2013年安徽省高考压轴卷理科数学试题及答案
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2013年安徽省高考压轴卷数学（理）试题（满分：150分，时间：120分钟）第I 卷 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知复数(1)(2)Z i i =+-的实部是m ，虚部是n ，则m n ⋅的值是（ ） A ． 3 B. 3- C. 3i D.3i -2.已知集合{}2|ln(9)A Z B x y x ===-，，则A B 为（ ）A ． {}210--，， B. {}-2-1012，，，， C. {}012，， D. {}-1012，，，3.已知一组观测值具有线性相关关系，若对于y bx a =+，求得0.6 2.5 3.6b x y ===，，，则线性回归方程是（ ）A ．0.6 2.1y x =- B. 2.10.6y x =+ C.0.6 2.1y x =+ D. 2.10.6y x =-+4. 下列命题是假命题的是（ ）A ．命题“若2230x x --=，则3x =”的逆否命题为：“若3x ≠，则2230x x --≠”；B ．若02x π<<，且sin 1x x <，则2sin 1x x <；C ．互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是两条互相平行的直线；D ．“2x >”是“3101x -≤+”的充分不必要条件； 5.实数满足不等式组2303270210x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则x y -的最小值是（ ）A ．-1 B. -2 C. 1 D. 26.已知函数()sin()f x A x x R ωϕ=+∈，（其中0022A ππωϕ>>-<<，，），其部分图像如图所示，将()f x 的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向左平移1个单位得到()g x 的图像，则函数()g x 的解析式为（ ）A.()sin (1)2g x x π=+ B.()sin (1)8g x x π=+C.()sin(1)2g x x π=+ D.()sin(1)8g x x π=+7．投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1，2，3，4，5，6)，向上的面上的数字记为a ，又()n A 表示集合的元素个数，{}2||3|1,A x x ax x R =++=∈，则()4n A =的概率为A ．31B ．21 c ．32 D ．618..双曲线228x y -=的左右焦点分别是12F F ，，点n P ()()123n n x y n =，，，在其右支上，且满足121||||n n P F P F +=，1212PF F F ⊥，则2012x 的值是（ ） A ．8048 D.80409.已知函数()f x 满足21(21)()22f x f x x x -=+-+，则函数()f x 在()1(1)f ，处的切线是（ ）A．23120-+= D. 220x yx y--=-+= C.220x y++= B.23120x y10.在ABC∆中，已知7,===D是边AC上的一点，将AB BC AC-，若该三棱锥的顶点A在底面∆沿BD折叠，得到三棱锥A BCDABC=，则x的取值范围是（）BCD的射影M在线段BC上，设BM xA．(0, B. ( C. D. (第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确的答案填在横线上）11.某几何体的三视图如图所示，根据图中的数据，可得该几何体的体积是______.12.如图在下面的框图输出的S 是363，则条件①可以填______.（答案不唯一）13．已知二项式51cos ）（+θx 的展开式中2x 项的系数与445）（+x 的展开式中3x 项的系数相等，则θcos = ．14.设等差数列{}n a 的公差(01)d ∈，，且228448sin sin 1sin()a a a a -=+，当8n =时，{}n a 的前n 项和n S 取得最小值，则1a 的取值范围是__________.15.给出下列五个命题中，其中所有正确命题的序号是_______. ①函数()f x = 3②函数2()|4|f x x =-，若()()f m f n =，且0m n <<，则动点()P m n ，到直线512390x y ++=的最小距离是3-.③命题“函数()sin 1f x x x =+，当1212||||22x x x x ππ⎡⎤∈->⎢⎥⎣⎦，，，且时，12()()f x f x >有”是真命题.是④函数22()sin cos 122f x ax x x ax =+-+的最小正周期是1的充要条件是1a =.⑤已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，OA OB 、为不共线的向量，又14026OC a OA a OB =+，若CA AB λ=，则40262013S =.三、解答题（本大题共有6个小题，共计75分。
解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16.(12分)在ABC ∆中，A B C ∠∠∠、、所对的边分别是a b c 、、，设平面向量1(2cos )2c e C b =-，，21(1)2e a =，，且12e e ⊥. （1） 求cos 2A 的值；（2） 若2a =，则ABC ∆的周长L 的取值范围.17. (12分)某种产品在投放市场前，进行为期30天的试销，获得如下数据：试销结束后（假设商品的日销售量的分布规律不变），在试销期间，每天开始营业时商品有5件，当天营业结束后，进行盘点存货，若发现存量小于3件，则当天进货补充到5件，否则不进货. （1）求超市进货的概率（2）记ξ为第二天开始营业时该商品的件数，求ξ的分布列和数学期望.18. (12分)如图，已知四棱锥S ABCD -中，SAD ∆是边长为a 的正三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠=，P 是AD 的中点，Q 是SB 的中点.（1）求证：//PQ 平面SCD . （2）求二面角B PC Q --的余弦值.19. (12分)已知椭圆的焦点坐标是12(10)(10)F F --，，，过点2F 垂直与长轴的直线交椭圆与P Q ，两点，且||3PQ =. （1）求椭圆的方程（2）过2F 的直线与椭圆交与不同的两点M N ，，则1F MN ∆的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.20. （13分）已知函数()()2ln f x x a x a R =+∈． (1)讨论函数)(x f 的单调性；(2)若函数)(x f 的最小值为()a ϕ，求()a ϕ的最大值；(3)若函数)(x f 的最小值为妒()a ϕ，,m n 为()a ϕ定义域A 内的任意两个值，试比较 ()()2m n ϕϕ+与2m n ϕ+⎛⎫⎪⎝⎭的大小．21. （14分）已知数列{}n a 满足1213a a ==，，且2(12|cos|)|sin |22n n n n a a ππ+=++ ()n N *∈（1）求21()k a k N -∈；（2）数列{}n y ，{}n b 满足2111n n y a b y -==，，且当2n ≥时，2222121111n nn b y y y y -⎛⎫=++⎪⎝⎭证明当2n ≥时，12221(1)n n b b n n n +-=+； （3）在（2）的条件下，试比较12311111111nb b b b⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭与4的大小关系.数学（理）试题参考答案1.A【解析】本题考查复数的乘法运算，=+-=+∴==⋅=，，，Z i i i m n m n(1)(2)33132.B【解析】考查集合的概念和交集运算，由()2，，，即->∈-x x9033{}|33B x x =-<<，所以{}-2-1012A B =，，，，.3.C 【解析】考查线性回归方程过样本中心点()x y ，，带入数据得3.60.6 2.5a =⨯+，解得2.1a =，所以线性回归方程是0.6 2.1y x =+.4.C 【解析】本题考查命题的四种形式和关系及和充分必要条件的判定,选项A ，根据命题的四种形式，可知命题：“p q 若，则”的逆否命题是q p ⌝⌝若，则，故选项A 说法正确；选项B ，因为02x π<<，所以0sin 1x <<，则2sin sin x x x <，所以有2sin sin 1x x x <<，故该命题正确；选项C ，当两条平行线和投影面垂直时，两条平行线在这个平面内的射影是两个点，显然该命题不正确；选项D ，解不等式3101x -≤+，得{}|12x x x <-≥或，因为{}{}|2|12x x x x x >⊆<-≥或，所以“2x >”是“3101x -≤+”的充分不必要条件，D 正确.5．B 【解析】本题考查简单的线性规划问题中的求最值问题.根据题目可得如下的可行域，其中 ，令Z x y =- ，将这条直线平移可以得到在A 点使得x y - 取得最小值，所以min ()112x y -=--=-，故选B6.B 【解析】由图像得，11(1)284T A T ==--==，，，因为284T ππωω===，，由图像可以看出，()11f =，所以sin(1)=14422πϕπϕππϕ⎧⨯+⎪⎪⇒=⎨⎪-<<⎪⎩，，，即()sin(1)4f x x π=+，将()f x 的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍得到1()sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移1个单位得到2()sin (1)sin (1)848f x x x πππ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，选B.7.A 【解析】由()4n A =知，函数2|3|y x ax =++和1y =的图像有四个交点，所以23y x ax =++的最小值21214a -<-，解得4(4)a a ><-舍去，所以a 的取值是5,6.又因为a 的取值可能是6种，故概率是2163=，故选A.8.C 【解析】（方法一）22884a b c ==∴=，，，即14x =，又121||||n n P F P F +=，2222222211111(4)(4)816816n n n n n n n n n n x y x y x x y x x y +++++∴-+=++-++=-++， 即22111114()()()4()n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x +++++-=+⇔+-=+，由题意知，0n x >， 14n n x x +∴-=，故20121(20121)48048x x =+-⨯=. （方法二）焦半径公式法：11211||(2)||(2)4n n n n n n P F e x P F e x x x +++=+=-∴=+，，14x ∴=，故20121(20121)48048x x =+-⨯=.选C.点评:本题考查双曲线的简单几何性质和等差数列前n 项和的求法. 通过121||||n n P F P F +=得出1n n x x +，的关系式解题的关键.9．B 【解析】本题考查复合函数导数的求法和利用导数求曲线的切线方程问题，难度中等.令1x =得，21(1)(1)1122f f =+-+，(1)4f =，两边取导数得，12(21)()212f x f x x '-=+-，令1x =得，12(1)(1)212f f '=+-，2(1)3f '=，所以函数()f x 在()1(1)f ，的切线方程是24(1)3y x -=-，即23120x y -+=，选B.10. C 【解析】本题考查立体几何中的折叠问题和解三角形问题，直接计算比较复杂，可以采用极限思想特殊化法，在ABC ∆中7AB BC AC ===，由余弦定理得2221cos ,22AB BC AC B AB BC +-==⨯⨯所以3B π∠=，当D 点和C 点重合时，cos3BM AB π=⨯=，BD 是角平分线时，A 点的射影才能出现在BC 上，此时BM AB == C第Ⅱ卷11．323【解析】本题考查三视图还原成立体图和棱锥的体积公式.由题知立体图如图所示 4,4,3,1,,AE BD BE CE AE BC BD ABC ====⊥⊥面， 所以14482ABCS∆=⨯⨯=， 132433ABC V S ∆=⨯⨯=.12.5n ≤（或6n <）【解析】由3n S S =+知，程序的作用是求和， 12345033333363S =+++++=，循环5次，所以条件可以填5n ≤（或6n <）.13．2±51cos ）（+θx 中2x 的系数是325cos C θ，445）（+x 中3x 的系数是1454C ⨯，所以令321545cos 4C C θ=⨯得，cos θ=. 14.78ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，【解析】()()22848484486sin sin sin sin sin sin sin()sin 2a a a a a a a a a +--=+ 666662sin sin 22cos sin 2sin 2sin 4sin 41sin 2sin 2a d a d a dd a a ====，42(01)12288k d k d d k d πππππ∴=+=+∈∴==，，，， 8S 是前n 项和n S 取得最小值，8191700800a a a a ππ⎧≤+≤⎧⎪∴⇒⎨⎨≥⎩⎪+≥⎩解得178a ππ-≤≤-.15. ①③⑤【解析】在①中，函数的定义域是2230540x x x x ⎧-≥⎪⎨-+≥⎪⎩解得：(][)04x ∈-∞+∞，，，当(]0x ∈-∞，时，()f x =min (0)3f =，当[)4x ∈+∞，时()f x =+min (4)93f =>，所以(][)04x ∈-∞+∞，，，min ()3f x =.①正确. 在②中，由图像知，022m n <<<<，，22()|4|4f m m m ∴=-=-，2()|4|f n n =-2224()()44n f m f n m n =-=∴-=-，，即228m n +=，则动点()P m n ，的轨迹是以(00)O ，为圆心，半径r =的圆（虚线），所以点()P m n ，到直线512390x y ++=的最小距离是d r -（d 是点P 到直线的距离），|5012039|313d ⨯+⨯+==，3d r ∴-=-P 的值取不到，所以d r -也不能取到最小值.故②错.在③中，函数()sin 1f x x x =+是偶函数，且02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()sin cos 0f x x x x '=+>即()sin 1f x x x =+是增函数，当12||||x x >时，12()()f x f x >有，故③正确.在④中，由22()sin cos 1f x ax x x ax =++整理得， ()sin(2)13f x ax π=++，函数的周期211|2|T a a π===±，，故④错误.在⑤中，由CA AB λ=知，A B C 、、三点共线，且14026OC a OA a OB =+，所以14026a a +1=，所以140264026()402620132a a S +⨯==，故⑤正确.三、解答题（本大题共有6个小题，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16.【解析】（1）12e e ⊥，∴1211(2cos )(1)2cos ()102222c ce e C b a C a b =-=+-=，，即cos 02cos 202ca Cb a Cc b +-=∴+-=2分根据正弦定理得：2sin cos sin 2sin A C C B +=，∴2sin cos sin =2sin()A C C A C ++，2sin cos sin =2sin cos 2cos sin A C C A C A C ∴++2cos sin sin A C C ∴=，sin 0C ≠1cos (0)23A A A ππ∴=∈∴=，，21cos 2cos 32A π∴==-6分由余弦定理得2222222223()()2cos ()3()44b c b c ab c bc A b c bc b c bc b c ++=+-=+-=+-≥+-=即4b c +=，当且仅当2b c ==时取等号，又构成三角形的条件知2b c a +>=即(](]244612b c L a b c +∈∴=++∈，，分17.【解析】（1）10642()(3)(4)(5)3030303P P P P =++=++=进货销售件销售件销售件 （2）ξ的取值是345.，， 61317(3)(4)(5)P P P ξξξ========，，，即分布列是: 所以数学期望是345 4.551010E ξ=⨯+⨯+⨯=18.【证明】（1）取SC 的中点R ，连接QR 由题意知//PD BC 且12PD BC =，//QR BC 12QR BC =，所以//PD QR 且PD QR =，即四边形PDRQ 是平行四边形，所以//PQ 又PQ ⊄平面SCD ，DR ⊂平面SCD所以//PQ 平面SCD .---------------（5分）（2）以P 为坐标原点，PA 为x 轴，PB 为y 轴，PS 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，P xyz -，则(00)(00)S B ，，，(0)(0)C a Q -，，，平面PAC 的法向量(00)2PS =，，，设()n x y z =，，是平面PQC 的法向量，由00002n PQ nPC ax ay =⎧=⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩-+=⎪⎩，令y =3(3-2n =，，---------（10分）3cos 11a n PS --==， 又二面角B PC Q --的平面角是锐角，所以二面角B PC Q --的平面角的余弦值是11---------------------（12分） 19【解析】（1）设椭圆的方程是22221(0)x y a b a b+=>>，由交点的坐标得：1c =，---------------（1分）由||3PQ =，可得223b a=----------------（2分） 解得2a b ==，（3分）故椭圆的方程是22143x y +=-----------（4分）（2）设1122()N()M x y x y ，，，，不妨设1200y y ><， 设1F MN ∆的内切圆半径是R ，则1F MN ∆的周长是48a =，1111()42F MN S MN F M F N R R ∆=++=， 因此1F MN S ∆最大，R 就最大-----------------------（6分）11212121()2F MN S F F y y y y ∆=-=- 由题知，直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，22(34)690m y my ++-=，--------------（8分）解得12y y ==则121221()234AMNS AB y y y y m ∆=-=-=+-----------------（9分）令t 则1t ≥则1212112()123AMNS AB y y y y t t∆=-=-==+------------（10分） 令211()3()3f t t f t tt '=+=-， 当1t ≥时，()0f t '≥，()f t 在[)1+∞，上单调递增，有12()(1)434AMN f t f S ∆≥=≤=，， 即当10t m ==，时，12344AMN AMN S S R ∆∆≤==，，所以max 34R =，此时所求内切圆面积的最大值是916π故直线:1l x =，AMN ∆内切圆的面积最大值是916π-----------------------------------（12分） 20.【解析】 (1)显然x >，且()22a f x x'=+分① 当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在定义域内单调递增；② 当0a <时，若0,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '<，函数单调递减；若,2ax ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '>函数单调递增.5分(2)由(1)知，当0a ≥时，函数()f x 在定义域内单调递增，所以)(x f 无最小值.当0a <时，2a x =-时，)(x f 最小，即()ln 22a a a f a a ϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()ln 2a a ϕ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭因此，当2a <-时，()0a ϕ'>，函数()a ϕ单调递增；当20a -<<时，()0a ϕ'<，函数()a ϕ单调递减；故()a ϕ的最大值是()22ϕ-=8分(3) 由(1)知{}|0A a a =<,极小值即最小值2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()ln 922a a a f a a ϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分对于任意的,m n A ⊂且m n ≠有，()()ln ln 22ln 222224m n m m n n m n m n m n m n M n ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪ ⎪++⎡+++⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-=--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22ln ln ln ln ln 1122222422m m n n m n m n m m n n m n m n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭分 不妨设0m n <<，则1m n >，令()1mt t n=>则()()2222ln ln ln ln 22221111m m n m n n m n t n t m m n t t n n ϕϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥ ⎪ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦设()()()22ln ln ln 2ln 1ln 2ln 111t u t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫=+=-++-+⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()ln2ln21ln(1)t t t t =+-++所以2()ln 2ln(1)ln()1t u t t t t '=-+=+，因为221110111t t t t t t t ----==>+++ 即211tt >+，所以()0u t '>，即函数()u t 在()1,t ∈+∞上单调递增. 从而()(1)0u t u >=，但是02n <，所以()()022m n m n ϕϕϕ++⎛⎫-< ⎪⎝⎭即()()1322m n m n ϕϕϕ++⎛⎫< ⎪⎝⎭分21．【解析】（1）设21n k k N *=-∈，， 由212121(21)(21)12|cos||sin |122k k k k k a a a ππ+----⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭即k N *∈时，数列{}21k a -是以1a 为首项，1为公差的等差数列，所以211(1)13k a a k k-=+-=分.（2）当2n ≥时，由2222121111n n n b y y y y -⎛⎫=++⎪⎝⎭得2222121111n n b n y y y -=++， 因为21n n y a n -== 所以222222212111111112(1)n n b n y y y n -=++=+++-① 所以1222222222121111111111(1)12(1)n n n b n y y y y n n+-=+++=+++++-② ②-①，得12221(1)n n b b n n n +-=+，所以原命题正确------------------------------------------------6分 （3）当1n =时，111b y ==，所以11124b +=<； 当2n =时，222214y b y ==，所以1211511244b b ⎛⎫⎛⎫++=⨯< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭由（2）知，当2n ≥时，12221(1)n n b b n n n +-=+，即1221(1)n n b b n n ++=+，故2211(1)n n b n b n ++=+， 所以，当3n ≥时，312123123111111111111nn nb b b b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⨯+⨯+⨯⨯+=⨯⨯⨯⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2222311212222123411111123(1)(1)2434(1)n n n n b b b b n n b b b b b b b n n -+++++-=⨯+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+222211112123(1)n n ⎡⎤=+++++⎢⎥-⎣⎦③11分因为21111(2)(1)1n n n n n n<=-≥--， 所以③111111121(1)()()2(2)442231n n n n⎡⎤<+-+-++-=-=-<⎢⎥-⎣⎦ 故123111111114n b b bb ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭14分.。
