双曲线离心率

双曲线的离心率
双曲线的离心率定义为双曲线上任意一点到它的长轴的距离除以到短轴的距离的比值，其符号表示为e，称为双曲线的离心率。

双曲线总是一种几何形状，它的定义即在任意一
点处都满足特定方程，特别是，双曲线满足椭圆方程：
$$
\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } }+\frac
{ { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } }=1
$$
这里a和b分别叫做长轴和短轴的长度，因此，双曲线离心率的定义就是指：
$$
e=\frac { a }{ b }
$$
双曲线是一类重要的曲线，在几何图形中起着重要作用，它有多种形式，可以根据离
心率来划分，离心率表示双曲线形状的大小，离心率越大，双曲线越扁，离心率越小，双
曲线越圆。

如果离心率为1，则双曲线为椭圆，离心率大于1，则双曲线称为钝心双曲线；离心率小于1，则双曲线称为锐心双曲线；当离心率等于无穷大时，双曲线变为直线。

双
曲线是非常常见的几何图形，由于其扁平程度的不同，在许多地方都有应用，比如在球面
测地学中，双曲线用来定义地球的地图投影，也可以用于计算电流在涡旋器中的流动等。

双曲线也经常被应用在求解复杂方程组以及分析特殊函数的问题中。

双曲线的特征与其离心率有关，离心率越大，双曲线越快，越圆，反之，则双曲线变
得越扁，离心率越小，因此，双曲线的离心率在双曲线中起着关键作用，它反映了双曲线
形状的大小，可以用来描述双曲线的属性，以及求解复杂的几何图形模型。

双曲线的离心率e的取值范围
双曲线是一种二次曲线，其形状是一条类似弓形的曲线，受到数学家卡尔·海索尔的启发，它被用来描述物体在特定情
况下的轨迹。

双曲线的离心率e是衡量双曲线形状的重要参数，可以用来衡量双曲线距离原点的远近。

离心率e的取值范围是
0≤e≤
当e=0时，双曲线变成一个圆，此时双曲线的离心率e称
为零离心率，表示双曲线的半径和弧线的长度是相等的，即没有离心率。

当0＜e＜1时，双曲线的离心率e称为真实离心率，即双
曲线的弧线长度大于半径，双曲线的形状比圆更加扁平，双曲线的弧线也更加弯曲。

当e=1时，双曲线的形状变成一条直线，此时双曲线的离心率e称为无穷大离心率，表示双曲线的弧线长度无限大，无法把双曲线画成一个圆。

因此，双曲线的离心率e的取值范围是0≤e≤
1，它可以用来衡量双曲线形状的变化，既可以表示双曲
线呈胖椎状，也可以表示双曲线变成一条弧线，以及双曲线变成一条直线的情况。

双曲线的离心率e的取值范围是一个非常重要的参数，它可以用来衡量双曲线的形状，也可以用来描述物体在特定情况下的轨迹，是数学中一个重要的概念。

它对于广义空间曲线的描述也有重要的应用，在物理、天文学等学科中也有着重要的作用。

精品文档双曲线离心率的求法、利用双曲线定义 例1.已知椭圆E 上存在点P ,在P 与椭圆E 的两个焦点F 、F 2构成的△ FPF 2中, sin. PF 1F 2 : si n. FfF 2:si n. PF 2F 1 ^7 :10 :11.则椭圆 E 的离心率等于 ________二、利用平面几何性质2 2例2 设点P 在双曲线 冷-爲=1(a . 0,b . 0)的右支上，双曲线两 a b 焦点F 、F 2, I PF I=4| PF 2 I ,求双曲线离心率的取值范围。

三、 利用数形结合例3 (同例2)四、 利用均值不等式2 2务一笃_1(a . 0,b . 0)的右支上，双曲线两焦a b六、 利用直线与双曲线的位置关系2X 2例6已知双曲线—-y = 1(a . 0)与直线I : x • y = 1交于P 、Qa 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。

七、 利用点与双曲线的位置关系2例7已知双曲线■X 〒一 y 2 = 1(a > 0)上存在p 、Q 两点关于直线a x - 2y =1对称，求双曲线离心率的取值范围。

八、 利用非负数性质2 2例8已知过双曲线 务-花-1(a ■ 0,b . 0)左焦点R ,的直线I 交a b双曲线于 P Q 两点，且OP_OQ ( O 为原点)，求双曲线离心率的取值范围。

九、 利用双曲线性质2 2例9.已知双曲线务-首-1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F i (-c,0), F 2(C ,0) •若双曲a b 线上存在点P 使si n PF i F 2朋，则该双曲线的离心率的取值范围是 __________________________sin /PF 2F 1 c精品文档 例4已知点P 在双曲线 点为斤、F 2 , |一丄最小值是8a ,求双曲线离心率的取值范围。

|PF 2|五、利用已知参数的范围例5已知梯形ABCD 中, |AB | = 2|CD |，点E 分有向线段AC 所成的比为，，双曲线过 C 、D E 三点，且以 A B 为焦点，当 <3- 4 <- 求双曲线离心率的取值范围。

• 所以双曲线的离心率 • 故选B.
•
已知双曲线C：x2-y2=4与直线l：
y=k(x-1)，讨论直线l与双曲线C的公共点
的个数.
•
将直线l的方程与双曲线的方程联立
，消元后转化为关于x（或y）的方程，若
是一元二次方程则可利用判别式求解.
•
y=k（x-1）
•
联立方程组 x2-y2=4，消去y得（
1-k2）x2+2k2x-k2-4=0，
【答案】(1)B (2)D (3)B
2、 若椭圆 则双曲线
的离心率为 , 的离心率为_______
[答案] D
[答案] D
答案：D
(2009·湖南，12)已知以双曲线C的两个焦 点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中， 有一个内角为60°，则双曲线C的离心率 为________．
解析：如图，∵c＞b，∴∠B1F1B2＝60°
x y
• 误区警示
1．注意双曲线的几何量a、b、c关系是c2＝a2 ＋b2应与椭圆区别．离心率e的取值范围是 e>1.
2．在双曲线有关计算和证明中，要分清焦点在 哪个轴上，不知道焦点位置时要分类讨论， 或直接设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)， 据方程判断焦点的位置时，也要注意与椭圆 的区别．椭圆看a与b的大小，双曲线看x2、y2 系数的正负．
• [解析] 因为满足条件的动点在底面 ABCD内运动时，动点的轨迹是以D1D为 轴线，以D1A为母线的圆锥，与平面
[答案] C
[答案] A
[答案] 2
• 6．中心在原点，焦点在x轴上的一个椭
圆与一双曲线有共同的焦点F1、F2，且
|F1F2|＝2
，椭圆的长半轴长比双