弦切角定理证明

圆的弦切角定理
弦切角定理又叫做斜接角定理，它是由现代先驱理论家、著名数学家笛卡尔所提出的
几何定理，它讲述了弦和圆在一起时所形成的夹角大小。

这个定理本质上是一个几何定理，在经典几何学中被广泛使用。

定理的具体内容如下：设弦切线在圆上的作用点分别是A、B，AB是弦切点，AB垂直
线与圆的圆心O相交得到点C，AB点分别延长到P和Q使OP与OQ延长，则OC、OP、OQ
三角形内角的大小依次为：π的一半（90°）OCA弧与APO角，AOC弧与POC角，BOC弧
与QOC角。

证明：AOC为OCB的补角，POC和QOC绕O旋转就变为AOC，而AOC与AB垂直线合成
了直角，故总之，证明弦切角定理的关键是正确建立AOC和AB垂直线，即点C是A、B垂
直线的交点。

由于圆的拉格朗日定义及圆的定义，可得知BOC的中点的P的投影到OA上必是OA的
中点O，故点P必等于点C，从而证明了AB垂直线的交点为点C.
于是，AOC是一个直角，而AOC弧与APO角、AOC弧与POC角、BOC弧与QOC角就是其对应角，因此就可以看出弦切角定理了。

以上就是弦切角定理的证明，弦切角定理一般应用于圆面内不存在直线或点的情况，
这时，计算机就可以采用其求得弦和圆之间的夹角大小。

弦切角定理证明方法弦切角定理证明方法连oc、oa，则有oc⊥cd于点c。

得oc‖ad，知∠oca=∠cad。

而∠oca=∠oac，得∠cad=∠oac。

进而有∠oac=∠bac。

由此可知，0a与ab重合，即ab为⊙o的直径。

连接bc，且作ce⊥ab于点e。

立即可得△abc为rt△，且∠acb=rt∠。

由射影定理有ac²=ae*ab。

又∠cad=∠cae，ac公用，∠cda=∠cea，得△cea ≌△cda，有ad=ae，所以，ac²=ab*ad。

第一题重新证明如下：首先证明弦切角定理，即有∠acd=∠cba。

连接oa、oc、bc，则有∠acd+∠aco=90°===∠aco+∠aoc,所以∠acd=∠aoc，而∠cba=∠aoc，得∠acd=∠cba。

另外，∠acd+∠cad=90°，∠cad=∠cab，所以有∠cab+∠cba=90°，得∠bca=90°，进而ab为⊙o的直径。

2证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb∵∠boc=2∠cab∴∠tcb=∠cab证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o 的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.求证：证明：分三种情况：圆心o在∠bac的一边ac上∵ac为直径，ab切⊙o于a，∴弧cma=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：ef∥bc.证明：连df.ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3：如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，求证：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.证明：∵ab是⊙o直径∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac平分∠mcd，同理：bc平分∠ncd.弦切角逆定理证明已知角cae=角abc，求证ae是圆o 的切线证明：连接ao并延长交圆o于d，连接cd，则角adc=角abc=角cae而ad是直径，因此角acd=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae 所以角dae=角dac+角cae=90度故ae为切线弦切角定理证明弦切角定理编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角定理的证明与推导弦切角定理的证明与推导弦切角定理是数学的一种定理，这种定理的证明是怎么一回事呢？下面就是啦店铺给大家整理的弦切角定理的证明内容，希望大家喜欢。

弦切角定理示范弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。

过点A作TP的平行线交BC于D则∠TCB=∠CDA∵∠TCB=90-∠OCD∵∠BOC=180-2∠OCD∴,∠BOC=2∠TCB证明：分三种情况(1)圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A∴弧CmA=弧CA∵为半圆(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D弦切角定理介绍弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。

(与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的.夹角叫做弦切角。

)顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

如图所示线段PT所在的直线切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。

弦切角定理衍生问题及其证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧CmA是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半证明：分三种情况(1)圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径∴弧CmA=弧CA∵弧CA为半圆,∴弧CmA的度数为180°∵AB为圆的切线∴∠CAB=90°∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,在优弧m所对的劣弧上取一点E，连接EC、ED、EA。

则∵弧CD=弧CD∴∠CED=∠CAD∵AD是圆O的直径∴∠DEA=90°∵AB为圆的切线∴∠BAD=90°∴∠DEA=∠BAD∴ ∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC又∠CEA的度数等于弧CmA的度数的一半∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半(3)圆心O在∠BAC的外部过A作直径AD交⊙O于D，连接CD【弦切角定理的证明与推导】。

第5讲 弦切角定理1.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线夹角。

要注意:如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点， ①PA=PB ； ②PO 平分APB ∠； ③AB PO ⊥。

2.弦切角的定义:顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

3.弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

如右图:θθ∠=∠。

4.弦切角定理推论:如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

【例1】已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上的一点，CD 切⊙O 于D ，DE⊥AB 于E 。

求证：CDB EDB ∠=∠。

【例2】已知∠1=∠2，⊙O 过A ，D 两点且交AB ，AC 于E ，F ，BC 切⊙O 于D ，求证：EF ∥BC 。

【例3】AB 为⊙O 的弦，CA ，CB 切⊙O 于A ，B ，P 在⊙O 上，AB PD ⊥于D ，CA PF ⊥于F ，CBPE ⊥于E ，求证：PF PE PD ∙=2。

【例4】已知⊙O 的直径AB ＝cm 12，AM 、BN 是⊙O 的切线，在AM 上取一点D （D 与A 不重合），DE 切⊙O 于E ，且DE 与BN 交于C 点，设AD ＝x ，BC ＝y 。

(1)求出y 与x 的函数关系式，并说明是什么函数；(2)若y x ,是方程03022=+-m t t 的两根，求出x 和y 的值；(3)求OCD ∆的面积。

【例5】在平面直角坐标系中，⊙M 过原点O ，与x 轴交于点A(4,0),与y 轴交于点B(0,3)，点C 为劣弧 AO 的中点，连接AC 并延长到D ，使DC=4CA,连接BD 。

(1)求⊙M 的半径；(2)证明:BD 为⊙M 的切线。

(3)在直线MC 上找一点P ，使AP DP -最大【课堂练习题】1.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB 、BC 、OP ，则与∠PAB 相等的角(不包括 ∠PAB 本身)有( )A.1个B.2个C.3个D.4个题1 题2 题3 题4 题5 2.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( ) A.21 B.20 C.19 D.183.一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25cm ，∠MPN=60︒， 则OP =( )A.50cmB.253cmC.3350cm D.503cm 4.如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cosB 35=．如果⊙O，且经过点B 、C ，那么线段AO= cm ．5.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且60=∠AEB ，则=∠P _____度． 6.如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长。

弦切角定理顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

(弦切角就是切线与弦所夹的角）如图所示，线段PT所在的直线切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.如上图，已知：直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦。

求证：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC证明：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵PT为圆O的切线∴OC⊥PT∴∠TCB=90°-∠OCB∵∠BOC=180°-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB∵∠BOC=2∠BAC∴∠TCB=∠BAC综上所述：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧CmA是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半证明：分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径∴弧CmA=弧CA ∵弧CA为半圆,∴弧CmA的度数为180°∵AB为圆的切线∴∠CAB=90°∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半（2）圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,在优弧m所对的劣弧上取一点E，连接EC、ED、EA。

则∵弧CD=弧CD∴∠CED=∠CAD∵AD是圆O的直径∴∠DEA=90°∵AB为圆的切线∴∠BAD=90°∴∠DEA=∠BAD∴∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC又∠CEA的度数等于弧CmA的度数的一半∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半（3）圆心O在∠BAC的外部过A作直径AD交⊙O于D，连接CD∵AD是圆的直径∴∠ACD=90°∴∠CDA+∠CAD=90°∵AB是圆O的切线∴∠DAB=90°∴∠BAC+∠CAD=90°∴∠BAC=∠CDA∵∠CDA的度数等于弧CmA的度数的一半∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交于点C，求证：∠CAB=∠CBA。

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(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线pt切圆o于点c，bc、ac为圆o的弦，∠tcb，∠tca，∠pca，∠pcb都为弦切角。

编辑本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠tcb(敬请期待更好文章：)=∠cab（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.求证：(弦切角定理)证明：分三种情况：(1)圆心o在∠bac的一边ac上∵ac为直径，ab切⊙o于a，∴弧cma=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴(弦切角定理)(3)圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a(rt△中30°角所对边等于斜边的一半)例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：ef∥bc.证明：连df.ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3：如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，求证：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.证明：∵ab是⊙o直径∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac平分∠mcd，。

弦切角定理证明逆定理
弦切角定理是指：一条弦所对的两个角中，以弧度为单位的较大角等于这条弦所对的圆周上的切线与这条弦所在直线所成角的补角。

根据此定理，可以得出其逆定理：如果一条直线与一条圆相交，且这条直线的切线与这条圆的一个弦所成角的补角等于这条弦所对
的圆心角的一半，那么这条直线就是这条圆的切线。

证明如下：设直线与圆相交于点A和B，切线与弦的交点为C。

根据弦切角定理可得：∠CAB=∠ACB的补角，且∠ABC的补角等于弧BC所对的圆心角的一半。

因为∠CAB和∠ABC的补角之和为180度，所以∠CAB+∠ABC的补角=180度。

将以上两个式子代入得：∠ACB的补角+弧BC所对的圆心角的一半=180度。

即：∠ACB+弧BC所对的圆心角=180度。

因为弧BC所对的圆心角等于∠ABC的两倍，所以∠ACB+∠
ABC=180度。

因此，直线AC与圆相切。

证毕。

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弦切角定理证明及例题弦切角定理弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角??PCA=?PBC(?PCA为弦切角)弦切角定理弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明证明:设圆心为O，连接OC，OB，OA。

过点A作TP的平行线交BC于D，则?TCB=?CDA??TCB=90-?OCD??BOC=180-2?OCD更清楚的?,?BOC=2?TCB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半)??BOC=2?CAB??TCB=?CAB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)证明已知:AC是?O的弦，AB是?O的切线，A为切点，弧是弦切角?BAC所夹的弧.求证:.(弦切角定理)证明:分三种情况:(1) 圆心O在?BAC的一边AC上?AC为直径，AB切?O于A，?弧CmA=弧CA?为半圆,??CAB=90=弦CA所对的圆周角B点应在A点左侧 (2) 圆心O在?BAC的内部.过A作直径AD交?O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有:?CED=?CAD、?DEA=?DAB? ?CEA=?CAB? (弦切角定理)(3) 圆心O在?BAC的外部,过A作直径AD交?O于D那么 ?CDA+?CAD=?CAB+?CAD=90??CDA=?CAB?(弦切角定理)弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1:如图，在中，?C=90，以AB为弦的?O与AC相切于点A，?CBA=60? , AB=a 求BC长.解:连结OA，OB.?在中, ?C=90??BAC=30??BC=1/2a(,,?中30?角所对边等于斜边的一半)例2:如图，AD是ΔABC中?BAC的平分线，经过点A的?O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证:EF?BC.证明:连DF.AD是?BAC的平分线 ?BAD=?DAC?EFD=?BAD?EFD=?DAC?O切BC于D ?FDC=?DAC?EFD=?FDCEF?BC例3:如图，ΔABC内接于?O，AB是?O直径，CD?AB于D，MN切?O于C，求证:AC平分?MCD，BC平分?NCD.证明:?AB是?O直径??ACB=90?CD?AB??ACD=?B，?MN切?O于C??MCA=?B，??MCA=?ACD，即AC平分?MCD，同理:BC平分?NCD.。

弦切角定理及其应用顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定义图1如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。

弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.如上图，∠PCA=1/2∠COA=∠CBA弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵∠TCB=90°-∠OCB∵∠BOC=180°-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角（2）圆心O在∠BAC的内部. (B点应在A点左侧)过A作直径AD交⊙O于D,E若在优弧m所对的劣弧上有一点那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴（弦切角定理）（3）圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90°∴∠CDA=∠CAB∴（弦切角定理）3弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交与点C，求证：∠CAB=∠CBA。

解：⊙O的切线AC、BC交与点C，∴AC=BC（切线长定理）。

∴∠CAB=∠CBA。

（等腰三角形“等边对等角”）。

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证：EF//BC.证明：连接DFAD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D ,∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C ∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD。

弦切角定理的证明方法
弦切角定理在圆周几何中起着非常重要的作用，是许多其他定理的基础。

下面我们将介绍弦切角定理的证明方法。

证明如下：
1. 连接圆周上的两个点P和Q，以及这两个点的中点C，如图所示。

2. 作PC和QC的垂线，分别交于点A和点B。

3. 因为PC和QC是弦，所以它们将圆分成了两个部分，分别为APC 和CBQ。

4. 根据圆心角定理，在圆周上相交的两条弦所对的圆心角相等，即
∠AOC = ∠BOC。

5. 由于PC和QC垂直于AB，所以我们可以得到∠ACP = ∠BCQ，同时∠APC = ∠BQC，因为直角三角形中，垂直的两边互相垂直。

6. 然后再通过勾股定理，得到AP² + PC² = AC²，BQ² + QC² = BC²。

7. 将这两个式子相加，得到AP² + PC² + BQ² + QC² = AC² + BC²。

8. 通过代数变形，可以得到(PQ)² = AC² + BC²，即弦长PQ的平方等于
它对应的两个切线长的平方和。

9. 因此得证，弦切角定理成立。

弦切角定理的重要性在于，它将圆周上的长度和角度联系起来，使得
更多其他定理的证明成为可能，如圆内接四边形的周长公式、正多边
形内接圆的半径公式等等。

同时也为解决实际问题提供了有力的工具。

实际上，弦切角定理是许多数学分支领域中必不可少的基础定理之一。

弦切角定理怎么证明弦切角定理是几何学中一个基本的定理，它描述了一个弦与其所对的角的关系。

根据弦切角定理，一个弦所对的角等于其对应弧所对的角等于该弦所夹的两个弧的角和的一半。

为了证明弦切角定理，我们可以利用以下步骤：步骤1: 假设在一个圆上有一个弦AB，它所对的角为∠ACB。

我们需要证明∠ACB = 1/2(∠AOB + ∠APB)。

步骤2: 通过圆心O作弦AB的垂线，交弦AB于点P，并延长OP使其与圆相交于点C。

步骤3: 由于AO = OB（弦AB的中垂线），所以∠AOP = ∠BOP = α。

同时，由于∠OCP是弧APB所对的角，根据圆心角定理，我们知道∠OCP = 1/2∠APB = β。

步骤4: 观察三角形ACP和BCP。

根据直角三角形的定义，我们知道∠ACP = 90° - α，∠BCP = 90° - α。

步骤5: 由于三角形ACP和BCP的两个角分别等于∠ACB的两个角，根据三角形角和定理，我们可以得到∠ACB = ∠ACP + ∠BCP = (90° - α) + (90° - α) = 180° - 2α。

步骤6: 同时，我们可以通过两个角β和∠OCP的和来计算∠AOB。

根据直角三角形定义，我们知道∠OCP = 90° - β。

因此，∠AOB = ∠AOP + ∠BOP + ∠OCP = α + α + (90° - β) = 180° - 2β。

步骤7: 根据步骤5和步骤6的结果，我们可以得到∠ACB = 1/2 (∠AOB + ∠APB)。

这就证明了弦切角定理。

弦切角定理在几何学中具有广泛的应用，特别是在证明和解决与圆相关的问题时非常有用。

它不仅可以帮助我们计算弦所对的角，还可以用于证明弦所夹的两个弧的角和等于360°。

弦切角定理的证明方法证明弦切角定理时，需要使用到以下几何模型：1.一个圆，圆心为O，半径为r；2.在圆上选择两个点A和B，连接OA和OB；3.以A和B分别为圆心，r为半径，画两个与圆相交的圆弧。

接下来按照以下步骤进行证明：第一步：证明OA与OB垂直。

由于OA和OB是圆的半径，所以OA和OB相等，即OA≡OB。

根据等腰三角形的性质，OA和OB的中垂线也相等，即OM≡OM。

由此可得，△OMA≡△OMB。

根据等腰三角形的定义，可以得出∠MOA≡∠MOB。

而∠MOA和∠MOB是相交直线与两条相交弧所夹的角，因此根据垂直角的定义，可以得到OA与OB垂直。

第二步：证明角AOB的度数等于弦AB所对的圆心角的度数。

由于AOB是一个半圆角，根据半圆角的定义，它的度数等于180°。

另一方面，弦AB所对的圆心角的度数等于弧AMB的度数。

所以，要证明两者相等，我们只需要证明两个弧所对的角相等。

第三步：证明弦AB所对的圆心角的度数等于弦AB所对的切角的度数。

以A为圆心，r为半径，作弧周上的线段AC切圆于点C。

连接OC。

根据圆的切线定理，切线与半径垂直，所以OC与AC垂直。

又由于OA与OC是圆半径，所以∠OAC是一个直角。

因此，在△OAC中，∠OAC+∠OCA=90°。

由于∠OAC是弦AB所对的圆心角，OC是切线AC所对的切角。

根据三角形中角的性质，弦切角等于其所对的圆心角的补角，即∠OCA等于∠OAB的补角，即180°-∠OAB。

所以，∠OAC+∠OAB=90°。

综上所述，在△OAC中，∠OAC+∠OCA=90°，∠OAC+∠OAB=90°。

所以，∠OCA=∠OAB，即切角与圆心角相等。

第四步：综合前面的结论，得到结论弦切角定理的证明。

由第一步可得△OMA≡△OMB，由第二步可得∠AOB=180°。

由第三步可得∠OAC=∠OAB。

将这些结论整合起来，可以得到△OMA和螺旋△OAC与△OMB和螺旋△OBC全等，即∠MOA=∠COA，∠MOB=∠COB。

弦切角定理逆定理弦切角定理弦切角定理是数学中的一个重要定理，它描述了一个弦与其所对的圆上的切线之间的关系。

在几何学中，我们经常遇到需要计算弦与切线的夹角的问题，弦切角定理就为我们提供了一个有效的计算方法。

定理表述在一个圆上，给定弦AB，以及弦AB所对的圆上的切点C，连接AC和BC。

则弦AB 与切线AC、BC所夹的角相等。

定理证明我们可以通过以下步骤来证明弦切角定理：1.连接弦AB的中点O与切点C，得到线段CO。

2.由于弦AB是由两点A和B确定的，所以弦AB的中点O也是由两点A和B确定的。

3.由于切线与半径垂直，所以OC与切线AC、BC垂直。

4.由于OC是弦AB的中垂线，所以OC与弦AB垂直。

5.由于OC与切线AC、BC垂直，并且OC与弦AB垂直，所以切线AC、BC与弦AB平行。

6.平行线与弦的夹角相等，所以弦AB与切线AC、BC所夹的角相等。

弦切角定理逆定理弦切角定理逆定理是弦切角定理的逆向推导，它描述了一个弦与其所对的圆上的切线之间的关系。

在实际问题中，我们有时需要根据已知的弦和切线的夹角来计算弦的长度，弦切角定理逆定理就为我们提供了一个有效的计算方法。

定理表述在一个圆上，给定弦AB与切线AC、BC所夹的角，以及切点C。

则弦AB的长度等于弦AB所对的圆上的切线的长度的两倍乘以切线与弦所夹的角的正切值的倒数。

定理证明我们可以通过以下步骤来证明弦切角定理逆定理：1.连接弦AB的中点O与切点C，得到线段CO。

2.由于弦AB是由两点A和B确定的，所以弦AB的中点O也是由两点A和B确定的。

3.由于切线与半径垂直，所以OC与切线AC、BC垂直。

4.由于OC是弦AB的中垂线，所以OC与弦AB垂直。

5.由于OC与切线AC、BC垂直，并且OC与弦AB垂直，所以切线AC、BC与弦AB平行。

6.平行线与弦的夹角相等，所以弦AB与切线AC、BC所夹的角相等。

7.根据正切函数的定义，我们可以得到切线与弦所夹角的正切值。

弦切角定理证明方法弦切角定理证明方法(1)连oc、oa，则有oc⊥cd于点c。

得oc‖ad，知∠oca=∠cad。

而∠oca=∠oac，得∠cad=∠oac。

进而有∠oac=∠bac。

由此可知，0a与ab重合，即ab为⊙o的直径。

(2)连接bc，且作ce⊥ab于点e。

立即可得△abc为rt△，且∠acb=rt∠。

由射影定理有ac²=ae*ab。

又∠cad=∠cae，ac公用，∠cda=∠cea，得△cea≌△cda，有ad=ae，所以，ac²=ab*ad。

第一题重新证明如下：首先证明弦切角定理，即有∠acd=∠cba。

连接oa、oc、bc，则有∠acd+∠aco=90°=(1/2)(∠aco+∠cao+∠aoc)=(1/2)(2∠aco+∠aoc)=∠aco+(1/2)∠aoc,所以∠acd=(1/2)∠aoc，而∠cba=(1/2)∠aoc(同弧上的圆周角等于圆心角的一半)，得∠acd=∠cba。

另外，∠acd+∠cad=90°，∠cad=∠cab，所以有∠cab+∠cba=90°，得∠bca=90°，进而ab为⊙o的直径。

2证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠tcb=∠cab(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角) 证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.求证：(弦切角定理)证明：分三种情况：(1)圆心o在∠bac的一边ac上∵ac为直径，ab切⊙o于a，∴弧cma=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴(弦切角定理)(3)圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a(rt△中30°角所对边等于斜边的一半)例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：ef∥bc.证明：连df.ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3：如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn 切⊙o于c，求证：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.证明：∵ab是⊙o直径∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac平分∠mcd，同理：bc平分∠ncd.第二篇：弦切角的逆定理的证明弦切角逆定理证明已知角cae=角abc，求证ae是圆o的切线证明：连接ao并延长交圆o于d，连接cd，则角adc=角abc=角cae而ad是直径，因此角acd=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae所以角dae=角dac+角cae=90度故ae为切线第三篇：弦切角定理证明弦切角定理证明弦切角定理编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

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得oc‖ad，知∠oca=∠cad。

而∠oca=∠oac，得∠cad=∠oac。

进而有∠oac=∠bac。

由此可知，0a与ab重合，即ab为⊙o的直径。

(2)连接bc，且作ce⊥ab于点e。

立即可得△abc为rt△，且∠acb=rt∠。

由射影定理有ac²=ae*ab。

又∠cad=∠cae，ac公用，∠cda=∠cea，得△cea≌△cda，有ad=ae，所以，ac²=ab*ad。

第一题重新证明如下：首先证明弦切角定理，即有∠acd=∠cba。

连接oa、oc、bc，则有∠acd+∠aco=90°=(1/2)(∠aco+∠cao+∠aoc)=(1/2)(2∠aco+∠aoc)=∠aco+(1/2)∠aoc,所以∠acd=(1/2)∠aoc，而∠cba=(1/2)∠aoc(同弧上的圆周角等于圆心角的一半)，得∠acd=∠cba。

另外，∠acd+∠cad=90°，∠cad=∠cab，所以有∠cab+∠cba=90°，得∠bca=90°，进而ab为⊙o的直径。

2证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠tcb=∠cab(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.求证：(弦切角定理)证明：分三种情况：(1)圆心o在∠bac的一边ac上∵ac为直径，ab切⊙o于a，∴弧cma=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴(弦切角定理)(3)圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a(rt△中30°角所对边等于斜边的一半)例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：ef∥bc.证明：连df.ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3：如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，求证：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.证明：∵ab是⊙o直径∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac平分∠mcd，同理：bc平分∠ncd.第二篇：弦切角的逆定理的证明弦切角逆定理证明已知角cae=角abc，求证ae是圆o的切线证明：连接ao并延长交圆o于d，连接cd，则角adc=角abc=角cae而ad是直径，因此角acd=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae所以角dae=角dac+角cae=90度故ae为切线第三篇：弦切角定理证明弦切角定理证明弦切角定理编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角定理及其推论定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.证明：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵∠TCB=90°-∠OCB∵∠BOC=180°-2∠OCB∴∠BOC=2∠TCB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）弦切角定理推论：两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等。

应用举例：第一个算出地球周长的人──埃拉托色尼2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长。

这个人就是古希腊的埃拉托色尼。

埃拉托色尼博学多才，他不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。

细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。

但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。

他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。

从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。

按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。

埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长(40076公里)相差无几。

他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近。

这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧。

埃拉托色尼是首先使用“地理学”名称的人，从此代替传统的“地方志”，写成了三卷专著。

书中描述了地球的形状、大小和海陆分布。