高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式》4

2016-2017学年高中数学 2.3.1 2.3.2 向量数量积的运算律学案 新人教B版必修4

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2016-2017学年高中数学 2.3.1 2.3.2 向量数量积的运算律学案 新人教B版必修4

2 2。3.1 向量数量积的物理背景与定义

2。3。2 向量数量积的运算律

1。理解平面向量数量积的含义及其物理意义。（难点）

2。体会平面向量的数量积与向量射影的关系。

3.掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题。（重点)

［基础·初探]

教材整理1 两个向量的夹角

阅读教材P107内容，完成下列问题。

1.已知两个非零向量a，b，作OA→＝a，错误!＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉，并规定0≤〈a，b〉≤π，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉.

2。当〈a，b〉＝错误!时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作a⊥b。在讨论垂直问题时,规定零向量与任意向量垂直。

3。当〈a，b〉＝0时，a与b同向;

当〈a，b〉＝π时，a与b反向；

当〈a,b>＝错误!或a与b中至少有一个为零向量时,a⊥b。

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式

明目标、知重点 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能依据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能依据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.

1.平面对量数量积的坐标表示

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.

即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和.

2.两个向量垂直的坐标表示

设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

3.平面对量的长度

(1)向量长度公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝x21＋y21.

(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.

4.向量的夹角公式

设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.

[情境导学] 在平面直角坐标系中，平面对量可以用有序实数对来表示，两个平面对量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面对量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现？平面对量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面对量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回顾两个向量的数量积的定义向向量的坐标表示，在此基础上推导、探究平面对量数量积的坐标表示.

探究点一 平面对量数量积的坐标表示

思考1 已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b?

答 ∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，

∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)

＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2. 又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，

向量数量积的坐标运算与度量公式（课前预习案）

学 习 目 标：

1通过自学课本能推导出向量数量积的坐标表达式，并写出两向量垂直的坐标公式。

2通过自学课本能够准确写出向量的长度、距离和夹角余弦的坐标公式并会熟练地应用解决有关问题。

3通过合作探究一学会向量垂直条件坐标形式的应用，通过合作探究二学会求已知向量夹角为锐角和钝角时参数的取值范围。通过合作探究三体会向量的工具性以及函数思想的应用。

4根据学习的内容，完成思维导图案。

自学指导

一）阅读课本P112至思考讨论前思考以下问题

1、在正交基底21,ee下，已知向量ba,的坐标分别为),(),(2211yxbyxa你能写出它们的正交分解式吗？

21,ee的模与数量积分别是多少？由此你能推出a·b坐标表达式吗？

2、向量ba,垂直的等价条件是什么？你能用坐标表示两向量垂直的条件吗？

（二）阅读课本P112下3、向量的长度、距离和夹角公式至P113例题2

并思考思考以下问题

1. 你能写出a·b的定义式吗？

2、根据a·b的定义式你能快速写出|a|以及ba,cos的表达式吗？

3.若已知向量已知向量ba,的坐标分别为),(),(2211yxbyxa你能写出|a|以及ba,cos的坐标表达式吗？

4已知),(),(2211yxByxA则AB= AB=

自学检测

中，已知四边形ABCD是平行四边形，错误!＝1，－2，错误!＝2,1，则错误!·错误!＝

A．5 B．4 C．3 D．2

2已知向量a=（-1,2），b=（3,），若a∥b，则=_______;若a⊥b，则=_______

3已知向量a=（4,5），b=（-4，3），求a·b，|a|，|b|,cosab

4 夹角的余弦值为与则若bbaa),12,5(),4,3(

1 2．1．1向量的概念

一．学习要点：向量的有关概念

二．学习过程：

一、复习：

在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.

二、新课学习：

1.向量的概念： 。

2.向量的表示方法：

1．用 表示；

2．用 ：AB；

3．向量的模：向量AB的 ，也是向量AB的长度称为向量的模，记作

4.零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作0 0的方向是任意的

长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.

说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.

5.平行向量定义：

① 非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行.

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；

（2）向量记作 .

6.相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说明：（1）向量a与b相等，记作ab；

（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起．．．．．．．点无关．．．.

7.共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

8．位置向量：

任给一定点O和向量a，过点O作OAa，则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定，这时向量OA，叫做点A相对于点O的位置向量。