上海卢湾区第一学期期末考试高一数学试卷和解答

上海市高一年级第一学期期末考试数学试卷一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B = ．2.函数y =的定义域是 ．3.不等式302x x -<-的解是 ． 4.若指数函数(1)xy m =+在R 上是增函数，则实数m 的取值范围是 ． 5.函数2()f x x x =-的零点是 ．6.设函数()f x =1()f x -，则1(3)f -= ．7.已知函数21y x ax =-++在区间[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围是 ． 8.若幂函数2()(1)mf x m m x =--在区间(0,)+∞上单调递增，则实数m = ．9.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()f x x x =--，则(2)f = ． 10.若log (2)1a b =-，则4a b +的最小值是 ．11.已知函数()(22)xxf x x -=⋅-，存在1[,1]2x ∈，使不等式(1)(2)f ax f x +≤-成立，则实数a 的取值范围是 ．12.已知函数()()(3)f x m x m x m =-++和()22xg x =-同时满足以下两个条件： （1）对于任意实数x ，都有()0f x <或()0g x <； （2）总存在0(,3)x ∈-∞-，使00()()0f x g x ⋅<成立． 则实数m 的取值范围是 ．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13.设P 和Q 是两个集合，定义集合{}Q x P x x Q P ∉∈=-且，如果{}1log 2<=xx P ，{}12<-=x x Q ，那么=-Q P （ ）(A))1,0( (B) ]1,0( (C))2,1[ (D))3,2[ 14.已知关于x 的不等式21<++ax x 的解集为P ，若P ∉1，则实数a 的取值范围为 （ ） (A)),0[]1,(+∞--∞ (B)]0,1(- (C)]0,1[- (D)),0()1,(+∞--∞15.已知函数)(x f y =的定义域为[]b a ,，(){}(){}0|,),(|,=≤≤=x y x b x a x f y y x 只有一个子集，则 （ ）(A) 0>ab (B)0≥ab (C)0<ab (D)0≤ab16.已知()f x 是单调减函数，若将方程()f x x =与1()()f x f x -=的解分别称为函数()f x 的不动点与稳定点。

【答案】
【解析】易知当 时，函数 单调递增，且 ，故当 时， ，
当 时， ，所以当 时，不等式 的解集为 .
因为函数 的图象关于原点对称，所以 ，且当 时，不等式
的解集为 .故不等式 的解集为 .
故答案为： .
【说明】本题考查利用函数的单调性解不等式，涉及到函数的奇偶性，考查学生的数形结合的思想，是一道中档题.
当 时， ，不满足题意；
当 时， ，满足题意；
当 时， ，满足题意；
当 时， ，满足题意；
当 时， ，此时分母为零，不满足题意；
当 时， ，满足题意；
当 时， ，满足题意；
当 时， ，满足题意；
当 时， ，不满足题意；
当 时， ，不满足题意；
当 时， ，满足题意；
综上可得，集合 .
故答案为： .
2、若关于 的不等式 的解集是 ，则 ________
（1）证明： ；
（2）建立变量 与 之间的函数关系式 ，并写出函数 的定义域；
（3）求 的最大面积以及此时的 的值.
18、已知函数 是定义域为 上的奇函数.
（1）求 的值；
（2）用定义法证明函数的单调性，并求不等式 的解集；
（3）若 在 上的最小值为 ，求 的值.
四. 附加题
19、设函数 ，其中 .
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；与 相同的集合有（）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
三、解答题：(共48分)
15、已知全集 ，集合 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
16、已知函数 ， .
（1）求 的值；
（2）设 ，求函数 在 上的值域.
17、如图所示，设矩形 （ ）的周长为20厘米，把 沿 向 折叠， 折过去后交 于点 ，设 厘米， 厘米.

沪教版高一（上）期末数学试卷一、填空题1．（3分）弧度数为2的角的终边落在第象限．2．（3分）若幂函数f（x）＝xα图象过点，则f（3）＝．3．（3分）已知＝2，则tanα的值为．4．（3分）＝．5．（3分）已知lg2＝a，10b＝3，则log125＝．（用a、b表示）6．（3分）若tanα＝；则cos（2α+）＝．7．（3分）已知函数f（x）＝的值域为R，则实数a的取值范围是．8．（3分）已知θ∈（0，），2sin2θ＝1+cos2θ，则tanθ＝．9．（3分）已知α∈（﹣，0），sin（π﹣2α）＝﹣，则sinα﹣cosα＝10．（3分）已知锐角α，β满足sin（2α+β）＝3sinβ，则tan（α+β）cotα＝．11．（3分）已知α，β∈（0，π），且tan（α﹣β）＝，tanβ＝﹣，2α﹣β的值为．12．（3分）已知f（x）是定义域为R的单调函数，且对任意实数x，都有f[f（x）+]＝，则f （log2sin）＝．二、选择题13．（3分）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）A为三角形ABC的一个内角，若sin A+cos A＝，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形15．（3分）已知函数f（x）＝log a（6﹣ax）在x∈[2，3）上为减函数，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（1，2]C．（1，3）D．（1，3]16．（3分）设x1，x2分别是f（x）＝x﹣a﹣x与g（x）＝x log a x﹣1（a＞1）的零点，则x1+9x2的取值范围是（）A．[8，+∞）B．（10，+∞）C．[6，+∞）D．（8，+∞）三、解答题17．已知α∈（0，），β∈（0，），sinα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．18．已知函数f（x）＝3x﹣a•3﹣x，其中a为实常数；（1）若f（0）＝7，解关于x的方程f（x）＝5；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．19．高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为400m，所在圆的半径为r，扇形的圆心角的弧度数为θ，θ∈（0，2π）．（1）求绿化区域面积S关于r的函数关系式，并指数r的取值范围：（2）所在圆的半径为r取何值时，才能使绿化区域的面积S最大，并求出此最大值．20．已知函数y＝f（x）的定义域为（1，+∞），对于定义域内的任意实数x，有f（2x）＝2f（x）成立，且x∈（1，2]时，f（x）＝log2x．（1）当x∈（1，23]时，求函数y＝f（x）的最大值；（2）当x∈（1，23.7]时，求函数y＝f（x）的最大值；（3）已知f（1200）＝f（b）（实数b＞1），求实数b的最小值．21．已知函数f（x）＝log a（x+）．x∈（1，+∞），a＞0且a≠1．（1）若a为整数，且f（）＝2，试确定一个满足条件的a的值；（2）设y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若f﹣1（n）＜（n∈N*），试确定a的取值范围；（3）若a＝2，此时y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），令g（x）＝，若对一切实数x1，x2，x3，不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立，试确定实数k的取值范围．沪教版高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）弧度数为2的角的终边落在第二象限．【解答】解：根据题意，＜2＜π，则弧度数为2的角的终边落在第二象限，故答案为：二2．（3分）若幂函数f（x）＝xα图象过点，则f（3）＝．【解答】解：幂函数f（x）＝xα图象过点，则2α＝，解得α＝﹣1，∴f（x）＝x﹣1；∴f（3）＝3﹣1＝．故答案为：．3．（3分）已知＝2，则tanα的值为5．【解答】解：∵＝＝2，∴tanα＝5．故答案为：5．4．（3分）＝﹣．【解答】解：＝cos＝﹣cos＝﹣，故答案为：．5．（3分）已知lg2＝a，10b＝3，则log125＝．（用a、b表示）【解答】解：∵10b＝3，∴lg3＝b，又lg2＝a，∴log125＝．故答案为：．6．（3分）若tanα＝；则cos（2α+）＝﹣．．【解答】解：∵tanα＝，∴cos（2α+）＝﹣sin2α＝＝＝＝﹣．故答案为：﹣．7．（3分）已知函数f（x）＝的值域为R，则实数a的取值范围是[0，）．【解答】解：当x≥1时，f（x）＝2x﹣1≥1，当x＜1时，f（x）＝（1﹣2a）x+3a，∵函数f（x）＝的值域为R，∴（1﹣2a）x+3a必须到﹣∞，即满足：，解得0≤a＜，故答案为：[0，）．8．（3分）已知θ∈（0，），2sin2θ＝1+cos2θ，则tanθ＝．【解答】解：∵θ∈（0，），∴cosθ＞0，∵2sin2θ＝1+cos2θ，∴4sinθcosθ＝2cos2θ，可得tanθ＝．故答案为：．9．（3分）已知α∈（﹣，0），sin（π﹣2α）＝﹣，则sinα﹣cosα＝﹣【解答】解：∵α∈（﹣，0），sin（π﹣2α）＝sin2α＝﹣，∴sinα＜0，cosα＞0，∴sinα﹣cosα＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．10．（3分）已知锐角α，β满足sin（2α+β）＝3sinβ，则tan（α+β）cotα＝2．【解答】解：sin（2α+β）＝3sinβ，sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα＝3[sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα]，2sin（α+β）cosα＝4cos（α+β）sinα，又α、β为锐角，所以sinα≠0，cos（α+β）≠0，所以tan（α+β）cotα＝＝2．故答案为：2．11．（3分）已知α，β∈（0，π），且tan（α﹣β）＝，tanβ＝﹣，2α﹣β的值为﹣．【解答】解：由tan（α﹣β）＝，tanβ＝﹣，∴tanα＝tan[（α﹣β）+β]＝＝＝，由此可得tan（2α﹣β）＝tan[（α﹣β）+α]＝＝＝．又α∈（0，π），且tanα＝＜1，∴0＜α＜，又β∈（0，π），tanβ＝﹣＜0，∴＜β＜π，因此2α﹣β∈（﹣π，0），可得﹣π＜2α﹣β＜0，所以2α﹣β＝﹣．故答案为：﹣．12．（3分）已知f（x）是定义域为R的单调函数，且对任意实数x，都有f[f（x）+]＝，则f （log2sin）＝﹣．【解答】解：根据题意，f（x）是定义域为R的单调函数，且对任意实数x都有f[f（x）+]＝，则f（x）+为常数，设f（x）+＝t，则f（x）＝﹣+t，又由f[f（x）+]＝，即f（t）＝﹣+t＝，解可得t＝1，则f（x）＝﹣+1，∵sin＝，则f（log2）＝f（﹣1）＝﹣+1＝﹣；故答案为：﹣．二、选择题13．（3分）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由α为第三、四象限角，可得sinα＜0．反之不成立，例如．故选：B．14．（3分）A为三角形ABC的一个内角，若sin A+cos A＝，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形【解答】解：∵sin A+cos A＝，∴两边平方得（sin A+cos A）2＝，即sin2A+2sin A cos A+cos2A＝，∵sin2A+cos2A＝1，∴1+2sin A cos A＝，解得sin A cos A＝（﹣1）＝﹣＜0，∵A∈（0，π）且sin A cos A＜0，∴A∈（，π），可得△ABC是钝角三角形故选：B．15．（3分）已知函数f（x）＝log a（6﹣ax）在x∈[2，3）上为减函数，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（1，2]C．（1，3）D．（1，3]【解答】解：若函数f（x）＝log a（6﹣ax）在x∈[2，3）上为减函数，则解得：a∈（1，2]．故选：B．16．（3分）设x1，x2分别是f（x）＝x﹣a﹣x与g（x）＝x log a x﹣1（a＞1）的零点，则x1+9x2的取值范围是（）A．[8，+∞）B．（10，+∞）C．[6，+∞）D．（8，+∞）【解答】解：由设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝x log a x﹣1的零点（其中a＞1），可知x1是方程a x＝的解；x2是方程＝log a x的解；则x1，x2分别为函数y＝的图象与函数y＝y＝a x和函数y＝log a x的图象交点的横坐标；设交点分别为A（x1，），B（x2，）由a＞1，知0＜x1＜1；x2＞1；又因为y＝a x和y＝log a x以及y＝的图象均关于直线y＝x对称，所以两交点一定关于y＝x对称，由于点A（x1，），关于直线y＝x的对称点坐标为（，x1），所以x1＝，有x1x2＝1，而x1≠x2则x 1+9x2＝x1+x2+8x2≥2+8x2＞2+8＝10，即x1+9x2∈（10，+∞）故选：B．三、解答题17．已知α∈（0，），β∈（0，），sinα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【解答】解：（1）∵α∈（0，），sinα＝，∴cosα＝＝，tanα＝＝4，∴tan2α＝＝＝﹣．（2）∵α∈（0，），β∈（0，），sinα＝，cos（α+β）＝﹣，∴α+β∈（0，π），sin（α+β）＝＝，∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝（﹣）×+×＝．18．已知函数f（x）＝3x﹣a•3﹣x，其中a为实常数；（1）若f（0）＝7，解关于x的方程f（x）＝5；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．【解答】解：（1）由f（0）＝7，即1﹣a＝7，可得a＝﹣6，那么3x+6•3﹣x＝5，∴（3x﹣2）（3x﹣3）＝0，解得x＝1或x＝log32．（2）由f（﹣x）＝﹣a•3x+3﹣x，当a＝﹣1时，可得f（﹣x）＝f（x）此时f（x）是偶函数，当a＝1时，f（﹣x）＝﹣f（x）此时f（x）是奇函数，当a≠±1时，f（x）是非奇非偶函数．19．高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为400m，所在圆的半径为r，扇形的圆心角的弧度数为θ，θ∈（0，2π）．（1）求绿化区域面积S关于r的函数关系式，并指数r的取值范围：（2）所在圆的半径为r取何值时，才能使绿化区域的面积S最大，并求出此最大值．【解答】解：（1）由题意知，扇形的周长为2r+θr＝400，所以θ＝；又θ∈（0，2π），所以＜r＜200；所以扇形的面积为S＝θr2＝•＝﹣r2+200r，其中r的取值范围是（，200）；（2）S（r）＝﹣r2+200r＝﹣（r﹣100）2+10000，当r＝100时，S（r）取得最大值为10000，即半径为r＝100m时，绿化区域的面积S最大，最大值10000m2．20．已知函数y＝f（x）的定义域为（1，+∞），对于定义域内的任意实数x，有f（2x）＝2f（x）成立，且x∈（1，2]时，f（x）＝log2x．（1）当x∈（1，23]时，求函数y＝f（x）的最大值；（2）当x∈（1，23.7]时，求函数y＝f（x）的最大值；（3）已知f（1200）＝f（b）（实数b＞1），求实数b的最小值．【解答】解：（1）对任意的x∈（1，+∞），恒有f（2x）＝2f（x）成立，所以f（x）＝2f（）；且x∈（1，2]时，f（x）＝log2x∈（0，1]；所以当x∈（2，4]时，∈（1，2]，f（x）＝2f（）＝2log2∈（0，2]；当x∈（4，8]时，∈（2，4]，f（x）＝2f（）＝4log2∈（0，4]；当x∈（8，16]时，∈（4，8]，f（x）＝2f（）＝8log2∈（0，8]；…；当x∈（2n﹣1，2n]时，∈（2n﹣2，2n﹣1]，f（x）＝2f（）＝2n﹣1log2∈（0，2n﹣1]；所以x∈（2n﹣1，2n]时，f（x）的最大值是2n﹣1；所以x∈（1，23]时，f（x）＝，的最大值为f（23）＝4log2＝4；（2）当x∈（1，23.7]时，23≤23.7≤24，所以f（x）的最大值为f（23.7）＝23×log2＝8×（3.7﹣3）＝5.6；（3）由f（1200）＝f（b）（实数b＞1），且1200＝210×，210＜210×＜211，所以f（1200）＝210×log2＝210×log2，f（b）＝f（2×）＝2f（）＝22f（）＝…＝2n﹣1f（）；当∈（1，2]时，∴f（b）＝2n﹣1log2；∵f（1200）＝f（b），则210×log2＝2n﹣1log2；b＝2n﹣1•，1＜n＜11当n＝10时，＝（）2∈（1，2]；b＝29×（）2；当n＝9时，＝（）4∈（1，2]；b＝28×（）4；当n＝8时，＝（）8∉（1，2]；…29×（）2＞28×（）4；∴实数b的最小值为28×（）4＝256×（）4．21．已知函数f（x）＝log a（x+）．x∈（1，+∞），a＞0且a≠1．（1）若a为整数，且f（）＝2，试确定一个满足条件的a的值；（2）设y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若f﹣1（n）＜（n∈N*），试确定a的取值范围；（3）若a＝2，此时y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），令g（x）＝，若对一切实数x1，x2，x3，不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立，试确定实数k的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＝log a（x+），x＞1，a＞0且a≠1，可得f（）＝log a （+）＝log a（+）＝log a2a＝2，即a2＝2a，可得整数a＝2或4；（2）由y＝f（x）＝log a（x+），x＞1，可得a y＝x+，即a y﹣x＝，平方可得a2y﹣2xa y+1＝0，即有x＝，可得f﹣1（x）＝（若a＞1，x＞0；若0＜a＜1，x＜0），f﹣1（n）＜（n∈N*），即为＜，若0＜a＜1，则a n+a﹣n单调递减，可得＜a＜1；可得a的取值范围为（，1）∪（1，4）；（3）若a＝2，此时y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x）＝（x＞0），g（x）＝＝＝1+，当k＝1时，g（x）＝1，符合题意；当k＞1时，g（x）在x＞0递减，可得g（x）∈（1，1+），对一切实数x1，x2，x3，不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立，可得1+1≥1+，解得1＜k≤4；当k＜1时，g（x）在x＞0递增，可得g（x）∈（1+，1），对一切实数x1，x2，x3，不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立，可得2（1+）≥1，解得﹣≤k＜1．综上可得k的范围是[﹣，4]．。

沪教版高一（上）期末数学试卷一.填空题（1-5每题3分，6-10每题4分）：1．（3分）已知集合A＝{1，3，4，5，7}，B＝{2，3，5，7，8}，则A∩B＝．2．（3分）不等式|2x﹣1|＜3的解集为．3．（3分）函数f（x）＝+lg（1﹣x）的定义域为．4．（3分）若“x＞3”是“x＞a“的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．5．（3分）若函数f（x）＝2|x﹣a|+1在[1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是．6．（4分）正实数x，y满足：2x+y＝1，则+的最小值为．7．（4分）方程（lgx）2﹣lgx2＝3的解为．8．（4分）函数f（x）＝，在区间[﹣2019，2019]上的最大值为M．最小值为m．则M+m＝．9．（4分）函数f（x）＝的定义域为D，值域为A，点集{（x，y）|x∈D，y∈A}构成的图象面积等于2，则实数a＝．10．（4分）设函数f（x）的定义域是R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1），若对于任意的x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣成立，则实数m的取值范围为．二、选择题（每题4分）11．（4分）下列函数中是偶函数的是（）A．y＝x B．y＝x﹣2C．y＝2x D．y＝log2x12．（4分）“函数y＝f（x）在区间I上单调“是“函数y＝f（x）在I上有反函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件13．（4分）已知函数y＝log2（x+a）+b的图象不经过第四象限，则实数a、b满足（）A．a≥1，b≥0B．a＞0，b≥1C．b+1og2a≥0D．a+2b≥014．（4分）已知函数f（x）＝++，给出下列判断：（1）函数f（x）的值域为R；（2）f（x）在定义域内有三个零点；（3）f（x）图象是中心对称图象．其中正确的判断个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个三、解答题（满分49分）15．（6分）已知集合A＝{x||x﹣a|＜2，x∈R}，B＝{x|＜1，x∈R}．（1）求A、B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．16．（9分）已知某种气垫船的最大航速是48海里/小时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比．若船速为30海里/小时，则船每小时的燃料费用为600元，其余费用（不论船速为多少）都是每小时864元．甲乙两地相距100海里，船从甲地匀速航行到乙地．（1）试把船从甲地到乙地所需的总费用y表示为船速x（海里/小时）的函数，并指出函数的定义域；（2）当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需的总费用最少？最少费用为多少元？17．（10分）已知函数f（x）＝x++2（m∈R）．（1）若函数y＝f（x）图象上动点P到定点Q（0，2）的距离最小值是，求实数m的值：（2）若函数y＝f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝log a（a＞0，a≠0，b≠0）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）求f（x）的反函数f﹣1（x）的解析式．19．（12分）已知函数y＝f（x）的定义域为区间D，若对于D内任意x1、x2（x1≠x2），都有＜f（）成立，则称函数f（x）是区间D的“Ω函数”．（1）判断函数f（x）═（x＜0）是否是“Ω函数”？说明理由；（2）已知a＞1，求证：函数g（x）＝log a x（x＞0）是“Ω函数”；（3）设函数h（x）是[a，b]（a＜b）上的“Ω函数”，h（a）＜0，h（b）＜0，且存在c∈[a，b]使得h （c）＞0，试探讨函数h（x）在区间[a，b]上零点个数，并用图象作出简要的说明（结果不需要证明）．沪教版高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（1-5每题3分，6-10每题4分）：1．（3分）已知集合A＝{1，3，4，5，7}，B＝{2，3，5，7，8}，则A∩B＝{3，5，7}．【解答】解：∵A＝{1，3，4，5，7}，B＝{2，3，5，7，8}，∴A∩B＝{3，5，7}．故答案为：{3，5，7}．2．（3分）不等式|2x﹣1|＜3的解集为{x|﹣1＜x＜2}．【解答】解：∵|2x﹣1|＜3⇔﹣3＜2x﹣1＜3⇔﹣1＜x＜2，∴不等式|2x﹣1|＜3的解集为 {x|﹣1＜x＜2}．故答案为：{x|﹣1＜x＜2}．3．（3分）函数f（x）＝+lg（1﹣x）的定义域为{x|0≤x＜1}．【解答】解：由，解得0≤x＜1．∴函数f（x）＝+lg（1﹣x）的定义域为{x|0≤x＜1}．故答案为：{x|0≤x＜1}．4．（3分）若“x＞3”是“x＞a“的充分不必要条件，则实数a的取值范围是a＜3．【解答】解：“x＞3”是“x＞a“的充分不必要条件，∴a＜3．故答案为：a＜3．5．（3分）若函数f（x）＝2|x﹣a|+1在[1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，1]．【解答】解：函数f（x）＝2|x﹣a|+1的对称轴为x＝a，函数f（x）＝2|x﹣a|+1在[1，+∞）上是增函数，可得a≤1．故答案为：（﹣∞，1]6．（4分）正实数x，y满足：2x+y＝1，则+的最小值为9．【解答】解：，当且仅当时取等号．故答案为：9．7．（4分）方程（lgx）2﹣lgx2＝3的解为1000或．【解答】解：原方程可化为（lgx）2﹣2lgx﹣3＝0，即（lgx﹣3）（lg+1）＝0，即有lgx＝3或lgx＝﹣1，解得x＝1000或x＝，故答案为1000或．8．（4分）函数f（x）＝，在区间[﹣2019，2019]上的最大值为M．最小值为m．则M+m＝2．【解答】解：设g（x）＝，g（﹣x）＝＝﹣＝﹣g（x）；则g（x）是奇函数，∵f（x）＝g（x）+1在区间[﹣2019，2019]上的最大值为M，即M＝g（x）max+1，f（x）在区间[﹣2019，2019]上的最小值为m，即m＝g（x）min+1，∵g（x）是奇函数，∴g（x）max+g（x）min＝0，则M+m＝g（x）max+g（x）min+2＝2，故答案为：2．9．（4分）函数f（x）＝的定义域为D，值域为A，点集{（x，y）|x∈D，y∈A}构成的图象面积等于2，则实数a＝﹣1或3．【解答】解：a＝1时不符合题意，舍去．①a＞1时，由（a﹣x）（x﹣1）≥0，解得1≤x≤a，可得定义域为：D＝[1，a]．（a﹣x）（x﹣1）＝﹣+，可得值域A＝[0，]．∵点集{（x，y）|x∈D，y∈A}构成的图象面积等于2，∴（a﹣1）•＝2，解得a＝3．②a＜1时，由（a﹣x）（x﹣1）≥0，解得a≤x≤1，可得定义域为：D＝[a，1]．（a﹣x）（x﹣1）＝﹣+，可得值域A＝[0，]．∵点集{（x，y）|x∈D，y∈A}构成的图象面积等于2，∴（1﹣a）•＝2，解得a＝﹣1．综上可得：a＝﹣1或3．故答案为：﹣1或3．10．（4分）设函数f（x）的定义域是R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1），若对于任意的x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣成立，则实数m的取值范围为m≤．【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[﹣，0]，∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[﹣，0]；∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，x∈（3，4]时，f（x）＝8（x﹣3）（x﹣4）∈[﹣2，0]．当x∈（2，3]时，由8（x﹣4）（x﹣3）＝﹣解得x＝或x＝，若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣，则m≤．故答案为：m≤．二、选择题（每题4分）11．（4分）下列函数中是偶函数的是（）A．y＝x B．y＝x﹣2C．y＝2x D．y＝log2x【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝＝，其定义域为[0，+∞），不是偶函数，不符合题意；对于B，y＝x﹣2＝，是偶函数，符合题意；对于C，y＝2x，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；对于D，y＝log2x，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；故选：B．12．（4分）“函数y＝f（x）在区间I上单调“是“函数y＝f（x）在I上有反函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：“函数y＝f（x）在区间I上单调“⇒“函数y＝f（x）在I上有反函数”，反之不成立．∴“函数y＝f（x）在区间I上单调“是“函数y＝f（x）在I上有反函数”的充分不必要条件．故选：A．13．（4分）已知函数y＝log2（x+a）+b的图象不经过第四象限，则实数a、b满足（）A．a≥1，b≥0B．a＞0，b≥1C．b+1og2a≥0D．a+2b≥0【解答】解：∵函数y＝log2（x+a）+b的图象不经过第四象限，∴当x＝0时，y≥0，∴log2a+b≥0，故选：C．14．（4分）已知函数f（x）＝++，给出下列判断：（1）函数f（x）的值域为R；（2）f（x）在定义域内有三个零点；（3）f（x）图象是中心对称图象．其中正确的判断个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：（1）当x＜0，x→﹣1+时，f（x）→﹣∞，x→﹣1﹣时，f（x）→+∞，所以函数的值域是R；所以（1）正确；f（x）＝++＝（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）＝3﹣（++），（2）函数f（x）在x∈（﹣1，+∞）是列出函数，f（﹣）＝﹣3+＜0，f（0）＝＞0，函数在（﹣，0）y有1个零点；x∈（﹣2，﹣1）时，f（﹣）＝3﹣（﹣+4+）＝＜0，f（﹣）＝4﹣＞0，所以函数在（﹣2，﹣1）有一个零点；x∈（﹣3，﹣2）时，f（﹣）＝3﹣（﹣﹣+5）＝﹣1++＜0，f（﹣）＝2+＞0，所以函数在（﹣3，﹣1）有一个零点；x＜﹣3，f（x）＞0，所以f（x）在定义域内有三个零点，所以（2）正确；（3）点（x，y），关于（﹣2，3）的对称点（﹣4﹣x，6﹣y），f（x）＝3﹣（++），f（4﹣x）＝3+（++）＝6﹣[3﹣（++）]＝6﹣f（x）．所以函数的图象关于（﹣2，3），对称．所以（3）正确；故选：D．三、解答题（满分49分）15．（6分）已知集合A＝{x||x﹣a|＜2，x∈R}，B＝{x|＜1，x∈R}．（1）求A、B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由|x﹣a|＜2，得a﹣2＜x＜a+2，∴A＝{x|a﹣2＜x＜a+2}，由＜1，得＜0，即﹣2＜x＜3，∴B＝{x|﹣2＜x＜3}．（2）若A⊆B，∴⇒0≤a≤1，∴0≤a≤1．16．（9分）已知某种气垫船的最大航速是48海里/小时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比．若船速为30海里/小时，则船每小时的燃料费用为600元，其余费用（不论船速为多少）都是每小时864元．甲乙两地相距100海里，船从甲地匀速航行到乙地．（1）试把船从甲地到乙地所需的总费用y表示为船速x（海里/小时）的函数，并指出函数的定义域；（2）当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需的总费用最少？最少费用为多少元？【解答】解：（1）由题意知船速为x（海里/小时），每小时使用的燃料费用E＝ax2，已知船速为30海里/时，每小时的燃料费用为600元，则：600＝a•302；得a＝，从甲地到乙地的总费用为：y＝•x2•+864•＝+，其中0＜x≤48；（2）∵y＝+，（0＜x≤48）；∴y＝+≥2＝2×2400＝4800，当且仅当＝，即x＝36，即当船速为36海里每小时，总费用最少，最少总费用为4800元．17．（10分）已知函数f（x）＝x++2（m∈R）．（1）若函数y＝f（x）图象上动点P到定点Q（0，2）的距离最小值是，求实数m的值：（2）若函数y＝f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设P（x，y），则f（x）＝x++2，|PQ|2＝x2+（y﹣2）2＝x2+（x+）2＝2x2++2m≥2|m|+2m＝2，当m＞0时，解得m＝﹣1；当m＜0时，解得m＝﹣﹣1，∴m＝﹣1或m＝﹣﹣1．（2）由题意，任取x1、x2∈[2，+∞），且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）＝x2++2﹣（x1++2）＝（x2﹣x1）•＞0，∵x2﹣x1＞0，x1x2＞0，所以x1x2﹣m＞0，即m＜x1x2，由x2＞x1≥2，得x1x2＞4，所以m≤4．∴m的取值范围是（﹣∞，4]．18．（12分）已知函数f（x）＝log a（a＞0，a≠0，b≠0）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）求f（x）的反函数f﹣1（x）的解析式．【解答】解：（1）由＞0，化为：（x﹣b）（x+b）＞0．b＞0时，解得x＞b或x＜﹣b；b＜0时，解得x＞﹣b或x＜b．∴函数f（x）的定义域为：b＞0时，x∈（﹣∞，﹣b）∪（b，+∞）．b＜0时，x∈（﹣∞，b）∪（﹣b，+∞）．（2）∵定义域关于原点对称，f（﹣x）＝＝﹣log a＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数．（3）由y＝log a，化为：＝a y，解得x＝b•．把x与y互换可得：y＝b•．∴f（x）的反函数f﹣1（x）＝b•（x≠0）．19．（12分）已知函数y＝f（x）的定义域为区间D，若对于D内任意x1、x2（x1≠x2），都有＜f（）成立，则称函数f（x）是区间D的“Ω函数”．（1）判断函数f（x）═（x＜0）是否是“Ω函数”？说明理由；（2）已知a＞1，求证：函数g（x）＝log a x（x＞0）是“Ω函数”；（3）设函数h（x）是[a，b]（a＜b）上的“Ω函数”，h（a）＜0，h（b）＜0，且存在c∈[a，b]使得h （c）＞0，试探讨函数h（x）在区间[a，b]上零点个数，并用图象作出简要的说明（结果不需要证明）．【解答】解：（1）是，理由如下：任取x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2，则成立，故函数是“Ω函数”．（2）证明：事实上，任取x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，则成立，即得证；（3）函数h（x）在[a，b]上的零点个数可以为0、1或2个．例如，是Ω函数，如图，其零点个数为0；是Ω函数，如图，其零点个数为1；是Ω函数，如图，其零点个数为2；函数h（x）不可能有3个零点，假设x1，x2，x3均是零点，且x1＜x2＜x3，则由可知，势必（x1，x2），（x2，x3）上h（x）恒大于0，从而导致矛盾．。