教师资格证面试教案模板：高中数学《圆的一般方程》

圆的一般方程教案
一般方程(x-a)²+(y-b)²=r²表示圆的方程，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径。

以下是关于圆的一般方程的教案：
教学目标：
1. 了解圆的一般方程的含义和作用；
2. 掌握圆的一般方程的使用方法；
3. 能够根据已知条件写出圆的一般方程。

教学步骤：
1. 引入：通过观察多个圆的图形，引导学生思考如何表示圆的方程；
2. 解释一般方程的含义：解释方程中的各个部分的含义，比如(x-a)表示x坐标与圆心x坐标的差值，(y-b)表示y坐标与圆心y坐标的差值；
3. 讲解一般方程的形式：讲解一般方程的标准形式，即(x-
a)²+(y-b)²=r²；
4. 演示如何写出一般方程：通过给定圆心和半径的坐标，演示写出一般方程的步骤；
5. 练习一：给出圆心和半径的坐标，要求学生自行写出一般方程；
6. 解释一般方程的应用：解释一般方程的应用，比如通过一般方程可以求圆的周长和面积；
7. 练习二：给出圆的一般方程，要求学生求出圆的半径和圆心的坐标；
8. 总结和评价：帮助学生总结所学内容，并对学生进行评价。

教学资源：
1. 圆的图形；
2. 圆的一般方程的示意图；
3. 练习题。

教学评价：
1. 学生能否准确理解圆的一般方程的含义；
2. 学生能否熟练运用一般方程求解问题；
3. 学生对于一般方程的应用是否有深入理解。

圆的一般方程教案教学目标：1.理解圆的一般方程的含义和概念；2.掌握圆的一般方程的推导方法；3.通过例题练习，熟练运用圆的一般方程求解问题。

教学重难点：1.圆的一般方程的推导方法；2.如何将已知条件转化为圆的一般方程；3.如何根据圆的一般方程解决相关问题。

教学准备：1.教师准备好黑板、彩色粉笔等教学工具；2.学生准备好课本和笔记本。

教学过程：一、导入（5分钟）1.教师大声朗读以下问题并呈现在黑板上：“在平面上，如何描述一个圆？”2.学生思考问题，并给出自己的答案。

二、引入（5分钟）1.教师讲解圆的一般方程的含义和概念：圆的一般方程是描述圆所在平面上的点与圆心之间的关系的方程，即任意一个平面上的点(x,y)都满足该方程的条件，该方程可以用来推导圆的性质和解决相关问题。

2.教师讲解圆的一般方程的形式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中(a,b)为圆心的坐标，r为圆的半径。

三、推导（20分钟）1.教师通过几何方法讲解圆的一般方程的推导过程：a.以点$(x_0,y_0)$为圆心，半径为r的圆为例，画出这个圆；b.过点$(x_0,y_0)$引一条直径，并确定直径上的一点$(x_1,y_1)$；c.根据圆的性质，点$(x_0,y_0)$到点$(x_1,y_1)$的距离即为半径r；d.根据点到直线的距离公式，得到$(x_1,y_1)$到直线$x=x_0$的距离为r；e.根据距离的定义，得到圆的一般方程$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$。

2.学生进行模仿演练，用类似的方法尝试推导出圆的一般方程。

四、例题练习（25分钟）1.教师提供一些例题，要求学生根据已知条件利用圆的一般方程解决问题。

2.学生在课本和笔记本上进行计算和推导，并给出解答。

3.教师批改学生的答案，并给予必要的解释和指导。

五、归纳总结（10分钟）1.教师让学生归纳总结圆的一般方程的形式和推导方法。

2.学生将归纳总结的内容写入笔记本中，并复习整理。

圆的一般方程》教案(公开课)
x2+y2+Dx+Ey+F=0和圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的异同点是什么？
答案：相同点是都是二元二次方程，不同点是圆的一般方程有限制条件D2+E2-4F＞0，且表示的轨迹为圆形，而二元二次方程的轨迹可以是圆、椭圆、双曲线或者无图形．因此，圆的一般方程的特点是必须满足限制条件D2+E2-4F＞0，且表示的轨迹为圆形．
四)求圆的一般方程的标准方程
1．通过配方求圆心和半径
将圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为标准方程(x-
a)2+(y-b)2=r2，可以得到圆心坐标为(a，b)，半径为
r=√(a2+b2-F)．
2．用待定系数法，由已知条件导出圆的方程
以求圆心坐标为例，假设圆心坐标为(a，b)，则圆的一般方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，展开可得x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-
r2)=0．由此，可以列出方程组：
x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0
x1^2+y1^2-2ax1-2by1+(a2+b2-r2)=0
x2^2+y2^2-2ax2-2by2+(a2+b2-r2)=0
解方程组得到a=(x1+x2)/2，b=(y1+y2)/2，r=√[(x1-
x2)2+(y1-y2)2]/2．
五)实际问题的应用
通过配方和待定系数法，可以解决一些实际问题，如求解两个圆的位置关系、求解圆与直线的交点等等．
五、教学反思
本节课主要讲解了圆的一般方程，重点在于让学生掌握通过配方和待定系数法求解圆的一般方程的方法，以及圆的一般方程的特点和应用．在教学过程中，要引导学生深入思考，分析问题，培养解决实际问题的能力．同时，要注意让学生掌握基本概念和公式，避免死记硬背．。

圆的一般方程上节课老师给大家留了一个思考题，请同学们思考，方程x2+y2+2x-4y+1=0和方程x2+y2-2x-4y+6=0，分别表示什么图像？那上课之前啊，老师先找同学们来分享一下他的想法，靠窗的这位同学你来说，你说你通过将方程一变形得到了(x-1)2+(y+2)2=4，那他是我们上节课学过的圆的标准方程的形式，所以原方程他表示一个以(1,-2)为圆心，2为半径的圆，那同样的方法我们将第二个方程变形得到了，(x-1)2+(y-2)2=-1，很明显，不存在这样的(x,y)满足这样的方程，所以啊，这个方程它不表示任何图形，那这位同学啊，回答得非常的细致，说明咱们课后作业完成的非常认真，那到这里啊，我们会发现一个二元二次方程，x2+y2+Dx+Ey+F=0，他表示的曲线有可能是圆，那这个究竟在什么条件下他才表示圆呢？这节课我们就一起来讨论这个问题。

那我们现在是不是要讨论方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，是否表示圆，对吧？那这时候我们怎样去探究这个问题呢？是不是只要我们能够将这个方程转化成我们上节课所学过的圆的标准方程，并能够找出圆心和半径就可以啦？那既然是这样，那我们怎样去处理呢？我听到有同学说，可以通过配方将原来的这个方程，变形成我们圆的标准方程的形式，好，那下面哪位同学来说一下你的思路呢？小飞同学你来说一下。

小飞同学说，他将方程一进行了配方，得到了一个新的方程，，大家说对不对啊？很好啊，那看来同学们对于配方法应用和掌握也是非常的到位，我们把这个方程就记作方程2，那这时候我们发现，很明显，方程2与圆的标准方程的形式是不是非常的相似呀？所以啊，接下来请同学们利用三分钟时间，将方程2与圆的标准方程进行对比，4人一小组讨论我们刚才提出的问题，方程2表示的曲线是否是一个圆。

好，同学们时间到了，老师在刚才巡视的过程当中发现啊，所有小组都讨论得非常的激烈，每位同学都在积极的发表自己的看法，老师给他点个赞，下面哪位同学，来回答一下你们小组是怎样梳理的呢？三代表你来说，三个代表说啊，比较圆的标准方程和方程2的形式啊，方程二表不表示圆，主要跟地方加一方减4f的取值范围有关系，所以啊，你们进行了分类讨论，那第1种情况是那第2种情况是什么呢？当时方程只有，也就是说他只表示一个点。

高中数学教师资格面试《圆的一般方程》教案一、教学目标1. 知识目标：掌握圆的一般方程的概念、性质及其应用。

2. 技能目标：能够利用圆的一般方程解决实际问题。

3. 情感目标：通过本课的学习，学会感受数学美，提高数学学科素养。

二、教学内容1. 圆的一般方程的定义。

2. 圆的一般方程的性质（方程的标准形式、圆心及半径的求解）。

3. 利用圆的一般方程解决实际问题。

三、教学重点和难点1. 圆的一般方程的标准形式的求解和圆心半径的求解。

2. 圆的一般方程的应用。

四、教学过程1. 导入新课（5分钟）通过导入相关的数学问题，激发学生学习本课的兴趣，引导学生对本课内容感兴趣。

2. 课堂讲解主体（35分钟）（1）讲解圆的一般方程的定义及标准形式。

（2）讲解圆的一般方程的性质（圆心及半径的求解）。

（3）讲解圆的一般方程的应用。

3. 讲解结束，小结复习（10分钟）回归本课的内容要点，向学生总结本节课的知识点。

同时，老师可以针对学生提出的问题进行一些讲解，并引导学生完成相关的习题。

4. 课后作业（10分钟）要求学生结合本节课讲解的内容完成课后作业，并留下需要在下节课讨论的问题。

五、教学方法1. 演示法2. 讨论法3. 课堂互动法六、教学资源1. 教材及教辅材料2. 多媒体设备3. 白板、彩笔七、教学评价1. 考勤记录2. 课堂表现评价3. 课后作业完成评价4. 错误习题纠正评价八、教学安排本课程安排两个课时，第一课时为理论讲解和部分实例演示，第二课时为实例讲解和习题课。

《圆的一般方程》教学设计【教学目标】1．知识与技能（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2．过程与方法通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3．情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.【教学重点】：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.【教学难点】：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.【教学过程】教学环节教学内容师生互动设计意图课题引入问题：求过三点A(0，0)，B (1，1)，C(4，让学生带着问题进设疑激趣导2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程.行思考入课题.概念形成与深化请同学们写出圆的标准方程：(x–a)2+(y –b)2 = r2，圆心(a，b)，半径r.把圆的标准方程展开，并整理：x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2 –r2=0.取D = –2a，E = –2b，F = a2 + b2–r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0①这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如x2 + y2 + Dx + Ey +F= 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得22224()()224D E D E Fx y+-+++=②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？（1）当D2 + E2– 4F＞0时，方程②表示以(,)22D E--为圆心，整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳.圆的一般方程的特点：（1）①x2和y2的系数相同，不等于0.②没有xy这样的二次项.（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定通过学生对圆的一般方程的探究，使学生亲身体会圆的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满足的条件.22142D E F +-为半径的圆； （2）当D 2 + E 2 – 4F = 0时，方程只有实数解,22D Ex y =-=-，即只表示一个点(,)22D E--； （3）当D 2 + E 2 – 4F ＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆.只有当D 2 + E 2 – 4F ＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0的表示圆的方程称为圆的一般方程.了.（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显.应用举例例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.（1）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 9 = 0 （2）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 11 = 0解析：（1）将原方程变为x 2 + y 2 – x + 3y +94= 0 D = –1，E =3，F =94. ∵D 2 + E 2 – 4F = 1＞0学生自己分析探求解决途径：①用配方法将其变形化成圆的标准形式.②运用圆的一般方程的判断方法求解.但是，要注意对于（1）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 9 = 0来说，这里的D = –1，E = 3，94F =通过例题讲解使学生理解圆的一般方程的代数特征及与标准方程的相互转化更进一步培养学生探索发现及分析解决∴此方程表示圆，圆心（12，32-），半径r =12.（2）将原方程化为x2 + y2 –x + 3y +114= 0D = –1，E =3，F =114. D2 + E2– 4F = –1＜0∴此方程不表示圆. 而不是D= –4，E=12，F = 9.问题的能力.例2 求过三点A (0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x2 + y2+ Dx + Ey + F = 0∵A (0，0)，B(1，1)，C(4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F的三元一次方程组：即2042200FD E FD E F=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩例2 讲完后学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：1．根据题设，选择标准方程或一般方程.2．根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；3．解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程.解此方程组，可得：D = –8，E =6，F = 0 ∴所求圆的方程为：x 2 + y 2 – 8x + 6y = 0221452r D E F =+-=； 4,322D F-=-=-. 得圆心坐标为(4，–3).或将x 2 + y 2 – 8x + 6y = 0左边配方化为圆的标准方程，(x – 4)2 + (y + 3)2 = 25，从而求出圆的半径r = 5，圆心坐标为(4，–3).例3 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4，3)，端点A 在圆上(x + 1)2 + y 2 = 4运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.解：设点M 的坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)由于点B 的坐标是(4，3)且M 是线段AB 中重点，所以0043,22x y x y ++==，① 于是有x 0 = 2x – 4，y 0 = 2y – 3因为点A 在圆(x + 1)2 + y 2 = 4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x + 1)2 + y 2 = 4，即 (x 0 + 1)2 + y 02 = 4 ② 把①代入②，得(2x – 4 + 1)2 + (2y – 3)2 = 4，教师和学生一起分析解题思路，再由教师板书.分析：如图点A 运动引起点M 运动，而点A 在已知圆上运动，点A 的坐标满足方程(x + 1)2 + y 2 = 4.建立点M 与点A 坐标之间的关系，就可以建立点M 的坐标满足的条件，求出点M 的轨迹方程.备选例题例1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径.（1）x2 + y2 + x + 1 = 0；（2）x2 + y2 + 2ac + a2 = 0 (a≠0)；（3）2x2 + 2y2 + 2ax– 2ay = 0 (a≠0).【解析】（1）因为D＝ 1，E＝ 0，F＝ 1，所以D2 + E2– 4F＜0 方程（1）不表示任何图形；（2）因为D＝ 2a，E＝ 0，F＝a2，所以D2 + E2– 4F＝ 4a2– 4a2 = 0，所以方程（2）表示点(–a，0)；（3）两边同时除以2，得x 2 + y 2+ ax – ay = 0，所以D = a ，E = – a ，F = 0. 所以D 2 + E 2 – 4F ＞0， 所以方程（3）表示圆，圆心为(,)22a a-，半径||r a =. 点评：也可以先将方程配方再判断.例2 已知一圆过P (4，–2)、Q (–1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为的方程.【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.【解析】法一：设圆的方程为：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ① 将P 、Q 的坐标分别代入①得4220310D E F D E F -+=-⎧⎨--=⎩令x = 0，由①，得y 2 + Ey + F = 0 ④由已知|y 1 – y 2| = y 1，y 2是方程④的两根. ∴(y 1 – y 2)2 = (y 1 + y 2) – 4y 1y 2 = E 2 – 4F = 48 ⑤ 解②③⑤联立成的方程组，得2012D E F =-⎧⎧⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=-⎩⎩D=-10或E=-8F=4 故所求方程为：x 2 + y 2 – 2x – 12 = 0或x 2 + y 2 – 10x – 8y + 4 = 0. 法二：求得PQ 的中垂线方程为x – y – 1 = 0 ① ∵所求圆的圆心C 在直线①上，故设其坐标为(a ，a – 1)， 又圆C的半径||r CP ==②由已知圆C 截y轴所得的线段长为C 到y 轴的距离为|a |.② ③222r a =+ 代入②并将两端平方，得a 2 – 5a + 5 = 0， 解得a 1 = 1，a 2 = 5.∴12r r 故所求的圆的方程为：(x – 1)2 + y 2 = 13或(x – 5)2 + (y – 4)2 = 37.【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y 轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多.（2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.例3 已知方程x 2 + y 2 – 2(t + 3)x + 2(1 – t 2)y + 16t 4 + 9 = 0表示一个圆，求 （1）t 的取值范围； （2）该圆半径r 的取值范围. 【解析】原方程表示一个圆的条件是D 2 +E 2 – 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 – t 2)2 – 4(16t 4 + 9)＞0 即7t 2 – 6t – 1＜0，∴117t -<<（2）2222224224(3)(1)(169)76143167()77D E F r t t t t t t +-==++--+=-++=--+∴2160,07r r <≤<<《圆的一般方程》教案一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．(二)能力训练点使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．(三)学科渗透点通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．二、教材分析1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练．)2．难点：圆的一般方程的特点．(解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．)3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0．(解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．)三、活动设计讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板．四、教学过程(一)复习引入新课前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．(二)圆的一般方程的定义1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．2．圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．(三)圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．(3)的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；(2)没有xy项，即B=0；(3)D2+E2-4AF＞0．它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．教师还要强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．(四)应用与举例同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆．下面看一看它们的应用．例1求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0．此例由学生演板，教师纠错，并给出正确答案：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b．同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握．例2求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0．例2小结：1．用待定系数法求圆的方程的步骤：(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程．2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．再看下例：例3求圆心在直线l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．(0，2)．设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10．这时，教师指出：(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程．(2)此题也可以用圆系方程来解：设所求圆的方程为：x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)整理并配方得：由圆心在直线l上得λ=-2．将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0．此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念．的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线．此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：(1)由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M(x，y)，由求曲线方程的一般步骤可求得；(2)应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形．(五)小结1．圆的一般方程的定义及特点；2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径；3．用待定系数法，导出圆的方程．五、布置作业1．求下列各圆的一般方程：(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；(2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)．2．求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．3．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．4．A、B、C为已知直线上的三个定点，动点P不在此直线上，且使∠APB=∠BPC，求动点P的轨迹．作业答案：1．(1)x2+y2-16x+6y+48=0(2)x2+y2-4x-2y-20=02．x2+y2-x+7y-32=03．所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3，x≠5)，轨迹是以4．以B为原点，直线ABC为x轴建立直角坐标系，令A(-a，0)，C(c，0)(a＞0，c＞0)，P(x，y)，可得方程为：(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0．当a=c时，则得x=0(y≠0)，即y轴去掉原点；当a≠c时，则得(x-与x轴的两个交点．六．板书设计。

圆的一般方程教案
教案标题：圆的一般方程教案
教学目标：
1. 理解圆的一般方程的概念和含义。

2. 掌握如何根据已知条件写出圆的一般方程。

3. 能够利用圆的一般方程解决与圆相关的问题。

教学准备：
1. 教师准备：教案、电脑、投影仪、白板、白板笔。

2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、橡皮擦。

教学过程：
引入：
1. 教师通过投影仪展示一个圆，并引导学生回顾圆的定义和性质。

2. 教师提问：你们知道如何表示一个圆吗？请思考并回答。

探究：
1. 教师引导学生思考如何根据已知条件写出圆的一般方程，并解释一般方程的含义。

2. 教师通过演示和解释，以一个具体的例子来说明如何写出圆的一般方程。

3. 学生个体或小组合作，完成练习题，巩固掌握写出圆的一般方程的方法。

拓展：
1. 教师提供更多的例子，让学生自主尝试写出圆的一般方程。

2. 学生个体或小组合作，解决与圆相关的问题，运用圆的一般方程求解。

总结：
1. 教师总结本节课的重点内容，并强调圆的一般方程的重要性和应用。

2. 学生回答教师提出的问题，检查他们对本节课内容的掌握程度。

作业：
1. 学生个体完成课后练习题，巩固对圆的一般方程的掌握。

2. 学生预习下节课的内容，准备相关的学习材料。

教学反思：
1. 教师根据学生的学习情况，调整教学步骤和方法，确保学生能够理解和掌握圆的一般方程的写法和应用。

2. 教师鼓励学生积极参与课堂讨论和练习，提高他们的学习兴趣和动力。

---一、教学目标1. 知识与技能：- 理解并掌握圆的一般方程形式。

- 学会通过圆的一般方程推导出圆的标准方程。

- 能够根据已知条件求出圆心坐标和半径。

2. 过程与方法：- 通过实例分析和图形直观，理解圆的一般方程与圆的标准方程之间的关系。

- 通过实际操作，培养数形结合的数学思想。

3. 情感态度与价值观：- 在解决问题的过程中，培养学生严谨的数学态度和独立思考的能力。

- 增强学生运用数学知识解决实际问题的信心。

二、教学重难点1. 重点：- 圆的一般方程的推导过程。

- 由圆的一般方程求出圆心坐标和半径。

2. 难点：- 理解并掌握圆的一般方程的特点。

- 正确进行配方法，将圆的一般方程化为圆的标准方程。

三、教学过程（一）导入新课1. 复习导入：- 回顾初中阶段学习的圆的基本性质和方程。

- 引导学生思考圆的一般方程与圆的标准方程之间的关系。

2. 情境导入：- 通过生活中的实例，如钟表的表盘、地球的形状等，引入圆的概念。

（二）新课讲授1. 圆的一般方程：- 介绍圆的一般方程形式：\(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)。

- 通过实例讲解如何根据已知条件写出圆的一般方程。

2. 圆的标准方程：- 介绍圆的标准方程形式：\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)。

- 讲解如何将圆的一般方程化为圆的标准方程，包括配方和化简的过程。

3. 求圆心坐标和半径：- 通过实例讲解如何从圆的一般方程中求出圆心坐标和半径。

- 引导学生总结求圆心坐标和半径的方法。

（三）巩固练习1. 基础练习：- 判断圆的一般方程是否正确。

- 将圆的一般方程化为圆的标准方程。

2. 综合练习：- 根据已知条件求圆心坐标和半径。

- 利用圆的一般方程解决实际问题。

（四）课堂小结1. 回顾本节课所学内容：- 圆的一般方程的形式和特点。

- 圆的一般方程与圆的标准方程之间的关系。

- 求圆心坐标和半径的方法。

2. 布置作业：- 完成课后习题，巩固所学知识。

圆的方程教案范文一、教学内容：1.圆的定义及性质；2.圆的标准方程及其特点；3.圆的一般方程及其特点；4.圆与直线的交点；5.圆的切线方程及其特点；6.圆与圆的位置关系。

二、教学目标：1.掌握圆的定义及性质；2.掌握圆的标准方程及其特点；3.掌握圆的一般方程及其特点；4.掌握圆与直线的交点；5.掌握圆的切线方程及其特点；6.掌握圆与圆的位置关系。

三、教学过程：1.导入（5分钟）教师通过一个实例，如"一个篮球场上画有一个半径为10米的圆"来引入圆，引发学生对圆的认知。

教师简述圆的定义，即平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合。

然后介绍圆的性质，如圆的直径和半径的关系等。

3.圆的标准方程及其特点（20分钟）3.1圆的标准方程的引入教师通过用坐标系画一个圆，然后引导学生观察坐标点的特点，进而引入到圆的标准方程。

3.2圆的标准方程的推演教师通过向学生提问，带领学生推演出圆的标准方程。

3.3圆的标准方程的特点教师详细介绍圆的标准方程的特点，如圆心坐标和半径。

4.圆的一般方程及其特点（20分钟）4.1圆的一般方程的引入教师通过一个实例，如"已知圆心坐标为(2,3)，半径为4，请写出圆的方程"来引入圆的一般方程。

4.2圆的一般方程的推演教师通过向学生提问，带领学生推演出圆的一般方程。

4.3圆的一般方程的特点教师详细介绍圆的一般方程的特点，如二次项系数、一次项系数和常数项的关系。

5.1圆与直线的交点的引入教师通过一个实例，如"已知一个圆的方程为x^2+y^2=25，一条直线的方程为y=2x+1，请问圆与直线的交点有几个？"来引入圆与直线的交点。

5.2圆与直线的交点的解法教师通过向学生提问，引导学生探讨圆与直线的交点的解法，如代入法、联立法等。

5.3圆与直线的交点的特点教师总结圆与直线的交点的特点，如无交点、一个交点和两个交点。

6.圆的切线方程及其特点（15分钟）6.1圆的切线方程的引入教师通过一个实例，如"已知一个圆的方程为x^2+y^2=16，求圆在点(3,4)处的切线方程"来引入圆的切线方程。

圆的一般方程教案教学目标1．讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径．2．通过对圆的一般方程的特点的讨论，培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度；通过例题的分析讲解，培养学生分析问题的能力．教学重点与难点圆的一般方程的探求过程及其特点是教学重点；根据具体条件选用圆的方程为教学难点．教学过程一、复习并引入新课师：请大家说出圆心在点(a，b)，且半径是r的圆的方程．生：(x－a)2+(y－b)2=r2．师：以前学习过直线，直线方程有哪几种？生：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式．师：直线方程的一般式是Ax+By+C=0吗？生A：是的．生B：缺少条件A2+B3≠0．师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？(书写课题：“圆的一般方程”的探求)二、新课师：圆是否有一般方程？这是个未解决的问题，我们来探求一下．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式，两点式……)展开整理而得到的．想求圆的一般方程，怎么办？生：可仿照直线方程试一试！把标准形式展开，整理得x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0．令D=－2a，E=－2b，F=a2+b2－r2，有：x2+y2+Dx+Ey+F=0．(*)师：从(*)式的得来过程可知，只要是圆的方程就可以写成(*)的形式．那么能否下结论：x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程？生A：不一定．还得考虑：x2+y2+Dx+Ey+F=0能否写成标准形式．生B：也可以像直线方程一样，要有一定条件．师：那么考虑考虑怎样去寻找条件？生：配方．师；请大家动手做，看看能否配成标准形式？(放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板书．)1．当D2+E2－4F＞0时，比较(△)式和圆的标准方程知：(*)式表示以3．当D2+E2－4F＜0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形．教师总结：当D2+E2－4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程．师：圆的一般方程有什么特点？生A：是关于x、y的二元二次方程．师：刚才生A的说法对吗？生B：不全对．它是关于x、y的特殊的二元二次方程．师：特殊在什么地方？(通过争论与举反例后，由教师总结)师：1．x2，y2系数相同，且不等于零．2．没有xy这样的二次项．(追问)：这两个条件是“方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圆”的什么条件？生：必要条件．师：还缺什么？生：D2+E2－4F＞0．练习：判断以下方程是否是圆的方程：①x2+y2－2x+4y－4=0②2x2+2y2－12x+4y=0③x2+2y2－6x+4y－1=0④x2+y2－12x+6y+50=0⑤x2+y2－3xy+2y+5y=0⑥x2+y2－12x+6y+F=0三、应用举例师：先请大家比较一下圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2与一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在应用上各有什么优点？生：标准方程的几何特征明显——能看出圆心、半径；一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程．师：怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径．生B：不用死记，配方即可．师：两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选择．例1 求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求圆心和半径．分析标准方程需定a，b，r；一般方程需定：Ｄ，E，F，显然在没有告诉半径或圆心的情况下选一般方程，解D，E，F时较为简单．解法：设出一般方程，用待定系数法．例2 一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(－4，0)和(4，0)，求它的外接圆方程．解法一设出一般方程，用待定系数法．(由三角形性质知：顶点为(0，5))解法二设出标准式x2+(y－b)2=r2．(由三角形性质知：顶点为(0，5)，且圆心在y轴上)．四、小结注意一般式的特点：1°x2，y2系数相等且不为零；2°没有xy这样的项；3°D2+E2－4F＞0．另外，大家考虑：D2+E2－4F有点像什么？像判别式，它正是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否是圆的方程的判别式．如D、E确定了，则与F的变化有关．五、作业：1．求下列各圆的一般方程：①过点A(5，1)，圆心在点C(8，－3)；②过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)．2．求下列各圆的圆心坐标和半径：①x2+y2－2x－5=0②x2+y2+2x－4y－4=0③x2+y2+2ax＝0④x2+y2－2by－2b2＝03．求证：两圆x2+y2－4x－6y+9=0和x2+y2+12x+6y－19=0相外切．设计思想这是一节介绍新知识的课，而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程．因此，在设计这节课时，力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”．在展现知识的形成过程中，尽量避免学生被动接受，而采用讨论式，引导学生探索，重视探索过程．一方面，把直线一般方程探求过程进行回顾，类比，学生从中领会探求方法；另一方面，“把标准方程展开→认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方法．同时，通过类比进行条件的探求——“D2+E2－4F”与“Δ”(判别式)类比．在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”，并用它探求新知识．这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程．。