2018年高考数学一轮复习 课标通用 第六章数列6.1数列的概念与简单表示学案理

§6.1数列的概念与简单表示考纲展示► 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．考点1 由数列的前几项求数列的通项公式1.数列的概念(1)数列的定义：按照________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________．(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为________的函数a n＝f(n)．当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．(3)数列有三种表示法，它们分别是________、________和________．答案：(1)一定顺序项(2)定义域(3)列表法图象法通项公式法2．数列的分类答案：有限 无限 ＞ ＜ 3．数列的两种常用的表示方法(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与________之间的关系可以用一个式子________来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．答案：(1)序号n a n ＝f (n )4．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧，n ＝1，，n ≥2.答案：S 1 S n －S n －1(1)[教材习题改编]已知数列{a n }的前四项分别为1,0,1,0，给出下列各式： ①a n ＝1－ －1n2；②a n ＝1＋ －1 n2；③a n ＝sin2n π2；④a n ＝1－cos n π2；⑤a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为正偶数，0，n 为正奇数；⑥a n ＝1＋ －1 n ＋12＋(n －1)(n －2)．其中可以作为数列{a n }的通项公式的有________．(写出所有正确结论的序号) 答案：①③④(2)[教材习题改编]已知 {a n }满足 a n ＝ －1 na n －1＋1(n ≥2), a 7＝47，则a 5＝__________.答案：34解析：由递推公式，得a 7＝－1a 6＋1，a 6＝1a 5＋1，则a 5＝34.[典题1] 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5,55,555,5 555，….[解] (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故所求数列的一个通项公式为a n ＝2n2n －1 2n ＋1.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察，即12，42，92，162，252，…，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22. (4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n－1)．[点石成金] 由数列的前几项求数列通项公式的策略(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征等．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n ＋1来调整．考点2 由递推公式求通项公式1.函数的概念的两个易混点：项a n ；项数n . (1)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －1n ＋1，则数列{a n }的第5项是__________． 答案：23解析：由数列{a n }的通项公式为a n ＝n －1n ＋1，得a 5＝5－15＋1＝46＝23，即数列{a n }的第5项是23. (2)已知数列2，5，22，11，…，则25是该数列的第__________项． 答案：7解析：由题意可知，该数列可以表示为2，5，8，11，…，故25＝20是该数列的第7项．2．数列的两种表示方法：通项公式；递推公式．(1)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q n ，且a 2＝32，a 4＝32，则a 8＝__________.答案：94解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2p ＋q 2＝32，4p ＋q 4＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝14，q ＝2，则a n ＝14n ＋2n ，故a 8＝94.(2)已知非零数列{a n }的递推公式为a n ＝nn －1·a n －1(n ＞1)，且a 1＝1，则a 4＝__________.答案：4解析：依次对递推公式中的n 赋值，当n ＝2时，a 2＝2a 1；当n ＝3时，a 3＝32a 2＝3a 1；当n ＝4时，a 4＝43a 3＝4a 1＝4.求解数列通项公式的两种方法：待定系数法；递推法．(1)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－10n ＋17，则数列{a n }中使a n <0的n 构成的集合为________．答案：{3,4,5,6,7}解析：由a n ＝n 2－10n ＋17<0，得(n －5)2<8，n ∈N *，满足该不等式的n 的值为3,4,5,6,7，所以所求的集合为{3,4,5,6,7}．(2)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋a n －1＝1(n ≥2)，则数列{a n }的一个通项公式为__________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，0，n 为偶数或a n ＝ sinn π2|)等解析：由a n ＋a n －1＝1(n ≥2)，得a 2＝0.又a n ＋1＋a n ＝1，结合a n ＋a n －1＝1(n ≥2)，得a n ＋1＝a n －1(n ≥2)，即该数列的奇数项相等、偶数项相等，所以通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，0，n 为偶数或a n ＝ sinn π2|)等.[典题2] (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________． [答案] a n ＝2·3n －1－1[解析] ∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3， ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.(2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为________． [答案] 1n[解析] 解法一：a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1·a n －2，…，a 2＝12a 1，以上(n －1)个式子的等号两端分别相乘得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n.解法二：a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·1＝1n. [点石成金] 由递推关系式求通项公式的常用方法 (1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n . (2)已知a 1且a na n ＋1＝f (n )，可用“累乘法”求a n . (3)已知a 1且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{a n ＋k }．(4)形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．(5)形如a n ＋1＋a n ＝f (n )的数列，可将原递推关系改写成a n ＋2＋a n ＋1＝f (n ＋1)，两式相减即得a n ＋2－a n ＝f (n ＋1)－f (n )，然后按奇偶分类讨论即可.1.[2017·安徽合肥一模]已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案：3×2n －1－2解析：由a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1，∴当n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3，将以上各式累加，得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)，∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足)．2．在数列{a n }中，a 1＝1，S n ＝n ＋23a n ，则a n ＝________.答案：n n ＋12解析：由题设知，a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1.∴a n a n －1＝n ＋1n －1， ∴a n －1a n －2＝n n －2，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3. 以上(n －1)个式子的等号两端分别相乘，得到a n a 1＝n n ＋1 2，又∵a 1＝1，∴a n ＝n n ＋1 2. 考点3 a n 与S n 关系的应用[考情聚焦] a n 与S n 关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，难度较小，属容易题．主要有以下几个命题角度： 角度一利用a n 与S n 的关系求a n[典题3] (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1.故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________.[答案] (－2)n －1[解析] 由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，∴a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2， 故当n ≥2时，a n ＝(－2)n －1.又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1，满足上式．∴a n ＝(－2)n －1.[点石成金] 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，若a 1适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，若a 1不适合S n －S n－1，则用分段函数的形式表示． 角度二利用a n 与S n 的关系求S n[典题4] (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1。