2019版高考文科数学二轮复习专题训练 专题七圆锥曲线专题突破练20Word版含解析

2019届二轮（文科数学）圆锥曲线与方程专题卷（全国通用）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.双曲线x2－4y2＝4的焦点坐标为( )A. (±，0)B. (0，±)C. (0，±)D. (±，0)【答案】D【解析】【分析】利用双曲线方程，化为标准方程，然后求双曲线的焦点坐标．【详解】双曲线x2﹣4y2=4，标准方程为：，可得a=2，b=1，c=，所以双曲线的焦点坐标：（±，0）．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的焦点坐标的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质.2.已知椭圆(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝( )A. 2B. 3C. 4D. 9【答案】B【解析】【分析】利用椭圆=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m．【详解】∵椭圆=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B．【点睛】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．3.设双曲线(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )A. y＝±xB. y＝±2xC. y＝±xD. y＝±x【答案】C【解析】【分析】由题意知b=1，c=，a==，因为双曲线的焦点在x轴上，由此可知渐近线方程．【详解】由已知得到b=1，c=，a==，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为y==；故选：C．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，考查计算能力．4.在同一坐标系下，下列曲线中，右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据椭圆、双曲线的标准方程，分别确定焦点坐标，即可求得结论．【详解】抛物线y2=4x的焦点坐标是（1，0）A中，，∴，∴c=，∴右焦点为（，0）；B中，a2=9，b2=5，∴c2=a2﹣b2=4，∴c=2，∴右焦点为（2，0）；C中，a2=3，b2=2，∴c2=a2+b2=5，∴c=，∴右焦点为（，0）；D中，，∴c2=a2+b2=1，∴c=1，∴右焦点为（1，0）；综上知，D满足题意故选：D．【点睛】本题考查抛物线、椭圆、双曲线的标准方程，考查焦点坐标的求法，属于中档题．5.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于( )A. 或B. 或2C. 或2D. 或【答案】A【解析】【分析】根据题意可设出|PF1|，|F1F2|和|PF2|，然后分曲线为椭圆和双曲线两种情况，分别利用定义表示出a和c，则离心率可得．【详解】依题意设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，若曲线为椭圆，则2a=|PF1|+|PF2|=6t，c=t则e==，若曲线为双曲线，则2a=4t﹣2t=2t，a=t，c=t∴e==故选：A．【点睛】本题重点考查圆锥曲线的定义，考查曲线的离心率，正确判断曲线的类型是解题的关键．6.经过点P(2，－2)且与双曲线C：有相同渐近线的双曲线方程是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设所求的双曲线方程是=k，由点P（2，﹣2）在双曲线方程上，求出k值，即得所求的双曲线方程．【详解】由题意知，可设所求的双曲线方程是=k，∵点P（2，﹣2）在双曲线方程上，所以=k，∴k=﹣2，故所求的双曲线方程是，故选：B．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，解题的关键是根据渐近线方程相同设所求的双曲线方程是=k，属于基础题．7.已知双曲线(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由抛物线标准方程得其准线方程，从而得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【详解】双曲线的一条渐近线方程为y=x，∴=，即b=a，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．8.已知双曲线C：(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程可得=，① 由椭圆的焦点坐标（），即c=3a2+b2=9，②，解方程可得a，b的值，得到双曲线的方程．【详解】双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，可得=，①椭圆的焦点为（±3，0），可得c=3，即a2+b2=9，②由①②可得a=2，b=，则双曲线的方程为．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和椭圆的焦点，考查运算能力，属于基础题．9.为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】设P(x P,y P)(y P>0)由抛物线定义知,x P+=4,∴x P=3,y P==2,因此S△POF=×2×=2.故选C.视频10.已知双曲线的中心在坐标原点，离心率为，的右焦点与抛物线的焦点重合，、是的准线与的两个交点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由双曲线离心率为2 ,则，焦点坐标为：，可得双曲线方程为，又准线方程为；，带入方程得；则【考点】双曲线的方程及几何性质．11.已知椭圆C：(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离=a，化简即可得出．【详解】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，∴原点到直线的距离=a，化为：a2=3b2．∴椭圆C的离心率e===．故选：A．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知椭圆E：(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设出A，B坐标代入椭圆方程，利用点差法求出直线的斜率，推出a，b的关系，利用椭圆的焦点坐标，求出a，b，得到椭圆方程．【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，得，两式相减得，又x1+x2=2，y1+y2=﹣2，∴，k==,k==，且k AB=k MF，=，c=3=，a2=18，b2=9，∴椭圆的方程为．故选：D【点睛】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．再求椭圆方程，同时也考查计算能力．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上)13.设F是双曲线C：的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为.【答案】【解析】【分析】设F（c，0），P（m，n）（m＜0），设PF的中点M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．【详解】设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，﹣=1，可得e2==5，解得e=．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用．14.已知点M(，0)，椭圆与直线y＝k(x＋)交于点A，B，则△ABM的周长为 .【答案】8【解析】【分析】直线过定点N（-），确定椭圆的几何量，再利用椭圆的定义，即可求△ABM的周长.【详解】直线过定点N（-），由题设知M、N是椭圆的焦点，由椭圆定义知：AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4．△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+BN）+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM）=8，故答案为：8．【点睛】本题考查椭圆的定义，直线过定点问题和利用椭圆的定义是解题的关键．15.椭圆F：(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆F的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于 .【答案】－1【解析】【分析】在△MF1F2中，设∠MF1F2=60°，则∠MF1F1=30°，所以∠F1MF2=90°，由|F1F2|=2c，得|MF1|=c，|MF2|=，从而2a=c+，由此能求出该椭圆的离心率．【详解】椭圆Г：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y=（x+c）与椭圆的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，如图，在△MF1F2中，设∠MF1F2=60°，则∠MF1F1=30°，∠F1MF2=90°，∵|F1F2|=2c，∴|MF1|=c，|MF2|=，∴2a=|MF1|+|MF2|=c+，∴该椭圆的离心率e==．故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义和直角三角形的勾股定理求出边长，再利用椭圆离心率的定义求出. | | | | | | |16.方程表示曲线，给出以下命题：①曲线不可能为圆；②若，则曲线为椭圆；③若曲线为双曲线，则或；④若曲线为焦点在轴上的椭圆，则.其中真命题的序号是(写出所有正确命题的序号)．【答案】③④【解析】试题分析：根据题意，①曲线不可能为圆；若C表示圆，应该满足4-t=t-1＞0则t=，错误②若，则曲线为椭圆；则有，错误③若曲线为双曲线，则或；（4-k）（k-1）＜0即t＞4或t＜1 故=对④若曲线为焦点在轴上的椭圆，则.成立，故填写③考点：圆锥曲线的方程点评：考查了圆锥曲线的方程的形式，属于基础题。

【解析】1）连结 PF 1 ，由 △P OF1a（2）由题意可知，满足条件的点 P( x , y) 存在．当且仅当 | y | ⋅2c = 16 ，1 y y x2 y 22 2专题 20圆锥曲线综合【母题来源一】【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】已知 F 1 , F 2 是椭圆 C :x 2 y 2 + a 2 b 2 = 1(a > b > 0) 的两个焦点，P为 C 上一点，O 为坐标原点．（1）若 △POF 2 为等边三角形，求 C 的离心率；（2）如果存在点 P ，使得 PF 1 ⊥ PF 2 ，且 △F 1PF 2 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围．【答案】（1） 3 - 1 ；（2） b = 4 ，a 的取值范围为[4 2, +∞ ) .（ 2为等边三角形可知在△F 1PF 2 中，∠F 1PF 2 = 90︒ ，PF 2 = c ，PF = 3c ，于是 2a = PF + PF = ( 3 + 1)c ，故 C 的离心率是 e = c= 3 - 1 .1 2⋅ = -1 ， + 2 x + c x - c a b 2即 c|y| = 16 ，①x 2 + y 2 = c 2 ，②= 1 ，x 2 y 2 = 1 ，③+ ab 2由②③及 a 2 = b 2 + c 2 得 y 2 =b 4 162，又由①知 y 2 =c 2 c 2，故 b = 4 ．由②③得 x 2 =a 2 (c 2- b 2)，所以 c 2≥ b 2，从而 a2 = b 2+ c2 ≥ 2b 2= 32, 故 a ≥ 4 2 .c2当 b = 4 ， a ≥ 4 2 时，存在满足条件的点P ．所以 b = 4 ， a 的取值范围为[4 2, +∞) ．【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.⎩ y 2 = 4x 得 k 2 x 2 - (2k 2 + 4) x + k 2 = 0 ．k 2， ⎪ 0⎪( x 0 + 1)2 = + 16. ⎩ y 0 = 2 ⎩ y 0 = -6.【母题来源二】【2018 年高考全国Ⅱ卷文数】设抛物线C ：y 2 = 4 x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k (k > 0) 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点， | AB | = 8 ．（1）求 l 的方程；（2）求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程．【答案】（1）y =x –1；（2） ( x - 3)2 + ( y - 2)2 = 16 或 ( x - 11)2 + ( y + 6)2 = 144 ．【解析】（1）由题意得 F （1，0），l 的方程为 y =k （x –1）（k >0）．设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．⎧ y = k ( x -1)由 ⎨∆ = 16k 2 + 16 = 0 ，故 x 1+ x =2 2k 2 + 4 k 2．4k 2 + 4所以 AB = AF + BF = ( x + 1) + ( x + 1) = ．1 2由题设知 4k 2 + 4 k 2= 8 ，解得 k =–1（舍去） k=1．因此 l 的方程为 y =x –1．（2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3，2），所以 AB 的垂直平分线方程为y - 2 = -( x - 3) ，即 y = - x + 5 ．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则⎧ y = - x + 5，0 ⎨ ( y - x + 1)2 0 0 ⎩ 2 ⎧ x = 3， ⎧ x = 11， 解得 ⎨ 0 或 ⎨ 0因此所求圆的方程为( x - 3)2 + ( y - 2)2 = 16 或 ( x - 11)2 + ( y + 6)2 = 144 ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与直线和圆的综合，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.（1）利用点斜式写出直线 l 的方程，代入抛物线方程，得到关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系以及抛物线的定义加以求解;2“ . （2）由题意写出线段 AB 的垂直平分线所在直线的方程，设出圆心的坐标，由题意列出方程组，解得圆心的坐标，即可求解.x 2【母题来源三】【2017 年高考全国Ⅱ卷文数】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C : + y 2 = 1 上，过 M 作 2x 轴的垂线，垂足为 N ，点 P 满足 NP =2 NM .（1）求点 P 的轨迹方程；（2）设点 Q 在直线 x = -3 上，且 OP ⋅ PQ = 1 .证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.【答案】（1） x 2 + y 2 = 2 ；（2）见解析.【解析】（1）设 P （x ，y ），M （ x 0 , y 0 ），则 N （ x 0,0 ）， NP = ( x - x 0 , y), NM = (0, y 0 ) ，由 NP = 2 NM 得 x = x ，y =20 0y .因为 M （ x 0 , y 0 ）在 C 上，所以x 2 y 2 + = 1 . 2 2因此点 P 的轨迹方程为 x 2 + y 2 = 2 .（2）由题意知 F （−1,0），设 Q （−3，t ），P （m ，n ），则OQ = (-3, t ), PF = (-1 - m , -n ), OQ ⋅ PF = 3 + 3m - tn ，OP = (m , n ), PQ = (-3 - m , t - n ) .由 OP ⋅ PQ = 1 得 -3m - m 2 + tn - n 2 = 1 ，又由（1）知 m 2 + n 2 = 2 ，故3 + 3m - tn = 0 .所以 OQ ⋅ PF = 0 ，即 O Q ⊥ PF .又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过C 的左焦点 F.【名师点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定 定点”是什么、“定值”是多少，或者将该 问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的 定点、定值问题同证明问题类似，在求 定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；P n ） .. ..（2）证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证 OQ ⋅ PF = 0 ，先设 （m ， ，则需证 3 + 3m - tn = 0 ，即根据条件 OP ⋅ PQ = 1 可得 -3m - m 2 + tn - n 2 = 1 ，而 m 2 + n 2 = 2 ，代入即得 3 + 3m - tn = 0 .【命题意图】（1）掌握直线方程的几种形式，掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程，能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.（2）了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 （3）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质 （4）了解圆锥曲线的简单应用.（5）理解数形结合的思想.【命题规律】解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强 从近三年高考情况来看，多考查直线与 圆或抛物线的位置关系，但也要注意对椭圆知识的考查，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养 【方法总结】（一）求直线方程的常用方法有（1）直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．（2）待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．（3）直线在 x(y)轴上的截距是直线与 x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为 0，而不是距离．（4）求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式 A x +By +C =0，且 A ≥0.（二）求圆的方程（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．“2 2 2 . “.（2）用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半 径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”．（三）求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定 a 2，b 2 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上，还是在 y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为 x 2 y 2 y 2 x 2 + = 1(a > b > 0) 或 +a b a b 2= 1(a > b > 0) .第三步，找关系 根据已知条件，建立关于 a, b , c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系 c 2 = a 2－b 2 ）.第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要 先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为 mx 2 + ny 2＝1(m > 0，n > 0且m ≠ n) .（四）用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程（五）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.（六）圆锥曲线中的定点、定值问题.由 ⎨，得 k 2 x 2 + (2km - 4)x + m 2 = 0 ，k定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究同时，也要 掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.1．【陕西省汉中市 2019 届高三全真模拟考试数学试题】已知点 M 为直线 l : x = -1 上的动点， N (1,0)，1过 M 作直线 l 的垂线 l ， l 交 MN 的中垂线于点 P ，记点 P 的轨迹为 C .1（1）求曲线 C 的方程；（2）若直线 l : y = kx + m (k ≠ 0) 与圆 E : (x - 3)2 + y 2 = 6 相切于点 D ，与曲线 C 交于 A ， B 两点，2且 D 为线段 AB 的中点，求直线 l 的方程.2【答案】（1） y 2 = 4 x ；（2）直线 l 的方程为 y = 2【解析】（1）由已知可得， PN = PM ，即点 P 到定点 N 的距离等于它到直线 l 的距离，1故点 P 的轨迹是以 N 为焦点， l 为准线的抛物线，1∴曲线 C 的方程为 y 2 = 4 x .2 x 或 y = - 2 x .（2）设 A (x , y )， B (x , y1122) ， D (x , y ) ，0 0⎧ y = kx + m ⎩ y 2 = 4 x∴ x + x = 4 - 2km1 2 2，∴x=x+x，即D ,⎪，2-km2⎛2-km2⎫2k k⎝k k⎭∴DE2=6，且DE⊥l，从而⎛ -3⎪+ ⎪=6，kDE ⋅kl=-1，⎭⎝k⎭⎪k2-3=-2即：⎨，⎪⎛2-km⎫2⎛2⎫2⎪⎩ ⎝k2-3⎪+ ⎪=6整理可得⎛ ⎪=2，即k=±2，2．（重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题）已知椭圆C：+x2y236【解析】（1）由题意可得：a=2，ca22，则b2=a2-c2=2.，得c=12=，y=kx+m=02002∵直线l与圆E:(x-3)2+y2=6相切于点D，222-km ⎝k2⎫2⎛2⎫22⎧2-km⎪⎭⎝k⎭2⎫2⎝k⎭∴m=0，故直线l的方程为y=22x或y=-2x.【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，还考查了韦达定理及两直线垂直的斜率关系，考查方程思想及转化能力、计算能力，属于难题.x2y2a2b2=1(a>b>0)的左顶点为M(-2，0)，离心率为2 2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点N(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，当MA⋅MB取得最大值时，求△MAB的面积．【答案】（1）C:+=1；（2）4222=x2y2所以椭圆C的方程为+=1.42（2）当直线l与x轴重合，不妨取A(-2,0),B(2,0)，此时MA⋅MB=0，⎪ + t 2 + 2t 2 + 2= (t 2 + 1) y y + 3t ( y + y ) + 9 = (t 2 + 1) -3 t 2 + 2 t 2 + 2), B(1,- ) ，所以 AB = 6 .【解析】 1）设 AB 中点为 M ， A 到准线的距离为 d 1 ，B 到准线的距离为 d 2 ，M 到准线的距离为 d ，当直线 l 与 x 轴不重合，设直线 l 的方程为： x = ty + 1 ,设 A( x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，⎧ x = ty + 1 ⎪联立 ⎨ x 2 y 2 得 (t 2 + 2) y 2 + 2ty - 3 = 0 ，= 1 ⎩ 4 2显然 ∆ > 0 ， y + y =12所以 MA ⋅MB = ( x 1 + 2)(x 2+ 2) + y 1 y 2 =(ty 1 +3)(ty 2 + 3) + y 1y 2-2t+ 3t + 91 2 1 2-3t 2 - 3 - 6t 2 -9t 2 - 3= + 9 =t 2 + 2 t 2 + 2+ 9 = 15 t 2 + 2 ，当 t = 0 时， MA ⋅ MB 取最大值15 2.此时直线 l 方程为 x = 1 ，不妨取 A(1, 6 62 2又 MN = 3 ,所以 △MAB 的面积 S = 1 3 6 ⨯ 6 ⨯ 3 = 2 2.【名师点睛】本题考查椭圆的基本性质，运用了设而不求的思想，将向量和圆锥曲线结合起来，是典型考题.3．【湖南省郴州市 2019 届高三第二次教学质量监测试卷数学试题】已知抛物线C : x 2 = 2 py( p > 0) 的焦点为 F ，过 F 的直线交抛物线于 A ， B 两点.（1）若以 A ， B 为直径的圆的方程为 ( x - 2)2 + ( y - 3)2 = 16 ，求抛物线 C 的标准方程；（2）过 A ， B 分别作抛物线的切线 l 1 ， l 2 ，证明： l 1 ， l 2 的交点在定直线上.【答案】（1） x 2 = 4 y ；（2）见解析.（则 d = y + M p 2，由抛物线的定义可知， d 1 =| AF |, d 2 =| BF | ，所以 d 1 + d 2 = |AB| = 8 ，由 x 2 = 2 py 得 y = ，则 y ' =所以直线 l 1 的方程为 y - y 1 = x ( x - x )，直线 l 的方程为 y - y = 2 (x - x ) ， p p 2 ， y = 1 2 ，即 l， l 的交点坐标为2⎪ ， 2 p22 p ⎭⎝因为 AB 过焦点 F 0, 2 ⎭ p.【由梯形中位线可得 d = d + d 1 22 = 4 ，所以 y + M p 2= 4 ，而 y = 3 ，M 所以 3 + p 2= 4 ，可得 p = 2 ，所以抛物线 C : x 2 = 4 y .（2）设 A (x , y )， B (x , y1 122x 22 p)，x p.x 1 1 2 2 2联立得 x = x + x12x x ⎛ x + x x ⋅ x ⎫1 21 2 , 1⎛ ⎝p ⎫⎪ ，所以设直线 AB 的方程为 y - p= kx ，将其代入抛物线 x 2 = 2 py 中得2x 2 - 2 pkx - p 2 = 0 ，所以 x x = - p 2 ，1 2所以 x x - p 2 p1 2 = =- ， 2 p 2 p 2所以 l 1 ， l 2 的交点在定直线 y = - 2上.【名师点睛】本题考查抛物线的定义，以及圆锥曲线中定点定值的求法题目较综合，对计算量的要求比较高，属于中档题目.（1）由抛物线的定义求出 p ，可得抛物线方程.（2）利用导数求出过 A 、 B 两点的切线方程，并求出其交点.再由直线 AB 与抛物线联立得到 A 、 B 两点的坐标关系.代入交点坐标，可得所求定直线.x 2 y 24． 甘肃省、青海省、宁夏回族自治区 2019 届高三 5 月联考数学试题】已知椭圆 C ：+ a 2 b 2 = 1(a > b > 0)（ ⎧⎪a = 2⎪2c = 2 3 l 的方程为 y = - x + m ， P (x , y )， Q (x , y ) ,2 ⎪⎪ 2 ()则 ∆ = 4m 2 - 8 m 2 - 1 = 4 2 - m 2 > 0 ，且 x 1 + x 2 = 2m > 0 ， x x = 2 m 2 - 1 > 0 ，故 y y = - x + m ⎪ - x + m ⎪ = x x - m (x + x )+ m2 = ⎝ 21⎭⎝ 22⎭ 41 222x x - m (x + x )+ m 2 = 1 2 = 4 = = k 2 yy 1 2的离心率为3 ，焦距为 2 3 ．2（1）求 C 的方程；（2）若斜率为 - 1的直线 l 与椭圆 C 交于 P ，Q 两点（点 P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点，证明：2直线 OP ， PQ ， OQ 的斜率依次成等比数列．【答案】（1）x 2 4+ y 2= 1 ； 2）见解析.⎧ c 3 ⎪ =【解析】由题意可得 ⎨ a 2 ，解得 ⎨⎩又 b 2 = a 2 - c 2 = 1 ，x 2所以椭圆 C 的方程为 + y 2 = 1 .4⎪⎩ c = 3，（2）记直线 OP ， PQ ， OQ 的斜率依次为 k OP ， k PQ ， k OQ ，易得 k 1PQ = - 2 .设直线1 1 12 2⎧1 y=- x + m由 ⎨⎪ x 2 + y 2 = 1 ⎪⎩ 4，消去 y ，得 x 2 - 2mx + 2 m 2 - 1 = 0 ，() ()()1 21 212⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫ 1 1 m 2 - 1，k k OP OQ x x x x41 2 1 21 1 12 1 2PQ ，即直线 OP ， PQ ， OQ 的斜率依次成等比数列.【名师点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及椭圆的应用，熟记椭圆的标准方程以及椭圆的简单10【 4 ，所以 y' = 1 ，切线 l 的斜率为 k x( )5． 辽宁省沈阳市 2019 届高三教学质量监测（三)数学（理)试题】抛物线 C : x 2 = 2 py( p > 0) 的焦点为 F ，M (-2, y ) 是 C 上一点，且 MF = 2 ．（1）求 C 的方程；（2）过点 F 的直线与抛物线 C 相交于 A, B 两点，分别过点 A, B 两点作抛物线 C 的切线 l 1 , l 2 ，两条切线相交于点 P ，点 P 关于直线 AB 的对称点 Q ，判断四边形 P AQB 是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1） x 2 = 4 y ；（2）见解析.【解析】（1）根据题意知， 4 = 2 py 0①因为 MF = 2 ，所以 y +p2 = 2 ②联立①②解得 y 0 = 1, p = 2 ．所以抛物线 C 的方程为 x 2 = 4 y ．（2）四边形 P AQB 存在外接圆．设直线 AB 方程为 y = kx + 1 ，代入 x 2 = 4 y 中，得 x 2 - 4kx - 4 = 0 ，设点 A (x , y ), B (x , y 1122) ，则 ∆ = 16k 2 + 16 > 0 ，且 x + x = 4k , x x = -4 ，121 2所以 | AB |= 1 + k 2 x - x = 4 (k 2 + 1)，1 2因为 C : x 2 = 4 y ，即 y =x 2 x2 ．因此，切线 l 的斜率为 k = 1 1 x2 2 2 = 2 ，由于 k k = 1 2 x x1 2 = -1 ，所以 P A ⊥ PB ，即 △PAB 是直角三角形，4所以 △PAB 的外接圆的圆心为线段 AB 的中点，线段 AB 是圆的直径，所以点 Q 一定在 △PAB 的外接圆上，即四边形 P AQB 存在外接圆．又因为 AB = 4 k 2 + 1 ，所以当 k = 0 时，线段 AB 最短，最短长度为 4，此时圆的面积最小，最小面积为 4π ．11( ), 0 t ) 2【解析】（1）由题意， e = c （2）因为直线 l 经过点 P (t,0 )(0 < t < a ) 和点 Q (0,1)，所以直线 l 的斜率为 1 ，设 l : y = - x + 1，( )3t 2 + 4 3t 2 + 4因为 AP = λ PB ，所以 (t - x , - y + 1⎪ - 4 ． =(1 - + 1⎪ - 4 ∈ [12, +∞ )， 3 (1 - λ )2 ⎝ t 2【名师点睛】本题考查了抛物线的定义的运用、抛物线的切线的斜率的应用、证明四边形是否存在外接圆问题.6 ．【吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019 届高三第四次模拟考试数学试题】已知椭圆E : x 2 y 2 + a 2 b 2= 1(a > b > 0) 与 y 轴 正 半 轴 交 于 点 M 0, 3 ， 离 心 率 为1 2 ．直线 l 经过点P ( t 0)( < < a 和点 Q (0,1)，且与椭图 E 交于 A 、B 两点（点 A 在第二象限）．（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）若 AP = λ PB ，当 0 < t ≤ 2 33时，求 λ 的取值范围．【答案】（1） x 2 y 2+ = 1 ；（2） 4 3 ⎛ 3 + 5 ⎤ λ ∈ 1, ⎥ . ⎝ ⎦1= 且 b = 3 ，所以 a = 2 ，a 2x 2 y 2所以椭圆 E 的标准方程为 + = 1 ．4 31 -ttx 2 y 2将其代入椭圆方程 + = 1 中，4 3消去 x 得 3t 2 + 4 y 2 - 6t 2 y + 3t 2 - 12 = 0 ，当 ∆ > 0 时，设 A (x , y )、 B (x , y1122) ，则 y + y = 1 2 6t 2 3t 2 - 12……①， y y =1 2……②11) = λ (x 2- t, y )，所以 y = -λ y ……③2 1 2联立①②③，消去 y 1 、 y 2 ，整理得 12λ )2 ⎛ 4 ⎫2⎝ t 2 ⎭2 312λ ⎛ 4 ⎫2 当 0 < t ≤ 时， =⎭⎡ 3 - 5 ⎫ ⎛ 3 + 5 ⎤ 解得 λ ∈⎢ 2 ,1⎪ 1, 2 ⎥ ，⎣ ⎭ ⎝ ⎦12⎛ ⎤.【解析】（1）由直线 x = 1 被椭圆截得的弦长为 3 ，得椭圆过点 1, ⎛ 3 ⎫1 32 ⎪⎭2 b 2( ) （2）由 ⎨ 4 得 1 + 4k 2 x 2 + 8kmx + 4m 2 - 4 = 0 ， ⎪ y = kx + m= 4 ， b1 + 4k由 y + y 1 2 = (1 - λ) y2 =6t 23t 2 + 4 > 0 且 y 2 < 0 ，故 λ > 1 ，所以 λ ∈ 1, 3 +2 5⎥ ．⎝ ⎦【名师点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，用了设而不求的思想，还涉及了简单的数列的知识7．【内蒙古呼伦贝尔市 2019 届高三模拟统一考试（一)数学试题】已知椭圆 C ：x 2 y 2 + a 2 b 2= 1(a >b > 1)离心率为3 ，直线 x = 1 被椭圆截得的弦长为 3 .2（1）求椭圆方程；（2）设直线 y = kx + m 交椭圆 C 于 A ，B 两点，且线段 AB 的中点 M 在直线 x = 1 上，求证：线段 AB的中垂线恒过定点.【答案】（1）x 2 4+ y 2= 1 ；（2）见解析.⎪ ，即 += 1， ⎝a 4b 2c 3又 e = = 1 - =a a 2 2，得 a 2 = 4b 2 ，x 2所以 a 22 = 1，即椭圆方程为 + y 2 = 1 .4⎧ x 2 ⎪ + y 2 = 1⎩由 ∆ = 64k 2m 2 - 4(1+ 4k 2 )(4 m 2 - 4) = -16m 2 + 64k 2 + 16 > 0 ，得 m 2 < 1 + 4k 2 ，由 x + x =-1 2 8km 1 + 4k 2，设 AB 的中点 M 为 (x , y 0)，得 x =- 4km= 1，即1 + 4k 2 = -4km ，0 213= - (x - 1). x - ⎪ ，故 AB 的中垂线恒过点 N ,0 ⎪ . k ⎝ 4 ⎭ ⎝ 4 ⎭【1 ∴ y = kx + m = 0 0 m 1 =- 1 + 4k2 4k.∴ AB 的中垂线方程为 y +1 1 4k k即 y =- 1 ⎛ 3 ⎫ ⎛ 3 ⎫【名师点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线相交，韦达定理的应用以及直线过定点问题，属于中档题.8． 河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底考试】已知抛物线 E : x 2 = 2 py ( p > 0)的焦点为 F ，A (2, y 0)是 E 上一点，且 AF = 2 .（1）求 E 的方程；（2）设点 B 是 E 上异于点 A 的一点，直线 AB 与直线 y = x - 3 交于点 P ，过点 P 作 x 轴的垂线交 E 于点 M ，证明：直线 BM 过定点.【答案】（1） E 的方程为 x 2 = 4 y ；（2）见解析.【解析】（1）根据题意知， 4 = 2 py ①，因为 AF = 2 ，所以 y + 0 p 2= 2 ②.联立①②，解得 y = 1 ， p = 2 .所以 E 的方程为 x 2 = 4 y .（2）设 B (x , y )， M (x , y1122).由题意，可设直线 BM 的方程为 y = kx + b ，代入 x 2 = 4 y ，得 x 2 - 4kx - 4b = 0 .由根与系数的关系，得 x + x = 4k ， x x = -4b ③.1 21 2由 MP ⊥ x 轴及点 P 在直线 y = x - 3 上，得 P (x , x - 3) ， 2 2由 A ， P ， B三点共线，得 x - 4 kx + b - 1 2 = ，x - 2 x - 2 2 1整理，得 (k -1)x x - (2k - 4)x + (b + 1)x - 2b - 6 = 0 . 1 2 12将③代入上式并整理，得 (2 - x1)(2k + b - 3) = 0 .14由点B的任意性，得2k+b-3=0，(x-2)+3，所以y=kx+3-2k=k(2,3).即直线BM恒过定点15。

高考数学练习题---文科圆锥曲线(附参考答案)一、选择题1.【2012高考新课标文4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形， ∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，∴322c a =，∴e =34，故选C. 2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【答案】C【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解得y =∵||AB =∴=解得a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C.3.【2012高考山东文11】已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为(A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 【答案】D考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。

4.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += 【答案】C【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。

该双曲线的离心率为（ ）24.已知抛物线 y 2 4x 的焦点为 F ，准线为 l ，P 是 l 上一点，直线 PF 与抛物线交于 M ，N 两 uuur 点, 若 PF uuuur 3MF，则 MN（）16 A ． 3B ．8C ．16D ．83 35.知双曲线 2x2 a 2b y 2 1(ab0,b 0) ， A 1、A 2 是实轴顶点， F 是右焦点，B （0,b ） 是虚轴端点，若在线段 BF 上（不含端点）存在不同的两点 P i i 1,2 ，使得 P i A 1A 2 i 1,2 构成 以 A 1A 2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）2019-2020 年高考数学专题练习圆锥曲线（一）、选择题 2 x 1.设双曲线 C: 2 a 2 y 2 1 a 0,b b 10 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过点 F 1 且斜率为3的直线与双曲线的两渐近线分别交于点 A ，B ，并且 F 2A F 2B ,则双曲线的离心率为A ． 52B ． 2 D ．2 x 2.设 F 1，F 2 分别为双曲线 C ： 2 a 2 b y 2 1(ab 0,b 0） 的左、右焦点， A 为双曲线的左顶点，以 F 1F 2 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M 、N 两点，且满足：MAN 120o ，则 7A ．3B ． 19 321 C ．3D ． 7333.双曲线 2x2a 2y2 1 a 0,bb0 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 作倾斜角为 60°的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于 A ， B 两点，若点 A 平分线段F 1B ，则该双曲线的离心率是 A ． 3B ． 2+ 3 C. 2 D ． 2 1B ．( 2, 52 1) 51D ． ( 52 126.已知过抛 物线 y 2 2px(p 0)的 焦点 F 的 直线与 抛物线 交于 A ，B 两点，且 uuur uuurAF 3FB ，抛物线的准线 l 与 x 轴交于点 C ， AA 1 l 于点 A 1，若四边形 AA 1CF 的面积 为12 3 ，则准线 l 的方程为A ． x2 B ． x 2 2 C ． x 2 D ． x 17.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90 °的正角 .已知双曲线22 E： a x 2 b y 21(a ab0,b 0) ，当其离心率e [ 2,2] 时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为( )A ．[0, 6]B ． [ , ]63C ．[ 4, 3]D ．[3, 2]8.已知直角坐标原点22xy O 为椭圆 C ： 2 2ab 1(a b 0) 的中心，F 1，F 2 为左、右焦点，在区间 (0,2)任取一个数 e ，则事件 “以 e 为离心率的椭圆 C 与圆 O ： x 2 y 2 a 2 b 2 没有 交点 ”的概率为( )A ．2442 B ． 4C ．2 2 D ．22 29.已知直线 y 1x 与双曲线 ax 2 by 21(a 0， b 0 )的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为3， a则()2b23 A ．3 B ．C ． 93D ． 2327223210.过双曲线 x 22 y1的右焦点且与 x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于 A ，B 两3点，则AB)A．4 33B．2 3 C．6 D．4 311.已知抛物线C：4x的焦点为F，过F的直线交C于A，B 两点，点A在第一象限，P（0,6），O 为坐标原点，则四边形OPAB面积的最小值为（7 A．4 13B．4C．3D．412.若双曲线2x3m1的一条渐近线方程为2x 3y 0 ，则m 的值为（）233C．2213.已知双曲线a x2 b y2 1 的左右焦点分别为F1，F2，O 为双曲线的中心，P 是双曲线的右支上的点，PF1F2的内切圆的圆心为I，且圆I 与x 轴相切于点A，过F2作直线PI 的垂线，垂足为B，若 e 为双曲线的离心率，则（）A．|OB | e|OA| C．|OB| |OA| B．|OA| e|OB|D．|OA|与|OB |关系不确定14.已知 F 是椭圆C：2y1 的左焦点，5P为C上一点，A（1,4），则|PA| |PF |的3最小值为（）10 A．3 11B．3C．4 D．13315.已知F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且F1PF2 3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A．4 3 B．2 3C．3 D．22216.双曲线x2y21（a a2b2A（. 1，2）b 0）离心率的范围是（）B（. 1，）C（. 2，）D（. 1，22）17.如图，过抛物线 y 2px（p 0）的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A ，B ，交其准线于点8 C ． 3为（ ）2x 2 2 py 的焦点，点 F 2为抛物线 C 的对称轴与其准线的交点，过 F 2 作抛物线 C 的切线，切点为 A ，若点 A 恰好在以 F 1，F 2 为焦点的双曲线上，则双曲线 的离心率为（ ▲ ）两点， MN 中点的横坐标为 1，则此椭圆的方程是（ ）2A ． y32 B． 2 x32 2y1 522yx C. 1 36 92 xD ． 362y1 921. 已知双曲线 C ：2 x 2 ay 2 b 21a 0,b 0 的虚轴长为 8 ，右顶点 （a ，0）到双曲线的一16D ．318.已知过椭圆 2x 2a2y2 1(a b 0)b 2的左焦点且斜率为 a 的直线 l 与椭圆交于 A ，B 两点 .若椭圆上存在一点 P ，满足 OA OB OP 0 （其中点O 为坐标原点），则椭圆的离心率A ． 22B ．C. 321D ．219.已知点 F 1 是抛物线 C ：A ．6 22B ． 2 1C ． 2 1D ．6 2220.已知椭圆中心在原点，且一个焦点为 F(0 ，3 3) ，直线 4x3y 13 0 与其相交于 M 、N34，则 p 为（条渐近线的距离为 12，则双曲线 C 的方程为（2 x A ． 9 2 y 216 x 2C. 25 y 2 16 22. 已知圆C ： x 2 y 2 2x 2 3y 线相切，则双曲线的离心率为（ ） A ． 2 6 3 B ．23323.设双曲线2 x 2 a 2 y b 2 1(a 0， b 0) 2x 2y2 16 92 2xy 216 2522yx2ab 243 F ， 过点 B． D．1(a C ． 的右焦点为0,b 0） 的一条渐近D ． 7 作与 x 轴垂直的直线 l 交 且与双曲线在第一象限的交点为P ， 设 O 为坐标原点，若 uu ur OP uur OA uuur OB( , R)， A ． 23B ． 3 5 35 两渐近线于 A ，B 两点， 2 x 2 y3 16 ，则双曲线的离心率为（ C.3 2 2 9 D ． 8 2 24.设 F 为双曲线 C ： ab 21（a 0,b 0） 的右焦点， O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x y a 交于 P ，Q 两点.若 PQ OF ，则 C 的离心率为（ A ． 2 B ． 3．C 2）25.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 22C ： x 2 y 21 |x| y 就是其中之一 （如图） .给出下列三个结论： ① 曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；② 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2 ； ③ 曲线 C 所围成的 “心形 ”区域的面积小于 3. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ② C. ①②D.①②③、填空题26.过点Mx20,1 的直线l交椭圆x81于A，B两点，F为椭圆的右焦点，当△ABF的周长最大时，△ABF的面积为27.已知F1，F2 分别为双曲线2C:x242 y12 1的左、右焦点，点P在双曲线C上，G，I 分别为F1PF2的重心、内心，若GI∥x 轴，则F1PF2 的外接圆半径R=2 28.已知点P在离心率为2 的双曲线x2 a2y2 1(a 0,b 0) 上，F1，F2为双曲线的两个buuur 焦点，且PF1uuuurPF20 ，则PF1F2的内切圆半径r 与外接圆半径R之比为29.已知双曲线2C:x2a2yb2 1 a 0,b 0 的实轴长为16，左焦点为F，M 是双曲线 C 的一条渐近线上的点，且OM MF ，O为坐标原点，若S OMF 16 ，则双曲线C的离心率2 x 30.设点M 是椭圆2 a 2 yb2 1(a b 0) 上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F，圆M 与y 轴相交于不同的两点P、Q，若PMQ 为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为2 31. 平面直角坐标系xOy 中，椭圆x2 a2by2 1( a b 0 )的离心率e23，A1，A2分别是椭圆的左、右两个顶点，圆A1的半径为a，过点A2 作圆A1的切线，切点为P，在x 轴的上方交椭圆于点Q.则P P A Q232.如图所示，椭圆中心在坐标原点，为椭圆的右顶点和上顶点，当FB515 1，此类椭圆被称为“黄金椭圆”2算出“黄金双曲线 ”的离心率 e 等于 .22C: x 2 y 21(a b 0)33.已知椭圆 a b，A ，B 是 C 的长轴的两个端点，点 M 是 C 上的一点，满足 MAB 30 , MBA 45 ，设椭圆 C 的离心率为 e ，则 e 2 ________________________ .234.已知抛物线 y 2 2px(p 0)的焦点为 F ，O 为坐标原点，点 M ，N 为抛物线准线上相 异的两点，且 M ，N 两点的纵坐标之积为 - 4，直线 OM ， ON 分别交抛物线于 A ， B 两点，若A ， F ，B 三点共线，则 p ______________ .235.已知抛物线 y 2 8x 上有一条长为 9 的动弦 AB ，则 AB 中点到36.如图：以等边三角形两顶点为焦点且过另两腰中点的椭圆的离心率 e= .等腰三角形，则 M 的坐标为 __________22x 2y 2 139.已知椭圆 9 5 的左焦点为 F ，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方，若线段 PF 的中点在以原点 O 为圆心， OF 为半径的圆上，则直线 PF 的斜率是 ________ .240. 设抛物线 y 2px(p 0)的焦点为 F,已知 A ， B 为抛物线上的两个动点，且满足| MN |AFB60,过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则 |AB| 的最大值为41. 已知 F 为抛物线 C: y 2 4x 的焦点， E 为其标准线与 x 轴的交点，过 F 的直线交抛物线37.已知双曲线 C ：2x2 a的两条渐近线分别交于2y21(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 的直线与 C buuur uuur uuur uuuurA ，B 两点．若 F 1A AB ， F 1B F 2B 0，则C 的离心率为38.设 F 1，F 2 为椭圆1的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限 .若△MF 1F2为C:36 20C 于 A ，B 两点， M 为线段 AB 的中点，且 |ME | 20，则|AB|参考答案0,易知F (1,0)，设直线AB : x my 1x my 1 2由 2y 2 4my 4 0, 所以 y 1 y 2 4 y 2y 2 4x易知 f (x) 在 0,1 上为减函数，所以当12. A22双曲线 x y1的一条渐近线方程为 2x 3y 0 ，可得3 m m 1(3 m)(m 1) 0 ，解得 m ( 1,3)，因为 m 1x 3 m y3 解得 m ，故选A.13，内切圆与 x 轴的切点是A ，∵ ，由圆切线长定理有 ， 设内切圆的圆心横坐标为x ，则，即3y 12 4 1 2y 12( y 1 0) y1f (x) 3 x2 1 2 3x3 x 2 24 ( x 1)(3x 24x 4)2 x 2 2x 22x 2设A(x 1, y 1), B(x 2,y 2)且x 1,y 1S OPABS OPASOFA SOFB32 1 2f ( x) x x (x 0)4 2 x4y 1y 1 1时， ( S OPAB )min 13,故选4B0 是双曲线的渐近线方程，所以∴ ，即 A 为右顶点，在中，由条件有，在中，有∴.设椭圆的右焦点为，由，则，根据椭圆的定义可得，所以22e2 ，由焦点三角形面积公式得b12 3b22，即设椭圆离心率e1 ，双曲线离心率a12 3a22 4c2，即1232e12 e22 4 ，设1 12 2 m ,n 即m 3n 4 ，e1 e2由柯西不等式得m n最大值为43 3设的中点，由题意知两式相减得，而，所以所以直线的方程为，联立，解得又因为，所以所以点代入椭圆的方程，得，所以，故选 A.，易得：∴此椭圆的方程是 故选： C∵ |PQ| |OF | c ，∴ POQ 90o , 又|OP| |OQ | a ，∴a 2 a 2 c 2 解得 c 2，即 e 2.a由题意，得 ，设过 的抛物线 的切线方程为 ，联立，令，解得 ， 即 ，不妨设 ，由双曲线的定义得.故选 C.，则该双曲线的离心率为设椭圆方程为联立方程： ，整理得：， ，则，即 ，化简得：1,0),(-1,1)六个整点,结论① 正确.22由x2y21 x y 得,x2y2, 1x y,解得x2点的距离都不超过2 . 结论② 正确.如图所示,易知A 0, 1 ,B 1,0 ,C 1,1, ,D心形”区域的面积大于3,说法③ 错误.由x2y21 x y得,y2x y 1 x2, |x|y234x2 ,1423x2 2 4厔0,x243所以x可为的整数有0,-1,1,从而曲线C:x2y21 x y 恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-4 1026.3628.229. 526230.2 , 所以曲线C 上任意一点到原0,1 ,四边形ABCD 的面积S ABCD 11 123,很明显2心形”区域的面积大于2 S ABCD ,即231.37如图所示，设，，椭圆方程为圆的方程为，直线与圆相切，则：，直线是斜率为，直线方程为：联立直线方程与椭圆方程：整理可得：即，由弦长公式可得：，在中，，故5132.2“黄金椭圆”的性质是，可得“黄金双曲线”也满足这个性质．如图，设“黄金双曲线”的方程为，22则，，∵， ∴， ∴， ∴，解得 或 （舍去），∴黄金双曲线 ”的离心率 e 等于1333. 35 35.2易知抛物线 的准线方程为 ，设 ，且 的中点为 ，分别 过点 作直线 的垂线，垂足分别为 ，则 ，由抛物线定义，得 （当且仅当 三点共线时取等号），即 中点 到 轴的最短距离为 .36. 3 1OA 为中位线且 OA BF 1 ，所以 OB OF 1 ，因此 F 1OA BOA ，又根据两渐近线对uuur uuur uuur uuuur由F 1A AB, F 1B F 2B 0知 A 是 BF 1的中点， uuu r F Buuuur F 2B ，又 O 是 F 1, F 2的中点，所称， F 1OA F 2OB ，所以 F 2OB 60 ， e1 (b )21 tan2 60 2.39. 15方法 1：由题意可知 |OF|=|OM |= c = 2，由中位线定理可得 PF 1 2|OM | 4，设 P(x,y)可得 (x 2)2 y 2 16，2联立方程 xy 2519 可解得 x32,x 21 2 (舍)，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方，1515求得 P3, ，所以 k P F 2152 2F 138. (3, 15)22已知椭圆 C ：x y36 20 1可知， a 6，c 4，由 M 为 C 上一点且在第一象限，故等腰三角形 MF 1F 2中 MF 1 F 1F 2 8，MF 2 2a MF 1 4 , sin F 1F 2M4 , y MMF 2 sin F 1F 2 M 15 ，22代入C ：3x6 2y0 1可得 x M3.故 M 的坐标为 (3, 15 ) .82方法 2：焦半径公式应用解析 1：由题意可知 |OF |=|OM |= c= 2 ， 由中位线定理可得 PF 1 2|OM | 4 ，即 aex p 4 x p15求得 P 3, 15 ，所以 k PF215 . 2 2 PF 12F （1，0）为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点，E （-1，0）为其准线与 x 轴的交点， 设过F 的直线为 y=k （x-1）， 代入抛物线方程 y 2=4x ，可得 k 2x 2-（ 2k 2+4） x+k 2=0，设 A （ x 1， y 1）， B （x 2，y 2），解得k 2=1，则 x 1+x 2=6，由抛物线的定义可得 |AB|=x 1+x 2+2=8.。

专题对点练23圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2018全国Ⅰ,文20)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN.2.已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.3.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,直线x=4与x轴的交点为P,与抛物线的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求抛物线的方程;(2)如图所示,过F的直线l与抛物线相交于A,D两点,与圆x2+(y-1)2=1相交于B,C两点(A,B两点相邻),过A,D两点分别作抛物线的切线,两条切线相交于点M,求△ABM与△CDM的面积之积的最小值.4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右交点分别为F1,F2,且|F1F2|=4,A是椭圆上一点.(1)求椭圆C的标准方程和离心率e的值;(2)若T为椭圆C上异于顶点的任意一点,M,N分别为椭圆的右顶点和上顶点,直线TM与y轴交于点P,直线TN 与x轴交于点Q,求证:|PN|·|QM|为定值.5.已知圆O:x2+y2=r2,直线x+2y+2=0与圆O相切,且直线l:y=kx+m与椭圆C:+y2=1相交于P,Q两点,O为坐标原点.(1)若直线l过椭圆C的左焦点,且与圆O交于A,B两点,且∠AOB=60°,求直线l的方程;(2)如图,若△POQ的重心恰好在圆上,求m的取值范围.6.已知椭圆C与双曲线y2-x2=1有共同焦点,且离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若A为椭圆C的下顶点,M,N为椭圆C上异于A的两点,直线AM与AN的斜率之积为1.①求证:直线MN恒过定点,并求出该定点坐标;②若O为坐标原点,求的取值范围.7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上位于第一象限的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D.(1)若当点A的横坐标为3,且△ADF为等边三角形时,求C的方程;(2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x0,0),记点B关于x轴的对称点为E,AE交x轴于点P,且AP⊥BP,求证:点P的坐标为(-x0,0),并求点P到直线AB的距离d的取值范围.专题对点练23答案1.(1)解当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=x+1或y=-x-1.(2)证明当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为k BM+k BN=.①将x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)==0.所以k BM+k BN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.2.(1)解设椭圆C的方程为=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率k AM=,故直线DE的斜率k DE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m),直线BN的方程为y=(x-2).联立解得点E的纵坐标y E=-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以y E=-n.又S△BDE=|BD|·|y E|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.3.解(1)由题意可知P(4,0),Q,|QF|=,由|QF|=|PQ|,则,解得p=2,∴抛物线的方程为x2=4y.(2)设l:y=kx+1,A(x1,y1),D(x2,y2),联立整理得x2-4kx-4=0,则x1x2=-4,由y=x2,求导y'=,直线MA:y-(x-x1),即y=x-,同理求得MD:y=x-,联立解得则M(2k,-1),∴M到l的距离d==2,∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABM·S△CDM=|AB||CD|·d2= (|AF|-1)(|DF|-1)·d2=y1y2d2=·d2=1+k2≥1,当且仅当k=0时取等号,当k=0时,△ABM与△CDM的面积之积取最小值1.4.(1)解由已知得c=2,F1(-2,0),F2(2,0),∴2a=|AF1|+|AF2|=+=8.∴a=4,∴b2=a2-c2=4,e=.∴椭圆C的标准方程为=1,e=.(2)证明T(x0,y0)(x0≠0,y0≠0),则=1.M(4,0),N(0,2),∴直线TN的方程为y-2=x,令y=0,得Q,直线TM的方程为y=(x-4),令x=0,得P.则|MQ|=,则|PN|=.|QM|·|PN|==16,∴|PN|·|QM|为定值16.5.解(1)∵直线x+2y+2=0与圆O:x2+y2=r2相切,∴r=,∴x2+y2=.∵左焦点坐标为F(-1,0),设直线l的方程为y=k(x+1),由∠AOB=60°,得圆心O到直线l的距离d=.又d=,∴,解得k=±,∴直线l的方程为y=±(x+1).(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.由Δ>0,得2k2+1>m2,(※)且x1+x2=-.由△POQ重心恰好在圆x2+y2=上,得(x1+x2)2+(y1+y2)2=4, 即(x1+x2)2+[k(x1+x2)+2m]2=4,即(1+k2)(x1+x2)2+4km(x1+x2)+4m2=4.∴+4m2=4,化简得m2=,代入(※)得k≠0.又m2==1+=1+.由k≠0,得>0,∴>0,∴m2>1,得m的取值范围为m<-1或m>1.6.解(1)设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),由题意可得a2-b2=2,e=,c=,解得a=,b=1,即有椭圆的标准方程为+x2=1;(2)①证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),由A(0,-),直线AM与AN的斜率之积为1,可得=1,即有x1x2=y1y2+(y1+y2)+3,由题意可知直线MN的斜率存在且不为0,设直线MN:y=kx+t,代入椭圆方程,可得(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得x1x2=,x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+2t=2t-,y1y2=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2·+kt+t2=,则+3,化为t2+3t+6=0,解得t=-2(-舍去),则直线MN的方程为y=kx-2,即直线MN恒过定点,该定点坐标为(0,-2);②由①可得=x1x2+y1y2==,由(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得Δ=4k2t2-4(t2-3)(3+k2)=48k2-36(3+k2)>0,解得k2>9.令3+k2=m,则m>12,且k2=m-3,即有-3,由m>12,可得-3<-3<.则的取值范围是.7.解(1)由题知F,|FA|=3+,则D(3+p,0),FD的中点坐标为,则=3,解得p=2,故C的方程为y2=4x.(2)依题可设直线AB的方程为x=my+x0(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则E(x2,-y2),由消去x,得y2-4my-4x0=0.∵x0≥,∴Δ=16m2+16x0>0,y1+y2=4m,y1y2=-4x0,设P的坐标为(x P,0),则=(x2-x P,-y2),=(x1-x P,y1),由题知,所以(x2-x P)y1+y2(x1-x P)=0,即x2y1+y2x1=(y1+y2)x P=,显然y1+y2=4m≠0,所以x P==-x0,即证x P(-x0,0).由题知△EPB为等腰直角三角形,所以k AP=1,即=1,也即=1,所以y1-y2=4,∴(y1+y2)2-4y1y2=16,即16m2+16x0=16,m2=1-x0,x0<1,又因为x0≥,所以≤x0<1,d=,令=t∈,x0=2-t2,d=-2t,易知f(t)= -2t在上是减函数,所以d∈.。

专题能力训练16椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.(2018全国Ⅰ,文4)已知椭圆C:=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.B.C.D.2.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF 的面积为()A.B.C.D.3.已知O为坐标原点,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A. B. C. D.4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=15.(2018全国Ⅱ,文11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-B.2-C. D.-16.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若=m+n(m,n∈R),且mn=,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.7.已知双曲线E:=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.8.已知直线l1:x-y+5=0和l2:x+4=0,抛物线C:y2=16x,P是C上一动点,则点P到l1与l2距离之和的最小值为.9.如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.10.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m>0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围. 11.设椭圆=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.二、思维提升训练12.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B.2 C.D.213.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.15.在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.16.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值.17.已知动点C是椭圆Ω:+y2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B是端点),的最大值是.(1)求椭圆Ω的方程.(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.专题能力训练16椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.C解析因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x轴上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=2,所以椭圆C的离心率e=.2.D解析由c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以PF=3.又点A的坐标是(1,3),故△APF的面积为×3×(2-1)=,故选D.3.A解析由题意知,A(-a,0),B(a,0),根据对称性,不妨令P,设l:x=my-a,∴M,E.∴直线BM:y=-(x-a).又直线BM经过OE的中点,∴,解得a=3c.∴e=,故选A.4.D解析∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得所以双曲线的方程为x2-=1.故选D.5.D解析不妨设椭圆方程为=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|+|PF2|=2a.∵∠F2PF1=90°,∠PF2F1=60°,∴c+c=2a,即(+1)c=2a.∴e=-1.6.C解析在y=±x中令x=c,得A,B,在双曲线=1中令x=c得P.当点P的坐标为时,由=m+n,得由(舍去),∴,∴,∴e=.同理,当点P的坐标为时,e=.故该双曲线的离心率为.7. 2解析由题意不妨设AB=3,则BC=2.设AB,CD的中点分别为M,N,如图,则在Rt△BMN中,MN=2,故BN=.由双曲线的定义可得2a=BN-BM==1,而2c=MN=2,所以双曲线的离心率e==2.8.解析在同一坐标系中画出直线l1,l2和曲线C如图.P是C上任意一点,由抛物线的定义知,|PF|=d2,∴d1+d2=d1+|PF|,显然当PF⊥l1,即d1+d2=|FM|时,距离之和取到最小值.∵|FM|=,∴所求最小值为.9.解(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)知|AP|=t·和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=.设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|·d=.10.解(1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.于是x≠1,且x≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为.由题意,有=4.整理,得4x2-y2-4=0.故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠±1).(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.①对于方程①,其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,而当1或-1为方程①的根时,m的值为-1或1.结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1.设Q,R的坐标分别为(x Q,y Q),(x R,y R),则x Q,x R为方程①的两根,因为|PQ|<|PR|,所以|x Q|<|x R|.因为x Q=,x R=,且Q,R在同一条直线上,所以=1+.此时>1,且≠2, 所以1<1+<3,且1+,所以1<<3,且.综上所述,的取值范围是.11.解(1)设F(c,0).由,即,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(x B,y B),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=,由题意得x B=,从而y B=.由(1)知,F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H),.由BF⊥HF,得=0,所以=0,解得y H=.因此直线MH的方程为y=-x+.设M(x M,y M),由方程组消去y,解得x M=.在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(x M-2)2+,化简得x M=1,即=1,解得k=-,或k=.所以,直线l的斜率为-.二、思维提升训练12.D解析∵双曲线C的离心率为,∴e=,即c=a,a=b.∴其渐近线方程为y=±x,则(4,0)到C的渐近线距离d==2.13.C解析设点M的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+=5,则x0=5-.因为点F的坐标为,所以以MF为直径的圆的方程为(x-x0)·+(y-y0)y=0.将x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,即-4y0+8=0,解得y0=4.由=2px0,得16=2p,解得p=2或p=8.所以C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.14.2解析该双曲线的右准线方程为x=,两条渐近线方程为y=±x,得P,Q,又c=,所以F1(-,0),F2(,0),四边形F1PF2Q的面积S=2=2.15.y=±x解析抛物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4·=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以.所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.16.解(1)由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=2>2=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=2,2c=2.动点P的轨迹C1的方程为=1.(2)设N(t,t2),则PQ的方程为y-t2=2t(x-t)⇒y=2tx-t2.联立方程组消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有而|PQ|=×|x1-x2|=,点M到PQ的高为h=,由S△MPQ=|PQ|h代入化简,得S△MPQ=,当且仅当t2=10时,S△MPQ可取最大值.17.解(1)设点C的坐标为(x,y),则+y2=1.连接CG,由,又G(0,2),=(-x,2-y),可得=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y∈[-1,1].因为a>1,所以当y=≤-1,即1<a≤3时,取y=-1,得有最大值-(a-1)+4+a+,与条件矛盾;当y=>-1,即a>3时,的最大值是,由条件得,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆Ω的方程是+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足=1,=1,两式相减,整理,得=-=-,从而直线PQ的方程为y-y0=-(x-x0).又右焦点F2的坐标是(2,0),将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-(2-x0),因为直线l与x轴不垂直,所以2x0-=5>0,从而0<x0<2.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必过点M,而线段PQ的垂直平分线方程是y-y0=(x-x0),将点M(m,0)代入得-y0=(m-x0),得m=x0,从而m∈.。

专题能力训练17直线与圆锥曲线一、能力突破训练1.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()A.B.2C.2D.32.与抛物线y2=8x相切倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B,那么过A,B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为()A.4B.2C.2D.3.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)4.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.5.(2018全国Ⅱ,文20)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.6.已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.7.在平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P 为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程;(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.8.已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(1,0),A,B是椭圆C的左、右顶点,D是椭圆C上异于A,B 的动点,且△ADB面积的最大值为.(1)求椭圆C的方程.(2)是否存在一定点E(x0,0)(0<x0<),使得当过点E的直线l与曲线C相交于M,N两点时,为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由.二、思维提升训练9.(2018全国Ⅲ,文20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且=0.证明:2||=||+||.10.已知椭圆E:=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.11.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.专题能力训练17直线与圆锥曲线一、能力突破训练1.C解析由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3.因为M在x轴的上方,所以M (3,2).因为MN⊥l,且N在l上,所以N(-1,2).因为F(1,0),所以直线NF:y=-(x-1).所以M到直线NF的距离为=2.2.C解析设直线l的方程为y=-x+b,联立直线与抛物线方程,消元得y2+8y-8b=0.因为直线与抛物线相切,所以Δ=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直线l的方程为x+y+2=0,从而A(-2,0),B(0,-2).因此过A,B两点的最小圆即为以AB为直径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=2,而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,此时圆心(-1,-1)到准线的距离为1,故所截弦长为2=2.3.C解析由题意可得抛物线焦点F(1,0),准线方程为x=-1.当直线l的斜率大于0时,如图,过A,B两点分别向准线x=-1作垂线,垂足分别为M,N,则由抛物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.设|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,在△AMK中,由,得,解得x=2t,则cos∠NBK=,∴∠NBK=60°,则∠GFK=60°,即直线AB的倾斜角为60°.∴斜率k=tan 60°=,故直线方程为y=(x-1).当直线l的斜率小于0时,如图,同理可得直线方程为y=-(x-1),故选C.4.解析双曲线的渐近线为y=±x.由得A.由得B.∵F为△OAB的垂心,∴k AF·k OB=-1,即=-1,解得,∴,即可得e=.5.解(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=;由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.6.(1)解设椭圆C的方程为=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率k AM=,故直线DE的斜率k DE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m),直线BN的方程为y=(x-2).联立解得点E的纵坐标y E=-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以y E=-n.又S△BDE=|BD|·|y E|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.7.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则=1,=1,=-1,由此可得=-=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,,所以a2=2b2.又由题意知,M的右焦点为(,0),所以a2-b2=3.所以a2=6,b2=3.所以M的方程为=1.(2)由解得因此|AB|=.由题意可设直线CD的方程为y=x+n,设C(x3,y3),D(x4,y4).由得3x2+4nx+2n2-6=0.于是x3,4=.因为直线CD的斜率为1,所以|CD|=|x4-x3|=.由已知,四边形ACBD的面积S=|CD|·|AB|=.当n=0时,S取得最大值,最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.8.解(1)设椭圆的方程为=1(a>b>0),由已知可得△ADB的面积的最大值为·2a·b=ab=.①∵F(1,0)为椭圆右焦点,∴a2=b2+1.②由①②可得a=,b=1,故椭圆C的方程为+y2=1.(2)过点E取两条分别垂直于x轴和y轴的弦M1N1,M2N2,则,即,解得x0=,∴E若存在必为,定值为3.证明如下:设过点E的直线方程为x=ty+,代入C中得(t2+2)y2+ty-=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-=-,y1y2=-,====3.综上得定点为E,定值为3.二、思维提升训练9.证明(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1.两式相减,并由=k得·k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0<m<,故k<-.(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=,从而P,||=.于是||===2-.同理||=2-.所以||+||=4-(x1+x2)=3.故2||=||+||.10.(1)解由已知,a=2b.又椭圆=1(a>b>0)过点P,故=1,解得b2=1.所以椭圆E的方程是+y2=1.(2)证明设直线l的方程为y=x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组得x2+2mx+2m2-2=0,①方程①的判别式为Δ=4(2-m2).由Δ>0,即2-m2>0,解得-<m<.由①得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.所以M点坐标为,直线OM方程为y=-x.由方程组得C,D.所以|MC|·|MD|=(-m+)·+m)=(2-m2).又|MA|·|MB|=|AB|2=[(x1-x2)2+(y1-y2)2]=[(x1+x2)2-4x1x2]=[4m2-4(2m2-2)]=(2-m2).所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.11.解(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以=8,解得a=2,c=1,于是b=,因此椭圆E的标准方程是=1.(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).设P(x0,y0),因为P为第一象限的点,故x0>0,y0>0.当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符.当x0≠1时,直线PF1的斜率为,直线PF2的斜率为.因为l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线l1的斜率为-,直线l2的斜率为-,从而直线l1的方程:y=-(x+1),①直线l2的方程:y=-(x-1).②由①②,解得x=-x0,y=,所以Q.因为点Q在椭圆上,由对称性,得=±y0,即=1或=1.又P在椭圆E上,故=1.由解得x0=,y0=无解.因此点P的坐标为.。

高三数学文科圆锥曲线大题训练（含详细解答）1．已知椭圆22:416C x y +=. （1）求椭圆C 的离心率;（2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212x y +=的位置关系.2．已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为离心率2e =，过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程.3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A -（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 过点A ，过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ，Q 两点，如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切，求l 的方程．4．已知离心率为2的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方），且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ∠=∠． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求四边形APBQ 面积的取值范围．5．已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线()0y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当AM AN =时，求m 的取值范围.6．已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.（1）求椭圆1C 的方程； （2）求点Q 的轨迹方程；（3）求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.7．如图，B A ,分别是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，F 为其右焦点，2是AF 与FB 的等差中项，3是AF 与FB 的等比中项． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 是椭圆C 上异于B A ,的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ 垂直于AP ，并交直线l 于点Q ．证明：B P Q ,,三点共线．8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()0,1．圆22221:C x y a b +=+.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM +=0是否成立？请说明理由．9．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点,且8MN =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ,P 为l 上一点，求PM PN ⋅的最小值．10．已知动圆C 过定点）（2,0M ，且在x 轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 方程；（2）点A 为直线l ：20x y --=上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P 、 Q ，APQ ∆面积的最小值及此时点A 的坐标.11．已知点)1,2(A 在抛物线:E 2x ay =上，直线1:l 1y kx =+（R k ∈，且0k ≠）与抛物线E 相交于C B ,两点，直线AC AB ,分别交直线2:l 1y =-于点S ，T ．（1）求a 的值；（2）若S T =1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2（1）求椭圆C 的方程；（2）B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，设OP tOE =，求实数t 的值.13．已知点()2,1P 在抛物线()21:20C x py p =>上，直线l 过点()0,2Q 且与抛物线1C 交于A 、B 两点。

第20练圆锥曲线的定义、方程与性质［小题提速练］［明晰考情]1。

命题角度：圆锥曲线的定义、方程与几何性质是高考考查的热点.2.题目难度：中等偏难.考点一圆锥曲线的定义及标准方程方法技巧（1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件。

(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化.(3）求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”。

1.已知A（0，7），B（0，－7)，C（12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是(）A.y2－错误!＝1B.x2－错误!＝1C.y2－错误!＝1(y≤－1) D。

x2－错误!＝1(x≥1)答案C解析由两点间距离公式，可得|AC｜＝13,｜BC|＝15，｜AB|＝14，因为A，B都在椭圆上，所以|AF|＋｜AC｜＝|BF|＋|BC｜,|AF｜－｜BF｜＝|BC|－｜AC|＝2〈14，故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支。

由c＝7，a＝1，得b2＝48，所以F的轨迹方程是y2－错误!＝1（y≤－1)，故选C。

2.已知双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b>0）的焦距为2错误!，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为（)A.错误!－y 2＝1B 。

x 2－错误!＝1 C.错误!－错误!＝1D 。

错误!－错误!＝1答案 A 解析 依题意得错误!＝错误!,①又a 2＋b 2＝c 2＝5，②联立①②得a ＝2，b ＝1.∴所求双曲线的方程为错误!－y 2＝1.3.已知椭圆错误!＋错误!＝1的两个焦点是F 1,F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1｜－｜PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是________.答案 错误!解析 由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2,且｜PF 1｜＋|PF 2｜＝2a ＝4，又|PF 1｜－｜PF 2|＝2，所以|PF 1｜＝3,｜PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝2c ＝2错误!，所以有｜PF 1｜2＝｜PF 2|2＋|F 1F 2｜2,即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 1为直角，所以12PF F S ＝错误!｜F 1F 2|｜PF 2｜＝错误!×2错误!×1＝错误!.4.已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3）2＋（y －1)2＝1上的一个动点，N (1，0)是一个定点，则|PQ |＋｜PN |的最小值为________.答案 3解析 由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线的焦点F （1，0)，又N （1,0），所以N 与F 重合。