人教中考数学 二次函数 培优易错试卷练习(含答案)及详细答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，已知抛物线2yaxbxc经过A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；

（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．

①求S与m的函数关系式；

②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2yx2x3.

（2）3210.

（3）①2Sm4m3.

②当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）.

【解析】

【分析】

（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.

（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.

（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，2m2m3），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可.

【详解】

解：（1）∵抛物线2yaxbxc经过A（－3，0），B（1，0），

∴可设抛物线交点式为yax3x1.

又∵抛物线2yaxbxc经过C（0，3），∴a1.

∴抛物线的解析式为：yx3x1，即2yx2x3.

（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，且BC是定值.

∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小.

∵点A、点B关于对称轴I对称， ∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点.

∵AP=BP，∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.

∵A（－3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=32，BC=10.

∴△PBC的周长最小是：3210.

（3）①∵抛物线2yx2x3顶点D的坐标为（﹣1，4），A（﹣3，0），

∴直线AD的解析式为y=2x+6

∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，2m2m3）

∴22EFm2m32m6m4m3.

∴22DEFAEF1111SSSEFGHEFAGEFAHm4m32m4m32222.

∴S与m的函数关系式为2Sm4m3.

②22Sm4m3m21，

∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）.

2．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．

（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．

①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；

②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．

【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P（﹣2﹣1，2）；②P（﹣32

，154）

【解析】

试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x即可得到抛物线的解析式；

（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；

②ΔOBCΔAPDABCPC=PDOSSSS四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．

试题解析：（1）∵抛物线2yaxbxc与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为1x，∴0{312abccba，解得：1{23abc，∴二次函数的解析式为223yxx=2(1)4x，∴顶点坐标为（﹣1，4）；

（2）令2230yxx，解得3x或1x，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在223yxx上，∴设点P（x，223xx），

①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即2232yxx，解得x=21（舍去）或x=21，∴点P（21，2）；

②设P(x，y)，则223yxx，∵ΔOBCΔAPDABCPC=PDOSSSS四边形梯形

=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222xyyx=333222xy

=2333(23)222xxx=239622xx=23375()228x，

∴当x=32时，ABCPS四边形最大值=758，当x=32时，223yxx=154，此时P（32，154）．

考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．

3．已知，抛物线y=x2+2mx(m为常数且m≠0）．

（1）判断该抛物线与x轴的交点个数，并说明理由．

（2）若点A（-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M为抛物线的顶点，求△ABM的面积．

（3）若点（2，p)，（3，g），（4，r)均在该抛物线上，且p

【答案】（1）抛物线与x轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM的面积为8；（3）m的取值范围m>-2.5

【解析】

【分析】

（1）首先算出根的判别式b2-4ac的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；

（2）根据抛物线的对称性及A,B两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；

（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m的取值范围，综上所述，求出m的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m的式子表示出p,g,r，再代入 p

【详解】

（1）解：抛物线与x轴有2个交点。理由如下：

∵m≠0，∴b2-4ac =（2m）2-4×1×0=4m2>0．

∴抛物线与x轴有2个交点

（2）解：∵点A（-n+5，0），B(n-1，0)在抛物线上

∴抛物线的对称轴x=5122nn

∴ 221m=2,即m=-2．

∴抛物线的表达式为y=x2-4x．

∴点A（0，0），点B（4，0）或点A（4，0），点B（0，0），点M（2，-4）

∴△ABM的面积为12×4×4=8

（3）解：方法一（图象法）：

∵抛物线y=x2+2mx的对称轴为x=-m，开口向上。

∴当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件（如图1）．

当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2）．

此时，-m<2，即m>-2．

当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3）．

即m>-2.5．

综上所述，m的取值范围m>-2.5

方法二（代数法）：

由已知得，p=4+4m，g=9+6m，r=16+8m．

∵p

【点睛】

二次函数的综合应用题。与X轴交点的情况当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。熟练运用顶点坐标（-2ba，244acba）

4．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）；

（1）求二次函数的解析式；

（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由．

（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

（4）若P为抛物线上一点，过P作PQ⊥BC于Q，在y轴左侧的抛物线是否存在点P使△CPQ∽△BCO（点C与点B对应），若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

【答案】（1）二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；；（2）最大值为1，此时N（-1，2）；（3）M的坐标为（-1，0）或（1±5，0）或（-32，0）；（4）点P的坐标为：（-1，2）或（-73，-109）．

【解析】

【分析】

（1）利用交点式求二次函数的解析式；

（2）求直线AC的解析式，作辅助线ND，根据抛物线的解析式表示N的坐标，根据直线AC的解析式表示D的坐标，表示ND的长，利用铅直高度与水平宽度的积求三角形ANC的面积，根据二次函数的最值可得面积的最大值，并计算此时N的坐标；

（3）分三种情况：当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，分别以三边为腰，画图形，求M的坐标即可；

（4）存在两种情况：①如图4，点P1与点C关于抛物线的对称轴对称时符合条件；

②如图5，图3中的M（-32，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，则△CP2Q∽△BCO，P2为直线CM的抛物线的交点．

【详解】

（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），

设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），

把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），

a=-1，

∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，

∴二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；

（2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2），