贵州省贵阳市普通高中2017-2018学年高三上学期8月摸底数学试卷(理科) Word版含解析

贵州省贵阳市2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∪B）=( )A．{2} B．{3} C．{1，2，4} D．{1，4}2．已知为虚数单位，复数z=i（2﹣i），则|z|=( )A．B．C．1 D．33．对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心4．下列正确的是( )A．∂x0∈R，x02+2x0+3=0B．∀x∈N，x3＞x2C．x＞1是x2＞1的充分不必要条件D．若a＞b，则a2＞b25．已知sin2α=，则cos2（）=( )A．B．C．D．6．若等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=4，S4=10则数列{}的前2015项和为( ) A．B．C．D．7．航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A．12种B．16种C．24种D．36种8．如图三棱锥V﹣ABC，V A⊥VC，AB⊥BC，∠V AC=∠ACB=30°，若侧面V AC⊥底面ABC，则其主视图与左视图面积之比为( )A．4：B．4：C．：D．：9．已知函数：f（x）=x2+bx+c，其中：0≤b≤4，0≤c≤4，记函数f（x）满足条件：的事件为A，则事件A发生的概率为( )A．B．C．D．10．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项式( )A．﹣20 B．﹣540 C．20 D．54011．已知抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=( ) A．B．C．D．12．对于任意实数a，b，定义min{a，b}=，定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣4）=f（x），且当0≤x≤2时，f（x）=min{2x﹣1，2﹣x}，若方程f（x）﹣mx=0恰有4个零点，则m的取值范围是( )A．（﹣，）B．（﹣，）C．（，）D．（﹣.）∪（，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若点（a，25）在函数y=5x的图象上，则tan的值为__________．14．若正项数列{a n}满足a2=，a6=，且=（n≥2，n∈N），则log2a4=__________．15．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为__________．16．如图，已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E、F 分别为AB、AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的最大值是__________．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．18．甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A、B、C、D、E五所高校中，任选2所高校参加自主招生考试（并且只能选2所高校），但同学甲特别喜欢A高校，他除选A校外，在B、C、D、E中再随机选1所；同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所即可．（Ⅰ）求甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率；（Ⅱ）记X为甲、乙、丙三名同学中未参加E校自主招生考试的人数，求X的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且=λ（0≤λ≤1），N为AD的中点（1）求证：BC⊥平面PNB（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且二面角M﹣BN﹣D为60°，求λ的值．20．定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．21．已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的极值（2）设g（x）=[xf（x）﹣1]，若对任意x∈（0，1）恒有g（x）＜﹣2求实数a的取值范围．四、选做题（请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】22．AB是⊙O的一条切线，切点为B，过⊙O外一点C作直线CE交⊙O于G，E，连接AE交⊙O于D，连接CD交⊙O于F，连接AC，FG，已知AC=AB（1）证明：AD•AE=AC2；（2）证明：FG∥AC．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=1．（1）求直线l与圆C的公共点个数；（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上一点，求4x2+xy+y2的最大值，并求相应点M的坐标．【选修4-5：不等式选讲】24．（Ⅰ）已知a和b是任意非零实数．证明：≥4；（Ⅱ）若不等式|2x+1|﹣|x+1|＞k（x﹣1）﹣恒成立，求实数k的取值范围．贵州省贵阳市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∪B）=( )A．{2} B．{3} C．{1，2，4} D．{1，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据并集的含义先求A∪B，注意2只能写一个，再根据补集的含义求解．解答：解：集合A∪B={1，2，4}，则C U（A∪B）={3}，故选B．点评：本题考查集合的基本运算，较简单．2．已知为虚数单位，复数z=i（2﹣i），则|z|=( )A．B．C．1 D．3考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答：解：复数z=i（2﹣i）=2i+1，则|z|=．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．3．对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心考点：直线与圆的位置关系．专题：探究型．分析：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在，（0，1）在圆x2+y2=2内，故可得结论．解答：解：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在∵（0，1）在圆x2+y2=2内∴对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心故选C．点评：本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在．4．下列正确的是( )A．∂x0∈R，x02+2x0+3=0B．∀x∈N，x3＞x2C．x＞1是x2＞1的充分不必要条件D．若a＞b，则a2＞b2考点：特称；充要条件；全称．专题：计算题．分析：A和B选项按全称和特称的真假判断来看；C选项看从条件能否推出推结论，再看结论能否推出条件，从而做出最后的判断；D选项看从条件能否推出推结论．解答：解：A错，∵方程的根的判别式△=4﹣4×3＜0，此方程没有实数解：B错，∵当x=1时，x3=x2；C对，∵x2＞1⇔（x﹣1）（x﹣1）＞0⇔x＜﹣1或x＞1∴x＞1⇒x2＞1成立，但x2＞1⇒x＞1不成立，∴x＞1是x2＞1的充分不必要条件；D错，∵若a＞b，则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）不一定大于0．故选C．点评：本题主要考查了、条件、特称等的有关知识，与其它部分的知识联系密切，所以综合性较强．5．已知sin2α=，则cos2（）=( )A．B．C．D．考点：二倍角的余弦；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用二倍角的余弦公式化简后，由诱导公式化简即可求值．解答：解：∵sin2α=，∴cos2（）====．故选：B．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式，诱导公式的应用，属于基本知识的考查．6．若等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=4，S4=10则数列{}的前2015项和为( )A．B．C．D．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列通项公式与前n项和公式可得：a n=n．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=4，S4=10，∴a1+3d=4，=10，解得a1=d=1，∴a n=1+（n﹣1）×1=n．∴==，∴数列{}的前n项和S n=+…+=1﹣=．∴数列{}的前2015项和=．故选：B．点评：本题考查了等差数列通项公式与前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A．12种B．16种C．24种D．36种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；排列组合．分析：先考虑甲、乙两机是12、23、34、45位置，再考虑甲、乙两机，位置交换，即可得出结论．解答：解：先考虑甲、乙两机，若甲、乙两机是12位置，则其余3架飞机有=6种方法；甲、乙两机是23位置，则丁有，其余2架飞机有种方法，共有=4种方法；同理，甲、乙两机是34、45位置，均分别有4种方法，若乙、甲两机是12位置，则其余3架飞机有=4种方法；乙、甲两机是23位置，则丁有，其余2架飞机有种方法，共有=4种方法；同理，乙、甲两机是34位置，有4种方法乙、甲是45位置，则其余3架飞机有=6种方法故共有2（6+4+4+4）=36种不同的着舰方法．故选：D．点评：本题考查排列、组合知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题．8．如图三棱锥V﹣ABC，V A⊥VC，AB⊥BC，∠V AC=∠ACB=30°，若侧面V AC⊥底面ABC，则其主视图与左视图面积之比为( )A．4：B．4：C．：D．：考点：简单空间图形的三视图．专题：常规题型；空间位置关系与距离．分析：主视图为Rt△V AC，左视图为以△V AC中AC的高为一条直角边，△ABC中AC的高为另一条直角边的直角三角形．解答：解：主视图为Rt△V AC，左视图为以△V AC中AC的高VD为一条直角边，△ABC 中AC的高BE为另一条直角边的直角三角形．设AC=X，则V A=x，VC=，VD=x，BE=x，则S主视图：S左视图==4：．故选：A．点评：由直观图到三视图，要注意图形的变化和量的转化．属于基础题．9．已知函数：f（x）=x2+bx+c，其中：0≤b≤4，0≤c≤4，记函数f（x）满足条件：的事件为A，则事件A发生的概率为( )A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：根据二次函数解析式，可得事件A对应的不等式为，因此在同一坐标系内作出不等式组和对应的平面区域，分别得到正方形ODEF和四边形OHGF，如图所示．最后算出四边形OHGF与正方形ODEF的面积之比，即可得到事件A发生的概率．解答：解：∵f（x）=x2+bx+c，∴不等式，即，化简得以b为横坐标、a为纵坐标建立直角坐标系，将不等式组和对应的平面区域作出，如图所示不等式组对应图中的正方形ODEF，其中D（0.4），E（4，4），F（4，0），O为坐标原点，可得S正方形ODEF=4×4=16不等式组对应图中的四边形OHGF，可得S四边形OHGF=S正方形ODEF﹣S△DHG﹣S△EFG=16﹣2﹣4=10∵事件A=，∴事件A发生的概率为P（A）===故选：A点评：本题以二次函数与不等式的运算为载体，求事件A发生的概率．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型计算公式等知识，属于中档题．10．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项式( )A．﹣20 B．﹣540 C．20 D．540考点：二项式定理．专题：综合题；二项式定理．分析：首先，根据程序框图的运算结果，得到参数b的值，然后根据二项式展开式，写出通项公式，然后，确定其展开式的常数项．解答：解：根据程序框图，得初始值：a=1，b=1，第一次循环：b=3，a=2第二次循环：b=5，a=3，第三次循环：b=7，a=4第四次循环：b=9，a=5，∵a=5＞4，跳出循环，输出b=9，∴二项式（﹣）6的通项：T r+1=36﹣r（﹣1）r•x3﹣r令3﹣r=0，得r=3，∴展开式中的常数项是33••（﹣1）3=﹣540，故选：B．点评：本题重点考查了程序框图，二项式定理及其展开式等知识，属于中档题．解题关键是循环结构的程序框图的识图能力．11．已知抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=( )A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=x2（p＞0）在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．解答：解：由抛物线C1：y=x2（p＞0）得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（0，）．由﹣y2=1得a=，b=1，c=2．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知=，得x0=，代入M点得M（，）把M点代入①得：．解得p=．故选：D．点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．12．对于任意实数a，b，定义min{a，b}=，定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣4）=f（x），且当0≤x≤2时，f（x）=min{2x﹣1，2﹣x}，若方程f（x）﹣mx=0恰有4个零点，则m的取值范围是( )A．（﹣，）B．（﹣，）C．（，）D．（﹣.）∪（，）考点：根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；直线与圆．分析：由题意可得函数f（x）是周期函数，从而作出函数f（x）与y=mx的图象，再结合图象求出四个临界点所形成的直线的斜率，从而得到答案．解答：解：∵f（x﹣4）=f（x），∴f（x）的周期T=4，方程f（x）﹣mx=0恰有4个零点可化为函数f（x）与y=mx有4个不同的交点，作函数f（x）与y=mx的图象如下，k OA=﹣，k OB=﹣，k OC=，k OD=，综合函数的图象可得，﹣＜m＜﹣，或＜m＜；故选D．点评：本题考查了函数的图象的作法及方程的根与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了直线的斜率的求法与应用，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若点（a，25）在函数y=5x的图象上，则tan的值为．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用指数函数的图象与性质求出a，然后求解三角函数的值即可．解答：解：点（a，25）在函数y=5x的图象上，可得25=5a，解得a=2，tan=tan=tan=．故答案为：．点评：本题考查指数函数的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．14．若正项数列{a n}满足a2=，a6=，且=（n≥2，n∈N），则log2a4=﹣3．考点：等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：根据数列的递推关系得到数列{a n}为等比数列，结合等比数列的性质求出a4的值即可．解答：解：∵=（n≥2，n∈N），∴数列{a n}为等比数列，∵a2=，a6=，∴a42=a2a6=×=，则a4=，则log2a4=log2=﹣3，故答案为：﹣3．点评：本题主要考查等比数列的通项公式的应用，根据条件判断数列是等比数列是解决本题的关键．15．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为36π．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的表面积公式解之即可．解答：解：如图，设正四棱锥底面的中心为O，则在直角三角形ABC中，AC=×AB=6，∴AO=CO=3，在直角三角形PAO中，PO===3，∴正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为3，∴正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径r=3，球的表面积S=4πr2=36π故答案为：36π点评：本题主要考查球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．16．如图，已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E、F 分别为AB、AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的最大值是6．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=+．由ME⊥MF，可得=0，从而=．求得=6cos＜，＞，从而求得的最大值．解答：解：由题意可得=，∴==+．∵ME⊥MF，∴=0，∴=．由题意可得，圆M的半径为2，故正方形ABCD的边长为2，故ME=，再由OM=3，可得=•3•cos＜，＞=6cos＜，＞，即=6cos＜，＞，故的最大值是大为6，故答案为6．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦函数的值域，属于中档题．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由题意可得a=c﹣4、b=c﹣2．又因，，可得，恒等变形得c2﹣9c+14=0，再结合c＞4，可得c的值．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=2sinθ，．△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=．再由，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（θ）取得最大值．解答：解：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a=c﹣4、b=c﹣2．又∵，，∴，∴，恒等变形得c2﹣9c+14=0，解得c=7，或c=2．又∵c＞4，∴c=7．…（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得，∴，AC=2sinθ，．∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|===，…又∵，∴，∴当，即时，f（θ）取得最大值．…点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18．甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A、B、C、D、E五所高校中，任选2所高校参加自主招生考试（并且只能选2所高校），但同学甲特别喜欢A高校，他除选A校外，在B、C、D、E中再随机选1所；同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所即可．（Ⅰ）求甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率；（Ⅱ）记X为甲、乙、丙三名同学中未参加E校自主招生考试的人数，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由已知条件分别求出甲同学选中E高校的概率和乙、两同学选取中E高校的概率，由此能求出甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率．（Ⅱ）由题意知：X所有可能的取值为0，1，2，3，分另求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出X的分布列和EX．解答：解：（Ⅰ）由题意知：甲同学选中E高校的概率为，乙、两同学选取中E高校的概率为p乙=p丙==，∴甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率为：P（1﹣p甲）•p乙•p丙=（1﹣）••=．（Ⅱ）由题意知：X所有可能的取值为0，1，2，3，P（X=0）=p甲•p乙•p丙==，P（X=1）=（1﹣p甲）•p乙•p丙+p甲•（1﹣p乙）•p丙+p甲•p乙•（1﹣p丙）=++=，P（X=2）=（1﹣p甲）•（1﹣p乙）•p丙+（1﹣p甲）•p乙•（1﹣p丙）+p甲•（1﹣p乙）•（1﹣p丙）=++=，P（X=3）=（1﹣p甲）•（1﹣p乙）•（1﹣p丙）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3P∴EX=0×+1×+2×+3×=．点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且=λ（0≤λ≤1），N为AD的中点（1）求证：BC⊥平面PNB（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且二面角M﹣BN﹣D为60°，求λ的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得PN⊥AD，△ABD为等边三角形，BN⊥AD，从而AD⊥平面PNB，由AD∥BC，能证明BC⊥平面PNB．（2）分别以NA，NB，NP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BMN的一个法向量和平面BCD的一个法向量，由此结合已知条件利用向量法能求出λ的值．解答：解：（1）证明：∵PA=AD，N为AD的中点，∴PN⊥AD，又底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，又∴N为AD的中点，∴BN⊥AD，又PN∩BN=N，∴AD⊥平面PNB，∵AD∥BC，∴BC⊥平面PNB．（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD，如图，分别以NA，NB，NP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），设M（x，y，z），则=（x，y，z﹣），=（﹣2﹣x，，﹣z），∴=（﹣2λ，，﹣λz），由（0≤λ≤1），得，解得，y=，z=，∴M（，，），∴=（，﹣，），=（0，，0），设=（x，y，z）是平面BMN的一个法向量，则，取z=，得=（，0，），又平面BCD的一个法向量为=（0，0，），∵二面角M﹣BN﹣D为60°，∴cos＜＞===cos60°，解得．点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，是中档题．20．定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'，易知a=2，b=m，n=，根据椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，可得关于a，b，m，n的方程，解出即可；（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：．与椭圆C2的方程联立消掉x得y的二次方程，则△＞0，由弦长公式可表示出|MN|，由点到直线的距离公式可表示出△F2MN的高h，则△F2MN的面积S=，变形后运用基本不等式即可求得S的最大值；解答：解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'．由已知a=2，b=m，．∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，即，∴，即∴，即bm=b2=an=1，∴b=m=1，∴椭圆C1的方程是，椭圆C2的方程是；（Ⅱ）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：．联立：，得，即，∴△=192m2﹣44（1+4m2）=16m2﹣44＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，△F2MN的高即为点F2到直线的距离．∴△F2MN的面积，∵，等号成立当且仅当，即时，∴，即△F2MN的面积的最大值为．点评：本题考查椭圆方程及其性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式求函数的最值，考查学生的运算能力、分析解决问题的能力．21．已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的极值（2）设g（x）=[xf（x）﹣1]，若对任意x∈（0，1）恒有g（x）＜﹣2求实数a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得原函数的极值；（2）由题意可知，a≠0，且，又x∈（0，1），得到．然后分a＜0和a＞0讨论当a＞0时，构造函数，问题转化为h max （x）＜0．然后根据a的范围利用导数分析其最大值是否小于0得答案．解答：解：（1）由f（x）=，得，当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故f（x）在x=1处取得极大值，极大值为f（1）=；（2）由题意可知，a≠0，且，∵x∈（0，1），∴．当a＜0时，g（x）＞0，不合题意；当a＞0时，由g（x）＜﹣2，可得恒成立．设，则h max（x）＜0．求导得：．设t（x）=x2+（2﹣4a）x+1，△=（2﹣4a）2﹣4=16a（a﹣1）．①当0＜a≤1时，△≤0，此时t（x）≥0，h′（x）≥0，∴h（x）在（0，1）内单调递增，又h（1）=0，∴h（x）＜h（1）=0，此时0＜a≤1符合条件；②当a＞1时，△＞0，注意到t（0）=1＞0，t（1）=4（1﹣a）＜0，∴存在x0∈（0，1），使得t（x0）=0，于是对任意x∈（x0，1），t（x）＜0，h′（x）＜0，则h（x）在（x0，1）内单调递减，又h（1）=0，∴当x∈（x0，1）时，h（x）＞0，不合要求．综①②可得0＜a≤1．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求解函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，解答此题的关键是对a＞1时的分析，要求考生有敏锐的洞察力．四、选做题（请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】22．AB是⊙O的一条切线，切点为B，过⊙O外一点C作直线CE交⊙O于G，E，连接AE交⊙O于D，连接CD交⊙O于F，连接AC，FG，已知AC=AB（1）证明：AD•AE=AC2；（2）证明：FG∥AC．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（1）由切割线定理得AB2=AD•AE，由此能证明AC2=AD•AE．（2）由，∠EAC=∠DAC，得△ADC∽△ACE，从而得到∠EGF=∠ACE，由此能证明GF∥AC．解答：证明：（1）∵AB是⊙O的一条切线，AE为割线，∴AB2=AD•AE，又∵AB=AC，∴AC2=AD•AE．（2）由（1）得，∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴GF∥AC．点评：本题考查AD•AE=AC2的证明，考查两直线平行的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理和相似三角形的性质的合理运用．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=1．（1）求直线l与圆C的公共点个数；（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上一点，求4x2+xy+y2的最大值，并求相应点M的坐标．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）把直线l的参数方程、圆C的极坐标方程化为普通方程，根据圆心到直线的距离d与圆半径r的关系，判定直线l与圆C的公共点个数；（Ⅱ）由圆C的参数方程求出曲线C′的参数方程，代入4x2+xy+y2中，求出4x2+xy+y2取得最大值时对应的M点的坐标．解答：解：（Ⅰ）直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程是x﹣y﹣=0，圆C的极坐标方程ρ=1化为普通方程是x2+y2=1；∵圆心（0，0）到直线l的距离为d==1，等于圆的半径r，∴直线l与圆C的公共点的个数是1；（Ⅱ）圆C的参数方程是，（0≤θ＜2π）；∴曲线C′的参数方程是，（0≤θ＜2π）；∴4x2+xy+y2=4cos2θ+cosθ•2sinθ+4sin2θ=4+sin2θ；当θ=或θ=时，4x2+xy+y2取得最大值5，此时M的坐标为（，）或（﹣，﹣）．点评：本题考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，解题时可以把参数方程、极坐标方程化为普通方程，以便正确解答问题，是基础题．【选修4-5：不等式选讲】24．（Ⅰ）已知a和b是任意非零实数．证明：≥4；（Ⅱ）若不等式|2x+1|﹣|x+1|＞k（x﹣1）﹣恒成立，求实数k的取值范围．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）利用双绝对值不等式的性质|2a+b|+|2a﹣b|≥|2a+b+2a﹣b|=4|a|即可证得结论成立；（Ⅱ）构造函数h（x）=|2x+1|﹣|x+1|=，作出y=h（x）与过定点（1，﹣）的直线y=k（x﹣1）﹣的图象，数形结合即可求得实数k的取值范围．解答：证明：（Ⅰ）|2a+b|+|2a﹣b|≥|2a+b+2a﹣b|=4|a|∴．（Ⅱ）记h（x）=|2x+1|﹣|x+1|=若不等式|2x+1|﹣|x+1|＞k（x﹣1）﹣恒成立，则函数h（x）的图象在直线y=k（x﹣1）﹣的上方，∵y=k（x﹣1）﹣经过定点（1，﹣），当x=﹣时，y=h（x）取得最小值﹣，显然，当y=k（x﹣1）﹣经过定点P（1，﹣）与M（﹣，﹣）时，k PM==，即k＞；当y=k（x﹣1）﹣经过定点P（1，﹣）与直线y=x平行时，k得到最大值1，∴．点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查绝对值不等式的性质，突出构造函数思想与数形结合思想的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．。

2016-2017学年贵州省贵阳市普通高中高三（上）8月摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={x|x＜2}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|1≤x＜2}D．R2．已知i为虚数单位，若复数z满足z+z?i=2，则z的虚部为（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣13．已知实数x，y满足，则函数z=x+3y的最大值为（）A．10 B．8 C．5 D．14．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．5．在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（）A．33 B．72 C．84 D．1896．在边长为1的正三角形ABC中，=2，则?=（）A．B．C．D．17．函数y=sinx+cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=（）A．B．C． D．8．若函数f（x）=3x+lnx的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=（）A．﹣B．C．﹣4 D．49．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．α⊥β，m?α?m⊥βB．α⊥β，m?α，n?β?m⊥nC．m∥n，n⊥α?m⊥α D．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β10．阅读右边的程序，若输出的y=3，则输入的x的值为（）A．1 B．2 C．±2 D．1或211．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且当x＜0，f（x）=3x+1，若a=2，b=4，c=25，则有（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（b）＜f（c）＜f（a）C．f（b）＜f（a）＜f（c）D．f（c）＜f（a）＜f（b）12．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）A．0 B．C．2 D．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．（x2+）6的展开式中常数项是．（用数字作答）14．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a=．15．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的8个顶点都在球O的表面上，AB=1，AA1′=2，则球O的半径R=；若E、F是棱AA1和DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为．16．已知直线l：y=k（x+1）﹣与圆x2+y2=（2）2交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，若|AB|=4，则|CD|=．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足3asinC=4ccosA，?=3．（Ⅰ）求△ABC的面积S；（Ⅱ）若c=1，求a的值．2×2列联表：（Ⅱ）能否有99%的把握认为断爱好该项运动与性别有关？请说明理由；（Ⅲ）利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建了“运动达人社”，现从“运动达人设”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=，在棱PB上．（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；（Ⅱ）当PD=2AB，且E为PB的中点，求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，点A（0，﹣2）与椭圆右焦点F的连线的斜率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）O为坐标原点，过点A的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（其中a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f′（x）+g（x）﹣1，试确定h（x）的单调区间及最值；（Ⅲ）求证：对于任意的正整数n，均有e＞成立．（注：e为自然对数的底数）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC?BC=2AD?CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角做标方程；（Ⅱ）圆C的圆心为C，点P为直线l上的动点，求|PC|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣4|；（Ⅰ）解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）若对?x∈R，都有f（x）+3|x﹣2|＞m，求实数m的取值范围．还未学选修4-1、4-4、4-5的学生可选作此题25．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a3是a2与a6的等比中项，2a1+3a2=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n，求数列{}的前n项和S n．2016-2017学年贵州省贵阳市普通高中高三（上）8月摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={x|x＜2}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|1≤x＜2}D．R【考点】交集及其运算．【分析】先根据对数函数求出函数的定义域得到集合A，再利用交集定义求解．【解答】解：由A={x|y=log2（x﹣1），x∈R}，可得A={x|x＞1}，又B={x|x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}，故选：B．2．已知i为虚数单位，若复数z满足z+z?i=2，则z的虚部为（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z满足z+z?i=2，可得z==1﹣i．则z的虚部为﹣1．故选：D．3．已知实数x，y满足，则函数z=x+3y的最大值为（）A．10 B．8 C．5 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x+3y，得，作出不等式对应的可行域，平移直线，由平移可知当直线，经过点A时，直线，的截距最大，此时z取得最大值，由得，即A（1，3），代入z=x+3y，得z=1+3×3=10，即目标函数z=x+3y的最大值为10．故选：A．4．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（）A．33 B．72 C．84 D．189【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比数列{a n}中，首项a1=3，前三项和为21，可求得q，根据等比数列的通项公式，分别求得a3，a4和a5代入a3+a4+a5，即可得到答案．【解答】解：在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1=3，前三项和为21故3+3q+3q2=21，∴q=2，∴a3+a4+a5=（a1+a2+a3）q2=21×22=84故选C．6．在边长为1的正三角形ABC中，=2，则?=（）A．B．C．D．1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的定义求出向量长度和向量夹角进行求解即可．【解答】解：∵=2，∴?=（+）?=（+）?=2+?=1+×1×1cos120°=1﹣=，法2．∵=2，∴D是BC的中点，则在正三角形中，AD=，＜，＞=∠BAD=30°，则?=||?||cos30°=×1×=故选：C．7．函数y=sinx+cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=（）A．B．C． D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】直接利用辅助角公式化简，再由（0≤x＜2π）求得答案．【解答】解：y=sinx+cosx=2（）=2sin（x+）．由，得．∵0≤x＜2π，∴当k=0时，x=．故选：A．8．若函数f（x）=3x+lnx的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=（）A．﹣B．C．﹣4 D．4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出f（x）=3x+lnx的导数，再求出函数f（x）=3x+lnx的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率，根据两直线垂直可解出a的值．【解答】解：函数f（x）=3x+lnx的导数为f′（x）=3+，∴f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=3+1=4，∵直线x+ay+1=0的斜率为﹣，∴由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得﹣?4=﹣1，∴a=4．故选：D．9．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．α⊥β，m?α?m⊥βB．α⊥β，m?α，n?β?m⊥nC．m∥n，n⊥α?m⊥α D．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，m与β平行、相交或m?β；在B中，m与n相交、平行或异面；由线面垂直的判定定理得C正确；在D中，α与β相交或平行．【解答】解：由m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，知：在A中，α⊥β，m?α?m与β平行、相交或m?β，故A错误；在B中，α⊥β，m?α，n?β?m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，m∥n，n⊥α?m⊥α，由线面垂直的判定定理得，C正确；在D中，m?α，n?α，m∥β，n∥β?α与β相交或平行，故D错误．故选：C．10．阅读右边的程序，若输出的y=3，则输入的x的值为（）A．1 B．2 C．±2 D．1或2【考点】程序框图．【分析】首先判断程序框图，转化为分段函数形式，然后根据y=3分别代入三段函数进行计算，排除不满足题意的情况，最后综合写出结果．【解答】解：根据程序框图分析，程序框图执行的是分段函数运算：y=，如果输出y为3，则当：﹣x+4=3时，解得x=1，不满足题意；当x2﹣1=3时，解得：x=2，或﹣2（舍去），综上，x的值2故选：B．11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且当x＜0，f（x）=3x+1，若a=2，b=4，c=25，则有（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（b）＜f（c）＜f（a）C．f（b）＜f（a）＜f（c）D．f（c）＜f（a）＜f（b）【考点】对数值大小的比较．【分析】当x＞0时，f（x）=（）x+1，再由c＞a＞b，能求出f（a），f（b），f（c）的大小关系．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且当x＜0，f（x）=3x+1，∴当x＞0时，f（x）=（）x+1，∵a=2=4，b=4，c=25=，∴c＞a＞b，∴f（c）＜f（a）＜f（b）．故选：D．12．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）A．0 B．C．2 D．【考点】基本不等式．【分析】将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可求得x+2y﹣z的最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故选：C．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．（x2+）6的展开式中常数项是15．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．=C n r a n﹣r b r来确定常数项，从而根据常数相中x的指数幂【分析】本题可通过通项公式T r+1为0即可确定C6r（x2）6﹣r中r的值，然后即可求出常数项是15【解答】解：设通项公式为，整理得C6r x12﹣3r，因为是常数项，所以12﹣3r=0，所以r=4，故常数项是c64=15故答案为15．14．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a=3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体是放倒的三棱柱，依据所给数据求解即可．【解答】解：由已知可知此几何体是三棱柱，其高为a，侧面是边长为2的正三角形，其面积为S==，由题意可得：V=3=a，解得：a=3． 故答案为：3．15．已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的8个顶点都在球O 的表面上，AB=1，AA 1′=2，则球O 的半径R= 6π ；若E 、F 是棱AA 1和DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为 ． 【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题意可知正四棱柱的体对角线计算球的直径，求出对角线的长可得球的直径，求出半径，即可求出球的表面积；如图所示，OP 是球的半径，OQ 是棱长的一半，求出PQ 的2倍即可求出直线EF 被球O 截得的线段长．【解答】解：正四棱柱对角线为球直径，A 1C 2=1+1+4，所以R=，所以球的表面积为6π；由已知所求EF 是正四棱柱在球中其中一个截面的直径上的一部分，Q 为EF 的中点，d=，R=，所以PQ==，所以2PQ=．故答案为：6π；16．已知直线l ：y=k （x +1）﹣与圆x 2+y 2=（2）2交于A 、B 两点，过A 、B 分别作l 的垂线与x 轴交于C 、D 两点，若|AB |=4，则|CD |= ． 【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线与圆相交，圆x 2+y 2=（2）2可知：圆心为（0，0），半径r=2，弦长为|AB |=4=2r ，说明直线过圆心．求解k 的值．得到直线AB 的倾斜角，根据AOC 和OBD 是两个全等的直角三角形，OA=OB=2 即可求出OC 和OD ．即可得到|CD |的长度．【解答】解：由圆的方程x 2+y 2=（2）2可知：圆心为（0，0），半径r=2，∵弦长为|AB |=4=2r ，说明，直线过圆心．则有：0=k （0﹣1）﹣，解得k=，直线AB 的方程为：y=x ．设直线AB 的倾斜角为θ，则tan θ=， ∴θ=60°Rt △AOC 中：|CO |===那么：|CD |=2|OC |=故答案为：．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足3asinC=4ccosA ， ?=3． （Ⅰ）求△ABC 的面积S ； （Ⅱ）若c=1，求a 的值．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算． 【分析】（I ）由3asinC=4ccosA ，利用正弦定理可得3sinAsinC=4sinCcosA ，sinC ≠0，可得tanA ，sinA ，cosA ．由?=3，可得bccosA=3，解得bc ．即可得出S=bcsinA ．（II ）利用（I ）及其余弦定理即可得出．【解答】解：（I）∵3asinC=4ccosA，∴3sinAsinC=4sinCcosA，sinC≠0，∴tanA=，可得sinA=，cosA=．∵?=3，∴bccosA=3，∴bc=5．∴S=bcsinA==2．（II）由（I）可得：b=5．∴a2=1+52﹣2×5×1×=20，解得a=2．2×2列联表：（Ⅱ）能否有99%的把握认为断爱好该项运动与性别有关？请说明理由；（Ⅲ）利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建了“运动达人社”，现从“运动达人设”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=，【分析】（Ⅰ）根据2×2列联表数据共享将表中空白部分数据补充完整．（Ⅱ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅲ）由题意，抽取6人中，男生4名，女生2名，选出3人中的女大学生人数为X，X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．（Ⅱ）K2=≈8.25＞6.635，∴99%的把握认为断爱好该项运动与性别有关；（Ⅲ）由题意，抽取6人中，男生4名，女生2名，选出3人中的女大学生人数为X，X的取值为0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==．E（X）=0×+1×+2×=1．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；（Ⅱ）当PD=2AB，且E为PB的中点，求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由PD⊥底面ABCD，可得PD⊥AC，利用正方形的性质可得：AC⊥BD，再利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．（2）分别以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角公式即可得出．【解答】（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC，底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又PD∩BD=D，∴AC⊥平面ABCD，又AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB．（2）解：分别以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB=2，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），P（0，0，4），E（1，1，2），=（0，2，0），=（﹣1，1，2），取平面ABC的一个法向量为，设平面ABE的法向量，则，可得，取=（2，0，1）．∴===．∴二面角B﹣AE﹣C的余弦值为．20．已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，点A（0，﹣2）与椭圆右焦点F的连线的斜率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）O为坐标原点，过点A的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．（Ⅰ）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得关于c的方程，求出c，由离心率e==，【分析】求得a，由b2=a2﹣c2，求得b的值，即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2，与椭圆的方程联立可得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，求出方程的根，从而表示出|PQ|以及点O到直线PQ的距离，从而表示出S，再利用基本不等式的性质即可得出直线l的方程．△OPQ【解答】解：（1）设F（c，0）．∵直线AF的斜率为，∴=，解得c=．又离心率为e==，由b2=a2﹣c2，解得：a=2，b=1，∴椭圆E的方程为+y2=1．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2，与椭圆方程联立，整理得：（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即k2＞时，x1+x2=，x1?x2=，∴|PQ|=，∵点O到直线l的距离d=，=?d?|PQ|=，∴S△OPQ设=t＞0，则4k2=t2+3，==≤1，∴S△OPQ当且仅当t=2，即=2，解得k=±时取等号，且满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时，直线l的方程为：y=±x﹣2．21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（其中a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f′（x）+g（x）﹣1，试确定h（x）的单调区间及最值；（Ⅲ）求证：对于任意的正整数n，均有e＞成立．（注：e为自然对数的底数）【考点】利用导数研究函数的极值；导数的运算．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅲ）令a=1，得到≥1﹣lnx=ln，亦即≥，分别取x=1，2，…，n，相乘即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=xlnx，（x＞0），f′（x）=1+lnx，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴f（x）的极小值是f（）=﹣；（Ⅱ）h（x）=f′（x）+g（x）﹣1=lnx+，（x＞0），h′（x）=﹣=，①a≤0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递增，无最值，②a＞0时，令h′（x）＞0，解得：x＞a，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜a，∴h（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，∴h（x）min=h（a）=1+lna，（Ⅲ）取a=1，由（Ⅱ）知，h（x）=lnx+≥f（1）=1，∴≥1﹣lnx=ln，亦即≥，分别取x=1，2，…，n得≥，≥，≥，…，≥，将以上各式相乘，得：e＞成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC?BC=2AD?CD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）欲证DE∥AB，连接BD，因为D为的中点及E为BC的中点，可得DE⊥BC，因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；（II）欲证AC?BC=2AD?CD，转化为AD?CD=AC?CE，再转化成比例式=．最后只须证明△DAC∽△ECD即可．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD?CD=AC?CE，2AD?CD=AC?2CE，因此2AD?CD=AC?BC．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角做标方程；（Ⅱ）圆C的圆心为C，点P为直线l上的动点，求|PC|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入即可得圆C的直角坐标方程．（Ⅱ）把直线化成直角坐标方程，直线到圆上的距离最小，即是圆心到直线的d减去半径r．【解答】解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程ρ=2sinθ，可得：ρ2=2ρsinθ．由ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得：．即圆的方程为：．（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），消去参数t，可得：．由（Ⅰ）可得：圆心为（0，），半径圆心到直线的距离d==．∵|PC|的最小值等于圆心到直线的d减去半径r．所以：|PC|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣4|；（Ⅰ）解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）若对?x∈R，都有f（x）+3|x﹣2|＞m，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集，取并集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质求出f（x）+3|x﹣2|的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x+1|﹣|2x﹣4|=|x+1|﹣2|x﹣2|≥1，x≥2时，x+1﹣2x+4≥1，解得：x≤4，﹣1＜x＜2时，x+1+2x﹣4≥1，解得：x≥，x≤﹣1时，﹣x﹣1+2x﹣4≥1，无解，故不等式的解集是[，4]；（Ⅱ）若对?x∈R，都有f（x）+3|x﹣2|＞m，即若对?x∈R，都有|x+1|+|x﹣2|＞m，而|x+1|+|x﹣2|≥|x+1﹣x+2|=3，故m＜3．还未学选修4-1、4-4、4-5的学生可选作此题25．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a3是a2与a6的等比中项，2a1+3a2=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n，求数列{}的前n项和S n．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】（I）利用等比数列的通项公式即可得出．（II）利用对数的运算性质、等差数列的求和公式可得b n，再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵2a3是a2与a6的等比中项，2a1+3a2=16．∴=a2a6，即=，a1（2+3q）=16，解得a1=q=2，∴a n=2n．（II）b n=log2a1+log2a2+…+log2a n===，∴==2．∴数列{}的前n项和S n=2+…+=2=．2016年11月2日。

2017-2018学年贵州省贵阳市普通高中高三（上）摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，，则A∪B=（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，1）2．（5分）复数等于（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．（5分）sin15°sin75°=（）A．B．C．1 D．4．（5分）已知命题P：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x02+2x0+2＞0 B．∀x∈R，x2+2x+2≤0C．∀x∈R，x2+2x+2＞0 D．∀x∈R，x2+2x+2≥05．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=2a3，则=（）A．B．C．D．6．（5分）20世纪30年代为了防范地震带来的灾害，里克特（C．F．Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M=lgA﹣lgA0，其中A为被测地震的最大振幅，A0是标准地震振幅，5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（）A．10倍B．20倍C．50倍D．100倍7．（5分）一算法的程序框图如图所示，若输出的，则输入的x最大值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．08．（5分）如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D 被阴影遮住，请找出D点的位置，计算的值为（）A．10 B．11 C．12 D．139．（5分）点集Ω={（x，y）|0≤x≤e，0≤y≤e}，A={（x，y）|y≥e x，（x，y）∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a，则a∈A的概率为（）A．B．C． D．10．（5分）某实心几何体是用棱长为1cm的正方体无缝粘合而成，其三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．50cm2B．61cm2C．84cm2D．86cm211．（5分）函数f（x）=a+（a，b∈R）是奇函数，且图象经过点（ln3，），则函数f（x）的值域为（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣3，3）D．（﹣4，4）12．（5分）椭圆C：的左顶点为A，右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交C于两点P，Q，若cos∠PAQ=，则椭圆C的离心率e为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知=2，则tanα=．14．（5分）实数x，y满足条件，则z=2x﹣y的最大值为．15．（5分）展开式中x3的系数为﹣84，则展开式的系数和为．16．（5分）已知函数f（x）=x n﹣x n+1（n∈N*），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与y轴的交点的纵坐标为b n，则数列{b n}的前n项和为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C=120°．（1）求a；（2）求AB边上的高CD的长．18．（12分）某高校学生社团为了解“大数据时代”下大学生就业情况的满意度，对20名学生进行问卷计分调查，得到如图所示的茎叶图：（1）计算男生打分的平均分，观察茎叶图，评价男女生打分的分散程度；（2）从打分在80分以上的同学随机抽3人，求被抽到的女生人数X的分布列和数学期望．19．（12分）如图AB，CD是圆柱的上、下底面圆的直径，ABCD是边长为2的正方形，E是底面圆周上不同于A，B两点的一点，AE=1．（1）求证：BE⊥平面DAE；（2）求二面角C﹣DB﹣E的余弦值．20．（12分）过抛物线C：y2=4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于两点A，B，且|AB|=8．（1）求l的方程；（2）若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD恒过定点并求出该点的坐标．21．（12分）已知函数f（x）=kx﹣lnx﹣1（k＞0）．（1）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数k的值；（2）证明：当n∈N*时，．选做题22．（10分）曲线C的参数方程为（φ为参数），以坐标原点为极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）写出C的直角坐标方程，并且用（α为直线的倾斜角，t为参数）的形式写出直线l的一个参数方程；（2）l与C是否相交，若相交求出两交点的距离，若不相交，请说明理由．23．已知函数f（x）=x+|x+2|．（1）解不等式f（x）≥6的解集M；（2）记（1）中集合M中元素最小值为m，若a，b∈R+，且a+b=m，求的最小值．24．数列{a n}的前n项和为S n，且满足，a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．2017-2018学年贵州省贵阳市普通高中高三（上）摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，，则A∪B=（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，1）【解答】解：∵集合A={x|（x﹣1）（x+2）＜0}={x|﹣2＜x＜1}，={x|﹣1＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣2＜x＜3}=（﹣2，3）．故选：B．2．（5分）复数等于（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【解答】解：====i，故选：C．3．（5分）sin15°sin75°=（）A．B．C．1 D．【解答】解：因为sin15°sin75°=sin15°cos15°==．故选D．4．（5分）已知命题P：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x02+2x0+2＞0 B．∀x∈R，x2+2x+2≤0C．∀x∈R，x2+2x+2＞0 D．∀x∈R，x2+2x+2≥0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题P：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p是：∀x∈R，x2+2x+2＞0．故选：C．5．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=2a3，则=（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a6=2a3，∴a1+5d=2（a1+2d），化为：a1=d．则==．故选：D．6．（5分）20世纪30年代为了防范地震带来的灾害，里克特（C．F．Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M=lgA﹣lgA0，其中A为被测地震的最大振幅，A0是标准地震振幅，5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（）A．10倍B．20倍C．50倍D．100倍【解答】解：由题意可得：7=lgA1﹣lgA0，5=（lgA2﹣lgA0两式相减得2=lgA1﹣lgA2，∴lg=2，∴=102=100．故选：D．7．（5分）一算法的程序框图如图所示，若输出的，则输入的x最大值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．0【解答】解：这是一个用条件分支结构设计的算法，该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y=的函数值，输出的结果为y=，当x≤2时，sin x=，解得x=1+12k，或x=5+12k，k∈Z，即x=1，﹣7，﹣11，…当x＞2时，2x=，解得x=﹣1（不合，舍去），则输入的x可能为1．故选：B．8．（5分）如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D 被阴影遮住，请找出D点的位置，计算的值为（）A．10 B．11 C．12 D．13【解答】解：以A为原点，建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（4，1），C（6，4），平行四边形ABCD，则=，设D（x，y），∴（4，1）=（6﹣x，4﹣y），∴4=6﹣x，1=4﹣y，解得x=2，y=3，∴D（2，3），∴•=2×4+3×1=11，故选：B9．（5分）点集Ω={（x，y）|0≤x≤e，0≤y≤e}，A={（x，y）|y≥e x，（x，y）∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a，则a∈A的概率为（）A．B．C． D．【解答】解：点集Ω表示的平面区域的面积为：，集合A所表示的平面区域如图所示，其面积为：，结合几何概型计算公式可得所求的概率值为：．故选：B．10．（5分）某实心几何体是用棱长为1cm的正方体无缝粘合而成，其三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．50cm2B．61cm2C．84cm2D．86cm2【解答】解：由三视图可知几何体共有3三层，第一层有5×5=25个小正方体，第二层有3×3=9个小正方体，第三层由1个小正方体．∴几何体的表面积为25×2+5×4+3×4+1×4=86．故选D．11．（5分）函数f（x）=a+（a，b∈R）是奇函数，且图象经过点（ln3，），则函数f（x）的值域为（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣3，3）D．（﹣4，4）【解答】解：函数是奇函数，则：，①结合函数所过的点可得：，②①②联立可得：，则函数的解析式为：，结合指数函数的性质可得：．故选：A．12．（5分）椭圆C：的左顶点为A，右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交C于两点P，Q，若cos∠PAQ=，则椭圆C的离心率e为（）A．B．C．D．【解答】解：不妨设P位于第一象限，由x P=c，则y P=，∴丨AF丨=a+c，丨PF丨=，丨AP丨=，则cos∠PAF==，由图形的对称性及二倍角公式可得：cos∠PAQ=2cos2∠PAF﹣1=2×﹣1=，结合b2=a2﹣c2，整理得：4c4﹣9a2c2﹣2a3c+3a4=0，由e=，则4e4﹣9e2﹣2e+3=0，因式分解有（e+1）2（e﹣）（e﹣）=0，由0＜e＜1，则e=，故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知=2，则tanα=﹣3．【解答】解：∵==2，即tanα﹣1=2tanα+2，∴tanα=﹣3，故答案为：﹣314．（5分）实数x，y满足条件，则z=2x﹣y的最大值为4．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由z=2x﹣y得：y=2x﹣z，显然直线过（2，0）时，z最大，z的最大值是4，故答案为：4．15．（5分）展开式中x3的系数为﹣84，则展开式的系数和为0．==x9﹣2r．【解答】解：T r+1令9﹣2r=3，解得r=3．∴=﹣84，解得a=﹣1．∴令x=1，可得的展开式的系数和=0．故答案为：0．16．（5分）已知函数f（x）=x n﹣x n+1（n∈N*），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与y轴的交点的纵坐标为b n，则数列{b n}的前n项和为n•2n+1．【解答】解：∵函数f（x）=x n﹣x n+1（n∈N*），∴f′（x）=nx n﹣1﹣（n+1）x n，∴f′（2）=n•2n﹣1﹣（n+1）•2n=（﹣1﹣）•2n，f（2）=2n﹣2n+1=﹣2n，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：y+2n=（﹣1﹣）•2n（x﹣2），∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与y轴的交点的纵坐标为b n，∴b n=（n+1）•2n，∴数列{b n}的前n项和为：S n=2×2+3×22+4×23+…+（n+1）×2n，①2S n=2×22+3×23+4×24+…+（n+1）×2n+1，②①﹣②，得：﹣S n=4+22+23+24+…+2n﹣（n+1）×2n+1=4+﹣（n+1）×2n+1=﹣n•2n+1，∴S n=n•2n+1．故答案为：n•2n+1．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C=120°．（1）求a；（2）求AB边上的高CD的长．【解答】解：（1）由题意，a，b，c成公差为2的等差数列，得b=a+2，c=a+4，由余弦定理得：，即a2﹣a﹣6=0，∴a=3或a=﹣2（舍去），∴a=3．（2）解法1：由（1）知a=3，b=5，c=7，由三角形的面积公式得：，∴，即AB边上的高．解法2：由（1）知a=3，b=5，c=7，由正弦定理得，即，在Rt△ACD中，，即AB边上的高．18．（12分）某高校学生社团为了解“大数据时代”下大学生就业情况的满意度，对20名学生进行问卷计分调查，得到如图所示的茎叶图：（1）计算男生打分的平均分，观察茎叶图，评价男女生打分的分散程度；（2）从打分在80分以上的同学随机抽3人，求被抽到的女生人数X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）男生打的平均分为：=，由茎叶图知，女生打分比较集中，男生打分比较分散；（2）因为打分在80分以上的有3女2男，∴X的可能取值为1，2，3，计算，，，∴X的分布列为：数学期望为．19．（12分）如图AB，CD是圆柱的上、下底面圆的直径，ABCD是边长为2的正方形，E是底面圆周上不同于A，B两点的一点，AE=1．（1）求证：BE⊥平面DAE；（2）求二面角C﹣DB﹣E的余弦值．【解答】证明：（1）由圆柱性质知：DA⊥平面ABE，又BE⊂平面ABE，∴BE⊥DA，又AB是底面圆的直径，E是底面圆周上不同于A，B两点的一点，∴BE⊥AE，又DA∩AE=A，DA，AE⊂平面DAE，∴BE⊥平面DAE．（2）解法1：过E作EF⊥AB，垂足为F，由圆柱性质知平面ABCD⊥平面ABE，∴EF⊥平面ABCD，又过F作FH⊥DB，垂足为H，连接EH，则∠EHF即为所求的二面角的平面角的补角，AB=AD=2，AE=1易得，，，∴，由（1）知BE⊥DE，∴，∴，∴，∴所求的二面角的余弦值为．解法2：过A在平面AEB作Ax⊥AB，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AB=AD=2，AE=1，∴，∴，D（0，0，2），B（0，2，0），∴，，平面CDB的法向量为，设平面EBD的法向量为，，即，取，∴，∴所求的二面角的余弦值为．解法3：如图，以E为原点，EB，EA分别为x轴，y轴，圆柱过点E的母线为z 轴建立空间直角坐标系，则A（0，1，0），，，D（0，1，2），E（0，0，0），∴，，，，设是平面BCD的一个法向量，则，，即，令x=1，则，z=0，∴，，设是平面BDE的一个法向量，则，，即，令z=1，则y=﹣2，x=0．∴，，∴，∴所求的二面角的余弦值为．解法4：由（1）知可建立如图所示的空间直角坐标系：∵AB=AD=2，AE=1，∴，∴E（0，0，0），D（1，0，2），，，∴，，，，设平面CDB的法向量为，平面EBD的法向量为，∴，，即，，，取，∴．∴所求的二面角的余弦值为．20．（12分）过抛物线C：y2=4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于两点A，B，且|AB|=8．（1）求l的方程；（2）若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD恒过定点并求出该点的坐标．【解答】解：（1）F的坐标为（1，0），设l的方程为y=k（x﹣1）代入抛物线y2=4x得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，由题意知k≠0，且[﹣（2k2+4）]2﹣4k2•k2=16（k2+1）＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，x1x2=1，由抛物线的定义知|AB|=x1+x2+2=8，∴，∴k2=1，即k=±1，∴直线l的方程为y=±（x﹣1）．（2）直线BD的斜率为，∴直线BD的方程为，即，∵y2=4x，x1x2=1，∴，即y1y2=﹣4（因为y1，y2异号），∴BD的方程为4（x+1）+（y1﹣y2）y=0，恒过（﹣1，0）．21．（12分）已知函数f（x）=kx﹣lnx﹣1（k＞0）．（1）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数k的值；（2）证明：当n∈N*时，．【解答】解：（1）方法1：f（x）=kx﹣lnx﹣1，，时，f'（x）=0；时，f'（x）＜0；时，f'（x）＞0；∴f（x）在上单调递减，在上单调递增，∴，∵f（x）有且只有一个零点，故lnk=0，∴k=1．方法2：由题意知方程kx﹣lnx﹣1=0仅有一实根，由kx﹣lnx﹣1=0得（x＞0），令，，x=1时，g'（x）=0；0＜x＜1时，g'（x）＞0；x＞1时，g'（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴g（x）max=g（1）=1，所以要使f（x）仅有一个零点，则k=1．方法3：函数f（x）有且只有一个零点即为直线y=kx与曲线y=lnx+1相切，设切点为（x0，y0），由y=lnx+1得，∴，∴k=x0=y0=1，所以实数k的值为1．（2）证明：由（1）知x﹣lnx﹣1≥0，即x﹣1≥lnx当且仅当x=1时取等号，∵n∈N*，令得，，，即．选做题22．（10分）曲线C的参数方程为（φ为参数），以坐标原点为极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）写出C的直角坐标方程，并且用（α为直线的倾斜角，t为参数）的形式写出直线l的一个参数方程；（2）l与C是否相交，若相交求出两交点的距离，若不相交，请说明理由．【解答】解：（1）利用平方关系可得：C的直角坐标方程为，由，展开可得：（cosθ﹣sinθ）=，利用互化公式可得直角坐标方程：x﹣y﹣2=0．可得直线l的倾斜角．可得直线l的一个参数方程（t为参数）．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程得，t1=0，，显然l与C有两个交点A，B且．23．已知函数f（x）=x+|x+2|．（1）解不等式f（x）≥6的解集M；（2）记（1）中集合M中元素最小值为m，若a，b∈R+，且a+b=m，求的最小值．【解答】解：（1）f（x）≥6，即为x+|x+2|≥6，∴或即x≥2∴M={x|x≥2}．（2）由（1）知m=2，即a+b=2，且a，b∈R+，∴，=．当且仅当a=b=1时，取得最小值4．24．数列{a n}的前n项和为S n，且满足，a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由已知①，得，（n≥2）②，①﹣②得，即a n=3a n﹣1（n≥2），又a1=1，所以数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，即．（2）由（1）知，∴，∴．。

2017-2018学年贵州省贵阳一中高三（上）适应性月考数学试卷（理科）（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的■1. （5分）已知集合A={x|y=「上三、_汀,B={X |¥ 三°}，则A ° B=（A. b A . [ - 1,1]B. [ - 1, 2）C. [1, 2）D. [ - 2,- 1]2. （5分）复数」『’在复平面上对应的点位于（）（1-i ）2 A •第一象限 B.第二象限C 第三象限D .第四象限3. （5分）已知f （x ）在其定义域[-1, +7 上是减函数，若f （2 -x ）>f （x ）, 则（ ） A . x > 1 B .- 1<x v 1 C . 1v x < 3 D .- 1< x < 34.（5分）双曲线方程为x 2 - 2y 2=1，则它的右焦点坐标为（ ）A. I.「B ・ 1「C.「D .' ■-5. （5分）某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松 三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项门参加比赛，则这 4人中三个项 目都有人参加的概率为（ ）A .6.（5分）若方程x 2- （k - 1）x+仁0有大于2的根，则实数k 的取值范围是（ ）7. （5 分）已知 a, B 都是锐角，且 sin a cos B =c （s1+sin ）贝U （ ） A . -■ ■ — B. . :•——C. - . - :—D. . :—8.（5分）如图所示，曲线y=x - 1, x=2, x=0, y=0围成的阴影部分的面积为（27）A.丨 | T一］工B. I , :' ：：：；■C.丨 | 了工D. | ■■2 29. （5分）设直线与椭圆’交于A, B两点，若△ OAB是2 a b直角三角形，则椭圆的离心率为（）A.「B.C.D.2 3 3 210. （5分）已知数列｛a n｝满足：a i=1, a n=2a h -1+1 （n > 2）,为求使不等式a计a2+a3+・・+a n<k的最大正整数n,某人编写了如图所示的程序框图，在框图的判断框中的条件和输出的表达式分别为（）口=叮=1a=2a^lS=S+aA. S v k, iB. S v k, i- 1C. S>k, iD. S>k, i- 111. （5 分）为得到函数f （x）=2sinxcos）+ ___ •一__ 二 .的图象，可以把函数二：「「-门;7—：?.-1的图象（）A.向左平移个单位B.向左平移个单位C•向右平移.个单位D.向右平移个单位4 212. （5分）图是某几何体的三视图，则该几何体的各个棱长中，最长的棱的长度为（）"4 2 T正视图侧视图A. 3 匚B.甘*C. cD. 3 匚二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. __________________________________________ （5分）二m:丿展开式的常数项是_________________________________________ .（用数字作答）x>y14（5分）已知变量x,y满足条件x+2y-3>0,则2x- 3y的最小值等于____________ .2rC 9-y115. （5分）如图，在△ ABC中，D是AB上一点，工若CD丄CA 川-:,16. （5分）已知a, b, c分别为锐角△ ABC的三个内角A, B, C的对边，a=2,且（2+b）（si nA- sinB）= （c- b）si nC,则△ ABC周长的取值范围为___ .三、解答题（本大题共5小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 . （12分）已知数列｛a n｝满足：a1=1,「一r_l（n>2）.2a rrl + 1(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)设数列｛a n a n+1｝的前n项和为T n,求证：［叮一1n 218. (12分)为了解学生完成数学作业所需时间，某学校统计了高三年级学生每天完成数学作业的平均时间介于30分钟到90分钟之间，图是统计结果的频率分布直方图.(1)数学教研组计划对作业完成较慢的20%的学生进行集中辅导，试求每天完成数学作业的平均时间为多少分钟以上的学生需要参加辅导？(2)现从高三年级学生中任选4人，记4人中每天完成数学作业的平均时间不超过50分钟的人数为X,求X的分布列和期望.19. (12分)如图，在三棱锥K- ABC中，D，E, F分别是KA, KB, KC的中点, 平面KBCL平面ABC, AC丄BC, △ KBC是边长为2的正三角形，AC=3(1)求证：BF丄平面KAC(2)求二面角F- BD-E的余弦值.20. (12分)已知椭圆：的离心率为,F1, F2是椭圆的左、显b2 2右焦点，P是椭圆上一点，计〕的最小值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F2且与x轴不重合的直线I交椭圆C于M , N两点，圆E是以F i为圆心椭圆C的长轴长为半径的圆，过F2且与I垂直的直线与圆E交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.21. (12分)设f (x) =x (Inx—1) +a (2x—x2)，a€ R.(1)令g (x) =f'(x)，求g (x)的单调区间；(2)已知f (x)在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.［选修4-4 :坐标系与参数方程］22. (10分)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点0处，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线I的极坐标方程为：」j L：| :,曲线C的参数方程为：■：，(a为参数)，其中a€ ［0，2n).(y=2+3sinCl(1)写出直线I的直角坐标方程及曲线C的普通方程；(2)若A，B为曲线C与直线I的两交点，求|AB| .［选修4-5:不等式选讲］ 23 .设 f (x) =| 2x- 3|+| x+1| .(1)求不等式f (x)v x+4的解集；(2)若函数g (x) =f (x) +ax有两个不同的零点，求实数a的取值范围.20仃-2018学年贵州省贵阳一中高三（上）适应性月考数学试卷（理科）（一）参考答案与试题解析、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的■1. (5 分)已知集合A={x|y=f , B={x| 二< 0}，则A H B=(A. [ - 1,1]B. [ - 1, 2)C. [1, 2)D. [ - 2,- 1]【解答】解：集合A={x| x2- 2x- 3>0} ={x| x<- 1 或x> 3},B={x| - 2< x v 2},利用集合的运算可得：A H B={x| - 2<x<- 1}.故选D.2. （5分）复数、厂、在复平面上对应的点位于（）（1-i）2A•第一象限 B.第二象限C第三象限D.第四象限【解答】解：复数''''=''”「d-ir i-2i+i2一1-i匚，则复数「「一在复平面上对应的点为（-1, - 1）,（1-D2且为第三象限的点，故选：C.3. （5分）已知f （x）在其定义域［-1, +7 上是减函数，若f （2 -x）＞f （x）,则（）A. x> 1B.- 1<x v 1C. 1 v x< 3D.- 1< x< 3【解答】解：由题意得：X>-1 ，解得：1v x < 3,2-x< x故选：C.4. （5分）双曲线方程为X - 2y 2=1，则它的右焦点坐标为（故选C5. （5分）某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松 三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项门参加比赛，则这 4人中三个项 目都有人参加的概率为（ A .【解答】解：某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、 半程马拉松和迷你马拉 松三个比赛项目,4位长跑爱好者各自任选一个项门参加比赛, 基本事件总数n=34=81,这4人中三个项目都有人参加包含的基本事件个数 m=：〒,；k ：=36,这4人中三个项目都有人参加的概率为p< ■'=■.故选：B.6.（5分）若方程x 2- （k - 1）x+仁0有大于2的根，则实数k 的取值范围是（ ） A .： B:C :-D .【解答】解：双曲线的:-:,2 2D .k-1••方程x2- （k - 1） x+仁0有大于2的根，可得* 2f (2)=4-2(k-l)+l<C或号＞2L A=(k-l)2-4>0解得：*m 或k ＞5.2故k 的取值范围为（'',+x ）,2 故选：C.7. (5分)已知 a, B 都是锐角，且 sin a cos B =c (s1+sin )贝U( )A.一 ： _ :B.「一「_ :C. z • ] - D . :: —【解答】解: v sin a cos B =coS 1+sin ), ••• sin a cos B cos a sin B =cos 即: 又v a, B 都是锐角，可得：0＜舟^-（ a- B ） V n, …*-"®,整理可得：眈卡WT 故选：B.8.（5分）如图所示，曲线y=x - 1, x=2, x=0, y=0围成的阴影部分的面积为（ ）故选A .【解答】解: (x 2-l)dx |x 2-1) dx+ J J (1-x 2) dx【解答】解：由题意 S= |「，土:- . - 工=丨：■■■,sin ( a- (a- B)],AB2 29. （5分）设直线：，「与椭圆： -.：.■■■- :.-u ：交于A , B 两点，若△OAB 是 2 a z b z 直角三角形，则椭圆的离心率为（）A.丄B.C.D .2332【解答】解：•••椭圆C 的两个焦点与A 、B 两点，△ OAB 是直角三角形，二AB=a,••• ?孑=曲站3，a ?e=「， 故选：C.10. （5分）已知数列｛a n ｝满足：a i =1，a n =2c h -1+1 （n > 2），为求使不等式 a 什a 2+a 3+・・+a n <k 的最大正整数n ，某人编写了如图所示的程序框图，在框图的 判断框中的条件和输出的表达式分别为（）A . S v k ，iB . S v k , i - 1C . S >k ，iD . S >k ，i - 1【解答】解：由题意，进入循环的条件应为数列的和 S< k ， 故判断框中的条件应为S< k .由程序框图可知i 为数列项数计数，先累加，后判断，故输出的数列的项数应为 第9页（共20页）即 A （：，；），2 4 a 2 2且4b 2i - 1.故选：B.11. （5分）为得到函数f （x）=2sinxcosx_ _ 口丄_ _ _工.的图象，可以把函数二：，：|「-门门—：?.-1的图象（）A.向左平移"个单位B.向左平移厂个单位4 2C•向右平移宀个单位D.向右平移个单位4 2【解答】解：函数f （x）=2si nxcosx■眉（虽nJ© 口S2Z）,=sin 2x—；cos2x,=2sin （2x-——）,3所以：①函数Z yi :x=2cos（ 2x- 一）的图象向左平移三个单位,■J L 1一得到：兀y=2co< 2 (x+ ) ]=2cos （2x+ ）的图象，故A错误.②函数.I .. I =2cos （2x-丁）的图象向左平移=个单位，得到:O 0 也的图象，故B错误.y=2co< 2 (x+ ) -丁］ =2cos (2x£O③函数-■-- 」=2cos（2x-…）的图象向右平移]个单位，得到：3 3 4y=2co< 2 （x-丄）-——]=2cos （2x-丄=2sin（2x-——）的图象，故C正确.4 3 6 3④函数―一“i二：：y.=2cos （2x- 一）的图象向右平移—个单位，得到：V 0 乙y=2co< 2 （X--—）-= ] =2cos （2x- ）的图象，故D 错误.故选：C12. （5分）图是某几何体的三视图，则该几何体的各个棱长中，最长的棱的长度为（）2 T正规图侧视图俯视图A. 3匚B.寸丨丄C. “D. 3匚【解答】解：由几何体的三视图得所求几何体ABCD为圆中粗线所表示的图形, 最长棱是AC,由长方体对角线长公式得：AC y --- 2"=「「.故选：C.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. （5分）」匚展开式的常数项是20 .（用数字作答）x【解答】解：：「匚展开式的通项为•. /---，令6-2r=0? r=3;令6-2r=- 1, r无整数解，所以，展开式的常数项为-'_.||，故答案为：20.14. （5分）已知变量x，y满足条件r十2y-3>0，则2x- 3y的最小值等于一-3 .2rC 9-y第11页（共20页）.■/ -「，作出可行域如图，【解答】解：由变量x, y满足条件,19-y化目标函数z=2x- 3y为y=：x-',3 3由图可知，当直线y=：x-过B （3, 3）时3 3直线在y轴上的截距最大，z有最小值为2X3-3X3=- 3.故答案为：-3.15. （5分）如图，在△ ABC中，D是AB上一点，工若CD丄CA 川-:, 则1“ | =.6【解答】解：由已知在厶ABC中，D是AB上一点，「■ ■ ■，可得二■一U- 乙CD丄CA,厂〕・：|,-* —* 3~2 1―•—•CD - CB^-CD pCD ・CA 二6・故答案为：6.16. （5分）已知a , b , c 分别为锐角△ ABC 的三个内角A , B , C 的对边，a=2, 且（2+b ） （ sinA - sinB ） = （ c - b ） sinC ,则厶ABC 周长的取值范围为• '■:.可得三角形的周长为：a+b+c=「 si nB+「 si nC+23 3 4屈.= sin3 二一 -sinB+一 - (—— cosB+〔 sinB ) +2 3 3 2 2 =2 si nB+2cosB^2 =4sin (B+丄)+2,6••• B €( 一，丄)，sin (B+ )€(- , 1],6 2 6 2 4sin (B+—) +2€「■ '■■,6故答案为：.三、解答题（本大题共5小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.）（1） 求数列｛a n ｝的通项公式；（2） 设数列｛a n a n +1｝的前n 项和为T n ,求证:..七 【解答】（本小题满分12分）【解答】解：由已知及正弦定理可得:(a+b ) ( a - b ) = ( c - b ) c , 即由正弦定理可得：二，可得: 2b= ： sinB, c= ： g +2 可得周长的取值范围为: (2+2 V3 - 6]17. （12分）已知数列｛a n ｝满足：a i =1,(n 》2).，得 A=60°,2+c 2-asin (120- B ) 2arrl + 1所以；一：是以2为公差的等差数列, 所以—.:-, 所以数列｛a n 的通项公式为-■ n1 ,2n+l 2 ^2n-L 2n+l 'T n = =i :; ! 丨’5 2 U 2n+l 218. （12分）为了解学生完成数学作业所需时间，某学校统计了高三年级学生每 天完成数学作业的平均时间介于 30分钟到90分钟之间，图是统计结果的频率分 布直方图.（1） 数学教研组计划对作业完成较慢的 20%的学生进行集中辅导，试求每天完 成数学作业的平均时间为多少分钟以上的学生需要参加辅导？（2） 现从高三年级学生中任选4人，记4人中每天完成数学作业的平均时间不 超过50分钟的人数为X ,求X 的分布列和期望.【解答】（本小题满分12分）解：（1）设每天完成作业所需时间为x 分钟以上的同学需要参加辅导, 则由频率分布图得:（70 - x ）x 0.02+ （90 - 70）x 0.005=0.2,解得 x=65 （分钟）, 所以，每天完成数学作业的平均时间为 65分钟以上的同学需要参加辅导.⑴解：一宀'—-an-l a n-l2n-l⑵证明：由（1）得1+*■■+- 1 1(2)把统计的频率作为概率，则选出的每个学生完成作业的时间不超过50分钟的概率为0.2,X〜B(4, 0.2)，P (X=0) =O0?0.20?0.84=0.4096,P (X=1) =C41?0.2?0.83=0.4096,2 2 2P (X=2) =C ?0.2 ?0.8 =0.1536,3 3P (X=3) =03?0.23?0.8=0.0256,P (X=4) =CC4?0.24=0.0016.••• X的分布列为：EX=0X 0.4096+1 0.4096+2 0.1536+3 0.0256+4 0.0016=0.8.19. (12分)如图，在三棱锥K- ABC中，D, E, F分别是KA, KB, KC的中点, 平面KBCL平面ABC, AC丄BC, △ KBC是边长为2的正三角形，AC=3(1)求证：BF丄平面KAC(2)求二面角F- BD-E的余弦值.【解答】(本小题满分12分)证明：(1)v在三棱锥K- ABC中，D, E, F分别是KA, KB, KC的中点，平面KBCL平面ABC, AC丄BC, △ KBC是边长为2的正三角形，AC=3 •如图，以C为原点，CB为x轴，AC为y轴，过C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则■■- L' , B( 2, 0, 0), C( 0 , 0 , 0) , A( 0 , - 3, 0), F(] , 0,),第15页(共20页)•••"・ 1- ；f ；丄「，••• BF 丄 CK••• BF 丄 CA ,•••CA CK 是平面KAC 内的两条相交直线， ••• BF 丄平面KAC解：（2） D 寺—鲁，省），五=（—魯—器#），丽=（—養,0,爭）,蘇= （-1, 0,）,设平面BDE （即平面ABK ）的一个法向量为z. yBD^a-b^^O ,取 4=3,得 + n*BK=-a+V3c=0 设二面角的平面角为9, 贝U cos 9 二［R .=； =,I m I v | n | V4 T V16 4•••二面角F- BD- E 的余弦值为1420.（ 12分）已知椭圆：的离心率为77, Fi , F2是椭圆的左、z b‘ID =⑴0,:,则丿0,设平面BDF 的一个法向量:,则、2=0，取x=1，得右焦点，P是椭圆上一点，|计「-；叶：的最小值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过点冃且与x轴不重合的直线I交椭圆C于M , N两点，圆E是以Fi为圆心椭圆C的长轴长为半径的圆，过F2且与I垂直的直线与圆E交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【解答】解：(1)已知•，一：「■二；.［的最小值为b2- C2=2，a 2 1匸又a2=b2+c2，2 2解得a2=4，b2=3，所以椭圆方程为■.亠’1(2)当I与x轴不垂直时，设I的方程为y=k (x- 1)(心0)，M (xi，yi)，N (X2, y).y=k(x'l)由* / 2 得(4k2+3 ) x2- 8『x+4k2- 12=0 .则—=1l宀1,Sk 2昶宀121‘ 4k z+3 1£ 4k z+3所以lf r'- . .. < :■1.£4k2+3过点F2 (1，0)且与I垂直的直线.1 : "・■ ：，F1到m的距离为^亠，k Vk2+1可得当I与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为；一_ .当I与x轴垂直时，其方程为x=1，|MN|=3，|PQ|=8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为•二’_ .21. (12分)设f (x) =x (Inx—1) +a (2x—x2), a€ R.故四边形MPNQ的面积:1 "二匚j第仃页(共20页)(1)令g (x) =f'(x),求g (x)的单调区间；(2)已知f (x)在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围.【解答】解：(1)由f (x) =lnx - 2ax+2a,可得g (x) =lnx- 2ax+2a, x€( 0, +^),则—J亠亠当a<0时，x€( 0, +x)时，g' (x)> 0，函数g (x)单调递增，当a>0时，一；….•■时，g' (x)> 0,函数g (x)单调递增，2a■, ■', …一时，g' (x)v 0,函数g (x)单调递减.2a所以当a< 0时，函数g (x)的单调递增区间为(0, +x),当a>0时，函数g (x)的单调递增区间为门亠.，单调递减区间为2a(圭，(2)由(1)知,f (1) =0.①当a< 0时，f (x)单调递增，所以当x€( 0, 1)时，f (x)v 0, f (x)单调递减，当x€( 1, +x)时，f (x)>0, f (x)单调递增，所以f ( X)在x=1处取得极小值，不合题意.②当「I时，1二，由(I)知f (x)在』. 「内单调递增，可得当x€( 0, 1)时，f (x)V 0,「］. ―时，f (x)> 0,2a所以f (乂)在(0, 1)内单调递减，在；〕.. 亍］内单调递增，2a所以f ( X)在x=1处取得极小值，不合题意.③当4一；时，即打-i. , f (乂)在(0 , 1)内单调递增，在(1 , +x)内单调递2 2a减，所以当x€( 0, +x)时，f (x)< 0, f (x)单调递减，不合题意.④当二二丄时，即,当亠1 •:时，f (x)> 0, f ( x)单调递2 2a 2a当x€( 1, +x)时，f (x)V 0, f (x)单调递减，所以f (x)在x=1处取得极大值，合题意.综上可知，实数a的取值范围为■■.2第20页(共20页)请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.［选修4-4 :坐标系与参数方程］22. (10分)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点0处，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线I的极坐标方程为| :,曲线C的参数方程为：■：，(a为参数)，其中a€ ［0，2n).(y=2+3sinCl(1)写出直线I的直角坐标方程及曲线C的普通方程；(2)若A，B为曲线C与直线I的两交点，求|AB| .【解答】(本小题满分10分)【选修4 - 4:坐标系与参数方程】解：(I) I直线I的极坐标方程为j ■,, I；I ；，•••：；」:,3直线I的直角坐标方程：Lj—= '1曲线C：•—：(a为参数)，ly=2+3sina消去参数可得曲线C的普通方程为: 「迁,;小■ '!.(U)由(I)可知，(讣卫+^乂二g的圆心为D (皿，2)，半径为3. 设AB中点为M，连接DM，DA,圆心到直线I的距离I _二，二DM=2，2又T DA=3,所以，匸，•丨「丨二「J［选修4-5：不等式选讲］23 .设f (x) =| 2x-3|+| x+1| .(1)求不等式f (x)v x+4的解集；(2)若函数g (x) =f (x) +ax有两个不同的零点，求实数a的取值范围.【解答】解：(1) f (x) =| 2x-3|+| x+1| .不等式f (x)v x+4转化为：| 2x—3|+| x+11 v x+4令：2x- 3=0, x+仁0,解得：x=- 1,2①当X》「时，22x- 3+x+1 v x+4,解得：x v3;则：合以二E②当—1 v x v 时，23 —2x+x+1 v x+4，解得：x> 0,则：-一「「.2③当x< —1时，3 —2x —x- 1 v x+4，无解，则：解集为？综合①②③得：不等式解集为（0, 3）.（2）函数g（x）=f（x）+ax有两个不同的零点，即：g （x）=| 2x—3|+| x+1|+ax=0 有两个实数根，函数 f （x）=|2x-3|+| x+1| =—ax有两个交点.（33z-2 （x>y）-x+4（-l<x<|）-3x+2 -1）L利用函数的图象，利用（芦心，解得A（容冷）y=-x+4 2 2则：当-a「一且-a v3时，函数的图象有两个交点.即：可得-4-。

贵阳市普通高中2017届高三年级8月摸底考试英语2016年8月本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3.请保持答题卡平整，不能折叠。

考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第I卷第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.Why is the woman surprised?A. The man’s book is long.B. The man is reading for fun.C. The man studies so much.2.What season might it be?A. Spring.B. Summer.C. Winter.3.What is the man trying to help the woman do?A. Find the zoo.B. Save some money.C. Get time off from work.4.What is the woman’s job?A. She is a dancer.B. She is a doctor.C. She is a secretary.5.What is the man planning to do on Saturday?A. See an art show.B. Relax at home.C. Go to work.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

贵州省贵阳市2017-2018学年高三上学期8月摸底数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z=3﹣2i，i是虚数单位，则z的虚部是（）A．2i B．﹣2i C．2D．﹣22．（5分）设集合A={x∈N|3＜x＜7}，B={x∈N|4＜x＜8}，则A∩B=（）A．{5，6} B．{4，5，6，7} C．{x|4＜x＜7} D．{x|3＜x＜8}3．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时f（x）的图象如图所示，则f（﹣2）=（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．24．（5分）抛物线y2=﹣8x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．y=2 D．y=﹣25．（5分）下列判断错误的是（）A．“am2＜bm2”是“a＜b“的充分不必要条件B．“∀∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2﹣1＞0”C．“若α=，则tanα=1”的逆否是“若tanα≠1，则α≠”D．若p∧q为假，则p，q均为假6．（5分）某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2B．C．f（x）=x2D．f（x）=sinx7．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=7a1，则数列{a n}的公比q的值为（）A．2B．3C．2或﹣3 D．2或38．（5分）设实数x、y满足约束条件，则3x+2y的最大值是（）A．6B．5C．D．09．（5分）要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位10．（5分）已知两个平面垂直，给出下列四个：①一个平面内的已知直线必垂直另一平面内的任意一条直线．②一个平面内的已知直线必垂直另一平面内的无数条直线．③一个平面内的任一条直线必垂直另一平面．④在一个平面内一定存在直线平行于另一平面．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．311．（5分）已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25，圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（，），则该幂函数的解析式为．14．（5分）在等差数列{a n}中，a4+a10=6，则此数列前13项的和是．15．（5分）已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为．16．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求cos（B+C）+cos2A的值；（2）若，求b•c的最大值．18．（12分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（1）求证：DE∥平面ACF；（2）若CE=1，AB=，求三棱锥E﹣ACF的体积．19．（12分）交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．（1）求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？（2）用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（3）从（2）中抽取的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆由焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，弦AB长4．（1）求椭圆的方程；（2）若|AB|+|CD|=．求直线AB的方程．21．（12分）设函数f（x）=xlnx（x＞0）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）设F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性．选做题（共1小题，满分10分）22．（10分）如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C 两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小．选做题（共1小题，满分0分）23．已知切线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为（t为参数）．（1）写出直线L与曲线C的直角坐标系下的方程；（2）设曲线C经过伸缩变换，得到曲线C′，判断L与切线C′交点的个数．选做题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．贵州省贵阳市2015届高三上学期8月摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z=3﹣2i，i是虚数单位，则z的虚部是（）A．2i B．﹣2i C．2D．﹣2考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的有关概念，即可得到结论．解答：解：复数的虚部为﹣2，故选：D点评：本题主要考查复数的概念，比较基础．2．（5分）设集合A={x∈N|3＜x＜7}，B={x∈N|4＜x＜8}，则A∩B=（）A．{5，6} B．{4，5，6，7} C．{x|4＜x＜7} D．{x|3＜x＜8}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合A、B中元素的范围，分别求出集合A、B，再由交集的元素求出A∩B．解答：解：由题意得，A={x∈N|3＜x＜7}={4，5，6}，B={x∈N|4＜x＜8}={5，6，7}，则A∩B={5，6}，故选：A．点评：本题考查交集及其运算，注意集合中元素的范围，属于基础题．3．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时f（x）的图象如图所示，则f（﹣2）=（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的性质结合函数图象即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，故选：B点评：本题主要考查函数值的计算，根据函数的奇偶性以及函数图象进行转化时解决本题的关键．4．（5分）抛物线y2=﹣8x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．y=2 D．y=﹣2考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线y2=﹣8x的开口向左，2p=8，从而可得抛物线y2=﹣8x的准线方程．解答：解：抛物线y2=﹣8x的开口向左，2p=8，∴抛物线y2=﹣8x的准线方程为x==2故选A．点评：本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（5分）下列判断错误的是（）A．“am2＜bm2”是“a＜b“的充分不必要条件B．“∀∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2﹣1＞0”C．“若α=，则tanα=1”的逆否是“若tanα≠1，则α≠”D．若p∧q为假，则p，q均为假考点：的真假判断与应用；复合的真假；特称．专题：简易逻辑．分析：利用充要条件判断A的正误；的否定判断B的正误；四种的逆否关系判断C的正误；复合的真假判断D的正误；解答：解：“am2＜bm2”，说明m≠0，可以得到“a＜b”，但是反之不成立，所以判断是充分不必要条件，所以A正确；“∀∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2﹣1＞0”，满足全称的否定是特称的形式，所以B 正确；“若α=，则tanα=1”的逆否是“若tanα≠1，则α≠”，符号逆否的定义，所以C正确；若p∧q为假，则p，q至少一个是假，所以D错误．故选：D．点评：本题考查的真假的判断与应用，充要条件、的否定、四种的关系，基本知识的考查．6．（5分）某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2B．C．f（x）=x2D．f（x）=sinx考点：程序框图．专题：操作型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．解答：解：∵A：f（x）=x2、C：f（x）=x2，不是奇函数，故不满足条件①又∵B：的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②而D：f（x）=sinx既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故D：f（x）=sinx符合输出的条件故答案为D．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=7a1，则数列{a n}的公比q的值为（）A．2B．3C．2或﹣3 D．2或3考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据等比数列的通项公式表示出S3等于前三项相加，让其值等于7a1，根据a1不等于0，消去a1得到关于q的方程，求出方程的解即可得到q的值．解答：解：由S3=7a1，则a1+a2+a3=7a1，即a1+a1q+a1q2=7a1，由a1≠0，化简得：1+q+q2=7，即q2+q﹣6=0，因式分解得：（q﹣2）（q+3）=0，解得q=2或q=﹣3，则数列{a n}的公比q的值为2或﹣3．故选C点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题．8．（5分）设实数x、y满足约束条件，则3x+2y的最大值是（）A．6B．5C．D．0考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：①画可行域②z=3x+2y为目标函数纵截距倍③画直线0=3x+2y，平移直线过（1，1）时z有最大值解答：解：画可行域如图，z为目标函数z=3x+2y，可看成是直线z=3x+2y的纵截距倍，画直线0=3x+2y，平移直线过A（1，1）点时z有最大值5故选B．点评：本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．9．（5分）要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：先把y=sin（2x+）整理为sin2（x+）；再根据图象平移规律即可得到结论．（注意平移的是自变量本身，须提系数）．解答：解：因为：y=sin（2x+）=sin2（x+）．根据函数图象的平移规律可得：须把函数y=sin2（x+）相右平移个单位得到函数y=sin2x的图象．故选：D．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．10．（5分）已知两个平面垂直，给出下列四个：①一个平面内的已知直线必垂直另一平面内的任意一条直线．②一个平面内的已知直线必垂直另一平面内的无数条直线．③一个平面内的任一条直线必垂直另一平面．④在一个平面内一定存在直线平行于另一平面．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：的真假判断与应用．专题：阅读型；空间位置关系与距离．分析：由面面垂直的性质定理：如果两平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，则可判断①③均错；由线面平行的判定定理，可知只要该直线平行于交线，即可判断④正确；可以找到一条直线垂直于另一条直线，这无数条直线可以平行，即可判断②正确．解答：解：对于①，由于两平面垂直，则若一个平面内的已知直线垂直另一平面内的任意一条直线，则该直线垂直于另一个平面，且必垂直于它们的交线，可已知直线不一定垂直于交线，故①错；对于②，一个平面内的已知直线必垂直另一平面内的无数条直线，比如都是平行线，故②对；对于③，由于两平面垂直，则一个平面内的任一条直线不一定垂直于另一平面，只有它垂直于交线，才成立，故③错；对于④，在一个平面内一定存在直线平行于另一平面，只要改直线平行于交线即可，故④对．则②④正确．故选C．点评：本题主要考查面面垂直的性质定理，考查线面垂直、平行的判定和性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，属于基础题．11．（5分）已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25，圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°，根据几何概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，满足条件的事件是到直线l的距离小于2，过圆心做一条直线交直线l与一点，∵圆心到直线的距离是=5，∴在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是60°根据几何概型的概率公式得到P==故选A．点评：本题考查几何概型，考查学生的计算能力，确定测度是关键．12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图像与性质．专题：作图题；压轴题；数形结合．分析：画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．解答：解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．点评：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（，），则该幂函数的解析式为y=．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：设出幂函数的解析式，由图象过点（，），求出这个幂函数的解析式．解答：解：设幂函数的解析式为y=xα，α∈R，∵图象经过点（，），∴（）α=，∴α=，∴这个幂函数的解析式为y=；故答案为：y=．点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的问题，是基础题．14．（5分）在等差数列{a n}中，a4+a10=6，则此数列前13项的和是39．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用等差数列的性质结合已知求得a7=3，然后由S13=13a7得答案．解答：解：在等差数列{a n}中，由a4+a10=6，得2a7=6，a7=3．∴S13=13a7=13×3=39．故答案为：39．点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的和，是基础题．15．（5分）已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：由条件可得求得=1，再由两个向量的夹角公式求出cosθ=，再由θ的范围求出θ的值．解答：解：设与的夹角为θ，∵向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，∴++=1++4=6，∴=1．∴cosθ==，再由θ的范围为[0，π]，可得θ=，故答案为．点评：本题主要考查两个向量的夹角公式，求出=1，是解题的关键，属于中档题．16．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为．考点：由三视图求面积、体积．专题：图表型．分析：几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，四棱锥的底面是边长是1的正方形，四棱锥的高是，根据求和几何体的对称性得到几何体的外接球的直径是，求出表面积及球的表面积即可得出比值．解答：解：由三视图知，几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，四棱锥的底面是边长是1的正方形，四棱锥的高是，斜高为，这个几何体的表面积为8×1×=2∴根据几何体和球的对称性知，几何体的外接球的直径是四棱锥底面的对角线是，∴外接球的表面积是4×π（）2=2π则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为=故答案为：．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，考查正多面体与外接球之间的关系，本题是一个考查的知识点比较全的题目．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求cos（B+C）+cos2A的值；（2）若，求b•c的最大值．考点：余弦定理；基本不等式；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：（1）把所求式子第一项的角B+C变为π﹣A，利用诱导公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，得到关于cosA的关系式，把cosA的值代入即可求出值；（2）利用余弦定理表示出cosA，将已知cosA的值代入，整理后利用基本不等式b2+c2≥2bc进行变形，把a的值代入可求出bc的范围，即可确定出bc的最大值．解答：解：（1）∵cosA=，且A+B+C=π，∴cos（B+C）+cos2A=cos（π﹣A）+cos2A=﹣cosA+2cos2A﹣1=﹣+2×﹣1=﹣；（2）由根据余弦定理得：cosA=，又cosA=，∴，∴，又∵，∴，当且仅当b=c=时，bc=，则bc的最大值是．点评：此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，诱导公式，以及基本不等式的应用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．18．（12分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（1）求证：DE∥平面ACF；（2）若CE=1，AB=，求三棱锥E﹣ACF的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）连接OF，由中位线定理，得到OF∥DE，再由线面平行的判定定理，即可得证；（2）在△EBC中，求得△CEF的面积，再由线面垂直的性质和判定，得到AB⊥平面BCE，再由三棱锥E﹣ACF的体积即三棱锥A﹣ECF的体积，运用棱锥的体积公式即可得到．解答：（1）证明：连接OF．由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD中点．又F为BE的中点，所以OF∥DE．又OF⊂平面ACF，DE⊄平面ACF，所以DE∥平面ACF；（2）因为在△EBC中，BC⊥CE，F为BE的中点，CE=1，BC=，所以．又因为底面ABCD是正方形，EC⊥底面ABCD，所以AB⊥BC，AB⊥CE，BC∩CE=C，所以AB⊥平面BCE，所以三棱锥E﹣ACF的体积．点评：本题考查直线与平面平行的判断和垂直的判定和性质定理的运用，考查棱锥的体积的计算，注意三棱锥体积可用等积法，属于中档题．19．（12分）交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．（1）求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？（2）用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（3）从（2）中抽取的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图可知底×高=频率，频数×20=个数，即可得出结论；（2）根据分层抽样，交通指数在[4，10）的路段共18个，抽取6个，求出抽取的比值，继而求得路段个数．（3）考查古典概型，一一列举所有满足条件的基本事件，利用概率公式求得．解答：解：（1）由直方图得：这20个路段中，轻度拥堵的路段有（0.1+0.2）×1×20=6个，中度拥堵的路段有（0.25+0.2）×1×20=9个，严重拥堵的路段有（0.1+0.2）×1×20=3个．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由（1）知：拥堵路段共有6+9+3=18个，按分层抽样，从18个路段选出6个，依次抽取的三个级别路段的个数分别为，即从交通指数在[4，6），[6，8），[8，10]的路段中分别抽取的个数为2，3，1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）记选出的2个轻度拥堵路段为A1，A2，选出的3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，选出的1个严重拥堵路段为C1，则从这6个路段中选出2个路段的所有可能情况如下：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1），共15种情况．其中至少有一个轻度拥堵路段的情况有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），共9种．所以所选2个路段中至少一个轻度拥堵的概率是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题主要考查了频率分布直方图的应用、分层抽样和古典概型的概率的求法，属于基础题．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆由焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，弦AB长4．（1）求椭圆的方程；（2）若|AB|+|CD|=．求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1），2a=4，又a2=b2+c2，解得：，即可求出椭圆的方程；（2）分类讨论，将直线AB，CD方程代入椭圆方程中，求出|AB|，|CD|，利用|AB|+|CD|=，求出k，即可求直线AB的方程．解答：解：（1）由题意知，2a=4，又a2=b2+c2，解得：，所以椭圆方程为：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知|AB|+|CD|=7，不满足条件；②当两弦斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），则直线CD的方程为．将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，则，所以．同理，．所以==解得k=±1，所以直线AB方程为x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查椭圆非常，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=xlnx（x＞0）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）设F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的最小值；（2）分类讨论，利用导数的正负，即可得到函数F（x）的单调性．解答：解：（1）求导函数，可得f′（x）=lnx+1（x＞0），令f′（x）=0，得x=．∵当x时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0，∴当x=时，．…（6分）（2）F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），（x＞0）．①当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；②当a＜0时，令F′（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得；令F′（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得．综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，F（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．…（12分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．选做题（共1小题，满分10分）22．（10分）如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C 两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小．考点：圆內接多边形的性质与判定．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）要证明四点共圆，可根据圆内接四边形判定定理：四边形对角互补，而由AP 是⊙O的切线，P为切点，易得∠APO=90°，故解答这题的关键是证明，∠AMO=90°，根据垂径定理不难得到结论．（2）由（1）的结论可知，∠OPM+∠APM=90°，只要能说明∠OPM=∠OAM即可得到结论．解答：证明：（Ⅰ）连接OP，OM．因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP．因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC．于是∠OPA+∠OMA=180°．由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形M的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM．由（Ⅰ）得OP⊥AP．由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM+∠APM=90°．又∵A，P，O，M四点共圆∴∠OPM=∠OAM所以∠OAM+∠APM=90°．点评：本题是考查同学们推理能力、逻辑思维能力的好资料，题目以证明题为主，特别是一些定理的证明和用多个定理证明一个问题的题目，我们注意熟练掌握：1．射影定理的内容及其证明；2．圆周角与弦切角定理的内容及其证明；3．圆幂定理的内容及其证明；4．圆内接四边形的性质与判定；选做题（共1小题，满分0分）23．已知切线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为（t为参数）．（1）写出直线L与曲线C的直角坐标系下的方程；（2）设曲线C经过伸缩变换，得到曲线C′，判断L与切线C′交点的个数．考点：直线的参数方程；伸缩变换．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由直线L的参数方程消去参数t得直线L的直角坐标方程．由公式ρ2=x2+y2得曲线C的直角坐标方程．（2）曲线C经过伸缩变换变为代入直角坐标方程即可得到曲线C′的方程，由于直线L恒过点（1，2），点（1，2）在椭圆内部，可得直线L与椭圆相交．解答：解：（1）由直线L的参数方程消去参数t得直线L的直角坐标方程为：，由公式ρ2=x2+y2得曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4；（2）曲线C经过伸缩变换得到曲线C′的方程为，由于直线L恒过点（1，2），点（1，2）在椭圆内部，∴直线L与椭圆相交，故直线与椭圆有两个交点．点评：本题考查了参数方程极坐标化为普通方程、伸缩变换、直线与椭圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题．选做题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：对第（1）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明．解答：解：（I）当a=2时，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|即为|x﹣2|≥4﹣|x﹣1|，①当x≤1时，原不等式化为2﹣x≥4+（x﹣1），得，故；②当1＜x＜2时，原不等式化为2﹣x≥4﹣（x﹣1），得2≥5，故1＜x＜2不是原不等式的解；③当x≥2时，原不等式化为x﹣2≥4﹣（x﹣1），得，故．综合①、②、③知，原不等式的解集为∪．（Ⅱ）证明：由f（x）≤1得|x﹣a|≤1，从而﹣1+a≤x≤1+a，∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴得a=1，∴+=a=1．又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（+）=2+（），当且仅当即m=2n时，等号成立，此时，联立+=1，得时，m+2n=4，故m+2n≥4，得证．点评：1．已知不等式的解集求参数的值，求解的一般思路是：先将原不等式求解一遍，再把结果与已知解集对比即可获得参数的值．2．本题中，“1”的替换很关键，这是解决此类题型的一种常用技巧，应注意体会证明过程的巧妙性．。

贵阳市普通高中2018届高三年级8月底摸底考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合()(){}120A x x x =-+<，103x B x x 禳+镲=<睚-镲铪，则A B =( )A ．()2,1-B ．()2,3-C ．()1,3-D ．()1,1- 2.复数311i i++等于( )A ．1B ．1-C ．iD ．i - 3.sin15sin 75°°的值为( ) A ．12B ．32C ．14D ．344.命题0:p x R $?，200220x x ++?，则p Ø为( ) A ．x R "?，2220x x ++> B ．x R "?，2220x x ++?C.x R $?，2220x x ++> D ．x R $?，2220x x ++? 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若632a a =，则115=S S ( )A ．115B ．522 C.1110 D ．2256.20世纪30年代M ，其计算公式为0lg lg M A A =-，其中A 为被测地震的最大振幅，0A 是标准地震振幅，5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？A ．10倍B ．20倍 C.50倍 D ．100倍7.一算法的程序框图如图所示，若输出的12y =，则输入的x 最大值为( )A ．1-B ．1 C.2 D ．08.如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD 的顶点D 被阴影遮住，请找出D 点的位置，计算AB AD ×的值为( )A ．10B ．11 C.12 D ．13 9.点集(){},0,0x y x e ye W =＃＃，()(){},,,xA x y y e x y =澄W ，在点集W 中任取一个元素a ，则a A Î的概率为( )A ．1eB ．21eC.1e e - D ．221e e-10.某实心几何体是用棱长为1cm 的正方体无缝粘合而成，其三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．250cmB ．261cm C.284cm D ．286cm 11.函数()1x bf x a e =++(,a b R Î)是奇函数，且图像经过点1ln 3,2骣琪琪桫，则函数()f x 的值域为( )A ．()1,1-B ．()2,2- C.()3,3- D ．()4,4-12.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F且垂直于x 轴的直线交C 于两点,P Q ，若3cos 5PAQ =∠，则椭圆C 的离心率e 为( )A ．12B ．22C.33D ．23第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知sin cos 2sin cos a aa a-=+，则tan a = ．14.实数,x y 满足条件200x y x y y ì+-?ïï-?íï³ïî，则2z x y =-的最大值为 ． 15.9ax x骣琪+琪桫展开式中3x 的系数为84-，则展开式的系数和为 ．16.已知函数()()1*n n f x x x n N +=-?，曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线与y 轴的交点的纵坐标为n b ，则数列{}n b 的前n 项和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC △中，内角,,A B C 的对边,,a b c 成公差为2的等差数列，120C =°. (1)求a ；(2)求AB 边上的高CD 的长；18.某高校学生社团为了解“大数据时代”下大学生就业情况的满意度，对20名学生进行问卷计分调查(满分100分)，得到如图所示的茎叶图：(1)计算男生打分的平均分，观察茎叶图，评价男女生打分的分散程度； (2)从打分在80分以上的同学随机抽3人，求被抽到的女生人数X 的分布列和数学期望.19.如图AB ，CD 是圆柱的上、下底面圆的直径，ABCD 是边长为2的正方形，E 是底面圆周上不同于,A B 两点的一点，1AE =. (1)求证：BE ^平面DAE ； (2)求二面角C DB E --的余弦值.20.过抛物线2:4C y x =的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于两点,A B ，且8AB =.(1)求l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 恒过定点并求出该点的坐标. 21.已知函数()()ln 10f x kx x k =-->.(1)若函数()f x 有且只有一个零点，求实数k 的值； (2)证明：当*n N Î时，()1111ln 123n n++++>+….22.曲线C 的参数方程为2cos sin x y j jì=ïí=ïî(j 为参数)，以坐标原点为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 24pr q 骣琪+=琪桫.(1)写出C 的直角坐标方程，并且用00cos sin x x t y y t a a ì=+ïí=+ïî(a 为直线的倾斜角，t 为参数)的形式写出直线l 的一个参数方程；(2)l 与C 是否相交，若相交求出两交点的距离，若不相交，请说明理由. 23.已知函数()2f x x x =++. (1)解不等式()6f x ³的解集M ；(2)记(1)中集合M 中元素最小值为m ，若,a b R +Î，且a b m +=，求1111a b 骣骣琪琪++琪琪桫桫的最小值.24.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3122n n S a =-，11a =. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若31321log log n n n b a a ++=×，求数列{}n b 的前n 项和n T .贵阳市普通高中2018届高三年级8月底摸底考试理科数学参考答案一、选择题1-5:BCCAD 6-10:DBBBD 11、12：AA二、填空题13.3- 14.4 15.0 16.12n n +×三、解答题17.解：(1)由题意得2b a =+，4c a =+，由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=得()()()22224cos12022a a a a a ++-+=+°，即260a a --=，∴3a =或2a =-(舍去)，∴3a =.(2)解法1由(1)知3a =，5b =，7c =，由三角形的面积公式得：11sin 22ab C c CD =?，∴335sin 1532714ab C CD c 创===， 即AB 边上的高15314CD =.解法2：由(1)知3a =，5b =，7c =， 由正弦定理得377sin sin sin120A C ==°，即33sin 14A =，在Rt ACD △中，33153sin 51414CD AC A ==?，即AB 边上的高15314CD =. 18.解：(1)男生打的平均分为：()1555362657170737486816910+++++++++=， 由茎叶图知，女生打分比较集中，男生打分比较分散； (2)因为打分在80分以上的有3女2男，∴X 的可能取值为1，2，3，()1232353110C C P X C ===，()213235325C C P X C ===，()3032351310C C P X C ===，∴X 的分布列为：X 1 2 3 P31035110()3319123105105E X =???. 19.证明：(1)由圆柱性质知：DA ^平面ABE ， 又BE Ì平面ABE ，∴BE DA ^，又AB 是底面圆的直径，E 是底面圆周上不同于,A B 两点的一点，∴BE AE ^，又DAAE A =，,DA AE Ì平面DAE ，∴BE ^平面DAE . (2)解法1：过E 作EF AB ^，垂足为F，由圆柱性质知平面ABCD ^平面ABE ，∴EF ^平面ABCD ，又过F 作FH DB ^，垂足为H，连接EH ，则EHF ∠即为所求的二面角的平面角的补角，2AB AD ==，1AE =易得5DE =，3BE =，22BD =，∴32AE BE EF AB ´==， 由(1)知BE DE ^，∴5330422DE BE EH DB 创===，∴3102sin 5304EF EHF EH ===∠，∴215cos 1sin 5EHF EHF =-=∠∠，∴所求的二面角的余弦值为155-. 解法2：过A 在平面AEB 作Ax AB ^，建立如图所示的空间直角坐标系，∵2AB AD ==，1AE =，∴3BE =，∴31,,022E 骣琪琪桫，()0,0,2D ，()0,2,0B ，∴31,,222ED 骣琪=--琪桫，()0,2,2BD =-，平面CDB 的法向量为()11,0,0n =，设平面EBD 的法向量为()2222,,n x y z =，2200n ED n BD ì?ïíï?î，即22222312022220x y z y z ìï--+=ïíï-+=ïî，取()23,1,1n =，∴121212315cos ,55n n n n n n ×<>===，∴所求的二面角的余弦值为155-. 解法3：如图，以E 为原点，,EB EA 分别为x 轴，y 轴，圆柱过点E 的母线为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,1,0A ，()3,0,0B ，()3,0,2C ，()0,1,2D ，()0,0,0E ，∴()0,0,2BC =，()3,1,0CD =-，()3,1,2BD =-，()3,0,0EB =，设()1,,n x y z =是平面BCD 的一个法向量，则1n BC ^，1n CD ^，即0020300x y z x y z ì++=ïíï-++=î，令1x =，则3y =，0z =，∴()11,3,0n =，12n=，设()2,,n x y z =是平面BDE 的一个法向量，则2n BD ^，2n EB ^，即3203000x y z x y z ì-++=ïíï++=î，令1z =，则2y =-，0x =. ∴()20,2,1n =-，25n =， ∴1212122315cos ,525n n n n n n ×-<>===-，∴所求的二面角的余弦值为155-. 解法4：由(1)知可建立如图所示的空间直角坐标系： ∵2AB AD ==，1AE =，∴3BE =，∴()0,0,0E ，()1,0,2D ，()0,3,0B ，()0,3,2C ，∴()1,0,2ED =，()0,3,0EB =，()1,3,2BD =-，()0,0,2BC =，设平面CDB 的法向量为()1111,,n x y z =，平面EBD 的法向量为()2222,,n x y z =，∴1100n BD n BC ì?ïíï?î，2200n ED n EB ì?ïíï?î， 即111132020x y z z ì-+=ïíï=î，()13,1,0n =，2222030x z y ì+=ïíï=î，取()22,0,1n =-， ∴1212122315cos ,525n n n n n n ×-<>===-.∴所求的二面角的余弦值为155-. 20.解：(1)F 的坐标为()1,0，设l 的方程为()1y k x =-代入抛物线24y x =得()2222240k x k x k -++=，由题意知0k ¹，且()()222222441610k k k k 轾-+-?+>犏臌，设()11,A x y ，()22,B x y ，∴212224k x x k++=，121x x =，由抛物线的定义知1228AB x x =++=，∴22246k k+=，∴21k =，即1k =?，∴直线l 的方程为()1y x =?.直线BD 的斜率为212122212121444BD y y y y k x x y y y y++===---，∴直线BD 的方程为()11214y y x x y y +=--，即()221211144y y y y y y x x -+-=-，∵24y x =，121x x =，∴()212121616y y x x ==， 即124y y =-(因为12,y y 异号)， ∴BD 的方程为()()12410x y y y ++-=，恒过()1,0-.21.解：(1)方法1：()ln 1f x kx x =--，()()11'0,0kx f x k x k x x-=-=>>， 1x k=时，()'0f x =；10x k<<时，()'0f x <；1x k>时，()'0f x >；∴()f x 在10,k 骣琪琪桫上单调递减，在1,k 骣琪+?琪桫上单调递增，∴()min1ln f x f k k 骣琪==琪桫，∵()f x 有且只有一个零点，故ln 0k =，∴1k =.方法2：由题意知方程ln 10kx x --=仅有一实根， 由ln 10kx x --=得ln 1x k x+=(0x >)，令()ln 1x g x x+=，()()2ln '0xg x x x-=>， 1x =时，()'0g x =；01x <<时，()'0g x >；1x >时，()'0g x <，∴()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+?上单调递减， ∴()()max 11g x g ==，所以要使()f x 仅有一个零点，则1k =.方法3：函数()f x 有且只有一个零点即为直线y kx =与曲线ln 1y x =+相切，设切点为()00,x y ，由ln 1y x =+得1'y x =，∴000001ln 1k x y kx y x ì=ïïïï=íï=+ïïïî，∴001k x y ===，所以实数k 的值为1.(2)由(1)知ln 10x x --?，即1ln x x -?当且仅当1x =时取等号， ∵*n N Î，令1n x n +=得，11ln n n n+>， ()1112311ln ln ln ln 12312n n n n+++++>+++=+……， 即()1111ln 123n n++++>+….22.解：(1)C 的直角坐标方程为2214x y +=，由cos 24p r q 骣琪+=琪桫得20x y --=，直线l 的倾斜角为4p ，过点()2,0，故直线l 的一个参数方程为22222x t y t ìï=+ïíïï=ïî(t 为参数) (2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程得25420t t +=，10t =，2425t =-，显然l 与C 有两个交点,A B 且12425AB t t =-=.23.解：(1)()6f x ³，即为26x x ++?， ∴226x x x ì?ïí--?ïî或226x x x ì>-ïí++?ïî即2x ³∴{}2M x x =?.(2)由(1)知2m =，即2a b +=，且,a b R +Î，∴11111122a ba ba b a b 骣骣骣骣++琪琪琪琪++=++琪琪琪琪桫桫桫桫3353532422222424b a b a baa b a b ab骣骣骣琪琪琪=++=++?创=琪琪琪桫桫桫. 当且仅当1a b ==时，1111a b 骣骣琪琪++琪琪桫桫取得最小值4.24.解：(1)由已知3122n n S a =-①，得113122n n S a --=-，()2n ³②，-①②得13322n n n a a a -=-，即()132n n a a n -=?，又11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，即13n n a -=. (2)由(1)知()11111n b n n n n ==-++， ∴111111*********n nT n n n n =-+-++-=-=+++…， ∴1n nT n =+.。

2017-2018学年贵州省贵阳一中高三（上）适应性月考数学试卷（理科）（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|y=}，B={x|≤0}，则A∩B=（A．[﹣1，1]B．[﹣1，2）C．[1，2） D．[﹣2，﹣1]2．（5分）复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知f（x）在其定义域[﹣1，+∞）上是减函数，若f（2﹣x）＞f（x），则（）A．x＞1 B．﹣1≤x＜1 C．1＜x≤3 D．﹣1≤x≤34．（5分）双曲线方程为x2﹣2y2=1，则它的右焦点坐标为（）A．B．C．D．5．（5分）某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项门参加比赛，则这4人中三个项目都有人参加的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）若方程x2﹣（k﹣1）x+1=0有大于2的根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．7．（5分）已知α，β都是锐角，且sinαcosβ=cosα（1+sinβ），则（）A．B．C．D．8．（5分）如图所示，曲线y=x2﹣1，x=2，x=0，y=0围成的阴影部分的面积为（）A．B．C．D．9．（5分）设直线与椭圆交于A，B两点，若△OAB是直角三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n=2a n﹣1+1（n≥2），为求使不等式a1+a2+a3+…+a n＜k的最大正整数n，某人编写了如图所示的程序框图，在框图的判断框中的条件和输出的表达式分别为（）A．S＜k，i B．S＜k，i﹣1 C．S≥k，i D．S≥k，i﹣111．（5分）为得到函数f（x）=2sinxcosx+的图象，可以把函数的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位12．（5分）图是某几何体的三视图，则该几何体的各个棱长中，最长的棱的长度为（）A．3 B． C． D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）展开式的常数项是．（用数字作答）14．（5分）已知变量x，y满足条件，则2x﹣3y的最小值等于．15．（5分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，，若CD⊥CA，，则=．16．（5分）已知a，b，c分别为锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC周长的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，（n≥2）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n a n+1}的前n项和为T n，求证：．18．（12分）为了解学生完成数学作业所需时间，某学校统计了高三年级学生每天完成数学作业的平均时间介于30分钟到90分钟之间，图是统计结果的频率分布直方图．（1）数学教研组计划对作业完成较慢的20%的学生进行集中辅导，试求每天完成数学作业的平均时间为多少分钟以上的学生需要参加辅导？（2）现从高三年级学生中任选4人，记4人中每天完成数学作业的平均时间不超过50分钟的人数为X，求X的分布列和期望．19．（12分）如图，在三棱锥K﹣ABC中，D，E，F分别是KA，KB，KC的中点，平面KBC⊥平面ABC，AC⊥BC，△KBC是边长为2的正三角形，AC=3．（1）求证：BF⊥平面KAC；（2）求二面角F﹣BD﹣E的余弦值．20．（12分）已知椭圆的离心率为，F1，F2是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，的最小值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F2且与x轴不重合的直线l交椭圆C于M，N两点，圆E是以F1为圆心椭圆C的长轴长为半径的圆，过F2且与l垂直的直线与圆E交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．21．（12分）设f（x）=x（lnx﹣1）+a（2x﹣x2），a∈R．（1）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；（2）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：，（α为参数），其中α∈[0，2π）．（1）写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（2）若A，B为曲线C与直线l的两交点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|2x﹣3|+|x+1|．（1）求不等式f（x）＜x+4的解集；（2）若函数g（x）=f（x）+ax有两个不同的零点，求实数a的取值范围．2017-2018学年贵州省贵阳一中高三（上）适应性月考数学试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|y=}，B={x|≤0}，则A∩B=（A．[﹣1，1]B．[﹣1，2）C．[1，2） D．[﹣2，﹣1]【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≤﹣1或x≥3}，B={x|﹣2≤x＜2}，利用集合的运算可得：A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}．故选D．2．（5分）复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数===﹣1﹣i，则复数在复平面上对应的点为（﹣1，﹣1），且为第三象限的点，故选：C．3．（5分）已知f（x）在其定义域[﹣1，+∞）上是减函数，若f（2﹣x）＞f（x），则（）A．x＞1 B．﹣1≤x＜1 C．1＜x≤3 D．﹣1≤x≤3【解答】解：由题意得：，解得：1＜x≤3，故选：C．4．（5分）双曲线方程为x2﹣2y2=1，则它的右焦点坐标为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的，，，∴右焦点为．故选C5．（5分）某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项门参加比赛，则这4人中三个项目都有人参加的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项门参加比赛，基本事件总数n=34=81，这4人中三个项目都有人参加包含的基本事件个数m==36，这4人中三个项目都有人参加的概率为p==．故选：B．6．（5分）若方程x2﹣（k﹣1）x+1=0有大于2的根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵方程x2﹣（k﹣1）x+1=0有大于2的根，可得或，解得：或k≥5．故k的取值范围为（，+∞），故选：C．7．（5分）已知α，β都是锐角，且sinαcosβ=cosα（1+sinβ），则（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinαcosβ=cosα（1+sinβ），∴sinαcosβ﹣cosαsinβ=cosα，即：sin（α﹣β）=cosα=cos[﹣（α﹣β）]，又∵α，β都是锐角，可得：0＜﹣（α﹣β）＜π，∴α=﹣（α﹣β），整理可得：．故选：B．8．（5分）如图所示，曲线y=x2﹣1，x=2，x=0，y=0围成的阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意S==，故选A．9．（5分）设直线与椭圆交于A，B两点，若△OAB是直角三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵椭圆C的两个焦点与A、B两点，△OAB是直角三角形，∴AB=a，即A（，），∴⇒a2=3b2=3a2﹣3c2，a⇒e==，故选：C．10．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n=2a n﹣1+1（n≥2），为求使不等式a1+a2+a3+…+a n＜k的最大正整数n，某人编写了如图所示的程序框图，在框图的判断框中的条件和输出的表达式分别为（）A．S＜k，i B．S＜k，i﹣1 C．S≥k，i D．S≥k，i﹣1【解答】解：由题意，进入循环的条件应为数列的和S＜k，故判断框中的条件应为S＜k．由程序框图可知i为数列项数计数，先累加，后判断，故输出的数列的项数应为i﹣1．故选：B．11．（5分）为得到函数f（x）=2sinxcosx+的图象，可以把函数的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：函数f（x）=2sinxcosx+，=sin2x﹣cos2x，=2sin（2x﹣），所以：①函数=2cos（2x﹣）的图象向左平移个单位，得到：y=2cos[2（x+）﹣]=2cos（2x+）的图象，故A错误．②函数=2cos（2x﹣）的图象向左平移个单位，得到：y=2cos[2（x+）﹣]=2cos（2x+）的图象，故B错误．③函数=2cos（2x﹣）的图象向右平移个单位，得到：y=2cos[2（x﹣）﹣]=2cos（2x﹣）=2sin（2x﹣）的图象，故C正确．④函数=2cos（2x﹣）的图象向右平移个单位，得到：y=2cos[2（x﹣）﹣]=2cos（2x﹣）的图象，故D错误．故选：C12．（5分）图是某几何体的三视图，则该几何体的各个棱长中，最长的棱的长度为（）A．3 B． C． D．3【解答】解：由几何体的三视图得所求几何体ABCD为圆中粗线所表示的图形，最长棱是AC，由长方体对角线长公式得：AC==．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）展开式的常数项是20．（用数字作答）【解答】解：∵展开式的通项为，令6﹣2r=0⇒r=3；令6﹣2r=﹣1，r无整数解，所以，展开式的常数项为，故答案为：20．14．（5分）已知变量x，y满足条件，则2x﹣3y的最小值等于﹣3．【解答】解：由变量x，y满足条件，作出可行域如图，化目标函数z=2x﹣3y为y=x﹣，由图可知，当直线y=x﹣过B（3，3）时直线在y轴上的截距最大，z有最小值为2×3﹣3×3=﹣3．故答案为：﹣3．15．（5分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，，若CD⊥CA，，则=6．【解答】解：由已知在△ABC中，D是AB上一点，，可得，CD⊥CA，，．故答案为：6．16．（5分）已知a，b，c分别为锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC周长的取值范围为．【解答】解：由已知及正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即，得A=60°，由正弦定理可得：，可得：b=sinB，c=sinC，可得三角形的周长为：a+b+c=sinB+sinC+2=sinB+sin（120°﹣B）+2=sinB+（cosB+sinB）+2=2sinB+2cosB+2=4sin（B+）+2，∵B∈（，），sin（B+）∈（，1]，∴4sin（B+）+2∈，可得周长的取值范围为：．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，（n≥2）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n a n+1}的前n项和为T n，求证：．【解答】（本小题满分12分）（1）解：，所以是以2为公差的等差数列，，所以，所以数列{a n}的通项公式为．（2）证明：由（1）得，T n==，∴．18．（12分）为了解学生完成数学作业所需时间，某学校统计了高三年级学生每天完成数学作业的平均时间介于30分钟到90分钟之间，图是统计结果的频率分布直方图．（1）数学教研组计划对作业完成较慢的20%的学生进行集中辅导，试求每天完成数学作业的平均时间为多少分钟以上的学生需要参加辅导？（2）现从高三年级学生中任选4人，记4人中每天完成数学作业的平均时间不超过50分钟的人数为X，求X的分布列和期望．【解答】（本小题满分12分）解：（1）设每天完成作业所需时间为x分钟以上的同学需要参加辅导，则由频率分布图得：（70﹣x）×0.02+（90﹣70）×0.005=0.2，解得x=65（分钟），所以，每天完成数学作业的平均时间为65分钟以上的同学需要参加辅导．（2）把统计的频率作为概率，则选出的每个学生完成作业的时间不超过50分钟的概率为0.2，X～B（4，0.2），P（X=0）=C40•0.20•0.84=0.4096，P（X=1）=C41•0.2•0.83=0.4096，P（X=2）=C42•0.22•0.82=0.1536，P（X=3）=C43•0.23•0.8=0.0256，P（X=4）=C44•0.24=0.0016．∴X的分布列为：EX=0×0.4096+1×0.4096+2×0.1536+3×0.0256+4×0.0016=0.8．19．（12分）如图，在三棱锥K﹣ABC中，D，E，F分别是KA，KB，KC的中点，平面KBC⊥平面ABC，AC⊥BC，△KBC是边长为2的正三角形，AC=3．（1）求证：BF⊥平面KAC；（2）求二面角F﹣BD﹣E的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（1）∵在三棱锥K﹣ABC中，D，E，F分别是KA，KB，KC的中点，平面KBC⊥平面ABC，AC⊥BC，△KBC是边长为2的正三角形，AC=3．∴如图，以C为原点，CB为x轴，AC为y轴，过C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则，B（2，0，0），C（0，0，0），A（0，﹣3，0），F（，0，），=，∵，∴，∴BF⊥CK，∵，∴，∴BF⊥CA，∵CA，CK是平面KAC内的两条相交直线，∴BF⊥平面KAC．解：（2）D（，﹣，），=（﹣，﹣），=（﹣，0，），=（﹣1，0，），设平面BDF的一个法向量，则，取x=1，得，设平面BDE（即平面ABK）的一个法向量为，则，取a=3，得，设二面角的平面角为θ，则cosθ===，∴二面角F﹣BD﹣E的余弦值为．20．（12分）已知椭圆的离心率为，F1，F2是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，的最小值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F2且与x轴不重合的直线l交椭圆C于M，N两点，圆E是以F1为圆心椭圆C的长轴长为半径的圆，过F2且与l垂直的直线与圆E交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【解答】解：（1）已知，的最小值为b2﹣c2=2，又a2=b2+c2，解得a2=4，b2=3，所以椭圆方程为．（2）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），M（x1，y1），N （x2，y2）．由得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．则．所以．过点F2（1，0）且与l垂直的直线，F1到m的距离为，所以．故四边形MPNQ的面积．可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为．当l与x轴垂直时，其方程为x=1，|MN|=3，|PQ|=8，四边形MPNQ的面积为12．综上，四边形MPNQ面积的取值范围为．21．（12分）设f（x）=x（lnx﹣1）+a（2x﹣x2），a∈R．（1）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；（2）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f'（x）=lnx﹣2ax+2a，可得g（x）=lnx﹣2ax+2a，x∈（0，+∞），则，当a≤0时，x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增，当a＞0时，时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增，时，g'（x）＜0，函数g（x）单调递减．所以当a≤0时，函数g（x）的单调递增区间为（0，+∞），当a＞0时，函数g（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由（1）知，f'（1）=0．①当a≤0时，f'（x）单调递增，所以当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x=1处取得极小值，不合题意．②当时，，由（Ⅰ）知f'（x）在内单调递增，可得当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，1）内单调递减，在内单调递增，所以f（x）在x=1处取得极小值，不合题意．③当时，即，f'（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减，所以当x∈（0，+∞）时，f'（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意．④当时，即，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）在x=1处取得极大值，合题意．综上可知，实数a的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：，（α为参数），其中α∈[0，2π）．（1）写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（2）若A，B为曲线C与直线l的两交点，求|AB|．【解答】（本小题满分10分）【选修4﹣4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为，∴，直线l的直角坐标方程：．曲线C：（α为参数），消去参数可得曲线C的普通方程为：．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，的圆心为D（，2），半径为3．设AB中点为M，连接DM，DA，圆心到直线l的距离，∴DM=2，又∵DA=3，所以，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|2x﹣3|+|x+1|．（1）求不等式f（x）＜x+4的解集；（2）若函数g（x）=f（x）+ax有两个不同的零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=|2x﹣3|+|x+1|．不等式f（x）＜x+4转化为：|2x﹣3|+|x+1|＜x+4令：2x﹣3=0，x+1=0，解得：x=﹣1，x=．①当x≥时，2x﹣3+x+1＜x+4，解得：x＜3；则：．②当﹣1＜x＜时，3﹣2x+x+1＜x+4，解得：x＞0，则：．③当x≤﹣1时，3﹣2x﹣x﹣1＜x+4，无解，则：解集为∅综合①②③得：不等式解集为（0，3）．（2）函数g（x）=f（x）+ax有两个不同的零点，即：g（x）=|2x﹣3|+|x+1|+ax=0有两个实数根，函数f（x）=|2x﹣3|+|x+1|=﹣ax有两个交点．利用函数的图象，利用，解得A（）则：当﹣a且﹣a＜3时，函数的图象有两个交点．即：可得．。

贵州省贵阳市普通高中届高三上摸底数学试卷理科解析版HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】2016-2017学年贵州省贵阳市普通高中高三（上）8月摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={x|x＜2}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x＜2} D．R2．已知i为虚数单位，若复数z满足z+z?i=2，则z的虚部为（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣13．已知实数x，y满足，则函数z=x+3y的最大值为（）A．10 B．8 C．5 D．14．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．5．在各项都为正数的等比数列{an }中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（）A．33 B．72 C．84 D．1896．在边长为1的正三角形ABC中， =2，则=（）A．B．C．D．17．函数y=sinx+cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=（）A．B．C．D．8．若函数f（x）=3x+lnx的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=（）A．﹣B．C．﹣4 D．49．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．α⊥β，mαm⊥βB．α⊥β，mα，nβm⊥nC．m∥n，n⊥αm⊥αD．mα，nα，m∥β，n∥βα∥β10．阅读右边的程序，若输出的y=3，则输入的x的值为（）A．1 B．2 C．±2 D．1或211．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且当x＜0，f（x）=3x+1，若a=2，b=4，c=25，则有（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（b）＜f（c）＜f（a）C．f（b）＜f（a）＜f（c）D．f（c）＜f（a）＜f（b）12．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）A．0 B．C．2 D．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．（x2+）6的展开式中常数项是．（用数字作答）14．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a= ．15．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的8个顶点都在球O的表面上，AB=1，AA1′=2，则球O的半径R= ；若E、F是棱AA1和DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为．16．已知直线l：y=k（x+1）﹣与圆x2+y2=（2）2交于A、B两点，过A、B分别作l 的垂线与x轴交于C、D两点，若|AB|=4，则|CD|= ．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足3asinC=4ccosA，=3．（Ⅰ）求△ABC的面积S；（Ⅱ）若c=1，求a的值．18．通过随机询问100性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：男女总计爱好40不爱好25总计45100（Ⅰ）将题中的2×2列联表补充完整；（Ⅱ）能否有99%的把握认为断爱好该项运动与性别有关？请说明理由；（Ⅲ）利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建了“运动达人社”，现从“运动达人设”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=，p（K2≥k）0.0500.0100.0013.841 6.63510.828k19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；（Ⅱ）当PD=2AB，且E为PB的中点，求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，点A（0，﹣2）与椭圆右焦点F的连线的斜率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）O为坐标原点，过点A的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（其中a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f′（x）+g（x）﹣1，试确定h（x）的单调区间及最值；（Ⅲ）求证：对于任意的正整数n，均有e＞成立．（注：e为自然对数的底数）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：ACBC=2ADCD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角做标方程；（Ⅱ）圆C的圆心为C，点P为直线l上的动点，求|PC|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣4|；（Ⅰ）解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）若对x∈R，都有f（x）+3|x﹣2|＞m，求实数m的取值范围．还未学选修4-1、4-4、4-5的学生可选作此题25．等比数列{an }的各项均为正数，且2a3是a2与a6的等比中项，2a1+3a2=16．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =log2a1+log2a2+…+log2an，求数列{}的前n项和Sn．2016-2017学年贵州省贵阳市普通高中高三（上）8月摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的（x﹣1）}，B={x|x＜2}，则A∩B=（）1．已知集合A={x|y=log2A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x＜2} D．R【考点】交集及其运算．【分析】先根据对数函数求出函数的定义域得到集合A，再利用交集定义求解．（x﹣1），x∈R}，可得A={x|x＞1}，【解答】解：由A={x|y=log2又B={x|x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}，故选：B．2．已知i为虚数单位，若复数z满足z+z?i=2，则z的虚部为（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z满足z+z?i=2，可得z==1﹣i．则z的虚部为﹣1．故选：D．3．已知实数x，y满足，则函数z=x+3y的最大值为（）A．10 B．8 C．5 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x+3y，得，作出不等式对应的可行域，平移直线，由平移可知当直线，经过点A时，直线，的截距最大，此时z取得最大值，由得，即A（1，3），代入z=x+3y，得z=1+3×3=10，即目标函数z=x+3y的最大值为10．故选：A．4．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．在各项都为正数的等比数列{an }中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（）A．33 B．72 C．84 D．189【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比数列{an }中，首项a1=3，前三项和为21，可求得q，根据等比数列的通项公式，分别求得a3，a4和a5代入a3+a4+a5，即可得到答案．【解答】解：在各项都为正数的等比数列{an }中，首项a1=3，前三项和为21故3+3q+3q2=21，∴q=2，∴a3+a4+a5=（a1+a2+a3）q2=21×22=84故选C．6．在边长为1的正三角形ABC中， =2，则=（）A．B．C．D．1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的定义求出向量长度和向量夹角进行求解即可．【解答】解：∵=2，∴=（+）=（+）=2+=1+×1×1cos120°=1﹣=，法2．∵=2，∴D是BC的中点，则在正三角形中，AD=，＜，＞=∠BAD=30°，则=||||cos30°=×1×=故选：C．7．函数y=sinx+cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】直接利用辅助角公式化简，再由（0≤x＜2π）求得答案．【解答】解：y=sinx+cosx=2（）=2sin（x+）．由，得．∵0≤x＜2π，∴当k=0时，x=．故选：A．8．若函数f（x）=3x+lnx的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=（）A．﹣B．C．﹣4 D．4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出f（x）=3x+lnx的导数，再求出函数f（x）=3x+lnx的图象在点（1，f （1））处的切线的斜率，根据两直线垂直可解出a的值．【解答】解：函数f（x）=3x+lnx的导数为f′（x）=3+，∴f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=3+1=4，∵直线x+ay+1=0的斜率为﹣，∴由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得﹣4=﹣1，∴a=4．故选：D．9．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．α⊥β，mαm⊥βB．α⊥β，mα，nβm⊥nC．m∥n，n⊥αm⊥αD．mα，nα，m∥β，n∥βα∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，m与β平行、相交或mβ；在B中，m与n相交、平行或异面；由线面垂直的判定定理得C正确；在D中，α与β相交或平行．【解答】解：由m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，知：在A中，α⊥β，mαm与β平行、相交或mβ，故A错误；在B中，α⊥β，mα，nβm与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，m∥n，n⊥αm⊥α，由线面垂直的判定定理得，C正确；在D中，mα，nα，m∥β，n∥βα与β相交或平行，故D错误．故选：C．10．阅读右边的程序，若输出的y=3，则输入的x的值为（）A．1 B．2 C．±2 D．1或2【考点】程序框图．【分析】首先判断程序框图，转化为分段函数形式，然后根据y=3分别代入三段函数进行计算，排除不满足题意的情况，最后综合写出结果．【解答】解：根据程序框图分析，程序框图执行的是分段函数运算：y=，如果输出y为3，则当：﹣x+4=3时，解得x=1，不满足题意；当x2﹣1=3时，解得：x=2，或﹣2（舍去），综上，x的值2故选：B．11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且当x＜0，f（x）=3x+1，若a=2，b=4，c=25，则有（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（b）＜f（c）＜f（a）C．f（b）＜f（a）＜f（c）D．f（c）＜f（a）＜f（b）【考点】对数值大小的比较．【分析】当x＞0时，f（x）=（）x+1，再由c＞a＞b，能求出f（a），f（b），f（c）的大小关系．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且当x＜0，f（x）=3x+1，∴当x＞0时，f（x）=（）x+1，∵a=2=4，b=4，c=25=，∴c＞a＞b，∴f（c）＜f（a）＜f（b）．故选：D．12．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）A．0 B．C．2 D．【考点】基本不等式．【分析】将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可求得x+2y﹣z的最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故选：C．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．（x2+）6的展开式中常数项是15 ．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】本题可通过通项公式Tr+1=Cnr a n﹣r b r来确定常数项，从而根据常数相中x的指数幂为0即可确定C6r（x2）6﹣r中r的值，然后即可求出常数项是15【解答】解：设通项公式为，整理得C6r x12﹣3r，因为是常数项，所以12﹣3r=0，所以r=4，故常数项是c64=15故答案为15．14．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a= 3 ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体是放倒的三棱柱，依据所给数据求解即可．【解答】解：由已知可知此几何体是三棱柱，其高为a，侧面是边长为2的正三角形，其面积为S==，由题意可得：V=3=a，解得：a=3．故答案为：3．15．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的8个顶点都在球O的表面上，AB=1，AA1′=2，则球O的半径R= 6π；若E、F是棱AA1和DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题意可知正四棱柱的体对角线计算球的直径，求出对角线的长可得球的直径，求出半径，即可求出球的表面积；如图所示，OP 是球的半径，OQ是棱长的一半，求出PQ 的2倍即可求出直线EF被球O截得的线段长．C2=1+1+4，【解答】解：正四棱柱对角线为球直径，A1所以R=，所以球的表面积为6π；由已知所求EF是正四棱柱在球中其中一个截面的直径上的一部分，Q为EF的中点，d=，R=，所以PQ==，所以2PQ=．故答案为：6π；16．已知直线l：y=k（x+1）﹣与圆x2+y2=（2）2交于A、B两点，过A、B分别作l 的垂线与x轴交于C、D两点，若|AB|=4，则|CD|= ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线与圆相交，圆x2+y2=（2）2可知：圆心为（0，0），半径r=2，弦长为|AB|=4=2r，说明直线过圆心．求解k的值．得到直线AB的倾斜角，根据AOC和OBD是两个全等的直角三角形，OA=OB=2即可求出OC和OD．即可得到|CD|的长度．【解答】解：由圆的方程x2+y2=（2）2可知：圆心为（0，0），半径r=2，∵弦长为|AB|=4=2r，说明，直线过圆心．则有：0=k（0﹣1）﹣，解得k=，直线AB的方程为：y=x．设直线AB的倾斜角为θ，则tanθ=，∴θ=60°Rt△AOC中：|CO|===那么：|CD|=2|OC|=故答案为：．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足3asinC=4ccosA，=3．（Ⅰ）求△ABC的面积S；（Ⅱ）若c=1，求a的值．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（I）由3asinC=4ccosA，利用正弦定理可得3sinAsinC=4sinCcosA，sinC≠0，可得tanA，sinA，cosA．由=3，可得bccosA=3，解得bc．即可得出S=bcsinA．（II）利用（I）及其余弦定理即可得出．【解答】解：（I）∵3asinC=4ccosA，∴3sinAsinC=4sinCcosA，sinC≠0，∴tanA=，可得sinA=，cosA=．∵=3，∴bccosA=3，∴bc=5．∴S=bcsinA==2．（II）由（I）可得：b=5．∴a2=1+52﹣2×5×1×=20，解得a=2．18．通过随机询问100性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：男女总计爱好40不爱好25总计45100（Ⅰ）将题中的2×2列联表补充完整；（Ⅱ）能否有99%的把握认为断爱好该项运动与性别有关？请说明理由；（Ⅲ）利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建了“运动达人社”，现从“运动达人设”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=，）0.0500.0100.001p（K2≥k3.841 6.63510.828k【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）根据2×2列联表数据共享将表中空白部分数据补充完整．（Ⅱ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅲ）由题意，抽取6人中，男生4名，女生2名，选出3人中的女大学生人数为X，X 的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（Ⅰ）2×2列联表如下：男女总计爱好402060不爱好152540总计5545100（Ⅱ）K2=≈8.25＞6.635，∴99%的把握认为断爱好该项运动与性别有关；（Ⅲ）由题意，抽取6人中，男生4名，女生2名，选出3人中的女大学生人数为X，X 的取值为0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==．X的分布列为X012PE（X）=0×+1×+2×=1．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；（Ⅱ）当PD=2AB，且E为PB的中点，求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由PD⊥底面ABCD，可得PD⊥AC，利用正方形的性质可得：AC⊥BD，再利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．（2）分别以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角公式即可得出．【解答】（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，AC平面ABCD，∴PD⊥AC，底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又PD∩BD=D，∴AC⊥平面ABCD，又AC平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB．（2）解：分别以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB=2，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），P（0，0，4），E（1，1，2），=（0，2，0），=（﹣1，1，2），取平面ABC的一个法向量为，设平面ABE的法向量，则，可得，取=（2，0，1）．∴===．∴二面角B﹣AE﹣C的余弦值为．20．已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，点A（0，﹣2）与椭圆右焦点F的连线的斜率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）O为坐标原点，过点A的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得关于c的方程，求出c，由离心率e==，求得a，由b2=a2﹣c2，求得b的值，即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2，与椭圆的方程联立可得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，求出方程的根，从而表示出|PQ|以及点O到直线PQ的距离，从而表示出S△OPQ，再利用基本不等式的性质即可得出直线l的方程．【解答】解：（1）设F（c，0）．∵直线AF的斜率为，∴=，解得c=．又离心率为e==，由b2=a2﹣c2，解得：a=2，b=1，∴椭圆E的方程为+y2=1．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2，与椭圆方程联立，整理得：（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即k2＞时，x1+x2=，x1x2=，∴|PQ|=，∵点O到直线l的距离d=，∴S△OPQ=d|PQ|=，设=t＞0，则4k2=t2+3，∴S==≤1，△OPQ当且仅当t=2，即=2，解得k=±时取等号，且满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时，直线l的方程为：y=±x﹣2．21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（其中a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f′（x）+g（x）﹣1，试确定h（x）的单调区间及最值；（Ⅲ）求证：对于任意的正整数n，均有e＞成立．（注：e为自然对数的底数）【考点】利用导数研究函数的极值；导数的运算．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅲ）令a=1，得到≥1﹣lnx=ln，亦即≥，分别取 x=1，2，…，n，相乘即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=xlnx，（x＞0），f′（x）=1+lnx，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴f（x）的极小值是f（）=﹣；（Ⅱ）h（x）=f′（x）+g（x）﹣1=lnx+，（x＞0），h′（x）=﹣=，①a≤0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递增，无最值，②a＞0时，令h′（x）＞0，解得：x＞a，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜a，∴h（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，=h（a）=1+lna，∴h（x）min（Ⅲ）取a=1，由（Ⅱ）知，h（x）=lnx+≥f（1）=1，∴≥1﹣lnx=ln，亦即≥，分别取 x=1，2，…，n得≥，≥，≥，…，≥，将以上各式相乘，得：e＞成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：ACBC=2ADCD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）欲证DE∥AB，连接BD，因为D为的中点及E为BC的中点，可得DE⊥BC，因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；（II）欲证ACBC=2ADCD，转化为ADCD=ACCE，再转化成比例式=．最后只须证明△DAC∽△ECD即可．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，ADCD=ACCE，2ADCD=AC2CE，因此2ADCD=ACBC．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角做标方程；（Ⅱ）圆C的圆心为C，点P为直线l上的动点，求|PC|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入即可得圆C的直角坐标方程．（Ⅱ）把直线化成直角坐标方程，直线到圆上的距离最小，即是圆心到直线的d减去半径r．【解答】解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程ρ=2sinθ，可得：ρ2=2ρsinθ．由ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得：．即圆的方程为：．（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），消去参数t，可得：．由（Ⅰ）可得：圆心为（0，），半径圆心到直线的距离d==．∵|PC|的最小值等于圆心到直线的d减去半径r．所以：|PC|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣4|；（Ⅰ）解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）若对x∈R，都有f（x）+3|x﹣2|＞m，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集，取并集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质求出f（x）+3|x﹣2|的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x+1|﹣|2x﹣4|=|x+1|﹣2|x﹣2|≥1，x≥2时，x+1﹣2x+4≥1，解得：x≤4，﹣1＜x＜2时，x+1+2x﹣4≥1，解得：x≥，x≤﹣1时，﹣x﹣1+2x﹣4≥1，无解，故不等式的解集是[，4]；（Ⅱ）若对x∈R，都有f（x）+3|x﹣2|＞m，即若对x∈R，都有|x+1|+|x﹣2|＞m，而|x+1|+|x﹣2|≥|x+1﹣x+2|=3，故m＜3．还未学选修4-1、4-4、4-5的学生可选作此题25．等比数列{an }的各项均为正数，且2a3是a2与a6的等比中项，2a1+3a2=16．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =log2a1+log2a2+…+log2an，求数列{}的前n项和Sn．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】（I）利用等比数列的通项公式即可得出．（II）利用对数的运算性质、等差数列的求和公式可得bn，再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{an }的公比为q＞0，∵2a3是a2与a6的等比中项，2a1+3a2=16．∴=a2a6，即=，a1（2+3q）=16，解得a1=q=2，∴an=2n．（II）bn =log2a1+log2a2+…+log2an===，∴==2．∴数列{}的前n项和Sn=2+…+ =2=．2016年11月2日。