上三个点→三只脚、一条尾、背上四个点，根据这个规律，最后一幅图应该是：→四只脚、一条尾、背上五个点.即：【答案】【例4】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？【考点】图形找规律【难度】2星【题型】填空【解析】横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变.因为圆形的个数是按4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个圆形。

【答案】圆形【巩固】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？【考点】图形找规律【难度】2星【题型】填空【解析】（方法一）横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变.因为圆形的个数是按5、4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个圆形.(方法二)竖着看，圆形由左而右依次减少，而三角形由左而右依次增加，圆形按照5、4、？、2、1的顺序变化，也可以看出“？”处应是圆形.【答案】圆形【巩固】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？？【考点】图形找规律【难度】2星【题型】填空【解析】（方法一）横着看，每行三角形的个数依次减少，而正方形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变.因为三角形的个数是按4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个三角形△.(方法二)竖着看，三角形由左而右依次减少，而正方形由左而右依次增加，三角形按照4、？、2、1的顺序变化，也可以看出“？”处应是三角形△.【答案】△【例5】观察下面的图形，按规律在“？”处填上适当的图形.（4）？【考点】图形找规律 【难度】2星 【题型】填空【解析】 本题中，几何图形的变化表现在数量关系上，图中黑三角形的个数从左到右依次增多，从（2）起，每一个格比前面一个格多两个黑三角形，所以，第（4）个方框中应填七个黑三角形.【答案】七个黑三角形【例 6】 观察图形变化规律，在右边再补上一幅，使它们成为一个完整的系列.【考点】图形找规律 【难度】2星 【题型】填空【解析】 第一格有8个圆圈，第二格有4个圆圈，第三格有2个圆圈，第四格有1个圆圈，第五格有半个圆圈.由此发现，前一格中的图减少一般，正好是后一格的图.所以第六格的图应该是第五格图的一半，即：【答案】【例 7】 观察下图中的点群，请回答：(1) 方框内的点群包含 个点；(2) 推测第10个点群中包含 个点；(3)前10个点群中，所有点的总数是 。

找规律画图形方法教案中班教案标题：找规律画图形方法教案（中班）教学目标：1. 学生能够通过观察和分析，找出图形中的规律。

2. 学生能够运用找规律的方法，画出符合规律的图形。

3. 学生能够通过绘画活动培养观察力和创造力。

教学准备：1. 图形卡片（包括直线、曲线、圆形、三角形等）。

2. 彩色纸张、彩色笔、彩色蜡笔等绘画工具。

3. 学生画图本。

教学过程：1. 导入活动（5分钟）：- 教师出示不同的图形卡片，并引导学生观察和描述每个图形的特点。

- 引导学生思考：你们发现有没有什么规律可以找到？比如，哪些图形有直线，哪些图形有曲线等。

2. 活动一：找规律（10分钟）：- 教师出示一些由图形卡片组成的序列，例如：直线、直线、曲线、直线、直线、曲线...- 学生观察并尝试找出其中的规律。

教师可以引导学生思考：是不是每隔两个图形就会出现一个曲线？这个规律适用于整个序列吗？- 学生可以用手指指向每个图形，帮助他们更好地观察和分析规律。

3. 活动二：画图形（15分钟）：- 教师给每个学生发放彩色纸张和绘画工具。

- 教师出示一个图形序列，并要求学生根据规律画出相应的图形。

例如：直线、直线、曲线、直线、直线、曲线...- 学生可以在画图本上绘制图形，或者直接在纸张上画图。

- 教师可以逐个检查学生的作品，给予肯定和指导。

4. 活动三：自由创作（10分钟）：- 学生可以选择自己喜欢的图形进行创作，也可以自由发挥，画出符合自己想象的图形。

- 教师鼓励学生发挥创造力，可以提供一些创作的启发，如使用不同颜色、尺寸或形状的图形组合。

5. 结束活动（5分钟）：- 学生展示自己的作品，并互相欣赏。

- 教师总结本节课的内容，强调找规律的重要性，并鼓励学生在日常生活中继续观察和发现规律。

教学延伸：1. 学生可以尝试用其他材料制作图形，如橡皮泥、纸板等。

2. 学生可以尝试用不同的颜色和形状组合图形，创作更多样化的作品。

3. 学生可以在家中或户外观察和寻找规律的图形，进一步培养观察力和分析能力。