指数与指数函数(暑假补课可用)

高中数学暑期辅导高一第5讲指数与指数函数.目标班第5讲指数与指数函数指数引入在初中的时候我们学习了一些特殊的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数，而且根据前几节课的学习，我们能够把这些函数的性质更完整的表述出来.那在高中我们又会学习哪些特殊的函数呢？这些函数具有什么样的性质呢？就是今天包括后边几天我们要学习的内容.今天我们先学习一个指数函数，其实这个函数我们在初中就接触过，比如22，32等，只不过当时我们没有给它规定具体的名字，那在高中阶段我们将给它取个具体的名字，就跟每个人都要有自己的名字一样.那在讲指数之前我们先来看一个有趣的故事：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王觉得这事挺好办，欣然同意．倍成倍地增大（如222⨯⨯⨯），则它是以指数形式增大，这种增大的速度就像“大爆炸”一样，非常惊人. 那么到底什么是指数函数呢？指数函数具有哪些的性质？我们先来看一下指数幂.1．整数指数在初中我们就学过正整数指数幂，如2a ，3a 等，并且我们也知道235a a a ⋅=，32a a a =，那么在这些整指数幂中a 叫做什么？23，又叫做什么呢？它的运算法则又是什么呢？下面我们就来具体回忆一下正整数指数幂.⑴ 正整数指数幂：n n a a a a =⋅⋅⋅个，是n 个a 连乘的缩写（N n +∈），n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂．⑵ 正整数指数幂的运算法则： 【整数指数幂引入】刚刚我们说的正整数指数幂要求指数必须是正整数，但是我们的数系不仅仅是正整数，我们现在学到的最大数系是实数，等到我们上高二的时候我们还会把实数扩大到复数，所以万一某一天我们知识点睛 5.1指数与指数幂的运算遇到的指数幂的指数不是正整数，而是负整数、分数那我们应该怎么办呢？所以我们先来取消法则③中m n >的限制，则正整数指数幂就推广到整数幂.例如，当0a ≠时，有33303a a a a -==，33525a a a a --==，这些结果不能用正整数幂的定义来解释.但我们知道，331a a =，3521a a a =.这就启示我们，如果规定02211a a a -==，，则上述运算就合理了.于是，我们得出如下的整数指数幂：⑶ 整数指数幂：01(0)a a =≠，1(0,)n n a a n a -+=≠∈N ．【教师备案】①如此规定的零指数幂和负整数指数幂，就把正整数指数幂推广到整数指数幂，并且正整数指数幂的运算法则对整数指数幂运算仍然成立.②对于整数指数幂的要求是“底数不等于0”.为什么底数不等于0，因为分母不等于0③老师可以给学生举一些小例子，例如，081=；()081-=；()()01a b a b -=≠；我们已经把正整数指数幂成功的引申到整数指数幂了，那由整数指数幂到分数指数幂又有什么样的变化呢？分数指数幂具有什么样的运算性质呢？我们来看一下分数指数幂：2．分数指数在讲分数指数幂之前我们先来看一下初中就学过的一个东西——根式：⑴根式① n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(,1,)a n n +∈>∈R N ，那么x 叫做a 的n 次方根．② 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算．ⅰ）当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时，a 的n n aⅱ）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n 次方n a n a (0)n a a ±>．③ 正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根．负数没有偶次方根．0的任何次方根都是000n =．④ n a na n 叫做根指数，a 叫做被开方数．【根式性质引入】根式具有什么样的性质呢？比如n n a n n a 分别等于什么？下面我们来举几个例子说明一下： 1.)n n a 是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值范围由n的奇偶性来决定：①当n 为大于1的奇数时，a ∈R .例如，)332727=，553232-=-，(7700=；②当n 为大于1的偶数时，0a ≥.例如，442727=，233=，)6600=；若0a <，式子n n a 无意义，例如，22-，)4454-均无意义，也就不能说它们的值了. 因此只要)n n a 有意义，其值恒等于a ，即n n a a = n n a 是实数n a 的n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶性限制，a ∈R .但是这个式子的值受n 的奇偶性限制：①当n 为大于1的奇数时，其值为a n n a a =()3322-=-，556.1 6.1； ②当n 为大于1的偶数时，其值为a n n a a .4433=，()2333--=. 由此当n n n a a =；当n 0||0n n a a a a a a ⎧=⎨-<⎩，≥，所以，我们得到根式具有如下的性质：⑤ 根式具有的性质：当n 为奇数时，n n a a =；当n 为偶数时，0||0n na a a a a a ⎧==⎨-<，≥，． 【分数指数幂引入】下面我们再来看一下分数指数幂.例如，311333a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭，()2233233a a a ⨯==.显然，这些运算都不能用整数指数幂的定义来解释.但是如果规定133a a =，2323a a =的运算就能像整数指数幂那样运算了.为避免讨论，如不特别说明，我们约定底数0a >，于是分数指数幂定义为：⑵ 分数指数幂① 正分数指数幂：② 负分数指数幂：⑶ 整数指数幂推广到有理指数幂，有理指数幂的运算法则：【教师备案】①整数指数幂的运算性质，比如()k n kn a a =，对分数指数幂仍然适用.注意讲解时，由学生熟悉的整数指数幂的概念性质逐渐推广到有理数指数幂，让学生知道新的概念与法则与已有的概念与法则是相容的．②分数指数幂是学生新接触的一个概念，所以在讲完分数指数幂后一定要给学生举几个例子，例如，2212338824⎛⎫=== ⎪⎝⎭；55151123222--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【无理指数幂引入】通过上面分数指数幂的学习，我们将指数的取值范围由整数推广到了有理数，那么当指数是无理数时，我们又应当如何理解它？比如25．在这里还不能给出无理指数幂严格的定义，只有一个感性的认识和相关结论．通过下面的分析让学生体会“用有理数逼近无理数”的思想，感受“逼近”的过程．观察（课件中“无理指数幂引入”中有下图）：由上表不难发现： 2222525 逼近25； 2222525的方向 逼近25； 所以我们得到如下的无理指数幂：3．无理数指数幂⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数．⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．⑶ 一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义．对实数指数幂，上述有理指数幂的运算法则仍然成立【教师备案】建议老师把指数幂按照由正整数指数幂到无理指数幂按顺序讲完，讲完以后就可以让学生做例1和例2，例1主要是进行简单的根式与幂运算.学生会很快做完，但是学生很容易出现计算上的错误，所以老师一定要强调让学生细心算.例2是对指数幂进行化简与求值，难度高于例1，其主要目的还是要锻炼学生熟练掌握指数幂运算法则.考点1：利用分数指数幂进行根式与幂运算 【例1】 ⑴细心算一算① 33(5)-=_______；② 2(3)-=________； ③ 335=_______；④ 2()a b -=_________（其中a b <）；⑤ 4334(3π)(3π)---=__________；⑥ 238=_______；⑦ 1225-=________；⑧ 341681-⎛⎫= ⎪⎝⎭______________． ⑵计算下列各式经典精讲考点2：化简与求值问题【例2】 ⑴若1002x=，105y=，则2x y +的值为（ ）A ．3 B.2 C.1 D.0⑵已知11223a a -+=，求1a a -+，22a a -+，33a a -+的值.⑶化简：()111122221112333300a a b a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭>>⎛⎫++ ⎪⎝⎭，【解析】⑴C【备选】已知()()3232461x x x y ---=+-，则1yx 的值为 ．若62344112a a a -+=-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ∈RB ．12a =C ．12a >D ．12a ≤ 【点评】学生在做本题时最容易犯的错误就是认为()262364412121a a a a -+=-=-，所以老师在讲本题时，一定要给学生说明()2621a -不一定等于321a -，就跟2a 不一定等于a 一样.指数幂我们已经非常清楚了，那到底什么是指数函数呢？所以下边我们来看一下指数函数以及它具有的性质：我们先来看一下指数函数的定义： 考点3：指数函数的定义5.2指数函数及其性质我们规定如下的函数为基本初等函数：⑴ 常值函数（也称常数函数）y c =（其中c 为常数） ⑵ 指数函数 x y a =(0,1)a a >≠且 ⑶ 对数函数 log a y x =(0,1)a a >≠且⑷ 幂函数y x α=（α∈R ）⑸ 三角函数：（其中包括六种三角函数：正弦，余弦，正切，余切，正割，余割）⑹ 反三角函数：（其中包括四种反三角函数：反正弦，反余弦，反正切，反余切；关于反正割，反余割一般不用．注意：反三角函数目前高考中不考．）所谓初等函数就是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合而成的函数．既然我们说指数函数就是基本初等函数，所以我们就来看一下指数函数：指数函数：一般地，函数xy a =(0a >且1a ≠，)x ∈R 叫做指数函数.在指数函数中我们要注意以下3点：【注意】1.在这个函数中，自变量x 出现在指数的位置上.2.底数a 是一个大于0且不等于1的常量.知识点睛3.指数函数的形式必须是纯粹的.【教师备案】1.指数函数中为什么规定底数0a >且1a ≠？①若0a <，则对于x 的某些数值，可使xa 无意义.如()2x-，当1124x =，，等等， 在实数范围内函数无意义 ②若0a =，则当0x >时，0xa=；当0x ≤时，xa 无意义③若1a =，则对于任何x ∈R ，xa 是一个常量1，没有研究的必要性为了避免上述各种情况，所以规定0a >且1a ≠，这样对于任何x ∈R ，xa 都有意义2.为什么函数的形式必须是纯粹的，不能为x qy bac+=+（其中q b c ，，是常数，0a >且紧扣指数函数的定义来分析.指数函数的定义：一般地，函数xy a=(0a >且1a ≠，)x ∈R 叫做指数函数.则指数函数的解析式xy a =中xa 的系数是1且指数位置仅有自变量x ，而函数x qy bac+=+的解析式不符合指数函数解析式的这些特征，故不是指数函数.例如，121232xx x++⋅，，都不是指数函数，但2x-是指数函数，因为122xx-⎛⎫= ⎪⎝⎭【教师备案】老师在讲完指数函数并给学生强调指数函数应该注意的问题后就可以让学生做例3了.例3主要就是判断是否为指数函数和如果是指数函数求参数的值.【例3】 ⑴指出下列函数中哪些是指数函数⑦()21xy a =-（12a >且1a ≠，a 为常数） ⑵①函数3x y m =⋅（m 是常数）是指数函数，则m = ．②函数12x y a +=（a 是常数）是指数函数，则a = ．③函数()243xy a a =-（a 是常数）是指数函数，则a的取值范围为 ．现在我们已经知道了什么是指数函数，那指数函数的图象又怎么画呢？所以接下来我们来看一下指数函数的图象：考点4：指数函数的图象与性质指数函数图象与性质：经典精讲 知识点睛图象定义域 R值域(0)+∞，性质⑴ 过定点()01，，即0x =时，1y = ⑵ 在R 上是减函数 ⑵ 在R 上是增函数 【教师备案】上图是一个总的图，老师可以按照下边的方法一个一个拆分讲解，并且为了建立更直观的感觉，可以让学生自己动手画函数的图象，如：①先画()2xf x =，从这个图象上让学生体会指数函数的增长速度特别快.老师可以举个例子，如在讲义开始的那个象棋问题，刚开始第1个格子放1粒麦子，到第64格就放了632x3-2- 1- 0123()f x 18141212 48f x ()=2xOyxy =a x (0<a <1)(0,1)O yx y=a x (a >1)(0,1)O xy粒麦子，总共所有的格一共放了6419-≈⨯21 1.610粒麦子，可见增长的速度相当快；如果学生认为642这个数不大，老师可以再举个汉诺塔的例子，一位法国数学家曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针.印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔.不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面.僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽.不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序.这需要多少次移动呢?这里需要递推的方法.假设有n片，移动次数是()f n.显然()11f=，()23f=，()37f =，.此后不难证明()21nf n=-.64n=时，()64642118446744073709551615f=-=，假如每秒钟移动一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下，1844674407370955161531556952584554049253.855=年.这表明移完这些金片需要5845亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年.真的过了5845亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭.所以说642是个很庞大的数，所以我们会发现这条曲线后面的增长会越来越快.并且从图象上看出函数的定义域为R，值域为()0+∞，，且过定点()01，.②让学生再画一个()3xg x=x3-2-1-0123() f x 1814121248g x()=3xf x()=2xOyx比较这两个图象.可以发现，当1a >时，a越大，第一象限图象离x 轴越远．③由②的结论老师可以提问，若01a <<，则图象应该则么样？那我们可以先取个函数()12xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭试试观察发现，2x与12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，所以13x⎛⎫ ⎪⎝⎭与3x的图象也关于y 轴对称，如图，所以当01a <<时，a 越大，第一象限图象离x 轴越远.老师按照上面的方式讲完指数函数的图象之后，就可以让学生做下面的练习：练习1：如图若曲线1C ，2C ，3C ，4C 是指数函数3x ，πx ，25x⎛⎫⎪⎝⎭，0.7x的图象，则1C ，2C ，3C ，4C 分别代表哪个指数函数？【解析】由图象可以直接看出1:3xC ，2:πxC ，3:0.7xC ，42:5xC ⎛⎫ ⎪⎝⎭或者也可以作直线1x =，则与四条曲线的交点就是指数函数的底数.()g x127191313927x3- 2- 1- 0123()f x 18 141212 48()h x 8 421121418h x ()=12()xf x ()=2xOyx13()x12()x3x2xOyxC 4C 3C 2C 1Oyx【教师备案】做完上边的练习之后，就可以进一步得出：①所有的指数函数分为两类：1a >和01a << ②指数函数的单调性：1a >时，是增函数；01a <<时，是减函数，而且a 越大，第一象限的图象离x 轴越远 ③指数函数的奇偶性：非奇非偶【教师备案】老师在讲完指数函数的图象并让学生做了上边的练习之后，就可以让学会做下边的例4，例4主要考察指数函数的图象.例4①与前边的练习一样，例4②主要考察讨论底数范围，例4③虽然乍看一眼有点难，但是读完题之后就比较简单了，尤其画完图象之后就更简单了.【例4】 ⑴曲线1C ，2C ，3C ，4C 分别是指数函数1xy a =，2x y b =，3x y c =，4xy d =的图象，判断a ，b ，c ，d ，1 的大小关系是 ．⑵函数()xf x a =与()g x ax a =-的图象大致是（ ） ⑶用{}min a b c ，，表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设{}()min 2210xf x x x =+-，，经典精讲(0)x ≥，则()f x 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 ⑵ C ⑶ C我们在上边的讲解中都一直在强调指数函数的图象，所以我们要在直观上认清图象，比如：根据图象要会求指数函数在不同区间上的值域问题，即例5，根据图象要能够判断两个幂的大小，即例6.下面我们先来看一下区间上的值域问题，即例5： 考点5：区间上的值域问题【例5】⑴已知函数()2xf x =，①当()0x ∈+∞，时，函数值域为____________；②当(]2x ∈-∞，时，函数值域为____________；③当(]13x ∈-，时，函数值域为____________.⑵已知函数1()3xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，①当(]1x ∈-∞，时，函数值域为_____________；②当()2x ∈+∞，时，函数值域为______________；③当[)21x ∈-，时，函数值域为______________；下面我们再来看一下幂的比较大小：考点6：幂的比较大小如果给咱们两个幂，比如13与23，这时你肯定知道谁大谁小，但是你并不是根据指数函数得出的，那对于一个一般的幂我们应该如何比较大小呢？老师就可以把下边的铺垫给学生讲解一下，并由铺垫得出对于底相同指不同应该如何比较大小，对于底不同指相同应该如何比较大小，对于底、指都不相同又应该如何比较大小.讲完铺垫以后，就可以让学生自己做一下例6了. 【铺垫】比较下列各题中两个值的大小【方法总结】幂的大小比较的方法比较大小常用方法有：⑴比差（商）法：⑵函数单调性法；⑶中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小.在比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：⑴ 对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断． ⑵ 对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断或第8讲中幂函数的单调性来判断． ⑶ 对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较．⑷ 对于三个（或三个以上）数的大小比较，则应根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可．【例6】 ⑴比较下列各题中两个值的大小：⑵设232555322555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >> ⑵ A在前边我们已经讲了复合函数，那与指数相关的复合函数是什么样子的呢?这样的复合函数的性质又是什么样子的？所以本讲只讲外层是指数函数的复合函数，对于内层是指数函数的复合函数我们将在同步的时候再具体讲解.考点7：与指数函数相关的复合函数的定义域、值域及单调性问题老师可以用下边的铺垫给学生讲一下外层是指数函数的复合函数的性质，讲完性质后就可以让学生做例7了.【铺垫】求下列函数的定义域、值域和单调区间．【解析】⑴ 定义域为R ；值域为()0+∞，；单调增区间为R⑵ 定义域为[)1+∞，；值域为(]01，；单调减区间为[)1+∞， ⑶ 定义域为R ；值域为[)3+∞，；单调增区间为[)2+∞，，单调减区间为(]2-∞，⑷定义域为R ；值域为(]04，；单调增区间为(]1-∞，，单调减区间为[)1+∞， 【例7】 求下列函数的定义域、值域和单调区间．5.3 指数函数性质的应用经典精讲【解析】⑴ 定义域为{},1x x x ∈≠R 且；值域为{}0,1y y y >≠且；单调减区间为(1)-∞，和(1+)∞，⑵ 定义域为R ；值域为(]0,1；单调增区间为(]0-∞，，单调减区间为[)0+∞，⑶ 定义域为[]31-，；值域为114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；单调增区间为[]11-，，单调减区间为[]31--，⑷ 定义域为(][)24-∞+∞，∪，；值域为[)1+∞，；单调增区间为[)4+∞，，单调减区间为(]2-∞，【演练1】 ()223x -等于（ ）【演练2】下列函数：①23x y =；②6x y =；③23x y +=；④62xy =⋅；⑤81x y =+；⑥6xy =-.其中一定为指数函数的有（ ）A ．0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【演练3】设0.914y =，0.4828y =， 1.5312y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） 【演练4】如图若曲线1C ，2C ，3C ，4C 是指数函数5x ，4.7x ，45x⎛⎫⎪⎝⎭，0.9x的图象，则1C ，2C ，3C ，4C 分别代表哪个指数函数？【演练5】函数228113x x y --+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间是________． 实战演练C 4C 3C 2C 1Oyx⑴0(0)a a ≠=___ ；⑵(0,)na a n -+≠∈=N ____；⑶()()1nn a n n +>∈=N ，且_____；⑷n na =______________；⑸()10na a >=_______；⑹(0,,)m na a n m +>∈=N _____________； ⑺(0,,)=m na a n m -+>∈N ___________；⑻(0Q)r sa a a r s >∈=，，______________； ⑼()(0Q)rs a a r s >∈=，，______________；⑽()(00Q)rab a b r >>∈=，，______________．xy a = 1a > 01a <<图象定义域 值域性质 ⑴过定点： ⑵单调性： 答案：⑴1；⑵1na ；⑶a ；⑷当n 为奇数时，nn a a=；当n 为偶数时，||0nn a a a a a a ⎧==⎨-<⎩，≥，．xy a =1a >01a <<概念要点回顾图象定义域R值域(0)+∞，性质⑴过定点：()01，，⑵单调性：当1a>时，在R上是增函数；当01a<<时，在R上是减函数y=a x(0<a<1)(0,1)Oyxy=a x(a>1)(0,1)O xy。

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载指数与指数函数知识点地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容指数函数（一）整数指数幂1．整数指数幂概念：2．整数指数幂的运算性质：（1）（2）（3）其中，．3．的次方根的概念一般地，如果一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根，即：若，则叫做的次方根，例如：27的3次方根，的3次方根，32的5次方根，的5次方根．说明：①若是奇数，则的次方根记作；若则，若则；②若是偶数，且则的正的次方根记作，的负的次方根，记作：；（例如：8的平方根 16的4次方根）③若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根；④ ∴；⑤式子叫根式，叫根指数，叫被开方数。

∴．．4．的次方根的性质一般地，若是奇数，则；若是偶数，则．（二）分数指数幂1．分数指数幂：即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）对分数指数幂也适用，例如：若，则，，∴ ．即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。

规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是；（2）正数的负分数指数幂的意义是．2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用即说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。

二、指数函数1．指数函数定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是．2．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：1．1 实数指数幂及其运算(一)(一)选择题1．下列正确的是( )A．a0＝1 B． C．10－1＝0.1 D．2．的值为( )A．±2B．2 C．－2 D．43．的值为( )A．B．C．D．4．化简的结果是( )A．a B．C．a2 D．a35．把下列根式化成分数指数幂的形式(其中a，b＞0)（1）______；（2）=______；6．______．7．化简______．8．=______(三)解答题9．计算10．计算1．2 实数指数幂及其运算(二)(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1．下列说法正确的是(n∈N*)( )A．正数的n次方根是正数B．负数的n次方根是负数C．0的n次方根是0 D．是无理数2．函数的定义域为( )A．R B．[0，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－∞，1] 3．可以简化为( )A．B．C．D．4．化简的结果是( )A．B．x2 C．x3 D．x4(二)填空题5．________，________________________．6．________．7．计算________．8．若a＋a－1＝3，则a2＋a－2＝______．10．若求的值．1.3 指数函数(一)(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是( ) A．5 B．9 C．6 D．82．下列函数中为指数函数的是( )A．y＝2·3x B．y＝－3x C．y＝3－x D．y＝1x3．若0.2m＝3，则( )A．m＞0 B．m＜0 C．m＝0 D．以上答案都不对4．函数f(x)＝ax＋1(其中a＞0且a≠1)的图象一定经过点( )A．(0，1) B．(0，2) C．(0，3) D．(1，3)(二)填空题5．若函数f(x)是指数函数且f(3)＝8，则f(x)＝______．6．函数的定义域为______，值域为______．7．函数y＝2x－1的图象一定不经过第______象限；若函数的图象不经过第一象限，则实数b的取值范围是______．8．若2m＞4，则m的取值范围是______；若(0.1)t＞1，则t的取值范围是______．9．指数函数y＝(a2－1)x在R上是减函数，则实数a的取值范围是______．(三)解答题10．根据函数f(x)＝2x的图象，画出下列函数的草图．(1)y＝－2x (2)y＝－2x＋1 (3)y＝2｜x｜11．求函数的定义域和值域．12．已知a＞0且a≠1，函数f1(x)＝，f2(x)＝，若f1(x)＜f2(x)，求x 的取值范围．1.4 指数函数(二)(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1．若，则x的取值范围是( )A．(－∞，－3] B．(－∞，－3) C．[－3，＋∞)D．R2．已知三个数M＝0.32－0.32，P＝0.32－3.2，Q＝3.2－0.32，则它们的大小顺序是( )A．M＜P＜Q B．Q＜M＜P C．P＜Q＜M D．P＜M＜Q3．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与0和1的大小关系是( )A．0＜a＜b＜1＜c＜d B．0＜b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜d D．0＜a＜b＜1＜d＜c4．函数y＝2x－2－x( )A．在R上减函数B．在R上是增函数C．在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数D．无法判断其单调性(二)填空题5．函数y＝3x＋1－2的图象是由函数y＝3x的图象沿x轴向______平移______个单位，再沿y轴向______平移______个单位得到的．6．函数f(x)＝3x＋5的值域是______．7．函数y＝ax－1＋1(其中a＞0且a≠1)的图象必经过点______．8．若指数函数y＝ax在区间[0，1]上的最大值和最小值的差为，则底数a ＝______．9．函数g(x)＝x2－x的单调增区间是______，函数y＝的单调增区间是______．(三)解答题10．函数f(x)是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x－1，求x＜0时函数的解析式．11．若关于x的方程｜2x－1｜＝a有两个解，借助图象求a的取值范围．12．已知函数f(x)＝22x－2x＋1－3，其中x∈[0，1]，求f(x)的值域．您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。

第11讲指数与指数函数【学习目标】1.通过对有理数指数幂()0,1,,0m naa a m n n >≠>为整数，、实数指数幂()0,1,xa a a x >≠∈R 含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点【基础知识】一、根式的定义1.a 的n 次方根的定义：一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且n ∈N *.2.a 的n 次方根的表示①当n 是奇数时，a 的n 次方根表示为na ，a ∈R ；②当n 是偶数时，a 的n 次方根表示为±n a ，其中－na 表示a 的负的n 次方根，a ∈[0，＋∞)．3.根式：式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．二、根式的性质1.(na )n ＝a (n 为奇数时，a ∈R ；n 为偶数时，a ≥0，且n ＞1)．2.na n(n 为奇数，且n ＞1)，|(n 为偶数，且n ＞1).三、分数指数幂1.a m n＝na m ，a－m n＝1am n ＝1n a m (其中a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．2.0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．四、有理数指数幂的运算性质1.a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )．2.(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )．3.(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．五、无理数指数幂1.对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．2.定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．六、实数指数幂的运算性质1.a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈R)．2.(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈R)．3.(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈R)．七、条件求值对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(其中a>0，b>0)：八、指数函数的定义图象及性质1.函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.2.指数函数的图象和性质【解读】1.由指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)1只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象．2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴．九、识别指数函数图象问题的注意点1.根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1；2．在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小；3．根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置．4.指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，据此，可解决形如y＝k·a x＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)．十、函数图象的对称和变换规律一般地，把函数y＝f(x)的图象向右平移m个单位得函数y＝f(x－m)的图象(m∈R，若m<0就是向左平移|m|个单位)；把函数y＝f(x)的图象向上平移n个单位，得到函数y＝f(x)＋n的图象(n∈R，若n<0，就是向下平移|n|个单位)．函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．函数y＝f(|x|)的图象是关于y轴对称的，所以只要先把y轴右边的图象保留，y轴左边的图象删去，再将y 轴右边部分关于y轴对称得y轴左边图象，就得到了y＝f(|x|)的图象．【考点剖析】考点一：根式的化简例1=()A．B．-C．2D．2-【答案】D)112==-=-，故选D．考点二：利用指数幂的运算性质化简例2．(2022学年山东省济宁市兖州区高一上学期期中)化简111123224(0,0)a b a b a b ⎛⎫⎛⎫÷>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结果为()A ．aB ．bC ．a bD ．b a【答案】A【解析】根据实数指数幂的运算公式，可得：1111311131112322424242244a b a b a b a b a b a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷=÷== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选A.考点三：条件求值例3．(1)已知,a b 是方程2640x x -+=的两个根，且0a b >>(2)已知11223a a -+=，求下列各式的值：①1a a -+；②22a a -+．【解析】(1)因为,a b 是方程2640x x -+=的两个根，所以64a b ab +=⎧⎨=⎩，所以221105====．因为0a b >>>=(2)①将11223a a -+=两边平方，得129a a -++=．即17a a -+=．②将17a a -+=两边平方，得22249a a -++=，即2247a a -+=．考点四：指数函数的图象例4．(2022学年浙江省杭州地区重点中学高一下学期期中)若函数()()()11xf x a x b =--+的图象如图所示，则()A ．01,1a b <<<B ．01,1a b <<>C ．1,1a b ><D ．1,1a b >>【答案】D【解析】由题意，函数()()()11xf x a x b =--+，令()0f x =，即()()110xa xb --+=，解得10x a -=或10x b -+=，可得0x =或1x b =-，结合图象，可得10b ->，解得1b >；又由函数()f x 的图象得，当0x <时，()0f x >，当0x <时，因为1b >，可得10x b -+<，所以10x a -<，即1x a <，解得1a >.故选D.考点五：求指数型函数的定义域与值域例5函数113()934x xf x --⎛⎫=++⎪⎝⎭在[1,)-+∞上的值域为___________.【答案】375,44⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2113113()9334334x x xx f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭∵[1,)x ∈-+∞则令(],3130xt ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝2334y t t =++在(]0,3递增∴375,44y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦考点六：求指数函数的单调区间例6．(2020-2021学年河南省登封市一高高一上学期段考)函数2435xx y -+-=的单调递减区间是()A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞【答案】A【解析】设243x x μ=-+-，在(,2]-∞单调递增，在[2,)+∞单调递减，5y μ=在(,)-∞+∞单调递增，根据“同增异减”可得，函数2435xx y -+-=的单调递减区间是[2,)+∞.故选A.考点七：利用指数函数的单调性比较大小例7．(2020-2021学年四川省巴中市恩阳区高一上学期期中)已知，0.60.6a =，0.10.3b -=，0.50.6c =，则()A ．a b c <<B ．b a c<<C ．c b a<<D ．a c b<<【答案】D【解析】因为0.6x y =单调递减，所以0.60.5000.60.60.61a c <=<=<=，0.100.30.31b -=>=，所以a c b <<.故选D考点八：利用指数函数的单调性求参数范围例8．(2022学年云南昭通市第一中学高一下学期考试)已知函数()22e 1x f x =-+，若不等式()222x f ax f x ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭对()1,2x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．50,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．50,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】()22e 2e 1e 1x x xf x =-=++ ，()2e 2e 11e x x xf x ---==++，()()2f x f x ∴+-=，则22222x x f x f x ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222x f ax f x ⎛⎫∴+--> ⎪⎝⎭可化为()22x f ax f x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭；e 1x y =+ 为R 上的增函数，()22e 1x f x ∴=-+为R 上的增函数，22xax x ∴>+对()1,2x ∀∈恒成立，即12a x >+，315222x <+< ，52a ∴≥，即实数a 的取值范围是5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选D.【真题演练】1.(2022学年陕西省咸阳市高一上学期期末)若函数()11x f x a -=-(0a >且1a ≠)的图像经过定点P ，则点P的坐标是()A ．(1,1)-B ．(1,0)C ．(0,0)D ．(0,1)-【答案】B【解析】因为01a =，所以当10x -=，即1x =时，函数值为定值0，所以点P 坐标为(1,0).另解：因为()11x f x a -=-可以由x y a =向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由xy a =过定点(0,1)，所以()11x f x a -=-过定点(1,0).故选B2.(2022学年江苏省常州市金坛区高一上学期期中)若01,0a b <<>，且2b b a a -=--，则b b a a -+的值为()A ．B ．±C ．-D 【答案】A【解析】由题设，222()42b b b b a a a a ----+==，即226b b a a -+=，又222()82b b b b a a a a --+++==，且0b b a a -+>，所以b b a a -+=.故选A.3.(2022学年安徽省池州市青阳县第一中学高一下学期3月月考)已知函数()21xf x =-，a b c <<，且()()()f a f c f b >>，则下列结论中，一定成立的是()A ．0,0,0a b c <<<B ．0,0,0a b c <≥>C ．22a c -<D ．222a c +<【答案】D【解析】由图示可知0a <时，b 的符号不确定，01c <<，故AB 错；()|21|,()|21|a c f a f c =-=- ,|21||21|a c ∴->-,即1221a c ->-，故222a c +<，故D 正确，又22a c +>2<，即21a c +<,所以0a c +<，即c a <-，所以22c a -<，故C 不正确.故选D4.(多选)(2022学年江苏省盐城市滨海中学高一上学期期中)下列根式与分数指数幂的互化正确的是()A ．21()x =-B 13y =C ．当0x ≠时，13x -D ．当0x >时，1234x ⎤=【答案】CD【解析】对于A 选项，12x =-，所以A 选项错误.对于B 13y =，所以B 选项错误.对于C 选项，0x ≠，13x-=C 选项正确.对于D 选项，0x >，3312144232x x x ⎛⎫=⎤== ⎪⎝⎭，所以D 选项正确.故选CD5．(多选)(2022学年山东省聊城市高一上学期期末)已知函数()()01xf x a a =<<，()()()g x f x f x =--，对任意12x x ≠，则()A ．()()()1212f x f x f x x =B ．()()0g x g x +-=C ．()()()()11221221x g x x g x x g x x g x +<+D ．()()2314g t t g t ⎛⎫-+-≥-∈ ⎪⎝⎭R 【答案】BCD【解析】对选项A ，()()1212x x f x f x a +=，()1212x xf x x a =，故选项A 错误；对选项B ，()x x g x a a -=-，()x xg x a a --=-，则()()0g x g x +-=，故选项B 正确；对选项C ，()()()()()()()12121212112212211xx x x x x x x a a ax g x x g x x g x x g x a ++--++--=不妨设12x x <，则120x x a a ->，故()()()()11221221x g x x g x x g x x g x +<+，故选项C 正确；对选项D ，因为()g x 是奇函数，()g x 在(),-∞+∞上递减则要使()()2314g t t g t ⎛⎫-+-≥-∈ ⎪⎝⎭R 恒成立只需：()233144g t t g g ⎛⎫⎛⎫-+-≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭只需：2314t t -+-≤-只需：24410t t -+≥而0∆=，故()()2314g t t g t ⎛⎫-+-≥-∈ ⎪⎝⎭R ，故选项D 正确故选BCD6.(2020-2021学年安徽省合肥市第十中学高一上学期期中)())121023170.0272179--⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____________．【答案】45-【解析】原式＝1113322535105(0.3)49()149149145910333--⎛⎫-+-=-+-=-+-=- ⎪⎝⎭．7．(2020-2021学年江苏省镇江市高一上学期期中)(1)求值：013263290.125[(2)]8-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭；(2)已知11223(0)a aa -+=>，求值：22111a a a a --++++.【解析】(1)原式136631()128-=-++ 21872=-++81=；(2)由11223(0)a a a -+=>，而111222()27a a a a --+=+-=，则2212()247a a a a --+=+-=，故22114716171a a a a --+++==+++.8.(2022学年贵州省六枝特区高一下学期期中)已知定义域为R 的函数()1221x af x =-++是奇函数.(1)求a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性并证明.【解析】(1)由()f x 为定义在R 上奇函数可知()00f =，解得1a =.经检验，此时对任意的x 都有()1112122212222212x xx x x x xf x ---=-+=-+=-++⨯++()()12111111111212212212221xx x x xf x +-⎛⎫=-+=-+-=-=--+= ⎪++++⎝⎭故1a =.(2)由21x y =+递增，可知()11221x f x =-++在R 上为减函数，证明如下：对于任意实数1x ，2x ，不妨设12x x <，则()()()()21121212112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++.∵2x y =单调递增，且12x x <，∴12022x x <<即21220x x ->，1210x +>，2210x +>，∴()()120f x f x ->，∴()()12f x f x >，故()f x 在R 上为减函数.【过关检测】1.(2022学年陕西省咸阳市武功县高一上学期期中)已知函数()()201xf x a a =-<<，则函数的图像经过()．A ．第一、二、四象限B ．第二、三、四象限C ．第二、四象限D ．第一、二象限【答案】B【解析】因为01a <<，所以函数()x f x a =的图象经过一、二象限，又()2x f x a =-的图象是由()x f x a =的图象沿y 轴向下平移2个单位得到，所以函数()2x f x a =-的图象经过二、三、四象限，如图，故选B2.(2022学年广东省广州市六中高一下学期期中)已知m ，n 1=，则下列不等式一定成．．．立．的是()A ．n mm n ≥B ．n m m n <C ．12m n m n +<D ．12m n m n +>【答案】D【解析】m ，n 1=，即11221m n +=01,0 1.m n ∴<<<<,x x m n y y ∴==在(,)-∞+∞上均为减函数，,m n y x y x ==在(0,)+∞上为增函数.当m n <时，n m m m m n <<，故A 错误；当m n >时，n m m m m n >>，故B 错误；取41m n ==，此时12m n m n +=>，故C 错误；m n +≥ 22()m n ∴+≥，2124m n +∴≥=，12m n ∴+≥，11,m n m m n n m n >=>= ，12m n n n m m +>+≥∴，故D 正确.故选D3.(2022学年陕西省渭南市临渭区高一上学期期末)函数y x a =+与x y a -=(0a >且1a ≠)在同一坐标系中的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为一次函数y x a =+为直线，且函数y x a =+单调递增，排除AD 选项.对于B 选项，指数函数1xx a y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，则101a <<，可得1a >，此时，一次函数y x a =+单调递增，且直线y x a =+与y 轴的交点()0,a 位于点()0,1的上方，合乎题意；对于C 选项，指数函数1x xa y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，则101a <<，可得1a >，此时，一次函数y x a =+单调递增，且直线y x a =+与y 轴的交点()0,a 位于点()0,1的下方，不合乎题意.故选B.4.(2022学年广东省汕尾市高一上学期期末)若1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1412c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()A ．c a b>>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a b c >>【答案】A 【解析】13231142b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，且112433<<，所以112433111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以c a b >>，故选A 5.(多选)(2022学年河北省沧州市沧县中学高一上学期测试)已知函数()33x x f x -=-，则()A ．()f x 的值域为RB ．()f x 是R 上的增函数C ．()f x 是R 上的奇函数D ．()f x 有最大值【答案】ABC 【解析】()()30,x g x ∞=∈+，而()()3,0x h x ∞-=-∈-，所以()33x x f x -=-值域为R ，A 正确，D 错误；因为()3x g x =是递增函数，而()3x h x -=-是递增函数，所以()33x x f x -=-是递增函数，B 正确；因为定义域为R ，且()()33x x f x f x --=-=-，所以()f x 是R 上的奇函数，C 正确；故选ABC6.(多选)(2022学年江苏省无锡市市北高级中学高一上学期期中)已知函数,1()(12)3,1x a x f x a x a x -⎧<-=⎨-+-⎩是R 上的增函数，则实数a 的值可以是()A ．4B ．3C ．13D ．14【答案】CD 【解析】因为,1()(12)3,1x a x f x a x a x -⎧<-=⎨-+-⎩是R 上的增函数，所以11120213a a a a a ⎧>⎪⎪->⎨⎪-+⎪⎩，解得1142a <.故选CD.7．(多选)(2022学年吉林省松原市重点高中高一3月联考)设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，已知函数()e 11e 2x x f x =-+，则下列叙述中正确的是()A ．()f x ⎡⎤⎣⎦是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在R 上是增函数D ．()f x ⎡⎤⎣⎦的值域是{}1,0,1-【答案】BC 【解析】根据题意知，()e 11e 112111e 1e 221e x x x x xf x +-=-=-=-+++，()e 1101e 2f ⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，()1111e 12f ⎡⎤⎡⎤-=-=-⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，所以，()()11f f ≠-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦且()()11f f ≠--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以，函数()f x ⎡⎤⎣⎦既不是奇函数，也不是偶函数，A 错；()()()e 111111e 221e 2e 1e x x x x x f x f x ----=-=-=-=-+++ ，所以，函数()f x 为奇函数，B 对；因为函数1e x y =+为R 上的增函数，则函数11e xy =+为R 上的减函数，故函数()1121e x f x =-+上的增函数，C 对；因为e 0x >，则1e 1x +>，所以，1011e x<<+，故()1122f x -<<，所以，函数()f x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-，D 错.故选BC.8.(2022学年河北省沧州市沧县中学高一上学期测试)已知104m =，10n =34210m n-=______．【答案】83【解析】因为104m =，10n =()()()332343222210428103310m m nn -====．9.已知正整数()a b c a b c <<，，和非零实数x y z w ，，，，若70x y z w a b c ===，且1111w x y z =++，求a b c ，，的值．【解析】由已知70x y z w a b c ===，得1170w x a =，同理1170y w b =，1170w z c =，三式相乘，得()111170x y z w abc ++=，又1111w x y z=++，所以70abc =，又因为,,a b c 为正整数，故70257=⨯⨯，又a b c <<则257a b c ===，，．10.(2022学年四川省德阳市第五中学高一上学期12月月考)已知函数()4141x x f x -=+.(1)判断()f x 的奇偶性；(2)判断()f x 的单调性并证明；(3)若不等式()4x m f x ≥在[]0,1x ∈上有解，求m 的最大值.【解析】(1)由题意知：()f x 定义域为R ，()()14411441441144xx x x x x xxf x f x ------====-+++ ，()f x ∴为R 上的奇函数.(2)()f x 是R 上的增函数，证明如下：令12x x <，则()()()()()2121212121244414141414141x x x x x x x x f x f x ----=-=++++；21440x x -> ，2410x +>，1410x +>，()()210f x f x ∴->，()f x ∴是R 上的增函数.(3)由()4x m f x ≥得：()()()()224134124424413414141x x x x x x x x x m f x +-++-≤⋅===++-+++；当[]0,1x ∈时，[]412,5x +∈，令[]412,5x t =+∈，2y t t =+ 在[]2,5上单调递增，max 21235t t ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭，即()max 1245x f x ⎡⎤⋅=⎣⎦，125m ∴≤，则m 的最大值为125.。

【2019最新】精选高二数学暑假作业5指数与指数函数考点要求1．理解指数和指数函数的概念，会进行根式与分数指数幂的互化，掌握有理指数幂的性质和运算法则，并能运用它们进行化简和求值；2．掌握指数函数的图象和性质，并能运用它们解决相关问题．考点梳理1．根式(1) 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的________(n＞1，n∈N)．当n为奇数时，正数的n次方根是一个______，负数的n次方根是一个________，这时a的n次方根记为________；当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，可用符号________表示，其中叫做________，这里n叫做________，a叫做________；(2) 当n为奇数时，＝________；当n为偶数时，＝________．2．分数指数幂(1) 我们规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝________(a＞0,m,n∈N*,n＞1)；(2) 正数的负分数指数幂的意义是：a＝________(a＞0,m,n∈N*,n＞1)；(3) 0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义．3．有理指数幂的性质(1) asat＝________；(2) (as)t＝________；(3) (ab)s＝________．4．指数函数及其性质(1) 一般地,函数________叫做指数函数,函数的定义域是________；考点精练1．在某种细菌培养过程中,每30 min分裂一次(一个分裂为两个),经过4 h,这种细菌由一个可繁殖成____________个．2．化简：(x＜0,y＜0)＝____________．3．函数y＝的定义域为______________．4．函数y＝ax－1＋1(a＞0且a≠1)的图象必经过一个定点,则这个定点的坐标是_ ___________．5．已知a＝,b＝2,c＝,则a,b,c的大小关系是____________．6．若方程|3x－2|＝k有两解，则实数k的取值范围是____________．7．若x＋x＝3,则＋x＋2,x2＋x－2＋3)＝____________．8．若函数f(x)＝e的最大值为m,则f(x)的单调增区间为____________．9．已知函数f(x)＝2x－2－x,则下列结论：① f(x)的图象关于原点对称；② f(x)在R上是增函数；③ f(0)＝0；④ f(|x|)的最小值为0．其中正确的结论为____________．(填序号)10．计算：÷×．11．已知9x－10·3x＋9≤0,求函数y＝－4·＋2的最大值和最小值．12．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．(1) 求a、b的值；(2) 若对任意的t∈R, 不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立,求k的取值范围．第5课时 指数与指数函数1． 256 提示：利用归纳法可求．2． －2x2y3． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞4． (1，2) 提示：令x －1＝0．5． b ＜a ＜c 提示：a ＝，b ＝，c ＝． ∵ f(x)＝是减函数，∴ b＜a ＜c ．6． 0＜k ＜27． 提示：原式，x ＋x －1＝(x ＋x)2－2＝7．8． (－∞，1]9． ①②③④ 10． 解：令a ＝m ，b ＝n ， 原式＝÷·m ＝·＝＝m3＝a ．11． 解：由9x －10·3x＋9≤0，可得1≤3x≤9，∴ 0≤x≤2．令t ＝∈[]，则y ＝4t2－4t ＋2，∴ ymax ＝2，ymin ＝1．12． 解：(1) a ＝2，b ＝1．(2) f(x)＝＝－＋12x ＋1由上式易知f(x)在R 上为减函数，又因f(x)是奇函数，∴ f(t2－2t)＜f(－2t2＋k)，∴ t2－2t ＞－2t2＋k ，即3t2－2t －k ＞0，∴ k ＜－．。