2014—2015学年沪科版八年级数学下册教学课件17.4一元二次方程的根与系数的关系(2)

解方程组，得
1 x2 2
4 4x2 2
k7
答：方程的另一个根为 1 ，k 的值为 7.
2
想一想 本题还有别的解法吗？
解 将 x = –4 代入方程，得 2×（ –4 ）2 +（ –4 ）k – 4 = 0. 解得 k = 7.
将 k = 7代入方程，得 2x2 + 7x – 4 = 0， 1
随堂演练
1. 关于 x 的方程 x2 + px + q = 0 的根为 x1 = 1+ ，x2 = 1 – ，则 p = –2，q= –.1
2. 已知方程 5x2 + kx – 6 = 0 的一根是 2，则另 一根是 ，3 k＝ –. 7
5
3. 求下列方程的两根 x1，x2 的和与积： （1）x2 – 3x + 2 = 0； （2）x2 + x = 5x + 6
b2 – 4ac = 45 > 0. 方程有实数根. 当 m = –1 时，原方程为 x2 – x + 1 = 0，
b2 – 4ac = – 3 < 0. 方程无实数根，此 m 值舍去. ∴ m 的值为 3.
韦达定理
课堂小结
如果 ax2+ bx + c = 0（a ≠ 0）的两根为 x1，x2，
那么 x1+x2 =
b b2 4ac
x1 =
2a
b b2 4ac
x1 =
2a
所以 x1 + x2 =
b
b2 4a+c 2a
b b2 4ac 2a
= 2b= b
2a
a
x1x2 =
b
b2 4a·c 2a

提高训练
1.以方程X +3X+2=0的两个根的相反数为根 的方程是（ ） B A、y2+3y-2=0 B、 y2－3y+2=0
2
C、y +3y+2=0
换元法：
2
D、
y －3y-2=0
2
设y=-x，则x=-y，将其代入X +3X+2=0，
得y －3y+2=0 ，即为所求方程。
2
2
提高训练ห้องสมุดไป่ตู้
2.已知方程X +kX+k+2=0的两个根是X1、X2， 且X12+X22 = 4，求k的值。
1 ∴两根之积2m10 m 且0, 2 1 ∴ m 2 时,方程有一根为零.
引申:1、若ax2bxc0 (a0 0) （1）若两根互为相反数,则b0; （2）若两根互为倒数,则ac; （3）若一根为0,则c0 ; （4）若一根为1,则abc0 ; （5）若一根为1,则abc0; （6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.
17.4一元二次方程的根
与系数的关系
1.方程 x 3kx 2k 1 0 的两根互
2
为倒数，求k的值。
解：设方程的两根分别为 x1 和 x2 ， x1 x2 2k 1 则： 而方程的两根互为倒数 即： x1 x2 1 所以： 2k 1 1 得： k 1
2. 已知方程 5x kx 6 0 的一个根
解：由根与系数的关系得： X1+X2=-k， X1.X2=k+2 ∵ △= K2-4（k+2） 当k=4时， △＜0
2
又X12+ X2 2 = 4
即(X1+ X2)2 - 2 X1X2=4 K2- 2（k+2）=4

17.4 一元二次方程根的根与系数的关系
复习 引入
合作 探究
课堂 小结
随堂 训练
复习引入
1.一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？ 2.求根公式是什么？根的个数怎么确定的？
首页
合作探究
活动：探究一元二次方程的根与系数的关系
方程
x1 x2 x1+ x2 x1∙x2
x2-3x+2=0 2 1
3
2
x2-2x-3=0 -1 3
c , x1 ·x2= a
注：能用根与系数的关系的前
提条件为b2-4ac≥0
一、直接运用根与系数的关系 例1.不解方程，求下列方程两根的和与积.
(1)x2 6x 15 0 (2)3x2 7x 9 0 (3)5x 1 4x2
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
3 x2 7x 2 0
x1
1 3
2 7 3
1 3
x2
1 3
2 7 3
-2
x1 x2
2 3 4 3
7 3
x1. x2
1 9
1 3
2 3
x1+ x2，x1∙x2与系数有什么规律?
猜想：
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常 数且a≠0）的两根为x1、x2，则：
b2 4ac 0
2
-3
x2-5x +4=0 1 4
5
4
问题：你发现这些一元二次方程的两根x1+ x2，与 x1 • x2系数有什么规律？
首页Biblioteka 猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两
根为x1,, x2. x1 x2 p x1 x2 q

如 果 ax2bx+c=0（ a0） 的 两 个 根
为 x1、 x2， 那 么 x1+x2
b a， x1x2
c. a
例 不解方程，求方程两根的和、两 根的积：
①x23x10 ② x2 2x1 0
2
解：① x1x2 3
②x1 x2 2
x1 x2 1 1
x1 x2 2
1、不解方程，求方程两根的和两 根的积：
2、不解方程，求方程两根的和、 两根的积：
(1)3x2 6x90 (2)5x2 x100
3、（1）已知关于x的方程
x2 px q 0 的两个根是1和2,
求p和q的值；
（2）求一个一元二次方程，使它 的两个根分别为4和-7。
4、已知方程 x2kx60的一个
根是2，求它的另一个根及 k 的值。
17.4 一元二次方程 的根与系数的关系
复习回顾
用公式法求一元二次方程ax2+bx＋ c＝0(a、b、c均为常数，a≠0且b²4ac≥0)的根是什么？
一、解下列方程，将得到的解填入下面的表格中.
（1）9x2－6x+1＝0； （2）3x2＋4x+1＝0；
（3）3x2+7x＋2＝0
二、尝试探索，发现规律
5、下列方程两根的和与两根的积 各是多少？
① x23x10；② 3x2 2x2
③ 2x23x0 ；④ 3 x 2 1
6、已知方程 x2m两2、个不2 根解x的 方①3程平，方0求和一；元②二倒次数方和程.
8、已知方程 2x24x2m0
的两个根的倒数和等于6，求m的 值.
9、设 x 1 , x 2 是方程2x24x30的两 个根，不解方程，求下列各式的值.