2020届高三数学理科月考试题(含解析)

四川省泸州市泸县第一中学2020届高三下学期第一次在线月考数学试题（理）一、选择题：1.已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，则A ∩B ＝（ ） A. {0，1}B. {﹣1，0}C. {﹣1，0，1}D. {0，1，2}『答案』A『解析』由B 中不等式解得：-1＜x ＜2，即B ={x |-1＜x ＜2}，∵A ={-1，0，1，2}， ∴A ∩B ={0，1}， 故选A ．2.若a ，b 均为实数，且3i2i 1ia b +=+-，则ab =（ ） A. 2-B.2 C. 3- D. 3『答案』C 『解析』因为3221a bii i i+=+=--， 所以()()1213a bi i i i +=--=-，因此1,3a b ==-，则3ab =-. 故选C3.已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =A. 12AB AD -+ B.12AB AD - C. 12AB AD +D. 12AB AD -『答案』A『解析』如图，过E 作//,EF BC 由向量加法的平行四边形法则可知1.2BE BF BC AB AD =+=-+ 故选A.4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2=4，a 4=2，则S 6=（ ） A. 0B. 10C. 15D. 30『答案』C『解析』数列{a n }是等差数列，a 2=4=a 1+d ，a 4=2=a 1+3d ，所以a 1=5，d =-1，则S 6=6a 1+()6512⨯⨯-=15． 故选C ．5.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.『答案』B 『解析』()f x 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln xx x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 本题正确选项：B6.已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A.2B.3C.D.『答案』D『解析』由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=cos ,422a b a b a b⋅∴<>===本题正确选项：D7.已知角α的终边经过点(P -，则sin 2α=（ ）A.B. C. 12-D. -『答案』B『解析』角α的终边经过点p （﹣1，其到原点的距离r ==2故cos 12α=-，sin α=∴sin22α=sin α cos 122α=⨯-=（）. 故选B ．8.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. 213log 32+B. 2log 3C. 2D. 3『答案』C『解析』模拟程序的运行，可得s ＝3，i =1满足条件i 3≤，执行循环体s ＝3+log i =2满足条件i 3≤，执行循环体s ＝3+log log i =3，满足条件i 3≤，执行循环体，s ＝3+log 4log log =，i =4， 不满足条件i 3≤，退出循环，输出s 的值为s ＝242log =． 故选C ．9.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A 、B 、C 三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A 班的分法种数为 A. 6 B. 12 C. 24D. 36『答案』B『解析』甲和另一个人一起分到A 班有1232C A =6种分法，甲一个人分到 A 班的方法有：2232C A =6种分法，共有12种分法； 故答案为B.10.将函数sin(2)3y x π=+的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为()f x ，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A. ππππk k k ++∈Z 7[,]()1212B. [,]()63k k k Z ππππ-+∈C. 5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ D. [,]()36k k k Z ππππ-+∈『答案』B『解析』由题意知22T ππ==，故向右平移14个周期，即向右平移4π 个单位，所以()sin[2()]sin(2)436f x x x πππ=-+=-，令222262k x k πππππ-≤-≤+()k ∈Z ，所以63k xk ππππ()k ∈Z ，故选B ．11.若直线y ax =是曲线2ln 1y x =+的一条切线，则实数a =（ ） A.12e-B.122e-C.12eD.122e『答案』B『解析』数的定义域为（0，+∞），设切点为（m ，2lnm +1）， 则函数的导数2f x x （）'= ，则切线斜率2k m=， 则对应的切线方程为22122y lnm x m x m m-+=-=-（）（）， 即221y x lnm m=+-， 2y ax a m=∴=， 且210lnm -=，即12lnm = ，则12m e = ，则121222a e e-=＝，故选B ．12.已知函数()f x 是定义在R 上函数，且满足()()0f x f x '+>，其中()f x '为()f x 的导数，设()0a f =，()22b f ln =，()1c ef =，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A. c b a >>B. a b c >>C. c a b >>D. b c a >>『答案』A『解析』令()()x g x e f x =，则()[()()]0x g x e f x f x '=+'>，()g x ∴在R 上单调递增，又0ln21<<，()()()0ln21g g g ∴<<，即()()()02ln2e 1f f f <<，即c b a >> 故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.的13.已知实数,x y 满足条件11040y x y x y ≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是__________．『答案』7『解析』如图，过点()3,1时，max 2317z =⨯+=14.210(2018)()x y x y +-展开式中56x y 的系数为__________.『答案』210『解析』由题意可得：()()()()1010102220182018x yx y x x y y x y +-=-+-，据此可得：只有()10x x y -中含有56x y ，结合二项式定理可得其系数为：()66101210C ⨯-=.15.等比数列{}n a 中，182,4a a ==,函数()()()()128f x x x a x a x a =--⋯-，则()0f '=__________．『答案』122『解析』函数()()()()128...f x x x a x a x a =---，()()()()128'...f x x a x a x a =---()()()128...'x x a x a x a ⎡⎤+---⎣⎦，则()()441212818'0...82f a a a a a =⋅===，故答案为122. 16.三棱锥S ABC -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形， SA ⊥面ABC ， 2SA =,则三棱锥S ABC -外接球的表面积是_____________ .『答案』283π『解析』由题意可知三棱锥外接球，即为以ABC ∆为底面以SA 为高的正三棱柱的外接球∵ABC ∆是边长为2的正三角形∴ABC ∆的外接圆半径r =， 设球的半径为R ，因为SA ⊥面ABC ， 2SA =, 所以222284243R r =+=， ∴外接球的表面积为22843R ππ=， 故答案为283π三、解答题：17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a,b,c 满足：3cos cos sin sin cos 2A C A CB ++=，且a,b,c 成等比数列. (Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若2,2tan tan tan a c ba A C B+==,判断三角形的形状. 解：(Ⅰ)3cos cos sin sin cos 2A C A CB ++=,因为()cos cos B A C =-+32sin sin 2A C ∴=, 又22sin sin sin b ac B A C =⇒=,232sin 2B ∴=而,,a b c 成等比数列，所以b 不是最大， 故B 锐角，所以60B =︒.(Ⅱ)由2tan tan tan a c b A C B +=,则cos ccos 2cos sin sin sin a A C b BA C B+=, 利用正弦定理可得cos cos 2cos 1A C B +==, 又因为23A C π+=,所以3A C π==, 所以三角形ABC 是等边三角形.18.已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示.（1）试估计该产品收益率的中位数；（2）若该产品的售价x （元）与销量y （万份）之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组x 与y 的对应数据： 根据表中数据算出y 关于x 的线性回归方程为10.ˆ0ˆybx =-，求b 的值； （3）若从表中五组销量数据中随机抽取两组，记其中销量超过6万份的组数为X ，求X 的分布列及期望.解：（1）依题意，设中位数为x ，()0.3 2.50.20.5x +⨯-=，解得0.28x =.（2）25303845521903855x ++++===，7.57.1 6.0 5.6 4.8316.255y ++++===，∴10.0 6.20.13ˆ8b-==. （3）X 的可能取值为0,1,2，故()0P X = 022325310C C C ==，()1123256110C C P X C ===，()2023251210C C P X C ===， 故X 的分布列为故()10105E X =+=. 19.四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒,ADP ∆为等边三角形.（1）求证：AD PB ⊥ ;（2）若2,AB BP ==D PC B --的余弦值.（1）证明：取AD 中点E ，连结PE ，BE ∵ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒ ∴ ABD ∆为等边三角形 ∴ ,BE AD ⊥ ∵ ADP ∆为等边三角形 ∴ PE AD ⊥ ∵PE BE E ⋂=∴ AD PBE ⊥面 ∵PB PBE ⊂面 ∴ AD PB ⊥（2）解：∵,PAD BAD ∆∆为等边三角形，边长为2∴ PE BE ==∵ PB =∴ 222PE BE PB += ∴ PE EB ⊥∵ ,PE AD AD BE E ⊥⋂= ∴ PE ABCD ⊥面 如图，以EA ，EB ，EPx ，y ，z 轴建立空间直角坐标系则(()()(),1,0,0,,P D B C -- 设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则·0·0m PD m DC ⎧=⎨=⎩,()(()(),,?1,0,00,0,,?0x y z x x x y z ⎧-=⎧-=⎪⎪⎨⎨-=-=⎪⎪⎩⎩取1z =，则()1,3,1,1x y m ==-=-- 设平面PCB 的法向量为(),,n a b c =·0·0n PB n BC ⎧=⎨=⎩,()(()(),,?00,20,,?2,0,00a b c a a b c ⎧==⎪⎨-=⎪-=⎩⎪⎩取1c =-，则()0,1,0,1,1a b n ==-=--设二面角D PC B --的平面角为θ∴()(3,1,1?0,1,1·cos cos ,03,m nm n mn θ----====-，则二面角D PC B --的余弦值等于020.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求C 的方程； （2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点，证明：直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．解：（1）由题意可得22c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2{a c == 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2214x y +=.（2）证明：设直线l 的方程为12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y , 由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得()222210x mx m -+-= 则()()222481420m m m∆=--=->，且1220x xm +=>，()212210x x m =->故()22121212121111122422m y y x m x m x x m x x m -⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭()212122121212111424OP OQPQ x x m x x m y y k k k x x x x -++==== 即直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列. 21.设函数()ln 1af x x x =+-，()0a > （1）当130a =时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）若()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭内有极值点，当()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，求证：()()21423f x f x e ->-.()2.71828e =⋯解：（1）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞，当130a =时，()()25665'1x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=-，令：()'0f x >，得：65x >或56x <，所以函数单调增区间为：50,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）证明：()()()()222211'11x a x af x x x x x -++=-=--， 令：()()()()2210g x x a x x m x n =-++=--=，所以：2m n a +=+，1mn =，若()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭内有极值点， 不妨设10m e<<，则1n e m =>，且122a m n e e =+->+-， 由()'0f x >得：0x m <<或x n >， 由()'0f x <得：1m x <<或1x n <<，所以()f x 在()0,m 递增，(),1m 递减；()1,n 递减，(),n +∞递增，当()10,1x ∈时，()()1ln 1af x f m m m ≤=+-； 当()21,x ∈+∞时，()()2ln 1af x f n n ≥=+-，所以：()()()()2111ln ln 2ln 1111a a f x f x f n f m n m n a n m n m ⎛⎫-≥-=+--=+- ⎪----⎝⎭12ln n n n=+-，n e >. 设：()12ln F n n n n =+-，n e >，则()222'10F n n n=++>.所以：()F n 是增函数，所以()()12F n F e e e >=+-.又：()()23131411031032203333e e e e e e e e e e e----+-⎛⎫+---=--+==> ⎪⎝⎭， 所以：()()21423f x f x e ->-. 22.在直角坐标系xoy 中，曲线1C的参数方程为1212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 交于,A B 两点，点P的极坐标为)4π，求11||||PA PB +的值. 解：（1）曲线1C的参数方程为1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），两式相加消去t 可得普通方程为20x y +-=；又由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，曲线2C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=转化为直角坐标方程为24y x =（2）把曲线1C的参数方程为1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入24y x =得260t +-=， 设1t ，2t 是,A B对应的参数，则11t t +=-126t t ⋅=-所以121211PA PB t t PA PB PA PB t t +-+==⋅⋅63===23.已知函数．（1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c +∈R ，且a b cm ++=时，求的最大值．解：（1）①当12x <时，()324f x x =-+≤ 2132x ∴-≤< ②当112x ≤<时，()4f x x =≤ 112x ∴≤<③当1x ≥时，()324f x x =-≤ 12x ∴≤≤ 综上：()4f x ≤的解集为223x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）法一：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m =又*,,a b c R ∈且12a b c ++= 则2221a b c ++=，设x y z ===222x y xy +≥ 2222121222xy x y a b a b ∴≤+=+++=++同理：2222yz b c ≤++，2222zx c a ≤++2222222222228xy yz zx a b b c c a ∴++≤++++++++=()2222222212121812x y z x y z xy yz zx a b c ∴++=+++++≤++++++=x y z ∴++≤≤当且仅当16a b c ===时取得最大值法二：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m =又*,,a b c R ∈且12a b c ++=2=444212121333222a b c⎫++++++⎪≤++⎪⎪⎝⎭当且仅当16a b c===时取得最大值法三：由（1）可知()132,21,1232,1x xf x x xx x⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min12f x∴=即12m=12a b c∴++=2121214a b c∴+++++=由柯西不等式可知：()()) 2222222111111 ++⨯++≥即：)211121++≤≤当且仅当212121a b c+=+=+即16a b c===时，取得最大值。

2020届高三12月月考数学试卷(理科)说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（3）页，第Ⅱ卷第（4）页至第（6）页。

2、本试卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。

答题卡不要折叠2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。

答在试卷上无效。

3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}2|0|2M x x x N x x =-=＜，＜，则 ( )A ．M N ⋂=∅B ．M N M ⋂=C ．M N M ⋃=D ．M N R =U2． “”是“方程表示双曲线”的 （ )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．正项等差数列{}n a 中的11a ，4027a 是函数()3214433f x x x x =-+-的极值点，则20192log a =( ) A ．2B ．3C ．4D ．54．函数1sin cos (0)y x a x a =+>的图象是由函数25sin 5cos y x x =+的图像向左平移ϕ个单位得到的，则cos ϕ=（ ）A ．35B ．45C 32D 225．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是 （ ）A ．获得A 等级的人数减少了B ．获得B 等级的人数增加了1.5倍C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同6．设()0sin cos a x x dx π=+⎰，且21nx ax ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是 （ ） A ．1 B ．1256 C ．64 D ．1647．直线(1)(2)0()x y R λλλλ+-++=∈恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上，其中0m >，0n >，则21m n+的最小值为 （ ） A ．22B ．4C ．52D ．928．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是 ( )A ．2+43B ．13+2C ．2+83D ．4+839．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是 （ ）A ．3B ．5C ．7D ．910．已知函数()sin (0)f x x ωω=>，点A ，B 分别为()f x 图像在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB ∆为锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）A ．30,2π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．3,22ππ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11．设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，x R ∀∈，有3()()f x f x x --=，在(0,)+∞上有22'()30f x x ->，若2(2)()364f m f m m m --≥-+-，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[1,1]-B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞U12．已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）A ．(3)(2019)3f f -+=-B ．()f x 在区间[]4,5上是增函数C ．若方程() 1f x k x =+恰有3个实根，则11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则()61i i i x f x =∑的取值范围是()0,6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．已知34a b R a ib i i+=+∈，（，）其中i 为虚数单位，则a bi +=________； 14．已知数列{}n a的首项11a =，且满足11(2)n n n n a a a a n ---=≥，则122320142015a a a a a a +++=L ；15．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE V 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1A C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面1A DE ； ②线段BM 的长为定值；③存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90°． 其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为_________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2cos 2()3f x x x x R π⎛⎫=--∈⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3()2B f =-，1b =，3c =，且a b >，试求角B 和角C .18．（本小题满分10分）如图，在PBE △中，AB PE ⊥，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5AC =，122AB AP AE ===，将PBA ∆沿AB 折起使得二面角P AB E --是直二面角． （l ）求证：CD 平面PAB ；（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正切值．19．（本小题满分10分）2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．20．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），离心率2e=．（1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11l y kx m=+：与椭圆G交于A B，两点，直线2212l y kx m m m=+≠：（）与椭圆G交于C D，两点，且AB CD=，如图所示．①证明：120m m+=；②求四边形ABCD的面积S的最大值．21．（本小题满分10分）已知函数()22,02,0xx xf x xax ax xe⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数．()1求实数a的值；()2若函数()()g x f x kx=-有三个零点，求实数k的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos3xyαα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2sin42πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点()1,0P-，直线l和曲线C交于,A B两点，求||||PA PB+的值．23．已知函数()()210f x x a x a=++->.（1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.（数学理）1-5 BDCBB 6-10 DDADB 11.B 12 BCD13.5 14. 15. ①② 16. 4 317【解析】（1）233()cos2cos2sin2cos23sin23223f x x x x x xππ⎛⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q，令222,232k x k k Zπππππ--+∈剟，解得5,1212k x k k Zππππ-+∈剟∴故函数()f x的递增区间为5,()1212k k kππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z.（2）313sin,sin2332Bf B Bππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-∴-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，20,,,333366B B B Bπππππππ<<∴-<-<∴-=-=Q即，由正弦定理得：13sin sinsin6aA Cπ==，3sin2C∴=，0Cπ<<Q，3Cπ∴=或23π.当3cπ=时，2Aπ=：当23Cπ=时，6Aπ=（不合题意，舍）所以,63B Cππ==.18．如图，在PBE△中，AB PE⊥，D是AE的中点，C是线段BE上的一点，且5AC=，122AB AP AE===，将PBAV沿AB折起使得二面角P AB E--是直二面角．（l）求证：CD平面PAB；（2）求直线PE与平面PCD所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析.（2）13.【解析】分析：（1）推导出4,AE AC =是Rt ABE ∆的斜边上的中线，从而C 是BE 的中点，由此能证明//CD 平面PAB ；（2）三棱锥E PAC -的体积为E PAC P ACE V V --=，由此能求出结果．详解：（1）因为122AE =，所以4AE =，又2AB =，AB PE ⊥， 所以22222425BE AB AE =+=+=，又因为152AC BE ==， 所以AC 是Rt ABE n 的斜边BE 上的中线，所以C 是BE 的中点，又因为D 是AE 的中点．所以CD 是ABE n 的中位线，所以CD AB n ， 又因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD n 平面PAB ．（2）据题设分析知，AB ，AE ，AP 两两互相垂直，以A 为原点，AB ，AE ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为122AB AP AE ===，且C ，D 分别是BE ，AE 的中点， 所以4AE =，2AD =，所以()040E n n ，()120C n n ，()002P n n ，()020D n n ，所以()042PE =-u u n v n u ，()122PC =-u u n v n u ，()100CD =-u u n vn u ， 设平面PCD 的一个法向量为()n x y z '''=n n ，则00n CD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v ，即0220x x y z ''''-=⎧⎨+-=⎩，所以0x z y =⎧⎨='''⎩，令1y '=，则()011n =n n ，设直线PE 与平面PCD 所成角的大小为θ，则10sin 10PE n PE nθ⋅==⋅u u u v u u u v ． 故直线PE 与平面PCD 所成角的正切值为13．19．2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．【答案】(1) 2532 (2) 最高费用为350万元．对应13p =．（1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()2233331C p p C p -+， 一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()()2213111C p p p ⎡⎤---⎣⎦， 所以一篇学术论文被认定为“存在 问题学术论文”的概率为()()()()22223313331111f p C p p C p C p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦()()()2223313111p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+．∴12p =时，125232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为2532． （2）设每篇学术论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500．()()21315001P X C p p ==-，()()21390011P X C p p ==--，所以()()()()2221133900111500190018001E X C p p C p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦． 令()()21g p p p =-，()0,1p ∈，()()()()()2121311g p p p p p p '=---=--．当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '>，()g p 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '<，()g p 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减． 所以()g p 的最大值为14327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以评审最高费用为44300090018001035027-⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭（万元）．对应13p =．20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1（﹣1，0），离心率22e =． （1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11l y kx m =+： 与椭圆G 交于 A B ， 两点，直线2212l y kx m m m =+≠：（）与椭圆G 交于C D ， 两点，且AB CD = ，如图所示．①证明：120m m += ；②求四边形ABCD 的面积S 的最大值． （1）设椭圆G 的方程为（a ＞b ＞0）∵左焦点为F 1（﹣1，0），离心率e =．∴c =1，a =，b 2=a 2﹣c 2=1椭圆G 的标准方程为：．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）①证明：由消去y 得（1+2k 2）x 2+4km 1x +2m 12﹣2=0 ，x 1+x 2=，x 1x 2=；|AB |==2；同理|CD |=2，由|AB |=|CD |得2=2，∵m 1≠m 2，∴m 1+m 2=0②四边形ABCD 是平行四边形，设AB ，CD 间的距离d =∵m 1+m 2=0，∴∴s =|AB |×d =2×=.所以当2k 2+1=2m 12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为221．已知函数()22,02,0x x x f x x ax ax x e⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数． ()1求实数a 的值；()2若函数()()g x f x kx =-有三个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）12a e =；（2）ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭解：()1当0x <时，()2f x x =-是增函数，且()()00f x f <=，故当0x ≥时，()f x 为增函数，即()'0f x ≥恒成立，当0x ≥时，函数的导数()()()211'2221120()x x x xx e xe x f x ax a a x x a e e e --⎛⎫=+-=+-=--≥ ⎪⎝⎭恒成立，当1x ≥时，10x -≤，此时相应120x a e -≤恒成立，即12x a e ≥恒成立，即max 112()x a e e≥=恒成立，当01x ≤<时，10x ->，此时相应120x a e -≥恒成立，即12x a e ≤恒成立，即12a e ≤恒成立， 则12a e =，即12a e=． ()2若0k ≤，则()g x 在R 上是增函数，此时()g x 最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件． 故0k >，当0x <时，()2g x x kx =--有一个零点k -，当0x =时，()()0000g f =-=，故0也是故()g x 的一个零点， 故当0x >时， ()g x 有且只有一个零点，即()0g x =有且只有一个解，即202x x x x kx e e e +--=，得22x x x xkx e e e+-=，(0)x >， 则112x x k e e e=+-，在0x >时有且只有一个根， 即y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点，()11'2x h x e e=-+，由()'0h x >得1102x e e -+>，即112x e e <得2x e e >，得ln21ln2x e >=+，此时函数递增，由()'0h x <得1102x e e -+<，即112x e e>得2x e e <，得0ln21ln2x e <<=+，此时函数递减，即当1ln2x =+时，函数取得极小值，此时极小值为()1ln211ln211ln22h e e e+++=+- ln211ln2111ln21ln2222222e e e e e e e e e e=++-=++-=⋅， ()110101h e e=+-=-，作出()h x 的图象如图，要使y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点， 则ln22k e =或11k e≥-， 即实数k 的取值范围是ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．【答案】（1）22193x y +=，10x y -+=；（266（1）因为曲线C 的参数方程为3cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），所以曲线C 的普通方程为22193x y +=.因为2sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=. 所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=.（2）由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l的参数方程为122x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆的方程得2280t -=，所以1212+402t t t t ==-<，所以12|PA|+|PB|=||t t -==. 23．已知函数()()210f x x a x a =++->. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）()5,+∞（1）当1a =时，()121f x x x =++-，故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或53x >.故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.（2）当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->， 即2x a +>，即2a x >-或2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立. 又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞U . 又0a >，所以5a >， 综上，a 的取值范围为()5,+∞.。

2020届江西省信丰中学高三上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．全集U =R ，集合{}1,2,3,4,5A =，[)3,B =+∞，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1【答案】C【解析】根据图中阴影部分所表示的集合为RAB ，然后根据全集U =R ，[)3,B =+∞，求得B R ，再利用交集运算求解.【详解】由图知：图中阴影部分所表示的集合为RA B ，因为全集U =R ，[)3,B =+∞， 所以(),3RB =-∞，又集合{}1,2,3,4,5A =， 所以{}1,2RA B ⋂=，所以图中阴影部分所表示的集合为{}1,2， 故选：C 【点睛】本题主要考查ven 图以及集合的基本运算，还考查了数形结合的思想，属于基础题. 2．直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不【答案】A【解析】试题分析：由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离2d =..所以11222OAB S ∆=⨯=.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时, OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A. 【考点】1.直线与圆的位置关系.2.充要条件.3．已知集合{}|A x x a =<，{}|12B x x =≤<，且()RA B R =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a < C ．2a ≥ D ．2a >【答案】C【解析】先由题意，求出B R，根据()RAB R =，即可得出结果.【详解】因为{}|12B x x =≤<，所以{1RB x x =<或}2x ≥，又{}|A x x a =<，()RA B R =，所以，只需2a ≥. 故选：C. 【点睛】本题主要考查由并集和补集的结果求参数，属于基础题型. 4．已知i 是虚数单位，若32i 2ii i 12iz ++=+-所对应的点位于复平面内 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】由题意计算可得13z i =-，据此确定其所在的象限即可. 【详解】 因为232i 2i (32i)i (2i)(12i)i i 23i i i 13i i 12i i (12i)(12i)z +++++=+=+=-+⋅=---+， 所以该复数位于第四象限，故选D ．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．5．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④【答案】C【解析】试题分析：根据不等式的基本性质知命题p 正确，对于命题q ，当,x y 为负数时22x y >不成立，即命题q 不正确，所以根据真值表可得,(p q p ∨∧q )为真命题，故选C.【考点】1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.6．已知集合{}2|4120A x x x =--<，(){}2|log 10B x x =-<，则AB =（ ）A ．{}|6x x <B ．{}|12x x <<C ．{}|62x x -<<D ．{}|2x x <【答案】B【解析】先解不等式，化简两集合，再求交集，即可得出结果. 【详解】因为{}{}2|4120|26A x x x x x =--<=-<<，(){}{}{}2|log 10|011|12B x x x x x x =-<=<-<=<<，所以{}|12A B x x ⋂=<<. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求集合的交集，涉及一元二次不等式的解法，以及对数不等式的解法，属于基础题型.7．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A ．0.8 B ．0.75C ．0.6D ．0.45【答案】A【解析】【详解】试题分析：记A =“一天的空气质量为优良”，B =“第二天空气质量也为优良”，由题意可知()()0.75,0.6P A P AB==,所以()()()4|5P ABP B AP A==，故选A.【考点】条件概率．8．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．8πC．12D．4π【答案】B【解析】设正方形边长为a，则圆的半径为2a，正方形的面积为2a，圆的面积为2π4a.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248aa⋅=，选B.点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算()P A.9．设m，n是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题：（）①若mα⊥，nβ⊥，则//m n；②若mαγ=，nβγ=，//m n，则//αβ；③若//αβ，//βγ，mα⊥，则mγ⊥；A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④【答案】A【解析】根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明. 【详解】对①，由于垂直于同一个平面的两条直线平行，故①正确；对②，设三棱柱的三个侧面分别为,,αβγ，其中两条侧棱为,m n ，显然//m n ，但α与β不平行，故②错误.对③，∵////αβγ，当m α⊥时，m γ⊥，故③正确.对④，当三个平面,,αβγ两两垂直时，显然结论不成立，故④错误. 故选:A. 【点睛】本题考查空间线面位置关系的判断，属于中档题.10．设映射f ：22x x x →-+是实数集M 到实数集P 的映射，若对于实数t P ∈，t 在M 中不存在原象，则t 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】A【解析】根据二次函数的性质，求出22y x x =-+的值域，再由题意，即可求出结果. 【详解】因为映射f ：22x x x →-+是实数集M 到实数集P 的映射， 由22y x x =-+，x ∈R 可得()2111y x =--+≤，即集合P 要包含(],1-∞，又对于实数t P ∈，t 在M 中不存在原象， 所以(],1t ∉-∞，因此1t >. 故选：A. 【点睛】本题主要考查映射的相关计算，考查二次函数的值域，属于基础题型.11．已知0a >且1a ≠，函数()(log a f x x =在区间(),-∞+∞上既是奇函A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据奇函数求出1b =，根据增函数可知1a >，进而判断函数()g x 的图象. 【详解】 解：函数()(2log a f x x x b =++在区间(),-∞+∞上是奇函数，∴()00f =，则1b =，又函数()(2log a f x x x b =+在区间(),-∞+∞上是增函数，∴1a >.所以()log 1a g x x =-，当1x >时，()()log 1a g x x =-为增函数，排除B ，D 选项；当01x <<时，()()log 1a g x x =-为减函数，排除C . 故选：A. 【点睛】本题考查奇函数的特性，复合函数的增减性，对数函数的性质，考查数形结合的思想，分析问题能力，属于基础题.12．设()221x f x x =+，()()520g x ax a a =+->，若对于任意[]10,1x ∈，总存在[]00,1x ∈，使得()()01g x f x = 成立，则a 的取值范围是（ ）555【答案】C【解析】先对函数()f x 分0x =和0x ≠，运用二次函数的值域求法，可得()f x 的值域，运用一次函数的单调性求出函数()g x 的值域，由题意可得()f x 的值域包含在()g x 的值域内，可得a 的不等式组，解不等式可得a 的取值范围．【详解】∵()221x f x x =+，当0x =时，()0f x =，当0x ≠时，()22111112422x xx f x ==⎛⎫++- ⎪⎝⎭，由01x <≤，即11x ≥，所以2111224x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭， ∴()01f x <≤，故()01f x ≤≤， 又因为()()520g x ax a a =+->，且()052g a =-，()15g a =-． 由()g x 递增，可得()525a g x a -≤≤-，对于任意[]10,1x ∈，总存在[]00,1x ∈，使得()()01g x f x =成立， 可得[][]0,152,5a a ⊆--，可得52051a a -≤⎧⎨-≥⎩∴5,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数恒成立问题以及函数值域的求法，注意运用转化思想，是对知识点的综合考查，属于中档题．二、填空题13．已知集合{}1,2aA =，{},B a b =．若12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A B =______．【答案】11,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】根据交集的定义得,a b 的值，即可得答案； 【详解】12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，∴112122a A a ∈⇒=⇒=-，∴12b =，∴{}111,21,,1,22aA B ⎧⎫⎧⎫===-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， ∴11,,12AB ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，故答案为：11,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查集合的并运算，考查运算求解能力，属于基础题.14．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________． 【答案】16【解析】十个数中任取七个不同的数共有C 种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C 种情况，于是所求概率P ＝＝．15．二项式6(2x x展开式中含2x 项的系数是________. 【答案】192-【解析】试题分析：通项为()6116322166212rrr r r r r r T C x x C x ----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1r =，系数为()151612192C -=-.【考点】二项式展开式.16．若函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]7,7-内零点的个数有_______个． 【答案】12【解析】先由题意，将函数零点个数问题，转化为函数()y f x =与函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩图像在区间[]7,7-内交点的个数问题；画出图像，由图像，即可得出结果. 【详解】由()()()0h x f x g x =-=得()()f x g x =，因此函数()()()h x f x g x =-在区间[]7,7-内零点的个数，即为函数()y f x =与函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩图像在区间[]7,7-内交点的个数；因为函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，所以()f x 以2为周期； 又[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，在同一直角坐标系内，画出()y f x =与()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩的图像如下，由图像可得，函数()y f x =与函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩图像共有12个交点，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]7,7-内零点的个数有12个.【点睛】本题主要考查判定函数零点的个数，根据数形结合的方法求解即可，属于常考题型.三、解答题17．设命题p ：实数x 满足()()30x a x a --<，其中0a >，命题q ：实数x 满足302x x -≤-． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()2,3；（2）12a <≤．【解析】（1）若1a =，分别求出p ，q 成立的等价条件，利用且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）利用p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【详解】解：由()()30x a x a --<，其中0a >，得3a x a <<，0a >，则p ：3a x a <<，0a >．由302x x -≤-解得23x <≤．即q ：23x <≤． （1）若1a =，则p ：13x <<，若p q ∧为真，则p ，q 同时为真，即2313x x <≤⎧⎨<<⎩，解得23x <<，∴实数x 的取值范围()2,3．（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件， ∴332a a >⎧⎨≤⎩，即12a a >⎧⎨⎩，解得12a <≤．【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，转化为q 是p 的充分不必要条件是解决本题的关键，属于基础题. 18．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:{sin ,x t C y t αα== （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ== （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB 最大值.【答案】（Ⅰ）()330,0,,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）4. 【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为22230x y x +-=．联立222220,{230,x y y x y x +-=+-=解得0,{0,x y ==或3,2{3,2x y ==所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和33(,)2． （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为．所以2sin 23AB αα=-4()3sin πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．【考点】1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．19．已知函数()3f x x a x =--+，a R ∈．（1）当1a =-时，解不等式()1f x ≤；（2）若对于[]0,3x ∈时，()4f x ≤恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）5|2x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭；（2）77a -≤≤．【解析】（1）当1a =-时，不等式为131x x +-+≤，分三段3x <-，31x -≤≤-，1x >-分别讨论求解不等式； （2）当[]0,3x ∈时，原问题转化为772a x -≤≤+对于[]0,3x ∈恒成立，由不等式的恒成立思想可得答案.【详解】解：（1）当1a =-时，不等式为131x x +-+≤，当3x <-时，()()131x x -+--+≤⎡⎤⎣⎦，即21≤，所以x ∈∅；当31x -≤≤-时，()()131x x -+-+≤，即241x --≤，解得52x ≥-，∴512x -≤≤-； 当1x >-时，()()131x x +-+≤，即21-≤，所以1x >-； ∴不等式的解集为5|2x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．（2）当[]0,3x ∈时，()4f x ≤即437a x x x -≤++=+，即()77x a x x -+≤-≤+对于[]0,3x ∈恒成立，即772a x -≤≤+对于[]0,3x ∈恒成立，而当[]0,3x ∈时，77213x ≤+≤，∴77a -≤≤．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，由不等式恒成立求参数的范围，属于中档题.20．已知函数()4log f x x =，1,416x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为集合A ，关于x 的不等式()3122x a xa R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭的解集为B ，集合501x C x x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}()|1210D x m x m m =+≤<->．（1）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围；（2）若D C ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(),4-∞-；（2）(]0,3．【解析】（1）根据指数函数性质，先求出[]2,1A =-，解指数不等式，求出,4a B ⎛⎫=-∞- ⎪⎝⎭，根据A B B ⋃=得A B ⊆，由此列出不等式求解，即可得出结果； （2）先解分式不等式，求出(]1,5C =-，根据D C ⊆，分别讨论121m m +≥-，121m m +<-两种情况，即可得出结果.【详解】（1）由对数函数的单调性可得，()4log f x x =在1,416⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以其值域()[]1,42,116A f f ⎡⎤⎛⎫==- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 又由()3122x a x a R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭可得：()322x a x -+>，即：3x a x -->，所以4a x <-， 所以,4a B ⎛⎫=-∞-⎪⎝⎭， 又A B B ⋃=所以可得：A B ⊆， 所以14a ->，所以4a ，即实数a 的取值范围为(),4-∞-． （2）因为501x x -≥+，所以有501x x -≤+，所以15x -<≤，所以(]1,5C =-， 对于集合{}|121D x m x m C =+≤<-⊆有：①当121m m +≥-时，即02m <≤时D =∅，满足D C ⊆；②当121m m +<-时，即2m >时D ≠∅，所以有：1123215m m m +>-⎧⇒-<≤⎨-≤⎩， 又因为2m >，所以23m <≤，综上：由①②可得：实数m 的取值范围为(]0,3．【点睛】本题主要考查由并集的结果求参数，考查由集合的包含关系求参数，涉及指数函数与对数函数的性质，以及分式不等式解法，属于常考题型.21．生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需要另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，()3120360C x x x =+（万元），当年产量不小于80千件时，()10000511450C x x x=+-（万元），通过市场分析，每件商品售价为0.05万元时，该商品能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式（利润＝销售额－成本）；（2）年产量为多少千件时，生产该商品获得的利润最大．【答案】（1）3130250080360()10000120080x x x L x x x x ⎧-+-≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）100 千件． 【解析】（1）根据题意，得到x 千件．．商品销售额为0.051000x ⨯万元，分别求出080x ≤<和80x ≥两种情况，即可求出函数解析式；（2）根据（1）的结果，用导数的方法和基本不等式，分别求出两段的最值，即可得出结果.【详解】（1）因为每件．．商品售价为0.05万元，则x 千件．．商品销售额为0.051000x ⨯万元，依题意得，当080x ≤<时，()()310.05100020250360L x x x x =⨯---3130250360x x =-+-； 当80x ≥时，1000010000()(0.051000)5114502501200L x x x x x x ⎛⎫=⨯--+-=-+ ⎪⎝⎭． 即3130250080360()10000120080x x x L x x x x ⎧-+-≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）当080x ≤<时，()3130250360L x x x =-+-． ()21'300120L x x =-+=，60x =±． 此时，当60x =时，()L x 取得最大值()60950L =（万元）．当80x ≥时，10000()120012001000L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当10000x x=，即100x =时，()L x 取得最大值1000（万元）． 因为9501000<，所以当年产量为100千件时，生产该商品获利润最大．答：当年产量为100 千件时，生产该商品获利润最大．【点睛】本题主要考查函数模型的应用，考查导数的应用，涉及基本不等式求最值，属于常考题型.22．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数.利用（i ）的结果，求EX .15012.2≈若()2~,Z N μσ则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=．【答案】（I ）200,150；（II ）（i ）0.6826；（ii ）68.26． 【解析】试题分析：（I ）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等分为12的点．均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．（II ）（i ）由已知得，Z ~(200,150)N ，故()187.8212.2P Z <<(20012.2200P Z =-<<12.2)0.6826+=；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数(100,0.6826)X B ~，故期望1000.682668.26EX =⨯=．试题分析：（I ）抽取产品的质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.22x =⨯+⨯+⨯+2000.332100.242200.08⨯+⨯+⨯+2300.02⨯200=，2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150=．（II ）（i ）由（I ）知，Z 服从正态分布(200,150)N ，从而()187.8212.2P Z <<(20012.2200P Z =-<<12.2)0.6826+=．（ii ）由（i ）可知，一件产品的质量指标值位于区间()187.8,212.2的概率为0.6826，依题意知(100,0.6826)X B ~，所以1000.682668.26EX =⨯=．【考点定位】1、频率分布直方图；2、正态分布的3σ原则；3、二项分布的期望．。

会宁一中2020届高三级第二次月考数学（理科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合2{|20}M x x x =+-≤，{1,0,1,2}N =-，则M N ⋂的子集个数为（ ） A. 2 B. 4C. 8D. 16【答案】C 【解析】 【分析】先解二次不等式可得{}|21M x x =-≤≤，再由集合的交集的运算M N ⋂={1,0,1}-,再由n 元集合的子集个数为2n ，代入运算即可得解.【详解】解:解二次不等式220x x +-≤得(2)(1)0≤x x +-，解得21x -≤≤,即{}|21M x x =-≤≤,又{1,0,1,2}N =-,所以M N ⋂={1,0,1}-,即M N ⋂的子集个数为328=,故选C.【点睛】本题考查了二次不等式的解法、集合交集的运算及集合真子集的个数，重点考查了集合的思想，属基础题.2.已知函数()32log ,0,0x x f x x x >⎧=⎨≤⎩，若()()12f f a -=，则a 的值等于（ ）A.或2-B.C. 2-D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数的解析式可得()11f -=，再分类讨论a 在各段上的解，即当0a >时，解得a =0a ≤时，解得a =a 的符号，即可得解.【详解】解：由题意有()21(1)1f -=-=，当0a >时，则32log 1a =，解得a =当0a ≤时，则221a=，解得2a =-， 综上可得a =2a =-， 故选A.【点睛】本题考查了分段函数求值问题、对数求值及解二次方程，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.3.下列说法错误的是（ ）A. 命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”B. “1x >”是“||1x >”的充分而不必要条件C. 若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D. 命题:p “存在x ∈R ，使得210x x ++<”，则非:p “任意x ∈R ，均有210x x ++≥”【答案】C 【解析】 【分析】A 中命题的逆否命题是条件与结论互换并且同时否定；B 中充分而不必要条件要说明充分性成立，必要性不成立；C 中p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题；D 中非p 是特称命题的否定，为全称命题； 逐一判断即可得解.【详解】解：对于选项A ，命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”，即原命题为真命题；对于选项B ，当1x >时，||1x >，当||1x >，1x >或1x <，即原命题为真命题；对于选项C ，若p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，即原命题为假命题； 对于选项D ，命题:p “存在x ∈R ，使得210x x ++<”，则非:p “任意x ∈R ，均有210x x ++≥”， 即原命题为真命题；故选C.【点睛】本题考查了命题的逆否命题的真假、充分必要条件、复合命题的真假及特称命题的否定，重点考查了逻辑推理能力，属中档题.4.下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ） A. 3()f x x x =+ B. ()31x f x =- C. 1()f x x=- D. 3()log f x x =【答案】A 【解析】 【分析】考查选项A ，检验()()f x f x =--是否恒成立，再利用导数来判断函数的单调性即可； 考查选项B ，(1)(1)f f ≠--,即()()f x f x =--不恒成立，即函数()f x 不为奇函数， 考查选项C ，函数()f x 的增区间为()(),0,0,-∞+∞，则函数在定义域上不单调， 考查选项D ，(3)(3)f f ≠--,即()()f x f x =--不恒成立，即函数()f x 不为奇函数， 得解.【详解】解：对于选项A ，()()f x f x =--恒成立，且'2()310f x x =+>，即函数()f x 为奇函数且为增函数，对于选项B ，()()f x f x ≠--，则函数()f x 不为奇函数， 对于选项C ，'21()0f x x=>，函数()f x 的增区间为()(),0,0,-∞+∞，函数在()(),00,-∞⋃+∞不为增函数，对于选项D ，()()f x f x ≠--，则函数()f x 不为奇函数， 故选A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及增减性，重点考查了函数的单调区间与函数的定义域，属中档题.5.已知()3sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0>ω，0ϕπ<<．若3()38f π=，9()08f π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ） A. 23ω=，4πϕ=B. 23ω=，34πϕ=C. 32ω=，4πϕ= D.32ω=，34πϕ=【答案】A 【解析】 【分析】由函数的周期的范围可得42T π>，结合3()38f π=，9()08f π=及三角函数的最值及零点可得9334884T πππ=-=，再代入特殊点，结合0ϕπ<<即可求得4πϕ=，得解. 【详解】由()f x 的最小正周期大于2π，又3()38f π=，9()08f π=，则当38x π=时，函数取最大值，98x π=为函数的一个零点，则得(21)9334884k T πππ-=-=，*k N ∈ ，即(21)3k T π-= 又由()f x 的最小正周期大于2π，得504k << ，又*k N ∈，即1k =， 即3T π=，则23ππω=，即23ω=，所以2()3sin()3f x x ϕ=+，又9()08f π=，则33sin()04πϕ+=， 所以34k πϕπ+=，k Z ∈， 又0ϕπ<<， 所以337444πππϕ<+<， 即34πϕπ+=， 即4πϕ=，【点睛】本题考查了三角函数的周期，利用三角函数的特殊值求函数解析式，重点考查了运算能力，属中档题.6.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，a =4b =，则B =（ ） A. 30B =︒或150B =︒ B. 150B =︒ C. 30B =︒ D. 60B =︒【答案】C 【解析】 【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒.【详解】解：60A =︒Q ，a =4b =由正弦定理得：sin 1sin2b A B a === a b >Q 60B ∴<︒ 30B ∴=︒故选C.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.7.将函数2()2sin 33f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移12个周期后得到的函数为()g x ，则()g x 的图象的一条对称轴可以是（ ） A. 518x π=B. 56x π=C. 9x π=D. 3x π=【答案】A【分析】由条件根据()y sin A x ωϕ=+的图像变换规律，正弦函数的图像的对称性，可得结论. 【详解】解：2()2sin 33f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的周期为23π，图象向右平移12个周期后得到的函数为()g x ，则()22sin 32sin 3333g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由332x k πππ-=+，k Z ∈，得5318k x ππ=+，k Z ∈，取0k =，得518x π=为其中一条对称轴. 故选A.【点睛】本题主要考查()y sin A x ωϕ=+的图像变换规律，正弦函数的图像的对称性.8.标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列数据最接近36152310000的是 （lg30.477≈） A. 3710- B. 3610-C. 3510-D. 3410-【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，对36152310000取对数可得36136152523310000361352435.810000lg lg lg lg =-=⨯-⨯≈-，即可得36135.8523 1010000-≈，分析选项即可得答案．详解】据题意，对36152310000取对数可得36136152523310000361352435.810000lg lg lg lg =-=⨯-⨯≈-，即可得36135.8523 1010000-≈ 分析选项：B 中3610-与其最接近， 故选B.【点睛】本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质．9.函数()f x 与函数1()()2xg x =的图像关于直线y x =对称，则函数2(4)f x x -的单调递增区间为（ ） A. (,2)-∞B. (0,2)C. (2,4)D.(2,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】由互为反函数的解析式的求法可得12()log f x x =，再结合复合函数的单调性的求法可将求2(4)f x x -的单调递增区间问题转化为求24t x x =-在0t >的条件下函数的减区间,运算即可得解.【详解】解:由函数()f x 与函数()g x 互为反函数,则12()log f x x =,令24t x x =-, 因为12()log h t t =为减函数,则2(4)f x x -的单调递增区间为24t x x =-在0t >的条件下函数的减区间, 又函数24t x x =-在0t >的条件下的减区间为()2,4, 故选C.【点睛】本题考查了反函数的求法及复合函数单调性得求法，重点考查了复合函数单调性的判断，属中档题.10.正方形ABCD 中，点E ，F 分别是CD ，BC 的中点，那么EF =u u u r( )A. 1122AB AD +u u ur u u u rB. 1122AB AD --u u ur u u u rC. 1122AB AD -+u u ur u u u rD. 1122AB AD -u u ur u u u r【答案】D 【解析】 【分析】由题意点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，求出EC uuu r ，CF uuu r，然后求出向量EF u u u r即得．【详解】解：因为点E 是CD 的中点，所以12EC AB =u u u r u u u r，点得F 是BC 的中点，所以1122CF CB AD ==-u u u r u u u r u u u r ，所以1122EF EC CF AB AD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故选：D ．【点睛】本题考查向量加减混合运算及其几何意义，注意中点关系与向量的方向，考查基本知识的应用。

2020届百师联盟高三5月月考（全国卷I）数学（理）试卷★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟,满分150分一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合P＝{x|1<x<3},集合Q＝{x|y＝ln(x－2)},则P∩(RðQ)＝A.{x|2≤x<3}B.{x|1<x<3}C.{x|1<x≤2}D.{x|1<x<2}2.高一2班有45名学生,学号为01－45,为弘扬中国古诗词文化,现采用随机数表法从该班抽取7名同学参加校园诗词朗诵大赛,从随机数表第5行第15个数开始向右数,如图为随机数表的第5行和第6行,则抽取的第7个同学的学号是A.26B.35C.20D.433.已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞,0]上单调递增,且满足f(2)＝1,则不等式f(x2＋3x)＋1<0的解集为A.(－∞,－2)∪(－1,＋∞)B.(1,2)C.(－∞,1)∪(2,＋∞)D.(－2,－1)4.已知点F是双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点,点P是该双曲线渐近线上一点,若△POF是等边三角形(其中O为坐标原点),则双曲线C的离心率为。

2020届云师大附中高三高考适应性月考（二）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =-->，集合(){}lg 3B x y x ==+，则A B =I （）A ．{}31x x -<<- B ．{}3x x >C ．{}313x x x -<-或 D ．{}13x x -<<【答案】C【解析】根据一元二次不等式以及对数函数的定义域化简集合A 、B ，根据交集的定义写出A B I 即可. 【详解】2{|230}{|3A x x x x x =-->=>或1}x <-，{|lg(3)}{|3}B x y x x x ==+=>-，A B =I {|31x x -<<-或3}x >，故选C .【点睛】本题主要考查了集合的化简与运算问题，属于基础题． 2．设122iz i-+=+，则z 的虚部是（） A ．1 B ．iC ．-1D ．-i【答案】A【解析】根据复数的性质化简z ，结合虚部即可得到结果. 【详解】12i i(2i)i 2i 2iz -++===++，z 的虚部为1，故选A ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算性质以及复数的分类，属于基础题.3．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是（）A B C 2D 或2【答案】D【解析】分为焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情形，由渐近线的方程得ba的值，结合2221b e a=+可得离心率的值.【详解】依题意，双曲线的焦点在x 轴上时，设它的方程为22221(00)x y a b ab-=>>，； 由渐近线方程为2y x =，得2b a=，故22213b e a =+=，即3e =，焦点在y 轴上时，设它的方程为22221(00)y xa b ab-=>>，， 由渐近线方程为2y x =，得2a b =，故222312b e a =+=，即62e =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线以及离心率的概念，掌握2221b e a=+是解题的关键，属于中档题.4．下图的程序框图的算法思路源于我国数学名著《九章算术》中的“中国剩余定理”．若正整数N 除以正整数m 后得余数r ，则记为()mod N r m =，如：()82mod3=，则执行该程序框图输出的n 等于（）A ．7B ．6C ．5D ．8【答案】A【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】根据给定的程序框图，可知：第一次执行循环体得3n =，15M =，此时150(mod 5)=，不满足第一个条件； 第二次执行循环体得5n =，20M =，此时200(mod 5)=，不满足第一个条件； 第三次执行循环体得7n =，27M =，此时272(mod 5)=且2726M =>，既满足第一个条件又满足第二个条件，退出循环，输出7，故选A ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5．根据如下样本数据得到的回归直线方程ˆˆˆybx a =+，则下列判断正确的是（ ）A ．ˆˆˆ0,0.94b b a <+=B ．ˆˆˆ0,40.9b b a >+=C ．ˆˆˆ0,0.94a b a <+=D ．ˆˆˆ0,40.9a b a >+=【答案】D【解析】先根据增减性得ˆ0,b<再求,x y 代入验证选项． 【详解】因为随着x 增加，y 大体减少，所以ˆ0,b< 因为234564 2.50.50.524,0.955x y +++++-+-====，所以$0.94ba =+$，$0,a ∴> 故选D 【点睛】本题考查回归直线方程，考查基本分析判断能力，属基础题. 6．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足12AD DC =u u u vu u u v ，E 为BD 的中点，则CE =uu u v（） A ．5163BA BC -u uu v u u u vB ．1536BA BC -u u u v u u u v C ．1536BA BC +u u u v u u u vD ．5163BA BC +u uu v u u u v【答案】B【解析】根据E 为中点，首先易得1122CE CB CD =+u u u r u u u r u u u r，再通过向量加法以及向量的减法和12AD DC =u u u r u u u r 即可得到结果.【详解】 如图所示：因为E 为BD 的中点，所以1122CE CB CD =+u u u r u u u r u u u r ，又12AD DC =u u u r u u u r ，23CD CA =u u u r u u u r ∴，12CE CB =u u u r u u u r ∴12111115()23232336CA CB CA CB BA BC BA BC +⨯=+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故选B ．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，对向量加法和减法的运用较为灵活，属于基础题．7．已知实数x ，y 满足约束条件0301x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则22x y z -+=的最大值是（）A ．2B ．1C ．12D ．-1【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【详解】由实数x ，y 满足约束条件0301x y x y y -⎧⎪+-≤⎨⎪⎩……，作出可行域如图，则212x z -+=的最大值就是2t x y =-+的最大值时取得，联立01x y y -=⎧⎨=⎩,解得(1,1)A .化目标函数2t x y =-+为2y x t =+，由图可知，当直线2y x t =+过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z有最大值为12，故选C .【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．8．()26112x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 的项的系数是（） A ．-40 B ．-25C ．25D ．55【答案】B【解析】写出二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的通项，然后观察含2x 的项有两种构成，一种是()212x+中的1与61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的二次项相乘得到，一种是()212x +中的22x 与61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果。

2019-2020学年吉林省重点高中高三（上）月考数学试卷（理科）（二）一、选择题（本大题共12小题）1.已知全集，若，3，，则A. B. C. D. 3，2.“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，3.若角的终边过点，则的值是A. B. C. D.4.已知某扇形的面积为，若该扇形的半径r、弧长l满足，则该扇形圆心角大小的弧度数是A. B. 5 C. D. 或 55.函数的一个零点所在区间为A. B. C. D.6.如图，若，，，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是A. B.C. D.7.若，且为第三象限角，则的值等于A. B. C. D. 78.若函数的图象与直线一个交点的坐标为，则A. B. 1 C. D. 无法确定9.已知在矩形ABCD中，，，若E，F分别为AB，BC的中点，则A. 8B. 10C. 12D. 1410.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则外接圆的面积为A. B. C. D.11.为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻．某天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛然后再从海岛B出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛若巡逻舰从海岛A出发沿直线到达海岛C，则航行的方向和路程单位：海里分别为A. 北偏东，B. 北偏东，C. 北偏东，D. 北偏东，12.若函数在区间上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.若，，则______ ．14.已知平面向量，，若，则实数______．15.化简：______．16.已知奇函数在定义域上单调递增，若对任意的成立，则实数m的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题）17.已知，求下列各式的值：；．18.已知函数．求函数的单调递增区间；当时，求函数的最小值．19.已知平面向量，若，，求实数x的值；求函数的单调递减区间．20.已知函数图象两条相邻的对称轴间的距离为．求的值；将函数的图象沿z轴向左平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的值．21.已知函数若函数是偶函数，求实数a的值；若函数，关于x的方程有且只有一个实数根，求实数a的取值范围．22.已知函数．求函数的图象在点处切线的方程；讨论函数的极值；若对任意的成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：1，2，3，4，，，3，，1，3，，．故选：A．可以求出集合U，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集和补集的运算．2.【答案】C【解析】解：依题意，“，”的否定是：，，故选：C．“，”的否定为“，”．本题考查了命题的否定，要注意命题的否定和否命题的区别．本题属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，可得．故选：B．由三角函数的定义可求得t a na的值．本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由题意可得，解得，或，可得，或5．故选：D．由已知利用扇形的面积公式可求半径和弧长，利用弧长公式可求扇形圆心角大小的弧度数．本题主要考查了扇形的弧长公式，面积公式的应用，考查了方程思想，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：，令，，，利用零点判定定理得出的一个零点所在区间为．故选：A．，令，利用函数的解析式求出，的值，利用零点判定定理得出结论．本题考察了函数的零点问题，零点判定定理的应用，是一道基础题．6.【答案】C【解析】解：，，，则．故选：C．根据平面向量的线性表示与运算法则，用、表示即可．本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．7.【答案】D【解析】解：若，且为第三象限角，则，，，故选：D．由题意利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角和的正切公式，求得的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式的应用，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意，，．故选：B．由已知可得，代入，利用诱导公式化简求值．本题考查函数零点的应用，考查三角函数的恒等变换与化简求值，是基础题．9.【答案】B【解析】解：由题可得：，；；．故选：B．根据题意，利用平面向量的线性运算即可直接求解．本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．10.【答案】B【解析】解：，，，解得：，由余弦定理可得：，解得：，设外接圆的半径为R，则由正弦定理可得：，解得，外接圆的面积．故选：B．由已知利用三角形面积公式可求c，由余弦定理可得a的值，设外接圆的半径为R，则由正弦定理可解得R，即可得解外接圆的面积．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：在中，，，；根据余弦定理得：，；又，解得，又为锐角，，此船航行的路程是海里，航行的方向为北偏东．故选：C．根据题意画出图形，结合图形利用余弦定理求得AC的值，进而根据正弦定理可求，结合为锐角，可求，可得航行的方向为北偏东，即可得解．本题考查了解三角形的应用问题，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：根据题意，得到关于x的方程在区间上有两个不同的交点，引入函数，所以，当时，，所以函数在上单调递减．当时，，所以函数在上单调递增．所以函数在时取得最大值．即．由于关于x的方程在区间上有两个不同的实根，所以，且，解得．故．故选：A．首先对函数的零点和方程的根进行转换，进一步引入新函数，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间，进一步利用函数的最值求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：函数的性质的应用，函数零点和方程的根的关系式的应用，函数的导数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．13.【答案】6【解析】解：，，，，故答案为：6．根据对数的运算性质和定义计算即可本题考查了对数的运算性质和定义，属于基础题．14.【答案】【解析】解：，，解得．故答案为：．根据可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．15.【答案】【解析】解：故答案为：直接利用三角函数的诱导公式化简求值．本题考查利用诱导公式化简求值，是基础的计算题．16.【答案】【解析】解：因为在定义域上单调递增且为奇函数，所以对任意的成立对任意的成立．对任意的成立．令，故当时，，只需即可，故答案为：可得对任意的成立对任意的成立．对任意的成立．令，求得的最小值即可．本题考查了函数的性质、恒成立问题的处理方法，属于中档题．17.【答案】解：，，；．【解析】由已知求得，然后利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解；利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．18.【答案】解：由题意，，当时，；当时，；当时，．所以，函数的单调递增区间为和．当x变化时，，的变化情况如下表所以，当，．当时，函数的最小值为．【解析】先求导函数，利用导数大于0，可得函数的单调增区间；导数小于0，可得函数的单调增区间；令导数等于0，确定函数的极值点，再考虑端点的函数值，从而确定函数的最值．本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查函数的最值，关键是正确运用导数工具，是中档题．19.【答案】解：，，．即．；，．由题得：令；；函数的单调递减区间为：．【解析】直接根据向量共线的结论即可求解；先求出其数量积，再结合三角函数的性质即可求出结论．本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：函数，由于函数图象两条相邻的对称轴间的距离为，所以，解得．由得函数的图象沿z轴向左平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，所以．【解析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．21.【答案】解：因为是偶函数，所以对任意成立所以对任意的成立，所以对任意成立，所以；因为，，所以所以，设，则有关于t的方程，若，即时，则需关于t的方程有且只有一个大于的实数根，设，则，所以，所以成立，所以满足题意；若，即时，解得，不满足题意；若，即时，，且，所以，当时，关于t的方程有且只有一个实数根，，不满足题意，综上，所求实数a的取值范围是．【解析】因为是偶函数，所以对任意成立，所以对任意成立，进而求解；因为，，所以，设，则有关于t的方程，进而求解．考查偶函数的性质，定义；复合函数的理解应用；转化思想，分类讨论思想．22.【答案】解：Ⅰ求导函数，可得，，，曲线在点处的切线方程即．函数，，令，解得，当时，解得，函数在单调递增，由，解得，函数在单调递减，故函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数有极小值，极小值为，无极大值，，成立，即，令，，当，0'/>，在单调递增，又，所以，这与对任意的恒成立矛盾，当，，，若，即，，单调递减，又，所以当时，，满足题意，若，解得，此时对应方程，有两个实数根，其中，，又分析知，函数在区间上单调递增，，所以当时，，不符合题意，综上，m的取值范围为．【解析】求导函数，然后求解切线的斜率，求切点坐标，进而可求切线方程；先求导函数，再根据导数和函数单调性关系即可求出单调区间和极值；构造函数，对m分类讨论，判断m的范围．本题考查导数的运用：求单调区间，注意运用构造函数的方法判断单调性，考查运算能力，属于中档题。

2020届湖南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{}1|21x B x +=>，则C B A =（ ）A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞D ．(,1)(3,)-∞-+∞U【答案】A【解析】首先解得集合A ，B ，再根据补集的定义求解即可. 【详解】解：{}2|230{|13}A x x x x x =--<=-<<Q ，{}1|21{|1}x B x x x +=>=>-，{}C |3[3,)B A x x ∴=≥=+∞，故选A ．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题. 2．已知函数()2f x x bx c =++，则“0c <”是“0x R ∃∈，使()00f x <”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】通过c ＜0，判断函数对应的不等式有解，说明充分性；不等式有解，说明c 的值不一定小于0，判断必要性即可． 【详解】已知函数()2f x x bx c =++，则“0c <”时，函数与x 轴有两个交点，所以“0x R ∃∈，使()00f x <”成立.而“0x R ∃∈，使()00f x <”.即20x bx c ++<，所以240b c ∆=->，即24b c >，c 不一定有0c <，如2320x x ++<.综上，函数()2f x x bx c =++.则“0c <”是“0x R ∃∈，使()00f x <”的充分不必要条件；故选A . 【点睛】本题考查充要条件的判断与应用，二次函数与二次不等式的解集的关系，考查计算能力． 3．设40.48,8a log b log ==,0.42c =,则( )A ．b c a <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】A【解析】根据指数函数、对数函数单调性比较数值大小. 【详解】 因为4233log 8log 222a ===，0.40.4log 8log 10b =<=，0.40.532222c =<=<， 所以b c a <<， 故选：A. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较数值大小，难度一般.利用指、对数函数单调性比较大小时，注意利用中间量比较大小，常用的中间量有：0,1.4．若平面区域30,{230,230x y x y x y +-≥--≤-+≥夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）A ．35B ．2C ．322D ．5【答案】B【解析】试题分析：画出不等式组的平面区域如题所示，由230{30x y x y -+=+-=得(1,2)A ，由230{30x y x y --=+-=得(2,1)B ，由题意可知,当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小，即22(12)(21)2AB =-+-=．故选B ．【考点】线性规划．5．函数e4xy x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】利用已知函数的对称性及特殊点进行判断即可. 【详解】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B ， 当1x =时，14ey =<，排除A ； 当x →+∞时，4xex→+∞，排除D ．故应选C ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ）A ．0.7B ．0.75C ．0.8D ．0.9【答案】A【解析】试题分析：根据程序框图：111,1122i S ===-⨯；1111112,1112232233i S ==-+=-+-=-⨯；L ；当1,11i n S n ==-+．当3n =时，13144S =-=；当4n =时，14155S =-=；当9n =时，1911010S =-=；当171110n -=+时，73n N =∉，所以选A ． 【考点】1.程序框图；2.数列裂项相消法求和．【易错点晴】本题主要考查的是程序框图和数列中的裂项相消法，属于中档题．在给出程序框图求解输出结果的试题中一定要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，根据前面的式子找到其中的规律，对本题来说就是这个程序框图的本质是利用裂项相消法求和，所以，又，找到各项满足条件的即可．7．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A ．289B ．1024C ．1225D ．1378【答案】C【解析】记三角形数构成的数列为{}n a ，计算可得()12n n n a +=；易知2n b n =．据此确定复合题意的选项即可.【详解】记三角形数构成的数列为{}n a ，则11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++，…， 易得通项公式为()11232n n n a n +=++++=L ；同理可得正方形数构成的数列{}n b 的通项公式为2n b n =．将四个选项中的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有249501225352⨯==． 故选C ． 【点睛】本题主要考查归纳推理的方法，数列求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．已知,A B 是圆22:16O x y +=的两个动点，524,33AB OC OA OB ==-u u u v u u u v u u u v，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =u u u v u u u u v （ ）A ．843+B ．83-C ．12D ．4【答案】C 【解析】【详解】由题意1122OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r，则2252115113322632OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又圆的半径为4，4AB =uu u r ，则,OA OB u u u r u u u r 两向量的夹角为π3．则8OA OB ⋅=u u u v u u u v ，2216OA OB ==u u u v u u u v ，所以12OC OM ⋅=u u u r u u u u r．故本题答案选C ．点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.9．点A 、B 为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>长轴的端点，C 、D 为椭圆E 短轴的端点，动点M 满足2MA MB =，若MAB ∆面积的最大值为8，MCD ∆面积的最小值为1，则椭圆的离心率为 A ．23B ．3C ．22D 3【答案】D【解析】求得定点M 的轨迹方程22251639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，可得142823a a ⨯⨯=，112123b a ⨯⨯=，解得a ，b 即可. 【详解】设(),0A a -，(),0B a ，(),M x y .∵动点M 满足2MAMB =()()22222x a y x a y ++=-+22251639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.∵MAB ∆面积的最大值为8，MCD ∆面积的最小值为1，∴142823a a ⨯⨯=，112123b a ⨯⨯=，解得6a =，62b =， ∴椭圆的离心率为22312b a -=.故选D . 【点睛】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹的求解方法，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．10．如图所示，在单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P 使得AP +D 1P 取得最小值，则此最小值为（ ）A ．2B ．262C ．22+D 22+【答案】D【解析】试题分析：将1ABA ∆翻折到与四边形11A BCD 同一平面内，1AP D P +的最小值为1D A ，在11D AA ∆中1111131,1,4A D AA AA D π==∠=，由余弦定理可得122AD =+【考点】1.翻折问题；2.空间距离11．已知函数()22ln f x x x =-与()()()sin 0g x x ωϕω=+>有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的()g x = A ．sin 22x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．sin 22x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．sin 2x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 2x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】利用导数研究函数f （x ）的最值，利用f （x ）与g （x ）的图象有两个公共点，建立条件关系，结合周期公式和最值点，即可得到结论． 【详解】因为()22ln f x x x =-为偶函数，所以当0x >时，()22ln f x x x =-，则()()()21122x x f x x x x+-'=-=，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以当1x =时，()()min 11f x f ==，所以当0x <时，()()min 11f x f =-=，所以()g x 的最大周期是2.所以22T πω==，ωπ=，又()g x 恰好在1x =和1x =-处取得最大值1，故2πϕ=-，故选C . 【点睛】本题主要考查函数图象的应用，根据导数研究函数的最值是解决本题的关键，考查了三角函数的性质的应用，属于中档题．12．设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，()1f 的可能取值只能是（ ）A 3B 3C 3D ．0【答案】B【解析】利用函数的定义即可得到结果. 【详解】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6π个单位后与下一个点会重合． 我们可以通过代入和赋值的方法当f （1）330时，此时得到的圆心角为3π，6π，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当3，此时旋转6π，此时满足一个x 只会对应一个y ， 故选B ．【点睛】本题考查函数的定义，即“对于集合A 中的每一个值，在集合B 中有唯一的元素与它对应”(不允许一对多).二、填空题13．定积分()1211x dx --=⎰____________.【答案】4π 【解析】根据定积分的几何意义即可求出． 【详解】令()211(0)y x y =--≥，则（x -1）2+y 2＝1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，其面积为π， 所以()1211x dx --⎰表示半径为1的四分之一圆的面积,如下图.故答案为4π 【点睛】本题考查定积分的几何意义，准确转化为图形的面积是解决问题的关键，属基础题．14．在公差大于0的等差数列{}n a 中，71321a a -=，且1a ，31a -，65a +成等比数列，则数列(){}11n n a --的前21项和为_________. 【答案】21【解析】设公差为d （d ＞0），运用等差数列的通项公式，可得首项为1，再由等比数列的中项的性质，解方程可得公差d ，进而得到等差数列{a n }的通项，再由并项求和即可得到所求和． 【详解】公差d 大于0的等差数列{}n a 中，71321a a -=，可得()11212121a d a d +-+=，即11a =，由1a ，31a -，65a +成等比数列，可得()()231615a a a -=+，即为()2121155d d +-=++，解得2d =（负值舍去），则()12121n a n n =+-=-，*n N ∈，所以数列(){}11n n a --的前21项和为123419202113573739412104121a a a a a a a -+-++-+=-+-++-+=-⨯+=L L .故答案为21. 【点睛】本题考查数列的求和，注意运用并项求和，考查等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于中档题．15．若函数()y f x =的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[],A B 为()y f x =的“友情点对”，点对[],A B 与[],B A 可看作同一个“友情点对”，若函数()322,069,0x f x x x x a x <⎧=⎨-+-+≥⎩恰好有两个“友情点对”，则实数a 的值为__________ 【答案】2【解析】由对称可知f （x ）＝﹣2在（0，+∞）上有两解，分离参数得a ＝x 3﹣6x 2+9x ﹣2，作出函数图象，根据解的个数得出a 的范围． 【详解】由题意可知32692x x x a -+-+=-在()0,∞+上有两解，即32692a x x x =-+-在()0,∞+上有两解， 设()32692g x x x x =-+-，则()23129g x x x '=-+.令()0g x '=得1x =或3x =.∴当01x <<时，()0g x '>，当13x <<时，()0g x '<，当3x >时，()0g x '>， ∴()g x 在()0,1上单调递增，在[)1,3上单调递减，在[)3,+∞上单调递增，∴当1x =时，()g x 取得极大值()12g =，当3x =时，()g x 取得极小值()32g =-. 作出()g x 的函数图象如图所示：∵32692a x x x =-+-在()0,∞+上有两解，∴2a =. 故答案为2 【点睛】本题考查了函数的单调性与极值计算，根的个数与函数图象的关系，属于中档题．16．点M 为棱长是22的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 的球面上的动点，点N 为11B C 的中点，若满足DM BN ⊥，则动点M 的轨迹的长度为________【答案】4105π 【解析】取1BB 的中点H ，连接CH ，可证得NB ⊥平面DCH ，由题意，点M 的轨迹是内切球O 的球面与平面DCH 相交得到的小圆，利用垂径定理即可得出结论．【详解】正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 的半径2R =，由题意，取1BB 的中点H ，连接CH ，则CH NB ⊥，DC NB ⊥，∴NB ⊥平面DCH ，∴动点M 的轨迹就是平面DCH 与内切球O 的球面相交得到的小圆， ∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长是2 ∴O 到平面DCH 的距离为25d =22225r R d =-= 所以动点M 的轨迹的长度为截面圆的周长41025r ππ=. 410π【点睛】本题考查了学生的空间想象力，求出点M 的轨迹是关键，属于中档题．三、解答题17．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1） 求sin sin CA的值 （2） 若1cos ,24B b == ，求ABC ∆的面积.【答案】（1）sin 2sin C A = （2）154【解析】（1）正弦定理得边化角整理可得()()sin 2sin A B B C +=+，化简即得答案。