高三数学一轮复习课时作业13：§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

高三数学一轮复习

1 §9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

1．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是

( )

A．－2 B．－4 C．－6 D．－8

答案 B

解析 将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1,1)，半径r＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|2＝2，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4，故选B.

2．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有( )

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

答案 C

解析 圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点．

3．(2018·福州模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为( )

A．y＝－34 B．y＝－12 高三数学一轮复习

2 C．y＝－32 D．y＝－14

答案 B

解析 圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|＝1－12＋－2－02＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－12. 高三数学一轮复习

3 4．(2017·广州调研)若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有( )

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

答案 C

解析 如图，分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆．

由题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．

5．(2017·福建漳州八校联考)已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么( )

A．m∥l，且l与圆相交 B．m⊥l，且l与圆相切

C．m∥l，且l与圆相离 D．m⊥l，且l与圆相离

答案 C

解析 ∵点P(a，b)(ab≠0)在圆内，∴a2＋b2

∵圆x2＋y2＝r2的圆心为O(0,0)，故由题意得OP⊥m，

又kOP＝ba，∴km＝－ab，∵直线l的斜率为kl＝－ab＝km，圆心O到直线l的距离d＝r2a2＋b2>r2r＝r，

∴m∥l，l与圆相离．故选C.

6．(2018·洛阳二模)已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为x＋y＝2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线交l于点A，则|PA|的最小值为( ) 高三数学一轮复习

4 A.12 B．1

C.2－1 D．2－2

答案 D

解析 方法一 由题意可知，直线PA与坐标轴平行或重合，不妨设直线PA与y轴平行或重合，

设P(cos α，sin α)，则A(cos α，2－cos α)，

∴|PA|＝|2－cos α－sin α|＝2－2sinα＋π4，

∴|PA|的最小值为2－2，故选D.

方法二 由题意可知圆心(0,0)到直线x＋y＝2的距离d＝22＝2，∴圆C上一点到直线x＋y＝2的距离的最小值为2－1.由题意可得|PA|min＝2(2－1)＝2－2，故选D.

7．(2016·全国Ⅲ)已知直线l：x－3y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.

答案 4

解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 x－3y＋6＝0，x2＋y2＝12，

得y2－33y＋6＝0，

解得x1＝－3，y1＝3；x2＝0，y2＝23，

∴A(－3，3)，B(0,23)．

过A，B作l的垂线方程分别为

y－3＝－3(x＋3)，y－23＝－3x，令y＝0，则xC＝－2，xD＝2，∴|CD|＝2－(－2)＝4.

8．(2017·兰州调研)点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．

答案 35－5

解析 把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得

(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.

圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径是3； 高三数学一轮复习

5 圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.

圆心距d＝4＋22＋2＋12＝35.

所以|PQ|的最小值是35－5.

9．过点P(1，3)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则PA→·PB→＝________.

答案 32

解析 由题意，得圆心为O(0,0)，半径为1.如图所示，

∵P(1，3)，∴PB⊥x轴，|PA|＝|PB|＝3.

∴△POA为直角三角形，其中|OA|＝1，|AP|＝3，

则|OP|＝2，∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.

∴PA→·PB→＝|PA→||PB→|·cos∠APB＝3×3×cos 60°＝32.

10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．

答案 43

解析 圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)．

由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，

即|4k－2|k2＋1≤2，整理得3k2－4k≤0，解得0≤k≤43. 高三数学一轮复习

6 故k的最大值是43.

11．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.

(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；

(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程．

解 把圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，

∴圆心为C(－1,2)，半径r＝2.

(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，

C到l的距离d＝2＝r，满足条件．

当l的斜率存在时，设斜率为k，

得l的方程为y－3＝k(x－1)，

即kx－y＋3－k＝0，

则|－k－2＋3－k|1＋k2＝2，解得k＝－34.

∴l的方程为y－3＝－34(x－1)，

即3x＋4y－15＝0.

综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.

(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2

＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，

|PO|2＝x2＋y2，∵|PM|＝|PO|，

∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，

整理，得2x－4y＋1＝0，

∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.

12．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．

(1)求圆C的方程；

(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点高三数学一轮复习

7 N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解 (1)设圆心C(a,0)a>－52，

则|4a＋10|5＝2，解得a＝0或a＝－5(舍)．

所以圆C的方程为x2＋y2＝4.

(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由 x2＋y2＝4，y＝kx－1，得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，

所以x1＋x2＝2k2k2＋1，x1x2＝k2－4k2＋1.

若x轴平分∠ANB，

则kAN＝－kBN，即y1x1－t＋y2x2－t＝0，

则kx1－1x1－t＋kx2－1x2－t＝0，

即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，

亦即2k2－4k2＋1－2k2t＋1k2＋1＋2t＝0，解得t＝4，

所以当点N坐标为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立． 高三数学一轮复习

8

13．(2017·安徽芜湖六校联考)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围是( )

A.0，125 B．『0,1』

C.1，125 D.0，125

答案 A

解析 因为圆心在直线y＝2x－4上，

所以圆C的方程为(x－a)2＋『y－2(a－2)』2＝1.

设点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，

所以x2＋y－32＝2x2＋y2，

化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，

所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．

由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2＋1，即1≤a2＋2a－32≤3.

由a2＋2a－32≥1，得5a2－12a＋8≥0，

解得a∈R；

由a2＋2a－32≤3，得5a2－12a≤0， 高三数学一轮复习

9 解得0≤a≤125.

所以点C的横坐标a的取值范围为0，125.故选A.

14．(2017·郑州一模)若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是________．

答案 4

解析 ⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，

∴O1A⊥OA.

又∵|OA|＝5，|O1A|＝25，∴|OO1|＝5.

又A，B关于OO1所在直线对称，

∴AB长为Rt△OAO1斜边上的高的2倍，

∴|AB|＝2×5×255＝4.