第一讲 集合的含义与表示

第1讲集合的概念和关系一．集合的概念集合没有确切定义，是一个基本概念。

对其描述：某些具有共同属性的对象集在一起就成为一个集合。

符号表示为{}，表示的意思为全体。

这些对象我们称之为元素。

集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。

如a、b、c、p、q…… 例如A={1,3,a,c,a+b}注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述。

（2）集合是一个“整体。

（3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的。

例如：指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

（1）我国的直辖市；（2）五中高一（1）班全体学生；（3）较大的数；（4）young 中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。

【典例分析】1.下列各组对象中，不能组成集合的是（）A 所有的正六边形B《数学》必修1中的所有习题C 所有的数学容易题D 所有的有理数2.由下列对象组成的集体属于集合的是（）（1）不超过π的正整数；（2）高一数学课本中所有的难题；（3）中国的大城市（4）平方后等于自身的数；（5）某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生.A.（1）（2）（3）B.（3）（4）（5）C.（1）（4）（5）D. （1）（2）（4）二．元素的特性a、确定性（有一个确定的衡量标准）b、互异性（集合里的元素都不一样）c、无序性（没有顺序）（确定性）例题1：下列各组对象能否构成一个集合（1）著名的数学家（2）某校2006年在校的所有高个子同学（3）不超过10的非负数（4）方程240x-=在实数范围内的解（5）2的近似值的全体例题2：下列各对象不能够成集合的是（）A 某校大于50岁的教师B 某校30岁的教师C 某校的年轻教师D 某校的女教师（互异性）例题3：已知集合S 中的元素是a,b,c,其中a,b,c 为△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A. 锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例题4：若-3∈{a-3,2a-1,a 2+4},求实数a 的值，并求此时的实数集。

1.1集合的概念及表示【知识储备】1．集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈A a属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A[知识点拨]符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．【题型精讲】【题型一集合概念的理解】必备技巧判断一组对象是否能构成集合的三个依据判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．例1下列对象中不能构成一个集合的是（）A．某校比较出名的教师B．方程−2=0的根C．不小于3的自然数D．所有锐角三角形例2（多选）下列各组对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人B．2024年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数【题型精练】1.给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．32．下列各组对象中能构成集合的是（）A．充分接近的实数的全体B．数学成绩比较好的同学C．小于20的所有自然数D．未来世界的高科技产品【题型二用列举法表示集合】例3用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合；(2)方程(+1)(2−4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数=2与=+1的图象的交点组成的集合．【题型精练】1.用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程2−9=0的实数根组成的集合B；(3)一次函数=+2与=−2+5的图象的交点组成的集合C.2.用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程22−−3=0的实数根组成的集合C；(4)一次函数=+3与=−2+6的图象的交点组成的集合D．【题型三用描述法表示集合】必备技巧利用描述法表示集合的关注点(1)写清楚该集合代表元素的符号．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．(3)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例4用适当的方法表示下列集合：（1）方程组2314,328x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集；（2）方程2210x x -+=的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数2210y x x =+-的图象上所有的点组成的集合；（5）二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【题型精练】1．用描述法表示下列集合：(1)不等式3+2>5的解集；(2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；(3)二次函数=2−2+3图象上的点组成的集合．(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；(5)集合1,12,13,14(6)所有被3整除的整数组成的集合；(7)方程2++1=0的所有实数解组成的集合.2.试说明下列集合各表示什么？1|A y yx ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；{|B x y ==；()1,|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(),|13y D x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭；{}0,1E x y ===；{}1,1F x y x y =+=-=-.【题型四元素与集合的关系】必备技巧判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．例5用符号“∈”或“∉”填空：（1）0______∅；（2）2-_______2{|5}x x <；（3）(2,3)_______{(,)|23}x y x y +=；（4）2017_______{|41,}x x n n =-∈Z .例6（吉林长春市期中）已知集合M=6*,5a N a ⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，则M 等于（）A ．{2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3，6}D ．{1-，2，3，4}【题型精练】1．（多选）（浙江高一期末）若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ，则（）A ．1A∈B ．2A∈C ．3A∈D ．4A∈2.已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（）①1+;;A ．4B ．3C ．2D ．1【题型五确定集合中的元素】必备技巧确定集合中的元素（1）充分理解集合的描述法，（2）注意检验元素互异性.例7（1）（山东济南高一期末）已知集合(){},2,,A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（）A ．1B ．5C ．6D ．无数个（2）集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．12例8（1）（江苏苏州市期中）设集合{123}{45}}A C x B y x A y B ===+∈∈，，，，，，，则C 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6（2）（江苏南通市月考）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．10C ．12D ．13（3）（黑龙江大庆市期中）由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（）个元素A ．2B ．3C ．4D ．51．若集合()(){}326A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．62.若集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，则B 中所含元素的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．103.（青海高一月考）已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（）A ．3B ．6C ．8D ．10【题型六元素特性中的求参问题】必备技巧利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．例9（上海市进才中学高一期末）已知集合22{2,(1),33}Aa a a =+++，且1A∈，则实数a 的值为________．例10（山东济南月考）已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.1．（吴起高级中学高一月考）若{}22111a a ∈++，，，则a =（）A ．2B ．1或－1C ．1D ．－12.已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A∈，则实数a 构成的集合B 的元素个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．33.（云南丽江市期末）若集合2{|210}A x kx x =++=中有且仅有一个元素，则k 的值为___________.。

第一讲：集合的含义与表示【数学史话】格奥尔格・康托（Cantor Georg,1845.3.3―1918.1.6），德国数学家，集合论的创始人.1874年，康托在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇文章《论所有实代数数的集合的一个性质》，把集合作为数学对象，提出：“所谓集合，是把我们的直观或思维中确定相互间有明确区别的那些对象（它们叫做集合的元素）作为一个整体来考虑.”集合论的创立是数学史上的重大事件，也是康托对数学的主要贡献，他最重要的著作是《超穷数理论基础》.数学家希尔伯特（D.Hilbert ）称之为“数学家的乐园”,“数学思想最惊人的产物”，英国数学家罗素（B.Russel ）将它誉为“这个时代所能夸耀的最伟大的工作”.由康托首创的具有划时代意义的集合论，渗透到所有的数学分支，从根本上改变了数学的结构，促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展，极大地推进了数学的发展进程.【目标要求】1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.2.理解集合中元素的三个特性，并能利用它们进行解题.3.掌握集合的表示方法，并能够运用他们来表示一些简单的集合.【知识解读】1.集合：把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）．注意：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明.2.元素与集合的关系：如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于集合A ，记作A a ∈；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作A a ∉．注意：（1）对任何元素a 与集合A ,在A a ∈与A a ∉这两种情况中必有一种且只有一种成立.（2）符号“∈”和“∉”表示元素与集合之间的关系，不能用来表示集合与集合之间的关系.例：下列所给的对象哪些能构成集合？（1）所有的等边三角形；（2）3的近似值的全体；（3）九章教育高一年级身高在170cm 以下的学生；（4）参加2020年东京奥运会的年轻运动员；（5）平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点.3.只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.4.含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集．5.集合中元素的特性：（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的.给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的.集合中的元素是不重复出现的.（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的.集合中的元素没有前后之分.（1）用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法.（2）把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.（3）用集合所含元素的共同特征表示集合的方称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.一般形式：)}({x p x ，其中x 是表示集合元素的一般符号，)(x p 是这个集合中元素的共同特征.注意：元素的共同特征尽量用数学符号表示，多个特征之间的关系应正确使用“且”与“或”描述，不能出现未被说明的字母.例：分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程022=--x x 的解集； （2）大于-1且小于6的所有整数组成的集合.【典型例题】题型一 集合中元素的特性例1 已知{}x x ,1,02∈，求实数x 的值.题型二 元素与集合的关系例2 下列说法正确的是( )A ．若N a ∈，N b ∈,则N b a ∈-B ．若+∈N x ，则N x ∈C ．若0≥x ，则N x ∈D ．若Z x ∉，则Q x ∉例3 设集合},2{Z k k x x A ∈==，},12{Z k k x x B ∈+==.若A a ∈，B b ∈，试判断b a +与B A ,的关系.题型三 集合的表示法例4 用列举法表示下列集合.（1）=A {}8,<∈=x N x x x x 且 （2）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+==为非零实数b a b b a a x x B ,, （3） ⎩⎨⎧⎭⎬⎫∈∈-==+N x Z x x x C ,36题型四 利用元素的个数求参数的取值（范围）例5 已知集合},012{2R a x ax x A ∈=++=.（1）若A 中只有一个元素，求a 的值.（2）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围.例6 已知三个集合}1{2+=x y x ，}1{2+=x y y ，}1),{(2+=x y y x .（1）它们是不是相同的集合？ （2）它们各自的含义是什么？【拓展阅读】 常用数集符号的由来为什么用N 表示自然数集？用Z 表示整数集？用Q 表示有理数集？用R 表示实数集？一般情况下，符号的记法都是取自英文单词的首字母.1.自然数：Natural number ，所以就用N 了；2.实数：Real number ，所以就用R 了；3.有理数：rational number ，但不能再用R 表示.由于有理数是两个整数之比的结果(商)，而商的英文是quotient ，所以就用Q 了；4.整数：whole number ，但没能用W 表示.这个涉及到德国女数学家诺特对环论的贡献.1921年她写出的《整环的理想理论》是交换代数发展的里程碑.其中，诺特在引入整数环概念的时候（整数集本身也是一个数环），由于她是德国人，德语中的整数叫做Zahlen ，于是当时她将整数环记作Z ，从那时候起整数集就用Z 表示了.第一讲 随堂练习1.用符号∈和∉填空：（1）N ____1- （2）*-N ____3 （3）Z ____21 （4）Q _____14.3 （5）Q _____π （6）Q _____5 （7）R _____22- （8）设集合C 是满足方程12+=n x （其中n 为正整数）的实数x 的集合，则C _____3，C ______5；（9）设集合B 是小于11的所有实数的集合，则B _______32，B _______21+；（10）设π23,2531+=-=y x ，集合{}Q b Q a b a m m M ∈∈+==,2，，则M x _____，M y ______. 2.方程组⎩⎨⎧=-=+9,1y x y x 的解集是( )A.(5,4)B.(5,-4)C.{(-5,4)}D.{(5,-4)}3.由实数332,,,,x x x x x -组成的集合中，元素最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.数集A 满足条件：若A a ∈，则()111≠∈-+a A a a .若A ∈31，求集合中的其它元素.5.已知集合{},2b a b a a A ++=，，，{}2,,ac ac a B =，且A 与B 是相等的集合，求c 的值.第一讲 回家作业姓名： 成绩：1. 设A,B 为两个实数集，定义集合},,,{2121B x A x x x x x B A ∈∈+==+若},3,2{},3,2,1{==B A 则集合B A +中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.62. 已知b a ,是非零实数，代数式ab abb ba a++的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是（ ）A.M ∈0B.M ∈-1C.M ∉3D.M ∈1 3. 实数构成的集合A 满足条件：若,1,≠∈a A a 则.11)(A a a f ∈-=求证： （1）若,2A ∈则A 中必还有另外两个元素；（2）A 不可能是单元素集合；（3）A 中至少有三个不同的元素.4.已知{}Z n m n m x x A ∈+==,,2. （1）设24311-=x ，2492-=x ，()23231-=x ，试判断321x x x ，，与A 之间的关系； （2）任取A x x ∈21，，试判断21212121,,x x x x x x x x -+，与A 之间的关系. （3）设{},,,2Z n m n m x x B ∈+==试判断21212121,,x x x x x x x x -+，与B 之间的关系.5.集合M 的元素为自然数，且满足：若M x ∈，则M x ∈-8，试回答下列问题：（1）写出只有一个元素的集合M ；（2）写出元素个数为2的所有集合M ；（3）满足题设条件的集合M 共有多少个？家长意见： 学生总结：。

集合的含义与表示一、知识概括1、集合的概念一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），通常用小写拉丁字母a,b,c ,…表示。

把一些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集，通常用大写拉丁字母A,B,C ，…表示。

集合如同平面几何中点、线、平面等概念一样，是集合论中的原始概念，只进行描述说明，无法定义概念。

某些教材中对集合的描述是：指定的某些对象的全体称为集合。

其中，注意理解（1）指定即说明某些对象具有共同的特征或共同的属性，说明已具备判定对象是否成为该集合的元素的判定标准，而不是随意组合。

（2）对象在不同的集合中，应有不同的内涵。

在不同的集合中，元素还可能是人、物、质点或抽象事物等。

（3）全体说明集合是一个整体概念，针对全部对象而言，并且在这个整体中各元素间无先后排列要求，没有一定的顺序关系。

【注】（1）只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

（2）构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任何确定的对象。

2、集合元素的特性集合元素具有确定性、互异性、无序性三大特性。

（1）确定性集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，按照该集合的构成标准能够明确判定一个对象是否属于这个集合。

如“个子高的同学”这一组对象就不能构成一个集合，因为“个子高”这个标准不够明确，而“身高超过170cm 的同学”这一组对象可以构成一个集合。

（2）互异性集合中的元素一定是不同的（或说是互异的）也就是说，相同的元素在一个集合中只能出现一次。

如方程0122=+-x x 的解构成的集合是{1}，而不能写成{1,1}（3）无序性集合中元素的排列次序无先后之分，如集合{1,2}和{2,1}是同一个集合。

3、集合与元素的关系元素与集合有属于（∈）和不属于（∉）两种关系。

如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A 。