金融数学入门(英文)
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An Introduction to Mathematics 金融学数学基础知识
Answer
FV 15,000 1.5 ln(1.5) 0.405 0.135 e0.135 1.144 r = C0 (1+r)T = 10,000(1+r) 3 = (1+r) 3 = ln(1+r) 3 = 3ln(1+r) = ln (1+r) = 1+r =1+r ≈ 0.144 or 14.4%
THE VALUE OF MONEY: FUTURE VALUE
• Let us assume that one invests an amount of money at time zero (C0) in an account for T years and that the going annual interest rate is r. Then, the value of this amount after the completion of T years shall equal: FV = C0 (1+r)T where FV = Future Value • However, the above assumes annual compounding of the interest, yet the latter could be compounded: Semiannually: FV = C0 [1+(r/2)]2T Quarterly: FV = C0 [1+(r/4)]4T Monthly: FV = C0 [1+(r/12)]12T Daily: FV = C0 [1+(r/360)]360T Continuously: FV = C0 erT
Introduction to Mathematics & Statistics
英语版金融基础
2.1 The time value of money 2.1.1 COST-BENEFIT ANALYSIS
We saw in Topic 1 that the corporate objective is to maximise the value of the firm
Dollar value of benefits
FIN1FOF Fundamentals of Finance – Topic 2 – Financial Mathematics 5
Snoop Dogg
FIN1FOF Fundamentals of Finance – Topic 2 – Financial Mathematics 6
La Trobe Business School
La Trobe Business School
FIN1FOF Fundamentals of Finance – Topic 2 – Financial Mathematics
2
Prescribed reading
Berk, J., DeMarzo, P., Harford, J., Ford, G., Mollica, V. and Finch, N. Fundamentals of Corporate Finance (2nd edition) Pearson Australia, 2014
FIN1FOF Fundamentals of Finance – Topic 2 – Financial Mathematics 4
Chapters 3, 4 and 5
La Trobe Business School FIN1FOF Fundamentals of Finance – Topic 2 – Financial Mathematics 3
金融数学书单
金融数学（Financial Mathematics），又称数理金融学、数学金融学、分析金融学，是利用数学工具研究金融，进行数学建模、理论分析、数值计算等定量分析，以求找到金融动内在规律并用以指导实践。
金融数学也可以理解为现代数学与计算技术在金融领域的应用，因此，金融数学是一门新兴的交叉学科，发展很快，是目前十分活跃的前言学科之一。
金融数学的发展曾两次引发了“华尔街革命”。
上个世纪50年代初期，马科威茨提出证券投资组合理论，第一次明确地用数学工具给出了在一定风险水平下按不同比例投资多种证券收益可能最大的投资方法，引发了第一次“华尔街革命”，马科威茨因此获得了１９９０年诺贝尔经济学奖。
1973年，布莱克和斯克尔斯用数学方法给出了期权定价公式，推动了期权交易的发展，期权交易很快成为世界金融市场的主要内容，成为第二次“华尔街革命”，修斯因此获得了１９９７年诺贝尔经济学奖。
2003年诺贝尔经济学奖第三次授予以数学为工具分析金融问题的美国经济学家恩格尔和英国经济学家格兰杰以表彰他们分别用“随着时间变化易变性”和“共同趋势”两种新方法分析经济时间数列给经济学研究和经济发展带来巨大影响。
金融数学在我国起步比较晚，但于1997 年正式实施的国家“九五”重大项目《金融数学、金融工程、金融管理》，直接推动了我国金融数学这一交叉学科的兴起和发展。
金融数学,运用随机分析，随机最优控制，倒向随机微分方程，非线性分析，分形几何等现代数学工具研究以下问题：（1）不完备金融市场有价证券（例如期货，期权等衍生工具）的资本资产定价模型，套利定价理论，套期保值理论及最优投资和消费理论。
（2）利率的期限结构和利率衍生产品的定价理论。
（3）不完备金融市场的风险管理和风险控制理论。
金融数学是一门应用性极强的学科,其特殊之处在于,与许多其他应用学科如生物相比,它的难度更类似于数学物理,而另一方面,它的应用性可以和engineering相提并论,因为好的结果必须是"有利可图"的,you may cheat a Journal, but you cannot cheat the Market...而更加独特的是,它要求一个人有极其博杂的知识,所以一份好的书单很重要大体而言,所需要的知识分为三类1.数量2.经济金融3.编程,这方面我比较弱,至今还算不上professional programmer大致上来说,一个人需要吃透如下LEVEL的书籍:1.Thinking in C++ Vol 1 & 22.The C++ Programming Language另外,还需要data structure & alogrithms的知识好在编程高手尽多,这方面也不太需要我业余的意见,呵呵给一个书单吧，大家共勉金融数学书籍，总结自聪聪的bolg，留作参考，顺便激励自己看完这些书—-不知道要多少年了。
(金融保险)金融数学
（金融保险）金融数学金融数学金融数学（FinancialMathematics），又称数理金融学、数学金融学、分析金融学，是利用数学工具研究金融，进行数学建模、理论分析、数值计算等定量分析，以求找到金融学内在规律并用以指导实践。
金融数学也可以理解为现代数学与计算技术在金融领域的应用，因此，金融数学是一门新兴的交叉学科，发展很快，是目前十分活跃的前沿学科之一。
目录概述必备工具现状及发展研究科目人才现状主要研究内容数据挖掘图书《金融数学》概述必备工具现状及发展研究科目人才现状主要研究内容数据挖掘图书《金融数学》•目录概述金融数金融数学学是一门新兴学科，是“金融高技术”的重要组成部分。
研究金融数学有着重要的意义。
金融数学总的研究目标是利用我国数学界某些方面的优势，围绕金融市场的均衡与有价证券定价的数学理论进行深入剖析，建立适合我国国情的数学模型，编写一定的计算机软件，对理论研究结果进行仿真计算，对实际数据进行计量经济分析研究，为实际金融部门提供较深入的技术分析咨询。
金融数学是在两次华尔街革命的基础上迅速发展起来的一门数学与金融学相交叉的前沿学科。
其核心内容就是研究不确定随机环境下的投资组合的最优选择理论和资产的定价理论。
套利、最优与均衡是金融数学的基本经济思想和三大基本概念。
在国际上，这门学科已经有50多年的发展历史，特别是近些年来，在许多专家、学者们的努力下，金融数学中的许多理论得以证明、模拟和完善。
金融数学的迅速发展，带动了现代金融市场中金融产品的快速创新，使得金融交易的范围和层次更加丰富和多样。
这门新兴的学科同样与我国金融改革和发展有紧密的联系，而且其在我国的发展前景不可限量。
必备工具21世金融数学纪数学技术和计算机技术一样成为任何一门科学发展过程中的必备工具。
美国花旗银行副总裁柯林斯（Collins）1995年3月6日在英国剑桥大学牛顿数学科学研究所的讲演中叙述到：“在18世纪初，和牛顿同时代的著名数学家伯努利曾宣称：‘从事物理学研究而不懂数学的人实际上处理的是意义不大的东西。
英语版金融基础
For these reasons, debt is considered a less risky form of investment than es School FIN1FOF Fundamentals of Finance – Topic 3 – Valuation of Securities
La Trobe Business School FIN1FOF Fundamentals of Finance – Topic 3 – Valuation of Securities
8
3.1 Valuation 3.1.4 DEBT v EQUITY
There are fundamentally two different types of securities issued by a firm – debt and equity – and the differences between them impact upon how we value them
Interest rate
Yield
Opportunity cost
Required rate of return
Cost of capital
In theory these terms describe different
things, because they are arrived at in different ways
Assets Current assets Long‐term assets
Liabilities & Equity Debt Preference shares Ordinary shares
In theory we could determine the value of the firm by calculating the total value of the assets on the left-hand side OR the total value of the liabilities and shareholders’ equity on the right-hand side
金融数学课件(英文版)第1讲
Introduction General properties of arbitrage-free prices One-period binomial model
L1.11
Arbitrage
Prices which admit arbitrage are, in some sense, incorrect. Existence of arbitrage is a severe form of the inconsistency and mispricing that we want to avoid. Assume no arbitrage, unless otherwise indicated. Thus, when we try to price some security, we are looking for an arbitrage-free price. Some authors define arbitrage without “type 2”. The distinction between our definition and their definition is essentially harmless, because: If there exists an asset whose price is always nonnegative and not always zero, then type 1 arb exists whenever type 2 arb exists. Bj¨rk’s term for arbitrage is “arbitrage possibility.” o
Introduction General properties of arbitrage-free prices One-period binomial model
L1.11
Arbitrage
Prices which admit arbitrage are, in some sense, incorrect. Existence of arbitrage is a severe form of the inconsistency and mispricing that we want to avoid. Assume no arbitrage, unless otherwise indicated. Thus, when we try to price some security, we are looking for an arbitrage-free price. Some authors define arbitrage without “type 2”. The distinction between our definition and their definition is essentially harmless, because: If there exists an asset whose price is always nonnegative and not always zero, then type 1 arb exists whenever type 2 arb exists. Bj¨rk’s term for arbitrage is “arbitrage possibility.” o
Introduction General properties of arbitrage-free prices One-period binomial model
金融数学课件(英文版)第2讲
FAQs One-period, multiple discrete states Multi-period, multiple discrete states
L2.5
Why can we price by taking P-expectations
Because the following actions result in identical calculations: Pricing: Take a payoff, decompose it into quantities of Arrow-Debreu (AD) assets, and sum up quantity times price of each AD asset. Taking a P-expectation: Take a random variable, decompose it into its possible realizations, and sum up the level times P-probability of each realization. (We are either ignoring interest rates, or expressing all prices relative to some designated asset, e.g. the bank account)
FAQs
One-period, multiple discrete states
Multi-period, multiple discrete states
L2.7
FAQs
One-period, multiple discrete states
Multi-period, multiple discrete states
L2.5
Why can we price by taking P-expectations
Because the following actions result in identical calculations: Pricing: Take a payoff, decompose it into quantities of Arrow-Debreu (AD) assets, and sum up quantity times price of each AD asset. Taking a P-expectation: Take a random variable, decompose it into its possible realizations, and sum up the level times P-probability of each realization. (We are either ignoring interest rates, or expressing all prices relative to some designated asset, e.g. the bank account)
FAQs
One-period, multiple discrete states
Multi-period, multiple discrete states
L2.7
FAQs
One-period, multiple discrete states
Multi-period, multiple discrete states
《金融数学》(双语) 课程教学大纲
《金融数学》(双语) 课程教学大纲课程编号：07140080课程类别：专业课程授课对象：数学科学学院学生开课学期：第五学期学分：3学分主讲教师：严力指定教材：Petr Zima，Robert L.Brown, 《Mathematics of Finance》(Fifth Edition) ，McGraw-Hill Ryerson Limited 出版社，2001年教学目的：通过学习本课程,主要达到以下两个目的:1.学会国际金融界中的基本利息的概念与理论, 会计算单利, 复利, 各种年金. 学会用计算机软件Excel 制作抵押贷款(按揭)的分期还贷付款表, 偿债基金表. 会分析一般金融问题. 培养理财观念及国际意识. 为今后就业,个人理财打下基础.2.创造英语环境, 以英语授课为主, 辅以适当中文解释. 学会用英语阅读, 理解专业书籍. 提高英语听力及书面表达力, 增强英语解题能力, 培养英语思维及交流能力. 为今后就业,考研,出国培养扎实的英文应用能力.第一章Simple Interest and Simple Discount课时：2周，共6课时教学内容第一节Simple Interest一、Simple Interest, principal, present / accumulated value介绍单利,本金,现时值,将来值及计算方法-二、Demand loan介绍需求贷款及计算方法三、Invoice cash discount介绍发票中的现金折扣及计算方法思考题：1、什么是单利,本金,现时值,将来值及计算方法？2、如何制作需求贷款表？3．如何利用现金折扣节省开支？第二节Discounted value at simple interest一、Simple discount, discount factor介绍单利下的贴现因子及现时值计算方法二、Promissory Note介绍短期期票及计算方法思考题：1、什么是单贴现, 贴现因子及现时值,将来值计算方法？2、如何计算短期期票？第三节Equations of value一、Dated Value, focal date, time diagram介绍时间价值，参考日, 时间图二、Equations of value介绍时间价值计算方法三、Property of transitivity介绍等价概念思考题：1、什么是时间价值及计算方法？2、如何判定等价的时间价值？第四节Partial payment一、Merchant’s Method思考题：1、如何用商人法则计算余额？2、如何用递减法则计算余额？第五节Simple discount at a discount rate一、Simple Interest, principal, present / accumulated value介绍单贴现, 贴现因子及现时值,将来值计算方法- 二、Equivalent relationship介绍等价的贴现率与利率的计算方法思考题：1、什么是单贴现,本金,现时值,将来值及计算方法？2、什么是单贴现率与利率的等价关系及计算方法？第二章Compound Interest and Compound Discount 课时：5周，共15课时第一节Fundamental compound interest formula一、Fundamental compound interest formula介绍基本复利计算公式二、Compound Interest, principal, present / accumulated value介绍复利,本金,现时值,将来值及计算方法-思考题：1、什么是复利,本金,现时值,将来值及计算方法？2、什么是复利和单利的区别？第二节Equivalent compound interest rate一、Annual effective rate, nominal rate介绍年有效利率及名义利率计算方法二、Equivalent relation介绍两等价名义利率的计算方法思考题：1、什么是有效利率及名义利率？2、如何转换两等价名义利率？第三节Discounted Value at Compound Interest一，Present value, compound discount, discount factor 介绍现时值，复贴现，贴现因子及计算方法二、Long-term promissory note介绍长期票据及计算方法思考题：1、什么是现时值，复贴现，贴现因子及计算方法？2、如何计算长期票据？3．什么是长期票据和短期票据的区别？第四节Accumulated and Discounted Value for a Fractional Period of Time一、Exact / Theoretical method介绍理论计算方法-二、Approximate / Practical method介绍实用计算方法思考题：1、什么是理论计算方法？2、什么是实用计算方法？3．什么是理论和实用计算方法的区别？第五节Finding the Rate and the Time一、Finding the rate介绍利率计算方法-二、Finding the time介绍期限计算方法思考题：1、什么是利率计算方法？2. 什么是期限计算方法？第六节Equations of value一、Dated Value, focal date, time diagram介绍时间价值，参考日, 时间图二、Equations of value介绍时间价值计算方法三、Property of transitivity介绍复利等价概念思考题：1、什么是复利时间价值及计算方法？2、如何判定复利等价的时间价值？第七节Compound Interest at Changing Interest Rate一、Finding the interest at Changing Interest Rate介绍利率改变后利息计算方法-二、Finding the present value at Changing Interest Rate介绍利率改变后现时值计算方法思考题：1、如何计算不同利率阶段的利息？2、如何计算不同利率阶段的本金？第八节Other Applications of Compound Interest Theory, Inflation and the “Real” Rate of Interest一、Economics application介绍经济应用-二、“Real” Rate of Interest介绍“实值”利率及计算方法三，Inflation / Deflation介绍通货膨胀和通货紧缩思考题：1、什么通货膨胀和通货紧缩？2，什么是“实值”利率及计算方法？第九节Continuous Compounding一、Finding the rate of continuous Compounding介绍连续利率计算方法-二、Finding the present value and future value介绍连续利率时现时值与将来值计算方法思考题：1、什么是连续利率计算方法？2、什么是连续利率与其他利率的关系？第十节Compound Discount at a Discount Rate and Equivalent Discount Rates 一、Finding the Compound Discount Rate介绍复贴现率计算方法-二、Finding the present value and future value介绍复贴现率时现时值与将来值计算方法三T-bill介绍债劵思考题：1、什么是复贴现率计算方法？2、如何计算复贴现率时现时值与将来值？3，什么是债劵及计算方法？第三章Simple Annuities课时：3周，共9课时第一节Definitions一、Simple, general, ordinary, due, deferred annuities介绍简单，普通，初付，延付及延期年金二、Notations介绍惯用符号-思考题：1、什么是简单，普通，初付，延付及延期年金？2、什么是不同年金的区别？第二节Accumulated Value of an Ordinary Simple一、Accumulated Value介绍简单延付年金累积值计算方法二、Payment介绍简单延付年金复费计算方法思考题：1、什么是简单延付年金累积值计算方法？2、什么是简单延付年金复费计算方法？第三节Discounted Value of an Ordinary Simple Annuity 一，Discounted Value介绍简单延付年金现时值计算方法二、Decision making决策制定思考题：1、什么是简单延付年金现时值计算方法？2、如何根据净现时值制定决策？第四节Other Simple Annuities一、Annuity due介绍初付年金计算方法-二、Deferred annuity介绍延期年金计算方法思考题：1、什么是初付年金计算方法？2、什么是延期年金计算方法？第五节Finding the Term of an Annuity一、Finding the term介绍期限计算方法-二、Concluding payment介绍最后付费计算方法思考题：1、什么是期限计算方法？2，什么是最后付费计算方法？第六节Finding the Interest Rate一、Finding the Interest Rate介绍利率计算方法二、Linear interpolation介绍线性插值计算方法思考题：1、什么是利率计算方法？2、什么是线性插值计算方法？第四章General and Other Annuities课时：3周，共9课时第一节General Annuities一、General annuities介绍普通初付，延付及延期年金二、Application综合应用思考题：1、什么是普通，初付，延付及延期年金？2、如何计算不同年金？第二节Mortgages in Canada二、Mortgages介绍抵押贷款计算方法二、Small payment介绍小付费计算方法思考题：1、什么是抵押贷款计算方法？2、什么是小付费计算方法？第三节Perpetuities一，Perpetuities介绍永久年金现时值计算方法二、Payment介绍永久年金付费计算方法思考题：1、什么是永久年金计算方法？2、如何区别永久年金和普通年金？第四节Annuities where Payment Vary一、Geometric progression介绍几何级数变化计算方法-二、Arithmetic progression介绍算术级数变化计算方法思考题：1、什么是几何级数变化计算方法？2、什么是算术级数变化计算方法？第五章Amortization Method and Sinking Funds 课时：5周，共15课时第一节Amortization of a Deb t一、Amortization schedule介绍贷款清偿表的制作二、Outstanding principle balance介绍本金余额计算方法思考题：1、什么是贷款清偿表计算方法？2、什么是本金余额计算方法？第二节Outstanding Balance一, Retrospective method介绍过去计算方法二、Prospective method介绍将来计算方法思考题：1、什么是过去计算方法？2、什么是将来计算方法？第三节Refinance a Loan-the Amortization Method 一，Amortization Method介绍重新贷款计算方法1二、Decision making决策制定思考题：1、什么是重新贷款计算方法1？2、如何根据罚金制定决策？第四节Refinance a Loan the Sum-of-Digits Method一、Sum-of-Digits Method介绍重新贷款计算方法2-二、Deferred annuity介绍延期年金计算方法思考题：1、什么是重新贷款计算方法2？2、什么是计算方法1和计算方法2的区别？第五节Sinking Fund一、Sinking Fund介绍偿债基金计算方法-二、Schedule介绍偿债基金表的制作思考题：1、什么是偿债基金？2，如何制作偿债基金表？第六节The Sinking-Fund Method of Retiring a DebtRetiring a Debt介绍偿债计算方法第七节Comparison of Amortization and Sinking-Fund Methods 比较不同偿债计算方法执笔人：严力。
chp1 金融数学引言
13
诺贝尔经济奖简介（4）
2013年度诺贝尔经济学奖授予 E. Fama、 P. Hansen和 R. J. Shiller ，因为 他们对资产价格实证分析的贡献。 令Fama 摘取桂冠的是他提出的有效市场 假说以及与K.French共同提出“Fama-French 三因子模型” 。 Hansen因为GMM广义矩估计方法而获奖。 Shiller因为行为金融研究。
〔5〕 Hull J．Options， Futures and Other Derivatives （8th ed.），Prentice Hall , 2011 .王勇，索吾林译，机械工业出版社， 2012 〔6〕李向科，戚发全. 金融数学. 中国人民大学出 版社，2004 〔7〕邵宇. 微观金融学及其数学基础（第二版）. 清华大学出版社，2008 〔8〕王军， 王娟. 随机过程及其在金融领域中的 应用. 清华大学出版社， 20071614Fra bibliotek主要内容：
投资组合选择理论 衍生证券的定价理论 ARCH类模型及其应用 利率期限结构理论 公司金融 保险精算学 风险管理
15
本门课程的金融数学内容
衍生金融的数学 教学安排： 第1章 金融数学概论 第2章 资产价格随机过程 第3章 期权定价的Black-Scholes模型 第4章 期权定价的二叉树模型 第5章 鞅与资产定价 第6章 利率衍生品定价 第7章 信用风险管理模型 第8章 分组讨论报告
7
金融研究 中国管理科学 管理科学学报 管理工程学报 系统工程学报 系统管理学报 系统工程理论与实践 系统工程
8
第1章 金融数学概论
9
金融数学研究的主要内容 金融数学是一门新兴的边缘科学，是数学与金 融学的交叉。它是在两次华尔街革命的基础上产生 和发展起来的，其核心问题是不确定环境下的最优 投资策略的选择理论和资产定价理论。 简单地说，金融数学就是用数学的方法解决金 融问题。在金融数学的发展史上，一些诺贝尔经济 学奖的获奖工作，对金融数学的研究起着决定性的 作用。可以说，金融数学的主流研究方向就是以这 些获奖工作为基础的。
【教学大纲】金融数学
《金融数学》课程教学大纲一、教师或教学团队信息二、课程基本信息课程名称（中文）：《金融数学》课程名称（英文）：Financial Mathematics课程类别：□通识必修课□通识选修课□专业必修课□专业方向课□专业拓展课□实践性环节课程性质*：□学术知识性□方法技能性□研究探索性□实践体验性课程代码：12550261周学时：2总学时：36（其中上课32）学分:2先修课程：高等数学授课对象：全校学生三、课程简介金融数学是为全校非数学专业学生开设的通识选修课，通过本课程的学习，要求学生了解金融数学是以与货币的流通发行和运用过程相关的所有经济活动为研究对象的，并运用数学和统计学等方法进行定量研究和应用的学科。
金融数学是一门新兴的交叉学科，发展很快，是目前十分活跃的前沿学科之一。
四、课程目标本课程旨在使学生了解和掌握金融数学的基本模型和方法，提高学生利用定量化分析技术处理金融问题的能力，为进一步学习、研究现代金融理论打好基础。
教学过程采取课堂讲解、案例教学、课堂讨论相结合的方式。
本课程要求学生了解和掌握基本数学工具，能够将学到的金融数学方法与分析技术运用到实际的研究工作中。
五、教学内容与进度安排第一讲为什么要学习金融数学1. 课时数：2学时2. 讲授内容：重点介绍什么是金融学，金融学研究的内容和方法，结合学习数学的重要性以及金融数学的重要内容。
让学生了解学习金融数学的知识和内容重点：金融学和金融数学的研究对象3. 学生学习任务：阅读网络资料。
了解金融学和金融数学的研究内容。
4. 教学方法采用课堂讲解与讨论, 培养学生较强的自学能力。
5. 课外学习要求通过布置上网查资料, 让学生主动加强课外阅读。
第二讲次贷危机与信用风险管理1. 课时数：2学时2. 讲授内容：美国次贷危机发生的根源，如何管理和控制信用风险的发生。
重点：CDS如何导致次贷危机发生难点：CDS的运作方式3. 学生学习任务：了解次贷危机是如何发生的。
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• There are two main approaches: – Partial Differential Equations – Probability and Stochastic Processes
2
Short History of Financial Mathematics
• 1900: Bachelier uses Brownian motion as underlying process to derive option prices.
• Preliminary notions: Time value of money, financial securities, options.
• Arbitrage and risk–neutral valuation via a one–period, two–state toy model.
• Financial Mathematics has been established as a separate academic discipline only since the late eighties, with a number of dedicated journals.
3
Structure of this talk
• Thus an amount X at time T is the same as Xe−rT now.
• Discounting allows us to compare amounts of money at different times.
7
Returns
• The return on an investment S is defined by
• 1973: Black and Scholes publila.
• 1980: Harrison and Kreps introduce the martingale approach into mathematical finance.
4
Preliminary Notions
Discounting and Financial Instruments
• Finance may be defined as the study of how people allocate scarce resources over time.
• The outcomes of financial decisions (costs and benefits) are – spread over time – not generally known with certainty ahead of time, i.e. subject to an element of risk
• Decision makers must therefore – be able to compare the values of cashflows at different dates – take a probabilistic view
5
Discounting
• The time value of money: R1.00 in the hand today is worth more than the expectation of receiving R1.00 at some future date.
• Thus borrowing isn’t free: the borrower pays a premium to induce the lender to part with his/her money. This premium is the interest.
• We shall make the simplifying assumptions that
– There is only one interest rate: All investors can borrow and lend at this (riskless) rate.
– The interest rate is constant over time.
– The same rate applies for all maturities.
R = ln ST S0
i.e. ST = S0eRT
The random variable R is essentially the
“interest” obtained on the investment,
and may be negative.
6
• Let r denote the continuously compounded interest rate, so that one unit of currency deposited in a (riskless) bank account grows to erT units in time T .
• Modelling stock price behaviour • Naive stochastic calculus • PDE approach to finance • Martingale approach to finance • Numerical methods • Current Research
What is Financial Mathematics?
1
Introduction
• Financial Mathematics is a collection of mathematical techniques that find applications in finance, e.g. – Asset pricing: derivative securities. – Hedging and risk management – Portfolio optimization – Structured products
2
Short History of Financial Mathematics
• 1900: Bachelier uses Brownian motion as underlying process to derive option prices.
• Preliminary notions: Time value of money, financial securities, options.
• Arbitrage and risk–neutral valuation via a one–period, two–state toy model.
• Financial Mathematics has been established as a separate academic discipline only since the late eighties, with a number of dedicated journals.
3
Structure of this talk
• Thus an amount X at time T is the same as Xe−rT now.
• Discounting allows us to compare amounts of money at different times.
7
Returns
• The return on an investment S is defined by
• 1973: Black and Scholes publila.
• 1980: Harrison and Kreps introduce the martingale approach into mathematical finance.
4
Preliminary Notions
Discounting and Financial Instruments
• Finance may be defined as the study of how people allocate scarce resources over time.
• The outcomes of financial decisions (costs and benefits) are – spread over time – not generally known with certainty ahead of time, i.e. subject to an element of risk
• Decision makers must therefore – be able to compare the values of cashflows at different dates – take a probabilistic view
5
Discounting
• The time value of money: R1.00 in the hand today is worth more than the expectation of receiving R1.00 at some future date.
• Thus borrowing isn’t free: the borrower pays a premium to induce the lender to part with his/her money. This premium is the interest.
• We shall make the simplifying assumptions that
– There is only one interest rate: All investors can borrow and lend at this (riskless) rate.
– The interest rate is constant over time.
– The same rate applies for all maturities.
R = ln ST S0
i.e. ST = S0eRT
The random variable R is essentially the
“interest” obtained on the investment,
and may be negative.
6
• Let r denote the continuously compounded interest rate, so that one unit of currency deposited in a (riskless) bank account grows to erT units in time T .
• Modelling stock price behaviour • Naive stochastic calculus • PDE approach to finance • Martingale approach to finance • Numerical methods • Current Research
What is Financial Mathematics?
1
Introduction
• Financial Mathematics is a collection of mathematical techniques that find applications in finance, e.g. – Asset pricing: derivative securities. – Hedging and risk management – Portfolio optimization – Structured products