中考数学真题演练2 第五节二次函数的应用
好题随堂演练
1．(2018?繁昌一模)某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式为y＝－4x＋440，要获得最大利润，该商品的售价应定为( )
A．60元B．70元C．80元D．90元
2．如图，正方形ABCD的边长为5，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且BE＝DF，四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为( )
A．y＝5－x B．y＝5－x2
C．y＝25－x D．y＝25－x2
3．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－k)2＋h.已知球与O点的水平距离为6 m时，达到最高2.6 m，球网与O点的水平距离为9 m．高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m，则下列判断正确的是( )
A．球不会过球网
B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界
D．无法确定
4．某特产专卖店销售“中江柚”，已知“中江柚”的进价为每个10元，现在的售价是每个16元，每天可卖出120个，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10个；每降价1元，每天可多卖出30个．
(1)如果专卖店每天想要获得770元的利润，且要尽可能的让利给顾客，那么售价应涨多少元？
(2)请你帮专卖店老板算一算，如何定价才能使利润最大，并求出此时的最大利润．
5．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(－1，0)和C(0，3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA＋PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；
(3)设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．
第5题图
参考答案
1．C2.D3.C
4．解：(1)设售价应涨x元，则：
(16＋x－10)(120－10x)＝770.
解得：x1＝1，x2＝5，
∵要尽可能的让利给顾客，
∴涨价最少，
∴x2＝5(舍去)．∴x＝1.
∴专卖店应使售价涨1元，每天可以获利770元且尽可能的让利给顾客；
(2)设售价涨x元时，每天的利润为w1元，则：
w1＝(16＋x－10)(120－10x)
＝－10x2＋60x＋720
＝－10(x－3)2＋810(0≤x＜12)，
∴当x＝3时，w1有最大值，
即定价为：16＋3＝19(元)，专卖店可以获得最大利润810元．
设售价降价z元时，每天的利润为w2元，则：
w2＝(16－z－10)(120＋30z)
＝－30z2＋60z＋720
＝－30(z－1)2＋750(0≤z＜6)，
∴当z＝1时，w2有最大值．
即定价为：16－1＝15(元)，专卖店可以获得最大利润750元．
综上所述：专卖店将售价定为每个19元时，可以获得最大利润810元．5．解：(1)将A(－1，0)、C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c中，得
解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)设抛物线与x轴的另一交点为B.
如解图1，连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA＋PC取最小值，
当y＝0时，有－x2＋2x＋3＝0，
解得：x1＝－1，x2＝3，
∴点B的坐标为(3，0)．
∵抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
设直线BC的表达式为y＝kx＋d(k≠0)，
将B(3，0)、C(0，3)代入y＝kx＋d中，
得解得
∴直线BC的表达式为y＝－x＋3.
∵当x＝1时，y＝－x＋3＝2，
∴当PA＋PC的值最小时，点P的坐标为(1，2)．
(3)如解图2，设点M的坐标为(1，m)，则CM2＝(1－0)2＋(m－3)2，AC2＝[0－(－1)]2＋(3－0)2＝10，
AM2＝[1－(－1)]2＋(m－0)2＝4＋m2，分三种情况讨论：
①当∠AMC＝90°时，有AC2＝AM2＋CM2，
即10＝1＋(m－3)2＋4＋m2，
解得：m1＝1，m2＝2，
∴点M的坐标为(1，1)或(1，2)；
②当∠ACM＝90°时，有AM2＝AC2＋CM2，即4＋m2＝10＋1＋(m－3)2，
解得：m＝，
∴点M的坐标为(1，)；
③当∠CAM＝90°时，有CM2＝AM2＋AC2，
即1＋(m－3)2＝4＋m2＋10，
解得：m＝－，
∴点M的坐标为(1，－)．
综上所述：当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为(1，1)、(1，2)、(1，)或(1，－)．
