2020-2021学年广西南宁市第三中学高二12月月考数学(理)试题(解析版)

2020-2021学年广西南宁三中高二（下）月考数学试卷（理科）（一）一、单选题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x|0≤x≤2}，集合B＝{x|x2＜x}，则A∩B＝（）A．（1，2]B．（0，1）C．[0，1）D．（1，2）2．设z＝+2i，则|z|＝（）A．0B．C．1D．3．下列叙述中正确的是（）A．对∀x∈R，2x＞x2B．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”D．命题“对∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x0∈R，使x02≥0”4．已知tanα＝，则sin（﹣2α）的值为（）A．﹣B．C．2﹣7D．5．用数学归纳法证明时，从n＝k到n＝k+1，不等式左边需添加的项是（）A．B．C．D．6．由曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．67．已知a＞0，b＞0，a+b＝4，则下列各式中正确的是（）A．B．1C．2D．18．某学校要对如图所示的5个区域进行绿化（种花），现有4种不同颜色的花供选择，要求相邻区域不能种同一种颜色的花，则共有（）种不同的种花方法．A．24B．36C．48D．729．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量x（单位：mg）与给药时间t（单位：h）近似满足函数关系式，其中k0，k分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg/h）．经测试发现，当t＝23时，，则该药物的消除速率k的值约为（）（ln2≈0.69）A．B．C．D．10．已知双曲线左、右焦点分别为F1，F2，过F1作x轴的垂线l交双曲线C的于A，B两点，若△ABF2的周长为25，则双曲线C的渐近线方程为（）A．3x±4y＝0B．4x±3y＝0C．3x±8y＝0D．8x±3y＝0 11．已知2a＝3b＝6，c＝log a b，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b12．已知函数f（x）＝，若∀x2≤0，∃x1＞0，使f（x1）+f（x2）＝0成立，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．[，+∞）C．（﹣∞，]D．（﹣∞，]二、填空题（每小题5分）.13．设实数x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为．14．已知非零向量，满足||＝2||，且（+）⊥，则与的夹角为．15．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若f'（x）＞f（x），f（2）＝1008，则不等式e2f（x+1）﹣1008e x+1＞0的解集为．16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝2，AC＝2，M是BC中点，则过点M的平面截三棱锥P﹣ABC的外接球所得截面的面积最小值为．三、解答题（共70分）17．2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；（2）（i）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；（ii）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．18．已知等差数列{a n}满足a n+2a n+1＝3n+5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和为S n．若∀n∈N*，S n＜﹣λ2+4λ（λ为偶数），求λ的值．19．已知a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，且5cos B cos C+2＝5sin B sin C+cos2A．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S＝，c＝，求sin B sin C的值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB＝2AD＝2CD＝4，PC＝2a，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点P（2，3）．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C上存在两点M，N，使得PM的斜率与PN的斜率之和为﹣1，直线MN是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．22．已知函数f（x）＝x2+ax﹣alnx．（1）若函数f（x）在[2，5]上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当a＝2时，若方程f（x）＝x2+2m有两个不等实数根x1，x2，求实数m的取值范围，并证明x1x2＜1．参考答案一、单选题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x|0≤x≤2}，集合B＝{x|x2＜x}，则A∩B＝（）A．（1，2]B．（0，1）C．[0，1）D．（1，2）解：∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜1}，∴A∩B＝（0，1）．故选：B．2．设z＝+2i，则|z|＝（）A．0B．C．1D．解：z＝+2i＝+2i＝﹣i+2i＝i，则|z|＝1．故选：C．3．下列叙述中正确的是（）A．对∀x∈R，2x＞x2B．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”D．命题“对∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x0∈R，使x02≥0”解：对于A，因为当x＝﹣1时，2x＝2﹣1＝0.5，x2＝（﹣1）2＝1，2x＞x2不成立，所以A 错；对于B，因为l⊥α，l⊥β，所以α∥β或α＝β，但α，β是两个不同的平面，所以α∥β，于是B对；对于C，因为当b＝0时，有“a＞c”成立，但“ab2＞cb2”不成立，所以C错；对于D，“对∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x0∈R，使x02＜0”，不是“∃x0∈R，使x02≥0”，所以D错．故选：B．4．已知tanα＝，则sin（﹣2α）的值为（）A．﹣B．C．2﹣7D．解：因为tanα＝，所以sin（﹣2α）＝﹣cos2α＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣．故选：A．5．用数学归纳法证明时，从n＝k到n＝k+1，不等式左边需添加的项是（）A．B．C．D．解：n＝k时，左边为，n＝k+1时，左边为，所以左边需添加的项是，故选：B．6．由曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．6解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S＝．故选：C．7．已知a＞0，b＞0，a+b＝4，则下列各式中正确的是（）A．B．1C．2D．1解：因为a＞0，b＞0，a+b＝4，所以＝（）＝（2+）（2+2）＝1，当且仅当a＝b＝2时取等号，B正确，A错误；由基本不等式可知ab＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故，C错误；，D错误．故选：B．8．某学校要对如图所示的5个区域进行绿化（种花），现有4种不同颜色的花供选择，要求相邻区域不能种同一种颜色的花，则共有（）种不同的种花方法．A．24B．36C．48D．72解：①区域2，4同色时，有4×3×2×2＝48种；②区域2，4不同色时，有4×3×2×1×1＝24种，由①②可得：一共有72种着色方法．故选：D．9．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量x（单位：mg）与给药时间t（单位：h）近似满足函数关系式，其中k0，k分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg/h）．经测试发现，当t＝23时，，则该药物的消除速率k的值约为（）（ln2≈0.69）A．B．C．D．解：由题可知，将t＝23，x＝代入x＝，整理可得：，即ln，解得k＝，故选：A．10．已知双曲线左、右焦点分别为F1，F2，过F1作x轴的垂线l交双曲线C的于A，B两点，若△ABF2的周长为25，则双曲线C的渐近线方程为（）A．3x±4y＝0B．4x±3y＝0C．3x±8y＝0D．8x±3y＝0解：由双曲线的定义可得|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF1|＝2a，∵△ABF2的周长为25，∴|AB|+|AF2|＝，∵|AB|＝|AF1|+|BF1|＝，∴|AF1|＝＝|AB|，得|AF2|＝，﹣＝2a，因为a＞3，所以解得a＝4，又b＝3，且双曲线的焦点在x轴上，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即3x±4y＝0．故选：A．11．已知2a＝3b＝6，c＝log a b，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b解：，∵0＜log62＜log63＜1，∴，即a＞b＞1，∴c＝log a b＜log a a＝1，∴c＜b＜a．故选：C．12．已知函数f（x）＝，若∀x2≤0，∃x1＞0，使f（x1）+f（x2）＝0成立，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．[，+∞）C．（﹣∞，]D．（﹣∞，]解：∵∀x2≤0，∃x1＞0，使得f（x1）+f（x2）＝0成立，∴函数y＝﹣f（x2）的值域是函数y＝f（x1）的值域的子集，当x≤0时，f（x）＝x2+x+＝+1，∴f（x）≥1，∴﹣f（x）≤﹣1，∴y＝﹣f （x）的值域为（﹣∞，﹣1]，∴当x＞0时，2lnx﹣ax≥﹣1成立，即a≤，设g（x）＝，则g′（x）＝，当x∈（0，）时，g（x）单调递增，当x∈（，+∞）时，g（x）单调递减，∴g（x）max＝g（）＝，∴a≤，即a∈（﹣∞，]，故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．设实数x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为15．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，3），由z＝2x+3y，得y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为15，故答案为：15．14．已知非零向量，满足||＝2||，且（+）⊥，则与的夹角为．解：根据题意，设与的夹角为θ，||＝t，则||＝2t，若（+）⊥，则（+）•＝2+•＝t2+2t2cosθ＝0，变形可得：cosθ＝﹣，又由0≤θ≤π，则θ＝，故答案为：．15．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若f'（x）＞f（x），f（2）＝1008，则不等式e2f（x+1）﹣1008e x+1＞0的解集为{x|x＞1}．解：令，则，所以g（x）在R上单调递增．因为，所以不等式e2f（x+1）﹣1008e x+1＞0，可变形得，即g（x+1）＞g（2），所以x+1＞2，解得x＞1．故答案为：{x|x＞1}．16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝2，AC＝2，M是BC中点，则过点M的平面截三棱锥P﹣ABC的外接球所得截面的面积最小值为π．解：如图，把三棱锥P﹣ABC放置在棱长为2的正方体中，则正方体的对角线长为三棱锥P﹣ABC的外接球的直径，设三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R，则2R＝，∴R＝，由对称性可知，球心O到过点M的平面距离的最大值为OM＝PB＝，∴截面最小的圆的半径为，可得截面的面积最小值为π×12＝π．故答案为：π．三、解答题（共70分）17．2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；（2）（i）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；（ii）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．解：（1）平均数，前三组的频率之和为0.15+0.2+0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设为x，则（x﹣30）×0.03+0.15+0.2＝0.5，解得x＝35，即中位数为35（2）（i）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60，70）的有2人，设为x，y则从中选取2人共有如下15个基本事件：（a，b），（a，c）（a，d），（a，x），（a，y），（b，c）（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，故所求概率为．（ii）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1﹣（18﹣10）×0.015＝0.88，故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．18．已知等差数列{a n}满足a n+2a n+1＝3n+5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和为S n．若∀n∈N*，S n＜﹣λ2+4λ（λ为偶数），求λ的值．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，因为a n+2a n+1＝3n+5，所以，即，解得a1＝2，d＝1，所以a n＝2+（n﹣1）×1＝n+1，所以数列{a n}的通项公式为：a n＝n+1；（2）由（1）得，＝＝﹣，所以S n＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝﹣＜．因为∀n∈N*，S n＜﹣λ2+4λ（λ为偶数），所以﹣λ2+4λ≥，即（λ﹣2）2≤，解得2﹣≤λ≤2+，又λ为偶数，所以λ＝2．19．已知a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，且5cos B cos C+2＝5sin B sin C+cos2A．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S＝，c＝，求sin B sin C的值．解：（1）由于5cos B cos C+2＝5sin B sin C+cos2A，整理得5cos（B+C）+2＝2cos2A﹣1,转换为2cos2A+5cos A﹣3＝0，解得，由于A∈(0,π)，所以A＝．（2）△ABC的面积S＝，故，所以bc＝6，由于c＝，所以b＝2，利用余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝12+3﹣6＝9，故a＝3．则，利用（2R）2sin C sin B＝6，解得sin B sin C＝．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB＝2AD＝2CD＝4，PC＝2a，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．∵AB＝4，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝2．∴AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC．又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC．∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，2，0），B（2，﹣2，0）．设P（0，0，2a）（a＞0），则E（1，﹣1，a），＝（2，2，0），＝（0，0，2a），＝（1，﹣1，a）．取＝（1，﹣1，0），则•＝•＝0，为面PAC的法向量．设＝（x，y，z）为面EAC的法向量，则•＝•＝0，即，取x＝a，y＝﹣a，z＝﹣2，则＝（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|＝＝＝，则a＝2．…于是n＝（2，﹣2，﹣2），＝（2，2，﹣4）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点P（2，3）．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C上存在两点M，N，使得PM的斜率与PN的斜率之和为﹣1，直线MN是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．解：（1）由题意可知，焦点为（±2，0），故2a＝+＝8，所以a2＝16，b2＝12，所以椭圆的方程为+＝1．（2）当直线MN的斜率存在时，设方程为y＝kx+m，代入椭圆的方程，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣48＝0，（*），设点M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝①，设直线PM的斜率与直线PN的斜率分别为k1，k2，根据y1＝kx1+m，y2＝kx2+m，则k1+k2＝+＝﹣1，所以（1+2k）x1x2+（m﹣2k﹣5）（x1+x2）+16﹣4m＝0，将①代入，整理化简得16k2+10km﹣24k+m2﹣3m＝0，即（2k+m﹣3）（8k+m）＝0，因为P（2，3）不在直线MN上，所以2k+m﹣3≠0，所以m＝﹣8k，要使（*）方程判别式大于0，需k∈（﹣，），于是直线MN的方程为y＝k（x﹣8），k∈（﹣，），所以直线过定点（8，0），当直线MN的斜率不存在时，可得M（x1，y1），N（x1，﹣y1），则由k1+k2＝+＝﹣1，解得x1＝8，不合题意，综上所述，直线MN过定点（8，0）．22．已知函数f（x）＝x2+ax﹣alnx．（1）若函数f（x）在[2，5]上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当a＝2时，若方程f（x）＝x2+2m有两个不等实数根x1，x2，求实数m的取值范围，并证明x1x2＜1．解：（1）∵f（x）＝x2+ax﹣alnx在[2，5]上单调递增∴f′（x）＝2x+a﹣≥0在[2，5]上恒成立∴在[2，5]上恒成立令g（x）＝＝﹣2[（x﹣1）++2]在[2，5]上单调递减∴g（5）≤g（x）≤g（2），即≤g（x）≤﹣8∴a≥﹣8（2）当a＝2时，f（x）＝x2+2x﹣2lnx＝x2+2m有两个不等实数根x1，x2，∴m＝x﹣lnx有两个不等实数根x1，x2，令h（x）＝x﹣lnx，x＞0则h′（x）＝1﹣＝，令h′（x）＞0可得x＞1，h（x）单调递增；令h′（x）＜0可得0＜x＜1，h（x）单调递减当x＝1时，函数取得极小值，也即是最小值h（1）＝1∴m＞1且0＜x1＜1＜x2∵x2﹣lnx2＝m＞1∴x2＞1+lnx2＞1，∴，∴x1﹣x2＝lnx1﹣lnx2，∵＝＝令F（x）＝，x∈（1，+∞），则F′（x）＝＝≥0，∴F（x）在（0，1）上单调递增，F（x）＜F（1）＝0即h（x1）＜h（）∴x1＜∴x1x2＜1．。

广西南宁市第三中学2020-2021学年高二数学下学期月考试题（三）理（含解析）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}|32,,|24A x x n n Z B x x ==+∈=-<<，则AB =（ ） A. ∅B. {}1,2-C. {}1-D. {}2 【答案】B【解析】【分析】先计算集合A ，再计算A B 得到答案.【详解】{}{}|32,=...,4,1,2,5,...A x x n n Z ==+∈--，{}|24B x x =-<<故{}1,2A B =-. 故选B【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题型. 2.若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 （ ）A. 1B. 0C. 1-D. 1-或1【答案】C【解析】解：因为22(1)(1)10x-10x=-1z x x i x =-+-∴-=≠且故有选C 3.10(2)x e x dx +⎰等于（ ）A. 1B. -1C. eD. 1e +【答案】C【解析】【分析】利用定积分的计算法则求解即可．【详解】解：12100(2)()|11x x e x dx e x e e +=+=+-=⎰.故选：C ．【点睛】本题考查定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．4.i 为虚数单位，复数21i z i =-在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由复数的除法运算可得1z i =-+，再结合复数在复平面内对应的点位于的象限求解即可. 【详解】解：由21i z i=-， 则2(1)1(1)(1)i i z i i i +==-+-+， 则复数21i z i=-在复平面内对应的点的坐标为()1,1-， 即复数21i z i =-在复平面内对应的点位于第二象限， 故选：B【点睛】本题考查了复数的除法运算，重点考查了复数在复平面内对应的点位于的象限，属基础题.5.已知函数3211()32f x x mx =-在区间 [1， 2] 上是增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A. 1mB. 2m ≤C. m 1≥D. 2m ≥ 【答案】A【解析】【分析】 根据函数3211()32f x x mx =-，求导()f x '，再根据()f x 在区间 [1， 2] 上是增函数，由()0f x '≥在区间 [1， 2] 上恒成立求解. 【详解】已知函数3211()32f x x mx =-， 所以2()f x x mx '=-，因为()f x 在区间 [1， 2] 上是增函数，所以2()0f x x mx '=-≥在区间 [1， 2] 上恒成立， 所以m x ≤在区间 [1， 2] 上恒成立，所以1m .故选：A【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( )A. 36B. 24C. 72D. 144【答案】C【解析】【分析】两位女生相邻，将其捆绑在一起，和另一位女生不相邻，采用插空法．【详解】根据题意，把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生， 插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，故有22232372A A A =种， 故选C ．【点睛】本题考查排列组合，需熟练掌握捆绑、插空法，属于基础题7.已知0122332222729n n n n n n n C C C C C ++++⋅⋅⋅+=，则123n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 63B. 64C. 31D. 32【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理展开式的逆运算即可求得n 的值,进而由二项式系数和求得123n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+的值.【详解】根据二项式定理展开式的逆运算可知()012233222212n n n n n n n nC C C C C ++++⋅⋅⋅+=+ 所以637293n ==所以6n =则12360622163n n n n n n C C C C C +++⋅⋅⋅+=-=-=故选:A【点睛】本题考查了二项式定理展开式的逆运用,二项式系数和的应用,属于基础题.8.函数()21sin 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】由()f x 的解析式可得函数()f x 为偶函数，以及函数值的符号情况，可排除不正确的选项，从而得到答案.【详解】()211sin sin 11x x x e f x x x e e -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，则()()()()111sin sin sin 111x x xx x xe e ef x x x x f x e e e ------=-=⋅-==+++，是偶函数，排除B 、D.当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e 1x >，sin 0x >，即()0f x <，排除A. 故选:C.【点睛】本题考查函数的奇偶性，根据函数解析式分析函数图像，属于中档题.9.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如图的“0-1三角”.在“01-三角”中，从第1行起，设第n ()n N +∈次出现全行为1时，1的个数为n a ，则4a 等于（ ）A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】D【解析】【分析】 根据杨辉三角的性质，结合题意，当到第15行时，即可得出4a .【详解】第1行和第3行全是1，即122,4a a ==依题意，第6行原来的数是6,0,1,2,,6r C r =，而166C =为偶数，不合题意； 第7行原来的数是7,0,1,2,,7r C r =，即1,7,21,35,35,21,7,1全为奇数，一共有8个，即38a =第8行原来的数是8,0,1,2,,8r C r =，而188C =为偶数，不合题意； 第9行原来的数是9,0,1,2,,9r C r =，而2936C =为偶数，不合题意； 第10行原来的数是10,0,1,2,,10r C r =，而11010C =为偶数，不合题意； 第11行原来的数是11,0,1,2,,11r C r =，而411330C =为偶数，不合题意； 第12行原来的数是12,0,1,2,,12r C r =，而11212C =为偶数，不合题意；第13行原来的数是13,0,1,2,,13r C r =，而21378C =为偶数，不合题意； 第14行原来的数是14,0,1,2,,14r C r =，而11414C =为偶数，不合题意； 第15行原来的数是15,0,1,2,,15r C r =即1,15,105,455,1365,3003,5005,6435,6435,5005,3003,1365,455,105,15,1，全为奇数，即416a =故选：D【点睛】本题主要考查了杨辉三角性质的应用，属于中档题.10.椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 交于A ，B 两点，F 1A 与y 轴相交于点D ，若BD ⊥F 1A ，则椭圆C 的离心率等于（ ） A. 13 3 C. 12 3 【答案】D【解析】【分析】由题意可得A ，B 的坐标，且知点D 为1F A 的中点，再由1BD F A ⊥，利用斜率之积等于1-列式求解． 【详解】由题意可得，2(,)b A c a ，2(,)b B c a-， 则点D 为1F A 的中点，2(0,)2b D a∴， 由1BD F A ⊥，得11BD F A k k =-， 即222212b b b a a a c c--=-232b ac =， ∴223()2a c ac -=，23+230e e =解得33e =．故选D ．【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，考查两直线垂直与斜率的关系，是中档题．11.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD （边长为2个单位）的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为(1,2,,6)i i =⋅⋅⋅，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有（ ）A. 22种B. 24种C. 25种D. 27种【答案】D【解析】 分析：抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的表示三次骰子的点数之和是8,16，列举出在点数中三个数字能够使得和为8,16的125;134;116;224;233;466;556，共有7种组合，利用分类计数原理能得到结果.详解：由题意知正方形ABCD （边长为2个单位）的周长是8，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的表示三次骰子的点数之和是8,16，列举出在点数中三个数字能够使得和为8,16的有125;134;116;224;233;466;556， 共有7种组合，前2种组合125;134，每种情况可以排列出336A =种结果，共有3322612A =⨯=种结果；116;224;233;466;556各有3种结果，共有5315⨯=种结果，根据分类计数原理知共有121527+=种结果，故选D.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.12.已知函数2,0()115,024x x f x a x x ⎧>⎪=⎨+-≤⎪⎩，函数2()g x x =，若函数()()y f x g x =-有4个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. (5,)+∞B. 155,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 195,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 150,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】()()y f x g x =-有4个零点，即为函数(),()f x g x 有四个交点，根据条件，只需0x ≤时，(),()f x g x 有两个交点，若0,0a x ≤≤，15()4f x ≤-，两函数没有交点，所以0a >，先讨论函数(),()f xg x 在1(,)2-∞-的有两交点时a 满足的条件，结合(),()f x g x 图象特征，再考虑(),()f x g x 在1(,0)2-有交点时a 的范围，综合对比，即可求出结论.【详解】当0x >时，()2x f x =与2()g x x =有两个交点(2,4),(4,16)， 函数()()y f x g x =-有两个零点.要使()()y f x g x =-有4个零点，则当0x ≤时，115()24f x a x =+-与2()g x x =有两个交点即可， 若0,0a x ≤≤，15()4f x ≤-，两函数没有交点，所以0a >， 画出(),()f xg x 图象，如下图所示，当0a >，若(),()f x g x 在1(,)2-∞-有两交点， 即直线11524y ax a=---与2y x 在1(,)2-∞-有两交点， 化为2115024x ax a +++=在1(,)2-∞-有两个解， 设2115()24h x x ax a =+++，需201221154()0241()402a a a a h >⎧⎪⎪-<-⎪⎪⎨∆=-+>⎪⎪⎪-=>⎪⎩， 解得5a >或3a <-（舍去），若10,(),()2x f x g x -<<有交点， 则1151500,242a a ⋅+-≥≥， 要使(),()f x g x 在(,0)-∞只有两交点，则1552a <<. 故选：B【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数的交点问题，利用数形结合作出两个函数的图象是解题的关键，属于较难题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在231()x x -的展开式中，各项的系数之和是_______.【答案】0【解析】【分析】采用赋值法令1x =即可得结果. 【详解】在321x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，令1x =，则各项的系数之和为()3110-=， 故答案为：0.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，采用赋值法是解题的关键，属于基础题.14.在12n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x 的系数为_______.【答案】448【解析】【分析】根据第3项与第7项的二项式系数相等可求出8n =，利用展开式的通项公式可求出含21x的项，计算该项系数即可. 【详解】由12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等， 则26n n C C =，即268n =+=， 则812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为88821881(2)()2r r r r r r r T C x C x x ---+==， 令822r -=-，则=5r ， 则该展开式中21x的系数为85582448C -= 故答案为：448【点睛】本题主要考查了二项式定理，二项式系数，二项展开式的通项公式，考查了运算能力，属于中档题．15.某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5个消防队分配到这3个演习点，若每个演习点至少安排1个消防队，则不同的分配方案种数为_______. 【答案】150 【解析】 【分析】根据5个消防队分配到3个演习点，且每个演习点至少安排1个消防队，可有1,1,3，1,2,2两类分组方法，先求得各分组的种数，然后再分配. 【详解】由题意得，把5个消防队分成三组，可分1,1,3，1,2,2两类方法，当分为1,1,3时，共有1135432210C C C A =种不同的分组方法； 当分为1,2,2时，共有1225422215C C C A =种不同的分组方法； 所以分配到三个演习点，共有33(1015)150A +⨯=种不同的分配方案，故答案为：150【点睛】本题主要考查排列组合中的分组分配问题，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题. 16.已知函数()13ln 144f x x x x=-+-，()224g x x bx =-+，若对任意()10,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥，则实数b 的取值范围是________. 【答案】【解析】 试题分析：函数的导函数22113(1)(3)()444x x f x x x x'--=--=,()0f x '>，若()0f x '>,,为增函数;若()0f x '<,或,为减函数；在上有极值,在处取极小值也是最小值；,对称轴,,当时,在处取最小值；当时,在处取最小值；当时,在上是减函数,；对任意,存在,使,只要的最小值大于等于的最小值即可,当时,,计算得出,故无解;当时,,计算得出,综上:,因此，本题正确答案是:.考点：函数最值问题.【方法点晴】本题主要考查函数导数与不等式，恒成立问题.解决本题的关键是根据题意对任意,存在,使转化为求的最小值大于等于的最小值即可. 类似地这种问题还有存在,存在,使，则转化为求的最大值大于等于的最小值.解决这种问题一定要正确转化.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.） 17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11433n n S a +=-，14a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）4nn a = （2）4(1)nnT n =+【解析】 【分析】（1）由题知，由11433n n S a +=-,在当2n ≥时，得11433n n S a -=-，两式相减可得， 14n n a a +=，可得数列的通项;（2）由(1)得出n b 的通项，运用裂项求和法可求得数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【详解】（1）由题知，当2n ≥时，11433n n S a -=-，又11433n n S a +=-， 两式相减可得11133n n n a a a +=-，即14n n a a +=， 当1n =时，可得214433a =-，解得216a =，则()42,nn a n n N =≥∈，当1n =时，满足4nn a =，数列{}n a 的通项公式为4nn a =，n *∈N .（2）22log log 42nn n b a n ===，11111122(1)41n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪⨯++⎝⎭， 111111111142231414(1)n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查数列中由数列的前n 的和得出数列的通项,和运用裂项求和法求数列的和,在求得数列的通项时,注意验证1n =的情况,属于中档题.18.在ABC 中，设内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，(cos 2)m A =，(2,sin )n A =-，且5m n +=.（1）求角A 的大小； （2）若42b =2c a =，求ABC 的面积.【答案】（1）4π；（2）16. 【解析】 【分析】（1）由向量的知识化简5m n +=可得54sin()54A π+-=，进而可得出角A 的大小；（2）先由余弦定理计算得出c 的值，然后利用三角形面积公式计算ABC 的面积即可. 【详解】（1）()cos 2,2sin m n A A +=，所以：222(cos 2)(2sin )m n A A +=+522(sin cos )54sin()4A A A π=+-=+-，54sin()54A π∴+-=，sin()04A π∴-=，又因为(0,)A π∈，故04A π-=，∴4A π=；（2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 即222(42)(2)2422cos4a a a π=+-⨯⨯，解得42a =，∴8c =，∴124281622ABC S =⨯⨯⨯=△. 【点睛】本题考查平面向量和解三角形的综合运用，考查余弦定理，考查三角形面积公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.19.如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，4AB =，60DAB ∠=︒，AP PD ⊥，23AP =，4BP =，M 为AD 的中点.（1）求证：平面BPM ⊥平面APD ；（2）若点N 在线段BC 上，当直线PN 与平面PMC 6时，求线段BN 的长.【答案】(1)见解析.(2)2. 【解析】 【分析】（1）先证明BM ⊥面APD ，再证明平面BPM ⊥平面APD ；（2）以点M 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求出cos ,m PN <>=68=，解方程即得解.【详解】(1)证明：由题意易得BM AD ⊥，且23BM =， 在Rt APD ∆中，224(23)2PD =-=，∴60PDA ∠=︒，∴2PM =， 在PMB ∆中，222PM BM BP +=， ∴PM MB ⊥，又ADPM M =，∴BM ⊥面APD ，又∴BM ⊂面BPM ， ∴平面BPM ⊥平面APD .（2）由（1）可知BM ⊥面APD ，所以以点M 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0M ，()0,1,3P ，()23,4,0C ， 设平面PMC 的一个法向量为(,,)m x y z =，由30002340y z m MP m MC x y ⎧⎧+=⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎩⎩，则令2x =，3y =-，1z =，所以(2,3,1)m =-， ∴2433(1)3cos ,43112(1)3a m PN a ---<>=+++-+6=， 解得2a =或8a =（舍），故BN=2.【点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明，考查线面角的求法和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 20.已知函数21()2ln ()a f x x a x a R x-=--∈. （1）若函数()f x 在2x =时取得极值，求实数a 的值；（2）若()0f x ≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)32a =；(2)1a ≤ 【解析】试题分析：（1）由()2212'1a a f x x x -+-＝，依题意有：()'20f = ，即21104a a -+-＝ ，通过检验满足在2x = 时取得极值． （2）依题意有：()min 0f x ≥ 从而()()()()22222112212121x a x x ax a a a f x x x x x⎡⎤----+--⎣⎦=+-==' ，令()0f x '=，得：121x a =-，21x =，通过讨论①211a -≤ 和②211a ->，进而求出a 的取值范围.试题解析：（1）()22121a af x x x--'=+， 依题意有()20f '=，即21104a a -+-=，解得32a =. 检验：当32a =时，()()()22221223321x x x x f x x x x x ---+='=+-=. 此时，函数()f x 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，满足在2x =时取得极值. 综上可知32a =. （2）依题意可得：()0f x ≥对任意[)1,x ∈+∞恒成立等价转化为()min 0f x ≥在[)1,x ∈+∞上恒成立.因为()()()()22222112212121x a x x ax a a a f x x x x x ⎡⎤----+--⎣⎦=+-=='， 令()0f x '=得：121x a =-，21x =.①当211a -≤，即1a ≤时，函数()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，则()f x 在[)1,+∞上单调递增，于是()()min 1220f x f a ==-≥，解得1a ≤，此时1a ≤；②当211a ->，即1a >时，[)1,21x a ∈-时，()0f x '≤；()21,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在[)1,21a -上单调递减，在()21,a -+∞上单调递增， 于是()()()min 211220f x f a f a =-<=-<，不合题意，此时a ∈∅. 综上所述，实数a 的取值范围是(],1-∞.【方法点睛】对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数()f x ，利用()f x m >恒成立min ()f x m ⇔>；()f x m <恒成立max ()f x m ⇔<，即可求出参数范围.21.如图，已知椭圆22142x y +=，点A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，点P 是直线:4l x =-上的一个动点（与x 轴交点除外），直线PA 交椭圆于另一点M .（1）记直线BP 、BM 的斜率分别为1k 、2k ，求证：122k k 为定值； （2）求PB PM ⋅的最小值.【答案】（1）见解析；（2）1014+. 【解析】 【分析】（1）先根据题意写出,A B 的坐标分别为(2,0),(2,0)-，设出点M 的坐标为00(,)x y ，得到直线AM 的方程为00(2)2y y x x =++，令4x =-，得到P 的坐标为002(4,)2y x --+，从而得到12212k k =-为定值； （2）由（1）知，0000002(4)(6,),(4,)22y x y PB PM x x x +==+++，则PB PM ⋅=0000(4)(2)6(4)2x x x x +-=+++，022x -<<，令02(04)t x t =+<<，(2)(4)886(2)514514t t PB PM t t t t t t+-⋅=++=++≥⨯41014=，求得结果.【详解】（1）由题意知,A B 的坐标分别为(2,0),(2,0)-，设点M 的坐标为00(,)x y ，有2200142x y +=，可得22001(4)2y x =-，则直线AM 的方程为00(2)2y y x x =++， 令4x =-，得0022y y x =-+，则点P 的坐标为02(4,)2y x --+， 由000102263(2)y x y k x +==+，0202y k x =-， 有22001222001(4)123(4)3(4)6x y k k x x -===---， 则12212k k =-为定值； （2）由（1）知，0000002(4)(6,),(4,)22y x y PB PM x x x +==+++， 则22000000220012(4)(4)2(4)26(4)6(4)(2)(2)x x x y PB PM x x x x +⨯-+⋅=++=++++ 0000(4)(2)6(4)2x x x x +-=+++，由题意知，022x -<<，令02(04)t x t =+<<，则2(2)(4)28886(2)612514514t t t t PB PM t t t t t t t t +--++⋅=++=++=++≥⨯41014=（当且仅当85t t =，即210t =，此时02102x =-. 【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有椭圆的几何性质，两点斜率坐标公式，向量数量积坐标公式，基本不等式求最值，属于较难题目.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为8,242x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若射线4πθ=（0ρ>）与直线l 和曲线C 分别交于A ，B 两点，求AB 的值.【答案】（1）40x y +-=（0x ≠），2220x y y +-=；（22. 【解析】 【分析】（1）将直线l 的参数方程消参，即可得直线l 的普通方程，要注意0x ≠；将曲线C 的极坐标方程两边同乘ρ，再将sin y ρθ=，222x y ρ+=代入，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）先将直线l 的直角坐标方程化为极坐标方程，再将4πθ=（0ρ>）代入直线l 和曲线C 的极坐标方程中，可得点A ，B 对应的极径，利用||A B AB ρρ=-计算，即可求解.【详解】（1）由82x t=+得0x ≠， 将8,242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）消去参数t ，得直线l 的普通方程为40x y +-=（0x ≠）. 由2sin ρθ=得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，得2220x y y +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=. （2）由（1）可知直线l的普通方程为40x y +-=（0x ≠），化为极坐标方程得cos sin 40ρθρθ+-=（2πθ≠），当4πθ=（0ρ>）时，设A ，B 两点的极坐标分别为,4A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，,4B πρ⎛⎫⎪⎝⎭， 则22A ρ=2sin24B πρ==所以|||2222A B AB ρρ=-==【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化及参数的几何意义，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于常考题. 23.[选修4-5：不等式选讲]已知实数正数x , y 满足1x y +=．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)1[,1)6.(2)见解析. 【解析】 【分析】（1）利用零点分段法即可求解.（2）利用“1”的转换，以及基本不等式即可证明. 【详解】（1）1,0,0x y x y +=>>且0152522212x x y x y x x <<⎧⎪∴++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩精品 Word 可修改 欢迎下载 010*********22x x x x x x x <<⎧<<⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎛⎫-+≤-≤+-≤+ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩ 解得116x ≤<，所以不等式的解集为1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2）解法1： 1,x y +=且0,0x y >>，()()222222221111x y x x y y x y x y +-+-⎛⎫⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222xy y xy x x y ++=⋅ 222222y y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 225x y y x =++ 22259x y y x ≥⋅=. 当且仅当12x y ==时，等号成立. 解法2： 1,x y +=且0,0x y >>，222222111111x y x y x y ⎛⎫--⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()221111x x y y x y +-+-=⋅ ()()2211x y y xx y ++=⋅ 1x y xy xy+++= 21xy =+ 22192x y ≥+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当且仅当12x y ==时，等号成立. 【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题.对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法.而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式.。

广西壮族自治区南宁市市第三中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 有A,B两种类型的车床各一台，现有甲，乙，丙三名工人，其中甲乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现要从三名工人中选2名分别去操作以上车床，不同的选法有（）A.6种B.5种C.4种D.3种参考答案：C2. 已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则=（）A．2 B. 4 C.6 D. 8参考答案：B略3. 已知全集为R，集合，，则集合A．B．C．D．参考答案：C4. 设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3参考答案：A 5. 下列句子或式子中是命题的个数是（）（1）语文与数学；（2）把门关上；（3）；（4）；（5）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（6）一个数不是合数就是素数；A．1 B．3 C．5 D．2参考答案：A略6. 统计甲、乙两支足球队在一年内比赛的结果如下：甲队平均每场比赛丢失个球, 全年比赛丢失球的个数的标准差为; 乙队平均每场比赛丢失个球, 全年比赛丢失球的个数的方差为.据此分析：①甲队防守技术较乙队好; ②甲队技术发挥不稳定;③乙队几乎场场失球; ④乙队防守技术的发挥比较稳定.其中正确判断的个数是（）A.4B.3C.2D.1参考答案：A7. 某种产品的加工需要经过5道工序，其中有2道工序既不能放在最前面，也不能放在最后面，则这种产品的加工排列顺序的方法数为（）A. 72B. 36C. 24D. 12参考答案：B【分析】先放置有条件的2道工序，有6种，再将剩余的3道工序，有6种最后由分步计数原理，即可求解，得到答案.【详解】由题意，某种产品的加工需要经过5道工序，其中有2道工序既不能放在最前面，也不能放在最后面，其中这2道工序，共有种不同的方法，剩余的3道工序，共有种不同的方法，由分步计数原理，可得这种产品的加工排列顺序的方法数为种，故选B.【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解中认真审题，合理利用排列组合和分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8. 在中，分别是所对边的边长，若，则的值是（）A．1 B．C．D．2参考答案：B考点：两角和与差的三角函数试题解析：因为所以即)又因为、都是的内角是直角是等腰直角三角形。

2019-2020学年广西壮族自治区南宁市第三中学高二12月月考数学（理）试题一、单选题 1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】依题意得：，所以，故，故选C.2．若双曲线()222213x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于( )A ．2B 3C ．32D ．1【答案】D【解析】由222231323x y c a b e a a 可知虚轴，而离心率+-=====，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D.3．若实数x ，y 满足2211y x y x y x ≥-⎧⎪≥-+⎨⎪≤+⎩，则3z x y =-的最大值是A ．2-B ．1-C ．5D ．3【答案】C【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点()3,4处取得最大值为5.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1 B．13C．12D．32【答案】B【解析】由三视图确定几何体的直观图，根据棱锥的体积公式求解即可.【详解】根据三视图得到的几何体如上图所示，该几何体是四棱锥，底面积111S=⨯=，高1h=，四棱锥的体积11111333V Sh==⨯⨯=，故选：B．【点睛】本题主要考查了已知三视图求几何体的体积，属于基础题. 5．“x a >”是“x a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项. 【详解】当“x a >”时，如1,1x a ==-，x a =，故不能推出“x a >” .当“x a >”时，必然有“x a >”.故“x a >”是“x a >”的必要不充分条件. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查含有绝对值的不等式，属于基础题.6．已知22log 3a =，4logb π=，0.6c =a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b c a >> B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【解析】采用“0,1”分段法，找到小于0、在0~1之间和大于1的数，由此判断出三者的大小关系. 【详解】因为010.6c >=，401log 4b <<=，0a <，所以c b a >>.故选B. 【点睛】本题考查指数与对数值的大小比较，考查运算求解能力，属于基础题.7．某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 815 人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ） A ．不全相等 B ．均不相等 C ．都相等，且为6163D ．都相等，且为127【答案】C【解析】抽样要保证机会均等，由此得出正确选项. 【详解】抽样要保证机会均等，故从815名学生中抽取30名，概率为306815163=，故选C. 【点睛】本小题主要考查简单随机抽样、系统抽样等抽样方法的概念，属于基础题.8．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[],x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是关联函数，[],a b 称为关联区间，若()234f x x x =-+与()2g x x m =+在[]0,3上是关联函数，则m 的取值范围是（ ） A ．9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．(],2-∞-D ．[]1,0-【答案】B【解析】根据题意，得到()254h x x x m =-+-在[]0,3上有两个不同的零点，故有()()0030502h h h ⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎪⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩，由此求得m 的取值范围. 【详解】∵()234f x x x =-+与()2g x x m =+在[]0,3上是“关联函数”，故函数()()()254y h x f x g x x x m ==-=-+-在[]0,3上有两个不同的零点， 故有()()0030502h h h ⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎪⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩∴402025254042m m m ⎧⎪-≥⎪--≥⎨⎪⎪-+-<⎩∴924m -<≤- 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，属于中档题.9．已知数列{}n a 满足11a =，*12()n n n a a n N +⋅=∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）A ．201820182a =B ．10092018323S =⋅- C ．数列21{}n a -是等差数列D ．数列{}n a 是等比数列【解析】分析：由11a =，()*12n n n a a n N +⋅=∈可知数列{}n a 隔项成等比，再结合等比的有关性质即可作出判断.详解：数列{}n a 满足11a =，()*12n n n a a n N +⋅=∈， 当n 2≥时，112n n n a a --⋅=两式作商可得：112n n a a +-=， ∴数列{}n a 的奇数项135a a a L ，，，，成等比， 偶数项246a a a L ，，，，成等比， 对于A 来说，20181100810092201822222aa -=⨯=⨯=，错误；对于B 来说，()()2018132017242018S a a a a a a L L =+++++++()()1009100910091122123231212⨯-⨯-=+=⋅---，正确；对于C 来说，数列{}21n a -是等比数列 ，错误； 对于D 来说，数列{}n a 不是等比数列，错误， 故选：B点睛：本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是隔项成等比数列的方法，注意偶数项的首项与原数列首项的关系.10．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A．6+B．6+C ．8D ．6【答案】C【解析】由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简2133e e +，结合基本不等式即可求解.设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a '，半焦距为c ， 则1ce a=，2c e a ='，设2PF m =由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：1222m PF PF a a c +=⇒=+，2122mPF PF a a c ''-=⇒=- 则2133e e +33322633322m m c c a c c c m m c a c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=++'⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭68≥+=当且仅当73a c =时，取等号. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.11．设棱锥M ABCD -的底面是正方形，且,MA MD MA AB =⊥,AMD △的面积为1，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为 A．2 B1C．12-D．13-【答案】B【解析】设球O 是与平面MAD 、平面AC 、平面MBC 都相切的球，然后找出球心所在的三角形，设AD EF a ==，求出内切圆半径然后利用基本不等式即可求出最大值． 【详解】解：AB AD ⊥Q ，AB MA ⊥，AB ∴⊥平面MAD ，由此，面MAD ⊥面ABCD ． 记E 是AD 的中点，从而ME AD ⊥．ME ∴⊥平面ABCD ，ME EF ⊥．设球O 是与平面MAD 、平面ABCD 、平面MBC 都相切的球． 不妨设O ∈平面MEF ，于是O 是MEF V 的内心．设球O 的半径为r ，则2MEFS r EF EM MF=++V设AD EF a ==，1AMD S =V Q所以2ME a ∴=，222MF a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以222122222r a a a a =≤=-+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭.当且仅当2a a=，即2a =时，等号成立. ∴当2AD ME ==时，满足条件的最大半径为21-.【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系，属于中档题．12．定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：由已知条件知函数为奇函数且在上为减函数,由有,所以，,若以为横坐标,为纵坐标,建立平面直角坐标系,如图所示,阴影部分为不等式表示的平面区域,即及其内部,,令,则,求出,所以,解得,∴的取值范围是,选D.【考点】1.函数的基本性质；2.线性规划.【方法点睛】本题主要考查了函数的性质:单调性和奇偶性,以及线性规划的相关知识,属于中档题. 利用已知条件得出函数是上的减函数,由函数的图象关于成中心对称，根据图象的平移,得出的图象关于原点成中心对称,所以为奇函数,解不等式,得出,画出不等式组表示的平面区域,,则,通过图形求关于的一次函数的斜率得出的范围,从而求出的范围.二、填空题13．已知x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，则yx的最大值为__________3【解析】求出圆的圆心坐标，圆的半径，利用圆心到直线的距离等于半径求出k的值即可．【详解】x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，圆的圆心（2，0），半径为1，设ykx=，即kx﹣y＝0，要求x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，yx的最大值，2211kk=+，解得k3=yx3故答案为3． 【点睛】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查了表达式yx的几何意义，考查计算能力． 14．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为__★__ 【答案】【解析】根据椭圆的标准方程及焦点在轴上，可得k 的不等式组，解不等式组即可得k 的取值范围。

2020-2021学年广西南宁三中高二(上)月考数学试卷(文科)(三)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={(x,y)|y=x}，B={(x,y)|x2+y2=1}，则A∩B中元素的个数是()A. 3B. 2C. 1D. 02.已知椭圆的长轴长为8，离心率为34，则此椭圆的标准方程是()A. x216+y29=1 B. x216+y27=1或x27+y216=1C. x216+y225=1 D. x216+y225=1或x225+y216=13.“φ=0”是“函数f(x)=sin(x+φ)为奇函数”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是()A. 至少有一个红球与都是红球B. 至少有一个红球与都是白球C. 至少有一个红球与至少有个白球D. 恰有一个红球与恰有两个红球5.若曲线x21−k +y21+k=1表示椭圆，则k的取值范围是()A. k>1B.C. D. 或0<k<16.设F1，F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△F1PF2的面积等于()A. 5B. 4C. 3D. 17.某种饮料每箱装5听，其中有3听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是()A. 310B. 710C. 25D. 358.在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆y24+x23=1上的一个动点，点A(1,1)，B(0,−1)，则|PA|+|PB|的最大值为()A. 2B. 3C. 4D. 59. 在△ABC 内任取一点P ，设S △PBC 、S △ABC 分别表示△PBC 、△ABC 的面积，则S △PBCS△ABC>12的概率是( )A. 12B. 13C. 14D. 2310. 若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A. 2B. 4C. 6D. 811. 过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a > b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为( )A. 13B. 12C. √52D. √3312. 直线y =kx +2和椭圆x 23+y 22=1有交点，则k 的取值范围是( )A. k >√63或k <−√63B. k ≥√63或k ≤−√63 C. −√63<k <√63D. −√63≤k ≤√63二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 圆心为M 的动圆M 过点(1,0)，且与直线x =−1相切，则圆心M 的轨迹方程为______ ． 14. 如表是降耗技术改造后生产某产品过程中记录产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=0.7x ̂+0.35，那么表中m 的值为________． x 34 5 6y2.5m44.515. 已知直线与椭圆x 29+y 24=1交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为P ，若直线的斜率为k 1，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于______ ． 16. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其右焦点，若，设，且α∈[π12,π4]，则椭圆离心率的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班7名学生的平均分是85，乙班7名学生成绩的中位数是83．⑴求实数x、y的值；⑴求高三年级甲班7名学生的成绩的方差；⑴从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．18.在△ABC中，sin2B+sin2A=sinAsinB+sin2C(1)求角C的大小(2)求sinA⋅sinB的最大值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n−2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n log2a n+1求数列{b n}的前n项和T n．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，∠DAB=60∘，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E，F分别为AB，PD的中点．(1)求证：AF//平面PEC；(2)求点D到平面PEC的距离．22.已知椭圆y2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，且该椭圆的短轴长为2√3．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过点F2的直线l与椭圆交于M、N两点，求△F1MN面积的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：解{y =xx 2+y 2=1得，{x =−√22y =−√22，或{x =√22y =√22； ∴A ∩B ={(−√22,−√22),(√22,√22)}，有两个元素． 故选：B ．解方程组{y =xx 2+y 2=1即可得出A ∩B ，从而得出A ∩B 的元素个数．考查描述法、列举法的定义，以及集合元素的概念．2.答案：B解析：本题给出椭圆的长轴与离心率，求椭圆的标准方程．考查了椭圆的标准方程与基本概念等知识，属于基础题．根据椭圆的基本概念，结合题意算出a =4且c =3，从而得到b 2=a 2−c 2=7.再根据椭圆的焦点位置，即可确定此椭圆的标准方程． 解：∵椭圆的长轴为8，离心率是34，∴2a =8，e =ca =34，解得a =4，c =3，b 2=a 2−c 2=7， 因此，当椭圆的焦点在x 轴上时，其方程为x 216+y 27=1；椭圆的焦点在y 轴上时，其方程为x 27+y 216=1．故选B ．3.答案：A解析：解：若φ=0，则f(x)=sin(x +φ)=sinx ，为奇函数，所以成立． 若f(x)=sin(x +φ)为奇函数，则φ=kπ．所以“φ=0”是“函数f(x)=sin(x +φ)为奇函数”的充分不必要条件．结合三角函数的奇偶性性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．4.答案：D解析：解：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，在A中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，至少有一个红球与都是白球是对立事件，故B错误；在C中，至少有一个红球与至少有个白球能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，恰有一个红球与恰有两个红球不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立事件，故D正确．故选：D．利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．本题考查互斥而不对立事件的判断，考查对立事件、互斥事件等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方思想，是基础题．5.答案：D解析：本题考查了椭圆的概念及标准方程，属于基础题．由曲线x21−k +y21+k=1表示椭圆，可得{1−k>01+k>01−k≠1+k，解出即可得出答案．解：∵曲线x21−k +y21+k=1表示椭圆，∴{1−k>01+k>01−k≠1+k,解得−1<k<1，且k≠0，即k的取值范围是(−1,0)∪(0,1)．故选D．解析：本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆的定义与其标准方程，属于基础题．根据椭圆的定义，及已知条件，可判断△PF1F2为直角三角形．解：由椭圆方程，得a=3，b=2，c=√5，∴|PF1|+|PF2|=2a=6，又|PF1|∶|PF2|=2∶1，∴|PF1|=4，|PF2|=2，由22+42=(2√5)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为12|PF1|·|PF2|=12×4×2=4．故选B．7.答案：B解析：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是从5饮料中抽3听，共有C53=10种结果，满足条件的事件是检测出至少有一听不合格饮料，共有C21C31+C22=7，∴检测出至少有一听不合格饮料的概率是710，故选B．本题是一个等可能事件的概率，根据古典概型概率公式得到结果．本题考查等可能事件的概率，考查对于至少或至多这种数学用语的理解，可以用对立事件来解决，本题是一个为典型的概率问题，是一个基础题．8.答案：D解析：本题给出椭圆内部一点A，求椭圆上动点P与A点和一个焦点B的距离和的最大值，着重考查了椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B(0,−1)和B′(0,1).因此连接PB′、AB′，根据椭圆的定义得|PA|+|PB|=|PA|+(2a−|PB′|)=4+(|PA|−|PB′|).再由三角形两边之差小于第三边，得到当且。

南宁三中2020~2021学年度下学期高二月考（三）文科数学试题一、选择题。

（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．复数i(2－i)＝( ) A ．－1－2i B ．1＋2i C ．－1＋2i D ． 1－2i 2．已知a <b<0，下列不等式中成立的是( )A ．a 2<b 2B ．ab<1C ．a <4－bD ．11a b< 3．下图是函数性质的知识结构图，在处应填入( ) A ．图象变换 B ．零点 C ．奇偶性 D ．解析式 4．极坐标系中，点(2,)6π到极轴和极点的距离分别为( )A ．1,1B ．2,1C ．1,2D ．2,25．用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是( ) A ．假设a 、b 、c 都是偶数 B ．假设a 、b 、c 都不是偶数 C ．假设a 、b 、c 中至多有一个是偶数 D ．假设a 、b 、c 中至多有两个偶数 6．已知两个随机变量,x y 呈非线性相关关系，为了进行线性回归分析，设22ln ,(23)u y v x ==-，利用最小二乘法，得到线性回归方程为123u v =-+，则（ ） A ．变量y 的估计值的最大值为eB ．变量y 的估计值的最小值为eC ．变量y 的估计值的最大值为2eD ．变量y 的估计值的最小值为2e7．执行如图所示的程序框图．如果输入n ＝3，则输出的S ＝( )A ．67B ．37C ．89D ．498．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(2，2)，a·b ＝85，则cos 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( )A ．－35B ．－45C ．35D ．459．在△ABC 中，若b ＝22，c ＝1，tan B ＝22，则a 的值为A ．4B ． 73C ．2D ．310．已知三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( ) A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π611．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．4812．已知函数f (x )的定义域为[－3，＋∞)，且f (6)＝2．()f x '为f (x )的导函数，()f x '的图象如图所示．若正数a ，b 满足f (2a ＋3b )<2，则b ＋3a －2的取值范围是( )A ．()3,3,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B ．9,32⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．()9,3,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卷相应位置上） 13．若全集U ＝{x ∈R |x 2≤4}，则集合A ＝{x ∈R ||x ＋1|≤1}的补集∁U A 为________． 14．已知x ＞0，则xx 2＋4的最大值为________．15．已知公比为2的等比数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＋a 11＋a 14＋a 17＋a 20＝13，则该数列前21项的和S 21＝________． 16．对于函数2()2cos 2sin cos 1()f x x x x x R =+-∈给出下列命题：①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 在区间5,28ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数； ③直线8x π=是()f x 的图象的一条对称轴；④()f x 的图象可以由函数22y x =的图象向左平移4π而得到． 其中正确命题的序号是 （把你认为正确的都填上）．三、解答题（本大题共6小题，共70分。

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南宁三中2017~2018学年度下学期高二月考（一）理科数学试题2018.3一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；每小题仅有一个答案是正确的，请选出正确答案。

）1．下列不等式中错误的是( ） A ．若a b >，则b a < B ．若,a b b c >>，则a c >C ．若a b >，则a c b c +>+D ．若a b >,则ac bc >2．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若132,12a S ==，则6a =（ ）A ．8B ．10C ．14D ．123．命题“000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是（ ） A ．(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠- B ．(0,),ln 1x x x ∀∉+∞=-C ．000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞≠-D ．000(0,),ln 1x x x ∃∉+∞=-4．若12z i =+，则41iz z =⋅-（ )A ．1B ．1-C ．iD ．i -5．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）A ．B ．C ．2D ．46．甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话： 甲说：“如果我中奖了，那么乙也中奖了。