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材料力学第四章 平面弯曲1

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《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力

《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力

x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在

《材料力学》第四章 弯曲内力

《材料力学》第四章 弯曲内力
ql FS = R A－qx＝ －qx 2 x qlx qx 2 M = R A x－qx ⋅ ＝ － 2 2 2
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,

材料力学——4梁的弯曲内力

材料力学——4梁的弯曲内力

21
例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图 解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ ( x) F
(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
M ( x) Fx
2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：
FQ M
max max
F Fl
22
例题 2简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力 由对称关系，可得： 1 FAy FBy ql 2 2.列剪力方程和弯矩方程
Q2 Q1– Q2=P
x
x
梁的内力计算的两个规律：
（1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截 面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方 向投影的代数和。即：
FQ
F
yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
12
二、例题
[例1]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 2 解：截面法求内力。 qL 1 1--1截面处截取的分离体 1 a y qL A M1 x1 Q1 图（b） 2 b 如图（b）示。
x
图（a）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA( Fi ) qLx1 M1 0 M1 qLx1
作梁的剪力图 FQB右=4kN/m×2m=8kN，FQD=0
34
35
27
3. 弯矩图与剪力图的关系
(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面 上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二 次抛物线。当FQ图为平行于x轴的直线时，M图 为斜直线。

材料力学(刘鸿文)第四章-弯曲内力

材料力学(刘鸿文)第四章-弯曲内力

练习：计算下列各图中特殊截面上的内力
P a q
a
P
a
a
a M＝qa2
q
a a
P=2qa
练习：计算下列各图中特殊截面上的内力
q
a
2a
P=qa
a
a M=qa2
a
§4-4
剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩
一、内力方程： 任意截面处的内力表示为截面位置的函数； q x q x 例1、悬臂梁上作用均布载荷 写内力方程，并作内力图
M ( x) m Pa
x
(0 x a )
BC段:
Fs ( x) P
M ( x) m P( x a) 2 Pa Px
( a x 2a )
Fs ( x) 0
m=Pa
P
B C
M ( x) m Pa
(0 x a )
A
Fs ( x) P
弯矩图上凸；
总结3 3、梁上没有均布载荷时：
剪力的图 弯矩图
FS
Fb / l
F C
x
水平；
斜直线；
M
Fa / l
Fab / l
且剪力大于零时， 弯矩图上升； 剪力小于零时， 弯矩图下降；
x
总结4 4、集中力的作用点处
FS
Fb / l
F
C
Fa / l
剪力图 突变； 突变量 =集中力的大小； 突变的方向 弯矩图 顺集中力的方向
固定端截面处；
FS max＝ql
M max＝ql 2 / 2
M
ql 2 / 2
x
仔细观察内力图的特点 1885年，俄国人别斯帕罗夫开 始使用弯矩图；

材料力学-第四章弯曲应力教学

材料力学-第四章弯曲应力教学


FS
x
dx

0
FS
x

dM x
dx
qx

dM 2x
dx 2
注:q(x)向上为正,反之为负。
●简易法作剪力图和弯矩图
①梁上无分布荷载作用：q（x）=0
qx dFS x 0
dx
FS x cont
剪力图斜率为零，FS（x）图为平行于x轴的直线。
dM x
B 1kN
A FAx
FB
FAy
FAx=-3kN FAy=3kN
FB=5kN
2）剪力图: 简易法 BC杆：取一点（水平线） DC杆：取两点（水平线） DA杆：取两点（斜直线）
D 3kN
C
1kN E
5kN
1kN B
3kN A
q=1kN/m 4m 3m
8kN
1m D
2m C
E
B 1kN
A FAx
A
A
ydA Sz 0 中性轴z必通过截面形心
A
横截面对z轴的静矩
My
z dA 0
A
zE
A
y dA

E


A
zydA
0
zydA I yz 0
A
截面对yz轴的惯性积
*由于y为对称轴, 上式自然满足。
M z

y dA
A
M
例5.作外伸梁的内力图
q
FA

ql 8
A
FB

5ql 8
FA
FS
B
lC
l
FB 2
ql / 2

材料力学第04章 杆件变形分析

材料力学第04章 杆件变形分析
桁架的变形通常用节点的位移（displacement）表示，现以 下图所示桁架为例，说明桁架节点位移的分析方法。
例4-2 桁架是由1、2杆组成，
通过铰链连接，在节点A承受 铅垂载荷F=40kN作用。已知
杆1为钢杆，横截面面积
A1=960mm2，弹性模量 E1=200GPa，杆2为木杆，横 截面面积A2=2.5×104mm2， 弹性模量E2=10GPa，杆2的杆 长为1m。求节点A的位移。
M (x) EI 24
d2w/dx2与弯矩的关系如图所示，坐标轴w以向上为正。由
该图可以看出，当梁段承受正弯矩时，挠曲线为凹曲线，如
图（a）所示，d2w/dx2为正。反之，当梁段承受负弯矩时， 挠曲线为凸曲线，如图（b）所示，d2w/dx2为负。可见， d2w/dx2与弯矩M的符号一致。因此上式的右端应取正号，即
于梁的高度，剪力对梁的变形影响可以忽略不计，上式仍可
用来计算横力弯曲梁弯曲后的曲率，但由于弯矩不再是常量，
上式变为
1 M (x)
(x) EI
即挠曲线上任一点处的曲率与该点处横截面上的弯矩成正比，
而与该截面的抗弯刚度（flexural rigidity）EI成反比。
23
由高等数学可知，平面曲线w=w(x)上任一点的曲率为
15
对于扭矩、横截面或剪切弹性模量沿杆轴逐段变化的圆 截面轴，其扭转变形为
n
Tili
i1 Gi I Pi
式中，Ti、li、Gi与IPi分别为轴段i的扭矩、长度、剪切弹 性模量与极惯性矩，n为杆件的总段数。
16
2．圆轴扭转的刚度条件
在圆轴设计中，除考虑其强度问题外，在许多情况下对刚 度的要求更为严格，常常对其变形有一定限制，即应该满足 相应的刚度条件。

材料力学第四章平面弯曲


得
∫ A ydA =0
M
dA
z
y z ζdA
My
横截面对中性轴 zdA 的面积矩为零， A 中性轴过形心。 E yzdA 0

A
y
Iyz =0——梁发生平面弯曲的条件
E I E 2 ∫ AσdA· z ∫ A y dA = Mz= y = ρ ρ 1 Mz = EIz —— 梁的弯曲刚度 中性层曲率公式 EI ρ z
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· B M y B截面 上部受拉、下部受压 tBmax B t max 21.4MPa Iz B yt max 100mm B M y I z 186.6 106 m 4 B B c max 38.6MPa B c max yc max 180mm Iz
max
FQ S
* z max
Izd
d FQ 4 FQ 12 4 d 3 A d 64
3
d/2
z
max
四、薄壁圆环截面梁 中性轴处：
r0
z
max 2
FQ A
max
例 如图所示一T形截面。某截面上的剪力FQ=50kN，与y 轴重合。试求腹板的最大切应力，并画出腹板上的切应力分布图。
1
* FQ S z 1
I zd
4.13MPa
例 一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁中1、2、 3、4点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并 写出应力的表达式。
q
1 2 h/4 4 3
z l/4 b
l/4
l
解： (1)求支座反力:
FRA
FRB
1 l/4

材料力学-第四章 弯曲内力

7 . 线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
8
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
m dx
15
+
FS
m
FS
m
-
dx
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)

《材料力学》第4章弯曲内力 课后答案


0 ； FS−C
= b F， a+b
M
− C
=
ba a+b
F
FS+C
=
−a a+b
F
，
M
+ C
=
ba a+b
F ； FSB
=
−A a+b
F
,MB
=
0
d解
图（d1）， ∑ Fy
=
0，F
=
1 2
ql
，
∑
M
A
= 0，M A
=
− 3 ql 2 8
仿题 a 截面法得
FSA
=
1 2
ql
，MA
=
−
3 8
ql
2
；
FS−C
FS (x) = −F
⎜⎛ 0 < x < l ⎟⎞
⎝
2⎠
M (x) = −Fx ⎜⎛0 ≤ x ≤ l ⎟⎞
⎝
2⎠
FS (x) = F
⎜⎛ l < x < l ⎟⎞
⎝2
⎠
45
M (x) =
FA x +
FB
⎜⎛ ⎝
x
−
l 2
⎟⎞ ⎠
，
FB
= 2F
M (x) = Fx − Fl ⎜⎛ l ≤ x ≤ l ⎟⎞
( ) 解
∑MB
=
0 ， FA
⋅l
+
ql 2
×
3l 4
− ql 2
=
0
， FA
=
5 ql 8
↑
( ) ∑ Fy
= 0 ， FB

材料力学4弯曲内力

平面曲线仍与外力共面。
目录
§4-2 受弯杆件的简化
计算简图：
分析梁的内力、变形都在计算简图上进行。梁的简化包括：
1、构件几何形状的简化 将梁简化为杆，用轴线表示。
2、支座的简化 活动铰支座
固定铰支座
固定端
3、载荷的简化
集中载荷 分布载荷（常见的为均布载荷） 集中力偶
目录
工程实例——受弯构件的力学简图
P
( a< x2 < l )
ab l 2
1 Mmax 4 Pl
观察：集中力作用点、无载荷
M
( x2
)
FB
(l
x2 )
a l
P(l
x2 )
3)作Fs、M 图
( a ≤x2≤ l )
作用的梁段剪力图、弯矩图的形态
Fs
max
a l
1 qa 2
M1
—
右侧
qa
a 2
＋FB0
Fs2 左侧
＋FA
—
qa ＋ FB
qa
Fs2 qa
M2 — qa a 1 qa2
右侧
右侧
22
Fs P横向外力 左上、右下，外力为正
一侧
力的集大中小力；作弯用矩点相的等左。、右所邻以M截，O＝面不为一上截考侧面的m虑的剪O集形(力中P心不力) 相作左等用外顺，力点右(相逆的偶差(剪上) 矩集凹力为弯中。正曲)
车削工件
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
火车轮轴
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
目录
常见受弯构件的横截 面都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。
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RAx
横截面上的内力如图。
RA
QD
x
N
MD
X0
N RAx 0
Y 0
QDRAqx8020 x
MD(F)0
M DR A xqx/2 80x10x2
13
RAx
x
RA
RC
若从D处截开，取右段。 横截面上的内力如图。
RAx
QD
RA
QD
x
N
MD
MD
RC
计算可得QD, MD的数值与取左段所得结果相同。
但从图上看，它们的方向相反。
3
§4. 2梁的简化
1 支座的几种基本形式 固定铰支座 桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。
6
1 支座的几种基本形式 固定铰支座 可动铰支座
1个约束，2 个自由度。 如：桥梁下 的辊轴支座， 滚珠轴承等
7
固定端约束
FAx FAy
游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。
2 载荷的简化
集中力
集中力偶
(y)dd y
d
即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截
面高度呈线性分布。
62
2 物理关系
因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极
限时，由胡克定律有:
E
E y
即：纯弯曲时横截面上任一点的正
应力与它到中性轴的距离y成正比。
也即，正应力沿截面高度呈线性分布。
3 静力关系
63
3 静力关系
对横截面上的内力系，有:
方程，并作剪力图和
弯矩图。
解：(1) 求支反力
RA
Pb l
,
RB
Pa l
(2) 求剪力方程和弯矩方程
需分段求解。分为两段：AC和CB段。
AC段 取x截面，左段受力如图。
18
(2) 求剪力方程和弯矩方程
需分段求解。
分为两段：AC和CB段。
x
AC段
取x截面，左段受力如图。
由平衡方程，可得:
Q
Q(x) Pb l
RA
1 2
ql
Pb l
1 Pa
RB
q 2
l
l
RA1
若梁分别受到这两种载
荷的作用：
RA2
RB RB1 RB522
约束反力
1 Pb
RA
ql 2
l
RA
1 Pa
RB
q 2
l
l
若梁分别受到这两种载
荷的作用：
RA1
1 2
ql,
RA1
1 RB1 2 ql
RA2
Pb , l
RB2
Pa l
RA2
RB RB1 RB523
Q(x)dxq(x)dxdx0
2
略去高阶微量
dM(x) Q(x)dx 0
dM(x) Q(x) dx
还可有：
d2 M(x) dx2
q(x)
34
q(x)、Q(x)和M(x)间的微分关系
dQ(x) q(x) dx
上次例 3
dM(x) Q(x) dx
d2 M(x) dx2
q(x)
由微分关系可得以下
结论
35
Q(x)P3kN (0x0.6m)
M(x)Px3x (0x0.6m) 27
CA段
取x截面，左
段受力如图。
x
由平衡方程，
可得: Q(x)3kN
(0x0.6m)
M(x)3x
(0x0.6m)
AD段 取x截面，左段受力如图。
由平衡方程，可得:
Q(x)RAP 7 kN
(0.6x1.2m)
M(x)PxRA(x0.6) 7x6
(0xa)
M
M(x) Pbx
(0xa)
l
CB段 取x截面，
19
CB段 取x截面， 左段受力如图。 由平衡方程，可得:
Q(x) Pa (axl) l
M(x)Pa(lx) l (axl)
(3) 画剪力图和弯矩图
x
Q
x
M
20
(3) 画剪力图和 弯矩图
Q(x) Pb (0xa) l
Q(x) Pa (axl)
l
M(x) Pbx (0xa) l
M(x)Pa(lx) l (axl)
21
例3
已知：悬臂梁如图。
求：剪力方程，弯
矩方程，并作剪力
图和弯矩图。
解：(1) 求支反力
RA ql,
MA
1 2
ql2
(2) 求剪力方程和弯矩方程 Nhomakorabea为使计算简单，取x截面，右段受力如图。
22
(2) 求剪力方程和 弯矩方程
为使计算简单， 取x截面，右段 受力如图。
横截面上只有正应 力而无切应力。 纯弯曲的变形特征
57
纯弯曲的变形特征
58
纯弯曲的变形特征 基本假设1: 平面假设 变形前为平面的横截 面变形后仍为平面， 且仍垂直于梁的轴线。 基本假设2: 纵向纤维无挤压假设 纵向纤维间无正应力。 中性层与中性轴
59
中性层与中性轴
60
一 纯弯曲时横截面的正应力
集中力偶为逆 时针时，向下 跳(从左向右 看); 顺时针时， 向上跳(从 左向右看). 上次例 4
40
根据微分关系作剪力图和弯矩图 (1) 求支反力； (2) 建立坐标系(一般以梁的左端点为原点)； (3) 分段 确定控制面； (4) 求出控制面上的Q、M值； (5) 根据微分关系连线，作出剪力图和弯矩图。
分布载荷
8
作用在梁上的载荷形式
分布荷载
集中力
Me
均匀分布荷载
集中力偶
3 静定梁的基本形式 主要研究等直梁。 简支梁
外伸梁
悬臂梁
10
§4. 3 平面弯曲时梁的内力
下面求解梁弯曲时的内力。
例子
已知：q = 20 RAx
kN/m, 尺寸
x
如图。
RAy
RC
求：D截面处的内力。
解：求内力的方法——截面法。建立x坐标如图。
解：(1) 求支反力 RD 0, MDqa2
(2) 坐标系
(3) 确定控制面 (4) 计算控制面的Q和M
B处： Qqa, Mqa2/2
MDx
RD
44
(4) 计算控制 面的Q和M
B处： Qqa,
Mqa2 /2
D处：
Q 0,
M qa2
(5) 连线
QQ
qa
MDx
RD
x
45
(4) 计算控制 面的Q和M
32
考察dx微段的受力与 平衡
Y 0
C
Q( x) q(x)dx
[Q(x)dQ(x)] 0
q(x)dxdQ (x)0
dQ(x) q(x)
dx
MC(F)0
M(x) [M (x)dM (x)]Q(x)dxq(x)dxdx 0
2
33
dQ(x) q(x) dx
MC(F)0
C
M(x) [M (x)dM (x)]
1 变形几何关系
取坐标系如图，z轴为中性轴；
y轴为对称轴。
为求出距中性层 y处的应变，
取长dx的梁段研究:
纵向线bb变形后
的长度为:
bb(y)d
纵向线bb变形前的长度
中性层长度不变, 所以有:
61
纵向线bb变形后
的长度为:
bb(y)d
bb变形前的长度
中性层长度不变, 所以
bbOOOO d
纵向线bb的应变为
41
已知：简支梁
如图。
A
B
求：利用微分
关系作剪力图
和弯矩图。 解：
qa QQ
(1) 求支反力
2
(2) 坐标系
(3) 确定控制面
qa / 2
(4) 计算控制面的Q和M (5) 连线
C x
qa 2
x
42
作弯矩图
1 qa 2 8
1 qa 2 8
43
已知：悬臂梁 如图。
求：利用微分 关系作剪力图 和弯矩图。
NAdA
My
zdA
A
Mz
My
N
Mz
ydA
A
由梁段的平衡有: X0 N0
my 0 My 0
mz 0 Mz M
64
对横截面上的内力系，有:
NAdA
My
zdA
A
Mz
ydA
A
由梁段的平衡有: N 0, My 0, Mz M
38
(4) 在集中力作用点： 剪力图有突变，突变值 即为集中力的数值，突 变的方向沿着集中力的 方向(从左向右观察)； 弯矩图在该处为折点。
上次例 2
(5) 在集中力偶作用点: 对剪力图形状无影响； 弯矩图有突变，突变值 即为集中力偶的数值。
39
(5) 在集中力偶作用点: 对剪力图形状无影响； 弯矩图有突变，突变值即为集中力偶的数值。
(1) 求支座反力 取整体，受力如图。
X0
RAx 0
11
RAx
RA
(1) 求支座反力
x
RC
取整体，受力如图。
X0
RAx 0
MC(F)0
RA 80kN
Y 0
RC 40kN
(2) 求D截面内力
RAx
从D处截开，取左段。
x
横截面上的内力如图。
RA
QD N
MD 12
(2) 求D截面内力
从D处截开，取左段。
弯矩图。
25
例4 已知：外伸梁如图。 求：剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和弯矩图.