2023-2024学年河南省郑州市高一上册期末数学试题一、单选题1．命题“∀x ∈R ，|x |+x 2≥0”的否定是（）A ．∀x ∈R ，|x |+x 2<0B ．∀x ∈R ，|x |+x 2≤0C ．∃x 0∈R ，|x 0|+20x <0D ．∃x 0∈R ，|x 0|+20x ≥0【正确答案】C【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】由全称命题的否定可知，命题“x ∀∈R ，20x x +≥”的否定是“0x ∃∈R ，2000x x +<”.故选：C.2．已知全集U =R ，集合{|14}A x x x =<->或，23{|}B x x =-≤≤，那么阴影部分表示的集合为A ．4{|}2x x -≤<B ．{|34}x x x ≤≥或C ．{|21}x x -≤≤-D ．{|13}x x -≤≤【正确答案】D【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为()U C A B ⋂，求出U C A ，计算得到答案【详解】阴影部分表示的集合为()U C A B ⋂，{|14}A x x x =- 或{|14}U C A x x ∴=-≤≤{|23}B x x =-≤≤ (){|13}U C A B x x ∴⋂=-≤≤故选D本题主要考查的是韦恩图表达集合的关系和运算，属于基础题3．已知函数3,2,()(1),2,x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩则(6)f 等于（）A ．－2B ．0C ．1D ．2【正确答案】A【分析】根据分段函数，根据分段函数将(6)f 最终转化为求()1f 【详解】根据分段函数可知：()()()()()(6)543212f f f f f f ======-故选：A4．对于实数a ，b ，c 下列命题中的真命题是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b >>，则11a b>C ．若0a b <<，则b a a b >D ．若a b >，11a b>，则0a >，0b <【正确答案】D【分析】通过不等式的性质一一验证即可.【详解】对于选项A ：若a b >，当0c =时，22ac bc =，故选项A 错误；对于选项B ：若0a b >>，可得0b aab -<，则11ab<，故选项B 错误；对于选项C ：若0a b <<，则22a b >，则b aa b<，故选项C 错误，对于选项D ：若11a b >，则0b a ab->，又a b > ，则0a >，0b <，故选项D 正确；故选：D.5．“2,3k k πθπ=+∈Z ”是“sin 2θ=”的（）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】由sin 2θ=等价于2,3k k πθπ=+∈Z ，或22,3k k πθπ=+∈Z ，再根据充分、必要条件的概念，即可得到结果.【详解】因为sin 2θ=，所以2,3k k πθπ=+∈Z ，或22,3k k πθπ=+∈Z ，所以“2,3k k πθπ=+∈Z ”是“sin 2θ=”的充分而不必要条件.故选:B.6．函数f(x)＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间A ．(5,6)B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(1,2)【正确答案】B【详解】试题分析：根据零点存在性定理，因为，所以函数零点在区间（3，4）内，故选择B 零点存在性定理7．已知α为钝角，且1sin 123πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A B C ．D 【正确答案】C先求出cos 123πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用和角的余弦公式计算求解.【详解】∵α为钝角，且1sin 123πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴cos 123πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴5cos cos 12123πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin123123ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1123=-=故选：C本题主要考查同角的平方关系，考查和角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．函数()()2121531xa x a x f x a x ⎧-+<=⎨-≥⎩在R 上单调递减的一个充分不必要条件是（）A ．20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】先求出()f x 在R 上单调递减的a 的范围，则充分不必要条件为102a <<的非空真子集.【详解】函数()()2121531xa x ax f x a x ⎧-+<=⎨-≥⎩在R 上单调递减，则2100121253a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥-⎩，解得：102a <<，则()f x 在R 上单调递减的一个充分不必要条件为102a <<的非空真子集，所以A 正确，故选：A.二、多选题9．下列函数是奇函数的有（）A ．ln y x =B ．sin y x =C ．1y x x=+D ．2xy =【正确答案】BC【分析】通过奇函数的定义()()0f x f x +-=，以及定义域关于原点对称分析各个选项【详解】因为ln y x =的定义域为(0,)+∞，不符合奇函数定义，A 错误；通过奇函数的定义()()0f x f x +-=，sin sin()0x x +-=，且定义域关于原点对称，B 正确；1()f x x x=+，所以()()0f x f x +-=，且定义域关于原点对称，C 正确；()2x g x =，所以()()0g x g x +-≠，D 错误；故选：BC10．已知函数()sin 2xf x =，则以下结论恒成立的是（）A ．()()f x f x -=-B ．()()f x f x -=C ．(2)()f x f x π-=D ．()()f x f x ππ+=-【正确答案】ACD利用诱导公式逐个验证即可得答案【详解】解：对于A ，B ，()sin()sin ()22x xf x f x -=-=-=-，所以A 正确，B 错误；对于C ，2(2)sinsin(sin ()222x x xf x f x πππ--==-==，所以C 正确；对于D ，因为()sinsin()cos 2222xx x f x πππ++==+=，()sin sin()cos 2222x x xf x πππ--==-=，所以()()f x f x ππ+=-，所以D 正确，故选：ACD11．已知角α的终边经过点()sin120,tan120P,则（）A．cos α=B．sin α=C ．tan 2α=-D．sin cos αα+=【正确答案】ACD【分析】先化简点P 坐标,再根据三角函数的定义,求得sin α,cos α,进而求得tan ,sin cos ααα+的值即可判断选项.【详解】解:由题知()sin120,tan120P ,即P ⎝,因为角α的终边经过点P ,所以sin ,5α=-cos ,5α=sin tan 2cos ααα==-,sin cos 555α+α=-+=-.故选:ACD12．函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下结论中正确的是（）A ．图象C 关于直线11π12x =对称；B ．图象C 关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称；C ．由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ；D ．函数()f x 在区间π5π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数.【正确答案】ABD【分析】利用三角函数的性质及函数的平移变换即可求解.【详解】对于A ，由()ππ2πZ 32x k k -=+∈，得()π5πZ 212k x k =+∈，所以()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴方程为()π5πZ 212k x k =+∈，当1k =时，π5π11π21212x =+=，所以图象C 关于直线11π12x =对称，故A 正确；对于B ，由2π2ππ3sin 23sin π=0333f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以图象C 关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，将3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得π2ππ3sin 23sin 23sin 2()333y x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≠-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ，由()πππ2π22πZ 232k x k k -≤-≤+∈，得()π5πππZ 1212k x k k -≤≤+∈，所以()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递增区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个增区间，故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()21xf x =-,则()1f -=__________.【正确答案】1-【分析】根据0x >时函数解析式,将1x =代入即可求()1f ,根据奇函数()()011f f +-=代入即可求得()1f -.【详解】解:由题知()f x 是定义在R 上的奇函数,()()110f f ∴+-=,当0x >时,()21xf x =-,()11f ∴=,()11f ∴-=-.故答案为:-114．已知函数()()2lg 72f x ax x =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【正确答案】49,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】转化为2720ax x ++>恒成立，分0a =与0a ≠两种情况，列出不等式组，求出实数a 的取值范围.【详解】由题意得：2720ax x ++>恒成立，当0a =时，720x +>，解得：27x >-，定义域为不是R ，舍去；当0a ≠时，要满足0Δ4980a a >⎧⎨=-<⎩，解得：498a >，综上：实数a 的取值范围是49,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为.49,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭15．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()1f x +是奇函数，()01f =，则()()()()()21012f f f f f -+-+++=__________.【正确答案】1-【分析】由奇函数的定义，()1f x +是奇函数，所以有()()11f x f x -+=-+，分别令x 取0和1-，即可求出()1f 与()2f 的值，再利用()f x 为偶函数，可求出()1f -与()2f -的值，然后代入式中求解即可.【详解】∵()1f x +是奇函数，∴()()11f x f x -+=-+，令0x =，得()()0101f f -+=-+，即()()11f f =-，∴()10f =，令=1x -，得()()()1111f f --+=--+，即()()201f f =-=-，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()()221f f -==-，()()110f f -==，∴()()()()()()()21012101011f f f f f -+-+++=-++++-=-.故答案为.1-16．已知函数()()6sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<为偶函数，点()()12,6,,6A x B x -是函数()f x 图象上的两点，若12x x -的最小值为3，则()2f =__________.【正确答案】3-【分析】根据函数的奇偶性确定π2ϕ=，再根据12x x -的最小值为3确定函数最小正周期，求得2π3ω=，即得函数解析式，即可求得答案.【详解】因为函数()()6sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<为偶函数，故()()6sin 6sin x x ωϕωϕ-+=+，即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x ωϕωϕωϕωϕ-+=+，所以sin cos 0x ωϕ=，sin x ω不恒等于0，故cos 0ϕ=，而0πϕ<<，则π2ϕ=，点()()12,6,,6A x B x -是函数()f x 图象上的两点，12x x -的最小值为3，则()f x 的最小正周期为6，则2ππ63ω==，故()πππ36sin 6co 3s 2f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故()6cos2π233f ==-，故3-四、解答题17．求值：（1）1103231338⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（2）24log 32log 0.252lg 42lg5⋅+++【正确答案】（1）32-（2）1792【分析】（1）根据指数的运算法则化简求值即可（2）根据对数的运算法则及性质化简求值.【详解】（1）1103231338⎛⎫--+⎪⎝⎭13271()18=-+133312(12⨯=--+32=-（2）24log 32log 0.252lg 42lg5⋅+++421log 32221log ln 2lg 4lg 54e =++++-1281lg10022=-+++-1792=本题主要考查了指数运算，对数运算，属于中档题.18．已知1,sin cos 225x x x ππ-<<+=.(1)求2sin cos sin 1tan x x x x⋅++的值(2)求sin cos x x -的值.【正确答案】（1）1225-（2）75-【分析】（1）由1sin cos 5x x +=两边平方可得sinxcosx ，利用同角关系2sin cos sin sinxcosx 1tan x x xx⋅+=+；（2）由（1）可知cosx 0sinx 0＞，＜，从而sin cos x x -=【详解】（1）∵1sin cos 5x x +=.∴112sinxcosx 25+=，即12sinxcosx 25=-()2sin cos sin 1tan 1sinx cosx sinx x x x sinx x cosx+⋅+=++，()12sinxcosx 25sinxcosx cosx sinx sinx cosx +===-+（2）由（1）知12sinxcosx 25=-＜0，又22x ππ-<<∴cosx 0sinx 0＞，＜，∴7sin cos 5x x -===-本题考查三角函数化简求值，涉及同角三角函数基本关系和整体代入的思想，属于中档题．19．设命题()2:240p x m x m +-+=方程有两个不相等的实数根；命题q ：对所有的23x ≤≤，不等式22413x x m -+≥恒成立.(1)若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题,p q 一真一假，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1){4m m 或1}m <(2){|3m m <-或13m ≤≤或4}m >【分析】（1）根据命题p 为真命题，由2(24)44(1)(4)0m m m m ∆=--=-->求解；（2）先由命题q 为真命题求得m 的范围，再根据命题,p q 一真一假求解.【详解】（1）解：若命题p 为真命题，则2Δ(24)44(1)(4)0m m m m =--=-->，解得4m >或1m <，所以实数m 的取值范围为{4m m 或1}m <.（2）若命题q 为真命题，则当23x ≤≤时，()2229x m -≥-恒成立.当2x =时，()22y x =-取得最小值0，则209m ≥-，即29m ≤，解得3 3.m -≤≤当p 真q 假时，1433m m m m <<⎧⎨<-<⎩或或，得3m <-或4m >，当p 假q 真时，得33m -≤≤且14m ≤≤，解得13m ≤≤.综上，实数m 的取值范围为{|3m m <-或13m ≤≤或4}m >.20．某公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要3万元，之后每生产x 万件产品，还需另外投入原料费及其他费用()f x 万元，产量不同其费用也不同，且()21,010,29lg 41,10.x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪+-≥⎩已知每件产品的售价为8元且生产的该产品可以全部卖出.(1)写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；(2)该产品年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？其最大利润为多少万元？【正确答案】(1)()2183,010,2lg 38,10.x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎪--+≥⎩(2)当该产品年产量为8万件时，年利润最大，最大利润为29万元【分析】（1）根据题意，建立函数关系式；（2）利用函数单调性求出最大值，即可得到答案.【详解】（1）当010x <<时，()2211838322W x x x x x =--=-+-.当10x ≥时，()()89lg 413lg 38W x x x x x x =-+--=--+.故()2183,010,2lg 38,10.x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎪--+≥⎩（2）当010x <<时，()()22118382922W x x x x =-+-=--+，所以当8x =时，()W x 取得最大值，且最大值为29；当10x ≥时，()lg 38W x x x =--+，此时()W x 单调递减，所以当10x =时，()W x 取得最大值，且最大值为27.综上，当该产品年产量为8万件时，年利润最大，最大利润为29万元.21．已知22()()21x x a a f x x ⋅+-=∈+R 是奇函数．(1)求实数a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性，并用定义证明之；(3)解关于t 的不等式()23(2)0f t f t -+<．【正确答案】(1)1；(2)函数()(())f x g h x =在R 上是增函数，证明见解析；(3){31}t t -<<。
