最新中山大学数学分析考研复习资料汇总

学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经验进行了整理：从数学分析开始讲起：数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。

也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。

当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。

数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。

将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。

记住以下几点：1，对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。

2，学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。

3，别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。

4，看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。

5，课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。

6，开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。

7，经常回头看看自己走过的路以上几点请在学其他课程时参考。

数学分析书：初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。

我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。

另外建议看一下当不了教材的16，20。

中国人自己写的：1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒）应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。

我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。

网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。

不少经济类工科类学校也用这一本书。

里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。

不过仍然不失为一本好书。

能广泛被使用一定有它自己的一些优势。

2《数学分析》华东师范大学数学系著师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。

中山大学2009年数学分析考研部分试题参考解答魏春理摘要 本文给出了中山大学2009年数学分析部分考研题的一个参考解答.关键词 中山大学 数学分析 考研试题 参考解答1．（1）求21lim(ln(1))x x x x →∞-+； 解答：21lim(ln(1))x x x x →∞-+=222111lim[(())]2x x x o x x x→∞--+ =11lim(())2x x x o x→∞-++ =12□（2）220cos()sin t x t uy du u ⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰，求dy dx ； 解答：2222sin()2sin()2dy t t dy dt t t dx t t dxdt-⋅===--⋅ □ （3）求21ln ln xdx x-⎰； 解答：令ln t x =，则21ln ln x dx x -⎰=21tt de t-⎰ 21t t t e dt t e dt --=-⎰⎰ 11t t e dt t e dt --=--⎰⎰ 111()t t t e t t e dt t e dt ---=---⎰⎰ 1t e t C -=-+1(ln )x x C -=-+（C 为常数） □ （4）求11x x ae dx --⎰，1a ＜；解答：1111=)axx a x ae dx x a e dx ---+-⎰⎰⎰（11()()a xx a a x e dx x a e dx -=-+-⎰⎰1111a a x x x x a a ae dx xe dx xe dx ae dx --=-+-⎰⎰⎰⎰ 12()()a x e e a e e -=--+□ （5）设sin z uv t =+，t u e =，cos v t =，求dz dt； 解答：(sin )dz d uv t dt dt +=cos du dv v u t dt dt=⋅+⋅+ cos (sin )cos t t e t t e t =+-+(cos sin )cos t e t t t =-+ □ （6）设(())u x y ϕψ=+，其中ϕ，ψ二阶可微，x ，y 为自变量，求2d u ；解答：ⅰ）x y du u dx u dy =+'()x y dx y dy ϕϕψ=+； ⅱ）就有2()d u d du = ('())x y d dx y dy ϕϕψ=+=22()('())'()x x y y d dx d x d y dy y d y ϕϕϕψϕψ+++ (x ，y 为自变量，故有220d x d y ==) ()('())x y d dx d y dy ϕϕψ=+()('()'())x x xy y y dx dy dx d y d y dy ϕϕϕψϕψ=+++2[()'()''()]xx xy yx yy y dx dydx dx dy y y dy dy ϕϕϕϕψϕψ=++++ 222'()''()xx xy yx yy y dx dydx dxdy y dy y dy ϕϕϕϕψϕψ=++++2222'()''()xx xy yy y dx dxdy y dy y dy ϕϕϕψϕψ=+++□ (7)求级数1cos n n x ∞=∑在收敛域上的和函数；解答：容易看出，当x k π=（k N ∈），时，1cos n n x ∞=∑发散，于是可以得到1cos n n x ∞=∑的收敛域为{},D x k x R k N π=≠∈∈；接下来，求1cos n n x ∞=∑在D 上的和函数：1cos nn x ∞=∑=1cos (1cos )lim cos lim 1cos n nkn n k x x x x →∞→∞=-=-∑cos 1cos xx =-，x D ∈ □ （8）判别级数1111n nn∞+=∑的敛散性；解答：由1111111limlimlim()11nnn n n nn n n nn+→∞→∞→∞+===以及级数11n n∞=∑发散，可知1111n nn∞+=∑发散□二、将区间[1,2]作n 等分，分点为0112n x x x ==＜＜＜，求n .解答：根据11111im1lim lim nni in i i nx x nn n i n n i x e e→∞==→∞→∞=∑∑⎛⎫== ⎪⎝⎭∏，以及21113im 2n i n i x xdx n →∞===∑⎰，得到32n e =□ 三、计算22()()lx y dx y x dyI x y ++-=+⎰，其中l 是从点(1,0)A -到点(1,0)B 的一条不通过原点的光滑曲线：()y f x =，[1,1]x ∈-，且当(1,1)x ∈-时，()0f x ＞. 解答：根据Green 定理，令22(,)x y P x y x y +=+，22(,)x yQ x y x y-=+.此时有 222222()Q P x xy y x y x y ∂∂--==∂∂+ 故第二型曲线积分22()()lx y dx y x dyI x y++-=+⎰的值与路径无关，为了计算该积分，构造以下曲线：1l ：0y =，(1,)x ε∈；2l ：222x y ε+=，[,]x εε∈-；3l ：0y =，(1,)x ε∈--；于是可以得到如下的过程：22()()l x y dx y x dy I x y ++-=+⎰22()()l x y dx y x dy x y-++-=-+⎰ 12322(+()()[()]l l l DQ P x y dx y x dy dxdy x y x y-+-∂∂++-=---∂∂+⎰⎰⎰） （其中123=D l l l l ∂+++，方向为顺时针旋转） 12322(+()()l l l x y dx y x dyx y -+++-=+⎰）2-122-11()()1l x y dx y x dy dx dx x x y x εε-++-=+++⎰⎰⎰ 222()()lx y dx y x dyx y-++-=+⎰ (令cos x εθ=，sin y εθ=，[0,]θπ∈) 22202(sin cos sin sin cos cos )d πεθθθθθθθε--+-=⎰ 0d πθπ=-=⎰□四、计算222x dydz y dzdx z dxdy∑++⎰⎰，其中∑为曲面222x y z +=介于平面0z =和z h =（0h ＞）之间的部分取下侧.解答：根据题意可知曲面∑不是封闭曲面，但是添加一片曲面：σ：z h =，222x y h +≤（0h ＞）；于是σ∑+就是封闭的曲面，这里σ方向取上侧，记σ∑+所围成的区域为Ω.则由Gauss 公式得：222222x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy σ∑+++++⎰⎰⎰⎰ 222x dydz y dzdx z dxdy σ∑+=++⎰⎰2()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰(令cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，其中0z r ≤≤，0r h ≤≤，02θπ≤≤)'2(cos sin )r r r z drd dz θθθΩ=++⎰⎰⎰202(cos sin )h rd rdr r r z dz πθθθ=++⎰⎰⎰42h π=此时，222x dydz y dzdx z dxdy σ++⎰⎰2z dxdy σ=⎰⎰2222x y h h dxdy +≤=⎰⎰4h π=；于是，222222=I x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy σ∑++-++⎰⎰⎰⎰42h π=-□五、设()f x 在[1,)∞连续，''()0f x ≤，(1)2f =，'(1)3f =-.证明()0f x =在(1,)∞有且仅有一个实根.证明：ⅰ)由''()0f x ≤，知'()f x 在1x ＞时单调减，所以当1x ＞时，'()'(1)0f x f ≤＜，()f x 在(1,)+∞上严格减.于是方程()0f x =在(1,)+∞中至多有一根；ⅱ)当1x ＞时，(()[(1)'(1)(1)])''()'(1f x f f x f x f -+-=-≤，故函数()[(1)'(1)(1)f x f f x -+-在(1,)+∞中单调减，从而()[(1)'(1)(1)]0f x f f x -+-≤即()[(1)'(1)(1)]f x f f x ≤+-，当(1)511'(1)3f x f =-=＞时， 55()[(1)'(1)(1)]033f f f ≤+-=，结合()f x 在(1,)+∞上严格减，得到()0f x ≤（53x ≥），这样根据连续函数的零值定理就可以得到：5(1,]3c ∃∈，满足()0f c =；综合上面的讨论可知()0f x =在(1,)∞有且仅有一个实根. □ 六、设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，试证：对一切x 满足(2)()x f x f x e =的充要条件是()(0)x f x f e =.证明：⇒）由(2)()x f x f x e =可以得到111242111()()()222x x x f x f x e f x e e ==⋅2111()2221()2nxn f x e +++==11(1)22()1121()2n x nf x e --=令n →∞即可得到：()(0)x f x f e =，必要性得证；⇐）由()(0)x f x f e =可以得到：2(0)(2)x f e f x =，可以写成(0)(2)x x f e f x e -=；这样结合()(0)x f x f e =，就可以得到()(2)x f x f x e -=； 进一步就可以得到(2)()x f x f x e =，充分性得证.□ 附最后两道题：七、求椭球面2222221x y z a b c++=在第一卦限部分的切平面与三坐标平面围成的四面体的最小体积.八、讨论1cos(ln )2n n n π∞=∑的敛散性. 参考文献[1]家里蹲大学数学杂志第三卷第83期-中山大学2011年数学分析考研试题参考解答（张祖锦）[2]《数学分析精选习题全解》（薛春华 徐森林编）2009（上册）清华大学出版社；后记本参考解答是一个不完美的解答，这不仅仅是说最后两道题（第七题太暴力了！第八题还在思考中）没有给出参考解答，也包含了给出的解答，必定会有不当之处。

《数学分析（3）》复习资料第十三章 函数列与函数项级数（5%）1．（1）函数列收敛域为(),1,2,nn f x x n == (1,1]-，极限函数为0,1,()1, 1.x f x x ⎧<⎪=⎨=⎪⎩．（2）函数列sin (),1,2,n nxf x n n == 收敛域为(,)-∞+∞，极限函数为()0f x =． 2．（1）函数列在(02(),1,2,nx n f x nxe n -== ,)+∞上不．一致收敛． （2）函数列()1,2,n f x n == 在(1,1)-上一致收敛． （3）函数列22(),1,2,1n xf x n n x ==+ 在(,上一致收敛．)-∞+∞（4）函数列(),1,2,n xf x n n== 在[0上不．一致收敛． ,)+∞（5）函数列()sin,1,2,n xf x n n== 在上不．一致收敛． (,-∞+∞)3．（1）函数项级数nn x∞=∑在(1上不．一致收敛． ,1)-（2）函数项级数2sin nx n ∑，2cos nxn ∑在上一致收敛．(,-∞+∞)（3）函数项级数(1)!nx n -∑在上一致收敛． [,]r r -（4）函数项级数122(1)(1)n nx x --+∑在(,上一致收敛． )-∞+∞（5）函数项级数n n x ∑在11r x r r ∙>⎧⎪>⎨=⎪⎩上一致收敛上不一致收敛．（6）函数项级数2nx n ∑在上一致收敛．[0,1]（7）函数项级数12(1)n x n --+∑在上一致收敛．(,-∞+∞)（8）函数项级数221(1)n x x -+∑在(,上不．一致收敛． )-∞+∞第十四章 幂级数（10%）1．对于幂级数，若0n n n a x ∞=∑lim n ρ=（1limn n na a ρ+→∞=） 则（i ）当0ρ=时，收敛半径R =+∞，收敛域为(,)-∞+∞；（ii ）当ρ=+∞时，收敛半径，仅在0R =0x =处收敛； （iii ）当0ρ<=+∞时，收敛半径1R ρ=，收敛域为(,)R R -，还要进一步讨论区间端点x R =±处的敛散性．2．幂级数展开式： （1）()2(0)(0)(0)()(0)1!2!!n nf f f f x f x x x n '''=+++++（2）011nn x x ∞==-∑，01(1)1n n n x x ∞==-+∑ (1x )<． （3）2(1)(1)(1))12!!m n m m m m m n x mx x x n ---++=+++++ (11)x -<<111]，．1110101m m m ≤--⎧⎪-<<-⎨⎪>-⎩时，收敛域为（，）时，收敛域为（，]时，收敛域为[，(1（4）1110(1)(1)ln(1)(11)1n n n n n n x x x x n n -∞∞+==--+==-<≤+∑∑，1ln(1)nn x x n∞=--=∑ (11)x -≤<． （5）210(1)sin (21)!n n n x x n ∞+=-=+∑，20(1)cos (sin )(2)!n nn x x n ∞=-'==∑ ()x -∞<<+∞．（6）10(1)arctan (11)21n n n x x n ∞+=-=-≤+∑≤（7）0)!nxn x n ∞==-∞<<+∞∑e x3．幂级数的和函数（1）1)(0,1,2,k 1knn kx x x x ∞==<-)∑ = ． （2）()(1)1)1knnn kx x x x ∞=--=<+)∑ ． (0,1,2,k = （3）1ln(1)nn x x n∞==--∑ ．(11)x -≤<（4）121111()1(1)n nn n n n x nxx x x x ∞∞∞-===''⎛⎫⎛⎫'==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (1x )<． （5）223)21111(1)()1(1)(1n n n n n n x n n x x x x x x ∞∞∞-==='''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-===== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (1x <)． 第十五章 傅里叶级数（10%）()f x 是以2π为周期且在[,]ππ-上可积的函数： 1．01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，01()a f x πππ-=⎰dx ，1()cos n a f x nx πππ-=⎰dx ，1()sin nbf x nx πππ-=⎰dx 1,2,n ，= ．2．01()cos sin 2n n n a n x n x f x a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑，01()ll a f x l -=⎰dx ， 1()cos l n l n x a f x dx πl l -=⎰，1()sin l n l n xb f x dx πl l-=⎰，1,2,n = ．3．（1）偶函数的傅里叶级数：01()cos2n n a n x f x a l π∞==+∑，012()cos ()cos l l n l n x n xa f x dx f x dx πl l l l π-==⎰⎰，． 1,2,n = 01()cos 2n n a f x a nx ∞==+∑，012()cos ()cos n a f x nxdx f x nxd πππππ-==⎰⎰x ，1,2,n = ．（2）奇函数的傅里叶级数：1()sinn n n x f x b lπ∞==∑，012()sin ()sin l l n l n x n xf x dx f x dx l l l l πb π-==⎰⎰1,2,，n = ．1()sin n n f x b ∞==∑nx ，012()sin ()sin n b ，f x nxdx f x nxdx πππππ-==⎰⎰1,2,n = ．第十六章 多元函数的极限与连续（5%）1．若累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→，00lim lim (,)y y x x f x y →→和重极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →都存在，则三者相等．2．若累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→存在但不相等，则重极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →必不存在．3．2222(,)(0,0)lim 0x y x y x y →=+，2222(,)(0,0)1lim x y x y x y →++=+∞+，22(,)lim 2x y →=，22(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y x y →+=+，2222(,)(0,0)sin()lim 1x y x y x y →+=+． 第十七章 多元函数微分学（20%）1．全微分：z zdz dx dy x y ∂∂=+∂∂． 2．zzz x y x yx x y yt t∂∂s t s sts∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z z x z y s y t∂∂∂∂∂=+s x s y z z x z t x t y ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂． 3．若函数f 在点可微，则0P f 在点沿任一方向的方向导数都存在，且0P 000(,,)l x y z 0000()()cos ()cos ()cos l x y z f P f P f P f P αβγ=++，其中cos α，cos β，cos γ为方向l x 的方向余弦，000(,,)y z即cos α=cos β=，cos γ=4．若(,,)f x y z 在点存在对所有自变量的偏导数，则称向量0000(,,)P x y z 000((),(),())x y z f P f P f P 为函数f 在点的梯度，记作0P 000(),()ad )z ((),x y gr f P f =P f P f ．向量grad f 的长度（或模）为gra d f =．5．设，(,z f x y xy =+)f 有二阶连续偏导数，则有1211z 212()z f yf z x x y y y ∂⎛⎫∂ ⎪''∂+∂∂⎝⎭==∂∂∂∂2f f y f yf x∂'''=⋅+⋅=+∂'，11122212221112221(1)()f f x f y f f x f f x y f xyf ''''''''''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅=++++．6．设，令00()()0x y f P f P ==0()xx f P A =，0()xy f P B =，0()yy f P C =，则（i ）当，时，20AC B ->0A >f 在点取得极小值； 0P （ii ）当，20AC B ->0A <时，f 在点取得极大值； 0P （iii ）当时，20AC B -<f 在点不能取得极值； 0P （iv ）当时，不能肯定20AC B -=f 在点是否取得极值．0P 第十八章 隐函数定理及其应用（10%）1．隐函数，则有(,)0F x y =x yF dydx F =-． 2．隐函数，则有(,,)0F x y z =x z F zx F ∂=-∂，y zF z y F ∂=-∂(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v ． =⎧⎨3．隐函数方程组：=⎩，有x yu v xyuv F F F F F F F F x y u v G G G G GG G G x yuv ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 则uv uv uv F F J G G =，xv xv xv F F J G G =，uxux u x F F J G G =，y v yv y v F F J G G =，uyuy uyF F JG G =， xv uv J u x J ∂=-∂　，ux uv J vx J ∂=-∂，yv uv J u y J ∂=-∂，uy uvJ v y J ∂=-∂． 4．平面曲线在点的切线．．方程为(,)0F x y =000(,)P x y 000000(,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y -+-=， 法线．．方程为000000(,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y -+-=． 5．空间曲线：在点处的L (,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩0000(,,)P x y z切线．．方程为00z x yz x y z x y z x y 0x x y y z z F F F F F F G G G G G G ---==⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎫⎪⎭00000()()()0x y z F x x F y y F z z ， 法线．．方程为． 00()()()yz xy zx yz xy zx F F F F F F x x y y z z G G G G G G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6．曲面在点处的切平面．．．方程为(,,)0F x y z =0000(,,)P x y z -+-+-=， 法线．．方程为00x y 0zx x y y z z F F F ---==． 7．条件极值例题：求函数在约束条件22u x y z =++222z x y =+与4x y z ++=下的最大值和最小值．解：令，22222(,,,,)()(4)L x y z x y z z x y x y z λμλμ=+++--+++-则由，得稳定点22220222040x yz L x x L y y L z L z x y L x y z λμλμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=--=⎪=++-=⎪⎩00112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩及228x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故当1x y ==，时函数在约束条件下取得最小值， 2z =22u x y z =++28z =26当，时函数在约束条件下取得最大值．2x y ==-22u x y z =++72第十九章 含参量积分（5%）1．，；10()s xs x e +∞--Γ=⎰dx 0s >(1)(s s )s Γ+=Γ；1(2Γ=；1()2n Γ+=，1()2n Γ-=． 2．1110(,)(1)p q p q x x ---⎰)dx (0,0p q >>B =；(,)(,)p q q p B =B ；1(,)(,1)1q p q p q p q -B =B -+- ；(0,1p q >>)1(,)(1,)1p p q p q -p q B =B -+-) ；(1,0p q >>(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)p q p q p q p q p q --B =B --+-+- ．(1,1p q >>)3．()()(,)()p q p q p q ΓΓB =Γ+ ．(0,0p q >>)第二十章 曲线积分（5%）1．设有光滑曲线：L (),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩t [,]αβ∈，函数(,)f x y 为定义在L 上的连续函数，则(,)((),(Lf x y ds f t t βαϕψ=⎰⎰；当曲线由方程L ()y x ψ=，[,]x a b ∈表示时，(,)(,(bLaf x y ds f x x ψ=⎰⎰．2．设平面曲线：L (),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩t [,]αβ∈，其中()t ϕ，在[,]αβ上具有一阶连续导函数，且((),())A ϕαψα，((),())B ϕβψβ． 又设与为上的连续函数，则沿L 从A 到(,)P x y (,)Q x y L B 的第二型曲线积分(,)(,)[((),())()((),())()]LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ''+=+⎰⎰．第二十一章 重积分（20%）1．若(,)f x y 在平面点集}{12(,)()(),D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤（x 型区域）上连续，其中1()y x ，2()y x 在[,上连续，则]a b 21()()(,)(,)b y x ay x Df x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰，即二重积分可化为先对y ，后对x 的累次积分．若}{12(,)()(),D x y x y x x y c y d =≤≤≤≤，其中1()x y ，2()x y 在]上连续，则二重积分可化为先对[,c d x ，后对y 的累次积分21()()(,)(,dx y cx y D)f x y d dy f x y σ=⎰⎰⎰⎰dx ．在二重积分中，每次积分的上、下限一定要遵循“上限大，下限小”的原则，且一般来说，第一次（先）积分的上、下限一般为第二次（后）积分的积分变量的函数或常数，而第二次（后）积分的上、下限均为常数． 2．格林公式：若函数，在闭区域上连续，且有一阶偏导数，则有(,)P x y (,)Q x y D ()L DQ Pd Pdx Qdy x yσ∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ （或L Dx y d Pdx Q +dy P Qσ∂∂∂∂=⎰⎰⎰ D ），这里为区域的边界曲线，并取正方向． L 3．设是单连通闭区域．若函数，在内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：D (,)P x y (,)Q x y D （i ）沿内任一按段光滑封闭曲线，有D L 0LPdx Qdy +=⎰；（ii ）对中任一按段光滑曲线，曲线积分与路线无关，只与的起点及终点有关；D L LPdx Qdy +⎰L （iii ）是内某一函数的全微分，即在内有Pdx Qdy +D (,)u x y D du Pdx Qdy =+；（iv ）在内处处成立D P Qy x∂∂=∂∂． (,)4．设f x y 在极坐标变换cos ,:sin ,x r T y r θθ=⎧⎨=⎩0r ≤<+∞，02θπ≤≤下，xy 平面上有界闭区域与D r θ平面上区域∆对应，则成立(,D)(cos ,sin )f x y dxdy f r r rdrd θθθ∆=⎰⎰⎰⎰．通常积分区域为圆形、扇形、环形或为其一部分，或积分区域的边界线用极坐标方程表示较简单，且被积函数为22()f x y +，(y f x ，(xf y，()f x y +等形式时常选用在极坐标系下计算二重积分．5（1）柱面坐标变换cos ,0,:sin ,02,.x r r T y rz z z θ,θθπ=≤⎧⎪=≤⎨⎪=-∞<<⎩<+∞≤+∞(,,)V 三重积分的柱面坐标换元公式为f x y z dxdydz ⎰⎰⎰(cos ,sin ,)V f r r z rdrd dz θθθ'=⎰⎰⎰，这里V '为V 在柱面坐标变换下的原象．（2）球坐标变换T y sin cos ,0,:sin sin ,0,cos ,02.x r r r z r ϕθϕθϕπϕθπ=≤<+∞⎧⎪=≤≤⎨⎪=≤≤⎩三重积分的球坐标换元公式(,,)Vf x y z dxdydz ⎰⎰⎰2(sin cos ,sin sin ,cos )sin V f r r r r drd d ϕθϕθϕϕϕ'=⎰⎰⎰θ，这里V '为V 在球坐标变换下的原象．DS ∆=．6．曲面面积计算公式：第二十二章 曲面积分（10%）1．设有光滑曲面)，(,:(,S z z x y =)x y D ∈，(,,)f x y z 为上的连续函数，则S (,,)(,,(,SDf x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰． 2．设R 是定义在光滑曲面:(,S z z x y )=，(,)xy x y D ∈上的连续函数，以的上侧为正侧（这时的法线方向与轴正向成锐角），则有S S z (,,),))(,,(xySD R x y z dxdy x y dxdy =⎰⎰R x y z ⎰⎰．3．高斯公式：设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面围成．若函数，，S P Q R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则(VSP Q Rdxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ ，其中取外侧． S 4．斯托克斯公式：设光滑曲面的边界是按段光滑的连续曲线．若函数，Q ，S L P R 在（连同）上连续，且有一阶连续偏导数，则S L ()(()L P =⎰ S P R Q P dydz dzdx dxdy d Q z x x y ∂∂∂∂-+-∂∂∂∂⎰⎰R Q y z ∂∂∂∂x dy +Rd +z （或-+Sdz dzdx dxdydy x y z P Q R∂∂∂∂∂∂⎰⎰ LPdx Qdy Rdz =++⎰ ），其中的侧与的方向按右手法则确定． S L。

数学分析全章复习讲义
在这份文档中，我们将对数学分析的各个章节进行复，并提供一些重点思路和要点。

第一章：实数和数列
- 实数的定义和性质
- 数列的定义和性质
- 有界数列和无界数列
- 收敛数列和发散数列
第二章：极限和连续
- 极限的定义和性质
- 数列极限和函数极限
- 极限的运算法则
- 连续函数的定义和性质
- 连续函数的运算法则
第三章：导数和微分
- 函数的导数定义和性质
- 导数与连续性的关系
- 一阶导数和高阶导数
- 微分的定义和性质
- 微分中值定理和泰勒公式
第四章：积分
- 不定积分和定积分的定义和性质
- 积分中值定理和牛顿-莱布尼茨公式- 反常积分的概念和判定
- 定积分的计算方法
第五章：级数
- 级数的定义和性质
- 收敛级数和发散级数的判定方法
- 常见级数的求和
- 幂级数和泰勒级数
第六章：函数序列和一致连续性
- 函数序列的极限和一致收敛
- 一致连续性的定义和性质
第七章：多元函数的极限和连续
- 多元函数的极限定义和性质
- 多元函数的连续性定义和性质
- 偏导数和全微分的概念
第八章：多元函数的导数和微分
- 多元函数的偏导数和混合偏导数
- 多元函数的全微分和复合函数的导数
- 隐函数的导数和参数方程的导数
以上是数学分析的全章复习内容，希望对你的学习有所帮助！。

广东省考研数学复习资料高等代数重要知识点梳理一、集合和二元关系1. 集合的概念和运算a. 集合的定义与表示方法b. 包含关系和等价关系c. 集合的运算：并、交、差、补集2. 二元关系的定义和性质a. 二元关系的定义与表示方法b. 关系的性质：自反性、对称性、传递性c. 关系的运算：合成关系、反关系、闭包运算二、线性代数1. 矩阵与行列式a. 矩阵的定义与运算b. 矩阵的特殊类型：对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵c. 行列式的定义与性质2. 线性方程组a. 线性方程组的定义与解的存在唯一性b. 矩阵的秩与线性方程组的解的关系c. 齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解的结构3. 向量空间与线性变换a. 向量空间的定义与性质b. 子空间的概念及其判定条件c. 线性变换的定义与性质三、群论1. 群的基本概念a. 群的定义与运算b. 群的性质：封闭性、结合性、单位元、逆元c. 子群的概念及其判定条件2. 群的同构与陪集a. 群同构的定义与性质b. 同态与同态核c. 陪集的概念与拉格朗日定理四、环论1. 环的定义与性质a. 环的定义与运算b. 环的性质：封闭性、结合性、单位元、逆元c. 子环的概念及其判定条件2. 整环与域a. 整环的定义与性质b. 域的定义与性质c. 整环的分类与域的判定条件3. 理想与商环a. 环的理想的定义与性质b. 商环的定义与性质c. 商环同构定理五、域论1. 域扩张a. 域扩张的定义与性质b. 代数元与超越元c. 代数扩张与超越扩张2. 有理函数与分式理想a. 有理函数的定义与性质b. 分式理想的概念及其判定条件c. 极大理想与素理想的关系3. 代数数与超越数a. 代数数的定义与性质b. 超越数的定义与性质c. 代数数与超越数的关系与性质六、模论1. 模的基本定义与性质a. 模的定义与运算b. 模的性质：封闭性、结合性、单位元、逆元c. 子模的概念及其判定条件2. 非零因子与素模a. 非零因子的定义与性质b. 素模的概念及其判定条件c. 素模与素理想的关系3. 环的降链条件与诺特环a. 环的降链条件的概念及其性质b. 诺特环的定义与性质c. 诺特环与素模的关系以上是广东省考研数学复习资料高等代数重要知识点的梳理，涵盖了集合和二元关系、线性代数、群论、环论、域论和模论等方面的内容。

广东省考研数学复习资料数学分析重要概念与定理归纳广东省考研数学复习资料：数学分析重要概念与定理归纳数学分析是研究实数、序列、函数和极限的数学学科，也是广东省考研数学科目中的重点内容之一。

在准备考研数学分析科目时，重要概念与定理的掌握和理解至关重要。

本文将对数学分析中一些重要的概念和定理进行归纳总结，帮助考生进行系统的复习。

一、实数与函数1. 实数的性质与运算在数学分析中，实数是最基本的概念之一。

实数具有以下性质：- 实数集的闭区间套定理- 实数集的稠密性- 实数的有序性- 实数的完备性实数运算的性质包括交换律、结合律、分配律等。

2. 函数的定义与性质函数是数学分析中研究的核心对象，了解函数的定义与性质对于数学分析的学习至关重要。

常见的函数类型包括初等函数、多项式函数、有理函数、指数函数和对数函数等。

函数的基本性质主要包括函数的单调性、奇偶性、周期性、反函数等。

二、极限与连续性1. 极限的定义与性质极限是数学分析中的重要概念，用于描述函数在某一点或无穷远处的趋势。

通常使用极限的定义和性质来研究函数的极限。

主要包括左极限、右极限、无穷极限等。

2. 一致收敛与点态收敛函数序列的收敛性是数学分析中的重要概念之一。

一致收敛与点态收敛是序列收敛性的两个常见概念。

了解它们的定义及其性质对于分析函数序列的收敛性十分重要。

3. 连续性连续性是函数的一个重要性质，它刻画了函数在某一点的平滑性程度。

连续函数的性质包括局部有界性、零点定理、介值定理等。

对于分段函数的连续性，需要掌握分段函数的连续性的条件和性质。

三、微分与积分1. 微分学基本概念微分学是数学分析的重要分支，研究函数的变化率和函数的最值问题。

微分学的基本概念包括导数、高阶导数、隐函数与显函数等。

2. 微分的基本性质与运算法则微分的基本性质和运算法则是进行微分计算的基础。

掌握微分运算的性质和规则有助于有效地计算和分析问题。

3. 积分的定义与性质积分是数学分析中的重要内容，用于计算曲线下面的面积或者函数在一定区间上的累积量。

完整版)数学分析复习资料及公式大全导数公式：求导是微积分的重要内容之一，掌握导数公式对于解题至关重要。

常见的导数公式如下：tan(x)的导数为sec^2(x)cot(x)的导数为-csc^2(x)sec(x)的导数为sec(x)·tan(x)csc(x)的导数为-csc(x)·cot(x)ax的导数为ax·ln(a)log_a(x)的导数为1/(x·ln(a))基本积分表：积分是微积分的重要内容之一，掌握基本积分表对于解题至关重要。

常见的基本积分表如下：arcsin(x)的导数为1/(sqrt(1-x^2))arccos(x)的导数为-1/(sqrt(1-x^2))arctan(x)的导数为1/(1+x^2)arcctan(x)的导数为-1/(1+x^2)tan(x)dx=-ln|cos(x)|+Ccot(x)dx=ln|sin(x)|+Csec(x)dx=ln|sec(x)+tan(x)|+Ccsc(x)dx=ln|csc(x)-cot(x)|+Cdx/x=ln|x|+Csin(x)dx=-cos(x)+Ccos(x)dx=sin(x)+Cdx/(x^2+a^2)=1/a·arctan(x/a)+Cdx/(a^2-x^2)=1/(2a)·ln|(a+x)/(a-x)|+C dx/(a^2+x^2)=1/a·ln|(a+x)/x|+Cdx/(x^2-a^2)=1/(2a)·ln|(x+a)/(x-a)|+C e^x dx=e^x+Csin^2(x)dx=1/2·(x-sin(x)cos(x))+C cos^2(x)dx=1/2·(x+sin(x)cos(x))+Csec(x)·tan(x)dx=sec(x)+Ccsc(x)·cot(x)dx=-csc(x)+Ca^x dx=a^x/ln(a)+Csinh(x)dx=cosh(x)+Ccosh(x)dx=sinh(x)+Cdx/(x^2-a^2)=1/(2a)·ln|(x+a)/(x-a)|+Cπ/2+πn (n为整数)lim(1+x)→∞=e=2.xxxxxxxxxxxxxxx。

数学分析（4）复习提纲第一部分 实数理论§1 实数的完备性公理一、实数的定义在集合R 内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称R 为实数域或实数空间。

（1）域公理： （2）全序公理：（3）连续性公理（Dedekind 分割原理）：设R 的两个子集A ，A '满足： 1°ΦA ΦA ≠'≠, 2°R A A ='⋃3°x x A x A x '<⇒'∈'∀∈∀,则或A 中有最大元而A '中无最小元，或A 中无最大元而A '中有最小元。

评注 域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。

二、实数的连续性（完备性）公理实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。

主要有如下几个公理： 确界原理： 单调有界定理： 区间套定理：有限覆盖定理：（Heine-Borel ）聚点定理：(Weierstrass)致密性定理：(Bolzano-Weierstrass) 柯西收敛准则：(Cauchy)习题1 证明Dedekind 分割原理与确界原理的等价性。

习题2 用区间套定理证明有限覆盖定理。

习题3 用有限覆盖定理证明聚点定理。

评注 以上定理哪些能够推广到欧氏空间n R ？如何叙述？§2 闭区间上连续函数的性质有界性定理：上册P168；下册P102,Th16.8；下册P312,Th23.4 最值定理：上册P169；下册下册P102,Th16.8介值定理与零点存在定理：上册P169；下册P103,Th16.10一致连续性定理（Cantor 定理）：上册P171；下册P103,Th16.9；下册P312,Th23.7 习题4 用有限覆盖定理证明有界性定理 习题5 用致密性定理证明一致连续性定理§3 数列的上(下)极限三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）N -ε定义 评注 确界定义易于理解；聚点定义易于计算；N -ε定义易于理论证明 习题6 用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。