【小奥】2016同步讲义_五年级春季(共15讲)_第08讲_沙漏与金字塔(2)

一、沙漏与金字塔（五下）如图，太阳照下来在桌面上形成一个圆形的亮斑，如图1所示，我们将图形抽象成三角形，如图2所示．观察一下， 这个图形与生活中的什么东西比较像？对了，沙漏！今天，就让我们来学习一下有关“沙漏”的知识．沙漏有一个必要条件：线段AB 平行于线段CD ，如图2所示．大沙漏中，我们总结出了如下性质：AB AO BODC DO CO ==．这就是我们今天要研究的平行线间的比例关系——即沙漏形三角形间的比例关系，简称沙漏．太阳纸片 桌面上的太阳 D CBAO图1图2第8讲 沙漏与金字塔知识点在沙漏模型中，各线段的长度有比例关系，各区域的面积也有比例关系．如图所示，如果沙漏形的上下底之比为:a b，四个三角形的面积之比为22:::a ab ab b．我们发现，沙漏模型由一组平行线和一组相交线构成，且相交线的交点在平行线之间．如果交点在两条平行线的同一侧，就会构成一种新的模型，我们形象的称之为金字塔模型．在金字塔模型中也有相应的比例关系．一、沙漏与金字塔认识1、如图，AB与CD垂直，交点为O．已知4AO=，3CO=，5AC=，15BD=．求△BOD 的面积．ab ab沙漏模型金字塔模型AODCB例题【答案】 54【解析】 由沙漏模型知，13AC AO CO BD OB OD ===，所以3412OB =⨯=，339OD =⨯=．又因为△BOD 中OB 和OD 垂直，所以△BOD 的面积是912254⨯÷=．2、如图所示，梯形ABCD 的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？【答案】 16【解析】由于下底长是上底长的2倍，因此组成该梯形的四个小三角形的面积之比是1:2:2:4，阴影三角形的面积是436161224⨯=+++．3、如图，梯形ABCD 中，:2:5AB CD =．已知△COD 的面积是5，那么梯形的面积是多少？O【答案】 9.8【解析】如图所示，梯形中各部分的面积份数．因为△COD 的面积是5，所以梯形的面积是()52541010259.8÷⨯+++=．4、如图，直角三角形ABC 中，4AB =，6BC =．又知:1:3BE EC =，求△CDE 的面积．【答案】 6.75【解析】AOD C BAO D C B 4 101025AEDC B由金字塔模型知，::3:4DE AB CE CE ==，则3434DE =⨯=．又知道36 4.54CE =⨯=，可求出△CDE 的面积为3 4.52 6.75⨯÷=．5、图中的两个正方形的边长分别为6分米和8分米，则阴影部分的面积为____________．【答案】 2107平方分米【解析】阴影部分是一个直角三角形，其中一条直角边的长度是6分米，另一条直角边的长度是6248687⨯=+分米，面积是246271027⨯=平方分米6、已知三角形ADE 的面积为3平方百米，D 是AB 边的三等分点（靠近A 点），且DE 与BC 平行，请求出三角形OBC 的面积为多少平方厘米？【答案】 13.5AOEDC B【解析】由金字塔模型知，::1:3AD AB DE BC ==，设△ODE 的面积为1份，则△ODB 的面积为3份，△OEC 的面积为3份，△OBC 的面积为9份．又因为△ADE 与△DEC 等高，可知△ADE 的面积为2份，由此可知△OBC 的面积为32913.5÷⨯=平方厘米．二、 综合应用7、如图，平行四边形ABCD 的面积是90．已知E 点是AB 上靠近A 点的三等分点，求阴影部分的面积．【答案】 33【解析】由沙漏模型可知，:::2:3BE CD BO OD EO OC ===，设△OBE 的面积为4份，则△OBC 的面积为6份，△OCD 的面积为9份，△OBC 的面积与△OCD 的面积之和为整个平行四边形面积的一半，因此平行四边形的面积为30份，总面积为90，则一份对应的面积为3，阴影部分占了11份，面积为33．8、如图，两个等腰直角三角形拼在一块形成一个四边形，小等腰直角三角形直角边长为1，阴影部分的面积为多少？AOED CB【答案】13【解析】如图所示，△ABC 的面积是△ACD 面积的一半，所以:1:2AB CD =．根据沙漏模型知，::1:2AO OC AB CD ==，所以阴影部分的面积是△ABC 面积的23，即21211233⨯⨯=．9、如图，在三角形ABC 中，D 、E 为AB 、AC 的三等分点，DF 、EG 分别垂直BC 于F 、G ，矩形DEGF 面积为6，那么三角形ABC 面积为__________．【答案】 13.5AOD C BCGFBED A【解析】过A 向BC 边做垂线，设交于点P ．由D 是BA 三等分点可知F 为BP 三等分点，可知矩形左半部分为△ABP 面积的49，同理可得右半部分．矩形总面积为△ABC 面积的49，可得△ABC 面积为13.5．10、如图19-24，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，已知正方形ABCD 的面积为60平方厘米，求阴影部分的面积．【答案】10平方厘米．【解析】设AE 、AF 与对角线BD 的交点分别为M 、N ；12BM BE DM AD ==，因此13BM BD =；同理13DN BD =，因此13MN BD =；116010332AMN ABD S S ==⨯=△△平方厘米．P CGF BED AACDFB11、如图，边长为8厘米和12厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积．【答案】 45平方厘米【解析】 1212722GEF S ⨯==△平方厘米，8125123EO BE GO GF +===，55538EO EG ==+，因此5=458GEF EOF S S =△阴影△平方厘米．1、如图所示，梯形的面积是48平方厘米，下底是上底的3倍，求阴影部分的面积．【答案】 27平方厘米【解析】上底与下底之比是1:3，由沙漏模型可知四个三角形的面积之比是1:3:3:9，那么阴影部分AB C DEFO GH随堂练习的面积是()481339927÷+++⨯=平方厘米．2、如图，正方形ABCD 的边长是6，E 点是BC 的中点．求△AOD 的面积．【答案】 12【解析】连接DE ，因为BE 与AD 之比是1:2，可如图所示设份数．可知△AOD 的面积是正方形面积的13，是12．3、如图所示，图中的两个正方形的边长分别是10和6，那么阴影部分的面积是多少？AE ODC BAE OD C B142 32 AHG FED C B【答案】 40013 【解析】 58AH AD HG BG ==，那么△ABH 与△BGH 的面积之比也是5:8，△ABH 的面积是△ABG 面积的513．△ABH 的面积是5400101621313⨯÷⨯=．4、如图，EF 和BC 平行，:1:2AE EB =．已知2AF =，3EF =，那么CF 的长度是多少？AC 的长度是多少？BC 的长度是多少？【答案】4，6，9【解析】12AE AF EB FC ==，可求出4CF =，6AC =．13EF AE BC AB ==，可求出9BC =．1、如图所示，AB 与CD 平行．已知:3:4AB CD =，6AO =，那么OC =__________．B FE C A课后作业【答案】8【解析】 由沙漏模型知，::3:4AB CD AO OC ==，6AO =，则8OC =．2、如图所示，AC 与BD 平行，AB 与CD 垂直，交点为O ．已知2AO =，4OB =，3OC =，则△OBD 的面积是△AOC 面积的__________倍．【答案】4【解析】由沙漏模型知，::1:2AO OB OC OD ==，3OC =，则6OD =．由三角形面积公式，△OBD 的面积是46212⨯÷=，△AOC 的面积是2323⨯÷=，所以△OBD 的面积是△AOC 面积的4倍．A ODC B3、如图所示，BC 与DE 平行．已知4AD =，5BD =，16DE =，则BC =__________．【答案】36【解析】 由金字塔模型， ::4:9AD AB DE BC ==，16DE =，则36BC =．4、如图所示，DE 与BC 平行，已知4AD =，5BD =，△ADE 的面积为32，则四边形DECB 面积为_________．【答案】130【解析】:4:9AD AB =，则:4:9AE AC =，△ADE 是△ABC 面积的1681，则△ABC的面积为162，四边形DEBC 的面积为130．5、如图所示，梯形ABCD 的面积是50，下底长是上底长的1.5倍，阴影三角形的面积是_________．【答案】18【解析】上底与下底的长度比是2:3，设△OCD 面积是4份，则△AOD 与△BOC 的面积均为6份，△ABO 的面积为9份，总面积为50，故一份所对应的面积为2．则△ABO 的面积为18．6、如图所示，正方形ABCD 的边长是6，E 点是BC 的三等分点．△AOD 的面积为_________．【答案】13.5【解析】 由沙漏模型可知，::1:3BE AD BO OD ==，△AOB 与△AOD 等高，面积比为1:3，因此△AOD 的面积为366213.54⨯÷⨯=． AOE DC B7、如图，平行四边形ABCD 的面积是12，13DE AD =，AC 与BE 的交点为F ，那么图中阴影部分面积是__________．【答案】4.4【解析】 :2:3AE BC =，设份数如图，可知ABCD 为30份，△AEF 为4份，阴影部分占11份，面积为1112 4.430⨯=．8、如图所示，图中的两个正方形的边长分别是8和4，那么阴影部分的面积是__________．【答案】19.241196H FE C D G BA由条件知，:2:3AD BG =，:2:3DH HB =，△ABH 的面积为388219.25⨯÷⨯=．9、如图所示，图中的两个正方形的边长分别是6和4，那么阴影部分的面积是__________． 【答案】10.8【解析】 ::3:2DH HC AD CG ==，可求出AD 的长为()6323 3.6÷+⨯=，阴影部分的面积是6 3.6210.8⨯÷=．10、如图，一个动物园的形状是梯形，两条对角线正好把动物园分成4个区．已知爬行类区的面积是鸟类区面积的2倍．两栖类区中池塘的面积占两栖类区面积的13．请问这个动物园中陆地面积和池塘面积之比是多少？【答案】23:4A HG FEDC B可知梯形的上下底之比为1:2，则四个区的面积依次为1、2、2、4份，池塘面积为4份，3份，陆地与池塘的面积之比为23:4．陆地面积为233。

沙漏模型及平行线分线段成比例定理
一、沙漏模型
两条线段相交且有一组边平行的图形称为沙漏模型（平行相似），如图所示：
A
性质1
. （通过三角形相似可证）
性质2
.
性质3
. 证明：过点D 作CA 的平行线交BA 的延长线于点G ，过点O 作AB 的平行线交DG 于点H ，如图所示：
四边形DGAC 是平行四边形
，
二、平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段成比例.
如图所示，直线AC、FD被AF、BE、CD
所截，则
证明：连接AE、BF、CE、BD，如图所示：
练习题
1. 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，面积为72，点E、F分别为边AB、BC的中点，
求图中阴影部分的面积？
B
2. 如图所示，四边形ABCD为正方形且面积为1
，点E、F分别为AB、BD的中点, ，
求阴影部分面积？
E
3. 如图所示，正方形ABCD的面积为120，E是AB的中点，F是BC的中点，求四边形BGHF 的面积是多少？
E
参考答案1. 【解答】48
【解析】由沙漏模型可得M、N是
AC的三等分点，
2. 【解答】
【解析】过点F作FH⊥BC垂足为H，过点G作GI⊥BC垂足为I，如图所示：
E
由沙漏模型可得
，
又
，
，
.
3. 【解答】14
【解析】延长CE 交DA 的延长线于点M ，如图所示：。

金字塔、沙漏模型（一）知识纵横
例 1
如图，DE 平行于 BC，且 AD=2 , AB=5 , AE=4 ，求 AC 的长为多少？
试一试 1
如图，DE平行于BC，且AD=3, BD=5, AE=4，求AC的长为多少？
如图，DE 平行于BC ，且AD=2, AB=5 , 三角形ADE 的面积为8，那么三角形ABC 的面积为多少？
如图，在△ABC 中，DE ，FG ，BC 互相平行，且AD=DF=FB ，求 S △ADE :S DFGE :S FBCG 的面积比。

如下图，已知在平行四边形ABCD 中，AB=12，AD=10 ，BE=4，那么FC 的长度是多少？
例 2
试一试 2
例 3
试一试 3
如下图，边长为8 厘米和12 厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积。

例 4
如图，已知三角形ABC的面积为1平方厘米，D、E分别是AB、AC边的中点。

求三角形OBC的面积。

试一试 4
如图，已知DE//BC，AB=5cm ，AD=2cm ，三角形BOC的面积为25cm²，求三角形DOE和三角形COE的面积。

小练习
1、如图，DE平行于BC，且AD=4 ,AB=7,AE=6，求AC的长为多少？
2、如图，DE 平行于 BC，且 AD=5 , AB=11 , 三角形ADE的面积为50 ，那么三角形ABC的面积为多少？
3、如下图，已知在平行四边形ABCD中，AB=20，AD=15 ，BE=4，那么FC的长度是多少？
4、如图，已知三角形ABC中，DE平行BC ，若AD:DB=2:3，且梯形DBCE的面积比三角形ADE的面积大8.5平方厘米，求三角形ABC的面积。

五年级数学奥数精品讲义1-34讲(总87页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除目录第一讲消去问题（一）第二讲消去问题（二）第三讲一般应用题第四讲盈亏问题（一）第五讲盈亏问题（二）第六讲流水问题第七讲等差数列第八讲找规律能力测试（一）第九讲加法原理第十讲乘法法原理第十一讲周期问题（一）第十二讲周期问题（二）第十三讲巧算（一）第十四讲巧算（二）第十五讲数阵问题（一）第十六讲数阵问题（二）能力测试（二）第十七讲平面图形的计算（一）第十八讲平面图形的计算（二）第十九讲列方程解应用题（一）第二十讲列方程解应用题（二）第二十一讲行程问题（一）第二十二讲行程问题（二）第二十三讲行程问题（三）第二十四讲行程问题（四）能力测试（三）第二十五讲平均数问题（一）第二十六讲平均数问题（二）第二十七讲长方体和正方体（一）第二十八讲长方体和正方体（二）第二十九讲数的整除特征第三十讲奇偶性问题第三十一讲最大公约数和最小公倍数第三十二讲分解质因数（一）第三十三讲分解质因数（二）第三十四讲牛顿问题能力测试（四）2第一讲消去问题（一）在有些应用题里，给出了两个或者两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未知数的数量。

我们在解题时，可以通过比较条件，分析对应的未知数量变化的情况，想办法消去其中的一个未知量，从而把一道数量关系较复杂的题目变成比较简单的题目解答出来。

这样的解题方法，我们通常把它叫做“消去法”。

例题与方法在学习例题前，我们先进行一些基本数量关系的练习，为用消去法解题作好准备。

(1)买1个皮球和1个足球共用去40元，买同样的5个皮球和5个足球一共用去多少元？(2)3袋子、大米和3袋面粉共重225、千克，1袋大米和1袋面粉共重多少千克？（3）6行桃树和6行梨树一共120棵，照这样子计算8行桃树和8行梨树一共有多少棵？（4）学校买了4个水瓶和25个茶杯，一共用去172元，每个水瓶18元，每个茶杯多少元？例1学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯，共用去134元；第二次又买了同样的3个水瓶和16个差杯，共用去118元。