江西省宜丰中学2012--2013(上)高三第二次月考数学(理)考试试题

江西省宜丰中学2013届高三第二次月考数学（理）组题：程雪英 审题：邹恒娟 2012、10、06一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1、集合P ={x ∈Z |0≤x <3 },M ={x ∈R |x 2≤9 },则P ∩ M = ( )A.{1,2}B.{0,1,2}C.{x |0≤x <3}D.{x |0≤x ≤3} 2、函数)1(log 12)(2---=x x x f 的定义域是( )A. )3,(--∞B. )1,31(-C. )3,31(- D. [),3+∞3、已知：tan 31)4(=+πα，则ααα2cos )cos (sin 2-等于（ ）A ．3B ．-3C ．2D ．-24、若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ( )A .2B . 1C.23D.135、已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线( )A.只有一条，不在平面α内B. 有无数条，不一定在平面α内 C .只有一条，且在平面α内 D. 有无数条，一定在平面α内6、若把函数sin y x x -的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．π3 B ．2π3 C ．π6 D ．5π67、定义在R 的函数||)1ln(2x x y ++=，满足)1()12(+-x f x f ＞，则x 满足的关系是( )A ．)0,(),2(-∞+∞B ．)1,(),2(-∞+∞C ．),3()1,(+∞-∞D ．)1,(),2(--∞+∞8、 设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数9、若函数x y 2=图像上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ）A ．21 B ．1 C ．23D ．2 10、设数列{a n }的前n 项和为s n ,a 1=1,a n = 2(1)n s n n+-,(n ∈N *),若s 1+22s +33s+……+2(1)2013n s n n--=，则n 的值为( )A.1007B.1006C.2012D.2013二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11、复数4)11(i+的值为12、= 13、观察下列等式：12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 …由以上等式推测到一个一般的结论，对于n ∈N *,12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝. 14、函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数。

设函数()f x 为定义在[0，1]上的非减函数，且满足以下三个条件： ① (0)0f =；② (1)()1f x f x -+=[]0,1x ∈； ③ 当x ∈10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，()2f x x ≥恒成立。

则3579f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

15、已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22xg x =-,若x R ∀∈，()0f x <或()0g x <，则m 的取值范围是_________。

三、解答题:本大题6小题共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16、（本小题满分12分）在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →.(1)求证：tan B ＝3tan A ；(2)若cos C ＝55，求A 的值．17、（本小题满分12分）已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．18、（本小题满分12分）已知向量a →＝(cos 32x ，sin 32x)，b →＝(cos x 2，－sin x 2)，其中x ∈[0，π2](1)求a →·b →及|a →＋b →|；(2)若f(x)＝a →·b →－2λ|a →＋b →|的最小值为－32，求λ的值.19、（本小题满分12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,PA 丄平面ABCD ,AC 丄AD ,AB 丄BC ,0=45BAC ∠,==2PA AD ,=1AC .(1)证明PC 丄AD ;(2)求二面角A PC D --的正弦值; (3)设E 为棱PA 上的点,满足异面直线BE 与CD 所成的角为030,求AE 的长.20、（本小题满分l3分） 已知数列{}n b 满足11124n n b b +=+，且172b =，n T 为{}n b 的前n 项和.（1）求证：数列1{}2n b -是等比数列，并求{}n b 的通项公式； （2）如果对任意*n ∈N ，不等式1227122nk n n T ≥-+-恒成立，求实数k 的取值范围. 21、（本小题满分14分） 已知函数a xax g x x f (.23)(,ln )(-==为实常数）． (1)当1=a 时，求函数)()()(x g x f x -=ϕ在),4[+∞∈x 上的最小值； (2)若方程)()(2x g ex f =（其中 71828.2=e ）在区间]1,21[上有解，求实数a 的取值范围；(3)证明：*,12)]1()()12(2[601451N n n k f k f k f n nk ∈+<+--+<+∑=（参考数据：6931.02ln ≈）DCBAP江西省宜丰中学2013届高三第二次月考数学（理科）参考答案1-10 BDABC DACBA11． -4 12. 42π+ 13. (－1)n ＋1n 2＋n 2 14. 1 15. (- 4 , 0 )16. (1)证明：因为AB →·AC →＝3BA →·BC →，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，由正弦定理知AC sin B ＝BCsin A，从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0<A <π，0<B <π，所以cos A >0，cos B >0， 所以tan B ＝3tan A .(2)因为cos C ＝55，0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝255，从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2，亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2，由(1)得4tan A 1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1或－13，因为cos A >0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.17. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1a 1＋d a 1＋2d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5，或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5； 当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋n －2[2＋3n －7]2＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ＞1.18. (1)a →·b →＝cos 32xcos x 2－sin 32xsin x2＝cos2x ， |a →＋b →|＝2＋2cos2x ＝2cosx(2)f(x)＝a →·b →－2λ|a →＋b →|＝cos2x －4λcosx ＝2cos 2x －1－4λcosx ＝2(cosx －λ)2－2λ2－1注意到x ∈[0，π2]，故cosx ∈[0，1]，若λ＜0，当cosx ＝0时f(x)取最小值－1。

不合条件，舍去.若0≤λ≤1，当cosx ＝λ时，f(x)取最小值－2λ2－1，令－ 2λ2－1＝－32且0≤λ≤1，解得λ＝12，若λ＞1，当cosx ＝1时，f(x)取最小值1－4λ， 令1－4λ＝－32且λ＞1，无解综上：λ＝12为所求.19. (1)证明,由PA ⊥平面ABCD ,可得PA AD ⊥,又由,AD AC PA AC A ⊥⋂=,故AD ⊥平面PAC ,又PC ⊂平面PAC ,所以PC AD ⊥.(2)解:如图,作AH PC ⊥于点H ,连接DH ,由,PC AD PC AH ⊥⊥,可得PC ⊥平面ADH .因此,DH PC ⊥,从而AHD ∠为二面角A PC D --的平面角.在Rt PAC ∆中,2,1PA AC ==,由此得AH =,由(1)知AD AH ⊥,故在Rt DAH∆中,DH =, sin AD AHD DH ∠=,所以二面角A PC D --的正弦值.20. (１) 对任意*n ∈N ,都有11124n n b b +=+，所以1111()222n n b b +-=-，则12n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭成等比数列,首项为1132b -=，公比为12， 所以1113()22n n b --=⨯，1113()22n n b -=⨯+．21. 解：（Ⅰ）当1=a 时，231ln )()()(-+=-=x x x g x f x ϕ，221.11)('xx x x x -=-+=ϕ，令0)('>x ϕ，又0>x ，)(x ϕ∴在]1,0(∈x 上单调递减，在),1[+∞∈x 上单调递增．∴当4≥x 时，454ln 23414ln )4()(-=-+=≥ϕϕx ．)(x ϕ∴的最小值为454ln -． (2) )()(2x g e f =τ在]1,21[∈x 上有解x a ex-=⇔23ln 2在]1,21[∈x 上有解323x x a -=⇔在]1,21[∈x 上有解．令]1,21[,23)(3∈-=x x x x h ，)21(3323)(.'22x x x h -=-= ，令0)('>x h ，又0>x ，解得：220<<x ．323)(x x x h -=∴在]22,21[∈x 上单调递增，]1,22[∈x 上单调递减，又)21()1(h h <．)22()()1(h x h h ≤<∴．即22)(21≤≤x h ．故]22,21[∈a ． (3)设)1()()12(2+--+=k f k f k f a k ，)1(144ln )1ln(ln )12ln(22+++=+--+=k k k k k k k a k由（Ⅰ），)4(0454ln )(min≥>-=x x ϕ，)4(123ln ≥->∴x x x ．4)1(1442>+++k k k k ．)32)(12(14145)12(14145144)1(2322+++>++=+++->∴k k k k k k k a k )321121(8145+-++=k k ． )32112171515131(8145+-+++-+-+>∴∑=n n n a nIk k 60145)5131(8145)32131(8145+=-+≥+-+=n n n n 构造函数xxx x F x x x x F -=-=≥+-=111)('),4(2ln )(，∴当4≥x 时，01)('<-=xxx F ．)(.x F ∴在),4[+∞上单调递减，即0)12(ln 224ln )4()(<-=-=≤F x F ．∴当4>x 时， 2ln -<x x ．21114)1114ln(-+-+<+-+=∴k k k k a k ．即1112+-+<k k a k ．1211121+<+-+<∴∑=n n n a rik k ．*,12)]1()()12(2[601451N n n k f k f k f n nk ∈+<+--+<+∑=．。