实变函数证明题大全(期末复习)

实变函数考试重点题目第一章：求极限 Eg ：求1(,)n A n n=的上下极限下极限1111lim inf (,)(,)(0,)n nm n m m A n m n m ∞∞∞======+∞上极限1111lim sup (,)(,)(0,)n nm n mm A n m n m ∞∞∞======+∞P24页 第5题5、设F 是]1,0[上全体实函数所构成的集合,c F 2=.证明：(1)设)(x E χ为E 的示性函数,]}1,0[|{⊂=E E A ,F E x B E ⊂⊂=]}1,0[|)({χ,显然B A ~,于是F B A c ≤==2；(2)设]}1,0[|))(,{(∈=x x f x G f ,}|{F f G C f ∈=,}]1,0[|{R ⨯⊂=P P D ,显然D C F ⊂~,于是cD C F 2=≤=,总之,c F 2=.P30页 定理1 定理2 P35页 第2 12题2.设一元实函数)()(R C x f ∈⇒R ∈∀a ,})(|{a x f x G >=是开集,})(|{a x f x F ≥=是闭集.证明：(1)G x ∈∀0,取0)(0>-=a x f ε,因)()(0x C x f ∈,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s δ<-||0x x 时, ε<-|)()(|0x f x f ,即a x f x f =->ε)()(0,从而G x N ⊂),(0δ,所以G 是开集.(2)F x '∈∀0,∃互异点列F x k ⊂}{..t s 0x x k →,显然a x f k ≤)(,因)()(0x C x f ∈,有a x f x f k k ≤=∞→)(lim )(0,即F x ∈0,于是F F ⊂',所以所以F 是闭集.12、设实函数)()(nC x f R ∈⇔O ∈∀G ,O ∈-)(1G f.证明：“⇒”O ∈∀G ,)(10G fx -∈∀,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε, 从而)(1G fx -∈,于是)(),(10G fx N -⊂δ,所以O ∈-)(1G f.“⇐”n x R ∈∀0,0>∀ε,由于O ∈=)),((0εx f N G , 那么O ∈∈-)(10G fx ,这样0>∃δ..t s )(),(10G fx N -⊂δ,从而)(),(10G f x N x -⊂∈∀δ,均有)),(()(0εx f N x f ∈,即)()(nC x f R ∈.P42页 定理4P44页 定理2 定理3定理2：∀非空n E R ⊂,0>∀d ,}),(|{d E x x U <=ρ ⇒ O ∈⊂U E . 证明：显然U E ⊂.U x ∈∀,取0),(>-=E x d ρδ,),(δx U y ∈∀,有d E x E x x y E y =+<+≤),(),(),(),(ρδρρρ可见U y ∈,这样U x U x ⊂∈),(δ, ∴O ∈⊂U E .P45页 第5.6题5、设非空n E R ⊂,则),(E P ρ在n R 上一致连续.证明：0>∀ε,取εδ=,n Q P R ∈∀,,只要δρ<),(Q P ,由于),(),(),(E Q Q P E P ρρρ+≤,),(),(),(E P P Q E Q ρρρ+≤,有ερρρ<≤-),(|),(),(|Q P E Q E P ,所以, ),(E P ρ在n R 上一致连续.6、∀非空⊕C ∈21,F F ⇒)()(nC P f R ∈∃..t s 1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.证明：显然)(),(),(),()(211nC F P F P F P P f R ∈+=ρρρ,1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.P54页 定理（3）（4） P57页 第5 7题5、设实函数)(x f 在],[b a 上连续,}),(|),{(b x a x f y y x E ≤≤==,证明0*=E m . 证明：因为],[)(b a C x f ∈,于是)(x f 在],[b a 上一致连续,那么0>∀ε, 0>∃δ, ..t s 当δ<-||t s ,时,ε<-|)()(|s f t f .取δ<-na b ,将],[b a 进行n 等分,其分点为b x x x a n =<<<= 10,记],[1i i i x x I -=,])(,)([εε+-=i i i x f x f J ,显然,)(}),(|),{(11ni i ini i J II x x f y y x E ==⨯⊂∈==,∑∑==⨯=⨯≤≤ni i ini i iJ m Im J Im E m 11*)]()([)(0εε)(2)2(1a b na b ni -=⋅-=∑=,于是,由ε的任意性,知0*=E m .7、0*>E m ,证明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .证明：反证.假设E x ∈∀,0>∃x δ,使得0)),((*=x x N E m δ ,当然存在以有理数为端点的区间x I ..t s ),(x x x N I x δ⊂∈,由于}{x I 至多有可数个,记作}{k J ,有)(1∞=⊂k kJE E 那么0)(01**=≤≤∑∞=k k J E mE m ,这与条件0*>E m 不符,说明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .P65页 定理5 定理6 P68页 第4 5 9 11题4、设M ⊂}{m E ,证明m mm mmE E m inf lim )inf lim (≤.又+∞<∞=)(1m m E m ,证明m mm m mE E m sup lim )sup lim (≥.证明：因m m k k E E ↑⊂∞= ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m inf lim lim)()inf lim (1≤==∞=∞→∞=∞=.又因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<∞=)(1 m m E m ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m sup lim lim)()sup lim (1≥==∞=∞→∞=∞=.5、设M ⊂}{m E ,+∞<∑∞=1)(m m E m ,证明0sup lim =m mmE .证明：因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<≤∑∞=∞=11)()(m mm m Em E m ,有0)(lim)(lim )()sup lim (01=≤==≤∑∞=∞→∞=∞→∞=∞=mk km mk k m m mk km mEm E m E m E m,所以0sup lim =m mmE .P103页 第2题2、证明当)(x f 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时,)(x f 也是21E E 上的非负可测函数. 证明：由条件知 R ∈∀a ,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[1,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[2,于是],)(;[21E E x a x f x E ∈>n E x a x f x E E x a x f x E M ∈∈>∈>=],)(;[],)(;[11 所以)(x f 也是21E E 上的非负可测函数.P104页 第6 11题6、设实函数)()(n C x f R ∈,证明:M ∈∀E ,均有)()(E x f M ∈. 证明：M ∈∀E ,R ∈∀a ,显然O ∈+∞=),(a G ,下面证明M ∈-)(1G f.},)(|{)(10nx a x f x G fx R ∈>=∈∀-,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,这样对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε,从而)(1G f x -∈,于是)(),(10G f x N -⊂δ,那么M O ⊂∈-)(1G f.由于M ∈=∈>=--)(},)(|{)(11G f E E x a x f x G f,所以)()(E x f M ∈.11、设)(x f 是E 上的可测函数,)(y g 是R 上的连续函数,证明)]([x f g 是E 上的可测函数.证明：R ∈∀a ,因)()(R C y g ∈,若O ∈-∞=),(a G ,有O ∈<=-})(|{)(1a y g y G g由于})]([|{a x f g x x <∈⇔a x f g <)]([⇔)()(1G g x f -∈⇔)]([11G gfx --∈,于是M ∈=<--)]([})]([|{11G gf a x fg x ,所以)()]([E x f g M ∈.P117页 第2题2、设K x f k ≤|)(|..e a E ,)()(x f x f mk →E x ∈, 证明K x f ≤|)(|..e a E . 证明：+∈∀N m ,当mx f x f k 1|)()(|<-,K x f k ≤|)(|时,mK x f x f x f x f k k 1|)(||)()(||)(|+<+-≤,于是]1|)(|;[m K x f x m mE m +≥= ]|)(|;[]1|)()(|;[K x f x m m x f x f x m k k >+≥-≤0]1|)()(|;[→≥-≤mx f x f x m k ,∞→k ,有0=m mE ,因↑}{m E ,有0lim ]|)(|;[==≥∞→m m E K x f x m 所以K x f ≤|)(|..e a E .课件 第四章第四节 倒数第2~5题3、定理：设)()(x f x f mk →,)()(x g x f mk →E x ∈, 则)(~)(x g x f E. 证明： +∈∀N k m ,, 若mx f x f k 21|)()(|<-,mx g x f k 21|)()(|<-,有mx g x f x f x f x g x f k k 1|)()(||)()(||)()(|<-+-≤-,于是 ]1|)()(|;[m x g x f x E ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[m x g x f x E m x f x f x E k k ≥-≥-⊂ ,从而]1|)()(|;[m x g x f x mE ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[mx g x f x mE m x f x f x mE k k ≥-+≥-≤000=+→, 又因∞=≥-=≠1]1|)()(|;[)]()(;[m mx g x f x E x g x f x E ,有 0)]()(;[=≠x g x f x mE ,所以)(~)(x g x f E.1、设)()(x f x f mk →,)()(x g x g mk →,E x ∈, 证明)()()()(x g x f x g x f mk k ++→. 证明：已知,0>∀σ,当2|)()(|σ<-x f x f k ,2|)()(|σ<-x g x g k ,时,σ<-+-≤+-+|)()(||)()(||)]()([)]()([|x g x g x f x f x g x f x g x f k k k k ,由于)()(x f x f m k →,)()(x g x g mk →,E x ∈,有]|)]()([)]()([|;[0σ≥+-+≤x g x f x g x f x m k k0]2|)()(|;[]2|)()(|;[→≥-+≥-≤σσx g x g x m x f x f x m k k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk k ++→.2、设)()(x f x f mk →,)()(E x g M ∈且几乎处处有限, 证明)()()()(x g x f x g x f mk →. 证明：已知,)()(x f x f mk →,)(x g 在E 上几乎处处有限,那么0>∀σ,0>∀ε,0>∃K ..t s2]|)()(|;[εσ<≥-Kx f x f x m k , 2]|)(|;[ε<≥K x g x m ]|)()()()(|;[σ≥-x g x f x g x f x m k ]]|)(||)()(|;[σ≥-≤x g x f x f x m k]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m K x f x f x m k ≥+≥-≤σεσ<≥+≥-≤]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m Kx f x f x m k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk →.3、设0)(→mk x f ,证明0)(2→mk x f .证明：已知,0)(→mk x f ,那么0>∀σ,0>∀ε,..t s εσ<≥-]|)()(|;[x f x f x m k ,有εσσ<≥=≥-]|)(|;[]|0)(|;[2x f x m x f x m k k ,所以0)(2→mk x f .。

复习题1 一、判断1、若N 是自然数集，e N 为正偶数集，则N 与e N 对等。

（对）2、由直线上互不相交的开间隔所成之集是至多可列集。

（对）3、若12,,,n A A A 是1R 上的有限个集，则下式()1212n n A A A A A A ''''+++=+++成立。

（对）4、任意多个开集的交集一定是开集。

（错）5、有限点集和可列点集都可测。

（对）6、可列个零测集之并不是零测集。

（对）7、若开集1G 是开集2G 的真子集，则一定有12mG mG <。

（错） 8、对于有界集1ER ⊆，必有*m E <+∞。

（对）9、任何点集E 上的常数函数()f x =C ，x E ∈是可测函数。

（错）10、由()f x 在()1,2,k E k = 上可测可以推出()f x 在1kk E E ∞==∑上可测。

（对）二、填空1、区间（0,1）和全体实数R 对等，只需对每个()0,1x ∈，令 ()tan()2x x πϕπ=-2、任何无限集合都至少包含一个 可数子集3、设12,S S 都可测，则12S S ⋃也可测，并且当12S S ⋂为空集时，对于任意集合T 总有***1212[()]()()m T S S m T S m T S ⋂⋃=⋂+⋂4、设E 是任一可测集，则一定存在F ∂型集F ，使F E ⊂，且 ()0m E F -=5、可测集n ER ⊂上的 连续函数 是可测函数。

6、设E 是一个有界的无限集合，则E 至少有一 个聚点。

7、设π是一个与集合E 的点x 有关的命题，如果存在E 的子集M ，适合mM=0，使得π在E\M 上恒成立，也就是说，E\E[π成立]= 零测度集 ，则我们称π在E 上几乎处处成立。

8、E 为闭集的充要条件是'(E E)E E ⊂∂⊂或 。

9、设A 、B 是两个非空集合，若,A B B A ≤≤，则有 A =B。

三、证明 1、证明：若A B ⊂，且~A A C ⋃，则有~B B C ⋃。

（完整版）实变函数期末复习实变函数期末复习选择题1．设,...,],)(,[21121=-+=n nA nn 则（）A.],[lim 10=∞→n n A B.],(lim 10=∞→n n A C.],(lim 30=∞→n n A D.),(lim 30=∞→n n A2.设N i i x i x A i ∈+≤≤=},:{23，则=∞=I 1i i A （） A.（-1,1） B.[0,1] C.? D.{0}3.集合E 的全体聚点所组成的集合称为E 的（）A.开集B.边界C.导集D.闭包4.若}{n A 是一闭集列，则Y ∞=1n n A是（）A.开集B.闭集C.既非开集又非闭集D.无法判断5若)(x f 可测，则它必是（）A.连续函数B.单调函数C.简单函数D.简单函数列的极限6关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（）A.简单函数一定是可测函数B.简单函数列的极限是可测函数C.简单函数与可测函数是同一概念D.简单函数列的极限与可测函数是同一概念7设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （）A.必可积B.必几乎处处有限C.必积分确定D.不一定积分确定8设E 是可测集，则下列结论中正确的是（）A.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB.若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a.e 收敛于)(x fC.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fD.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ?)(x f9设)(x f 是可测集E 上可积，则在E 上（）A.）（x f +与)(x f - 只有一个可积B.）（x f +与)(x f - 皆可积C.）（x f +与)(x f - 一定不可积D.）（x f +与)(x f - 至少有一个可积 10.)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为（）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数11设)(x D 为狄立克雷函数，则?=10)()(dx x D L （）A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在 12设}{nE 是一列可测集，ΛΛn E E E 21，且+∞<1mE ，则有（）（A ）n n n n mE E m ∞→∞==??? ???lim 1 (B) n n n n mE E m ∞→∞=≤??? ???lim 1 （C ）n n n n mE E m ∞→∞=∞→n n A lim( ) A 、Φ B 、[0, n] C 、R D 、(0, ∞)14设)1,0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ、填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=?B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=?B A5、若c A =, n B =, 则=?B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =?∞=n n A 1 7、设}{i S 是一列递增的可测集合，则=∞→)lim (n n S m _______。

1、设',()..E R f x E a e ⊂是上有限的可测函数,证明:存在定义在'R 上的一列连续函数{}n g ,使得lim ()()..n n g x f x a e →∞=于E 。

证明:因为()f x 在E 上可测,由鲁津定理就是,对任何正整数n ,存在E 的可测子集n E ,使得1()n m E E n-<, 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ,使得当n x E ∈时,有()()n g x f x =所以对任意的0η>,成立[||]n n E f g E E η-≥⊂-由此可得1[||]()n n mE f g n m E E n-≥≤-<,因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ⇒,由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ,使得lim ()()k n k g x f x →∞=,..a e 于E2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数,()g x 为[,]a b 上的可测函数,则(())f g x 就是可测函数。

证明:记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=,由于()f x 在1E 上连续,故对任意实数1,[]c E f c >就是直线上的开集,设11[](,)nn n E f c αβ∞=>=U ,其中(,)n n αβ就是其构成区间(可能就是有限个,nα可能为-∞nβ可有为+∞)因此222211[()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞∞==>=<<=><I U U 因为g 在2E 上可测,因此22[],[]n n E g E g αβ><都可测。

故[()]E f g c >可测。

3、设()f x 就是(,)-∞+∞上的实值连续函数,则对于任意常数a ,{|()}E x f x a =>就是一开集,而{|()}E x f x a =≥总就是一闭集。

《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

实变函数期末复习选择题1．设,...,],)(,[21121=-+=n nA nn 则 （ ） A.],[lim 10=∞→n n A B.],(lim 10=∞→n n A C.],(lim 30=∞→n n A D.),(lim 30=∞→n n A2.设N i i x i x A i ∈+≤≤=},:{23，则=∞=I 1i i A （ ） A.（-1,1） B.[0,1] C.∅ D.{0}3.集合E 的全体聚点所组成的集合称为E 的 （ ）A.开集B.边界C.导集D.闭包4.若}{n A 是一闭集列，则Y ∞=1n n A是 （ ）A.开集B.闭集C.既非开集又非闭集D.无法判断5若)(x f 可测，则它必是 （ ）A.连续函数B.单调函数C.简单函数D.简单函数列的极限 6关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是 （ ）A.简单函数一定是可测函数B.简单函数列的极限是可测函数C.简单函数与可测函数是同一概念D.简单函数列的极限与可测函数是同一概念7设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （ ）A.必可积B.必几乎处处有限C.必积分确定D.不一定积分确定8设E 是可测集，则下列结论中正确的是 （ ）A.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB.若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a.e 收敛于)(x fC.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fD.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x f9设)(x f 是可测集E 上可积，则在E 上 （ ）A.）（x f +与)(x f - 只有一个可积B.）（x f +与)(x f - 皆可积C.）（x f +与)(x f - 一定不可积D.）（x f +与)(x f - 至少有一个可积 10.)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为 （ ）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数11设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （ ）A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在 12设}{nE 是一列可测集，ΛΛ⊃⊃⊃⊃n E E E 21，且+∞<1mE ，则有 （ ）（A ）n n n n mE E m ∞→∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1 (B) n n n n mE E m ∞→∞=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃lim 1 （C ）n n n n mE E m ∞→∞=<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1; （D ）以上都不对 13设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim( ) A 、Φ B 、[0, n] C 、R D 、(0, ∞)14设)1,0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ、 填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 7、设}{i S 是一列递增的可测集合，则=∞→)lim (n n S m _______。

《实变函数》期末考试试题汇编目录《实变函数》期末考试模拟试题（一） (2)《实变函数》期末考试模拟试题（二） (7)《实变函数》期末考试模拟试题（三） (13)《实变函数》期末考试模拟试题（四） (18)《实变函数》期末考试模拟试题（五） (27)《实变函数》期末考试模拟试题（六） (30)《实变函数》期末考试模拟试题（七） (32)《实变函数》期末考试模拟试题（八） (36)《实变函数》期末考试模拟试题（九） (41)《实变函数》期末考试模拟试题（十） (47)《实变函数》期末考试题（一） (57)《实变函数》期末考试题（二） (63)《实变函数》期末考试模拟试题（一）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A ）(\)A B B A B ⋃=⋃ （B ）(\)A B B A ⋃= （C ）(\)B A A A ⋃⊆ （D ）(\)B A A ⊆ 2、若nE R ⊂是开集，则（ B ）（A ）E E '⊂ （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ）（A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ϕ是E 上的简单函数，则（ D ）（A ）()x ϕ是E 上的连续函数 （B ）()x ϕ是E 上的单调函数 （C ）()x ϕ在E 上一定不L 可积 （D ）()x ϕ是E 上的可测函数5、设E 是nR 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0Ef x x =⎰，则（ A ）（A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ）（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ⊂至少有一个内点，则（ B 、D ）（A ）*m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集3、设[,]E a b ⊂是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）（A ）()f z +和()f z -有且仅有一个在E 上L 可积 （B ）()f z +和()f z -都在E 上L 可积 （C ）()f z 在E 上不一定L 可积 （D ）()f z 在E 上一定L 可积5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ）（A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数 （B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 （C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 （D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B=C A B ⋂ 。

一、集合1、证明：(A B) C A (B C)；(A B) C (A C) (B C)。

2、证明：单调上升（下降）有上界（下界）的数列{xn}必有上确界（下确界），且sup{xn} limxn，nn（inf{xn} limxn）。

nn3、证明：若{An}单增，则limAn An；若{An}单减，则limAn An。

n n 1n n 1114、证明：E[f a] E[f a ]；E[f a] E[f a ]。

n 1n 1nn5、证明：任何无限集必与其一个真子集对等。

6、证明：若A是无限集，B是有限集或可数集，则A B A。

7、证明：有理数全体成一可数集。

8、证明：开区间(0,1)是一不可数集。

9、证明：无理数全体成一不可数集。

二、点集1、设A B，证明：A B ,A0 B0,A B。

2、证明： A A A。

3、设E是[0,1]中的全体有理点，求E在R内的E ,E0,E。

4、设E {(x,y)|0 x y 1}，求E在R内的全体内点集，外点集，界点集，聚点集，孤立点集。

5、设E R，证明：E是开集，E 和E是闭集。

6、证明开集的任意并、有限交仍为开集。

并举例说明开集的任意交不一定是开集。

7、证明开集与闭集的对偶性。

8、证明：点集F为闭集的充要条件是F F。

9、设f(x)是定义在R上的函数，则f(x)在其上连续的充要条件是：对任意开集G，点集n012220f 1(G) {x|f(x) G}是开集。

三、测度论n1、若E {(0,0, ,0)} R，求mE。

***2、证明：若A B，则mA mB。

3、若mA 0，则对任意B，证明：m*(A B) m*B。

4、若m*(E1E2) m*(E2E1) 0，证明：m*(E1 E2) m*(E1 E2) m*E1 m*E2。

5、设S1,S2均为可测集，S2 S1且mS2 ，证明：m(S1 S2) mS1 mS2。

6、证明：凡外测度为零之集皆可测。

7、若X {1,2,3}， {{1},{2,3}}，试写出X上由所生成的代数。

实变函数（复习资料,带答案）《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分X 5=15分)1、下列各式正确的是( )(A)limA n A k；(B) lim 代A；n nlkn n nlkn(C)limA n ik A k；( D) l imA n 人；n nikn n nikn2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( )(A)P c (B) mP 0 (C) P' P (D) P P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设f n(x)是E上的ae?有限的可测函数列,则下面不成立的是()(A)若f n(x) f(x),则f n(x) f (x) (B)sup f n(x)是可测函数(C) inf f n(x)是可测函数；(D)若nnf n(x) f(x),则f(x)可测5、设f(x)是［a,b］上有界变差函数，则下面不成立的是( )(A) f(x)在［a,b］上有界(B) f(x)在［a,b］上几乎处处存在导数b (C) f'(x)在［a, b］上L 可积(D) f'(x)dx f(b) f(a)a二.填空题(3分X 5=15分)E f(x)1、 ___________________________________ (C s A C s B) (A (A B))2、设E是0,1上有理点全体，则' o—E = _____ , E = _____ , E = _____3、设E是R n中点集，如果对任一点集T都___________________________________ 则称E是L可测的4、f(x)可测的_________ 件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设f (x)为a,b上的有限函数，如果对于a, b的一切分划，使 _______________________________________ 则称f (x)为a,b上的有界变差函数。

实变函数证明题⼤全（期末考试）1、设',()..E R f x E a e ?是上有限地可测函数，证明：存在定义在'R 上地⼀列连续函数{}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞=于E.证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 地可测⼦集n E ，使得1()n m E E n-<，同时存在定义在1R 上地连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意地0η>，成⽴[||]n n E f g E E η-≥?-由此可得1[||]()n n mE f g n m E E n-≥≤-<，因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ?，由黎斯定理存在{}n g 地⼦列{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞=，..a e 于E2、设()(,)f x -∞∞是上地连续函数，()g x 为[,]a b 上地可测函数，则(())f g x 是可测函数. 证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数1,[]c E f c >是直线上地开集，设11[](,)n n n E f c αβ∞=>=，其中(,)n n αβ是其构成区间（可能是有限个，nα可能为-∞nβ可有为+∞）因此222211[()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞∞==>=<<=><因为g 在2E 上可测，因此22[],[]n n E g E g αβ><都可测.故[()]E f g c >可测.3、设()f x 是(,)-∞+∞上地实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是⼀开集，⽽{|()}E x f x a =≥总是⼀闭集.证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续地，所以存在0δ>，使任意(,)x ∈-∞∞，0||()x x f x a δ-<>就有，即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈?就有所以是开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，0()lim ()n n f x f x a →∞=≥，即0x E ∈，因此E 是闭集.4、（1）设2121(0,),(0,),1,2,,n n A A n n n-==求出集列{}n A 地上限集和下限集证明：lim (0,)n n A →∞=∞设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即2n x A ∈，所以x 属于下标⽐N ⼤地⼀切偶指标集，从⽽x 属于⽆限多n A ，得lim n n x A →∞∈，⼜显然lim (0,),lim (0,)n n n n A A →∞→∞∞=∞所以lim n n A φ→∞=若有lim n n x A →∞∈，则存在N ，使任意n N >，有n x A ∈，因此若21n N ->时，211,0,00n x A x n x n -∈<<→∞<≤即令得，此不可能，所以lim n n A φ→∞=（2）可数点集地外测度为零. 证明：证明：设{|1,2,}i E x i ==对任意0ε>，存在开区间i I ，使i i x I ∈，且||2i iI ε=所以1i i I E ∞=?，且1||i i I ε∞==∑，由ε地任意性得*0m E =5、设}{n f 是E 上地可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测地. 证：显然，{}n f 地收敛点集可表⽰为0[lim ()lim ()]n n x x E E x f x f x →∞→∞===11[lim lim ]n nx x k E f f k ∞→∞→∞=-<∏. 由n f 可测lim n x f →∞及lim n x f →∞都可测，所以lim lim n n x x f f →∞→∞-在E 上可测.从⽽，对任⼀⾃然数k ，1[lim lim ]n n x x E f f k→∞→∞-<可测.故 011[lim lim ]n n x x k E E f f k ∞→∞→∞==-<∏可测.既然收敛点集0E 可测，那么发散点集0E E -也可测.6、设qR E ?，存在两侧两列可测集{n A }，{n B },使得n A ?E ?n B 且m （n A -n B ）→0，（n→∝）则E 可测.证明：对于任意i ，i n n B B ?∞=1，所以E B E B i n n -?∞=-1⼜因为E A i ?，i i i A B E B -?-所以对于任意i ，)(**1E B m E B m i n n -≤-∞=）（ )(*i i A B m -≤)(i i A B m -= 令i →∝，由)(i i A B m -→0 得0*1=-∞=）（E B m n n 所以E B n n -∞=1是可测地⼜由于n B 可测，有n n B ∞=1也是可测地所以)(11E B B E n n n n --=∞=∞= 是可测地.7、设在E 上()()n f x f x ?，⽽()()n n f x g x =..a e 成⽴，1,2n =，则有()()n g x f x ?设[]n n n E E f g =≠，则110n n n n m E mE ∞∞==??≤= ∑.σ?>1n n n n E f g E E f f σσ∞=??-≥-≥所以1nnn nn m E f g m EmE fσσσ∞=-≥?≤+?-≥?=?-≥?因为()()n f x f x ?，所以0lim lim 0n n nnmE f g mE f f σσ≤?-≥?≤?-≥?=即()()n g x f x ?8、证明：()A B A B '''?=?.证明：因为A A B ??，B A B ??，所以，()A A B ''??，()B A B ''??，从⽽()A B A B '''反之，对任意()x A B '∈?，即对任意(,)B x δ，有(,)()((,))((,))B x A B B x A B x B δδδ??=为⽆限集，从⽽(,)B x A δ?为⽆限集或(,)B x B δ?为⽆限集⾄少有⼀个成⽴，即x A '∈或x B '∈，所以，x A B ''∈?，()A B A B '''.综上所述，()A B A B '''?=?.9、证明：若()()n f x f x ?，()()n f x g x ?（x E ∈），则()()f x g x =..a e 于E . 证明：由于11[()()][]n E x f x g x E x f g n∞=≠=-≥，⽽ 111[][][]22n n E x f g E x f f E x f g k k k-≥?-≥?-≥，所以，111[][][]22n n mE x f g mE x f f mE x f g k k k-≥≤-≥+-≥，由()()n f x f x ?，()()n f x g x ?（x E ∈）得1lim []02n n mE x f f k →∞-≥=，1lim []02n n mE x f g k→∞-≥=.所以，1[]0mE x f g k-≥=，从⽽[()()]0mE x f x g x ≠=，即()()f x g x =..a e 于E . 10、、证明：若()()n f x f x ?，()()n g x g x ?（x E ∈），则()()()()n n f x g x f x g x ±?±（x E ∈）.证明：对任意0σ>，由于()()[()()]()()()()n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x ±-±≤-+-，所以，由()()[()()]n n f x g x f x g x σ±-±≥可得，1()()2n f x f x σ-≥和1()()2n g x g x σ-≥⾄少有⼀个成⽴.从⽽11[[]][][]22n n n n E x f g f g E x f f E x g g σσσ±-±≥?-≥?-≥，所以，11[[]][][]22n n n n mE x f g f g mE x f f mE x g g σσσ±-±≥≤-≥+-≥.⼜由()()n f x f x ?，()()n g x g x ?（x E ∈）得，1lim []02n n mE x f f σ→∞-≥=，1lim []02n n mE x g g σ→∞-≥=. 所以，lim [[]]0n n n mE x f g f g σ→∞±-±≥=，即()()()()n n f x g x f x g x ±?±（x E ∈）.11、若()()n f x f x ?（x E ∈），则()()n f x f x ?（x E ∈）.证明：因为()()()()n n f x f x f x f x -≥-，所以，对任意0σ>，有[][]n n E x f f E x f f σσ-≥?-≥，[][]n n mE x f f mE x f f σσ-≥≤-≥.⼜由()()n f x f x ?（x E ∈）得，lim []0n n mE x f f σ→∞-≥=.所以，lim []0n n mE x f f σ→∞-≥=，即()()n f x f x ?（x E ∈）.12、证明：1R 上地连续函数必为可测函数.证明：设()f x 是1R 上地连续函数，由连续函数地局部保号性，对任意实数a ，11[]{(),}R x f a x f x a x R >=>∈是开集，从⽽是可测集.所以，()f x 是1R 上地可测函数.13、证明：1R 上地单调函数必为可测函数.证明：不妨设()f x 是1R 上地单调递增函数，对任意实数a ，记inf{()}A x f x a =>，由单调函数地特点得，当{()}A x f x a ∈>时，{()}[,)x f x a A >=+∞，显然是可测集；当{()}A x f x a ?>时，{()}(,)x f x a A >=+∞，也显然是可测集.故()f x 是1R 上地可测函数.14、设()()f x L E ∈，n E 是E 地可测⼦集，且mE <+∞，若l i m n n m E m E →∞=，则l i m ()d ()dnE En f x x f x x →∞=??. 证明：因为n E 是E 地可测⼦集，且mE <+∞，所以，()n n m E E mE mE -=-，从⽽由lim n n mE mE →∞=得，lim ()lim 0n n n n m E E mE mE →∞→∞-=-=.⼜()()f x L E ∈，由积分地绝对连续性，lim[()d ()d ]lim ()d 0nnEE E E n n f x x f x x f x x -→∞→∞-==?.15、设()()f x L E ∈，若对任意有界可测函数()x ?都有()()d 0Ef x x x ?=?，则()0f x =..a e 于E .证明：由题设，取1,[()0]()0,[()0]1,[()0]x E x f x x x E x f x x E x f x ??∈>?=∈=??-∈，显然()x ?为E 上地有界可测函数，从⽽()d ()()d 0EEf x x f x x x ?==?.所以，()0f x =..a e 于E ，即()0f x =..a e 于E .16、设()()f x L E ∈，[]n e E f n =≥，证明（1）lim 0n n me →∞=；（2）lim 0n n n me →∞=.证明：由()d ()d nn e En me f x x f x x ?≤≤?得，（1）lim 0n n me →∞=.（2）由（1），注意到()()f x L E ∈，由积分地绝对连续性得，lim ()d 0ne nf x x →∞=?，从⽽注意到0()d nn e n me f x x ≤?≤?，所以，lim 0n n n me →∞=.17、若()f x 是[,]a b 上地单调函数，则()f x 是[,]a b 上地有界变差函数，且()()()baV f f b f a =-.证明：不妨设()f x 是[,]a b 上地单调增函数，任取[,]a b 地⼀个分割011:i i n T a x x x x x b -=<<<<<<=则11011()()[()()]()()nnii i i n i i f x f xf x f x f x f x --==-=-=-∑∑()()()()f b f a f b f a =-=-，所以，11()sup()()()()nbii V f f x f xf b f a -==-=-∑.18、若()f x 在[,]a b 上满⾜：存在正常数K ，使得对任意12,[,]x x a b ∈，都有1212()()f x f x K x x -≤-，则（1）()f x 是[,]a b 上地有界变差函数，且()()ba V f Kb a ≤-；（2）()f x 是[,]a b 上地绝对连续函数.证明：（1）由题设，任取[,]a b 地⼀个分割011:i i n T a x x x x x b -=<<<<<<=则111111()()()()nn ni i i i i i i i i f x f x K x x K x x K b a ---===-≤-=-=-∑∑∑，所以，()f x 是[,]a b 上地有界变差函数，且11()sup()()()nbi i aTi V f f x f x K b a -==-≤-∑.（2）在[,]a b 内，任取有限个互不相交地开区间(,)i i x y ，1,2,,i n =.由于111()()n niiii i i i i f x f y K x yK x y ===-≤-=-∑∑∑，于是，对任意0ε>，取Kεδ=，则当1ni ii x yδ=-<∑时，有11()()nni i i i i i f x f y K x y ε==-≤-<∑∑，即()f x 是[,]a b 上地绝对连续函数.19、若()f x 是[,]a b 上地绝对连续函数，则()f x 是[,]a b 上地有界变差函数.证明：由()f x 是[,]a b 上地绝对连续函数，取1ε=，存在0δ>，对任意有限个互不相交地开区间(,)i i x y ，1,2,,i n =，只要1n i i i x y δ=-<∑时，有1()()1ni i i f x f y =-<∑.现将[,]a b 等分，记分点为011i i n a a a a a a b -=<<<<<<=，使得每⼀等份地长度⼩于δ.易得1()1ii a a V f -≤，即()f x 是1[,]i i a a -上地有界变差函数.⼜11[,][,]n i i i a b a a -==，所以，11()()ii na baa i V f V f n -==≤<+∞∑，即()f x 是[,]a b 上地有界变差函数.20、若()f x 是[,]a b 上地有界变差函数，则（1）全变差函数()xa V f 是[,]ab 上地递增函数；（2）()()xaV f f x -也是[,]a b 上地递增函数.证明：（1）对任意12,[,]x x a b ∈，21x x >，注意到21()0x x V f ≥，有21211()()()()x x x x aax aV f V f V f V f =+≥，即()xaV f 是[,]a b 上地递增函数.（2）对任意12,[,]x x a b ∈，21x x >，注意到211()()()x i i x V f f x f x -≥-，有21212121()()[()()]()[()()]x x x aax V f f x V f f x V f f x f x ---=--2121()()()0x x V f f x f x ≥--≥，即()()xaV f f x -是[,]a b 上地递增函数.21、证明Jordan 分解定理：()f x 是[,]a b 上地有界变差函数?()f x 可表⽰成[,]a b 上地两个增函数之差.证明：“充分性”显然成⽴.下证“必要性”.事实上，()()[()()]xxaaf x V f V f f x =--，由上题()xaV f 和()()xaV f f x -都是[,]a b 上地递增函数.版权申明本⽂部分内容，包括⽂字、图⽚、以及设计等在⽹上搜集整理.版权为个⼈所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.RTCrpUDGiT⽤户可将本⽂地内容或服务⽤于个⼈学习、研究或欣赏，以及其他⾮商业性或⾮盈利性⽤途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本⽹站及相关权利⼈地合法权利.除此以外，将本⽂任何内容或服务⽤于其他⽤途时，须征得本⼈及相关权利⼈地书⾯许可，并⽀付报酬.5PCzVD7HxAUsers may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation, and other non-commercial or non-profit purposes, but at the same time,they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, and shall not infringe upon the legitimate rights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevant obligee.jLBHrnAILg转载或引⽤本⽂内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使⽤⽬地地合理、善意引⽤，不得对本⽂内容原意进⾏曲解、修改，并⾃负版权等法律责任.xHAQX74J0XReproduction or quotation of the content of this article must be reasonable and good-faith citation for the use of news or informative public free information. It shall not misinterpret or modify the original intention of the content of this article, and shall bear legal liability such as copyright.LDAYtRyKfE。

一、计算或证明下面各题1、设n A 就是如下一点集: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+1212,012m A m ,，，...2,1,0=m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=m A m 211,02,，，...2,1=m 试确定{}n A 的上极限与下极限。

2、证明:m n m n n A ∞=∞=∞→= 1lim 与m nm n n A ∞=∞=∞→= 1lim 。

3、证明:单调集列就是收敛的,若{}n A 增加,则n n n n A A ∞=∞→=1lim ;若{}n A 减少, 则n n n n A A ∞=∞→=1lim 。

4、设{}n A 就是一列集合,作11B A =,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ννB A B n n n 1 ,1>n 。

证明:{}n B 就是一 列互不相交的集,而且ννννA B ∞=∞==11 ,∞≤≤n 1。

5、设1F 、2F 就是1R 中两个互不相交的闭集。

证明:存在两个互不相交的开集1G 、2G ,使11F G ⊃、22F G ⊃。

6、证明:设1S 、2S 都可测,则21S S 也可则,并且当∅=j i S S 时,对于任意集合T 总有()[]()()2121S T m S T m S S T m ***+=。

7、证明:设{}i S 就是一列互不相交的可测集,则i i S ∞=1也就是可测集,且 ∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11i i i i mS S m 。

8、证明:设E 就是任一可测集,则一定存在δG 型集G ,使E G ⊃,且()0=-E G m 。

9、设n S S S ,...,,21,就是一些互不相交的可测集合,n i S E i i ,...,3,2,1,=⊂。

求证:()n n E m E m E m E E E m ****+++=......2121 。

10、设A,B P R ⊂且+∞<B m *,若A 就是可测集,证明:）（B A m B m mA B A m **)(*-+=。

《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分X 5=15分)1、下列各式正确的是( )(A)limA n A k；(B) lim 代A；n nlkn n nlkn(C)limA n ik A k；( D) l imA n 人；n nikn n nikn2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( )(A)P c (B) mP 0 (C) P' P (D) P P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设f n(x)是E上的ae•有限的可测函数列,则下面不成立的是()(A)若f n(x) f(x),则f n(x) f (x) (B)sup f n(x)是可测函数(C) inf f n(x)是可测函数；(D)若nnf n(x) f(x),则f(x)可测5、设f(x)是［a,b］上有界变差函数，则下面不成立的是( )(A) f(x)在［a,b］上有界(B) f(x)在［a,b］上几乎处处存在导数b (C) f'(x)在［a, b］上L 可积(D) f'(x)dx f(b) f(a)a二.填空题(3分X 5=15分)E f(x)1、 ___________________________________ (C s A C s B) (A (A B))2、设E是0,1上有理点全体，则' o—E = _____ , E = _____ , E = _____3、设E是R n中点集，如果对任一点集T都___________________________________ 则称E是L可测的4、f(x)可测的_________ 件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设f (x)为a,b上的有限函数，如果对于a, b的一切分划，使 _______________________________________ 则称f (x)为a,b上的有界变差函数。

1、设',()..E R f x E a e ⊂是上有限的可测函数，证明：存在定义在'R 上的一列连续函数{}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞=于E 。

证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 的可测子集n E ，使得1()n m E E n-<， 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意的0η>，成立[||]n n E f g E E η-≥⊂-由此可得1[||]()n n mE f g n m E E n-≥≤-<，因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ⇒，由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞=，..a e 于E2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数，()g x 为[,]a b 上的可测函数，则(())f g x 是可测函数。

证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数1,[]c E f c >是直线上的开集，设11[](,)n n n E f c αβ∞=>=，其中(,)n n αβ是其构成区间（可能是有限个，nα可能为-∞nβ可有为+∞）因此222211[()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞∞==>=<<=><因为g 在2E 上可测，因此22[],[]n n E g E g αβ><都可测。

故[()]E f g c >可测。

3、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是一开集，而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。

4. 设1R E ⊂是可测集且∞<)(E m ，)(x f 是E 上几乎处处有限的可测函数，证明对0ε∀>，存在闭集E F ⊂使得ε<)\(F E m 且f 在F 上连续有界.5. 设()f x 是有界可测集E 上处处有限的非负可测函数，[1]n E E n f n =-≤<. 证明()f x 在E 上可积的充要条件是1,nn n mE∞=⋅<∞∑.1. 设{}()n f x ，()f x 是在集合E 上定义的实函数，且{}n f 单调增加，对任意的x E ∈，有()(),()n f x f x n →→∞. 证明{}{}1:()0:()0n n x E f x x E f x ∞=∈>=∈> .2. 证明：1R 中以互不相交的开区间为元素的集合是至多可数集.证明：设该集合为K . 因为对任意的开区间K b a ∈),(，存在有理数),(b a r ab ∈. 这样，可作一映射Q K f →:，使得()ab r b a f =),(. 由于K 中的开区间是互不相交的，所以这一映射是一单射. 因此Q K f K ⊂)(~，也就说明了K 是一至多可数集.3. 设()f x 是可测集1R E ⊂上几乎处处有限的函数，对任意的0ε>，存在闭集F E ⊂，使()\m E F ε<且()f x 在F 上连续. 证明()f x 是E 上的可测函数.证明：设[],[]n E E f E E f n ∞==∞=>，则{}n E E ⊂是单减的可测集列，且lim n n E E →∞∞=. 因为mE <∞，所以lim n n mE mE →∞∞=. 又因为f 是E 上几乎处处有限的可测函数，故lim 0n n mE mE →∞∞==. 因此对0ε∀>，存在N ，使得当n N ≥时2n mE ε<，特别的，2N mE ε<. 在\N E E 上，恒有()f x N ≤. 根据可测集的构造，存在闭集\N F E E ⊂，使得()(\)\2N m E E F ε<. 这样，()()()()F E E E F E E E F E N N N N \\\\\ ==，因而()()()\\\22N Nm E F mE mE EF εεε≤+<+=，且在闭集F 上，有()f x N ≤证明：类似于第2题. 不妨设()f x 在E 上处处有限. 这时n n E E +∞-∞== ，且+∞-∞=n n E }{是互不交的可测集列，故而.∞<=∑+∞-∞=n n mE mE （1）因()f x 在E 上可测，所以()f x 在E 上可积的充要条件是)(x f 在E 上可积. 因而问题转为证明：)(x f 在E 上可积的充要条件是+∞<∑+∞-∞=n n mE n .由积分域的性质得∑⎰∑⎰∑⎰⎰+∞=-∞=+∞-∞=+==10)()()()(n E n E n E Ennndx x f dx x f dx x f dx x f （2）由于在)1(≥n E n 上有n x f n <≤-)(1，在)1(<n E n 上有1)(+≤<n x f n ，根据积分的单调性得(),1,)(≥∀≤≤-⎰n nmE dx x f mE nmE n E n n n(),1,)(<∀+≤≤⎰n mE mE n dx x f mE n n n E n n代入(2)式就得到()()∑∑⎰∑∑+∞=-∞=+∞=-∞=++≤≤-+10101)(1n n n n En n n n nmE mE n dx x f mE n mE n .结合(1)式得到mE mE n dx x f mE mE n n n En n +≤≤-∑⎰∑+∞-∞=+∞-∞=)(.也就得到：)(x f 在E 上可积的充要条件是+∞<∑+∞-∞=n n mE n .4. 设在可测集E 上，有,.n n f f g g ⇒⇒ 证明: 在E 上，.n n f g f g +⇒+ 注意到若a b ε+≥，则或2a ε≥或2b ε≥. 从而()()[][][]22n n n n E f g f g E f f E g g εεε+-+≥⊂-≥-≥ .故由次可加性和依测度收敛性即得到结论.5. 设∞<mE ，{})(x f n 为E 上的可积函数列，且在E 上{})(x f n 一致收敛到)(x f .1. 证明：()()Λ∈Λ∈=λλλλccA A . 2. 证明：]1,0[中无理数的全体成一不可数集.3. 设E 是有界的可测集，*,E F m F mE ⊂=，证明F 是可测集.证明：)(x f 在E 上可积，且⎰⎰∞→=En n Edx x f dx x f )(lim )(.（5）(8分) 可测集nE R ⊂上的连续函数()f x 是E 上的可测函数.(6) (8分) 设)(x f 是可测集E 上的勒贝格可积函数，令[]n f E e n ≥=. 证明：()lim 0n n n me →∞=.证明：令[]∞==∞f E E . 由题设()f x 在E 上可积，知()f x 在E 上几乎处处有限，故0=∞mE . (*)又)(x f 在E 上可积，所以)(x f 在E 上可积，再由(*)式得,0)(=⎰∞E dx x f 且+∞<⎰Edx x f )( .集列{}n e 关于n 单调减少，且∞∞→=E e n n lim . 而()n dx x f dx x f Ee n∀+∞<≤⎰⎰,)()(，利用非负函数关于积分域的连续性质得到，0)()()(lim lim ===⎰⎰⎰∞∞→∞→E e e n dx x f dx x f dx x f nn n，又()0)(≥=≥⎰⎰n e e me n ndx dx x f nn，结合起来即有()0lim ==∞→n n me n .（3）(8分) 设1A R ⊂，证明：若A 既是开集又是闭集，则1A R =或A =∅. 证明：设A 是非空的既开又闭集. 它必有构成区间，不妨设),(b a 是A 的一个构成区间.若a 有限, 则A a ∉; 另一方面，由A 是闭集得A A b a b a a ⊂⊂=∈')',(],[, 得到矛盾. 所以a =-∞，同理得b =+∞. 因此1A R =，所以1R 中既开又闭的集或是空集或是1R . （4）(8分) 设,f g 均是E 上的可测函数. 证明：集合[]E f g >是可测集.证明：令{}12,,,,n Q r r r = . 由于,f g 均是E 上的可测函数，所以对任意的n N ∈，集合[]n E f r >和[]n E g r <均是可测集，[][]n n E f r E g r >< 也都是可测集，这样集合()1[][]n n n E fr E g r ∞=>< 是可测集. 实际上()1[][][]n n n E f r E g r E f g ∞=><=> ，所以[]E f g >是可测集.。

第三章 复习题一、判断题1、对任意n E R ⊆，*m E 都存在。

（√ ）2、对任意n E R ⊆，mE 都存在。

（× ） 3、设n E R ⊆，则*m E 可能小于零。

（× ） 4、设A B ⊆，则**m A m B ≤。

（√ ）5、设A B ⊆，则**m A m B <。

（× ） 6、**11()n n n n m S m S ∞∞===∑ 。

（× ）7、**11()n n n n m S m S ∞∞==≤∑ 。

（√ ）8、设E 为nR 中的可数集，则*0m E =。

（√ ）9、设Q 为有理数集，则*0m Q =。

（√ ） 10、设I 为n R 中的区间，则*m I mI I ==。

（√ ） 11、设I 为n R 中的无穷区间，则*m I =+∞。

（√ ）12、设E 为n R 中的有界集，则*m E <+∞。

（√ ） 13、设E 为n R 中的无界集，则*m E =+∞。

（× ） 14、E 是可测集⇔c E 是可测集。

（√ ）15、设{n S }是可测集列，则1n n S ∞= ，1n n S ∞= 都是可测集。

（√ ） 16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。

（√ ）17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。

（√ ）18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。

（√ ）19、若E =∅，则*0m E >。

（× ） 20、若E 是无限集，且*0m E =，则E 是可数集。

（× ） 21、若mE =+∞，则E 必为无界集。

（√ ）22、在nR 中必存在测度为零的无界集。

（√ ）23、若A ，B 都是可测集，A B ⊆且mA mB =，则()0m B A −=。

（× ） 24、∅和n R 都是可测集，且0m ∅=，n mR =+∞。

（√ ） 25、设12,E E 为可测集，则12()m E E −≥12mE mE −。