上海市2016年高考最后冲刺模拟数学文科试题(二)含答案

2016年上海市长宁区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设集合A＝{x||x|＜2，x∈R}，B＝{x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足＝i，则|z|＝．3．（5分）设a＞0且a≠1，若函数f（x）＝a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是．4．（5分）计算：＝．5．（5分）在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2＝0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周，所得几何体的体积为．6．（5分）已知sin2θ+sinθ＝0，θ∈（，π），则tan2θ＝．7．（5分）定义在R上的偶函数y＝f（x），当x≥0时，f（x）＝2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为．9．（5分）已知x、y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值为．10．（5分）在（x2+）6（k为实常数）的展开式中，x3项的系数等于160，则k＝．11．（5分）从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于的概率是．12．（5分）已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n＝n2+3n（n∈N+），则＝．13．（5分）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为．14．（5分）对于函数f（x）＝，其中b＞0，若f（x）的定义域与值域相同，则非零实数a的值为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）“sinα＝0”是“cosα＝1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）下列命题正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l217．（5分）已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）＝0，则||的最大值是（）A．1B．2C．D．18．（5分）已知直线l：y＝2x+b与函数y＝的图象交于A，B两点，记△OAB的面积为S （O为坐标原点），则函数S＝f（b）是（）A．奇函数且在（0，+∞）上单调递增B．偶函数且在（0，+∞）上单调递增C．奇函数且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数且在（0，+∞）上单调递减三、解答题（共5小题，满分60分）19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝AA1＝2，D为侧棱AA1的中点；（1）求证：AC⊥平面BCC1B1；（2）求异面直线B1D与AC所成角的大小．20．（12分）已知函数f（x）＝sin2x+cos2x﹣1（x∈R）；（1）写出函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）＝0，＝，且a+c＝4，试求b的值．21．（12分）定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界：（1）设f（x）＝，判断f（x）在[﹣，]上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出f（x）的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g（x）＝1+a•（）x+（）x在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．22．（12分）设椭圆Γ：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B 到F的距离等于焦距：（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设C、D是四条直线x＝±a，y＝±b所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，P 是椭圆Γ上任意一点，若，求证：m2+n2为定值；（3）过点F的直线l与椭圆Γ交于不同的两点M、N，且满足于△BFM与△BFN的面积的比值为2，求直线l的方程．23．（12分）已知数列{a n}、{b n}满足：，a n+b n＝1，；（1）求b1、b2、b3、b4；（2）求证：数列{}是等差数列，并求{b n}的通项公式；（3）设S n＝a1a2+a2a3+…+a n a n+1，若不等式4aS n＜b n对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．2016年上海市长宁区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设集合A＝{x||x|＜2，x∈R}，B＝{x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}，则A∩B＝（﹣2，1]．【解答】解：A＝{x||x|＜2，x∈R}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}＝{x|x≥3或x≤1}，则A∩B＝{x|﹣2＜x≤1}，故答案为：（﹣2，1]．2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足＝i，则|z|＝1．【解答】解：设z＝a+bi，则＝＝i，∴1﹣a﹣bi＝﹣b+（a+1）i，∴，解得，故z＝﹣i，|z|＝1，故答案为：1．3．（5分）设a＞0且a≠1，若函数f（x）＝a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（3，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝a x﹣1+2经过定点（1，3），∴函数f（x）的反函数的图象经过定点P（3，1），故答案为：（3，1）．4．（5分）计算：＝．【解答】解：＝＝＝．故答案为：．5．（5分）在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2＝0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为．【解答】解：由题意可知：V＝，∴V＝π（y3﹣），＝．方法二：由题意可知绕y轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，则V＝•π×12×2＝，故答案为．6．（5分）已知sin2θ+sinθ＝0，θ∈（，π），则tan2θ＝．【解答】解：∵sin2θ+sinθ＝0，⇒2sinθcosθ+sinθ＝0，⇒sinθ（2cosθ+1）＝0，∵θ∈（，π），sinθ≠0，∴2cosθ+1＝0，解得：cosθ＝﹣，∴tanθ＝﹣＝﹣，∴tan2θ＝＝．故答案为：．7．（5分）定义在R上的偶函数y＝f（x），当x≥0时，f（x）＝2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是[﹣2，2]．【解答】解：当x≥0时，由f（x）＝2x﹣4＝0得x＝2，且当x≥0时，函数f（x）为增函数，∵f（x）是偶函数，∴不等式f（x）≤0等价为f（|x|）≤f（2），即|x|≤2，即﹣2≤x≤2，即不等式的解集为[﹣2，2]，故答案为：[﹣2，2]．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为y2＝4x．【解答】解：∵点A（1，1），依题意我们容易求得直线的方程为x+y﹣1＝0，把焦点坐标（，0）代入可求得焦参数p＝2，从而得到抛物线C的方程为：y2＝4x．故答案为：y2＝4x．9．（5分）已知x、y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值为﹣6．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣2，﹣2），化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A（﹣2，﹣2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣2）﹣2＝﹣6．故答案为：﹣6．10．（5分）在（x2+）6（k为实常数）的展开式中，x3项的系数等于160，则k＝2．【解答】解：T r+1＝（x2）6﹣r＝k r x12﹣3r，令12﹣3r＝3，解得r＝3．∴T4＝x3，∴20k3＝160，解得k＝2．故答案为：2．11．（5分）从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于的概率是．【解答】解：从正方体的8个顶点中任意取3个构成三角形的顶点共有取法，其中以这三点为顶点的三角形的面积S＝的三角形如图中的△ABC，这类三角形共有24个∴P（S＝）＝＝．故答案为：．12．（5分）已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n＝n2+3n（n∈N+），则＝2n2+6n．【解答】解：∵a1+a2+…+a n＝n2+3n，∴当n≥2时，a1+a2+…+a n﹣1＝（n﹣1）2+3（n﹣1），两式相减得：a n＝（n2+3n）﹣[（n﹣1）2+3（n﹣1）]＝2（n+1），又∵a1＝1+3＝4满足上式，∴a n＝2（n+1），＝4+4n，∴＝4n+4•＝2n2+6n，故答案为：2n2+6n．13．（5分）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为{24，27，30}．【解答】解：∵甲最终的得分为27分，∴甲答对了10道题目中的9道，∵甲和乙都解答了所有的试题，∴甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题．∵甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，此时乙可得30分或27分．如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答错，而第一道题，则乙也一定答错，此时乙可得24分．综上可得：乙的所有可能的得分值组成的集合为{24，27，30}．故答案为：{24，27，30}．14．（5分）对于函数f（x）＝，其中b＞0，若f（x）的定义域与值域相同，则非零实数a的值为﹣4．【解答】解：若a＞0，由于ax2+bx≥0，即x（ax+b）≥0，∴对于正数b，f（x）的定义域为：D＝（﹣∞，﹣]∪[0，+∞），但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，不合要求．若a＜0，对于正数b，f（x）的定义域为D＝[0，﹣]．由于此时[f（x）]max＝f（﹣）＝，故函数的值域A＝[0，]．由题意，有﹣＝，由于b＞0，所以a＝﹣4．故答案为：﹣4．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）“sinα＝0”是“cosα＝1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：sinα＝0可得α＝kπ（k∈Z），∴cosα＝±1，反之成立，∴“sinα＝0”是“cosα＝1”的必要不充分条件．故选：B．16．（5分）下列命题正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l2【解答】解：对于A，若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1与l2可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误．对于B，若直线l与平面α相交于O点，在交点两侧各取A，B两点使得OA＝OB，则A，B到平面α的距离相等，但直线l与α不平行，故B错误．对于C，当直线l⊂α或l∥α时，直线l与平面α所成的角为0，当l⊥α时，直线l与平面α所成的角为，故C错误．对于D，由定理“垂直于同一个平面的两条直线平行“可知D正确．故选：D．17．（5分）已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）＝0，则||的最大值是（）A．1B．2C．D．【解答】解：由题意可得•＝0，可得|+|＝＝，（﹣）•（﹣）＝2+•﹣•（+）＝||2﹣||•|+|cos＜（+，＞＝0，即为||＝cos＜+，＞，当cos＜+，＞＝1即+，同向时，||的最大值是．故选：C．18．（5分）已知直线l：y＝2x+b与函数y＝的图象交于A，B两点，记△OAB的面积为S （O为坐标原点），则函数S＝f（b）是（）A．奇函数且在（0，+∞）上单调递增B．偶函数且在（0，+∞）上单调递增C．奇函数且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数且在（0，+∞）上单调递减【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由2x+b＝，即2x2+bx﹣1＝0，则，则|AB|＝，圆心到直线2x﹣y+b＝0的距离d＝，∴△OAB的面积S＝＝，∴S＝f（b）＝，则函数f（b）为偶函数，当b＞0时，y＝和都为增函数，∴当b＞0时，f（b）＝为增函数．故选：B．三、解答题（共5小题，满分60分）19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝AA1＝2，D为侧棱AA1的中点；（1）求证：AC⊥平面BCC1B1；（2）求异面直线B1D与AC所成角的大小．【解答】证明：（1）∵底面△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC，∴AC⊥BC，∵CC1⊥平面A1B1C1，∴CC1⊥AC，∵CC1∩BC＝C，∴AC⊥平面BCC1B1．解：（2）以C为原点，直线CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1），＝（2，﹣2，﹣1），＝（﹣2，0，0），设异面直线B1D与AC所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴．∴异面直线B1D与AC所成角的大小为arccos．20．（12分）已知函数f（x）＝sin2x+cos2x﹣1（x∈R）；（1）写出函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）＝0，＝，且a+c＝4，试求b的值．【解答】解：（1）f（x）＝sin2x+cos2x﹣1＝．∴T＝；由，得．∴函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z；（2）由f（B）＝＝0，得．∴或，k∈Z．∵B是三角形内角，∴B＝．而＝ac•cos B＝，∴ac＝3．又a+c＝4，∴a2+c2＝（a+c）2﹣2ac＝16﹣2×3＝10．∴b2＝a2+c2﹣2ac•cos B＝7．则b＝．21．（12分）定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界：（1）设f（x）＝，判断f（x）在[﹣，]上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出f（x）的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g（x）＝1+a•（）x+（）x在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）＝＝1﹣，则f（x）在[﹣，]上是增函数；故f（﹣）≤f（x）≤f（）；即﹣1≤f（x）≤，故|f（x）|≤1，故f（x）是有界函数；故f（x）的所有上界的值的集合是[1，+∞）；（2）∵g（x）＝1+a•（）x+（）x在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，∴﹣3≤1+a•（）x+（）x≤3在[0，+∞）上恒成立，∴﹣（4•2x+2﹣x）≤a≤2•2x﹣2﹣x在[0，+∞）上恒成立，而﹣（4•2x+2﹣x）在[0，+∞）上的最大值为﹣5；2•2x﹣2﹣x在[0，+∞）上的最小值为1；故﹣5≤a≤1；故实数a的取值范围为[﹣5，1]．22．（12分）设椭圆Γ：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B 到F的距离等于焦距：（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设C、D是四条直线x＝±a，y＝±b所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，P 是椭圆Γ上任意一点，若，求证：m2+n2为定值；（3）过点F的直线l与椭圆Γ交于不同的两点M、N，且满足于△BFM与△BFN的面积的比值为2，求直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆Γ：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距，∴，解得a＝2，b＝，∴椭圆Γ的标准方程为．证明：（2）∵C、D是四条直线x＝±a，y＝±b所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，∴C（2，），D（﹣2，），设P（x0，y0），则，由已知＝，得，∴＝1，∴m2+n2＝为定值．解：（3）＝2等价于＝2，当直线l的斜率不存在时，＝1，不合题意，故直线l的斜率存在，设l：y＝k（x﹣1），由，消去x，得（3+4k2）y2+6ky﹣9k2＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，由＝2，得＝﹣2，则，，∴3+4k2＝8，k＝，∴直线l的方程为y＝．23．（12分）已知数列{a n}、{b n}满足：，a n+b n＝1，；（1）求b1、b2、b3、b4；（2）求证：数列{}是等差数列，并求{b n}的通项公式；（3）设S n＝a1a2+a2a3+…+a n a n+1，若不等式4aS n＜b n对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（1）解：依题意，b1＝1﹣a1＝1﹣＝，b2＝＝＝，a2＝1﹣b2＝1﹣＝，＝＝，a3＝1﹣b3＝1﹣＝，＝＝；（2）证明：∵，a n+b n＝1，∴b n+1﹣1＝﹣1＝﹣1＝，两边同时取倒数，得：＝＝﹣1＝﹣1＝﹣1＝﹣1，∴数列{}是等差数列，又∵＝＝﹣4，∴＝﹣4﹣（n﹣1）＝﹣（n+3），∴数列{b n}的通项公式b n＝1﹣＝；（3）解：由（2）可知b n＝，∴a n＝1﹣b n＝，a n a n+1＝＝﹣，∴S n＝a1a2+a2a3+…+a n a n+1＝﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝，∵不等式4aS n＜b n对任意n∈N*恒成立，∴不等式4a•＜对任意n∈N*恒成立，∴a＜＝1+，∵随着n的增大而减小，且＝0，∴a≤1．。

2016文科数学模拟试卷II 及答案第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题。

每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

（1）已知集合M = {x | -3 < x < 4, x ∈R }，N =｛-3, -2, -1, 0, 1｝，则M ∩N =（A ）{-2, -1, 0, 1｝ （B ）{-3, -2, -1, 0} （C ）{-2, -1, 0} （D ）{-3, -2, -1}（2）⎪⎪⎪⎪21+i =（A ）2 2 （B ）2 （C ） 2 （D ）1（3）设x , y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x - y +1≥0x + y +1≥0 x ≤3, 则z = 2x -3y 的最小值是（A ）-7 （B ）-6 （C ）-5 （D ）-3（4）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b = 2，B = π6 错误！未找到引用源。

，C = π4 ，则△ABC 的面积为（A ）23 +2（B ）3 +1错误！未找到引用源。

（C ）23 -2 （D ）3 -1（5）设椭圆C ：x 2—a 2 + y2—b 2= 1（a > b > 0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2 =30o ，则C 的离心率为（A ）66（B ）13错误！未找到引用源。

（C ）12（D ）33错误！未找到引用源。

（6）已知sin2α = 23 错误！未找到引用源。

，则cos 2(α + π4（A ）16（B ）13（C ）12（D ）23（7）执行右面的程序框图，如果输入的N = 4，那么输出的S =（A ）1+ 12 + 13 + 14 错误！未找到引用源。

（B ）1+ 12 + 13×2 + 14×3×2（C ）1+ 12 + 13 + 14 + 15错误！未找到引用源。

2016年上海市黄浦区高考数学二模试卷（文科）一、填空题1．（5分）已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=．2．（5分）计算：=．3．（5分）函数的反函数f﹣1（x）=．4．（5分）函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为．5．（5分）直线x+2y﹣1=0与直线y=1的夹角为（结果用反三角函数值表示）6．（5分）已知菱形ABCD，若||=1，A=，则向量在上的投影为．7．（5分）已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V=．8．（5分）已知函数f（x）=x3+lg（+x，若f（x）的定义域中是a，b满足f（﹣a）+f（﹣b）=f（a）+f（b）+3，则f（a）+f（b）=．9．（5分）数列{a n}中，若a1=3，=a n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=．10．（5分）在代数式（4x2﹣2x﹣5）（1+）5的展开式中，常数等于．11．（5分）若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆的短轴长为．12．（5分）满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y﹣x的最大值为．13．（5分）有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，它们的颜色号码均不相等的概率是．14．（5分）正整数a、b满足1＜a＜b，若关于x、y的方程组有且只有一组解，则a的最大值为．二、选择题15．（5分）已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0，那么“=0是“两直线l1，l2平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）若1+2i（i为虚数单位）是实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=﹣3B．b=2，c=5C．b=﹣2，c=﹣3D．b=﹣2，c=5 17．（5分）若△ABC的三条边a、b、c满足（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形也可能是钝角三角形18．（5分）全集U={（x，y）|x∈R，y∈R}，集合S⊆U，若S中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线y=x均对称，且（2，3）∈S，则S中元素个数至少有（）A．4个B．6个C．8个D．10个三、解答题19．（10分）如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P与凳面圆心O的连线垂直于凳面和地面，且P分细钢管上下两端的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60°，若A、B、C是凳面圆角的三等分点，AB=18厘米，求凳面的高度h及三根细钢管的总长度（精确到0.01）20．（10分）已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b为非零实常数．（1）f（）=，f（x）的最大值为，求a，b的值；‘（2）若a=1，x=是f（x）的图象的一条对称轴，求x0的值，使其满足f（x0）=，且x0∈[0，2π]．21．（10分）已知函数f（x）=a x+，其中a＞1：（1）证明：函数f（x）在（﹣1，∞）上为增函数；（2）证明：不存在负实数x0使得f（x0）=0．22．（15分）对于双曲线C（a，b）：﹣=1（a，b＞0），若点P（x0，y0）满足﹣＜1，则称P在的C（a，b）外部；若若点P（x0，y0）满足﹣＞1，则称P在的C（a，b）内部：（1）证明：直线3x﹣y+1=0上的点都在C（1，1）的外部；（2）若点M的坐标为（0，﹣1），点N在C（1，1）的内部或C（1，1）上，求||的最小值；（3）若C（a，b）经过点（2，1），圆x2+y2=r2（r＞0）在C（a，b）内部及C（a，b）上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围．23．（15分）已知数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣k1）（n﹣k2），其中k1，k2∈Z：（1）试写出一组k1，k2∈Z的值，使得数列{a n}中的各项均为正数；（2）若k1=1、k2∈N*，数列{b n}满足b n=，且对任意m∈N*（m≠3），均有b3＜b m，写出所有满足条件的k2的值；（3）若0＜k1＜k2，数列{c n}满足c n=a n+|a n|，其前n项和为S n，且使c i=c j≠0（i，j∈N*，i＜j）的i和j有且仅有4组，S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求k1，k2的最小值．2016年上海市黄浦区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题1．（5分）已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=1．【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，若B⊆A，必有m2=2m﹣1，而m2=﹣1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．【解答】解：由B⊆A，m2≠﹣1，∴m2=2m﹣1．解得m=1．验证可得符合集合元素的互异性，此时B={3，1}，A={﹣1，3，1}，B⊆A满足题意．故答案为：1【点评】本题考查元素的互异性即集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题．2．（5分）计算：=．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题．【分析】分子分母同时除以3n，原式简化为，由此求出值即可．【解答】解：故答案为：．【点评】本题是一道基础题，考查函数的极限，解题时注意消除零因式．3．（5分）函数的反函数f﹣1（x）=（x﹣1）3．【考点】41：有理数指数幂及根式；4R：反函数；4V：幂函数的图象．【专题】11：计算题．【分析】欲求原函数f（x）=x3+1的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．【解答】解：∵=y，∴x=（y﹣1）3，∴x，y互换，得y=（x﹣1）3．故答案为（x﹣1）3．【点评】解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．4．（5分）函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为π．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．【解答】解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；所以函数的最小正周期为：T=，故答案为：π．【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简周期的求法，考查计算能力．5．（5分）直线x+2y﹣1=0与直线y=1的夹角为arctan（结果用反三角函数值表示）【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5B：直线与圆．【分析】由题意可得两直线倾斜角的正切值，由夹角公式可得直线夹角的正切值，由反正切函数可得．【解答】解：∵x+2y﹣1=0的斜率为﹣，故tanα=﹣，（α为直线的倾斜角）直线y=1的倾斜角为β=0，故tanβ=0，由夹角公式可得tanθ=||=，∴两直线的夹角θ=arctan【点评】本题考查两直线的夹角问题，涉及夹角公式，属基础题．6．（5分）已知菱形ABCD，若||=1，A=，则向量在上的投影为．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5A：平面向量及应用．【分析】由题意作图辅助，解菱形，从而求得向量在上的投影．【解答】解：∵在菱形ABCD中，A=，∴∠CAB=，又∵||=1，∴||=2||cos=，∴向量在上的投影为||cos=，故答案为：．【点评】本题考查了数形结合的思想方法应用及平面向量的应用，属于中档题．7．（5分）已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V=．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】多面体为正六棱柱，底面边长和高都是1．【解答】解：由多面体的展开图可知此多面体为正六棱柱，底面边长和高均为1．正六棱柱的底面积S==．∴多面体的体积V=Sh==．故答案为．【点评】本题考查了棱柱的结构特征和体积计算，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）=x3+lg（+x，若f（x）的定义域中是a，b满足f（﹣a）+f（﹣b）=f（a）+f（b）+3，则f（a）+f（b）=﹣．【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】函数的定义域为R，求f（﹣x）=﹣x3+（0﹣lg（+x））=﹣f（x），根据奇函数的性质可得结论．【解答】解：f（x）=x3+lg（+x），∴f（﹣x）=﹣x3+（0﹣lg（+x））=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∵f（﹣a）+f（﹣b）=f（a）+f（b）+3，∴f（a）+f（b）=﹣．【点评】考查了奇函数的判断和对抽象函数的理解．9．（5分）数列{a n}中，若a1=3，=a n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；35：转化思想；36：整体思想；4M：构造法；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意化简可得ln（a n）=2lna n，从而可得数列{lna n}是以ln3为首项，+12为公比的等比数列，从而求得．【解答】解：易知a n＞0，∵=a n，）=lna n，ln（a n+1）=2lna n，∴ln（a n+1∴数列{lna n}是以ln3为首项，2为公比的等比数列，∴lna n=ln3•2n﹣1=，∴a n=，故答案为：．【点评】本题考查了数列的性质的判断，同时考查了构造法的应用及转化思想的应用．10．（5分）在代数式（4x2﹣2x﹣5）（1+）5的展开式中，常数等于15．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；5P：二项式定理．==．令﹣2r=﹣2，【分析】（1+）5的展开式的通项公式T r+1﹣2r=﹣1，﹣2r=0，分别解出即可得出．==．【解答】解：（1+）5的展开式的通项公式T r+1令﹣2r=﹣2，﹣2r=﹣1，﹣2r=0，分别解得：r=1，r=（舍去），r=0．∴常数项=4﹣5=20﹣5=15．故答案为：15．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆的短轴长为10．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】不妨设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），a2=b2+c2．利用已知可得a﹣c=5，a+c=15，解出即可得出．【解答】解：不妨设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），a2=b2+c2．∵椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，∴a﹣c=5，a+c=15，∴b2=a2﹣c2=5×15=75．∴b=5．则椭圆的短轴长为10．故答案为：10．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y﹣x的最大值为2．【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合；4R：转化法；5T：不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=y﹣x得y=x+z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=x+z由图象可知当直线y=x+z经过点A（﹣2，0）时，直线y=x+z的截距最大，此时z也最大，代入目标函数z=0﹣（﹣2）=2，即目标函数的最大值为2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．13．（5分）有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，它们的颜色号码均不相等的概率是．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】11：计算题；36：整体思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据排列组合求出，所有的基本事件，再求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．【解答】解：红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，共有C93=84，它们的颜色和号码均不相等的取法有A33=3×2×1=6种，故它们的颜色号码均不相等的概率是=，故答案为：【点评】本题考查了古典概率问题，关键是利用排列组合，属于基础题．14．（5分）正整数a、b满足1＜a＜b，若关于x、y的方程组有且只有一组解，则a的最大值为4031．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】11：计算题；32：分类讨论；4C：分类法；51：函数的性质及应用．【分析】化简可得4033﹣2x=|x﹣1|+|x+a|+|x﹣b|，从而讨论以去掉绝对值号，并确定方程的解的个数及条件，从而解得．【解答】解：由方程组消y可得，4033﹣2x=|x﹣1|+|x+a|+|x﹣b|，当x≤﹣a时，4033﹣2x=1﹣x﹣x﹣a﹣x+b，故x=b﹣a﹣4032，故当x=b﹣a﹣4032≤﹣a，即b≤4032时，有一个解；即a≤4031时，有一个解；否则无解；当﹣a＜x≤1时，4033﹣2x=1﹣x+x+a﹣x+b，故x=4032﹣a﹣b，故当﹣a＜4032﹣a﹣b≤1，即b＜4032且a+b≥4301时，有一个解；即2015≤a≤4030，有一个解，否则无解；当1＜x≤b时，4033﹣2x=x+a+b﹣1，故3x=4034﹣a﹣b，故当3＜4034﹣a﹣b≤3b，即a+b＜4031且a+4b≥4304时，有一个解；即≤a≤2014，方程有一个解，否则无解；当x＞b时，4033﹣2x=3x+a﹣b﹣1，故5x=4034﹣a+b，故当4034﹣a+b＞5b，即a+4b＜4304时，有一个解；否则无解；综上所述，当a取最大值4031时，方程有一个解，故答案为：4031．【点评】本题考查了绝对值方程的解法及分类讨论的思想方法应用，属于中档题．二、选择题15．（5分）已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0，那么“=0是“两直线l1，l2平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】两条直线平行时，一定可以得到a1b2﹣a2b1=0成立，反过来不一定成立，由此确定两者之间的关系【解答】解：若“=0则a1b2﹣a2b1=0，若a1c2﹣a2c1=0，则l1不平行于l2，若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1=0，∴=0，故“=0是“两直线l1，l2平行的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题重点考查四种条件的判定，解题的关键是理解行列式的定义，掌握两条直线平行的条件．16．（5分）若1+2i（i为虚数单位）是实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=﹣3B．b=2，c=5C．b=﹣2，c=﹣3D．b=﹣2，c=5【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，∴1﹣2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，∴，解得b=﹣2，c=5．故选：D．【点评】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题17．（5分）若△ABC的三条边a、b、c满足（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形也可能是钝角三角形【考点】HR：余弦定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】不妨设a+b=7，则b+c=9，c+a=10，求出a、b、c的值，再利用余弦定理求出最大角的余弦值，从而得出结论．【解答】解：∵（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，不妨设a+b=7，则b+c=9，c+a=10，求得a=4，b=3，c=6．再利用余弦定理可得cosC==﹣＜0，故C为钝角，故选：C．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．18．（5分）全集U={（x，y）|x∈R，y∈R}，集合S⊆U，若S中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线y=x均对称，且（2，3）∈S，则S中元素个数至少有（）A．4个B．6个C．8个D．10个【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】11：计算题；37：集合思想；44：数形结合法；5J：集合．【分析】由对称性画出图形得答案．【解答】解：由题意画出图形，∵（2，3）∈S，由题意可得（3，2），（3，﹣2），（2，﹣3），（﹣3，﹣2），（﹣2，﹣3），（﹣2，3），（﹣3，2）均在集合S中，∴S中元素个数至少有8个．故选：C．【点评】本题考查元素与集合间的关系的判断，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．三、解答题19．（10分）如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P与凳面圆心O的连线垂直于凳面和地面，且P分细钢管上下两端的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60°，若A、B、C是凳面圆角的三等分点，AB=18厘米，求凳面的高度h及三根细钢管的总长度（精确到0.01）【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系；N3：平行线分线段成比例定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】连结PO，AO，由题意PO⊥平面ABC，推导出∠PAO=60°，AO=6，PO=18，由此能求出凳面的高度h及三根细钢管的总长度．【解答】解：连结PO，AO，由题意PO⊥平面ABC，∵凳面与地面平行，∴∠PAO是PA与平面ABC所成的角，即∠PAO=60°，在等边三角形ABC中，AB=18，∴AO=6，在直角△PAO中，PO=AO=18，由，解得h≈47.13cm，三根钢管总长度为≈163.25cm．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查空间图形的基本知识和基本技能，是中档题，解题时要认真审题，注意理解和掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识．20．（10分）已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b为非零实常数．（1）f（）=，f（x）的最大值为，求a，b的值；‘（2）若a=1，x=是f（x）的图象的一条对称轴，求x0的值，使其满足f（x0）=，且x0∈[0，2π]．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；H2：正弦函数的图象；HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】（1）由f（）=，可得a+b=2，又f（x）=sin（x+φ），其中tanφ=，f（x）的最大值为，可得：=，联立即可解出a，b 的值．（2）由a=1，可得f（x）=sin（x+φ），其中tanφ=b，由题意+φ=kπ+，k∈z，可得φ，根据tan（kπ+）==b，可求φ，由f（x0）=，解得：x0+=2kπ+，或x0+=2kπ+，k∈Z，结合范围x0∈[0，2π]，即可得解．【解答】解：（1）∵f（）=（a+b）=，∴a+b=2，①∵f（x）=asinx+bcosx=（sinx+cosx）=sin（x+φ），其中tanφ=，∴f（x）的最大值为，可得：=．②∴联立①②可得：，，（2）∵a=1，∴可得：f（x）=sinx+bcosx=sin（x+φ），其中tanφ=b，∵根据直线x=是其图象的一条对称轴，可得+φ=kπ+，k∈z，可得φ=kπ+，∴tan（kπ+）=tan==b，故φ=，故f（x）=2sin（x+）．∵f（x0）=，可得：2sin（x0+）=，解得：x0+=2kπ+，或x0+=2kπ+，k∈Z，解得：x0=2kπ，或x0=2kπ+，k∈Z，又∵x0∈[0，2π]．∴x0=0或或2π．【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，正弦函数的图象和性质，涉及辅助角公式和三角函数的最值，属中档题．21．（10分）已知函数f（x）=a x+，其中a＞1：（1）证明：函数f（x）在（﹣1，∞）上为增函数；（2）证明：不存在负实数x0使得f（x0）=0．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】33：函数思想；49：综合法；52：导数的概念及应用．【分析】（1）令g（x）=a x，（a＞1），则g（x）在R递增，令h（x）=，求出h（x）的导数，得到函数的单调性，从而判断出f（x）的单调性即可；（2）通过讨论x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）＞0，x∈（﹣1，0）时，f（x）＜0，从而证明结论即可．【解答】证明：函数f（x）的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），（1）函数f（x）=a x+，其中a＞1，令g（x）=a x，（a＞1），则g（x）在R递增，令h（x）=，则h′（x）=＞0，∴函数f（x）在（﹣1，∞）上为增函数；（2）x∈（﹣∞，﹣1）时，0＜a x＜1，=1﹣，x→﹣∞时：x+1→﹣∞，﹣→0，x→﹣1时，﹣→+∞，故x∈（﹣∞，﹣1）时：f（x）∈（1，+∞），x∈（﹣1，0）时，由（1）得：f（x）在（﹣1，0）递增，而f（0）=a0+=﹣2，∴f（x）＜0在（﹣1，0）恒成立，综上：不存在负实数x0使得f（x0）=0．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．22．（15分）对于双曲线C（a，b）：﹣=1（a，b＞0），若点P（x0，y0）满足﹣＜1，则称P在的C外部；若（a，b）若点P（x0，y0）满足﹣＞1，则称P在的C（a，b）内部：（1）证明：直线3x﹣y+1=0上的点都在C（1，1）的外部；（2）若点M的坐标为（0，﹣1），点N在C（1，1）的内部或C（1，1）上，求||的最小值；（3）若C（a，b）经过点（2，1），圆x2+y2=r2（r＞0）在C（a，b）内部及C（a，b）上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设直线y=3x+1上点P（x0，3x0+1），求出x02﹣y02关于x0的二次函数，求得最大值，证明小于1即可；（2）由题意可得x02﹣y02≥1，即x02≥y02+1，运用两点的距离公式，配方即可得到MN的最小值；（3）将（2，1）代入双曲线的方程，由圆和双曲线的相交的弦长相等，弦所对的圆周角均为90°，且均为r，联立圆的方程和双曲线的方程，求得交点坐标，可得弦长，化简整理可得b，r的关系式和r的范围【解答】解：（1）证明：设直线y=3x+1上点P（x0，3x0+1），即有x02﹣y02=x02﹣（3x0+1）2=﹣8x02﹣6x0﹣1=﹣8（x0+）2+，当x0=﹣时，取得最大值，即点P（x0，y0）满足﹣＜1，故直线3x﹣y+1=0上的点都在C（1，1）的外部；（2）点N（x0，y0）在C（1，1）的内部或C（1，1）上，可得x02﹣y02≥1，即x02≥y02+1，|MN|=≥=•=•，当y0=﹣时，|MN|取得最小值，且为；（3）若C过点（2，1），可得﹣=1，（a，b）即为a2=，由圆和双曲线的相交的弦长相等，弦所对的圆周角均为90°，且均为r，联立，解得y=±，可得r=，化简可得r2====，令b2﹣3=t（t＞0），则r2=＞8，即有r＞2．【点评】本题考查双曲线的内部或外部的理解和运用，注意运用转化思想，考查二次函数的最值的求法，以及直线和圆的位置关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．23．（15分）已知数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣k1）（n﹣k2），其中k1，k2∈Z：（1）试写出一组k1，k2∈Z的值，使得数列{a n}中的各项均为正数；（2）若k1=1、k2∈N*，数列{b n}满足b n=，且对任意m∈N*（m≠3），均有b3＜b m，写出所有满足条件的k2的值；（3）若0＜k1＜k2，数列{c n}满足c n=a n+|a n|，其前n项和为S n，且使c i=c j≠0（i，j∈N*，i＜j）的i和j有且仅有4组，S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求k1，k2的最小值．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；15：综合题；33：函数思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）通过函数f（x）=（x﹣k1）（x﹣k2）是与x轴交于k1、k2两点且开口向上的抛物线可知，只需知k1、k2均在1的左边即可；（2）通过k1=1化简可知b n=n+﹣（1+k2），排除k2=1、2可知k2≥3，此时可知对于f（n）=n+而言，当n≤时f（n）单调递减，当n≥时f（n）单调递增，进而解不等式组即得结论；（3）通过0＜k1＜k2及a n=（n﹣k1）（n﹣k2）可知c n=，结合c i=c j≠0（i，j∈N*，i＜j）可知0＜i＜k1＜k2＜j，从而可知k1的最小值为5，通过S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等可知5=k1≤m+1＜m+2＜…＜k2，进而可得k2的最小值为6．【解答】解：（1）k1=k2=0；（2）∵k1=1、k2∈N*，a n=（n﹣k1）（n﹣k2），∴b n===n+﹣（1+k2），当k2=1、2时，f（n）=n+均单调递增，不合题意；当k2≥3时，对于f（n）=n+可知：当n≤时f（n）单调递减，当n≥时f（n）单调递增，由题意可知b1＞b2＞b3、b3＜b4＜…，联立不等式组，解得：6＜k2＜12，∴k2=7，8，9，10，11；（3）∵0＜k1＜k2，a n=（n﹣k1）（n﹣k2），∴c n=a n+|a n|=，∵c i=c j≠0（i，j∈N*，i＜j），∴i、j∉（k1，k2），又∵c n=2[n2﹣（k1+k2）n+k1k2]，∴=，∴0＜i＜k1＜k2＜j，此时i的四个值为1，2，3，4，故k1的最小值为5，又S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等，不妨设S m=S m+1=S m+2=...，则c m+1=c m+2= 0∵当k1≤n≤k2时c n=0，∴5=k1≤m+1＜m+2＜…＜k2，∴k2≥6，即k2的最小值为6．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2016年静安区高考数学(文科)二模卷(试卷满分150分 考试时间120分钟)考生注意：本试卷共有23道题，答题前，请在答题纸上将学校、班级、姓名、检测编号等填涂清楚.一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.已知全集U R =，集合{}(1)(4)0A x x x =--…，则集合A 的补集U A =ð . 2.指数方程462160x x -⨯-=的解是 . 3.已知无穷等比数列{}n a 的首项118a =，公比12q =-，则无穷等比数列{}n a 各项的和是 .4.函数cos 2[0π]y x x =?，，的递增区间为 .5.算法流程图如图所示，则输出的k 值是 .6.抛物线2y x =上一点到焦点的距离为1，则点的横坐标是 .7.设函数()23f x x =-，则不等式()5f x <的解集为 .8.关于θ 的函数2()cos 2cos 1f x θθθ=--的最大值记为()M x ，则()M x 的解析式为 .9.如图所示，是一个由圆柱和球组成的几何体的三视图，若3,2==b a ，则该几何体的体积等于 .10.圆心在直线2x -y -7=0上的圆C 与y 轴交于A (0, -4)、B (0, -2) 两点， 则圆C 的方程为 .11.已知△ABC 外接圆的半径为2，圆心为O ，且2AB AC AO +=，AB AO =，则( 第5题图 )( 第9题图 )CA CB ⋅= .12.若不等式组0,34,34x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩………所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是 .13.掷两颗均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)(i 为虚数单位)为实数的概率为 .14.设关于x 的实系数不等式2(3)()0ax x b +-…对任意[0,)x ∈+∞恒成立，则2a b = .二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15.4(1)x +的展开式中2x 的系数为( )A. 1B.4C.6D.12 16.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，若△ABC 的面积2221()4S b c a =+-，∠A 的弧度数为( ) A.π3 B.π6 C.π2 D.π417.若函数()()2F x f x x =+为奇函数，且g (x )= f (x )＋2，已知 f (1) =1，则g (－1)的值为( )A.1B.－1C. 2D.－218.已知实数,x y 满足20,0,3,x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩则|4|z x y =+的最大值为( )A. 17B. 15C. 9D. 5三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分)如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P —ABCDEF (底面正六边形ABCDEF 的中心为球心).求：正六棱锥P —ABCDEF 的体积和侧面积.20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知12,F F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(其中0a b >>)的左、右焦点，椭圆C 过点(3,1)-且与抛物线28y x =-有一个公共的焦点.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点且斜率为1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，求线段AB 的长度.21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. 如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，海中小岛有码头Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km 、710km 5.测得tan 3MON ∠=-，6km OA =.以点O 为坐标原点，射线OM 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.一艘游轮以182km /小时的平均速度在水上旅游线AB 航行(将航线AB 看作直线，码头Q 在第一象限，航线AB 经过Q ). (1)问游轮自码头A 沿AB 方向开往码头B 共需多少分钟？(2)海中有一处景点P (设点P 在xoy 平面内，PQ OM ⊥，且6km PQ =)游轮无法靠近.求游轮在水上旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标.( 第19题图 ) ( 第21题图 )22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满 分6分.已知函数()y f x =，若在区间I 内有且只有一个实数c (c I ∈)，使得()0f c =成立，则称函数()y f x =在区间I 内具有唯一零点.(1)判断函数()2log f x x =在定义域内是否具有唯一零点，并说明理由； (2)已知向量31(,)22m =，(sin 2,cos 2)n x x =，(0,π)x ∈，证明()1f x m n =⋅+在区间(0,π)内具有唯一零点；(3)若函数2()22f x x mx m =++在区间(2,2)-内具有唯一零点，求实数m 的取值范围.23.(本小题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题 满分8分.已知各项为正的数列{}n a 是等比数列，且21=a ，532a =；数列{}n b 满足：对于任意n *ÎN ，有1122n n a b a b a b +++…=22)1(1+⋅-+n n .(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n b 的通项公式；(3)在数列{}n a 的任意相邻两项k a 与1+k a 之间插入k 个k k b )1(-(k N *∈)后，得到一个新的数列{}n c . 求数列{}n c 的前2016项之和.2016年静安区高考数学（文科）二模卷一、填空题 1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识. 【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，并集，补集. 【参考答案】(,1)(4,)-+∞∞【试题分析】{}{}|(1)(4)0|14A x x x x x =--=-≤≤≤，所以U A =ð(,1)(4,)-+∞∞,故答案为(,1)(4,)-+∞∞.2. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/指数方程和对数方程. 【参考答案】3x =【试题分析】令2(0)xt t =＞，则有26160t t --=，所以8t =或2t =-（舍去），即28,3xx ==，故答案为3x =.3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识. 【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限. 【参考答案】12【试题分析】因为数列的公比1q ＜，故数列存在极限，则有118[1()]2lim lim1211()2n n n n S →→⨯--==--∞∞，故答案为12. 4. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角函数/正弦函数和余弦函数的性质. 【参考答案】[,]2ππ【试题分析】因为cos 2y x =的递增区间为[2,2]k k k -π+ππ∈Z ，所以[,]2x k k π∈-+ππ 又因为[0,]x ∈π，所以[,]2x π∈π，故答案为[,]2ππ.5. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数基本知识. 【知识内容】方程与代数/算法初步/程序框图. 【参考答案】5【试题分析】执行第一次，21,430k k k =-=-＜，不满足判断条件，继续循环；22,440k k k =-=-＜，不满足判断条件，继续循环；23,430k k k =-=-＜，不满足判断条件，继续循环；24,40k k k =-=，不满足判断条件，继续循环；25,440k k k =-=＞，满足判断条件，输出k ，故答案为5.6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学有关图形与几何的基本知识. 【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质. 【参考答案】34【试题分析】因为2y x =，则抛物线的准线方程为14x =-，因为抛物线上的点到准线的距离与该点到焦点的距离相等，所以设该点的横坐标为0x ，则有00131,44x x +==，故答案为34. 7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学有关方程与代数的基本知识. 【知识内容】方程与代数/不等式/含有绝对值的不等式的解法. 【参考答案】{}|14x x -＜＜【试题分析】()5,f x ＜即5235x --＜＜，所以14x -＜＜，故答案为{}|14x x -＜＜. 8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的有关概念. 【参考答案】2,0()2,0x x M x x x ⎧=⎨-⎩≥＜【试题分析】 222()cos 2cos 1(cos )1f x x x θθθθ=--=---， 因为cos [1,1]θ∈-，所以当0x ≥时，22()(1)12M x x x x =----=； 当0x ＜，22()(1)12M x x x x =---=-，所以2,0()2,0x x M x x x ⎧=⎨-⎩≥＜，故答案为2,0()2,0x x M x x x ⎧=⎨-⎩≥＜.9.【测量目标】空间想象能力/能根据图形想象出直观形象.【知识内容】图形与几何/投影与画图/三视图；图形与几何/简单几何体的研究/柱体，球. 【参考答案】133π【试题分析】由图形的三视图可知球的半径为2a，圆柱的高3b =，则几何体的体积324413()()1332233a a V V V b π=+=π+π=π⨯+π=球圆柱，故答案为133π. 10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的和基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程与一般方程. 【参考答案】22(2)(3)5x y -++=【试题分析】设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，因为点(0,4),(0,2)A B --满足圆的方程，则有222(4)a b r +--=①，222(2)a b r +--=②，由①－②得，3b =-，又因为圆心在直线270x y --=上，故2a =，则 222(2)(3)x y r -++=，把(0,4)A -代入得25r =，所以圆的标准方程为22(2)(3)5x y -++=，故答案为22(2)(3)5x y -++=.11.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】平面向量/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积. 【参考答案】12【试题分析】如图，取BC 中点D ，联结AD ,则2AB AC AD +=,又因为2AB AC AO +=,所以O 为BC 的中点，因为AB AO =，所以ABO △是等边三角形，π6C ∠=，因为△ABC 外接圆的半径为2，所以423CB CA ==，,所以3423122CA CB ⋅=⨯⨯=,故答案为12.第11题图 apto612.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】方程与代数/简单的线性规划/二次一次不等式所表示的平面区域. 【参考答案】73【试题分析】不等式组所表示的平面区域如图(ABC △)，直线43y kx =+恒过ABC △的顶点A ,要使得其平分ABC △的面积，则其过线段AB 的中点D,由34,34x y x y +=⎧⎨+=⎩得(1,1)B ,(04)A ，,所以15(,)22D ,代入得547,2233k k =+=，故答案为73.第12题图 apto713.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率统计的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/等可能事件的概率； 数与运算/复数初步/复数的四则运算. 【参考答案】16【试题分析】复数22(i)(i)2()i z m n n m mn n m =+-=+-为实数，则m n =，掷两颗骰子，其向上的点数的组合有36种，其中相等的组合有6种，故事件“复数(i)(i)m n n m +-为实数”的概率为16. 14.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质; 函数与分析/指数函数与对数函数/简单的幂函数、二次函数的性质. 【参考答案】9【试题分析】令2()3,()f x ax g x x b =+=-，在同一坐标系下作出两函数的图像： ①如图(1)，当2()g x x b =-的在x 轴上方时，0b ≤，()0f x ≥，但()30f x ax =+≤对[0,)x ∈+∞却不恒成立；第14题图(1) apto8②如图(2),0b >,令()0g x =得x b =，令()30f x ax =+=得3x a=-，要使得不等式2(3)()0ax x b +-≤在[0,)x ∈+∞上恒成立，只需2239,,9b b a b a a=-==.第14题图(2) apto9综上，29a b =，故答案为9. 二、选择题15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关整理与概率统计的基本知识.【知识内容】整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理. 【正确选项】C【试题分析】4(1)x +展开式的第r 项为14C r r r T x +=，所以含2x 的为第3项，其系数为24C 6=,故答案为C.16.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理. 【正确选项】D【试题分析】因为ABC △的面积222111sin ()cos 242S bc A b c a bc A ==+-=,所以t an 1A =,π4A =. 17.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质; 【正确选项】B【试题分析】因为(1)1f =，所以(1)=(1)12F f +=，又因为2()()F x f x x =+为奇函数，所以(1)(1)2(1)+1F F f -=-=-=-，所以(1)3f -=-，(1)(1)+2=1g f -=--,故答案为B.18.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】方程与代数/简单的线性规划/简单的线性规划. 【正确选项】A【试题分析】不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分)，其中直线40x y +=将其分为12,S S 的两部分，联立20,3x y x +-=⎧⎨=-⎩得(35)A -，,联立0,3x y x -=⎧⎨=-⎩得(3,3)B --,在1S 上，直线4z x y =+在A 点有最大值，此时34517z =-+⨯=，在2S 上，直线4z x y =--在B 点有最大值，此时34(3)15z =-⨯-=，所以|4|z x y =+的最大值为17，故答案为A.第18题图 apto10三、解答题19.（本题满分12分）【测量目标】空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. 【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/球、锥体.【参考答案】 设底面中心为O ，AF 中点为M ，连结PO 、OM 、PM 、AO ， 则PO ⊥OM ， …………2分HEM62第19题图OM ⊥AF ，PM ⊥AF ， ∵OA ＝OP ＝2，∴OM ＝3， ∴1623=632S =⨯⨯⨯底.∴1632433V =⨯⨯=. …………6分 437PM =+=. …………8分∴1=627=672S ⨯⨯⨯侧. …………12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.（2）运算能力/能够根据条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径.【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. （2）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.【参考答案】（1）抛物线28y x =-的焦点为(2,0).- ………1分所以椭圆2222:1x y C a b+=的左焦点为(2,0)-，2c = ，224.b a =-………2分又22311a b+=，得428120a a -+=，解得26a =（22a =舍去），………4分故椭圆C 的方程为22162x y +=. ………6分 （2）直线l 的方程为2y x =-． …………………7分 联立方程组222,162y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得22630x x -+=． ……………10分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，故121233,2x x x x +==． …………………11分 则222121212||1||(1)[()4]6AB k x x k x x x x =+-=++-=…………14分 21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【测量目标】（1）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.（2）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.【知识内容】（1）图形与几何/平面直线的方程/点到直线的距离、两条相交直线的交点和夹角.（2）图形与几何/平面直线的方程/两条相交直线的交点和夹角、两条直线的平行关系与垂直关系.【参考答案】（1）由已知得：(6,0)A ，直线ON 的方程为3y x =-， ………1分 设00(,2)(0)Q x x >，由032710510x +=及图00x >得04x =，(4,2),Q ∴ ………3分 ∴直线AQ 的方程为(6)y x =--，即60x y +-=， ………5分由3,60y x x y =-⎧⎨+-=⎩得3,9x y =-⎧⎨=⎩即(3,9)B -， ………6分 22(36)992AB ∴=--+=，即水上旅游线AB 的长为92km ．游轮在水上旅游线自码头A 沿AB 方向开往码头B 共航行30分钟时间． ………8分（2）解法一：点P 到直线AB 的垂直距离最近，则垂足为C . ………10分 由（1）知直线AB 的方程为60x y +-=，(4,8)P ，则直线PC 的方程为40x y -+=， ………12分所以解直线AB 和直线PC 的方程组，得点C 的坐标为（1，5）． ……14分 解法2：设游轮在线段AB 上的点C 处，则182AC t =，102t ≤≤， ………10分(618,18)C t t ∴-，(4,8)P ，222(218)(188)PC t t ∴=-+-218(3620)68t t =-+，102t ≤≤， ………12分102t ∴≤≤时，当51182t =<时，离景点P 最近，代入(618,18)C t t -得离景点P 最近的点的坐标为(1,5). ………14分22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质；函数与分析/指数函数与对数函数/对数函数的性质与图像.（2）函数与分析/三角函数/函数sin()y A x ωϕ=+的图像和性质；图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积.（3）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质；函数与分析/指数函数与对数函数/简单的幂函数、二次函数的性质.【参考答案】（1）函数()2log f x x =在定义域内不具有唯一零点, ………2分 因为当1x =±时,都有()10f ±=； ………4分(2) 因为31π1sin 2cos 21sin(2)1226m n x x x ⋅+=++=++,所以π()s i n (2)16f x x =++, …………7分 ()0f x =的解集为ππ,3A x x k k ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z ；因为2π3A I ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,所以在区间(0,π)内有且只有一个实数2π3,使得2(π)03f =成立,因此()1f x m n =⋅+在开区间(0,π)内具有唯一零点. …………10分(3) 函数2()22f x x mx m =++在开区间(2,2)-内具有唯一零点，该二次函数的对称轴为x m =-．以下分-m 与区间(2,2)-的位置关系进行讨论．①当2m --≤即2m ≥时, 2()22f x x mx m =++在开区间(2,2)-是增函数,只需(2)0,(2)0f f -<⎧⎨>⎩解得 2.m > …………12分 ② 当22m -<-<即22m -<<时,若使函数在开区间(2,2)-内具有唯一零点，220m m -<，所以0.m <分三种情形讨论：当0m =时,符合题意；当02m <<时, 空集；当20m -<<时, 只需(2)0(2)0f f ->⎧⎨⎩，≤解得223m -<-≤. …………14分 ③当2m -≥即2m -≤时, 2()22f x x mx m =++在区间(2,2)-是减函数,只需(2)0(2)0f f ->⎧⎨<⎩，解得2m -≤. 综上讨论，实数m 的取值范围是23m -≤或0m =或2m >． …………16分 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.（2）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.（3）数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法，对问题进行探究，寻求数学对象的规律和联系；能正确地表述探究过程和结果，并予以证明.【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/等比数列.（2）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/数列的有关概念.【参考答案】(1)由532a =得， 2.q = ………2分2.n n a = ………4分（2）222)11(211=+-=b a ，得11=b . ………5分当2n ≥时，n n n n n n n n b a b a b a b a b a 2)()(111111⋅=++-++=-- . ………8分 于是n b n =. ………10分（3）设数列{}n a 的第k 项是数列{}n c 的第k m 项，即k m k c a =.当2k ≥时，(1)[12(1)]2k k k m k k +=++++-=. ………12分19532636262=⨯=m ，201663=m ，632016a c =，62622015)1(b c ⋅-= ………14分 设n S 表示数列{}n c 的前n 项之和.则]62)1(2)1()1[()(6262221163212016b b b a a a S ⋅-++⋅-+-++++= . 其中22646321-=+++a a a ，2)1()1(n nb n n n -=-.又14)12()2(22-=--n n n ， 则626222162)1(2)1()1(b b b -++-+-=26222262)1(2)1(1)1(-++-+-=)6162(])12()2[()34()12(22222222-++--++-+- m m =(411)(421)(41)(4311)n ⨯-+⨯-++-++⨯- 31(4114311)19532⨯-+⨯-== 因此，195121953)22(64642016+=+-=S . ………18分。

2016年上海市徐汇区、金山区、松江区高考数学二模试卷（文科）一、填空题1．抛物线y2=4x的焦点坐标为．2．若集合A={x|3x+1＞0}，B=｛|x﹣1｜＜2}，则A∩B=．3．若=（3,2）是直线l的一个方向向量,则l的倾斜角的大小为(结果用反三角函数值表示）4．若复数z满足=﹣i,其中i为虚数单位,则= ．5．求值:= 弧度．6．已知=3,设=λ，则实数λ=．7．函数y=+的最小值为．8．试写出（x﹣）7的展开式中系数最大的项．9．已知三个球的表面积之比是1：2:3，则这三个球的体积之比为．10．已知实数x，y满足，则目标函数z=﹣x﹣y的最大值为．11．若不等式x2﹣5x+6＜0的解集为（a,b)，则= ．12．从集合A=｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈A）的概率为，则k= ．13．有一道解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下:在△ABC中,已知，，求角A．经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A=60°，试将条件在横线处补全．14．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为．二、选择题15．已知非零向量、，“函数为偶函数”是“”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件16．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C． D．17．函数y=的反函数是（)A．y= B．y=C．y= D．y=18．设x1、x2分别是关于x的方程x2+mx+m2﹣m=0的两个不相等的实数根,那么过两点A(x1，x12），B（x2，x22）的直线与圆（x﹣1）2+（y+1）2=1的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．随m的变化而变化三、解答题19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=1,∠BAC=90°,且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a．（1）求a的值；（2）求三棱锥B1﹣A1BC的体积．20．已知函数f(x）=2sinxcosx+2cos2x．（1）求函数f（x）的单调递增区间;（2)将函数y=f（x)图象向右平移个单位后，得到函数y=g(x）的图象,求方程g(x)=1的解．21．已知函数f（x)=|2x﹣a｜+a．(1）若不等式f（x)＜6的解集为（﹣1，3），求a的值；(2)在(1）的条件下，若存在x0∈R，使f（x0）≤t﹣f(﹣x0），求t的取值范围．22．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），且点P（1，）在椭圆上；(1）求椭圆C的标准方程；(2）当点P(x，y）在椭圆C上运动时，点Q（,)在曲线S上运动，求曲线S的轨迹方程,并指出该曲线是什么图形；（3）过椭圆C1:+=1上异于其顶点的任意一点Q作曲线S的两条切线，切点分别为M，N（M，N 不在坐标轴上），若直线MN在x轴，y轴的截距分别为m，n，试问：+是否为定值？若是，求出该定值,若不是,请说明理由．23．按照如下的规律构造数表:第一行是：2；第二行是：2+1，2+3：即3,5;第三行是:3+1，3+3，5+1，5+3，即：4,6，6，8,…（即从第二行起将上一行的数的每一项各加1写出，再各项再加3写出），若第n行所有的项的和为a n；23 54 6 6 85 7 7 9 7 9 9 11…(1）求a3，a4，a5；（2）试写出a n+1与a n的递推关系，并据此求出数列{a n}的通项公式;（3）设S n=++…+（n∈N*），求S n和S n 的值．2016年上海市徐汇区、金山区、松江区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题1．抛物线y2=4x的焦点坐标为(1，0）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1,0)故答案为：（1，0)2．若集合A={x｜3x+1＞0｝,B=｛|x﹣1｜＜2}，则A∩B=（﹣，3）．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A=｛x｜3x+1＞0}=｛x｜x＞﹣},B={|x﹣1|＜2｝={x｜﹣2＜x﹣1＜2}={x｜﹣1＜x＜3},则A∩B={x｜﹣＜x＜3}，故答案为：（﹣，3）．3．若=(3，2）是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线l的一个方向向量求出直线的斜率,再由倾斜角的正切值等于斜率求解．【解答】解:∵直线l的一个方向向量为（3，2)，∴直线l的斜率为k=,设其倾斜角为α（0≤α＜π），由tanα=，得α=arctan．故答案为：arctan．4．若复数z满足=﹣i，其中i为虚数单位，则= 1﹣i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则可求．【解答】解：由=﹣i,得，∴．故答案为：1﹣i．5．求值:= 弧度．【考点】二阶矩阵；反三角函数的运用．【分析】利用二阶行列式展开法则由原式得到﹣2arctan,再利用反三角函数性质能求出结果．【解答】解:：=﹣2arctan=3×﹣2×=．故答案为:．6．已知=3,设=λ，则实数λ= 2 ．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】可知,这样带入便可得到,从而便可得出λ的值．【解答】解：根据条件，=；∴λ=2．故答案为：2．7．函数y=+的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】令=t，可得：y==g（t），利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：令=t，∴y==g（t),g′（t）=1﹣=＞0，∴函数g（t）在上单调递增,∴g(t）的最小值为:=．故答案为：．8．试写出（x﹣)7的展开式中系数最大的项．【考点】二项式系数的性质．【分析】T r+1=(﹣1）r x7﹣2r，r必须为偶数,分别令r=0,2，4，6，经过比较即可得出．【解答】解：T r+1=x7﹣r=（﹣1)r x7﹣2r，r必须为偶数，分别令r=0，2，4,6,其系数分别为：1,，，．经过比较可得：r=4时满足条件,T5=x﹣1=，故答案为：．9．已知三个球的表面积之比是1:2：3，则这三个球的体积之比为．【考点】球的体积和表面积．【分析】通过球的表面积之比求出半径之比，然后求出它们的体积之比即可．【解答】解：设三个球的半径为a，b，c,根据球的表面积公式得出4πa2：4πb2：4πc2=1：2：3，所以它们的半径之比为a:b：c=1：：．则它们的体积之比是a3：b3：c3=故答案为：10．已知实数x,y满足，则目标函数z=﹣x﹣y的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A(﹣1，3)，化目标函数z=﹣x﹣y为y=﹣，由图可知,当直线y=﹣过A时，直线在y轴上的截距最小,z有最大值为．故答案为：．11．若不等式x2﹣5x+6＜0的解集为（a,b）,则= ．【考点】极限及其运算；一元二次不等式的解法．【分析】先解一元二次不等式，求得a,b的值，将其代入，分式同除3n，可求得极限值．【解答】解:不等式x2﹣5x+6＜0，解集为（2，3）∴a=2，b=3,====．故答案为：．12．从集合A={1，2,3，4，5,6，7,8，9,10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈A）的概率为，则k= 4或7 ．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意=，由此能求出结果．【解答】解：∵从集合A=｛1，2，3,4，5，6,7，8，9，10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k,另一个数小于k(其中k∈A）的概率为，∴=，解得k=4或k=7．故答案为：4或7．13．有一道解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC中，已知，，求角A．经推断破损处的条件为三角形一边的长度,且答案提示A=60°，试将条件在横线处补全．【考点】正弦定理．【分析】要把横线处补全,就要把A的度数作为已知条件求c的值，由a，A和B的度数,根据正弦定理求出b的长,再由三角形的内角和定理求出C的度数,由a,b 及cosC,利用余弦定理即可求出c的长．【解答】解：根据正弦定理得：=，a=,sinB=,sinA=，所以b==，又C=180°﹣45°﹣60°=75°，所以cos75°=cos（45°+30°）=cos45°cos30°﹣sin45°sin30°=，所以c2=a2+b2﹣2abcosC=3+2﹣2×==,则c=．故答案为：14．定义在R上的奇函数f（x）,当x≥0时,f（x）=则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a(0＜a＜1)的所有零点之和为1﹣2a．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意，作函数y=f（x）与y=a的图象，从而可得x1+x2=﹣6，x4+x5=6，x3=1﹣2a，从而解得．【解答】解：由题意，作函数y=f（x）与y=a的图象如下，结合图象,设函数F（x）=f（x)﹣a（0＜a＜1）的零点分别为x1，x2，x3，x4，x5，则x1+x2=﹣6，x4+x5=6，﹣log0.5（﹣x3+1）=a,x3=1﹣2a，故x1+x2+x3+x4+x5=﹣6+6+1﹣2a=1﹣2a，故答案为：1﹣2a．二、选择题15．已知非零向量、，“函数为偶函数”是“"的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】已知非零向量、，根据f（﹣x)=f（x），求出向量、的关系，再利用必要条件和充分条件的定义进行判断．【解答】解：∵函数=（x）2+2+2•x，又f（x）为偶函数，f(﹣x）=f(x），∴f（﹣x）=（﹣x）2+2﹣2•x，∴f（﹣x）=f（x）,∴2•x=0,∴•=0，∴，若，则•=0，∴f（﹣x）=f（x),∴f(x）为偶函数,故选C．16．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据几何体中小正方体的排放位置进行判断．【解答】解：设几何体中小正方体的边长为1，∵几何体的高为3，宽为2，故左视图的高为3,长为2．∵几何体前排为单个小正方体，∴左视图的右侧为单个小正方形，故选B．17．函数y=的反函数是（）A．y= B．y=C．y= D．y=【考点】反函数．【分析】利用反函数的求法、分段函数的性质即可得出．【解答】解:∵y=,x≥0时,由y=2x，解得x=，把x与y互换可得：y=x；x＜0,由y=﹣x2，解得x=﹣，把x与y互换可得：y=．∴函数y=的反函数是y=．故选：B．18．设x1、x2分别是关于x的方程x2+mx+m2﹣m=0的两个不相等的实数根,那么过两点A(x1，x12），B（x2，x22）的直线与圆（x﹣1)2+（y+1）2=1的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．随m的变化而变化【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据方程x2+mx+m2﹣m=0根的判别式大于0,算出0＜m＜,由根与系数的关系算出x1+x2=﹣m，x1x2=m2﹣m．再利用直线的斜率公式算出AB的斜率k=﹣m，利用中点坐标公式算出AB的中点为M（﹣m，﹣m2+m)，得出直线AB的方程为mx+y+m2﹣m=0．最后利用点到直线的距离公式,算出已知圆的圆心C到直线AB的距离大于圆C的半径,可得直线AB 与已知圆相离．【解答】解:∵x1、x2是关于x的方程x2+mx+m2﹣m=0的两个不相等的实数根，∴△=m2﹣4（m2﹣m）＞0，即0＜m＜，且x1+x2=﹣m，x1x2=m2﹣m，可得x12+x22=(x1+x2）2﹣2x1x2=﹣m2+2m，因此，直线AB的斜率k=x1+x2=﹣m，AB的中点为M((x1+x2），（x12+x22））,即M（﹣m，﹣m2+m）∴直线AB的方程为y﹣（﹣m2+m）=﹣m(x+m），化简得mx+y+m2﹣m=0又∵圆（x﹣1）2+（y+1）2=1的圆心坐标为C（1，﹣1），半径r=1，∴圆心C到直线AB的距离为d==，∵0＜m＜，可得d=＞1，∴圆心C到直线AB的距离大于圆C的半径，可得直线与圆的位置关系是相离．故选：A．三、解答题19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a．(1)求a的值；(2）求三棱锥B1﹣A1BC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出a．（2）由AC⊥平面A1B1B，利用等体积法能求出三棱锥B1﹣A1BC的体积．【解答】解:(1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（0，0,a），B（1，0，0)，B1（1,0，1）,C1（0，1，a），=（1，0，﹣a)，=（﹣1，1，a﹣1)，∴异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，∴cos60°===，由AA1=a＞0，解得a=1．（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°,∴AC⊥平面A1B1B，∵AC=1,==，∴三棱锥B1﹣A1BC的体积===．20．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x．（1）求函数f（x)的单调递增区间；（2）将函数y=f(x）图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求方程g(x)=1的解．【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦;函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换．【分析】（1)把函数f（x）的解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调区间［2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z），求出x的范围，即为函数f（x）的单调递增区间；（2）根据平移规律“左加右减”，由f(x）的解析式得到向右平移2个单位后的解析式g（x）,令g(x）=1，得到sin（2x﹣）=0,根据正弦函数的图象与性质即可求出x的值，即为方程g（x）=1的解．【解答】解:(1)函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=sin（2x+)+1，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z)得：kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），则f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（2）由已知得：g（x）=sin[2（x﹣）+]+1=sin(2x ﹣），由g（x）=1得：sin(2x﹣)=0,∴2x﹣=kπ（k∈Z），则x=+（k∈Z）．21．已知函数f（x)=|2x﹣a｜+a．（1）若不等式f(x）＜6的解集为（﹣1，3)，求a的值；(2）在(1）的条件下，若存在x0∈R，使f(x0）≤t﹣f(﹣x0），求t的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】(1)求得不等式f（x）＜6的解集为a﹣3≤x≤3,再根据不等式f（x)＜6的解集为（﹣1，3），可得a﹣3=﹣1，由此求得a的范围；（2)令g(x）=f（x）+f（﹣x)=｜2x﹣2|+｜2x+2|+4，求出g（x）的最小值，可得t的范围．【解答】解:（1）∵函数f(x）=｜2x﹣a|+a，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3),∴｜2x﹣a|＜6﹣a 的解集为（﹣1,3)，由｜2x﹣a｜＜6﹣a，可得a﹣6＜2x+a＜6﹣a，求得a ﹣3≤x≤3，故有a﹣3=﹣1，a=2．（2）在（1）的条件下,f（x）=｜2x﹣2｜+2，令g（x)=f（x）+f(﹣x)=｜2x﹣2|+｜2x+2|+4=，故g（x)的最小值为8，故使f(x）≤t﹣f（﹣x）有解的实数a的范围为[8,+∞）．22．已知椭圆C:+=1(a＞b＞0）的右焦点为F（1，0）,且点P（1,）在椭圆上；(1）求椭圆C的标准方程;(2)当点P（x，y）在椭圆C上运动时,点Q（,）在曲线S上运动，求曲线S的轨迹方程，并指出该曲线是什么图形；（3)过椭圆C1:+=1上异于其顶点的任意一点Q作曲线S的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴,y轴的截距分别为m,n，试问：+是否为定值?若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】(1）由焦点坐标确定出c的值,根据椭圆的性质列出a与b的方程，再将P点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出椭圆方程即可．（2）由已知得，Q(，）,(0≤θ＜2π）,由此能求出曲线S的轨迹方程，并能指出该曲线是什么图形．（3）由题意：确定出C1的方程,设点P(x1，y1)，M（x2，y2），N（x3，y3），根据M，N不在坐标轴上，得到直线PM与直线OM斜率乘积为﹣1，确定出直线PM的方程，同理可得直线PN的方程，进而确定出直线MN 方程,求出直线MN与x轴，y轴截距m与n，即可确定出所求式子的值为定值．【解答】解：(1）∵椭圆C：的右焦点为F(1，0），且点P（1，）在椭圆C上；∴，解得a=2,b=，∴椭圆C的标准方程为．（2)∵点P（x，y）在椭圆C：上运动时,点Q（，）在曲线S上运动，∴，∴Q（，）,（0≤θ＜2π），∴曲线S的轨迹方程为，曲线S是以原点为圆心,以为半径的圆．（3）由题意：C1:+=1，设点P（x1，y1），M（x2，y2)，N（x3,y3)，∵M,N不在坐标轴上,∴k PM=﹣=﹣,∴直线PM的方程为y﹣y2=﹣(x﹣x2)，化简得:x2x+y2y=,①，同理可得直线PN的方程为x3x+y3y=，②，把P点的坐标代入①、②得，∴直线MN的方程为x1x+y1y=，令y=0,得m=，令x=0得n=，∴x1=,y1=，又点P在椭圆C1上,∴()2+3（)2=4,则+=为定值．23．按照如下的规律构造数表：第一行是:2;第二行是：2+1，2+3：即3，5；第三行是：3+1,3+3，5+1，5+3,即：4，6，6，8,…（即从第二行起将上一行的数的每一项各加1写出,再各项再加3写出）,若第n行所有的项的和为a n；23 54 6 6 85 7 7 9 7 9 9 11…（1）求a3,a4，a5；(2）试写出a n+1与a n的递推关系，并据此求出数列{a n}的通项公式;（3）设S n=++…+（n∈N＊），求S n和S n 的值．【考点】数列递推式；数列的极限；归纳推理．【分析】（1）直接代入计算即可；（2)通过观察可知a n+1=2a n+（1+3）•2n﹣1，进而两边同时除以2n+1，整理可得数列{｝是首项、公差均为1的等差数列，计算即得结论;（3）通过（2）裂项可知=4［﹣]，进而并项相加即得结论．【解答】解:（1）依题意，a3=4+6+6+8=24，a4=5+7+7+9+7+9+9+11=64，a5=6+8+8+10+8+10+10+12+8+10+10+12+10+12+12 +14=160；（2）∵从第二行起将上一行的数的每一项各加1写出，再各项再加3写出，∴a n+1=2a n+（1+3）•2n﹣1,即a n+1=2a n+2n+1,两边同时除以2n+1，得：=+1,又∵=1，∴=n，即a n=n•2n；（3）由（2）可知==4［﹣］，∴S n=++…+=4[﹣+﹣+…+﹣]=4［﹣]=2﹣（n∈N＊），∴S n=[2﹣]=2．2016年6月20日。

2016年静安区高考数学(文科）二模卷（试卷满分150分 考试时间120分钟)考生注意：本试卷共有23道题,答题前，请在答题纸上将学校、班级、姓名、检测编号等填涂清楚。

一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1。

已知全集U R =，集合{}(1)(4)0A x x x =--，则集合A的补集UA = 。

2.指数方程462160xx-⨯-=的解是 .公比12q =-，3。

已知无穷等比数列{}na 的首项118a =，则无穷等比数列{}n a 各项的和是 。

4。

函数cos 2[0π]yx x ，，的递增区间为。

5.算法流程图如图所示,则输出的k 值是 。

6。

抛物线2y x上一点到焦点的距离为1，则点的横坐标是 。

7.设函数()23f x x =-,则不等式()5f x <的解集为 。

8。

关于的函数2()cos 2cos 1f x θθθ=--的最大值记为()M x ,则()M x 的解析式为 。

（ 第5题9.如图所示，是一个由圆柱和球组成的几何体的三视图,若3,2==b a ,则该几何体的体积等于 . 10。

圆心在直线2x y 7=0上的圆C 与y 轴交于A （0， 4）、B（0, 2） 两点,则圆C 的方程为 。

11.已知△ABC 外接圆的半径为2,圆心为O ，且2AB AC AO +=，AB AO =，则CA CB ⋅= 。

12.若不等式组0,34,34x x yx y ⎧⎪+⎨⎪+⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是 .13.掷两颗均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数（m ＋n i)（n －m i)（i 为虚数单位）为实数的概率为 。

14。

设关于x 的实系数不等式2(3)()0ax xb +-对任意[0,)x ∈+∞恒成立，则2a b =.二、选择题（本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分，否则一律得零分。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{| lg(1)0}A x x =-≤，={|13}B x x -≤≤，则AB =（)A ．[1,3]-B ．[1,2]-C ．(1,3]D ．(1,2]【命题意图】本题主要考查对数函数及集合运算，意在考查分析问题解决问题的能力。

【答案】D【解析】∵01112x x <-≤⇒<≤，∴(1,2]A =,∴(1,2]AB =，故选D ．2。

若i 2i ia b -=+,其中,a b R ∈，i 是虚数单位，则b a +的值（ ） A ．－3 B ．－1 C ．1D ．【命题意图】本题主要考查复数的几何意义及复数的运算，意在考查转化与变形能力。

【答案】A3。

某学校有男学生400名，女学生600名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是（ ）A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法【命题意图】本题考查分层抽样的概念，意在考查对概念的理解和运用能力。

【答案】D【解析】由题意知样本和总体中男、女生的比例都是2:3，所以这种抽样方法为分层抽样，故选D 。

4。

若平面向量a ,b 满足2=a ，2=b ，()-⊥a b a ，则a 与b 的夹角是（ )A ．125π B ．3π C ．6π D ．4π【命题意图】本题主要考查向量的数量积以及应用，意在考查转化与化归及基本运算能力． 【答案】D【解析】()a b a -⊥，()20a b a aa b ∴-⋅=-⋅=，2a b a∴⋅=,又2a =，2b =，cos ,2a b a b =，2cos ,2a b ∴=又0,,a b π≤≤所以,,4a b π≤故选D 。

5.在等比数列{}na 中,1n n aa +<，286a a =，465a a +=，则46a a 等于( )A ．56B ．65C ．23D ．32【命题意图】本题主要考查等比数列的性质,意在考查分析问题解决问题的能力。

崇明县2015-2016学年第二次高考模拟考试试卷高三数学（文卷）（考试时间120分钟，满分150分）考生注意：1． 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；2． 答卷前，考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚； 3． 本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知全集U R =，{}2|20A x x x =-<，{}|1B x x =≥，则U A C B = ． 2．设复数z 满足 (4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为 ． 3．若直线l 过点(3,4)，且它的一个法向量是(1,2)n =，则l 的方程为 ．4．若函数22cos sin y x x ωω=-(0)ω>的最小正周期是π，则ω= ．5．圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = ． 6．已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为15πcm 2，则此圆锥的体积为 cm 2．7．在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于 ．8．已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ． 9．已知函数22,0(),0x a x f x x ax x ⎧+⎪=⎨-<⎪⎩≥，若()f x 的最小值是a ，则a = ．10．若实数,x y 满足条件2003x y x y y +-⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则目标函数34z x y =-的最大值是 ．11．若数列{}n a 是首项为1，公比为32a -的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是 ．12．从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，这个小组中男女医生都有的概率是 （结果用数值表示）．13．矩形ABCD 中，2,1AB AD ==，P 为矩形内部一点，且1AP =．设PAB θ∠=，AP AB AD λμ=+(,)R λμ∈，则2λ取得最大值时，角θ的值为 ．14．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x R ∈，都有(4)()f x f x +=，当[]4,6x ∈的时候，()21x f x =+，()f x 在区间[]2,0-上的反函数为1()f x -，则1(19)f -= ．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

2016年上海市浦东新区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知全集U＝R，若集合A＝{x|}，则∁U A＝．2．（5分）若复数z满足z（1﹣i）＝2i（i是虚数单位），则|z|＝．3．（5分）双曲线2x2﹣y2＝6的焦距为．4．（5分）已知（ax+）6二项展开式的第五项系数为，则正实数a的值为．5．（5分）方程log2（9x+7）＝2+log2（3x+1）的解为．6．（5分）已知函数f（x）＝（a）图象与它的反函数图象重合，则实数a＝．7．（5分）在△ABC中，边a、b、c所对角分别为A、B、C，若＝0，则△ABC的形状为．8．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是cm3．9．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y最大值为．10．（5分）已知四面体ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，则EF＝．11．（5分）设m、n分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量＝（m，n），＝（1，﹣1），则与的夹角为锐角的概率是．12．（5分）已知{a n}的通项公式为a n＝（﹣1）n•n+2n，n∈N+，则前2n项和S2n＝．13．（5分）已知函数f（x）＝x﹣，数列{a n}是公比大于0的等比数列，且满足a6＝1，f （a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a9）+f（a10）＝﹣a1，则a1＝．14．（5分）关于x的方程＝|sinπx|在[﹣6，6]上解的个数是．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）“﹣”是“不等式|x﹣1|＜1成立”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分亦非必要条件16．（5分）给出下列命题，其中正确的命题为（）A．若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面B．直线a与平面α不垂直，则a与平面α内所有的直线都不垂直C．直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行D．异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直17．（5分）抛物线y2＝4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则的最小值是（）A．B．C．D．18．（5分）已知平面直角坐标系中两个定点E（3，2），F（﹣3，2），如果对于常数λ，在函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4，（x∈[﹣4，4]）的图象上有且只有6个不同的点P，使得＝λ成立，那么λ的取值范围是（）A．（﹣5，﹣）B．（﹣，11）C．（﹣，﹣1）D．（﹣5，11）三、解答题（共5小题，满分60分）19．（12分）如图，在圆锥SO中，AB为底面圆O的直径，点C为弧的中点，SO＝AB；（1）证明：AB⊥平面SOC；（2）若点D为母线SC的中点，求AD与平面SOC所成角；（结果用反三角函数表示）20．（12分）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务；（1）求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1）（2）求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B的大小；（用反三角函数表示）21．（12分）数列{a n}满足：a1＝2，a n+1＝a n+λ•2n，且a1，a2+1，a3成等差数列，其中n∈N*．（1）求实数λ的值及数列{a n}的通项公式；（2）若不等式≤成立的自然数n恰有3个，求正整数p的值．22．（12分）教材曾有介绍：圆x2+y2＝r2上的点（x0，y0）处的切线方程为x0x+y0y＝r2，我们将其结论推广：椭圆＝1（a＞b＞0）上的点（x0，y0）处的切线方程为＝1，在解本题时可以直接应用．已知，直线x﹣y+＝0与椭圆E＝1（a＞1）有且只有一个公共点（1）求a的值；（2）设O为坐标原点，过椭圆E上的两点A、B分别作该椭圆的两条切线l1，l2，且l1与l2交于点M（2，m）①设m≠0，直线AB、OM的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值②设m∈R，求△OAB的面积的最大值．23．（12分）已知f（x）是定义在[a，b]上的函数，如果存在常数M＞0，对区间[a，b]的任意划分：a＝x0＜x1＜…＜x n﹣1＜x n＝b，和式|f（x i）﹣f（x i﹣1）|≤M恒成立，则称f （x）为[a，b]上的“绝对差有界函数”，注：a i＝a1+a2+…+a n；（1）证明函数f（x）＝sin x+cos x在[﹣]上是“绝对差有界函数”；（2）记集合A＝{f（x）|存在常数k＞0，对任意的x1，x2∈[a，b]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立}，证明集合A中的任意函数f（x）均为“绝对差有届函数”；当[a，b]＝[1，2]时，判断g（x）＝是否在集合A中，如果在，请证明并求k的最小值，如果不在，请说明理由；（3）证明函数f（x）＝不是[0，1]上的“绝对差有界函数．2016年上海市浦东新区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知全集U＝R，若集合A＝{x|}，则∁U A＝[0，1]．【解答】解：由得到x（x﹣1）＞0，解得x＜0或x＞1，∴A＝（﹣∞，0）∪（1，+∞），∴∁U A＝[0，1]，故答案为：[0，1]．2．（5分）若复数z满足z（1﹣i）＝2i（i是虚数单位），则|z|＝．【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）＝2i，∴z（1﹣i）（1+i）＝2i（1+i），∴2z＝2（i﹣1），∴z＝i﹣1．则|z|＝．故答案为：．3．（5分）双曲线2x2﹣y2＝6的焦距为6．【解答】解：双曲线2x2﹣y2＝6即为﹣＝1，可得a＝，b＝，c＝＝3，即有焦距为2c＝6．故答案为：6．4．（5分）已知（ax+）6二项展开式的第五项系数为，则正实数a的值为．【解答】解：T5＝＝x﹣2，∴＝，a＞0．解得a＝．故答案为：．5．（5分）方程log2（9x+7）＝2+log2（3x+1）的解为x＝0和x＝1．【解答】解：由log2（9x+7）＝2+log2（3x+1），得log2（9x+7）＝log24（3x+1），即9x+7＝4（3x+1），化为（3x）2﹣4•3x+3＝0，解得：3x＝1和3x＝3，∴x＝0和x＝1．故答案为：x＝0和x＝1．6．（5分）已知函数f（x）＝（a）图象与它的反函数图象重合，则实数a＝﹣3．【解答】解：由y＝（a），解得x＝（y≠3），把x与y互换可得：y＝＝，∵函数f（x）＝（a）图象与它的反函数图象重合，∴﹣a＝3，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．7．（5分）在△ABC中，边a、b、c所对角分别为A、B、C，若＝0，则△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．【解答】解：由＝0，得a•cos A﹣b，即a cos A﹣b cos B＝0，由正弦定理可得：sin A cos A﹣sin B cos B＝0，∴sin2A＝sin2B．∵A，B为三角形的两个内角，∴2A＝2B或2A+2B＝π．即A＝B或A+B＝，∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．故答案为：等腰三角形或直角三角形．8．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是18cm3．【解答】解：由三视图可知此几何体是由两块长、宽均为3cm，高为1cm的长方体构成，故其体积为2（3×3×1）＝18（cm3）．故答案为：189．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y最大值为14．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（4，6），代入z＝2x+y＝2×4+6＝14．即目标函数z＝2x+y最大值为14．故答案为：14．10．（5分）已知四面体ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，则EF＝1或．【解答】解取BD中点O，连结EO、FO，∵四面体ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，∴EO∥CD，且EO＝，FO∥AB，且FO＝＝1，∴∠EOF是异面直线AB与CD所成的角，∴，或，当∠EOF＝时，△EOF是等边三角形，∴EF＝1．当时，EF＝＝．故答案为：1或．11．（5分）设m、n分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量＝（m，n），＝（1，﹣1），则与的夹角为锐角的概率是．【解答】解：∵m、n分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量＝（m，n），＝（1，﹣1），与的夹角为锐角，∴，基本事件总数n＝6×6＝36，m﹣n＞0包含的基本事件个数m＝15，∴与的夹角为锐角的概率是p＝＝＝．故答案为：．12．（5分）已知{a n}的通项公式为a n＝（﹣1）n•n+2n，n∈N+，则前2n项和S2n＝n+22n+1﹣2．【解答】解：∵a n＝（﹣1）n•n+2n，n∈N+，则前2n项和S2n＝（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+[﹣（2n+1）+2n]+＝n+22n+1﹣2．故答案为：n+22n+1﹣2．13．（5分）已知函数f（x）＝x﹣，数列{a n}是公比大于0的等比数列，且满足a6＝1，f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a9）+f（a10）＝﹣a1，则a1＝．【解答】解：∵函数f（x）＝x﹣，∴f（x）+＝x﹣+﹣x＝0，f（1）＝0．数列{a n}是公比大于0的等比数列，且满足a6＝1，∴a2a10＝a3a9＝a4a8＝a5a7＝＝1，f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a9）+f（a10）＝f（a1）+f（a6）＝＝﹣a1，a1＞0．则a1＝．故答案为：．14．（5分）关于x的方程＝|sinπx|在[﹣6，6]上解的个数是11．【解答】解：y＝||x﹣1|﹣1|＝，作函数y＝与y＝|sinπx|在[﹣6，6]上的图象如下，结合图象可知，两个图象共有11个交点，故答案为：11．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）“﹣”是“不等式|x﹣1|＜1成立”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分亦非必要条件【解答】解：不等式|x﹣1|＜1成立，化为﹣1＜x﹣1＜1，解得0＜x＜2，∴“﹣”是“不等式|x﹣1|＜1成立”的既不充分也不必要条件．故选：D．16．（5分）给出下列命题，其中正确的命题为（）A．若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面B．直线a与平面α不垂直，则a与平面α内所有的直线都不垂直C．直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行D．异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直【解答】解：对于A，若b为异面直线a，c的公垂线，则a与b，b与c都相交，但a，c 异面，故A错误；对于B，若直线a⊂α，则α内有无数条直线都与直线a垂直，故B错误；对于C，若直线a⊂α，则α内有无数条直线都与直线a平行，故C错误；对于D，假设存在平面α，使得a⊂α，b⊥α，则b⊥a，与条件矛盾，所以假设错误，故D 正确故选：D．17．（5分）抛物线y2＝4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知，抛物线的准线方程为x＝﹣1，A（﹣1，0），过P作PN垂直直线x＝﹣1于N，由抛物线的定义可知PF＝PN，连结P A，当P A是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN最大，即∠P AF最大，就是直线P A的斜率最大，设在P A的方程为：y＝k（x+1），所以，解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，所以△＝（2k2﹣4）2﹣4k4＝0，解得k＝±1，所以∠NP A＝45°，＝cos∠NP A＝．故选：B．18．（5分）已知平面直角坐标系中两个定点E（3，2），F（﹣3，2），如果对于常数λ，在函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4，（x∈[﹣4，4]）的图象上有且只有6个不同的点P，使得＝λ成立，那么λ的取值范围是（）A．（﹣5，﹣）B．（﹣，11）C．（﹣，﹣1）D．（﹣5，11）【解答】解：函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4＝，（1）若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4），﹣4≤x≤﹣2．∴＝（3﹣x，6+2x），＝（﹣3﹣x，6+2x）．∴＝x2﹣9+（6+2x）2＝5x2+24x+27，∵x∈[﹣4，﹣2]，∴﹣≤λ≤11．∴当λ＝﹣时有一解，当﹣＜λ≤11时有两解；（2）若P在BC上，设P（x，0），﹣2＜x≤2．∴＝（3﹣x，2），＝（﹣3﹣x，2）．∴＝x2﹣9+4＝x2﹣5，∵﹣2＜x≤2，∴﹣5≤λ≤﹣1．∴当λ＝﹣5或﹣1时有一解，当﹣5＜λ＜﹣1时有两解；（3）若P在CD上，设P（x，2x﹣4），2＜x≤4．＝（3﹣x，6﹣2x），＝（﹣3﹣x，6﹣2x），∴＝x2﹣9+（6﹣2x）2＝5x2﹣24x+27，∵2＜x≤4，∴﹣≤＝λ≤11．∴当λ＝﹣时有一解，当﹣＜λ＜11时有两解．综上，可得有且只有6个不同的点P的情况是﹣＜λ＜﹣1．故选：C．三、解答题（共5小题，满分60分）19．（12分）如图，在圆锥SO中，AB为底面圆O的直径，点C为弧的中点，SO＝AB；（1）证明：AB⊥平面SOC；（2）若点D为母线SC的中点，求AD与平面SOC所成角；（结果用反三角函数表示）【解答】证明：（1）∵SO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴SO⊥AB，∵C为的中点，∴AB⊥OC，又SO⊂平面SOC，OC⊂平面SOC，SO∩OC＝O，∴AB⊥平面SOC．（2）连结OD．∵AB⊥平面SOC，∴∠ADO为AD与平面SOC所成的角，设OA＝a，则OC＝a，SO＝AB＝2a，∴SC＝＝a，∴OD＝，∴tan∠ADO＝＝．∴AD与平面SOC所成角为arctan．20．（12分）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务；（1）求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1）（2）求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B的大小；（用反三角函数表示）【解答】解；（1）设BC＝x，则AB＝2﹣x，AC＝2﹣x+0.4＝2.4﹣x，由题意得A＝120°，在△ABC中，由余弦定理得：cos A＝＝＝﹣．解得x＝1.4．∴BC＝1.4m．（2）由（1）知AB＝0.6，AC＝1，BC＝1.4．∴cos B＝＝．∴B＝arccos．21．（12分）数列{a n}满足：a1＝2，a n+1＝a n+λ•2n，且a1，a2+1，a3成等差数列，其中n∈N*．（1）求实数λ的值及数列{a n}的通项公式；（2）若不等式≤成立的自然数n恰有3个，求正整数p的值．【解答】解：（1）∵a1＝2，a n+1＝a n+λ•2n，∴a2＝a1+λ•2＝2+2λ，a3＝a2+4λ＝2+6λ；∵a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（2+2λ+1）＝2+2+6λ，解得，λ＝1；故a n+1﹣a n＝2n，故a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝4，…，a n﹣a n﹣1＝2n﹣1，故a n﹣a1＝2+4+8+…+2n﹣1＝＝2n﹣2，故a n﹣2＝2n﹣2，故a n＝2n；（2）∵≤，∴≤，∵P＞0，∴当n＝1，2时，上式一定成立；当n≥3时，P≤（2n﹣5），而＝＝+，故当n≥4时，+≤1，故（2n﹣5）随着n的增大而减小，而×1＝2，×3＝3，×5＝2.5，∵不等式≤成立的自然数n恰有3个，∴a1，a2，a4成立，故p＝3．22．（12分）教材曾有介绍：圆x2+y2＝r2上的点（x0，y0）处的切线方程为x0x+y0y＝r2，我们将其结论推广：椭圆＝1（a＞b＞0）上的点（x0，y0）处的切线方程为＝1，在解本题时可以直接应用．已知，直线x﹣y+＝0与椭圆E＝1（a＞1）有且只有一个公共点（1）求a的值；（2）设O为坐标原点，过椭圆E上的两点A、B分别作该椭圆的两条切线l1，l2，且l1与l2交于点M（2，m）①设m≠0，直线AB、OM的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值②设m∈R，求△OAB的面积的最大值．【解答】解：（1）将直线y＝x+代入椭圆方程x2+a2y2＝a2，可得（1+a2）x2+2a2x+2a2＝0，由直线和椭圆相切，可得△＝12a4﹣4（1+a2）•2a2＝0，解得a＝（由a＞1）；（2）①证明：设切点A（x1，y1），B（x2，y2），可得切线l1：x1x+2y1y＝2，l2：x2x+2y2y＝2，由l1与l2交于点M（2，m），可得2x1+2my1＝2，2x2+2my2＝2，由两点确定一条直线，可得AB的方程为2x+2my＝2，即为x+my＝1，即有k1＝﹣，k2＝，可得k1k2为定值﹣；②由①可得AB的方程为x+my＝1，原点到直线AB的距离为d＝，由消去x，可得（2+m2）y2﹣2my﹣1＝0，y1+y2＝，y1y2＝﹣，可得|AB|＝•＝•＝，可得△OAB的面积S＝d|AB|＝•，设t＝（t≥1），S＝＝≤，当且仅当t＝1即m＝0时，S取得最大值．23．（12分）已知f（x）是定义在[a，b]上的函数，如果存在常数M＞0，对区间[a，b]的任意划分：a＝x0＜x1＜…＜x n﹣1＜x n＝b，和式|f（x i）﹣f（x i﹣1）|≤M恒成立，则称f （x）为[a，b]上的“绝对差有界函数”，注：a i＝a1+a2+…+a n；（1）证明函数f（x）＝sin x+cos x在[﹣]上是“绝对差有界函数”；（2）记集合A＝{f（x）|存在常数k＞0，对任意的x1，x2∈[a，b]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立}，证明集合A中的任意函数f（x）均为“绝对差有届函数”；当[a，b]＝[1，2]时，判断g（x）＝是否在集合A中，如果在，请证明并求k的最小值，如果不在，请说明理由；（3）证明函数f（x）＝不是[0，1]上的“绝对差有界函数．【解答】解：（1）∵f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+）在[﹣，0]上是增函数，∴对任意划分f（x n）＞f（x n﹣1），∴|f（x i）﹣f（x i﹣1）|＝f（x1）﹣f（x0）+…+f（x n）﹣f（x n﹣1）＝f（0）﹣f（﹣）＝2；取常数M≥2，则和式≤M恒成立，∴函数f（x）在[﹣，0]上是“绝对差有界函数”；（2））∵存在常数k，使得对于任意的x1，x2∈[a，b]，|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|，∴|f（x i）﹣f（x i﹣1）|≤|x i﹣x i﹣1|＝k（b﹣a）；故存在常数M＝k（b﹣a），使得|f（x i）﹣f（x i﹣1）|≤M恒成立，所以f（x）为[a，b]上的“绝对差有界函数”；若g（x）＝，则|g（x 1）﹣g（x2）|＝|﹣|＝，∵[a，b]＝[1，2]，∴1≤x1≤2，1≤x2≤2，1≤≤，1≤≤，则2≤+≤2，则≤≤，则|g（x 1）﹣g（x2）|＝|﹣|＝≤|x1﹣x2|，∴当k≥时，|g（x1）﹣g（x2）|≤k|x1﹣x2|恒成立，故g（x）＝在集合A中，k的最小值是．（3）证明：∵函数f（x）＝，令x i＝，x i﹣1＝，i∈N*，则f（x i）﹣f（x j）＝﹣﹣；∴和式＝[+]≤M不成立，故函数f（x）不是[0，1]上的“绝对差有界函数”；。

2016年上海市十三校联考高考数学二模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）若行列式，则x＝．2．（5分）二次项（2x﹣）6展开式中的常数项为．3．（5分）若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为．4．（5分）若集合A＝{x||x﹣3|＜2}，集合B＝{x|}，则A∩B＝．5．（5分）△ABC中，，BC＝3，，则∠C＝．6．（5分）从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女同学的概率是．7．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E为棱AA1的中点，则异面直线B1D1与DE 所成角的大小是（结果用反三角函数值表示）8．（5分）若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是．9．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z＝2x+y的最小值为﹣6，则k＝．10．（5分）设函数f（x）＝（）x的图象与直线y＝5﹣x交点的横坐标为x1、x2，函数g （x）＝x的图象与直线y＝5﹣x交点的横坐标为x3，x4则x1+x2+x3+x4的值为．11．（5分）对于数列{a n}满足：a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…a n}（n∈N+），记满足条件的所有数列{a n}中，a10的最大值为a，最小值为b，则a﹣b＝．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）＝0，则不等式xf（x﹣1）≥0的解集为．13．（5分）已知正三角形A1A2A3，A4、A5、A6分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤6，1≤j≤6，且i≠j时，数量积•的不同数量积的个数为．14．（5分）设函数f（x）的定义域为D，记f（X）＝{y|y＝f（x），x∈X⊆D}，f﹣1（Y）＝{x|f （x）∈Y，x∈D}，若f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0），D＝[0，π]，且f（f﹣1（[0，2]）＝[0，2]，则ω的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）15．（3分）二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行16．（3分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．17．（3分）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8C．25，16，9D．24，17，9 18．（3分）点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．直线三、解答题（共5小题，满分0分）19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图，若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）20．复数z1＝2sin，z2＝1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[]；（1）若z1•z2是实数，求cos2θ的值；（2）若复数z1、z2对应的向量分别是、，存在θ使等式（）•（）＝0成立，求实数λ的取值范围．21．已知{a n}是等差数列，a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n﹣a n}是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n＝b n cos nπ，求数列{c n}的前n项和S n，并判断是否存在正整数m，使得S m＝2016？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．22．已知抛物线ρ：x2＝4y，P（x0，y0）为抛物线ρ上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”．设x1、x2为方程x2﹣ax+b＝0（a，b∈R）的两个实根，记r（a，b）＝．（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程（2）已知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与y轴的交于点H，点Q（a，b）为线段GH上的点．求证：r（a，b）＝2（3）已知C、D是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C、D的“特征直线”分别为l1、l2，直线l1、l2相交于点M（a，b），且与y轴分别交于点E、F．求证：点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）＝（其中x c为点C的横坐标）．23．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）＝1．（1）当x∈（，2）时，求μ（x+log2x）的取值的集合；（2）如函数f（x）＝有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；（3）设g（x）＝μ（xμ（x）），g（x）在区间（0，n]（n∈N+）上的值域为M a，集合M a中的元素个数为a n，求证：．2016年上海市十三校联考高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）若行列式，则x＝2．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4＝0即x﹣1＝1∴x＝2故答案为：22．（5分）二次项（2x﹣）6展开式中的常数项为﹣20．【解答】解：二次项（2x﹣）6展开式中的通项公式为：T r+1＝•（2x）6﹣r•＝•26﹣r••x6﹣2r，由6﹣2r＝0得：r＝3；∴二项展开式中的常数项为：•23•＝﹣20．故答案为：﹣20．3．（5分）若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为．【解答】解：由题意知，椭圆的焦点在x轴上，c＝1，a＝，∴b2＝4，故椭圆的方程为为故答案为：．4．（5分）若集合A＝{x||x﹣3|＜2}，集合B＝{x|}，则A∩B＝[4，5）．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣2＜x﹣3＜2，解得：1＜x＜5，即A＝（1，5），由B中不等式变形得：x（x﹣4）≥0，且x≠0，解得：x＜0或x≥4，即B＝（﹣∞，0）∪[4，+∞），则A∩B＝[4，5），故答案为：[4，5）5．（5分）△ABC中，，BC＝3，，则∠C＝．【解答】解：由，a＝BC＝3，c＝，根据正弦定理＝得：sin C＝＝，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C＝．故答案为：6．（5分）从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女同学的概率是．【解答】解：从3名男同学，2名女同学中任意2人参加体能测试，基本事件总数n＝，选到的2名同学至少有一名女同学的对立事件为选到的2名同学都是男同学，∴选到的2名同学至少有一名女同学的概率：p＝1﹣＝．故答案为：．7．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E为棱AA1的中点，则异面直线B1D1与DE 所成角的大小是arccos（结果用反三角函数值表示）【解答】解以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空是直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则B1（2，0，2），D1（0，2，2），D（0，2，0），E（0，0，1），＝（﹣2，2，0），＝（0，﹣2，1），设异面直线B1D1与DE所成角为θ，cosθ＝＝＝，∴θ＝arccos．∴异面直线B1D1与DE所成角的大小是arccos．故答案为：arccos．8．（5分）若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是[﹣1，1]．【解答】解：∵a2+b2﹣2kab＝（a﹣kb）2+b2﹣k2b2，∴对任意k，b，都存在a＝kb；∴不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立可化为：b2﹣k2b2≥0恒成立，即1﹣k2≥0成立，故k∈[﹣1，1]，故答案为：[﹣1，1]．9．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z＝2x+y的最小值为﹣6，则k＝﹣2．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最小，此时z最小．目标函数为2x+y＝﹣6，由，解得，即A（﹣2，﹣2），∵点A也在直线y＝k上，∴k＝﹣2，故答案为：﹣2．10．（5分）设函数f（x）＝（）x的图象与直线y＝5﹣x交点的横坐标为x1、x2，函数g （x）＝x的图象与直线y＝5﹣x交点的横坐标为x3，x4则x1+x2+x3+x4的值为10．【解答】解：函数f（x）＝（）x的图象与直线y＝5﹣x交点的横为x1、x2，∴x1、x2是（）x＝5﹣x的两个根，∴x1＝5﹣，x2＝5﹣，∵f（x）＝（）x的图象与g（x）＝x关于y＝x对称，∴x3＝y2＝，x4＝y1＝，∴x1+x2+x3+x4═5﹣+5﹣++＝10．故答案为：10．11．（5分）对于数列{a n}满足：a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…a n}（n∈N+），记满足条件的所有数列{a n}中，a10的最大值为a，最小值为b，则a﹣b＝502．【解答】解：∵a1＝1，∴a2﹣a1∈{a1}，∴a2﹣a1＝1，故a2＝2，a3﹣a2∈{a1，a2}，∴a3﹣a2＝1，a3﹣a2＝2，∴a3＝3或a3＝4；同理可得，a10的最小值b＝1×10＝10，a10的最大值a＝29＝512，故a﹣b＝512﹣10＝502，故答案为：502．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）＝0，则不等式xf（x﹣1）≥0的解集为[﹣1，0]∪[1，3]．【解答】解：∵f（x）为奇函数，且f（2）＝0，在（﹣∞，0）是减函数，∴f（﹣2）＝﹣f（2）＝0，f（x）在（0，+∞）内是减函数，函数图象示意图：其中f（0）＝0，∵xf（x﹣1）≥0，∴或，解得﹣1≤x≤0或1≤x≤3，∴不等式的解集是[﹣1，0]∪[1，3]，故答案为：[﹣1，0]∪[1，3]．13．（5分）已知正三角形A1A2A3，A4、A5、A6分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤6，1≤j≤6，且i≠j时，数量积•的不同数量积的个数为9．【解答】解：以A1A2所在直线为x轴，中点A4为坐标原点，建立直角坐标系，可设A1（﹣1，0），A2（1，0），A3（0，），A4（0，0），A5（﹣，），A6（，），可得＝（2，0），若i＝1，则•＝2（+1），可得4，2，2，1，3；若i＝2，则•＝2（﹣1），可得﹣4，﹣2，﹣2，﹣3，﹣1；若i＝3，则•＝2（），可得﹣2，2，0，﹣1，1；若i＝4，则•＝2（），可得﹣2，2，0，﹣1，1；若i＝5，则•＝2（+），可得﹣1，3，1，1，2；若i＝6，则•＝2（﹣），可得﹣3，1，﹣1，﹣1，﹣2．综上可得取值有±1，±2，±3，±4，0共9个．14．（5分）设函数f（x）的定义域为D，记f（X）＝{y|y＝f（x），x∈X⊆D}，f﹣1（Y）＝{x|f （x）∈Y，x∈D}，若f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0），D＝[0，π]，且f（f﹣1（[0，2]）＝[0，2]，则ω的取值范围是[，+∞）．【解答】解：由题意得，D＝[0，π]，f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的定义域为D，∵f﹣1（[0，2]）＝{x|f（x）∈[0，2]，x∈R}，故2sin（ωx+）∈[0，2]．∵ω＞0，x∈[0，π]，∴≤ωx+≤ωπ+，∴由2sin（ωx+）∈[0，2]，可得ωπ+≥2π+，∴ω≥，故答案为：[，+∞）．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）15．（3分）二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行【解答】解：当两直当两直线共面时，直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行，二元一次方程组无解，故直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选：D．16．（3分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合．故选：D．17．（3分）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8C．25，16，9D．24，17，9【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．故选：B．18．（3分）点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．直线【解答】解：排除法：设动点为Q，1．当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB＝QA，又QB+QC＝R，所以QA+QC＝R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．2．如果是点A在圆C外，由QC﹣R＝QA，得QC﹣QA＝R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；3．当点A与圆心C重合，要使QB＝QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；则本题选D．故选：D．三、解答题（共5小题，满分0分）19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图，若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）【解答】解：设圆锥形容器的底面半径为r，则圆锥的高为r，圆锥的母线为．∵V＝＝，∴r＝10cm．∴圆锥形容器的侧面积S＝＝100cm2≈444.3cm2．20．复数z1＝2sin，z2＝1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[]；（1）若z1•z2是实数，求cos2θ的值；（2）若复数z1、z2对应的向量分别是、，存在θ使等式（）•（）＝0成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：复数z1＝2sin，z2＝1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[]．（1）z1•z2＝2sinθ+2cosθ+（4sinθcosθ﹣）i，z1•z2为实数，可得4sinθcosθ﹣＝0，sin2θ＝，解得2θ＝，∴cos2θ＝﹣；（2）复数z1＝2sinθ﹣i，z2＝1+（2cosθ）i，复数z1，z2对应的向量分别是，＝（2sinθ，﹣），＝（1，2cosθ），（）•（）＝0，∵＝（2sinθ）2+（﹣）2+1+（2cosθ）2＝8，＝（2sinθ，﹣）•（1，2cosθ）＝2sinθ﹣2cosθ，∴（）•（）＝λ（）﹣（1+λ2）＝8λ﹣（1+λ2）（2sinθ﹣2cosθ）＝0，化为sin（θ﹣）＝，∵θ∈[]，∴（θ﹣）∈[0，]，∴sin（θ﹣）∈[0，]．∴0≤≤，解得λ≥2+或λ≤2﹣．实数λ的取值范围是（﹣∞，2﹣]∪[2+，+∞）．21．已知{a n}是等差数列，a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n﹣a n}是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n＝b n cos nπ，求数列{c n}的前n项和S n，并判断是否存在正整数m，使得S m＝2016？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，a1＝3，a4＝12，∴d＝＝3，∴a n＝3n，∵{b n﹣a n}是等比数列，且b1﹣a1＝4﹣3＝1，b4﹣a4＝20﹣12＝8，∴q＝2，∴b n﹣a n＝1•2n﹣1，∴b n＝3n+2n﹣1；（2）c n＝b n cos nπ＝（3n+2n﹣1）cos nπ，故①当n为奇数时，S n＝﹣（3+1）+（6+2）﹣（9+4）+…+（3（n﹣1）+2n﹣2）﹣（3n+2n﹣1）＝（﹣3+6﹣9+…+3（n﹣1））﹣3n+（﹣1+2﹣4+…﹣2n﹣1）＝3×﹣3n+[（﹣2）n﹣1]＝﹣（n+1）+[（﹣2）n﹣1]＝﹣[（n+1）+（2n+1）]，②当n为偶数时，S n＝﹣（3+1）+（6+2）﹣（9+4）+…﹣（3（n﹣1）+2n﹣2）+（3n+2n﹣1）＝（﹣3+6﹣9+…﹣3（n﹣1）+3n）+（﹣1+2﹣4+…+2n﹣1）＝3×+[（﹣2）n﹣1]＝n+（2n﹣1），综上所述，S n＝，若S m＝2016，故m一定是偶数，故m+（2m﹣1）＝2016，故（2m﹣1）＝2016﹣m，而（214﹣1）＞2016，（212﹣1）＜2016﹣×12，故m值不存在．22．已知抛物线ρ：x2＝4y，P（x0，y0）为抛物线ρ上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”．设x1、x2为方程x2﹣ax+b＝0（a，b∈R）的两个实根，记r（a，b）＝．（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程（2）已知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与y轴的交于点H，点Q（a，b）为线段GH上的点．求证：r（a，b）＝2（3）已知C、D是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C、D的“特征直线”分别为l1、l2，直线l1、l2相交于点M（a，b），且与y轴分别交于点E、F．求证：点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）＝（其中x c为点C的横坐标）．【解答】解：（1）由题意可得直线l的斜率为1，即有直线l的方程为y﹣1＝x﹣2，即为y＝x﹣1；（2）证明：双曲线的渐近线为y＝±x，可得点G的“特征直线”的斜率为2，即有G的横坐标为4，可设G的坐标为（4，4），可得点G的“特征直线”方程为y﹣4＝2（x﹣4），即为y＝2x﹣4，点Q（a，b）为线段GH上的点，可得b＝2a﹣4，（0≤a≤4），方程x2﹣ax+b＝0的根为x＝，即有较大的根为＝＝＝2，可得r（a，b）＝2；（3）设C（m，n），D（s，t），即有直线l1：y+n＝mx，l2：y+t＝sx，联立方程，由n＝m2，t＝s2，解得x＝（m+s），y＝ms，即有a＝（m+s），b＝ms，则方程x2﹣ax+b＝0的根为x1＝m，x2＝s．可得E（0，﹣m2），点M在线段CE上，则b＝ma﹣m2＝ms，则＝λ（λ≥0），即（m+s）﹣m＝λ（0﹣（m+s）），即有（s﹣m）（m+s）≤0，即s2≤m2，即|s|≤|m|，则r（a，b）＝；以上过程均可逆，即有点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）＝．23．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）＝1．（1）当x∈（，2）时，求μ（x+log2x）的取值的集合；（2）如函数f（x）＝有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；（3）设g（x）＝μ（xμ（x）），g（x）在区间（0，n]（n∈N+）上的值域为M a，集合M a中的元素个数为a n，求证：．【解答】解：（1）当x∈（，2）时，（x+log2x）∈．∴μ（x+log2x）的取值的集合为{0，1，2，3}．（2）当x∈（0，1]时，＝∈[1，+∞）；当x∈（1，2]时，＝∈[1，2）；当x∈（2，3]时，＝∈[1，）；…，当x∈（n﹣1，n]时，＝∈[1，）；函数f（x）＝有且仅有2个零点，∴实数a的取值范围是．（3）证明：当x∈（n﹣1，n]时，μ（x）＝n．∴xμ（x）＝nx的取值范围是（n2﹣n，n2]，进而g（x）在x∈（n﹣1，n]上的函数值的个数为n个．由于区间（n2﹣n，n2]与（（n+1）2﹣（n+1），（n+1）2]没有共同的元素，∴M n中元素的个数为1+2+…+n）＝，可得a n＝，．。