建立坐标系巧解选择题中的《平面向量》资料

平面向量的坐标运算[学习目标] 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一 平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． (2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝(x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．思考 根据下图写出向量a ，b ，c ，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是1.答案 a ＝(2,3)，b ＝(－2,3)，c ＝(－3，－2)，d ＝(3，－3)．知识点二 平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．(4)已知向量AB →的起点A (x 1，y 1)，终点B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．思考 已知a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →，如下图所示，写出a ，b ，c 的坐标，并在直角坐标系内作出向量a ＋b ，a －b 以及a －3c ，然后写出它们的坐标．答案易知：a ＝(4,1)，b ＝(－5,3)，c ＝(1,1)， OD →＝a ＋b ＝(－1,4)，BA →＝a －b ＝(9，－2)，OF →＝a －3c ＝(1，－2)．题型一 平面向量的坐标表示例1 已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标．解 如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0,0)，B (2,0)，C (2cos 60°，2sin 60°)，∴C (1，3)，D (12，32)，∴AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3)， BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)， BD →＝(12－2，32－0)＝(－32，32)．跟踪训练1 在例1的基础上，若E 为AB 的中点，G 为三角形的重心时，如何求向量CE →，AG →，BG →，GD →的坐标？解 由于B (2,0)，E (1,0)，C (1，3)，D (12，32)，G (1，33)，所以CE →＝(1－1,0－3)＝(0，－3)，AG →＝(1，33)， BG →＝(1－2，33－0)＝(－1，33)， GD →＝(12－1，32－33)＝(－12，36)． 题型二 平面向量的坐标运算例2 已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，求(1)AB →－AC →；(2)AB →＋2BC →；(3)BC →－12AC →. 解 ∵A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)．∴AB →＝(0,6)－(2，－4)＝(－2,10)， AC →＝(－8,10)－(2，－4)＝(－10,14)， BC →＝(－8,10)－(0,6)＝(－8,4)．∴(1)AB →－AC →＝(－2,10)－(－10,14)＝(8，－4)． (2)AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)． (3)BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－3，－3)．跟踪训练2 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .解 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，23. 题型三 平面向量坐标运算的应用例3 已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)．若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，试求λ为何值时， (1)点P 在一、三象限角平分线上； (2)点P 在第三象限内． 解 设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，AB →＋λAC →＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∵AP →＝AB →＋λAC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ.(1)若P 在一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ， ∴λ＝12.(2)若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，∴λ<－1.∴λ＝12时，点P 在第一、第三象限角平分线上；λ<－1时，点P 在第三象限内．跟踪训练3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．解 不妨设A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)．第四个顶点为D (x ，y )． 则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形有以下三种情形． (1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →， 设点D 的坐标为(x ，y )，∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝1，－2－y ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴D (0，－1)；(2)当平行四边形为ABDC 时，仿(1)可得D (2，－3)； (3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)．综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．坐标法解决向量问题例4 已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c .分析 注意到两个已知的特殊角，联想到建立直角坐标系求向量坐标． 解 如图，以O 为原点，OA →为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系， 由三角函数的定义，得B (cos 150°，sin 150°)，C (3cos 240°，3sin 240°)．即B (－32，12)，C (－32，－332)， 又∵A (2,0)，故a ＝(2,0)，b ＝(－32，12)，c ＝(－32，－332)． 设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，∴(－32，－332)＝λ1(2,0)＋λ2(－32，12)＝(2λ1－32λ2，12λ2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ1－32λ2＝－32，12λ2＝－332，∴⎩⎨⎧λ1＝－3，λ2＝－3 3.∴c ＝－3a －33b .1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b 等于( ) A ．(7,3) B ．(7,7) C ．(1,7) D ．(1,3) 2．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )C ．(－8,1)D ．(8,1)3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )C ．(3,2)D ．(1,3)4．已知向量a ＝(2，－3)，b ＝(1,2)，p ＝(9,4)，若p ＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝________. 5．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d .一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )A ．(－2，－1) `B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1D ．－1,24．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为( )A ．(－8,1)D ．(8，－1)5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)6．向量AB →＝(7，－5)，将AB →按向量a ＝(3,6)平移后得向量A ′B ′→，则A ′B ′→的坐标形式为( ) A ．(10,1) B ．(4，－11) C ．(7，－5) D ．(3,6)二、填空题7．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________．8．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________．9．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.10．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为________． 三、解答题11．已知a ＝(2,1)，b ＝(－1,3)，c ＝(1,2)，求p ＝2a ＋3b ＋c ，并用基底a 、b 表示p .12．已知点A (3，－4)与B (－1,2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标．13．已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C 、D 和CD →的坐标．当堂检测答案1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b 等于( ) A ．(7,3) B ．(7,7) C ．(1,7) D ．(1,3) 2．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )C ．(－8,1)D ．(8,1)3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )C ．(3,2)D ．(1,3)4．已知向量a ＝(2，－3)，b ＝(1,2)，p ＝(9,4)，若p ＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝________. 5．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d .课时精练答案一、选择题1．答案 D2．答案 D3．答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝－1，λ2＝2.4．答案 C解析 设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12×(－8,1)， ∴x ＝－1，y ＝－32.5．答案 B解析 ∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．6．答案 C解析 A ′B ′→与AB →方向相同且长度相等，故A ′B ′→＝AB →＝(7，－5)．二、填空题7．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与AB →同方向的单位向量为A B →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45. 8．答案 (－3,6)9．答案 112 解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112. 10．答案 (7，－6)解析 设D (x ，y )，由AD →＝BC →，∴(x －5，y ＋1)＝(2，－5)．∴x ＝7，y ＝－6.三、解答题11．解 p ＝2a ＋3b ＋c＝2(2,1)＋3(－1,3)＋(1,2)＝(4,2)＋(－3,9)＋(1,2)＝(2,13)．设p ＝x a ＋y b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝2x ＋3y ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝197y ＝247.∴p ＝197a ＋247b . 12．解 设P 点坐标为(x ，y )，|AP →|＝2|PB →|.当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →.∴(x －3，y ＋4)＝2(－1－x,2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13，y ＝0.∴P 点坐标为(13，0)． 当P 在线段AB 延长线上时，AP →＝－2PB →.∴(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x,2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－5，y ＝8.综上所述，点P 的坐标为(13，0)或(－5,8)． 13．解 设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →， ∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)＝(1,2)． ∴(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－2，y 2＝0.∴C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，∴CD →＝(－2，－4)．。

平面向量的坐标运算学习了向量的坐标表示后，我们可以把向量运算代数化.将数与形紧密结合起来，从而使许多问题转化为我们熟知的数量运算，使问题得以简化.下面举例说明平面向量的坐标运算在解几类题中的应用.一、两向量相等问题例1 已知向量=u ()，x y 和向量v (2)=-，y y x 的对应关系可用v =f ()u 表示，求证：对任意向量，a b 及常数，m n ，恒有(f m a +n )b =mf ()a ＋nf ()b 成立．证明：设a 12()=，a a ，b 12()b b =，，则m +a n b 1122()=++，ma nb ma nb ，(f m ∴+a n b 222211)(22)ma nb ma nb ma nb =++--，， mf ()a nf +()b 221221(2)(2)m a a a n b b b =-+-，， 222211(22)=++--，ma nb ma nb ma nb(f m ∴+a n b )=mf ()a nf +()b 成立．点评：两个向量相等，对于用坐标表示的向量，就是这两个向量的坐标相同.为应用题设条件，必须用坐标表示向量，通过坐标进行运算，从而解决问题.二、点的坐标问题例2 如图1，已知正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为(10)(53)，，，，求C 点的坐标． 解：过D B ，作x 轴的垂线，垂足分别为M N ，，由ABCD 是正方形可知90αβ+=．易知DMA ANB △≌△，34MA DM ==，，即点D 的坐标为(24)-，．设()C x y ，，则(24)(43)DC x y AB =+-=，，，． 由DC AB =，得2443x y +=⎧⎨-=⎩，，解得27.x y =⎧⎨=⎩，故点(27)C ，． 点评：解决本题的关键在于把握好向量相等或向量加、减运算的坐标表示与图形表示之间的关系，运用“数形结合”的思想转化解题.三、三点共线问题例3 过原点O 的直线与函数8log y x =的图象交于A B ，两点，过A B ，分别作x 轴的垂线交函数2log y x =的图象于C D ，两点．求证：O C D ，，三点在一条直线上．证明：设181282(log )(log )A x x B x x ，，，，则181282(log )(log )OA x x OB x x ==，，，， 根据已知OA 与OB 共线，182281log log 0x x x x ∴-=．又根据题设条件可知121222(log )(log )C x x D x x ，，，，12122(l o g )(l o g )O C x x O D x x ∴==，，，． 122221log log x x x x -3333122122log log x x x x =-1822813(log log )0x x x x =-=，OC ∴与OD 共线，即O C D ，，三点在一条直线上．点评：本题将三点共线的证明转化为论证向量共线关系式.通过构设点的坐标，改用向量的坐标运算来论证，十分简捷、新颖、巧妙.四、几何问题例4 已知ABC △的面积为214cm ，D E ，分别为边AB BC ，上的点，且::2:1AD DB BE EC ==，且AE 交CD 于P ，求APC △的面积．解：如图2，以A 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系．设(00)(30)(33)A B a C b c ，，，，，， 则2(20)3AD AB a ==，，22(333)(222)33BE BC b a c b a c ==-=-，，，(22)AE AB BE a b c =+=+，， (323)DC DB BC b a c =+=-，．点A P E ，，和D P C ，，分别共线，∴存在λ和μ，使((2)2)AP AE a b c λλλ==+，，((32)3)DP DC b a c μμμ==-，． 又(2(32)3)AP AD DP a b a c μμ=+=+-，，(2)2(32)23a b a b a c c λμλμ+=+-⎧∴⎨=⎩，①， ② 由②得23μλ=，代入①，化简得76a a λ=．0a ≠，67λ∴=，264377μ∴=⨯=． 于是，PAB △的面积为24148(cm )7⨯=，PBC △的面积为261412(cm )7⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭， 故APC △的面积为214824(cm )--=．点评：本题是通过建立直角坐标系，构设点的坐标后转化为向量的坐标运算，确定出P 点的位置来求解的，体现了数学建模思想的运用.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

第35讲平面向量的概念与坐标运算知识梳理知识点一．向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度，记作||AB ．（3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．②单位向量：长度等于1个单位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．④相等向量：长度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．知识点二．向量的线性运算和向量共线定理（1）向量的线性运算运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则①交换律a b b a +=+ ②结合律()a b c ++ =()a b c ++ 减法求a 与b的相反向量b -的和的运算叫做a 与b的差三角形法则()a b a b -=+-数乘求实数λ与向量a的积的运算（1）||||||a a λλ=（2）当0λ>时，a λ 与a的方向相同；当0λ<时，a λ 与a的方向相同；当0λ=时，0a λ=()()a a λμλμ= ()a a aλμλμ+=+()a b a bλλλ+=+【注意】（1）向量表达式中的零向量写成0，而不能写成0．（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA OB BA -= ，AM AN NM -=，+OA OB CA OA OB CA BA CA BA AC BC =⇔-=⇔-=+= ．知识点三．平面向量基本定理和性质1、共线向量基本定理如果()a b R λλ=∈ ，则//a b ；反之，如果//a b且0b ≠ ，则一定存在唯一的实数λ，使a b λ=．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．2、平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a，都存在唯一的一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+，我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{}12,e e ，1122e e λλ+ 叫做向量a关于基底{}12,e e 的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1e 与2e 不共线，平面内的任一向量a都可以分解成形如1122a e e λλ=+的形式，并且这样的分解是唯一的．1122e e λλ+ 叫做1e ，2e 的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．推论1：若11223142a e e e e λλλλ=+=+，则1324,λλλλ==．推论2：若11220a e e λλ=+=，则120λλ==．3、线段定比分点的向量表达式如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 上的点，且BD DC λ=（1λ≠-），则向量1AB ACAD λλ+=+ ．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．DACB4、三点共线定理平面内三点A ，B ，C 共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OC OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．A 、B 、C 三点共线⇔存在唯一的实数λ，使得AC AB λ=；⇔存在唯一的实数λ，使得OC OA AB λ=+；⇔存在唯一的实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=-+；⇔存在1λμ+=，使得OC OA OB λμ=+．5、中线向量定理如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量1(2AD AB =+ )AC，反之亦正确．DACB知识点四．平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示．在平面直角坐标中，分别取与x 轴，y 轴正半轴方向相同的两个单位向量,i j作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数,x y 使a xi yj =+ ，我们把有序实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量(,)x y 一一对应向量OA 一一对应点(,)A x y ．（3）设11(,)a x y =，22(,)b x y = ，则1212(,)a b x x y y +=++ ，1212(,)a b x x y y -=-- ，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若(,)a x y = ，λ为实数，则(,)a x y λλλ=，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB OB OA =-=12(,x x -12)y y -，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．知识点五．平面向量的直角坐标运算①已知点11()A x y ，，22()B x y ，，则2121()AB x x y y =--，，||AB ②已知11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则a b ± 1212()x x y y =±±，，11(,)a x y λλλ=，=a b ⋅1212x x y y +，||a = ．a b ∥⇔12210x y x y -=，a b ⊥⇔12120x x y y +=【解题方法总结】（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．即122311n n n A A A A A A A A -+++= ．（2）||||||||||||a b b a a b -≤±≤+ ，当且仅当,b a至少有一个为0 时，向量不等式的等号成立．（3）特别地：||||||||b b a a -≤± 或||||||a a b b ±≤+ 当且仅当,b a至少有一个为0 时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．（4）减法公式：AB AC CB -=，常用于向量式的化简．（5）A 、P 、B 三点共线⇔(1)OP t OA tOB =-+()t R ∈，这是直线的向量式方程．必考题型全归纳题型一：平面向量的基本概念例1．（2024·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（）A ．单位向量都相等B ．平行向量不一定是共线向量C ．对于任意向量,a b ，必有||||||a b a b +≤+r r r rD ．若,a b 满足||||a b > 且a 与b同向，则a b> 【答案】C 【解析】依题意，对于A ，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；对于B ，平行向量就是共线向量，故错误；对于C ，若,a b 同向共线，||||||a b a b +=+r r r r，若,a b 反向共线，||||||a b a b +<+r r r r ，若,a b不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知||||||a b a b +<+r r r r.综上可知对于任意向量,a b ，必有||||||a b a b +≤+r r r r，故正确；对于D ，两个向量不能比较大小，故错误.故选：C.例2．（2024·全国·高三专题练习）给出如下命题：①向量AB的长度与向量BA 的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB与向量CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对于①，向量AB与向量BA ，长度相等，方向相反，故①正确；对于②，向量a 与b 平行时，a 或b为零向量时，不满足条件，故②错误；对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；对于⑤，向量AB 与CD是共线向量，点A ，B ，C ，D 不一定在同一条直线上，故⑤错误．综上，正确的命题是①③．故选：B ．例3．（2024·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（）A ．若a b =，则32a b > B ．BC BA DC AD --= C ．a b a b a +=+⇔ 与b的方向相反D ．若a b c == ，则a b c==【答案】B【解析】对于A 选项，由于任意两个向量不能比大小，故A 错；对于B 选项，BC BA DC AC CD AD --=+=，故B 对；对于C 选项，a b a b a +=+⇔ 与b 的方向相同，故C 错；对于D 选项，若a b c == ，但a 、b 、c 的方向不确定，故D 错.故选：B.变式1．（2024·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（）A ．若a b →→>，则a b→→>B ．若a b →→=，则a b→→=C ．若a b →→=，则//a b →→D ．若a b¹，则,a b →→不是共线向量【答案】C【解析】A.因为向量不能比较大小，所以该选项错误；B.若a b →→=，则,a b →→不一定相等，有可能它们方向不同，但是模相等，所以该选项错误；C.若a b →→=，则//a b →→，所以该选项正确；D.若a b¹，则,a b →→也有可能是共线向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，所以该选项错误.故选：C变式2．（2024·全国·高三对口高考）给出下列四个命题：①若||||a b = ，则,a b a b ==- ；②若AB DC =，则A ，B ，C ，D 是一个平行四边形的四个顶点；③若,a b b c == ，则a c = ；④若//a b ，//b c，则//a c ；其中正确的命题的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】①若||||a b = ，只能说明,a b模相等，它们方向不一定相同或相反，错；②若AB DC =，若//AB DC 且AB DC =，即A ，B ，C ，D 是一个平行四边形的四个顶点，若,,,A B C D 四点共线，不能构成平行四边形，错；③若,a b b c == ，即,a b 、,a c 分别为相等向量，故a c =，对；④若//a b ，//b c ，当b为零向量时//a c 不一定成立，错.故选：D变式3．（2024·全国·高三对口高考）若0a b c ++= ，则a ，b ，c（）A ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B ．一定不可能构成三角形C ．都是非零向量时能构成三角形D ．一定可构成三角形【答案】A【解析】ACD 选项，若非零向量,,a b c 共线时，也能满足0a b c ++=，但无法构成一个三角形，A 正确，CD 错误；B 选项，当非零向量,,a b c两两不共线时，可构成三角形，B 错误.故选：A【解题方法总结】准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关．题型二：平面向量的线性表示例4．（2024·山东泰安·统考模拟预测）在ABC 中，点D 为AC 中点，点E 在BC 上且2BE EC =.记,AB a AC b == ，则ED = （）A ．1136a b -+B ．1136a b --C ．1163a b -- D ．1136a b-【答案】B【解析】如图所示：由,AB a AC b == ，所以BC AC AB b a =-=- ，又2BE EC = ，()1133EC BC b a ∴==- ，又因为D 为AC 中点，12CD b ∴=-，则1136ED EC CD a b =+=-- ，故选：B.例5．（2024·河北邯郸·统考三模）已知等腰梯形ABCD 满足//AB CD ，AC 与BD 交于点P ，且22AB CD BC ==，则下列结论错误．．的是（）A ．2AP PC= B ．||2||AP PD =C ．2133AP AD AB =+D ．1233AC AD AB=+【答案】D 【解析】依题意，显然APB DPC ∽，故有21AB AP PB CD PC PD ===，即2=AP PC ，2PB PD =，则2AP PC =，故A 正确；又四边形ABCD 是等腰梯形，故AP PB =，即2AP PD = ，故B 正确；在ABD △中，()11213333AP AD DP AD DB AD AB AD AD AB =+=+=+-=+，故C 正确；又3321122332AC AP AD AB AD AB ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，所以D 错误；故选：D.例6．（2024·河北·统考模拟预测）已知D 为ABC 所在平面内一点，且满足13CD DB =，则（）A ．3122AD AB AC=-B ．2133AD AB AC=+ C ．43AB AD AC=- D ．34AB AD AC=-【答案】C【解析】如图，因为13CD DB =，所以D 是线段BC 的四等分点，且3BD DC =,所以()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ,故A,B 错误；由1344AD AB AC =+ ，可得43AB AD AC =-，故C 正确，D 错误，故选:C.变式4．（2024·河北·高三学业考试）化简PA PB AB -+所得的结果是（）A ．2AB B ．2BAC ．0D ．PA【答案】C【解析】0PA PB AB PA AB PB P P B B -++=-=-=.故选：C变式5．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD的中点，则EC =（）A ．3144AB AC - B ．1344AB AC --C ．3144AB AC+D ．1344AB AC-+【答案】D 【解析】由D 为BC 中点，根据向量的运算法则，可得()12AD AB AC =+，在ABC 中，1131()2444EC AC AE AC AD AB AC AC AC AB =-=--++=-=.故选:D ．变式6．（2024·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 的中点，则EF =（）A ．12AB AD - B ．12AB BC -C ．1122AB AD + D ．1122AB BC -【答案】D【解析】如图所示，由中位线定理和平行四边形的性质得：()()111222EF DB AB AD AB BC ==-=- ，故选：D变式7．（2024·山东滨州·校考模拟预测）如图所示，点E 为ABC 的边AC 的中点，F 为线段BE 上靠近点B 的四等分点，则AF =（）A ．3588BA BC+B ．5344BA BC+C ．8718BA BC-+D ．3144BA BC-+【答案】C【解析】1313()2424AF AE EF AC EB AC AB AE =+=+=+-1331324884AC AB AC AC BA =+-=-1371()8488BC BA BA BA BC =--=-+.故选：C.变式8．（2024·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若AB AD AO λ+=，则λ=（）A ．12B ．2C ．13D ．32【答案】B【解析】在平行四边形ABCD 中，AC AB AD AO λ=+=，所以2λ=．故选：B ．变式9．（2024·河南·襄城高中校联考三模）已知等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，222AB DC AD ===，BC 的中点为E ，则AE =（）A ．1533DB AC+B ．1536DB AC+C ．1132DB AC+D ．2536DB AC+【答案】B【解析】∵()12AB DB DA DB DC CA DB DC CA DB AB CA =-=-+=--=--，∴32AB DB CA =-，∴2233AB DB AC =+ ，∴()11221152233236AE AB AC DB AC AC DB AC ⎛⎫=+=++=+ ⎪⎝⎭．故选：B.【解题方法总结】（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题．（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．题型三：向量共线的运用例7．（2024·广东广州·统考模拟预测）在ABC 中，M 是AC 边上一点，且1,2AM MC N= 是BM 上一点，若19AN AC mBC =+，则实数m 的值为（）A ．13-B ．16-C ．16D ．13【答案】D【解析】由12AM MC = ，得出3AC AM =，由19AN AC mBC =+ 得()1199⎛⎫=+=+ ⎪⎝-⎭-AN AC m AC AB m AC mAB 313⎛⎫+ ⎪⎝-⎭=m AM mAB ，因为,,B N M 三点共线，所以()1133⎛⎫++= ⎪⎝-⎭m m ，解得13m =.故选：D.例8．（2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）如图，在ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点，2AG GM =，过点G 的直线分别交直线AB ，AC 于P ，Q 两点，()0AB xAP x => ，()0AC y AQ y => ，则411x y ++的最小值为（）．A ．34B ．94C ．3D ．9【答案】B【解析】因为M 为线段BC 的中点，所以1()2AM AB AC =+ ，又因为2AG GM =，所以21()33AG AM AB AC ==+ ，又()0AB xAP x => ，()0AC y AQ y => ，所以33x y AG AP AQ =+，又,,P G Q 三点共线，所以133x y+=，即3x y +=，所以[]4114114(1)19()(1)41(521414144x y x y x y x y y x ⎡⎤++=+++=+++≥+⎢⎥+++⎣⎦，当且仅当4(1)1x y y x +=+，即81,33x y ==时取等号.故选：B.例9．（2024·山西·高三校联考阶段练习）如图，在ABC 中，D 是BC 边中点13AP AD =，CP 的延长线与AB 交于AN ，则（）A ．14AN AB= B ．15AN AB= C ．16AN AB= D ．17AN AB= 【答案】B【解析】设AB AN λ=，则()1111113326666AP AD AB AC AB AC AN AC λ==⨯+=+=+ ，因为N ，P ，C 三点共线，所以1166λ+=，解得5λ=，所以5AB AN =，所以15AN AB = .故选：B.变式10．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点，设x AB ＝AM ，y AC ＝AN ，则11x y+的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】由题意(1)AG AM AN λλ=+- 且01λ≤≤，而x AB＝AM ，y AC ＝AN ，所以(1)AG x AB y AC λλ=+- ，又G 是△ABC 的重心，故211()()323AG AB AC AB AC =⨯+=+，所以131(1)3x y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得11133x y +=，即113x y +=.故选：A变式11．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在ABC 中，E 为AC 上一点，3,AC AE P = 为线段BE 上任一点（不含端点），若AP xAB yAC =+ ，则13x y+的最小值是（）A ．8B ．10C ．13D ．16【答案】D【解析】由题意，如下示意图知：(1)AP AB AE λλ=+- ，且01λ<<，又3AC AE =，所以13AP AB AC λλ-=+ ，故13x y λλ=⎧⎪-⎨=⎪⎩且01λ<<，故131919()[(1)]101021611x y λλλλλλλλ-+=++-=++≥+--，仅当191λλλλ-=-，即14λ=时等号成立.所以13x y+的最小值是16.故选：D变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知向量a 、b不共线，且(),21c xa b d a x b =+=+- ，若c 与d共线，则实数x 的值为（）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-【答案】C【解析】因为c 与d 共线，则存在k R ∈，使得d kc =，即()21a x b kxa kb +-=+ ，因为向量a 、b 不共线，则121kx k x =⎧⎨=-⎩，整理可得()211x x -=，即2210x x --=，解得12x =-或1.故选：C.变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知直线l 上有三点A ，B ，C ，O 为l 外一点，又等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1310()2OA a a OB a OC =++，则11S =（）A ．114B ．3C ．112D ．132【答案】A【解析】 点A 、B 、C 是直线l 上不同的三点，∴存在非零实数λ，使AB BC λ=⇒()(1)OB OA OC OB OA OB OC λλλ-=-⇒=+- ； 若1310()2OA a a OB a OC =++，131a a λ∴+=+，102a λ-=；131021a a a ∴++=；数列{}n a 是等差数列，21021011112212a a a a a a ∴+=⇒+==+；1111111()1124a a S +∴==．故选：A ．变式14．（2024·全国·高三对口高考）设两个非零向量a 与b不共线．(1)若AB a b =+uu u r r r ，28BC a b =+uu u r r r ，()3CD a b =-，求证A B D ，，三点共线．(2)试确定实数k ，使ka b + 和a kb +r r共线．【解析】（1）因为AB a b =+uu u r r r ，28BC a b =+uu u r r r ，()3CD a b =- ，，所以()283BD BC CD a b a b=+=++-()283355a b a b a b AB=++-=+= 所以AB，BD 共线，又因为它们有公共点B ，所以,,A B D 三点共线；（2）因为ka b + 和a kb +r r共线，所以存在实数λ，使()ka b a kb λ+=+ ，所以ka b a k b λλ+=+，即()()1k a k b λλ-=-.又a ，b是两个不共线的非零向量，所以10k k λλ-=-=所以210k -=，所以1k =或1k =-.变式15．（2024·全国·高三对口高考）如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，2,,3AE AD AB a AC b === .(1)用,a b 表示,,,,AD AE AF BE BF ；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．【解析】（1）在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，则()111111222222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b =+=+=+-=+=+，故211333AE AD a b ==+ ，1122== AF AC b ，11123333BE AE AB a b a b a =-=+-=- ，12BF AF AB b a =-=- ；（2）证明：因为()1212333BE b a b a =-=-，()122b a BF =- ，所以23BE BF = ，所以BE BF ∕∕，又因,BE BF有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．【解题方法总结】要证明A ，B ，C 三点共线，只需证明AB 与BC 共线，即证AB=λBC （R λ∈）．若已知A ，B ，C 三点共线，则必有AB 与BC 共线，从而存在实数λ，使得AB=λBC ．题型四：平面向量基本定理及应用例10．（2024·上海·高三专题练习）设12e e、是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（）A ．12e e + 和12e e -B ．122e e + 和212e e +C ．1232e e - 和2146e e - D ．2e 和21e e +【答案】C【解析】依题意，12e e、不共线，A 选项，不存在R λ∈使()1212e e e e λ+=-，所以12e e + 和12e e -可以组成基底.B 选项，不存在R λ∈使()122122e e e e λ=++ ，所以122e e + 和212e e +可以组成基底.C 选项，()211246223e e e e =---，所以1232e e - 和2146e e -不能构成基底.D 选项，不存在R λ∈使()221e e e λ+= ，所以2e 和21e e +可以组成基底.故选：C例11．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知向量21,e e是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（）A ．{}112,e e e - B ．{}1212,3e e e e +- C ．{}12122,36e e e e --+ D ．{}121223,23e e e e +- 【答案】C【解析】对于A ，假设112,e e e -共线，则存在R λ∈，使得()112e e e λ=- ，因为21,e e不共线，所以没有任何一个R λ∈能使该等式成立，即假设不成立，也即112,e e e -不共线，则能作为基底；对于B ，假设1212,3e e e e +-共线，则存在R λ∈，使得()12123e e e e λ+=- ，即131λλ=⎧⎨-=⎩无解，所以没有任何一个R λ∈能使该等式成立，即假设不成立，也即1212,3e e e e +-不共线，则能作为基底；对于C ，因为1212363(2)e e e e -+=--，所以两向量共线，不能作为一组基底，C 错误；对于D ，假设121223,23e e e e +-共线，则存在R λ∈，使得()12122323e e e e λ+=- ，即2233λλ=⎧⎨-=⎩无解，所以没有任何一个R λ∈能使该等式成立，即假设不成立，也即121223,23e e e e +-不共线，则能作为基底，故选:C.例12．（2024·河北沧州·校考模拟预测）在ABC 中(),1122BE EC BF BA BC ==+，点P 为AE 与BF 的交点，AP AB AC λμ=+，则λμ-=（）A ．0B ．14C ．12D ．34【答案】B【解析】因为()12BF BA BC =+，所以F 为AC 中点，,,B P F 三点共线，故可设BP k BF =，即()AP k AF AB AB -=- ，整理得()()1112AP k AF k k AB A AB k C ==+--+，因为12BE EC = ，所以1122A A AB A E C E --= ，即2331B A C A E A =+ ，,,A P E 三点共线，可得12123333AP mAE m AC AB mAC mAB ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，所以213132m k m k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1234k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得1124A AB A PC =+ ，则11,24λμ==，14λμ-=.故选：B变式16．（2024·全国·模拟预测）如图，在ABC 中，CM CB λ= ，NC AC μ=，其中01λ<<，01μ<<，若AM 与BN 相交于点Q ，且35BQ BN =，则（）A ．λμλμ=+B ．2λμλμ=+C ．523λλμ=+D ．325λλμ=+【答案】C 【解析】由题意得()()()3333(1)15555BQ BN BA AN BA AC BA BC BA μμ⎡⎤⎡⎤==+=+-=+--⎣⎦⎣⎦3331(1)5551BA BC BA BM μμμμλ-⎡⎤=+-=+⋅⎣⎦- ，因为Q ，M ，A 三点共线，由三点共线可得向量的线性表示中的系数之和为1，所以3311551μμλ-+⋅=-，化简整理得523λλμ=+．故选：C ．变式17．（2024·广东汕头·统考三模）如图，点D 、E 分别AC 、BC 的中点，设AB a =，AC b = ，F 是DE 的中点，则AF =（）A ．1122a b+ B ．1122a b -+C ．1142a b+D ．1142a b -+【答案】C【解析】因为点D 、E 分别AC 、BC 的中点，F 是DE 的中点，所以1122AF AD DF AC DE =+=+ 1124AC AB =+.即1142AF a b =+ .故选：C.变式18．（2024·山西大同·统考模拟预测）在△ABC 中，D 为BC 中点，M 为AD 中点，BM mAB nAC =+，则m n +=（）A ．12-B ．12C ．1D ．1-【答案】A 【解析】因为D 是BC 的中点，所以1122AD AB AC =+ ，()21122112C B C A AB C AB D B A -===-⨯.又因为M 是AD 的中点，所以，1122BM BA BD =+ ()1124AB AC AB =-+- 3144AB AC =-+，又BM mAB nAC =+ ，所以34m =-，14n =，所以12m n +=-．故选：A ．变式19．（2024·广东·统考模拟预测）古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则AB =（）A ．3526CE DE-+B ．5362CE DE-+C ．2536CE DE -+D ．5263CE DE -+ 【答案】B【解析】以D 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.不妨设2AD =，则(A -，(5B ，()00D ，，(9E，(0C ，故(6AB =，(9CE =- ，，(9DE =.设AB xCE yDE =+，则699x y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得5632x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以5362AB CE DE =-+.故选：B.变式20．（2024·吉林长春·统考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为BC ，CD 上的点，且BM MC = ，23CN CD = ，连接AM ，BN 交于P 点，若AP PM λ= ，BP PN μ=，则λμ+=（）A ．135B ．257C ．185D ．195【答案】C【解析】在ABCD Y 中，取{,}AB AD为平面的基底，由BM MC =，得12AM AB BM AB AD =+=+ ，由AP PM λ= ，得112(1)AP AM AB AD λλλλλλ==++++ ，由23CN CD = ，知23BN BC CN AB AD =+=-+，由BP PN μ= ，得213(1)1BP BN AB AD μμμμμμ==-++++，因此33(1)1AP AB BP AB AD μμμμ+=+=+++ ，则313(1)2(1)1λμλμλμλμ+⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪++⎩，解得33,5λμ==，所以185λμ+=.故选：C变式21．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，4AB CD =，点E 在线段CB 上，且2CE EB =，设AB a=，AD b = ，则AE = （）A ．5182a b+ B ．1528a b+C ．1334a b+ D ．3143a b+ 【答案】D【解析】在梯形ABCD 中，//AB CD ，且4AB CD =，则14DC AB =，因为E 在线段CB 上，且2CE EB =，则13BE BC =，1344BC BA AD DC a b a b a =++=-++=- ，所以，1133133443AE AB BE AB BC a b a a b ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭ .故选：D.变式22．（2024·安徽·校联考二模）如图，在ABC 中，点D 为线段BC 的中点，点E ，F 分别是线段AD 上靠近D ，A 的三等分点，则AD =（）A ．13BE CF-- B ．13BE CF--C ．BE CF-- D ．49BE CF--【答案】C【解析】13BE BD DE BD AD =+=- ，则133222AD BD BE =-①；23CF CD DF CD AD =+=- ，则3322AD CD CF =-②；①+②两式相加，333222AD CF BE =--，即AD BE CF =-- ，故选：C.变式23．（2024·全国·模拟预测）如图，平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，3EB DE=，若AO AE BC λμ=+ (),λμ∈R ，则λμ=（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2【答案】B【解析】因为平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，可得O 为BD 的中点，由3EB DE =，可得E 为OD 的中点，所以11112222AE AO AD AO BC =+=+ ，可得2AO AE BC =- ，又由AO AE BC λμ=+ ，所以2,1λμ==-，所以2λμ=-.故选：B ．【解题方法总结】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．（3）三点共线定理：A ，B ，P 三点共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OP OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为AB 外一点．题型五：平面向量的直角坐标运算例13．（2024·全国·高三对口高考）AC 为平行四边形ABCD 的对角线，(2,4),(1,3)AB AC ==，则AD =____．【答案】(1,1)--【解析】如图在平行四边形ABCD 中，(2,4)AB DC ==，在ACD 中，AC AD DC AD AB +==+，所以()(1,3)(2,4)1,1AD AC AB -===---，故答案为：(1,1)--.例14．（2024·全国·高三专题练习）已知向量(2,1)a =- ，(3,2)b =r ，(5,8)c =，且c a b λμ=+r r r ，则λμ=_____.【答案】23【解析】(23,2)c a b λμλμλμ=+=-++，由(5,8)c =可知235,28,λμλμ-+=⎧⎨+=⎩解得2,3,λμ=⎧⎨=⎩故23λμ=．故答案为：23例15．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知()2,4A -，()3,4C --，且3CM CA =，则点M 的坐标为______.【答案】()0,20【解析】由题意得()()23,441,8CA =-++= ，所以()33,24CM CA ==.设(),M x y ，则()()3,43,24CM x y =++=，所以33424x y +=⎧⎨+=⎩，解得020x y =⎧⎨=⎩，故点M 的坐标为()0,20.故答案为：()0,20变式24．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，其中OC 与OA和OB 的夹角分别为30︒和90︒，且||||1OA OB ==，||OC = ，若(,)OC OA OB R λμλμ=+∈，则2λμ+=________．【答案】8【解析】如图所示，过点C 作向量,OA OB的平行线与它们的延长线分别交于,D E 两点，所以四边形ODCE 平行四边形，则OC OD OE =+，因为向量OC 与OA和OB 的夹角分别为30︒和90︒，即90,30BOC AOC ∠=∠= ,则90,30OCD OCE ∠=∠= ,在直角OCD ∆中，||OC = ，AOC 30∠= ，所以||4cos30OC OD ==，在直角OCE ∆中，||OC = 30OCE ∠=，所以||tan 302OE OC =⋅== ，又由||||1OA OB == ，可得42OC OA OB =+ ，又因为(,)OC OA OB R λμλμ=+∈，所以4,2λμ==，所以28λμ+=．故答案为：8．变式25．（2024·河南·郑州一中校联考模拟预测）已知向量(),2a x =，(),1b x =- ，且2a b +=x =______．【答案】±1【解析】由题意，得()2,5a b x += ，所以2a b +== ，解得1x =±．故答案为：±1.变式26．（2024·全国·高三对口高考）已知向量(0,2)a b ==- ．若实数k 与向量c满足2a b kc +=，则c 可以是（）A ．1)-B ．(1,-C ．(1)-D ．(-【答案】D【解析】设(),c x y =，因为向量(0,2)a b ==-，所以)22(0,2)3a b +=+-=- ，又2a b kc += ，所以)()3,3kx k x y ky ⎧=⎪-=⇒⎨=-⎪⎩0k =时不成立，所以0k ≠，所以y =，选项A ，1)c =-不满足y =，选项B ，(1,c =-不满足y =，选项C ，(1)c =-不满足y =，选项D ，(c =-满足y =，故选：D.变式27．（2024·河北·统考模拟预测）在正六边形ABCDEF 中，直线ED 上的点M 满足AM AC mAD =+，则m =（）A ．1B ．12C ．13D ．14【答案】B【解析】在正六边形ABCDEF 中，以A 为原点，分别以,AB AE 所在直线为,x y 轴建立平面直角坐标系，不妨令1AB =，则33(0,0),(,),(1,3),(,3)22A C D M t，33(,),(1,3),(,3)22AC AD AM t ===,由AM AC mAD =+ ，可得323332t m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解之得122m t ⎧=⎪⎨⎪=⎩故选：B变式28．（2024·内蒙古赤峰·校联考三模）如图，在四边形ABCD 中，120DAB ∠=︒，30DAC ∠=︒，1AB =，3AC =，2AD =，AC xAB y AD =+，则x y +=（）A ．23B ．2C ．3D ．6【答案】A【解析】以A 为坐标原点，以AD 为x 轴，过点A 作AD 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则13(0,0),(,),(2,0)22A B C D -,故31),((2,0)22AC AB AD ==-= ,则由AC xAB y AD =+可得31(,)(,)(2,0)2222AC x y ==-+ ，即122,32x y x y x =-+⎧=⎪∴⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩故x y +=故选：A变式29．（2024·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，122P P PP =-，若()11,2P 、()22,1P -，则与OP共线的单位向量为（）A ．()3,4-B ．()3,4-或()3,4-C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由122P P PP =- 得1220PP PP += ，即1220PP PP += ，122PP P P =，212OP OP OP OP -=- ，2122(2,1)(1,2)(3,4)OP OP OP =-=--=-，5OP ==，与OP同向的单位向量为34(,)55OP OP =- ，反向的单位向量为34(,)55-．故选：C ．【解题方法总结】（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解．题型六：向量共线的坐标表示例16．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，向量(1,4)PA = ，(2,3)PB = ，(,1)PC x =，若A ，B ，C 三点共线，则x 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】因为A ，B ，C 三点共线，则PC PA PB λμ=+，()1λμ+=，即()()()(,1)1,42,32,43x λμλμλμ=+=++，则21431x λμλμλμ=+⎧⎪=+⎨⎪+=⎩，解得324x μλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩.故选：C例17．（2024·全国·高三专题练习）已知()()(),0,0,1,3,1A m B C -，且,,A B C 三点共线，则m =（）A ．32B ．23C ．32-D ．23-【答案】A【解析】由()()(),0,0,1,3,1A m B C -，得()(),1,3,2AB m BC =-=-,因为,,A B C 三点共线，所以//AB BC ，即()()2130m -⨯--⨯=，解得32m =.所以32m =.故选：A.例18．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）已知向量()1,3a = ，()4,1b =- ，若向量m a ∥，且m 与b 的夹角为钝角，写出一个满足条件的m的坐标为______.【答案】()1,3m =-- （答案不唯一）【解析】设(),m x y = ，因为向量m a ，且m 与b 的夹角为钝角，所以134(1)04(1)y x x y y x ⋅=⋅⎧⎪⋅+-⋅<⎨⎪⋅≠-⋅⎩，所以0x <，不妨令=1x -，则=3y -，故()1,3m =-- ，故答案为：()1,3m =-- （答案不唯一）.变式30．（2024·全国·高三专题练习）已知向量()1,2a =- ，()1,2022b = ，向量2m a b =+ ，2n a kb =- ，若m n u r r ∥，则实数k =______.【答案】4-【解析】根据题意可知a ，b 不共线若m n u r r ∥，则R λ∃∈，使得=m n λu r r ，即()222a b a kb a k b λλλ+--==r r r r r r 则可得122k λλ=⎧⎨=-⎩，解得124k λ⎧=⎪⎨⎪=-⎩故答案为：4-．变式31．（2024·北京·北京四中校考模拟预测）已知向量()(),4,1,a t b t == ，若a b ∥，则实数t =______.【答案】2±【解析】因为向量()(),4,1,a t b t == 且a b ∥，所以410t t ⨯-⨯=,解得2t =±，故答案为：2±变式32．（2024·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）已知(),1a k = ，()2,3b =- ，若a 与b 互相平行，则实数k 的值是__________．【答案】23-【解析】因为a b ∥，所以32k =-，解得23k =-，故答案为：23-．变式33．（2024·全国·高三对口高考）已知向量(1,2),(1,),(3,4)a b c λ=== ．若a b + 与c 共线，则实数λ=__________．【答案】23【解析】由题意知向量(1,2),(1,),(3,4)a b c λ===，故(2,2)a b λ+=+ ，由于a b + 与c 共线，故2243(2)0,3λλ⨯-+=∴=，故答案为：23变式34．（2024·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知()()1,2,3,2a b ==- ，若ka b+ 与2a b - 平行，则实数k =______________．【答案】12-/0.5-【解析】因为()()1,2,3,2a b ==- ，所以(3,22)ka b k k +=-+ ，2(7,2)a b -=- ，因为ka b + 与2a b - 平行，所以2(3)7(22)k k --=+，得12k =-.故答案为：12-.变式35．（2024·全国·高三专题练习）已知点()()(40426)4A B C ，，，，，，O 为坐标原点，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________.【答案】(3,3)【解析】法一:由O ，P ，B 三点共线，可设(4,4)OP OB λλλ== ,则(44,4)AP OP OA λλ=-=- ,又(2,6)AC OC OA =-=- ，由,AP AC 共线，得4464((2)0)λλ-⨯-⨯-=，解得34λ=，所以3(3,3)4OP OB == ,所以点P 的坐标为(3,3),故答案为：(3,3)法二:设点P (x ,y )，则()OP x y =， ，因为(4,4)OB = ，且OP 与OB 共线，所以440x y -=，即x =y .又(4)AP x y -=， ，2()6AC =-， ，且,AP AC 共线，所以()40()62x y ⨯-⨯-=-，解得x =y =3，所以点P 的坐标为(3,3)，故答案为：(3,3)【解题方法总结】（1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若11(,)a x y = ，22()b x y = ,，则a b ∥的充要条件是12210x y x y -=；②若(0)a b b ≠ ∥，则a b λ =．（2）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解。

平面向量的坐标运算[学习目标] 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一 平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝(x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．思考 根据下图写出向量a ，b ，c ，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是1.答案 a ＝(2,3)，b ＝(－2,3)，c ＝(－3，－2)，d ＝(3，－3)．知识点二 平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．(4)已知向量AB →的起点A (x 1，y 1)，终点B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．思考 已知a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →，如下图所示，写出a ，b ，c 的坐标，并在直角坐标系内作出向量a ＋b ，a －b 以及a －3c ，然后写出它们的坐标．答案易知：a ＝(4,1)，b ＝(－5,3)，c ＝(1,1)，OD →＝a ＋b ＝(－1,4)，BA →＝a －b ＝(9，－2)，OF →＝a －3c ＝(1，－2)．题型一 平面向量的坐标表示例1 已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标．解 如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0,0)，B (2,0)，C (2cos 60°，2sin 60°)，∴C (1，3)，D (12，32)， ∴AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3)，BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)，BD →＝(12－2，32－0)＝(－32，32)．跟踪训练1 在例1的基础上，若E 为AB 的中点，G 为三角形的重心时，如何求向量CE →，AG →，BG →，GD →的坐标？解 由于B (2,0)，E (1,0)，C (1，3)，D (12，32)，G (1，33)， 所以CE →＝(1－1,0－3)＝(0，－3)，AG →＝(1，33)， BG →＝(1－2，33－0)＝(－1，33)， GD →＝(12－1，32－33)＝(－12，36)． 题型二 平面向量的坐标运算例2 已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，求(1)AB →－AC →；(2)AB →＋2BC →；(3)BC →－12AC →. 解 ∵A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)．∴AB →＝(0,6)－(2，－4)＝(－2,10)，AC →＝(－8,10)－(2，－4)＝(－10,14)，BC →＝(－8,10)－(0,6)＝(－8,4)．∴(1)AB →－AC →＝(－2,10)－(－10,14)＝(8，－4)．(2)AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)．(3)BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－3，－3)．跟踪训练2 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求：(1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b . 解 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．(2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23.。

专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示1．（2021·全国高一课时练习）已知向量()1,2a =- ，()3,1b =- ，(),2c m = ，(2)c a b ⊥- ，则m 的值为（ ）ABC ．2D ．10【答案】C 【解析】先求出2a b -的坐标，再借助向量垂直的坐标表示即可得解.【详解】因()1,2a =- ，()3,1b =- ，则()25,5a b -=- ，而(),2c m = ，(2)c a b ⊥-，于是得(2)0c a b ⋅-=，即5520m -+⋅=，解得2m =，所以m 的值为2.故选：C2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知()24,4,3a b a b ==-=- ，，记a 与b 夹角为θ，则cos θ的值为（ ）A ．1320B ．516-C ．34D ．57-【答案】B 【解析】利用平面向量数量积的定义以及模长公式求解即可.【详解】因为()4,3a b -=- ，所以5a b -=，因为a b -== 所以25416=+-16cos θ，所以5cos 16θ=-．故选:B .练基础3.（2021·天津和平区·高一期末）已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，F 是线段AE 上的点，则AF CF ⋅的最小值为（ ）A ．95B ．95-C ．1D ．1-【答案】B 【解析】根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可.【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，()0,0A ，()2,1E ，()2,2C ，由F 是线段AE 上的点，设,2x F x ⎛⎫⎪⎝⎭，且02x ≤≤，因此,2x AF x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，2,22x CF x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故()25223224x x xAF x x x CF ⋅⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，因02x ≤≤，所以当65x =时，AF CF ⋅ 取最小值95-.故选：B.4．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，平行四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 在线段BE 上，且3BF FE =，记a BA = ，b BC = ，则CF =（）A ．2133a b+ B ．2133a b-C ．1348a b-+D ．3548a b-【答案】D 【解析】取a BA = ，b BC = 作为基底，把BE 、BF用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出CF .【详解】取a BA = ，b BC =作为基底，则12BE a b =+ .因为3BF FE =，所以3313344248BF BE a b a b ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ，所以33354848CF BF BC a b b a b =-=+-=-.故选：D.5.（2021·全国高一专题练习）已知A B P ，，三点共线，O 为直线外任意一点，若OP xOA y OB →→→=+，则x y += ________.【答案】1【解析】由共线可设AB BP λ→→=，进而得OB OA OP OB λ→→→→⎛⎫= ⎪⎝-⎭-，化简对应的,x y 即可得解.【详解】∵,,A B P 三点共线，∴存在非零实数λ，使得AB BP λ→→=，∴OB OA OP OB λ→→→→⎛⎫= ⎪⎝-⎭-∴11OP OB OAλλλ→→→+=-∵OP xOA y OB →→→=+，∴111x y λλλ+⎛⎫+=-= ⎪⎭+⎝.故答案为：16．（辽宁高考真题）在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，则D 点的坐标为___________.【答案】【解析】平行四边形中，，∴，即点坐标为，故答案为.7．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）设已知向量()1,1a =，向量()3,2b =- .（1）求向量2a b -的坐标；（2）当k 为何值时，向量ka b +与向量2a b -垂直.【答案】（1）()7,3-；（2）274k =.【解析】（1）进行向量坐标的减法和数乘运算即可得出2(7,3)a b -=-；（2）可求出(3,2)ka b k k +=-+ ，然后根据ka b + 与2a b - 垂直即可得出7(3)3(2)0k k --+=，解出k 即可．【详解】（1）∵()1,1a =，()3,2b =- ，∴()27,3a b -=-r r.（2）∵()3,2ka b k k +=-+r r ，且ka b + 与2a b - 垂直，∴()()73320k k --+=，解得274k =.8．（2021·江西新余市·高一期末（文））已知||4a =，(b =-xoy ABCD //AB DC //AD BC ()20A -，()68B ，()8,6C ()0,2-ABCD OB OD OA OC +=+()()()()2,08,66,80,2OD OA OC OB =+=+----=D ()0,2-()0,2-（1）若//a b ，求a的坐标；（2）若a 与b的夹角为120°，求a b -r r .【答案】（1）(2,-或(2,-；（2）.【解析】（1）先求与向量b 共线的单位向量，结合//a b ，即可得出a的坐标；（2）先根据夹角求出a b ⋅，根据模的运算律22a a = ，即可得到a b -r r .【详解】解：（1）(b =- Q ，||2b ∴=∴与b共线的单位向量为12b c b ⎛=±=±- ⎝.||4a = Q ，//a b，(||2,a a c ∴==-或(2,-.（2）||4a = Q ，||2b =，,120a b <>=︒ ，||||cos ,4a b a b a b ∴⋅==-，222()228a b a a b b ∴-=-⋅+=，||a b ∴-=9．（2021·全国高一专题练习）如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 边上的点，12CD AE DA EB ==，记BC a →= ，CA b →= .试用向量a →，b →表示DE .【答案】1()3DE b a →→=- 【解析】根据向量的减法及向量的数乘，化简即可求解.【详解】因为111()()333AE AB CB CA a b →→==-=-- ，2233AD AC b →==- ，所以121()()()333DE AE AD a b b b a →→→→→=-=----=- .即1()3DE b a →→=- 10．（2021·江西省万载中学高一期末（理））已知向量(1,3),(1,)a b t →→=-=，若(2)a b a →→→+⊥，（1）求向量a →与b →的夹角；（2）求3a b →→-的值．【答案】（1）34π；（2）．【解析】（1）根据(2)a b a →→→+⊥得到2t =，再求出=5a b →→⋅-，a →=，b →=，即得解；（2）直接利用向量的模的坐标公式求解.【详解】（1）Q (1,-3),(1,)a b t →→==，()23,32a b t →→∴+=-+，Q (2)a b a →→→+⊥，()(2)=3132-30a b a t →→→+⋅⨯+-+⨯=∴（），解得2t =，11-325a b →→∴⋅=⨯+⨯=-（），a →=，b →=，cos ,a ba b a b→→→→→→⋅∴<>===⋅，所以向量a →与b →的夹角为34π.（2）Q 2223969106-55125a b a a b b →→→→→→-=-⋅+=⨯-⨯+=（），3a b →→∴-=．练提升1．【多选题】（2021·浙江高一期末）任意两个非零向量和m ，n ，定义：m n m n n n⋅⊗=⋅，若平面向量,a b满足||2||0a b ≥> ，a 与b 的夹角πθ0,3æöç÷Îç÷èø，且a b ⊗ 和b a ⊗ 都在集合4n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b ⊗ 的值可能为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】CD 【解析】由已知得集合{|}4nn Z ∈的元素特征，再分析a b ⊗ 和b a ⊗ 的范围，再由定义计算后，可得答案.【详解】首先观察集合311113{|},1,,,,0,,,,1,4424424n n Z ⎧⎫∈=⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，从而分析a b ⊗ 和b a ⊗ 的范围如下：因为(0,3πθ∈，∴1cos 12θ<<，而cos b b a b a a a a θ⋅⊗==⋅，且||2||0a b ≥> ，可得10cos 2b a θ<< ，又∵b a ⊗∈ {|}4n n Z ∈中，∴1cos 4b a θ= ，从而14cos b a θ= ，∴2cos 4cos a a b a b b b b θθ===⋅⋅⊗ ，又21cos 14θ<<，所以214cos 4a b θ⊗<=< ．且a b ⊗ 也在集合{|}4n n Z ∈中，故有2a b ⊗= 或3．故选：CD.2．（2021·江西新余市·高一期末（文））如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC mOA nOB =+，则m n +的取值范围是___________.【答案】(1,0)-【解析】如图所示，由A ，B ，D 三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数λ满足(1)OD OA OB λλ=+-，OD tOC = ，1t<-，(1)tOC OA OB λλ=+- ，即1OC OA OB t tλλ-=+，与OC mOA nOB =+两比较，即可得出．【详解】解：如图所示，A Q ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ满足(1)OD OA OB λλ=+-，又OD tOC =，1t <-，(1)tOC OA OB λλ∴=+-，即1OC OA OB t tλλ-=+，与OC mOA nOB =+两比较，可得m tλ=，1n tλ-=，则1(1,0)m n t+=∈-．m n ∴+的取值范围是(1,0)-．故答案为：(1,0)-．3．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知A (1，1)，B (0，1)，C (1，0)，M 为线段BC 上一点，且CM CB λ= ，若MA BC MB MC ⋅>⋅，则实数λ的取值范围是___________.【答案】1⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据CM CB λ=可得1x y λλ=-⎧⎨=⎩，再表示出MA MB MC BC ，，，坐标，由条件可得2220x y y +-≤，再将1x y λλ=-⎧⎨=⎩代入可得关于λ的不等式，从而可得答案.【详解】解析：设点(),M x y ，由CM CB λ=，得()()1,1,1x y λ-=-，所以1x y λλ=-⎧⎨=⎩.因为MA BC MB MC ⋅>⋅，所以()()()()1,11,1,11,x y x y x y --⋅-≥----，即2211x y x x y y --+≥-+-+，化简得2220x y y +-≤将1x y λλ=-⎧⎨=⎩代入2220x y y +-≤，得()22120λλλ-+-≤，即22410λλ-+≤，解得11λ≤≤+因为M 为线段BC 上一点，且CM CB λ=，所以01λ≤≤.综上，可知11λ≤≤.故实数λ的取值范围是1⎡⎤⎢⎥⎣⎦.4．（江苏高考真题）在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为与OC 的夹角为α，且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45∘，若OC =mOA +nOB (m,n ∈R )，则m +n =_________．【答案】3【解析】以OA 为x 轴，建立直角坐标系，则A (1,0)，由OC 的模为2与OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7知，cos α=210,sinα=210 ，可得B (cos(α+45∘),sin (α+45∘))，∴B ―35,，由OC =mOA +nOB可得=m ―35n,45n=m ―35n75=45nm =54,n =74，∴m +n =3，故答案为3.5．（2021·福建漳州市·高一期末）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m =，()sin ,cos n x x = ，()0,x π∈．若//m n u r r，则x =______；若存在两个不同的x 值，使得n m t n += 恒成立，则实数t 的取值范围为______．【答案】34π)2．【解析】根据向量平行的坐标表示可求34x π=；用坐标表示出n m t n += ，结合三角函数的图象可得实数t 的取值范围.【详解】x x =，则tan 1x =-，又()0,x π∈，则34x π=；计算得sin ,cos m n x x +=+ ，则m n +== ，又存在两个不同的x 值，使得n m t n +=恒成立，则t =()0,π上有两个不同的解，令()22sin ,0,4y x x ππ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，由()0,x π∈，得3,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，2t <<．故答案为：34π；)2．6．（2021·天津滨海新区·高一期末）已知四边形ABCD ，0AB BC ⋅= ，AD BC λ=u u u r u u u r，1AB AD ==，且||||CB CD CB CD ⋅= ，（i ）λ=___________；（ii ）若2DE EC = ，动点F 在线段BE 上，则DF FC ⋅ 的最大值为___________.【答案】12 613 【解析】利用向量的数量积可得4BCD π∠=，过点D 作BC 的垂线，垂足为O ，可得1DO OC ==，进而可得2BC AD =，求出λ；以B 为坐标原点，,BC BD 为,x y 建立平面直角坐标系，首先求出点E 坐标，设(),F x y ，利用向量共线求出5x y =，再由向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】由||||CB CD CB CD ⋅= 1212cos e e e e BCD ⋅=∠= 因为[]0,BCD π∠∈，所以4BCD π∠=，过点D 作BC 的垂线，垂足为O ，可得1DO OC ==，因为1AB AD ==，所以2BC AD =，由AD BC λ=u u u r u u u r ，所以12λ=.以B 为坐标原点，,BC BD 为,x y 建立平面直角坐标系，如图：则()1,1D ，()2,0C ，设(),E m n由2DE EC =，即()()1,122,0m n m n --=--，解得51,33m n ==，即51,33E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),F x y ，503x ≤≤，103y ≤≤， 则51,33BE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),BF x y = ，因为,,B F E 三点共线，所以5133y x =，即5x y =，()1,1DF x y =-- ，()2,FC x y =-- ，所以()()()()()21215125DF FC x x y y y y y y⋅=--+-=--+- 224626162261313y y y ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭，当413y =时，DF FC ⋅ 取得最大值为613.故答案为：12；6137．（2021·全国高一专题练习）已知A (-2，4)，B (3，-1)，C (-3，-4).设,,AB a BC b CA c === ，且3,2CM c CN b ==- .（1）求33a b c +-；（2）求满足a mb nc =+ 的实数m ，n ；（3）求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标.【答案】（1）(6，-42)；（2）11m n =-⎧⎨=-⎩；（3）M (0，20)，N (9，2)，(9,18)MN =- .【解析】（1）利用向量加、减、数乘的坐标运算即可求解.（2）利用向量加法的坐标运算以及向量相等即可求解.（3）利用向量减法的坐标运算即可求解.【详解】由已知得a =(5，-5)，b =(-6，-3)，c=(1，8).（1）33a b c +-=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42).（2）∵mb nc + =(-6m +n ，-3m +8n )，∴65385m n m n -+=⎧⎨-+=-⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩.（3）设O 为坐标原点，∵3CM OM OC c =-=，∴3OM c OC =+ =(3，24)+(-3，-4)=(0，20).∴M (0，20).又∵2CN ON OC b =-=- ，∴2ON b OC =-+=(12，6)+(-3，-4)=(9，2)，∴N (9，2)，∴MN =(9，-18).8．（2021·全国高一课时练习）已知△ABC 的面积为S 23S ≤≤，且AB ·BC ＝3，AB 与BC 的夹角为θ.求AB 与BC 夹角的取值范围．【答案】,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】可设AB 与BC 夹角为θ，则据题意得出θ为锐角，且3||||cos AB BC θ= ，从而根据ABC V 的面积32S ∈tan 1θ…，这样根据正切函数在(0,2π的单调性即可求出θ的范围．【详解】解：Q 3AB BC ⋅= ，∴,AB BC 的夹角为锐角，设,AB BC 的夹角为θ，则：||||cos 3AB BC θ= ，∴3||||cos AB BC θ=，又3]2S ∈；∴()13||||sin 22AB BC πθ- …，∴13||||sin 22AB BC θ …，∴33tan 22θ…，∴tan 1θ…，∴64ππθ……，∴AB 与BC 夹角的取值范围为[,]64ππ．9．（2021·全国高一专题练习）已知O ，A ，B 是不共线的三点，且(,)OP mOA nOB m n R =+∈ （1）若m +n =1，求证：A ，P ，B 三点共线；（2）若A ，P ，B 三点共线，求证：m +n =1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由1m n +=原式可代换为()1OP mOA m OB =+- ，再由()1OP m m OP =+-⎡⎤⎣⎦ ，两式联立变形即可求证；（2）由A ，P ，B 三点共线，可得AP PB λ= ，变形得()OP OA OB OP λ-=- ，整理成OP 关于,OA OB 的表达式，再结合OP mOA nOB =+ ，由对应关系即可求证【详解】（1）证明：若m +n =1，则()1OP mOA m OB =+- ，()1OP m m OP =+-⎡⎤⎣⎦ ，故()()11mOP m OP mOA m OB +-=+- ，即()()()1m OP OA m OB OP -=-- ，()1mAP m PB =- ，即,AP BP 共线，又,AP BP 有公共点，则A ，P ，B 三点共线；（2）证明：若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使得AP PB λ= ，变形得()OP OA OB OP λ-=- ，即()1OP OB OA λλ+=+ ，111OB OA OB OA OP λλλλλ+==++++ ，又OP mOA nOB =+ ，1111λλλ+=++，故1m n +=10．（2021·北京首都师大二附高一期末）在△ABC 中.∠BAC =120°，AB =AC =1（1）求AB BC ⋅ 的值；（2）如图所示，在直角坐标系中，点A 与原点重合，边AB 在x 轴上，设动点P 在以A 为圆心，AB 为半径的劣弧BC 上运动.求⋅ BP CP 的最小值.【答案】（1）32-；（2）12-.【解析】（1）由()10B ,，12C ⎛- ⎝，利用坐标公式求得数量积即可.（2）设点P 坐标为()2cos ,sin 03πθθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，求得⋅ BP CP 1sin 26πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的最值求得数量积的最值.【详解】解：（1）()10B ,，12C ⎛- ⎝，AB BC ⋅ ()331,022⎛=⋅-=- ⎝.（2）点P 在以A 为圆心，AB 为半径的劣弧BC 上运动，设点P 坐标为()2cos ,sin 03πθθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，又()10B ,，12C ⎛- ⎝，⋅ BP CP ()1cos 1,sin cos ,sin 2θθθθ⎛=-⋅+ ⎝2211cos cos cos sin 22θθθθθ=-+-+1sin 26πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又203πθ≤≤，则5666πππθ≤+≤1sin 126πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故当sin 16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，⋅ BP CP 有最小值12-.1.（2019·全国高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t )，=1，则=（ ）A ．-3B ．-2C ．2D ．3【答案】C【解析】由，，得，则，．故选C ．2.（2021·全国高考真题（理））已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥ ，则k =________．【答案】103-.【解析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+ Q ,(),33110a c a c k ⊥∴=++⨯=Q n ，解得103k =-,故答案为：103-.3．（2021·全国高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b == ，若()a b b λ-⊥ ，则λ=__________．【答案】35AB AC ||BC AB BC ⋅(1,3)BC AC AB t =-=- 1BC == 3t =(1,0)BC = (2,3)(1,0)21302AB BC ⋅=⋅=⨯+⨯=u u u r u u u r 练真题【解析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=-- ，所以由()a b b λ-⊥ 可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．4.（2021·全国高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ== ，若//a b r r ，则λ=_________．【答案】85【解析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=，解方程可得：85λ=.故答案为：85.5.（2018·北京高考真题（文））（2018年文北京卷）设向量a=（1,0），b=（−1,m ）,若a ⊥(ma ―b )，则m =_________.【答案】-1.【解析】∵a =(1,0),b =(―1,m )，∴ma ―b =(m ,0)―(―1,m )=(m +1,―m )，由a ⊥(ma ―b )得：a ⋅(ma ―b )=0，∴a ⋅(ma ―b )=m +1=0，即m =―1.6．（2020·北京高考真题）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD = _________；PB PD ⋅= _________．1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=- ，()0,1PB =- ，因此，PD == ，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=- .1-.。

第5课时平面向量的坐标表示及其运算1.掌握向量的正交分解及坐标表示,理解直角坐标系中的特殊意义.2.理解向量坐标的定义,并能正确用坐标表示坐标平面上的向量,对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示平面向量共线的条件.足球运动员在踢足球的过程中,将球踢出时的一瞬间的速度为υ.能否建立适当的坐标系,表示踢出时的水平速度和竖直速度?能不能用水平方向和竖直方向的单位向量来表示这个速度呢?问题1:平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量的线性表示,叫作向量的正交分解,向量的正交分解是平面向量基本定理的特例,即当基底e1、e2时的情况.问题2:平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,如图,以坐标原点O为起点作=a,由平面向量基本定理可知,一对实数x,y,使得= ,因此a=xi+yj.我们把实数对叫作向量a的坐标,记作.问题3:平面向量在坐标表示下的线性运算(1)向量和的坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= .即两个向量的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.(2)向量差的坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b= .即实数与向量的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.(3)实数与向量的积的坐标运算:设λ∈R,a=(x,y),则λa=.即实数与向量的乘积的坐标分别等于实数与相应坐标的乘积.(4)的坐标表示:若A(x1,y1),B(x2,y2),则=-= .即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起点的相应坐标.问题4:如何用坐标表示两个平面向量共线?由向量的共线定理可知:若a,b(b≠0)共线,则存在唯一的实数使得.设a=(x1,y1),b=(x2,y2)≠0,则(x1,y1)=λ(x2,y2)=,得即两式相减消去λ得,这就是两个向量平行的条件.由于规定向量可与任一向量平行,所以在应用时可以去掉b≠0,即:当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a,b 共线.若x2≠0,且y2≠0(也可写作x2y2≠0),则x1y2-x2y1=0可以写成(两向量平行的条件是相应坐标).1.已知i、j分别为与x轴正方向、y轴正方向相同的两个单位向量,若a=(3,4),则a可以用i、j表示为().A.a=3i+4jB.a=3i-4jC.a=-3i+4jD.a=4i+3j2.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b=().A.(-2,-4)B.(-3,-6)C.(-4,-8)D.(-5,-10)3.设a=(1,2),b=(2,3),若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,则λ=.4.(1)设向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求a+b,a-b,2a+3b.(2)设a,b,c的坐标分别是(1,-3),(-2,4),(0,5),求3a-b+c的坐标.平面向量的正交分解在直角坐标系xOy中,向量a,b的位置如图所示,已知|a|=4,|b|=3,且∠AOx=45°,∠OAB=105°,分别求向量a,b的坐标及A、B点的坐标.平面向量的坐标运算已知点A(-1,2),B(2,8)及=,=-,求点C、D和的坐标.平行向量的坐标运算已知四边形ABCD的顶点依次为A(0,-x),B(x2,3),C(x,3),D(3x,x+4),若AB∥CD,求x的值.在平面内以点O的正东方向为x轴的正方向,正北方向为y轴的正方向建立直角坐标系.质点在平面内做直线运动.分别求下列位移向量的坐标.(1)用向量表示沿东北方向移动了2个长度单位;(2)用向量表示沿西偏北60°方向移动了3个长度单位;(3)用向量表示沿东偏南30°方向移动了4个长度单位.已知A、B、C的坐标分别为A(2,-4)、B(0,6)、C(-8,10),求向量+2-的坐标.已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?1.设向量=(-2,-5),若点A的坐标为(3,7),则点B的坐标为().A.(5,12)B.(12,5)C.(2,1)D.(1,2)2.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为().A.(,-)B.(,-)C.(-,)D.(-,)3.已知边长为单位长度的正方形ABCD,若A与坐标原点重合,边AB,AD分别落在x轴、y轴正方向上,则向量2+3+的坐标为.4.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为(-2,1)、(-1,3)、(3,4),求顶点D 的坐标.(2013年·陕西卷)已知向量a=(1,m),b=(m,2), 若a∥b,则实数m等于().A.-B.C.-或D.0考题变式(我来改编):答案第5课时平面向量的坐标表示及其运算知识体系梳理问题1:相互垂直垂直问题2:有且仅有xi+yj (x,y)a=(x,y)问题3:(1)(x1+x2,y1+y2)(2)(x1-x2,y1-y2)(3)(λx,λy)(4)(x1-x2,y1-y2)问题4:a=λb(λx2,λy2)λx2λy2x1y2-x2y1=0零=成比例基础学习交流1.A a=(3,4)=3i+4j.2.C由a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,得1×m=2×(-2)⇒m=-4,从而b=(-2,-4),那么2a+3b=2×(1,2)+3×(-2,-4)=(-4,-8).3.2∵λa+b=(λ+2,2λ+3)与c=(-4,-7)共线,∴(λ+2)×(-7)-(2λ+3)×(-4)=0,解得λ=2.4.解:(1)a+b=(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3),a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7),2 a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)=(-2+9,4-15)=(7,-11).(2)3a-b+c=3(1,-3)-(-2,4)+(0,5)=(3,-9)-(-2,4)+(0,5)=(3+2+0,-9-4+5)=(5,-8).重点难点探究探究一:【解析】设a=(a1,a2),b=(b1,b2),∵∠AOx=45°,∴a1=|a|cos 45°=4×=2,a2=|a|sin 45°=4×=2,∴a=(2,2)=,∴A点的坐标为(2,2).将b的起点平移至原点,令b的终点为B',由题意可知∠B'Ox=120°,所以b1=|b|cos 120°=3×(-)=-,b2=|b|sin 120°=3×=,∴b=(-,).又∵b==-,∴=b+=(2-,2+).故a=(2,2),b=(-,),A点的坐标为(2,2),B点的坐标为(2-,2+).【小结】(1)相等向量的坐标是相同的,而它们的起点、终点坐标可以不同.在解决很多问题时,常常需要把始点不在原点的向量移到原点.(2)起点在原点的向量终点坐标即为向量坐标,起点不在原点的向量的坐标为终点坐标减去起点坐标.求终点坐标时可用起点坐标加上向量坐标.(3)若已知向量a=(x,y),a的模为|a|,a的方向与x轴正方向的夹角为θ,由三角函数的定义可知,x=|a|cos θ,y=|a|sin θ.要注意公式中的θ是向量a的方向与x轴正方向的夹角.探究二:【解析】设点C(x1,y1),D(x2,y2),由题意得=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),∵=,=-,∴(x1+1,y1-2)=(3,6)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6)=(1,2),则有和解得和∴点C、D的坐标分别为(0,4)和(-2,0), =(-2,-4).【小结】求点的坐标时,可先设点的坐标,根据题中给出的关系,列出方程组求解即可.探究三:【解析】∵AB∥CD,∴∥,又∵=(x2,x+3),=(2x,x+1),∴x2(x+1)-2x(x+3)=0,解得x=-2或x=0或x=3.[问题]上述解法正确吗?[结论]不正确,错误一:没有注意四边形ABCD顶点的顺序,需满足,反向才行.错误二:没有注意向量的平行与线段平行的不同,∥时,AB与CD可能平行也可能重合.于是,正确解答如下:=(x2,x+3),=(2x,x+1),∵在四边形ABCD中,AB∥CD,∴与平行且反向.于是解得x=-2.经检验,x=-2满足题意.【小结】两个向量平行包括它们对应的有向线段不共线和共线两种情况,但在含有几何背景的向量平行中就要排除共线的情况,如本题中要保证ABCD是四边形就要注意向量,不能在同一条直线上且反向平行.思维拓展应用应用一:设(1)(2)(3)中的向量分别为=a,=b,=c,并设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3).(1)如图,因为∠POP'=45°,||=2,所以a==+=i+j,所以a=(,).(2)因为∠QOQ'=60°,||=3,所以b==+=-i+j,所以b=(-,).(3)因为∠ROR'=30°,||=4,所以c==+=2i-2j,所以c=(2,-2).应用二:A(2,-4)、B(0,6)、C(-8,10),得=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),∴+2-=(-2,10)+2(-8,4)-(-10,14)=(-2,10)+(-16,8)-(-5,7)=(-18,18)-(-5,7)=(-13,11).应用三:(法一)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).∵(ka+b)∥(a-3b),∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-.此时ka+b=(--3,-+2)=(-,)=-(10,-4)=-(a-3b).∴k=-,且此时ka+b与a-3b平行,并且反向.(法二)由题意知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,使ka+b=λ(a-3b),由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),∴解得∴当k=-时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=-(a-3b).∵λ=-<0,∴它们的方向相反.∴k=-,此时ka+b与a-3b平行,并且反向.基础智能检测1.D设点B的坐标为(x,y),则=(x,y),=(3,7),=-=(x-3,y-7)=(-2,-5),∴解得2.A=(3,-4),所以||=5,这样同方向的单位向量是=(,-),选A.3.(3,4)如图,建立直角坐标系,有A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),即=(1,0),=(0,1),=(1,1),则有2+3+=(2,0)+(0,3)+(1,1)=(3,4).4.解:设顶点D的坐标为(x,y).∵=(-1-(-2),3-1)=(1,2),=(3-x,4-y),由=,得(1,2)=(3-x,4-y).∴∴∴顶点D的坐标为(2,2).全新视角拓展C因为a=(1,m),b=(m,2),且a∥b,所以1·2=m·m⇒m=±,所以选C.思维导图构建xi+yj (x,y)(x1±x2,y1±y2)(λx1,λy1)(x2-x1,y2-y1)x1y2=x2y1。

备课资料一、求点P 分有向线段所成的比的几种求法(1)定义法:根据已知条件直接找到使P 1=λ2PP 的实数λ的值.例1 已知点A.(-2,-3),点B(4,1),延长A.B 到P,使||=3||,求点P 的坐标.解：因为点在A.B 的延长线上,P 为的外分点,所以=λ,λ＜0,又根据||=3||,可知λ=-3,由分点坐标公式易得P 点的坐标为(7,3).(2)公式法:依据定比分点坐标公式. x=λλ++121x x ,y=λλ++121y y ,结合已知条件求解λ. 2.已知两点P 1(3,2),P 2 (-8,3),求点P(21,y)分21P P 所成的比λ及y 的值. 解：由线段的定比分点坐标公式,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯+=+-+=.132,1)8(321λλλλy 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.2249,175y λ 二、备用习题1.已知a =(3,-1),b =(-1,2),则-3a .-2b 等于( )A.(7,1)B.(-7,-1)C.(-7,1)D.(7,-1)2.已知A.(1,1),B(-1,0),C(0,1),D(x,y),若和是相反向量,则D 点的坐标是( )A.(-2,0)B.(2,2)C.(2,0)D.(-2,-2)3.若点A.(-1,-1),B(1,3),C(x,5)共线,则使=λ的实数λ的值为( )A.1B.-2C.0D.24.设a =(23,sinα),b =(c osα,31),且a .∥b ,则α的值是( ) A.α=2kπ+4π(k ∈Z ) B.α=2kπ-4π(k ∈Z) C.α=kπ+4π(k ∈Z ) D.α=kπ-4π(k ∈Z ) 5.已知A.、B 、C 三点共线,且A.(3,-6),B(-5,2),若C 点的横坐标为6,则C 点的纵坐标为( )A.-2B.9C.-9D.136.若A.(2,3),B(x,4),C(3,y),且AB =2,则x=___________,y=________________.7.已知ABCD 中,AD =(3,7),AB =(-2,1),则CO 的坐标(O 为对角线的交点)为__________.8.向量=(k,12),=(4,5),OC =(10,k),当k 为何值时,A.、B 、C 三点共线?9.已知点A.(2,3),B(5,4),C(7,10),若=+λAC (λ∈R ),试问:当λ为何值时,点P 在第一与第三象限的角平分线上?当λ在什么范围内取值时,点P 在第三象限内?10.如图7所示,已知△A.OB 中,A.(0,5),O(0,0),B(4,3),=41OA ,OD =21OB ,A.D 与BC 相交于点M,求点M 的坐标.图711.已知四边形A.BCD 是正方形,BE ∥A.C,A.C=CE,EC 的延长线交BA.的延长线于点F,求证:A.F=A.E.参考答案:1.B2.B3.D4.C5.C6.427 7.(-21,-4) 8.解：∵OA =(k,12),OB =(4,5),=(10,k)， ∴AB =OB -OA =(4-k,-7),=-OB =(6,k-5). ∵∥BC ,∴(4-k)(k-5)+7×6=0.∴k 2-9k-22=0.解得k=11或k=-2.9.解：∵AB =(3,1),=(5,7), ∴+λ=(3+5λ,1+7λ).而=+λ(已知), ∴OP =OA +=(2,3)+(3+5λ,1+7λ)=(5+5λ,4+7λ).(1)若点P 在第一与第三象限的角平分线上,则5+5⇒+=λλ74;21=λ (2)若点P 在第三象限内,则).1,(074055--∞∈⇒⎩⎨⎧<+<+λλλ 10.解：∵=41=41(0,5)=(0,45),∴C(0,45). ∵OD =21OB =21(4,3)=(2,23),∴D(2,23). 设M(x,y),则AM =(x,y-5),AD =(2-0,23-5)=(2,-27). ∵AM ∥AD ,∴-27x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.①又CM =(x,y-45),CB =(4,47), ∵∥CB ,∴47x-4(y-45)=0,即7x-16y=-20.② 联立①②,解得x=712,y=2，故点M 的坐标为(712,2). 11.证明:建立如图8所示的直角坐标系,为了研究方便,不妨设正方形A.BCD 的边长为1,则B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(x,y),这里y ＞0,于是=(1,1),=(x-1,y).图8 ∵AC ∥BE ,∴1×y-(x-1)×1=0y=x-1.①∵A.C=OC=CE(已知),∴CE 2=OC 2(x-1)2+(y-1)2=2.②由y ＞0,联立①②,解得x=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.231,233y x即E(231,233++). A.E=OE=22)231()233(+++=3+1.设F(t,0),则FC =(1-t,1),=)231,231(+-+.∵F 、C 、E 三点共线,∴FC ∥.∴(1-t)×231231+-+-×1=0,即t=-1-3.∴AF=OF=1+3.∴AF=AE(设计者：陆萍)。

平面向量的坐标运算一、知识精讲1.平面向量的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2.平面向量的坐标表示(1)向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i、j 作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y 使得a＝xi＋yj，则把有序数对(x，y)叫做向量a 的坐标．记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示．(2)在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．3．平面向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.[小问题·大思维]1.与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？提示：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．2.已知向量OM ＝(－1，－2)，M 点的坐标与OM 的坐标有什么关系？提示：坐标相同但写法不同；OM ＝(－1，－2)，而M(－1，－2)．3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量．4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？提示：不发生变化。

向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变．5 x1 y1．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，是否有＝成立？x2 y2x1 y1提示：不一定．由于＝的意义与x1y2－x2y1＝0 的意义不同，前者不x2 y2允许x2和y2为零，而后者允许，当x1＝x2＝0，或y1＝y2＝0 或x2＝y2＝0 时，a∥bx1 y1但＝不成立．x2 y2二、典例精析例1、如图所示，已知△ABC，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D 分别是AB，AC，BC 的中点，且MN 与AD 交于点F，求DF 的坐标．变式练习：若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c 等于( )A1 3 1 3 3 1 3 1 ．－a＋b B. a－b C. a－b D．－a＋b2 2 2 2 2 2 2 2答案：B例2、已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及OP ＝OA＋t AB .(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？(2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 值；若不能，说明理由．保持例题条件不变，问t 为何值时，B 为线段AP 的中点？变式练习：已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标．(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c 的坐标．例3、已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k 为何值时，ka＋b 与a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？保持例题条件不变，是否存在实数k，使a＋kb 与3a－b 平行？变式练习已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断AB 与CD是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？例4、(1)已知OA＝(3,4)，OB＝(7,12)，OC ＝(9,16)，(1)求证：A，B，C 三点共线；(2)设向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC ＝(10，k)，当k 为何值时，A，B，C 三点共线？变式练习设A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x 为何值时，AB 与CD共线且方向相同，此时，A，B，C，D 能否在同一条直线上？例5、如图所示，已知点A(4,0)，B(4，4)，C(2,6)，求AC 和OB 交点P 的坐标．变式练习：1 1在△AOB 中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，OC ＝4OA，OD＝2OB，AD与BC 交于点M，求点M 的坐标．三、课后检测一、选择题1．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；②a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；③若a＝(x，y)，且a≠0，则a 的始点是原点O；④若a≠0，且a 的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．其中，正确结论的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：由平面向量基本定理可知，①正确；②不正确．例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a 的始点是不是原点无关，故③错误；a 的坐标与终点坐标是以a 的始点是原点为前提的，故④错误．答案：B2．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，若ma＋nb＝(10,0)(m，n∈R)，则( )A．m＝2，n＝4 B．m＝3，n＝－2C．m＝4，n＝2 D．m＝－4，n＝－2解析：∵ma＋nb＝m(3，－1)＋n(－1,2)＝(3m－n，－m＋2n)＝(10,0)，∴Error!∴m＝4，n＝2.答案：C3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A．(2,6) B．(－2,6)C．(2，－6) D．(－2，－6)解析：∵四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a＋(4b－2c) ＋2(a－c)＋d＝0，∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．答案：D4．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)满足(ka＋b)∥c，则k＝( )A．3 B．－31 C. 31 D．－3解析：ka＋b＝(k－1，k＋1)，22由(ka ＋b )∥c ，得 2(k －1)－4(k ＋1)＝0，解得 k ＝－3. 答案：B5．已知四边形 ABCD 的三个顶点 A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且 BC ＝2 AD ，则顶点 D 的坐标为()A.(2，7 )B.(2，－1)C ．(3,2)D ．(1,3)解析：令 D (x ，y )，由已知得Error! 7解得Error!∴顶点 D 的坐标为(2， )．2答案：A6．若 A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则 y ＝( )A ．13B ．－13C ．9D ．－9解析： AB ＝(－8,8)， AC ＝(3，y ＋6)． ∵ AB ∥ AC ，∴－8(y ＋6)－24＝0. ∴y ＝－9. 答案：D17.已知 a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝(1＋cos θ，－ )，且 a ∥b ，则锐角 θ 等于( )4 A ．45° B ．30° C ．60°D ．30°或 60°1 解析：由 a ∥b 得－2×(－ )＝1－cos 2θ＝sin 2θ，4 2∵θ 为锐角，∴sin θ＝ 2，∴θ＝45°.答案：A 二、填空题8. 已知向量 a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)，且 a ∥b ，则 tan θ＝.解析：∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ. 1即 4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝ .41 答案：49．已知向量 a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则 m ＝.解析：a＋b＝(2－1，－1＋m)＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c，得1×2－(m－1)×(－1)＝0，即m＝－1.答案：－110.已知点A(－1，－1)、B(1,3)、C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有OC ＝λOA ＋(1－λ) OB ，λ∈R，则x＝.解析：取点O(0,0)，由OC ＝λOA ＋(1－λ)OB ，得(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴Error!解得Error!答案：211.已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b 的起点为A(1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为．解析：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设点B 坐标为(x，y)，则AB―→＝(x－1，y－2)＝b.由Error!⇒Error!①又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0 或3λ＋2＝0，1 2∴λ＝或λ＝－，代入①式得2 37 7B 点坐标为(0，)或( ，0)．2 37 7答案：(0，)或( ，0)2 3三、解答题1AC ，BF ＝12.已知A、B、C 三点的坐标为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE ＝31BC ，求证：EF ∥ AB .3证明：设E、F 的坐标分别为(x，y1)、(x2，y2)，1依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)．1AC ，∵ AE ＝31∴(x1＋1，y1)＝(2,2)．31 2∴点E 的坐标为(－，)．3 37 8 2同理点F 的坐标为( ，0)，EF ＝( ，－)．3 3 38 2又×(－1)－4×(－)＝0，∴ EF ∥ AB .3 313．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，回答下列问题：(1)求3a＋b－2c；(2)求满足a＝mb＋nc 的实数m，n；(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.解：(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a＝mb＋nc，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．5 8∴－m＋4n＝3 且2m＋n＝2，解得m＝，n＝.9 9(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.16∴k＝－.13。