函数在解题中的应用

函数奇偶性在解题中的应用徐辉函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是日常考试和高考中数学的重点和热点内容之一。

它应用广泛，在高中数学的各个分支中都有着极为重要的应用，在解题过程中如果应用的好，常能使难题变易，繁题变简，起到事半功倍的效果。

1．用于求值例１：已知奇函数，则解：因为奇函数，所以对任意，都有成立．令，则有，从而可得；令，则有，从而．故．注：此解利用了若函数是奇函数，则对定义域内的任意，都有这一性质，特别地，当０在定义域内时，必有．2．用于比较大小例２．已知偶函数在区间上单调递减，试比较的大小.解：因为是偶函数，所以，故此题只需比较的大小即可．又因在区间上单调递减，而且所以，故．注：此解利用了若函数是偶函数，则对定义域内的任意x，都有这一性质．当然此题也可利用偶函数图象关于y 轴对称这一性质，首先得到在区间是单调递增的，然后再用单调性进行求解．3．用于求最值例３．如果奇函数在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么在区间[-7,-3]上是（）A. 增函数且最小值为-5B. 增函数且最大值为-5C. 减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-5解：由在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，有, 又是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称,故有在[-7,-3]上也是增函数，且当x=-3时，函数取得最大值，故选B.注:此解利用了奇函数图象关于原点对称这一性质.4．用于求参数的值例4.已知函数(a、b、c∈Z)是奇函数，又f(1)=2，f(2)＜3，求a、b、c的值.解：由是奇函数，知f(-x)=-f(x)，从而，即-bx+c=-(bx+c)，c=-c，∴c=0.又由f(1)=2，知，得a+1=2b①，而由f(2)＜3，知，得②由①②可解得－1＜a＜2.又a∈Z，∴a=0或a=1.若a=0，则b=，应舍去；若a=1，则b=1∈Z.∴a=1，b=1，c=0.注：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想建立方程或不等式，组成混合组，最终使问题得以解决. 当然此题也可采用取特殊值的方法得到c的值，如由f(－1)=－f(1)，可得c=0. 5．用于求函数的解析式例５．已知定义在(－∞，+∞)上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x>0时，f(x)=x2－2x+2，求函数f(x)的解析式。

高中数学绝对值函数的应用实例及解题方法绝对值函数是高中数学中常见的一种函数形式，它在数学建模和实际问题中具有广泛的应用。

本文将通过具体的实例，来介绍绝对值函数的应用和解题方法，帮助高中学生更好地理解和掌握这一知识点。

一、求解绝对值不等式绝对值不等式是绝对值函数应用的重要形式之一。

我们以一个简单的例子开始，假设有如下的不等式：|2x - 1| < 3要求解这个不等式，我们可以将其拆分为两个不等式，即：2x - 1 < 3 和 2x - 1 > -3解得：x < 2 和 x > -1所以，原始的不等式的解集为 -1 < x < 2。

这个例子展示了如何通过拆分不等式来求解绝对值不等式，这也是解决绝对值不等式常用的方法之一。

二、求解含有绝对值的方程除了不等式，绝对值函数还常常出现在方程的解中。

我们以一个实际问题为例，来说明如何求解含有绝对值的方程。

例题：某地的温度每天都在变化，已知温度的变化规律可以用函数T(t) = |t - 5| - 3来表示，其中t表示时间（单位：小时），T(t)表示温度（单位：摄氏度）。

现在要求解在什么时间温度为0度。

解答：根据题意，我们需要求解方程|t - 5| - 3 = 0。

将绝对值函数的定义展开，得到两个方程：t - 5 - 3 = 0 或者 -(t - 5) - 3 = 0解得：t = 8 或者 t = 2所以，温度为0度的时间有两个解，分别是t = 8和t = 2。

这个例子展示了如何通过将绝对值函数的定义展开，来求解含有绝对值的方程。

这是解决这类问题常用的方法之一。

三、绝对值函数在距离和模型中的应用绝对值函数在距离和模型中的应用也是高中数学中的重要内容。

我们以一个典型的例子来说明。

例题：甲、乙两地相距200公里，甲地有一辆车以每小时50公里的速度往乙地行驶，乙地有一辆车以每小时40公里的速度往甲地行驶。

问多少小时后，两车相遇？解答：设两车相遇的时间为t小时，则甲地车行驶的距离为50t公里，乙地车行驶的距离为40t公里。

函数与方程思想在初中数学解题中的应用张猛【内容提要】：函数与方程思想是初中数学中的基本思想。

它们密切相关，有时需要互相转化来解决问题。

本文对初中数学中的函数与方程思想的内涵作了探讨，并结合一些具体案例说明了函数与方程思想在初中数学解题中的应用。

关键词：函数；方程；函数与方程思想应用案例数学知识可以记忆一时，但数学思想和方法却随时随地发挥作用，使人受益终身。

近年来中考考纲已明确提出不仅要考察学生的数学知识和思维能力，还要考察学生思想方法的运用能力。

其中，函数与方程思想是众多考试考查的最基本的数学思想方法之一。

学生仅仅学习了函数与方程的知识是不够的，应通过解题和对解题过程的反思来领悟函数与方程思想。

一：函数与方程思想的地位与作用函数与方程思想，简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。

在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数性质做工具进行分析，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题。

用方程思想做指导就需要把含字母的等式看作方程，研究方程的根有什么要求。

函数与方程思想在解题过程中有着密切的联系。

目前初中阶段主要数学思想有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，化归与转化思想、图形运动思想、数学模型思想。

函数与方程思想，既是函数与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数，相等与不等过程中的基本数学思想。

本文例析函数与方程思想在解题中的应用:二：函数与方程思想的应用案例通过整理与归纳，可以发现，在数学解题中，函数与方程思想常用于以下几类问题的解决。

1 求代数式的值例1 已知22a b ==+求22(3124)(2813)a a b b -+-+的值。

解：因为24,1,,410a b ab a b x x +==-+=所以为方程的两个根。

当x a =时，2410.a a -+=可得2231243(41)11a a a a -+=-++=；当x b =时，222410.28132(41)1111b b b b b b -+=-+=-++=可得∴ 原式=1⨯11=11。

函数与方程思想在解题中的运用函数与方程思想是中学数学最重要的基本思想,也是高考考查的重点.函数与方程思想既是两种思想本身的体现,也是两种思想综合运用的体现,二者密不可分.函数与方程思想也体现了动与静、常量与变量之间的辩证关系,是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想.函数是高中数学的一条主线,函数与方程思想运用几乎在高中各章节知识中都有体现,本文就这种数学思想在解题中的作用作一个较为详细的介绍.一、运用函数与方程思想处理函数、方程与不等式问题函数与方程虽是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系.方程f (x)=0的解就是函数y=f (x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数y=f (x)本身就是一个二元方程f (x)-y=0,于是,函数问题与方程问题可以相互转化来求解.函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f (x),当时y>0,就转化为不等式f (x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式.故它们三者之间关系紧密,解决此类问题的关键是深刻理解三者的意义,熟练掌握三者之间的转化关系.例1 已知函数f (x)=x2-x2+2x+1,且x1,x2是f(x)的两个极值点,003(2)x1-x2==,由根与系数的关系可知:x1+x2=a,x1x2=2,∴x1-x2=>1 ,由不等式恒成立问题可知:1≥m2-2bm-2对b∈-1,1恒成立.令g(b)=-2mb+m2-3,则当b∈-1,1时,g(b)≤0恒成立,∴g(-1)=m2+2m-3≤0,g(1)=m2-2m-3≤0-1f (x3)-x3,∴0三、运用函数与方程思想处理数列问题数列是一种特殊的函数,数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数.纵观近几年的高考题,在客观题中,突出“小、巧、活”的特点,解答题以中等以上难度的综合题目为主,涉及函数、方程、不等式的综合内容.在数列问题时,要切实注意运用函数观点来分析、解决有关数列的最值、单调性等问题,运用方程的思想来解决有关的计算问题.例5 设等差数列{an}的前n项和Sn,若a1>0,S4=S8,则当Sn取得最大值时,求n的值.解析(法一)由S4=S8,得d=-a10,a7+-=0,所以f(n)是单调递增的数列,故f(n)的最小值为f(2)=.(3)∵b=,∴Sn=1+++…+,∴Sn-1=++…+,又S1+S2+…Sn-1=+++…+=(n+++…+)-(n-1)=(++…++).假设存在整式g(n),使得S1+S2+…+Sn-1=(Sn-1)g(n)成立, 则g(n)==n,满足题目要求,故存在g(n)=n.点评数列其实就是关于正整数n的离散型函数,数列求最值的方法与函数最值的求法类似.此题问(2)先证数列是单调递增的,再利用单调性求数列最值,这是数列不等式证明中常用到的一种方法.问(3)是一个探究性问题,需要将左边和式朝着右边逐步变形,最终消除等式两边的差异,思维难度较大.四、运用函数与方程思想处理立体几何中的最值问题方程思想在立体几何中主要体现在,根据具体图形列方程(组)求角,求距离,求面积,求体积等.而当图形中涉及运动变化、不确定量时,往往要通过函数关系把这种数量关系表示出来,并加以研究,从而使问题获得解决,运用函数与方程思想在处理这类问题时非常有效.例7 已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,B1B1=BC=2,AC=2,点P是线段B1C上任意一点,求线段AP+C1P的最小值.解析连接AB1,在Rt△ACB中,AB==2,Rt△ABB1中,AB1==,在△ACB1中,AC=2,B1C=4,∴AC2+B1C2=AB12∠ACB1=90°.设CP=x,∴在Rt △ACP中,AP=,在△CC1P中,∠CC1P=45°,由余弦定理有C1P==,∴AP+C1P=+=+.此式可以看作是点(x,y)到点(2,2)及(0,-2)的距离之和.由数形结合可知:当三点在一条直线上时距离之和最小,即(AP+C1P)min==2为所求.点评本题是较常见的距离和的最值问题,如直接利用几何知识难以求解,需要借助函数建模,而最终又需要数形结合来完成求解.此题可谓构思巧妙、环环相扣,综合运用了几何、三角和函数等知识,能力要求较高.五、运用函数与方程思想处理圆锥曲线问题圆锥曲线问题中,常见的是利用几何性质列方程(组)求圆锥曲线的方程、离心率等.而涉及直线和圆锥曲线的位置关系问题时,一般需要通过解二元方程组,将其转化为一元二次方程,然后用根的判别式或根与系数的关系解题.此类问题对运算求解能力、推理论证能力要求较高,但同时它有一定的规律可循,因为它与函数方程思想有着紧密的联系,考生可以往这方面思考.例8 已知椭圆+=1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于A、B两点,且OA⊥OB(O坐标原点).(1)求+的值; (2)若椭圆长轴长2a的取值范围是[,],求椭圆离心率e的取值范围.解析(1)联立方程组:x+y-1=0,+=1(a2+b2)x2-2a2x-a2(1-b2)=0……(*)设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2=,x1x2=,而y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2=.又∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,∴+=0,∴a2+b2=2a2b2+=2……①经检验,方程(*)△=4a4(2b4-2b2+1)>0有解,故+=2.(2) 将b2=a2-c2,e=代入①,得2-e2=2a2(1-e2),∴e2==1-,而2a∈[,],由不等式的性质,得≤e2≤,而00.责任编校徐国坚。

函数思想在中学数学解题中的应用摘要：随着我国教育的不断变革，在教学过程中涉及到的学科思想越来越重要，尤其对于中学数学教学来说，这个特点十分明显。

中学时期的教学对学生们是至关重要的，受到社会各界广泛的关注。

对于中学教学科目来说，数学这门科目是十分重要的，学生们在做数学题的时候，需要具有较强的数学知识作为基础，并能够熟练的应用函数思想进行解题。

学生们在学习数学过程中能够合理地运用函数知识解决相关问题，就可以极大的提升学生们的学习效率。

本文主要围绕函数知识在中学数学解题中的应用展开分析。

关键词：函数知识；中学数学解题；应用措施引言现阶段在中学数学教学过程中要求学生们学会合理的利用函数知识解决相关问题。

数学这门学科对学生们数字理解能力、逻辑推理能力要求都比较严格，一旦学生们数学基础知识十分薄弱，那么对于解决数学问题来说也将十分困难。

函数知识作为中学数学教学内容重要的一部分，在数学解题过程中发挥着十分重要的作用。

函数将各个变量之间的关系描述得十分清楚。

在中学数学解题中应用函数知识就是将数学题目中部分数量关系利用函数表达式呈现给学生们，之后让学生们根据函数表达式建立数学模型来解决相关问题。

在数学解题中，应用函数知识解题就表明题中的各个数量关系是不断变化的，并且存在着某种联系，能够形成某个特定的公式，从而方便学生们在解题过程中了解各个数量的变化趋势，以此更加高效地解决相关数学问题。

一、函数思想在中学数学解题中的应用现状（一）函数思想在中学数学解题中学生的应用不积极对于中学生来说，在解决数学问题的时候，利用学过的数学知识进行解决是不可避免的。

大部分的数学题都是需要学生们从题目中找出有用的信息，并利用所学知识将各个信息建立联系，以此来方便解决整个题目。

在数学解题过程中，应用函数知识就是找出题目中各个变量之间的关系来进行解答。

但是在实际教学过程中，大部分的学生们由于函数知识基础薄弱。

因此，在解决数学问题的时候，也不善于运用函数知识解决。

○ 数学教学与研究
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(三 )函 数 思 想 在 高 中 数 学 数 列 中 的 应 用 对 于 高 中 数 学 而 言,数 列 算 是 一 种 特 殊 函 数,可 以 将 其 看成方程 或 者 是 方 程 组,也 就 是 函 数 解 析 式. 对 于 数 列 而 言,其主旨指 的 是 通 过 自 变 量 得 到 离 散 数 值 的 一 种 特 殊 函 数.所以,在对数列 问 题 进 行 解 答 时,可 以 合 理 应 用 函 数 性 质以及函数模式,进 而 增 强 学 生 对 数 列 含 义、等 差 数 列 单 调 性以及等比数列中的通项和中项等 的 理 解. 比 如:在 等 差 数 列{bn }中,d＝bn －bp/n－p,公差d 的几何意义 在 于 坐 标 中 表明这个等差数列的每一项点所处 直 线 的 斜 率. 再 比 如,对 于等差数列的求和公式:Sn ＝ (a１＋an )n/２,在 进 行 解 题 时, 可以对这个等式做 出 相 应 变 化:Sn ＝dn２/２＋ (a１ －d/２)n, 这个时候再进 行 解 答 时,就 可 以 转 换 成 有 关 与 n 的 二 次 函 数 ,使 解 答 变 得 更 加 容 易 . (四 )函 数 思 想 在 高 中 数 学 实 际 优 化 问 题 中 的 应 用 函数思想对于解答高中数学中的实际优化问题也具有 重要作用,因此在解答过程中应充分 应 用 函 数 思 想. 函 数 思 想可用于解决实际 问 题,使 数 学 问 题 变 得 更 加 简 单、更 加 系 统.在我们的现实 生 活 当 中,具 有 很 多 量 与 量 之 间 的 关 系, 比如对于路程而言,应 该 考 虑 路 程、速 度 以 及 时 间 三 者 之 间 的 关 系;对 于 生 产 问 题,应 该 考 虑 单 价、总 数 以 及 时 间 的 关 系,而对于价格问题或者是采购问题等也 都 应 用 到 了 函 数 的 变量.对于高考数 学 试 卷 而 言,实 际 问 题 占 有 重 要 比 重,应 用函数思想解决高中数学里的实际优化 问 题,有 利 于 提 升 学 生答题的准确率. 比 如,在 解 答 路 程 问 题 过 程 中,可 以 将 总 路程设成y,将速 度 变 量 或 者 是 时 间 变 量 设 成 x,将 实 际 问 题转换成函数问题.通过数量之间的 关 系,构 造 一 个 数 学 函 数模型,再将相应数 值 带 入 到 函 数 当 中,最 后 通 过 数 学 知 识 算出正确结果.另外,多数高中数学的 实 际 问 题 都 需 要 通 过 函数图像进行分析、解 答,所 以,在 解 题 过 程 中,也 可 以 用 图 像形式将变量关系描绘出来.并且在 算 出 结 果 之 后,要 将 其 带入到问题当中进行验证.对于高中 数 学 问 题 而 言,有 许 多 问题在解答过程中会出现两个结果,所以 学 生 应 该 仔 细 阅 读 题 目 ,并 根 据 题 目 要 求 选 取 最 合 适 的 结 果 . 四 、结 论 总而言之,函数思想对于解决高中数 学 问 题 具 有 重 要 意 义,不仅可以培养学 生 的 逻 辑 思 维 能 力,提 升 学 生 学 习 数 学 的兴趣,还可以提高 学 生 解 决 数 学 问 题 的 速 度 以 及 准 确 率, 进而提升他们的 数 学 成 绩. 因 此,对 于 高 中 数 学 教 师 而 言, 应该增强对学生函数思想的培养,将函数 思 想 融 入 到 课 堂 教 学当中,用函数思想为学生讲解数学 问 题. 而 对 于 高 中 生 而 言,应该增强对函数思想的重视,在教 师 正 确 引 导 之 下,培 养 自己的函数思想,并 将 其 应 用 到 数 学 解 题 中 去,进 而 提 高 自 己的数学成绩.

函数思想在高中数学解题中的应用【摘要】本文将探讨函数思想在高中数学解题中的重要性和应用。

在代数方程问题中，函数思想可以帮助我们理解和解决复杂的方程，提高解题效率。

在几何问题中，通过函数图像的分析，我们可以深入理解几何形状的性质，从而更好地解决几何难题。

函数思想在数列与数论中的应用也不可忽视，通过函数的性质可以发现数列中的规律，解决数论中的难题。

使用函数思想解决数学建模问题和简化解题过程都是本文要探讨的内容。

通过本文的学习，读者将更好地认识到函数思想在高中数学解题中的广泛应用和重要性，为未来高中数学教学提供思路和方法。

【关键词】函数思想、高中数学、解题、代数方程、函数图像、几何问题、数列、数论、数学建模、函数性质、广泛应用、教学、重要性。

1. 引言1.1 介绍函数思想在高中数学解题中的重要性函数思想在高中数学解题中起着至关重要的作用。

函数是数学中非常基础且重要的概念，它是描述自变量和因变量之间关系的工具。

在高中数学学习中，函数思想可以帮助我们更好地理解和解决各种数学难题。

通过函数思想，我们可以将问题抽象化，找到问题之间的关联，从而更好地解决问题。

在代数方程问题中，函数思想可以帮助我们建立数学模型，将复杂的代数方程化简为函数的表示形式，进而更容易解决问题。

在几何问题中，函数图像可以帮助我们直观地理解问题，进而找到解题的方法。

在数列与数论中，函数思想可以帮助我们研究数列的性质及规律，从而更好地掌握数学知识。

1.2 概述本文内容本文将重点探讨函数思想在高中数学解题中的应用。

通过引入函数的概念和性质，我们可以更加灵活地解决各种数学难题。

本文将从代数方程问题、几何问题、数列与数论、数学建模以及函数性质等方面展开讨论，阐述函数思想在这些领域中的作用和意义。

通过具体的例题和解题方法，读者可以更深入地理解函数思想在高中数学中的实际运用。

本文将总结函数思想在数学解题中的广泛应用，并展望未来在高中数学教学中的重要性。

函数思想在高中数学解题中的应用1. 引言1.1 了解函数思想的重要性了解函数思想的重要性是高中数学学习中的重要一环。

函数思想可以帮助我们更好地理解问题，提高问题解决的效率。

通过了解函数思想，我们可以更快地找到问题的核心，从而更快地解决问题。

函数思想也可以帮助我们建立起对数学知识体系的整体认识，提高数学思维的深度和广度。

在高中数学学习中，函数思想是贯穿始终的一个重要内容。

无论是在解代数方程还是解几何问题，函数思想都扮演着重要的角色。

了解函数思想可以让我们更好地理解数学概念，提高解题的速度和准确性。

所以，掌握函数思想对于高中数学学习来说是至关重要的。

1.2 高中数学解题的特点高中数学解题的特点主要包括题目形式简单、题目类型多样、涉及知识面广泛、考察思维能力强等特点。

在高中数学学习中，学生需要掌握各种数学概念和方法，能够灵活运用这些知识解决各类数学问题。

高中数学解题通常需要考虑多个因素，需要学生进行一定的逻辑推理和分析，以找到解题的有效方法。

另外，高中数学解题还常常涉及到多个知识点的综合运用，需要学生具有整合和综合能力，能够将所学知识有机地结合起来解决问题。

由于高中数学解题的特点，学生在解题时往往需要一定的思维方法和技巧，能够快速准确地分析问题并找到解决方法。

因此，深入理解和灵活运用函数思想在高中数学解题中具有重要的意义，可以帮助学生更好地应对各种数学问题，提高解题效率和准确性。

2. 正文2.1 函数思想在代数方程中的应用在高中数学中，代数方程是一个重要的内容，通常涉及到未知数的关系和等式的求解。

函数思想在代数方程中的应用可以帮助我们更加清晰地理解和解决这些问题。

我们可以将代数方程中的未知数看做自变量，而等式则可以看做一个函数关系。

通过建立数学模型，我们可以将复杂的代数方程简化成一个函数方程，从而更好地进行求解和分析。

函数思想可以帮助我们对代数方程的图像进行理解和分析。

通过绘制函数图像，我们可以直观地看到方程的解和特性，从而更好地理解方程的含义和求解方法。

隐函数求导法在高中数学解题中的应用摘要：隐函数求导法是一种利用不定积分来求解求导问题的方法，它可以有效地解决复杂求导过程中遇到的难题。

本文就隐函数求导法在高中数学解题中的应用进行了讨论，介绍了这一求导法的具体过程，并以具体的例子说明了它的应用。

关键词：隐函数求导法；高中数学；解题；不定积分隐函数求导法在高中数学解题中的应用隐函数求导法是一种利用数学知识和不定积分来求解求导问题的方法，它可以有效地解决多元函数求导中遇到的难题，在高中数学解题中得到了广泛的应用。

那么，具体的应用方式是什么呢？下面来看一下。

首先，隐函数求导法可以用来求解多元函数的求导问题，例如，求解y=(x-3)3的求导问题，利用隐函数求导法的具体步骤如下：1、首先将函数y=(x-3)3进行化简，得到y=x3-9x2+27x。

2、令u=x3-9x2+27x，令v=x，然后利用不定积分，根据udv=udv-vdu理，对其中一个积分进行分拆，可以得到：u dv = (x3-9x2+27 x)dx=3x2-9x+27 dxv du = (x)x3-9x2+27x dx=x2dx3、把上面两个积分部分合并，得到：3x2-9x+27 dx-x2dx=2x2-9x dx4、利用不定积分反演，得到y=(x-3)3的求导结果：(2x2-9x)dx=2x2-9x+C。

所以，y=(x-3)3的求导结果为y’=2x2-9x+C。

此外，隐函数求导法还可以用于求解更复杂的函数，比如，解决多元函数的高阶求导问题，例如，求解y=arcsinx(3x-3)的求导问题。

根据上述方法，我们可以利用不定积分把多元函数化简为y=u(x)v(x)，然后根据udv=udv-vdu原理，对其中一个积分进行分拆，将u(x)dv(x)和v(x)du(x)分别求出。

接着，把这两部分合并，得出最终的求导结果即可。

以上就是隐函数求导法在高中数学解题中的应用的具体过程，它具有很强的实用性，可以解决多元函数的求导问题，给学生带来了很大的帮助。

函数与方程思想在解题中的运用作者：李鹏泽来源：《教育周报·教研版》2021年第27期函数与方程的思想是中学数学的重要思想，也是近几年高考的重要考点，占全卷比例大约为l0%左右，常用函数和方程的思想去处理不等式、数列、解析几何和立体几何中的问题，使问题得到转化，从而复杂问题简单化。

近几年函数与方程的思想在高考试题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证明）不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题;二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的。

一、函数与方程的概念函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决，很多函数的问题也需要方程的知识和方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。

因此，函数与方程思想就是用函数、方程的观点和方法来处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是一种很重要的数学思想.（1）函数的思想，就是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图像或性质去分析问题、转化问题，使问题获得解决的思想，它是对函数概念的本质认识。

函数思想的实质是用运动变化的观点、相互联系、相互制约的观点去认识和处理有关问题，它既是一种认识问题时在观念上的指导，又是一种处理问题时在策略上的选择。

这种思想方法重在对具体问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展的角度拓宽解题思路.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系式是一关键步骤，大体可分为下面两种情况：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题;（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题。

二、函数与方程思想在解题中的应用（2）数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要。

函数思想在高中数学解题中的应用研究摘要：函数思想是数学思想中的重要内容，是指用函数概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思维策略，在高中数学解题的过程中发挥着非常重要的作用。

高中数学教师将函数思想应用于解题练习中，会进一步提升高中生的解题能力。

为此，本文对函数思想在高中数学解题中的应用进行了研究，以供参考。

关键词：函数思想；高中数学；解题；应用前言：数学是高考中十分重要的考试科目，分值所占比例也比较大。

但高中数学知识复杂程度、抽象度等都较高，高中生学习起来会面临较大的阻力，所以一些高中生对于数学课程有畏难心理，同时也直接影响了他们的数学成绩。

教师通过将函数思想应用到数学题解答中，可以有效帮助高中生加深对数学知识的理解，并不断提升高中生的解题能力。

一、应用函数思想解答实际优化问题数学与生活有密切联系，数学知识可以良好解决许多生活问题。

但一些数学知识解答生活中的问题，需要高中生经过较为复杂的一个过程。

而一些数学知识解答生活中同样的实际问题，就可以十分简单。

比如，函数思想就可以将复杂的解题过程，进行高效优化。

并且，还会让实际生活问题加简单、系统，令高中生更快理解。

在实际生活中，存在许多量与量之间关系的问题。

如，路程方面的问题，需要考虑速度、路程、时间三个量之间的关系；生产方面的问题，需要考虑总数、价格、时间三者的关系。

其中价格方面的问题，又包括采购价格和售价，这些因素也都可以对应应用函数中的变量。

在数学试卷中，涉及实际优化问题的数学题也占有相当重的比重，教师指导高中生应用函数思想去解答，会更利于高中生提高解答问题的准确率。

在《函数的应用（一）》一课的讲解中，就涉及许多实际优化问题。

教师在提出问题后，就可以引入实际问题，来指导高中生应用函数思想来解答。

如：“距离甲船只正北方向200海里的位置，有船只乙，以每个小时40海里的速度，沿北偏西70度角的方向行驶，甲船只以每个小时20海里的速度向正北方向行驶。

函数思想在解题中的应用函数思想是一种方法或策略，它将一个复杂的问题分解为更小的子问题，并通过解决这些子问题来解决整个问题。

在计算机科学和数学中，函数思想广泛应用于问题求解、算法设计和编程等方面。

本文将从几个不同的角度探讨函数思想在解题中的应用。

一、抽象和封装函数思想的一个核心概念是抽象和封装。

通过将一组操作封装到一个函数中，我们可以将其视为一个黑盒，只关注其输入和输出，而不需要了解内部的具体实现细节。

这种抽象和封装的方式使得我们能够更加专注于问题的本质，提高代码的可读性和可维护性。

例如，在一个数字列表中找到最大值的问题中，我们可以定义一个函数`find_max(`来实现。

这个函数接收一个数字列表作为输入，并返回列表中的最大值。

在使用这个函数时，我们只需要关注输入和输出，而不需要了解函数内部是如何实现的。

这种抽象和封装的方式使得我们可以将注意力集中在解决问题本身上，而不需要关注底层的实现细节。

二、模块化和复用函数思想能够将一个大问题分解为更小的子问题，从而实现模块化和复用。

通过将一些常用的操作封装到函数中，我们可以在解决不同的问题时重复使用这些函数，提高代码的重用性和效率。

例如，在一个学生成绩管理系统中，我们可以定义一个函数`calculate_average(`来计算一个学生的平均分数。

在需要计算多个学生的平均分数时，我们可以重复调用这个函数，从而实现代码的复用和简化。

这种模块化和复用的方式不仅提高了代码的效率，还使得代码更加清晰和易于理解。

三、递归和分治递归和分治是函数思想的两个重要概念，它们在解决问题中起到了重要的作用。

递归是指一个函数可以在其定义中调用自身的过程。

递归可以将一个复杂的问题分解为更小的相似子问题，并通过解决这些子问题来解决原始问题。

递归通常使用递归函数来实现，其中递归函数是一个对自身进行调用的函数。

例如，求阶乘是一个经典的递归问题。

我们可以定义一个递归函数`factorial(n)`来计算一个数字n的阶乘。

浅谈函数思想在解题中的应用摘要：函数是中学数学中最为重要的内容，而函数思想是中学数学的一种基本思想，更是最重要的一种数学思想,高考中所占比重比较大，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，高考题对函数的思想方法的考查已经达到较高的层次，综合知识多、题型多、应用技巧多。

关键词：高中数学函数解题函数是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等。

一、函数思想所谓函数思想，不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题，它的精髓是运用函数分析问题、解决问题的观点、方法，是通过构造函数关系，使用函数方法来解决问题的思想。

二、函数的运用函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决。

如解方程f（x）=0，就是求函数y=f （x）的零点，解不等式f（x）＞0（或f（x）＜0），就是求函数y=f（x）的正负区间。

再如方程f（x）=g（x）的解的问题可以转化为函数y=f（x）与y=g（x）的交点问题，也可以转化为函数y=f（x）-g（x）与x轴的交点问题，方程f（x）=a有解，当且仅当a属于函数f（x）的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。

例如，函数与表达式也可以相互转化，对于函数y=f（x），当y＞0时，就转化为不等式f（x）＞0，借助于函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。

数列的通项或求前n项和时自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题也是十分重要。

函数f（x）=（a+bx）n（n∈N*）与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。

定理5（费马定理）
设函数 在点 的某领域内有定义，且在点 可导。若点 为 的极值点，则必有 。
定理6（极值的第一充分条件）
设 在 点处连续，在某领域 内可导。
（1） 若 时， ，当 时 ，则 在点 取得极小值；
（2） 若 时， ，当 时 ，则 在 处取得极大值。
例3判断函数 在 的单调性。
解：函数
有正有负， 。
3.1.1 一次函数单调性的判别
一次函数的解析式：
在 时，对应定义域内图像上升：
在 时，对应定义域内图像降低；
在 时，一次函数变成常数，不分析单调性。
3.1.2 二次函数单调性的判别
二次函数的解析式 ，其图形形式为抛物线。其中当 时，抛物线开口向上，当抛物线在 时，函数有最小值 ，即在 上为单调递减函数；其中当 时，抛物线开口向上，当抛物线在 时，函数有最大值 ，即在 上为单调递增函数。
结合 的单调性可知：
当 的极大值 ，即 时，它的极小值也小于0，因此曲线 与 轴仅有一个交点，它在 上。
当 的极小值 －1>0即 时，它的极大值也大于0，因此曲线 = 与 轴仅有一个交点，它在 上。
所以，当 ∪ 时，曲线 = 与 轴仅有一个交点。
例2设函数 ，已知 是奇函数。
（1）求 、 的值。
（2）求 的单调区间与极值。
monotonicfunctiondistinguishderivativeapplication21函数单调性的基本概念211函数单调性的定义212函数单调性的意义213函数单调性的理解22函数单调性的常用定理和性质221最值定理222有界性定理223零点定理224介值性定理225极值的判定定理31初等数学中函数单调性的判别311一次函数单调性的判别312二次函数单调性的判别313指数函数单调性的判别314对数函数单调性的判别32高等数学中利用导数判别函数单调性41单调性在求极值最值中的应用411一元函数的极值412二元函数的极值

函数思想在高中数学中的运用摘要：本文着重从两大方面论述了在数学解题中如何恰当的运用函数思想：①借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证)不等式、解方程、最大值和最小值、有关方程根存在性以及讨论参数的取值范围等问题；②在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.关键词：函数、求值、不等式、方程、最大值和最小值、存在性、取值范围．我们在教学的过程中会感觉到，学生会在不知不觉之中就能够解答许多数学问题，也许他们叫不上所用的方法的名字，有时也不需要知道它的名字，很多复杂的数学问题，在他们那很快屡出头绪，得以解决．他们的数学能力增强了，这就是数学方法的魅力．也是我们在教学过程中要教给学生的最重要的内容．函数是中学数学的一个重要概念，函数知识贯穿中学数学的始终，它一直是高考的热点、重点内容．函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路．一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：函数的单调性、奇偶性、周期性、连续性、最大值和最小值、图象变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性．在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键．对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型．就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证)不等式、解方程、最大值和最小值、有关方程根存在性以及讨论参数的取值范围等问题．让我们来看下面的例题：例1．设x ，y 为实数，满足)()(1200313-+-x x =1-，)()(1200313-+-y y 1=，则=+y x ． 解：令t t t f 20033+=)(，则)(t f 为奇函数且在R 上为增函数，由11-=-)(x f =)()(y f y f -=--11，则y x -=-11，故2=+y x ．例2．设函数||||)(112--+=x x x f ，求使22≥)(x f 的x 的取值范围．解：由于x y 2=是增函数，22≥)(x f 等价于2311≥--+||||x x ． ① （1）当1≥x 时，||||11--+x x =2，∴①式恒成立．（2）当11<<-x 时，||||11--+x x x 2=，①式化为232≥x ，即143<≤x ． （3）当1-≤x 时，||||11--+x x 2-=，①式无解．综上，x 的取值范围是),[+∞43．例3．设n a a a ,,, 21都是正数，证明对任意的正整数n ，下面的不等式成立：)()(22221221n n a a a n a a a +++≤+++ ．证明： 下面的不等式对任意的*∈∈N n R x ,都成立：)(22221n a a a +++ 2x + x a a a n )(+++ 212n +0≥，即011122221≥++++++)()()(x a x a x a n ．构造二次函数=)(x f )(22221n a a a +++ 2x +x a a a n )(+++ 212n +．0>i a ，n i ,,, 21=．4=∆∴221)(n a a a +++ 4-)(22221n a a a +++ n 0≤，得)()(22221221n n a a a n a a a +++≤+++ ．注：本题是柯西不等式的一个特例，还有其他的证法，但惟有辅助函数法是最简捷、最透彻的证法． 例4．讨论xx 224sin sin +的最值．[分析]本题不能利用基本不等式作出解答“x x 224sin sin +xx 2242sin sin ⋅≥4=”，因为等号只能在22=x sin 时才能取到，而这是不可能的，可构造函数tt t f 4+=)(试解本题．解：显然102≤<x sin ，设x t 2sin =．下面证明当],(10∈t 时，tt t f 4+=)(是减函数． 当1021≤<<t t ，))(()()(21212141t t t t t f t f --=-．021<-t t ，1021<<t t ， 04121<-t t ，021>-∴)()(t f t f ，)()(21t f t f >∴，即)(t f 是],(10上的减函数． )(1f ∴是函数t t t f 4+=)(在],(10上的最小值，又5411=+=)(f ． 54≥+∴t t ，即5422≥+xx sin sin ． 例5．已知a 、b 为不全为0的实数，求证：方程0232=+-+)(b a bx ax 在),(10内至少有一个实根．证明：若0=a ，则0≠b ，此时方程的根为21=x ，满足题意．当0≠a 时，令=)(x f )(b a bx ax +-+232．（1）若0<+)(b a a ，则a a b a f f 4141210=-+-=))(()()()(b a + 0<，所以)(x f 在),(210内有一实根．（2）若0≥+)(b a a ，则)()()(b a a f f +-=241121 041412<+--)(b a a a ，所以)(x f 在),(121内有一实根． 例6．若抛物线22++=ax x y 与连接两点),(10M 、),(32N 的线段（包括M 、N 两点）有两个相异的交点，求a 的取值范围．解：易知过点),(10M 、),(32N 的直线方程为1+=x y ，而抛物线22++=ax x y 与线段MN 有两个交点就是方程122+=++x ax x ，在区间],[20上有两个不等实根．令112+-+=x a x x f )()(，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+=≥=>--=∆<--<.)(,)(,)(,032201004122102a f f a a解不等式组，得a 的范围是123-<≤-a ． 从以上的几个例子，我们看到，在解题时要从各种复杂的函数中划分出基本函数类，这些基本函数是最常见的、最有用的、最基本的函数，研究和总结基本函数的图象、性质及其解题的模式（方法），然后把实际问题或其他复杂函数化归为基本函数来解决，这就是基本函数模型方法．二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.让我们来看下面的例题例7．求使不等式)(1122->-x m x 对于2≤||m 的一切实数m 都成立的x 的取值范围．我们习惯上把x 当作自变量，构造函数m x mx y -+-=122，于是问题转化为：当2≤||m 时，0<y 恒成立，求x 的取值范围.解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的.如果把m 看作自变量，x 视为参数，构造函数)()(1212---=x m x y ，则y 是m 的一次函数，就非常简单.即令)()()(1212---=x m x m f .函数)(m f 的图象是一条线段，要使0<)(m f 恒成立，当且仅当02<-)(f 且02<)(f ，解这个不等式组即可求得x 的取值范围是.本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x 的不等式组来达到求解的目的.解：构造函数)()()(1212---=x m x m f ，],[22-∈m ．0<)(m f 在],[22-∈m 上恒成立⎩⎨⎧<-->-+⇔⎩⎨⎧<---<----⇔⎩⎨⎧<<-⇔01220322012120121202022222x x x x x x x x f f )()()()()()(213217+<<-⇔x ．∴所求x 的取值范围是),(213217+-． 本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x 的不等式组来达到求解的目的.这是利用变量相对的观点来构造辅助函数的，从中可以看到数学的自由思考的特点．在函数的学习和复习中，要做到熟练掌握基础知识，充分理解各知识点间的内在联系，如数列中的n a 、n S 都可以看作是n 的函数而应用函数思想以获得新的解法．看下面的例题：例8．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知012>S ，013<S ，（1）n 为何值时n S 最大？为什么？（2）求证：121S S >．[解法一]（1）设数列}{n a 的公差为d ，由012>S 且013<S ，可知0≠d ，于是n S 是n 的二次函数，可设)(022x n n d S n -=，其中0x 是抛物线n S y =的顶点的横坐标． 由012>S 且013<S ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-⋅>-⋅0213132021212200)()(x d x d ①当0>d 时，解①得60<x 且560.>x ，这是不可能的．0<∴d ，即知抛物线的开口向下；且解①，得5660.<<x ，而*∈N n ，根据二次函数的最值性，得6S 最大．（2）056212112100000<-=---=---).()(||||x x x x x ，即<-||10x ||120-x ，根据二次函数的图象，得121S S >．[解法二]（1）⎩⎨⎧>+<+⇔⎩⎨⎧+=+=006561211311211213113a a a a a a S a a S )()(.⎩⎨⎧>+=+<+=⇒002121761317a a a a a a a ⎩⎨⎧><⇒.0067a a 根据一次函数n a 的单调性，得：当6≤n ，0>n a ；当7≥n 时，0<n a ．6S ∴最大．（2）)()()(d a d a a a a a a S S 5665656771211211121+---=--=+-=-711a -= 0>，∴121S S >．注：本例是利用一次函数、二次函数的性质解决数列问题．所给两个解法，说明此类等差数列问题既可用二次函数n S 求解，也可用一次函数n a 求解．哪个方法简捷，要由问题的条件来分析．建立函数思想是中学数学教学的重要课题，因为函数思想是中学数学，特别是高中数学的主线，函数思想的建立使常量数学进入了变量数学，中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数，尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具．因此，在数学教学中注重函数思想是相当重要的。

２０２３年１１月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀函数奇偶性,解题妙应用◉江苏省海安高级中学㊀许㊀陈㊀㊀摘要:利用函数的奇偶性来解决函数的一些相关问题,是函数问题中最常见的一类基本类型．通过归纳,利用函数的奇偶性,来巧妙解决函数中的函数值㊁解析式㊁图象㊁最值以及不等式等相关问题,总结规律,以指导数学教学与复习备考．关键词:函数;奇偶性;函数值;解析式;图象㊀㊀函数的奇偶性是函数的基本性质之一,反映了函数图象的对称性特征,同时兼备函数自身中 数 与 形 的双重性质,是研究数学的一个基本工具,也是历年高考数学试卷中比较常见的一个重要知识点．同时,函数的奇偶性又可以很好地交汇与融合函数的基本知识,以及数学中的其他基本知识点,是充分体现高考 在交汇知识点处命题 指导思想的重要平台,倍受各方关注．１结合奇偶性确定函数值直接利用函数的奇偶性求解函数值及其相关应用是比较常见的一类问题,难度比较小,关键是合理应用函数奇偶性加以分析㊁转化与处理．例１㊀已知函数y＝f(x)是R上的奇函数,当x＞０时,满足f(x)＝x２－２x－１,则f(－３)的值是．分析:结合奇函数的定义,合理构建关系式f(－x)＝－f(x),取特殊值代入得到f(－３)＝－f(３),即可求解．解析:由于函数y＝f(x)是奇函数,则利用函数的奇偶性的定义,可知f(－３)＝－f(３)＝－(３２－２ˑ３－１)＝－２．故填答案:－２．点评:以上问题还可以先由f(３)＝３２－２ˑ３－１＝２,再结合函数y＝f(x)是奇函数,可得f(－３)＝－f(３)＝－２．正确把握函数的奇偶性,以及对应的自变量与函数值之间的关系,是分析与解决此类问题的关键所在．２结合奇偶性确定函数解析式直接利用函数奇偶性的定义,得到所对应的函数解析式之间的关系f(－x)＝－f(x),或f(－x)＝f(x),前者是奇函数的基本性质,后者是偶函数的基本性质,进而通过已知函数解析式的变形与转化,可以很好地确定一些相关函数的解析式问题．例２㊀已知函数f(x)是奇函数,且当x＞０时, f(x)＝x|x－２|,求当x＜０时,函数f(x)的解析式．分析:结合奇函数的定义,得到关系式f(－x)＝－f(x),通过已知解析式的合理转化,确定x＜０时f(x)的解析式．解析:当x＜０时,－x＞０,则有f(－x)＝－x|(－x)－２|．又因为f(x)为奇函数,所以f(x)＝－f(－x)＝x|(－x)－２|＝x|x＋２|．故当x＜０时,f(x)＝x|x＋２|．点评:利用函数奇偶性的定义来解决一些相关的函数解析式问题时,关键要注意函数自变量的正负取值情况以及变量之间的对应关系,合理替代,巧妙代换,通过整体思维㊁对应思维来分析与应用,从而解决一些涉及函数解析式以及对应的应用问题．３结合奇偶性判断函数图象利用函数基本性质奇偶性,通过结构特征来判断与之对应的函数图象的对称性问题,是函数奇偶性的一个非常直观形象的应用,可以便捷且直观地从函数图象来确定与函数奇偶性对应的性质[１]．例３㊀函数f(x)＝x l n|x|的图象可能是(㊀㊀)．分析:结合条件中给出的函数解析式来分析与判断已知函数的奇偶性,通过函数的奇偶性所对应的图象的对称性来分析排除相关的选项;在此基础上利用特殊点进一步合理排除相关的选项,巧妙判断．解析:对于函数f(x)＝x l n|x|,由于f(－x)＝７７解法探究２０２３年１１月上半月㊀㊀㊀－x l n |－x |＝－x l n |x |＝－f (x ),则知函数f (x )＝x l n |x |是奇函数,可以排除选项A ,C ;又由于f(１e )＝１e l n |１e |＝－１e,其对应点在x 轴下方,因此可以排除选项B ．故选择答案:D ．点评:具体判断函数的图象以及相关问题时,可以借助函数的奇偶性来判断整个函数图象的对称性问题,而具体的一些细节,还要综合特殊函数值的确定㊁函数的极值与最值以及其他的一些基本性质与特征来综合处理．４结合奇偶性求解最值函数的奇偶性具有一定的对称性与反射性,由此可以通过函数图象的对称性与对应的函数值来解决一些与之相关的函数最值问题,从而判断一些与最值有关的函数问题[２]．例４㊀若f (x )和g (x )都是奇函数,且F (x )＝f (x )＋g (x )＋２在(０,＋ɕ)上有最大值８,则在(－ɕ,０)上F (x )有(㊀㊀)．A．最小值－８㊀㊀㊀㊀㊀B ．最大值－８C ．最小值－６D．最小值－４分析:先根据条件确定函数关系式f (x )＋g (x )的最大值,结合函数f (x )和g (x )都是奇函数,可以确定函数f (x )＋g (x )在(－ɕ,０)上的最小值,进而确定函数F (x )在对应区间上的最小值问题．解析:根据题意可知函数f (x )＋g (x )在(０,＋ɕ)上有最大值６．又因为函数f (x )和g (x )都是奇函数,所以函数f (x )＋g (x )是奇函数,则函数f (x )＋g (x )在(－ɕ,０)上有最小值－６,即函数F (x )在(－ɕ,０)上有最小值－６＋２＝－４．故选择答案:D ．点评:在实际求解一些相关函数的最值问题时,经常要借助函数在相应区间上最值的确定,以及函数奇偶性的判定,从而综合交汇,创新应用．当然,具体解决问题时,可以借助特殊函数(如一次函数等)来直观分析,更加简单快捷来处理此类函数最值问题㊁函数对称性问题等．５结合奇偶性求解不等式在解决一些抽象函数对应的不等式问题时,经常要借助函数的奇偶性等基本性质及结构特征来巧妙转化,进一步确定所要求解的不等式,这是解决问题的关键所在．在一些具体应用中,经常要与函数的解析式㊁单调性以及其他的相关知识加以交汇与融合,从而实现问题的创新性㊁综合性与应用性[３]．例５㊀已知函数f (x )＝x ３－２x ＋e x －e －x,其中e 是自然对数的底数,若f (a －１)＋f (２a ２)ɤ０,则实数a 的取值范围是．分析:根据函数奇偶性的定义来确定函数f (x )是奇函数,为进一步的变形与转化相应的不等式提供条件,利用求导处理以及基本不等式的应用来确定函数的单调性,从而巧妙转化不等式,进而通过解一元二次不等式来确定参数的取值范围问题．解析:由函数f (x )＝x ３－２x ＋e x －e －x ,可得f (－x )＝(－x )３－２(－x )＋e －x －e x ＝－x ３＋２x －e x ＋e －x＝－f (x )．又x ɪR ,所以f (x )＝x ３－２x ＋e x －e －x是奇函数．而因为f ᶄ(x )＝３x ２－２＋e x ＋e －xȡ３x ２－２＋２e x e －x＝３x ２ȡ０,当且仅当x ＝０时等号成立,所以f (x )在R 上单调递增．结合f (a －１)＋f (２a ２)ɤ０,可得f (２a ２)ɤ－f (a －１),即f (２a ２)ɤf (１－a ),所以有２a ２ɤ１－a ,即２a ２＋a －１ɤ０,解得－１ɤa ɤ１２．故填答案:－１,１２éëêêùûúú．点评:此题中,巧妙融入高次函数㊁指数函数以及抽象函数类型,融合函数的奇偶性与单调性㊁导数及其应用㊁基本不等式以及二次不等式的求解等相关内容．其中确定函数的奇偶性是关键,为进一步的变形与转化指明方向,是解决问题的一个重要切入点．其实,历年高考数学试卷中,往往离不开对函数奇偶性的考查,有时直接设置相关题目,有时隐含在其他数学问题中,形式各样,变化多端．此类涉及函数奇偶性的问题通常以小题(选择题或填空题)为主,难度中等及偏下,有时单独考查函数的奇偶性,有时将函数相关概念与与函数的奇偶性加以综合,有时还融入其他模块知识,实现知识点间的交汇与融合．抓住函数奇偶性的定义及对应的函数的图象性质,合理总结规律,巧妙综合,创新应用．参考文献:[１]张召永．小妙招巧判抽象函数奇偶性[J ]．数理化学习(教研版),２０２２(７):３Ｇ４,２７．[２]林琪．深度学习觅因果,数形结合探本质 以函数奇偶性为例[J ]．中学数学研究,２０２２(６):３Ｇ４．[３]孟俊．信息技术与数学教学融合的实践探究 以 函数奇偶性 教学为例[J ]．中学数学教学参考,２０２２(２１):１２Ｇ１４．Z８７。

初中函数应用题解题技巧
1. 嘿，你知道吗？初中函数应用题的解题技巧之一就是要认真审题呀！比如说这样一道题：小明以每小时 5 千米的速度行走，走了 x 小时，问走
了多少路程。

这多简单呀，速度乘以时间不就是路程嘛！大家可别马虎哦！
2. 哎哟喂，要善于找出关键信息啊！像有道题说商店里某种商品进价
10 元，售价 15 元，利润是多少？这不明摆着用售价减进价嘛，可别傻傻
分不清呀！
3. 嘿呀，一定要根据题目条件列方程呀！比如有这样的：一个数的 3
倍比它本身大 10，问问这个数是多少。

咱就设这个数是 x，那不就可以列
3x=x+10 嘛！
4. 哇塞，要学会画图呀！像有道题说甲乙两人在相距 100 米的两地同
时出发相向而行，问多久相遇。

画个图，一目了然啊，多直观呀！
5. 嘿，有的时候得换个角度思考呀！以前遇到过一道题，怎么都想不明白，后来换个思路，哇，一下子就懂了呢！
6. 哎呀呀，多做些练习题也是很重要的呀！就像学走路，多走才能熟练嘛。

多练几道题，再遇到类似的就不怕啦！
7. 哼，可别小瞧那些简单的题哦，它们可是基础呢！像那种求面积的，可别弄错公式啦！
8. 哈哈，掌握了这些技巧，初中函数应用题还怕它干嘛！咱就大胆去做，肯定能搞定！。