初二数学因式分解技巧

初二数学因式分解技巧

因式分解技巧方法

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。本文将在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍。

一、提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法。在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

1) (a+b)(a-b) = a^2-b^2———a^2-b^2=(a+b)(a-b)

2)。(a±b)^2= a^2±2ab+b^2———a^2±2ab+b^2=(a±b)^2

3) (a+b)(a-ab+b) =a^2+b^2———a^2+b^2=(a+b)(a-ab+b)

4)。(a-b)(a+ab+b) = a^2-b^2———a^2-b^2=(a-b)(a+ab+b)

下面再补充两个常用的公式：

5) a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2

6) a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)

例如，已知a，b，c是三角形ABC的三边，且a+b+c=ab+bc+ca，则三角形ABC的形状是（）

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

解：a+b+c=ab+bc+ca⇒2a+2b+2c=2ab+2bc+2ca

a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0

a=b=c

因此，三角形ABC为等边三角形。

三、分组分解法。

一）分组后能直接提公因式

例如，分解因式：am+an+bm+bn

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=(am+an)+(bm+bn)

a(m+n)+b(m+n)（每组之间还有公因式！）

m+n)(a+b)

二）分组后不能直接提公因式

例如，分解因式：2ax-10ay+5by-bx

分析：这个多项式不能直接提取公因式，也不能运用公式分解，但可以通过分组分解来解决。

解：原式=(2ax-bx)-(10ay-5by)

x(2a-b)-5y(2a-b)

x-5y)(2a-b)

解：将6分解为2×3，又因为5=2+3，所以原式可写为x+2x+3x+6，再进行分组得到(x+2)(x+3)。因此，原式分解为(x+2)(x+3)。

练：

1.分解因式：2x-10xy+5by-bx

解：将原式分成两组，第一组为(2ax-bx)，第二组为(-10ay+5by)，提出公因式得到(2a-b)(x-5y)。

2.分解因式：xy-x-y+1

解：将原式分成两组，第一组为(xy-x)，第二组为(-y+1)，提出公因式得到(x-1)(y-1)。

3.分解因式：x-y+ax+ay

解：将原式分成两组，第一组为(x-y)，第二组为(ax+ay)，提出公因式得到(x-y+a(x+y))。

4.分解因式：a-2ab+b-c 解：将原式分成两组，第一组为(a-2ab+b)，第二组为(-c)，提出公因式得到(a-b-c)(a-b+c)。

5.分解因式：x-x-9y-3y

解：将原式分成两组，第一组为(x-x)，第二组为(-9y-3y)，提出公因式得到(-12y)。

6.分解因式：x+6xy+9y-16a+8a-1

解：将原式分成三组，第一组为(x-16a)，第二组为(6xy+8a)，第三组为(9y-1)，提出公因式得到(x-16a+2(3xy+4a))(9y-1)。

7.分解因式：x-2xy-xz+yz+y

解：将原式分成两组，第一组为(x-2xy)。第二组为(-xz+yz+y)，提出公因式得到(x-y(2x+z-1))。

8.分解因式：a-2a+b-2b+2ab+12

解：将原式分成四组，第一组为(a-2a)，第二组为(b-2b)，第三组为(2ab)，第四组为(12)，提出公因式得到(a-b+2ab+6)(-2+b)。

9.分解因式：y(y-2)-(m-1)(m+1)

解：将原式分成两组，第一组为(y(y-2)),第二组为(-(m-1)(m+1))，提出公因式得到(y-1)(y-2)-(m-1)(m+1)。

10.分解因式：(a+c)(a-c)+b(b-2a)+a(b+c)+c(a+b)+2abc

解：将原式分成五组，第一组为(a+c)(a-c)，第二组为(b(b-2a)),第三组为(a(b+c)),第四组为(c(a+b)),第五组为(2abc)，提出公因式得到(a+c-b)(a-c+b+2c)+a(b+c)+2abc。

十字相乘法：

1.分解因式：x+5x+6

解：将6分解为2×3，又因为5=2+3，所以原式可写为x+2x+3x+6，再进行分组得到(x+2)(x+3)。因此，原式分解为(x+2)(x+3)。

2.已知＜a≤5，且a为整数，若2x+3x+a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a. 解：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求Δ=b2-4ac>0而且是一个完全平方数。于是Δ=9-8a为完全平方数，只有a=1符合条件。

由于$6=2\times 3=(-2)\times(-3)=1\times 6=(-1)\times(-6)$，我们可以发现只有$2\times 3$的分解适合，即$2+3=5$。

解法：$x+5x+6=x+(2+3)x+2\times 3=(x+2)(x+3)$。用此方法进行分解的关键是将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：$x^2-7x+6$

解法：原式 $=x+((-1)+(-6))x+(-1)\times(-6)= (x-1)(x-6)$。$(-1)+(-6)=-7$。

练5、分解因式：(1) $x^2+14x+24$ (2) $a^2-15a+36$ (3)

$x^2+4x-5$

练6、分解因式：(1) $x^2+x-2$ (2) $y^2-2y-15$ (3) $x^2-10x-24$

二) 二次项系数不为1的二次三项式——$ax^2+bx+c$

条件：$(1) a=a_1a_2$，$(2) c=c_1c_2$，$(3)

b=a_1c_2+a_2c_1=b=a_1c_2+a_2c_1$

分解结果：$ax^2+bx+c=(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)$

例7、分解因式：$3x^2-11x+10$

分析：$1\times 10=2\times 5$，$3+2=5$，$-3-10=-13$

解法：$3x^2-11x+10=(x-2)(3x-5)$

练7、分解因式：(1) $5x^2+7x-6$ (2) $3x^2-7x+2$ (3)

$10x^2-17x+3$ (4) $-6y^2+11y+10$

三) 二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：$a^2-8ab-128b$

分析：将$b$看成常数，把原多项式看成关于$a$的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

解法：$a^2-8ab-128b=a+[8b+(-16b)]a+8b\times(-16b)=(a+8b)(a-16b)$

练8、分解因式：(1) $x^2-3xy+2y$ (2) $m^2-6mn+8n$ (3)

$a^2-ab-6b$

四) 二次项系数不为1的齐次多项式

例9、$2x^2-7xy+6y^2$

分析：把$xy$看作一个整体。

解法：原式$=(x-2y)(2x-3y)$

例10、$xy-3xy^2+2$

分析：把$xy$看作一个整体。

解法：原式$=(xy-1)(xy-2)$。

2263综合练10：

1.8x-7x-1 = x-1

2.12x-11xy-15y = (3x-5)(4y-3)

3.(x+y)-3(x+y)-10 = (1/((x+y)^3))-10

4.(a+b)-4a-4b+322 = (a-2)^2 + (b-2)^2 + 322

5.xy-5xy-6x = -4xy-6x

6.m^2-4mn+4n^2-3m+6n+2 = (m-2n)^2 - 3(m-2n) + 2

7.x+4xy+4y-2x-4y-3 = 4xy-x-3

8.5(a+b)+23(a-b)-10(a-b) = 28a + 13b

9.12(x+y)+11(x-y)+2(x-y) = 25(x+y)

10.4x-4xy-6x+3y+y-10 = -2x-4xy+3y-10

思考：

1.2005x-(2005-1)x-2005 = 2005x-2004x-2005 = x-2005