多元函数泰勒公式的张量表示

多元函数泰勒公式引言泰勒公式是微积分中的重要概念之一，它用于将一个函数在某一点的局部性质展开为一系列无穷次的项。

在单变量函数中，我们已经熟悉了泰勒公式的推导和应用，而多元函数的泰勒公式则是将这一概念推广到多个自变量的情况。

多元函数的一阶泰勒展开考虑一个函数f(x1,x2,...,x n)，其中x1,x2,...,x n是函数的自变量。

我们希望将这个函数在点(a1,a2,...,a n)的附近展开。

根据泰勒公式，多元函数的一阶泰勒展开可以表示为：$$ f(x_1, x_2, ..., x_n) = f(a_1, a_2, ..., a_n) + \\sum_{i=1}^{n} \\frac{{\\partialf}}{{\\partial x_i}}(a_1, a_2, ..., a_n) \\cdot (x_i - a_i) $$这个公式和单变量函数的一阶泰勒展开非常相似，不同之处在于我们需要求偏导数，而不是普通的导数。

多元函数的高阶泰勒展开类似于单变量函数的高阶泰勒展开，对于多元函数，我们也可以将其在某一点的局部性质展开为高阶项。

多元函数的二阶泰勒展开可以表示为：$$ f(x_1, x_2, ..., x_n) = f(a_1, a_2, ..., a_n) + \\sum_{i=1}^{n} \\frac{{\\partialf}}{{\\partial x_i}}(a_1, a_2, ..., a_n) \\cdot (x_i - a_i) +\\frac{1}{2}\\sum_{i=1}^{n}\\sum_{j=1}^{n} \\frac{{\\partial^2 f}}{{\\partial x_i \\partial x_j}}(a_1, a_2, ..., a_n) \\cdot (x_i - a_i) \\cdot (x_j - a_j) $$同样地，我们可以通过求偏导数来计算高阶项的系数。

泰勒公式泰勒(Tayloy)公式是微积分中的一个重要公式，也是进行数学理论研究与计算的重要的工具，但大多数的高等数学教材中，对泰勒公式应用的介绍都较少，导致学生难以掌握泰勒公式及其应用技巧。

由于低次多项式不能精确地表示函数并进行近似计算，在遇到一些精度要求较高，需要进行误差估计的情况时，就需要用高次多项式来近似表示函数并给出相应的误差公式。

泰勒公式是数学分析中一个重要的偏方程，因此在数学中有很高的地位。

泰勒公式教学方法泰勒公式是高等数学微分学教学中的重点和难点，其教学方法一直吸引着广大数学教师研究。

但是泰勒中值定理和泰勒公式比较抽象深奥，真的会让大部分同学感到困惑不解。

虽然他们已经充分预习，认真听讲，但还是会感到一头雾水，满腹疑问。

困难、无知、不理解是学生学习泰勒公式后的主要感受。

作为一个传道授业解惑的老师，我一直希望改变这种现象，希望泰勒公式给学生留下最深的印象是好的、有用的、实用的。

所以这门课的教学需要老师投入更多的精力去设计自己的教学方法和教学思路。

例：设函数f（x）在x=x0处存在二阶导数，试证：等式右端是一个二次多项式加一个高阶无穷小项。

我们回顾一下它的证明。

通过上节课的知识，我们只需要用一次洛必达法则和导数的定义就证明了这个结论。

但是，我们并不是第一次用多项式来表示一般的函数了，在第二章学习微分的时候，我们知道，如果函数f（x）在x=x0处可微，则f（x）=f（x0）+f忆（x0）（x-x0）+o（x-x0）。

这说明如果函数f（x）在x0处有一阶导数，则f（x）等于一个一次的多项式加x-x0的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有二阶导数，则f（x）等于一个二次的多项式加（x-x0）2的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有三阶导数呢，大家猜想，我们会得到什么结论？到了这里，学生会自然而然地想到：如果函数f（x）在x0处有三阶导数，那么f（x）就等于一个三次的多项式加（x-x0）3的高阶无穷小。

多元函数泰勒公式展开式多元函数的泰勒公式展开式是一个用于近似计算多元函数在其中一点附近的展开式。

它是由著名的数学家泰勒提出的，可以根据函数在其中一点的各阶偏导数来逼近函数的值。

考虑一个具有N个自变量的函数f(x1,x2,...,xN)，我们希望在点(a1,a2,...,aN)处用多项式来近似表示函数f。

泰勒公式的一般形式为：f(x1, x2, ..., xN) = f(a1, a2, ..., aN) + ∑(∂f/∂xi)(xi - ai) + ∑(∂²f/∂xi∂xj)(xi - ai)(xj - aj)/2 + ... + (∂^kf/∂x1∂x2...∂xk)(x1 - a1)(x2 - a2)...(xk - ak)/k！+R(k+1)其中，∂f/∂xi表示函数f对自变量xi的偏导数，连乘∂^kf/∂x1∂x2...∂xk表示函数f的k阶混合偏导数，即对于k个不同自变量的偏导数积。

R(k+1)是多项式展开的余项，当k趋向于无穷大时，余项趋向于0，多项式展开式则逼近于函数f本身。

在泰勒公式展开式中，越高阶的项在函数的近似计算中所占的权重越小，因为对应的自变量的偏差乘积越小。

一般来说，仅计算几阶项可以获得较高的近似精度。

在实际应用中，计算多元函数的泰勒展开式需要对函数的各阶偏导数进行计算，成本较高。

因此，对于大多数情况，我们只计算到一阶、二阶或者三阶的展开式，以平衡计算成本和近似精度。

总而言之，多元函数的泰勒公式展开式是一种将函数在其中一点展开为多项式的方法，以求得函数在该点附近的近似值。

通过考虑函数的各阶偏导数，我们可以构造出适用于不同精度要求的展开式。

然而，在实际运用中，根据所需的精度要求和计算成本，我们需要权衡选择合适的展开阶数。

多元函数的泰勒展开多元函数的泰勒展开是数学中用来近似表示任意函数的一种方法。

它是通过使用函数在给定点处的各阶导数来构造一个多项式，从而在该点附近对原函数进行逼近。

这种展开可以用于研究函数的性质、求解方程以及进行数值计算等方面。

在本文中，我们将讨论多元函数的泰勒展开的基本理论和应用。

1. 泰勒展开的基本原理在一元函数情况下，泰勒展开可表示为：\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots\]对于多元函数，则需要考虑各个自变量的偏导数。

设多元函数为f(x1, x2, ..., xn)，在点a=(a1, a2, ..., an)处展开，其泰勒展开式可表示为：\[f(x1, x2, ..., xn) = f(a1, a2, ..., an) + \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f(a1,a2, ..., an)}{\partial xi}(xi-ai) +\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial^2 f(a1, a2, ..., an)}{\partial xi \partial xj}(xi-ai)(xj-aj) + \cdots\]2. 泰勒展开的应用2.1 函数逼近多元函数的泰勒展开可以用于逼近任意函数。

在给定点附近，可以利用展开式的前几项来近似表示原函数。

展开的阶数越高，逼近的精度就越高。

通过截断展开式可以得到不同精度的逼近函数。

2.2 函数性质研究泰勒展开可以用于研究函数的性质。

通过分析展开式的各项系数和阶数，可以得到函数在给定点处的导数、凹凸性等信息。

这有助于揭示函数的特点和规律。

2.3 方程求解泰勒展开可以用于求解方程。

通过将原方程在某一点处展开，可以将原方程转化为近似的多项式方程。

多元函数的Taylor展开在数学分析中，多元函数的Taylor展开是一种将函数表达为无穷级数的方法，它在近似计算和函数性质研究中具有重要的应用价值。

本文将介绍多元函数的Taylor展开的基本概念、原理和计算方法。

一、基本概念多元函数的Taylor展开是指将一个具有足够可导性质的函数在某一点的邻域内展开成幂级数的形式。

对于n元函数f(x1, x2, ..., xn)，其在(x1=a1, x2=a2, ..., xn=an)处的m阶Taylor展开式可表示为：f(x1, x2, ..., xn) = f(a1, a2, ..., an) + Σ(∂f/∂x1|a1, ..., ∂f/∂xn|an)xi +½ΣΣ(∂^2f/∂xi∂xj|a1, ..., ∂^2f/∂xi∂xj|an)xi*xj + ... + 1/m!Σ...Σ(∂^mf/∂xi1...∂xim|a1, ..., ∂^mf/∂xi1...∂xim|an)xi1*xi2...*xim + ...其中，∂f/∂xi|ai表示函数f对变量xi在点(ai1, ..., aij, ..., ain)处的偏导数，∂^mf/∂xi1...∂xi m|ai表示函数f对变量xi1, xi2,...,xim在点(ai1, ..., aik, ..., aim)处的m阶混合偏导数。

二、原理多元函数的Taylor展开式的原理基于凸函数的局部性质。

在函数足够可导的条件下，通过引入无穷小量，即xi = (xi-a1, xi-a2, ..., xi-an)，将函数的变化表示为一系列关于xi的幂级数，从而实现对函数进行近似展开。

三、计算方法1. 一元函数的Taylor展开对于一元函数f(x)，在点x=a处的m阶Taylor展开式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + ½f''(a)(x-a)² + ... + 1/m! f^(m)(a)(x-a)ᵐ + Rm(x)其中，f'(a)表示函数f在点a处的一阶导数，f''(a)表示函数f在点a处的二阶导数，f^(m)(a)表示函数f在点a处的m阶导数，Rm(x)表示剩余项。

多元函数泰勒展开为了描述一个多元函数的行为，我们通常使用泰勒展开来近似表示该函数在其中一点附近的取值。

泰勒展开是一种常用的数学工具，它将一个函数表示为一系列无穷个项的和。

泰勒展开的具体形式和性质取决于函数的性质和展开点的选择。

在单变量函数的情况下，泰勒展开可以表示为以下形式：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots\]其中，\(f'(a), f''(a), f'''(a), \ldots\) 是函数在点 \(a\) 处的各个阶导数。

对于多元函数来说，泰勒展开的形式则变得更为复杂。

设有一个二元函数\(f(x,y)\)，我们以点\((a,b)\)为中心进行展开。

根据多元函数的链式法则，我们可以得到以下泰勒展开的形式：f(x,y) = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) +\frac{1}{2!}\left[f_{xx}(a,b)(x-a)^2 + 2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b) + f_{yy}(a,b)(y-b)^2\right] + \cdots\]其中，\(f_x(a,b), f_y(a,b)\) 分别是函数 \(f(x,y)\) 在点\((a,b)\) 处对 \(x\) 和 \(y\) 的偏导数。

\(f_{xx}(a,b),f_{xy}(a,b), f_{yy}(a,b)\) 分别是二阶偏导数。

同理，我们可以将泰勒展开推广到更高的阶：f(x,y) = f(a,b) +\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n!}\sum_{i_1+ i_2 + \cdots + i_k = n} \frac{\partial^n f(a,b)}{\partial x^{i_1}\partialy^{i_2}\cdots\partial z^{i_k}}(x-a)^{i_1}(y-b)^{i_2}\cdots(z-c)^{i_k}\right]\]其中，\(i_1, i_2, \ldots, i_k\) 是非负整数且满足\(i_1+i_2+\cdots+i_k = n\)。

多元函数泰勒公式的张量表示曹文飞;韩国栋【摘要】泰勒公式在多元微分学中占据着十分重要的地位,在多元函数逼近、计算机图形学以及工程近似计算等分支中有成功的应用.在高等数学教材中,多元函数泰勒展开式中的高阶项通常是借助于多项展开式进行表达,这种抽象的表达形式导致本知识点艰涩难懂.为了克服此授课难点,基于张量与张量积运算为泰勒公式引入一种直观且简洁的新表达形式.该新形式有利于学生对泰勒公式的理解与记忆,从而激发起他们运用数学工具解决实际问题的兴趣.【期刊名称】《西安文理学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(021)003【总页数】4页(P1-3,8)【关键词】泰勒公式;矩阵;张量;教学研究【作者】曹文飞;韩国栋【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院,西安710119;陕西师范大学数学与信息科学学院,西安710119【正文语种】中文【中图分类】O172.1我们正处在一个高新技术蓬勃发展的时代，数学对高新技术的发展发挥巨大的推动作用.正如应用数学家David[1]指出：很少有人认识到，被如此称颂的高新技术本质上是一种数学技术.因此，良好的数学教育在这个年代显得尤为迫切.高等数学教育是数学教育中不可缺少的重要环节，因而如何讲授好高等数学，给学生打好数学基础是一个重要的研究课题.直观性、简洁性与统一性是高等数学教材设计中所遵从的一般原则[2].比如讲授一元函数的“积分”概念时，教材里通过极限给出积分的严格定义，但是此种定义比较抽象，一般都是通过积分的几何含义——面积来直观地理解积分的本质，从而让学生容易掌握积分的概念.另外，简洁性和统一性在数学教材设计也是应遵从的重要原则.比如在讲授多元函数积分定义时，一般教材里都借助二元函数来展示多元函数积分的定义，并用尽可能精炼的语言将此定义阐述清楚.相反，采用多元函数一般抽象形式并用冗长文字叙述的方式只会让初学者望而却步.由此可见，“简洁性”原则显得尤为重要.另外，多元与一元函数的积分定义在形式上可统一起来，这种统一性也有利于学生记住积分的定义.可是，在当前高等数学教材中，多元函数泰勒公式的表述显得艰涩难懂.具体来说，一方面相比于逐项展开形式的泰勒公式，通过多项展开式进行表达的泰勒公式虽有一定的简洁性，但仍显抽象复杂；另一方面，多元函数泰勒公式与一元函数泰勒公式在形式上不够统一.为此，本文借助张量与张量积[3]运算引入多元函数泰勒公式的一种新表达，这种表达具有直观理解性以及与一元函数泰勒公式在形式上统一性的优点，从而能够让学生轻松地掌握本知识点.图1 张量的直观展示2 张量简介张量是矩阵[4-5]的高阶扩展，在信号处理、计算化学、计量心理学等领域有重要应用.通常的向量可视为一阶张量，矩阵可视为二阶张量.图1分别展示出行向量、矩阵与3阶张量的直观形式.4阶及以上阶张量可视为高维几何中的长方体.图2 张量积示例张量与向量之间的乘积运算通常称为张量积.以三阶张量为例，三阶张量第三模态与行向量的乘积结果为矩阵其中矩阵B中的元素这里cijk为张量C中的元素.图2给出张量积计算的直观过程.从图2可看出，三阶张量第三个模态与行向量的乘积可视为该张量四个前向面与向量元素的线性组合之和，结果为3×5阶矩阵；矩阵第二模态与行向量的张量积就是通常的矩阵与列向量乘积，得到的结果为3×1的列向量；列向量与行向量的张量积就是通常的向量内积，得到的结果为标量值.总之，张量与行向量张量积就是张量切片与行向量的线性组合之和，具有直观的几何含义；另外通过张量积运算形式上统一了矩阵与向量以及向量与向量之间的乘积，从而有利于学生们的理解和掌握.3 多元函数泰勒公式的张量表达为了方便叙述，本文以三元函数的三阶泰勒展开式为例.设函数f(x,y,z)在点u0的邻域Nρ(u0)内是3阶连续可微的，设任意点u∈Nρ(u0)，点u0的坐标为(x0,y0,z0)，点u的坐标为(x,y,z)，坐标差分分别为Δx=x-x0，Δy=y-y0，Δz=z-z0以及Δu=(x-x0,y-y0,z-z0)T.现在引入多元函数导数的张量表示.函数f(u)在点u0处的一阶导数就是通常的梯度向量，记为函数f(u)在点u0处的二阶导数就是通常的海森(Haissen)矩阵，记为函数f(u)在点u0处的三阶导数是3阶张量，记为与的具体形式如下：从上述例子可看出，一阶导数中每个元素针对x,y,z三个方向分别求偏导，通过这种扩展就得到二阶导数矩阵，二阶导数中每个元素针对x,y,z三个方向分别求偏导，通过这种扩展就得到三阶导数张量.更高阶导数可以依次类推得到.基于上述函数导数的张量表示，给出三元函数泰勒展开式的一种新表达形式.回顾高等数学教材里的泰勒展开式[6]：基于导数的张量表示以及张量积运算，不难验证：将上述等式代入教材里提到的泰勒公式，我们得到多元函数泰勒展开式的一种新表达如下：从上述新表达可看出：(1)诸项的导数可通过几何拓展的方法得到，导数越高，通过几何拓展得到的张量阶数也越高，这种新导数表达具有直观的几何意义；(2)右端展开式中的每项都由导数与坐标差分行向量的张量积组成，张量某模态与行向量的张量积就是张量切面与该行向量的线性组合之和，这种表示具有明确的几何含义；(3)右端展开式可认为是一元泰勒公式的直接推广，因此新表达具有形式上的统一性.综上所述，多元函数泰勒公式的新表达具有直观的几何含义和形式上的统一性，这些优点有利于学生们的理解和掌握，从而提高学生学习和应用泰勒公式的兴趣. [参考文献][1] 刘黄清.数学在现代科学技术体系中的地位和作用[J].杭州师范大学学报(自然科学版),2004,3(1):64-68.[2] 王锦瑞.省属高校数学专业双语教学评价指标研究[J].西安文理学院学报(自然科学版),2016,19(6):7-11.[3] KOLDA T G,BADER B W.Tensor decompositions andapplications[J].SIAM Review,2009,51(3):455-500.[4] 王新奇.矩阵的Kronecker积的应用[J].西安文理学院学报(自然科学版),2015,18(4):22-25.[5] 宋占奎，莫德华，郭继.矩阵与线性空间直和研讨数例[J].西安文理学院学报(自然科学版),2009,19(1):100-102.[6] 欧阳光中，朱学炎，金福临，等.数学分析[M].3版.北京：高等教育出版社，2007.。

多元函数泰勒公式展开式多元函数的泰勒公式展开式是对于多元函数在其中一点附近的展开式，用多项式逼近多元函数的方法。

在数学分析中，多元函数的泰勒公式展开式在求解函数的近似值和函数性质研究中起着重要的作用。

一元函数的泰勒公式展开式是比较常见的，这里我们先回顾一下一元函数的泰勒公式展开式。

若函数f(x)在点a上存在各阶导数，那么在a点的邻域内，可以使用以下公式进行展开：\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{{f''(a)}}{{2!}}(x-a)^2 + \frac{{f'''(a)}}{{3!}}(x-a)^3 + \dots + \frac{{f^n(a)}}{{n!}}(x-a)^n + R_n(x) \]其中，Rn(x)是x在a点的余项，它的具体表达式为：\[ R_n(x) = \frac{{f^{(n+1)}(c)}}{{(n+1)!}}(x-a)^{n+1} \]其中，c是x和a之间的其中一点。

这个式子表达了函数f(x)在x点附近的展开式，可以用来近似计算函数的值。

对于多元函数，泰勒公式的展开式相对复杂，但基本思想是相同的。

考虑一个二元函数f(x,y)，它在点(a,b)附近存在足够多的连续可导函数f(x,y)，那么在(a,b)点的邻域内，可以使用以下公式进行展开：\[ f(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)(x-a) + f_y(a, b)(y-b) +\dots + \frac{{f_{xy}(a, b)}}{{2!}}(x-a)(y-b) + R_n(x, y) \]其中，fx(a, b)表示f(x, y)对x的偏导数在(a, b)点的值，fy(a, b)表示f(x, y)对y的偏导数在(a, b)点的值，fxy(a, b)表示f(x, y)对x和y的混合偏导数在(a, b)点的值。

余项Rn(x, y)同样可以表示为：\[ R_n(x, y) = \frac{{f_{xx}(c_1, c_2)(x-a)^2}}{2} +\frac{{f_{yy}(c_3, c_4)(y-b)^2}}{2} + \frac{{f_{xy}(c_5, c_6)(x-a)(y-b)}}{2} + \dots \]其中，c1、c2、c3、c4、c5和c6是x和y之间对应的一些点。

多元函数的泰勒展开泰勒展开是一种用多项式逼近函数的方法，它在数学分析、应用数学等领域被广泛应用。

在多元函数的情况下，泰勒展开可以通过多元偏导数来表示。

本文将介绍多元函数的泰勒展开及其应用。

一、泰勒展开的概念泰勒展开是一种将函数用多项式逼近的方法。

在一元函数的情况下，泰勒展开可以表示为：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$其中，$f(x)$是要逼近的函数，$a$是展开点，$f'(a)$表示函数在$a$点的一阶导数，$f''(a)$表示函数在$a$点的二阶导数，以此类推。

这样，我们可以用多项式来近似表示函数$f(x)$在展开点$a$附近的取值。

二、多元函数的泰勒展开在多元函数的情况下，我们可以将泰勒展开扩展为：$$f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a}) \cdot(\mathbf{x-a}) + \frac{1}{2!}(\mathbf{x-a})^T \cdot H(\mathbf{a}) \cdot (\mathbf{x-a}) + \cdots$$其中，$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$是自变量的向量，$\mathbf{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$是展开点的向量，$\nablaf(\mathbf{a})$表示函数在$\mathbf{a}$点的梯度，$H(\mathbf{a})$表示函数在$\mathbf{a}$点的Hessian矩阵。

三、泰勒展开的应用泰勒展开在实际问题中有着广泛的应用。

以下列举几个应用领域：1. 数值计算在数值计算中，泰勒展开可以用来近似计算函数的值。