列联表的独立性检验

吸烟 不吸烟 总计
总计 92
14 106
二、二维r s列联表的独立性检验
设A, B为随机变量，A取值A1 ,A2 , Ar , B取值为B1 ,B2 , Bs .取值(Ai ,B j )的概率为 ij，
i , j为A, B的边缘分布. 列表如下：
r s 列联表的联合及边缘分布列
高收入
25 16
关于A,B的边缘表.
低收入 赞成 不赞成 20 5
中等收 入 10 8
高收入 15 10
关于B,C的边缘表.
部分表是固定一个变量在其不同一水平上的二维列联表.
边缘表是忽略一个变量形成另外两个变量的二维列联表.
四各种独立性及关系 .
B A
B1 ,
B2 ,
A1
A2
11 21
12
22

Bs
1s
2s
i 1 i 2

j 1 r
s
ij
, i 1, 2,, r

Ar

r1 r 2 rs r
2



j ij , j 1, 2,, s.
92页例2.14自己看
在使用Pearson

2
独立性检验时, 要注意格子
的期望频数小于5的格子数不超过总格子数的20%, 且没有一个格子的期望频数小于1 不满足时, 用Pearson近似效果很差, 一般采用 Fisher精确检验.
2.5.2 Fisher精确检验
Fisher精确检验对于单元频数小的表格特别适用 四表格的Fisher精确检验
H 0： 新药疗效没有提高 H1： 新药疗效有提高

当 2<xα时，没有充分的证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立.
这种利用 2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为 2独立性检验，
简称独立性检验 .
探究新知
下表为独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
α
xα
0.1
2.706
0.05
3.841
0.01
6.635
0.005
7.879
0.001
根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为吸烟与
患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.
典型例题
根据表中数据计算，不吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为
7775/7817≈0.9946 和 42/7817≈0.0054
吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为
2099/2148≈0.9772 和 49/2148≈0.0228
中有 43 人的饮食以蔬菜为主，另外 27 人则以肉类为主；六十岁以下的人中有
21 人饮食以蔬菜为主，另外 33 人则以肉类为主．请根据以上数据作出饮食习
惯与年龄的列联表，并利用 P(Y＝1|X＝0)与 P(Y＝1|X＝1)判断二者是否有关系．
[解]
用 Ω 表示共调查了 124 人所构成的集合，定义一对分类变量 X 和 Y
性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系？
探究新知
[解]
病人组中尿液为阳性和阴性的频率分别为：
29
7
≈0.805 6 和 ≈0.194 4.
36
36
对照组中尿液为阳性和阴性的频率分别为：
9
28
≈0.243 2 和 ≈0.756 8.
37
37

38
7
45
合计
71
17
88
所以
讲
课
人
：
邢
启
强
数学成绩
学校
=
(×−×)
×××
≈ . < . =x0.1
根据小概率值=0.1的 独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以
认为H0成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异。
12
思考例1和例2都是基于同一组数据的分析,但却得出了不同的结论,你能说明其
中间的四个格中的数是表
格的核心部分,给出了事件
{X=x,Y=y}(x,y=0,1)中样本
点的个数;右下角格中的数
是样本空间中样本点的总
数。
讲
课
人
：
邢
启
强
X
Y
X=0
X=1
Y=0
a
c
Y=1
b
d
合计
a+c
b+d
合计
a+b
c+d
n=a+b+c+d
2
复习回顾
两个分类变量之间关联关系的定性分析的方法：
(1)频率分析法：通过对样本的每个分类变量的不同类别事件发生的频率大
中的原因吗?
例1只是根据一个样本的两个频率间存在差异得出两校学生数学成绩优秀率
有差异的结论,并没有考虑由样本随机性可能导致的错误,所以那里的推断依据不
太充分,在本例中,我们用 独立性检验对零假设H0进行了检验,通过计算,发现
≈0.837小于α=0.1所对应的临界值2.706,因此认为没有充分证据推断H0不成立,所
分别考虑③中的四个差的绝对值很困难,我们需要找到一个既合理又能够计算分布的统

n
n
反之，当这些量的取值较大时，就可以推断 H0 不成立.
显然，分别考虑③中的四个差的绝对值很困难. 我们需要找到一个既 合理又能够计算分布的统计量，来推断 H0 是否成立. 这里，我们将四个 差的绝对值取平方后分别除以相应的期望值再求和，得到如下的统计量：
2
a
(a
b) (a n
c)
2
(a b)(a c)
下表给出了独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值.
α
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
例如，对于小概率值 α 0.05 3.841 时，我们认为 X 和 Y 不独立，该推断犯错误的 概率不超过0.05；
根据小概率事件在一次试验中不大可能发生的规律，上面的想法可以 通过一个与 H0 相矛盾的小概率事件来实现. 在假定 H0 的条件下，对于有 放回简单随机抽样，当样本容量 n 充分大时，统计学家得到了 2 的近似 分布.
忽略 2 的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值 α，可
以找到相应的正实数 xα，使得下面关系成立：
率分别为 33 0.7674 和 10 0.2326 ；乙校学生中数学成绩不优秀和数学
43
43
成绩优秀的频率分别为 38 0.8444 和 7 0.1556 .依据频率稳定于概率
45
45
的原理，我们可以推断，如果从甲校和乙校各随机选取一名学生，那么甲
校学生数学成绩优秀的概率大于乙校学生数学成绩优秀的概率. 因此可以
(2)当 2 x 0.05 3.841 时，我们认为 X 和 Y 独立.
认为两校学生的数学成绩优秀率存在差异.