第三节协方差及其相关系数

统计学中的协方差与相关系数统计学中的协方差和相关系数是两个重要的概念，它们用于描述两个变量之间的关系以及变量的变动程度。

本文将分别介绍协方差和相关系数的定义、计算方法，以及它们在实际应用中的意义。

一、协方差在统计学中，协方差是用来衡量两个变量之间的相关性的指标。

它反映了两个变量的变动是否同时发生以及变动程度的大小。

协方差的定义如下：假设有n个数据对(x₁, y₁), (x₂, y₂), ... , (xₙ, yₙ)，则协方差的计算公式为：cov(X, Y) = Σ(xᵢ - ̄x)(yᵢ - ̄y) / n其中，X表示变量X的数据集，Y表示变量Y的数据集，xᵢ和yᵢ分别表示X和Y的第i个观测值，̄x和̄y分别表示X和Y的均值，n 表示数据对的总数。

协方差的计算结果可以为正、负或零。

正的协方差表示两个变量的变动趋势一致；负的协方差表示两个变量的变动趋势相反；零的协方差表示两个变量之间没有线性关系。

二、相关系数相关系数是用来衡量两个变量相关性强弱的指标。

它不仅考虑了两个变量的变动趋势，还考虑了它们之间的线性关系的紧密程度。

最常用的相关系数是皮尔逊积矩相关系数（Pearson correlation coefficient），也称作Pearson相关系数。

它的计算公式为：r = cov(X, Y) / (σₓ * σᵧ)其中，cov(X, Y)表示X和Y的协方差，σₓ和σᵧ分别表示X和Y的标准差。

相关系数的取值范围为-1到1。

当相关系数趋近于1时，表示两个变量之间存在着强正相关关系；当相关系数趋近于-1时，表示两个变量之间存在着强负相关关系；当相关系数接近于0时，表示两个变量之间的线性关系较弱。

三、协方差与相关系数的意义与应用协方差和相关系数在统计学和数据分析中有着广泛的应用。

它们可以帮助我们了解两个变量之间的关系及其变动的程度，从而进行更深入地数据分析和预测。

1. 多元数据分析：协方差和相关系数可以用于多个变量之间的分析。

存在，称它为X的k阶中心矩
概率论
均值 EX是X一阶原点矩，方差DX是X的二阶
中心矩。
四、课堂练习
概率论
1、设随机变量（X，Y）具有概率密度
f (x, y) 81(x y) 0 x 2,0 y 2
0
其它
求E(X ), E(Y ),Cov(X ,Y ), D(X Y )。
2、设X ~ N(, 2),Y ~ N(, 2)，且设X，Y相互独立 试求Z1 X Y和Z2 X Y的相关系数(其中，
Cov(aX b,cY d ) acCov( X ,Y ); Cov(aX bY ,cX dY ) acDX bdDY (ad bc)Cov( X ,Y ).
(6) D(XY) = DX+ D Y 2 Cov(X, Y) .
一般地， D(aXbY) =a 2DX + b2DY 2 abCov(X, Y).
1
1
dx
1 x 8xydy 8
0
x
15
EY
yf ( x, y)dxdy
o
1x
1
dx
1 y 8xydy 4
0
x
5
EXY
xyf ( x, y)dxdy
1
dx
0
1 xy 8xydy 4
x
9
Cov( X ,Y ) EXYEXEY 4
225
类似地，EX 2
1
X与Y不独立.
EX EY EXY 0, Cov( X ,Y ) 0, XY 0,
X与Y不相关.
例6 设 X 的分布律为
X 1 0 1 P 13 13 13
Y X 2, 求 XY , 并讨论 X 与Y 的独立性. 解 EX 0, EY EX 2 2 3, E( XY ) EX 3 0,

其余均方误差
e
D(Y
)(1
2 XY
).
从这个侧面也
能说明 XY 越接近1，e 越小. 反之， XY 越近于0，
e 就越大， Y与X的 线性相关性越小.
完
例3 设 ( X ,Y ) 的分布律为
X
Y
2 1 1 2 P{Y yi }
1
0 1/4 1/4 0
1/ 2
4
1/4 0 0 1/4 1/2
D(Y
)[1
2 XY
],
D(Y
)1
[cov( X ,Y )]2 D( X )D(Y )
D(Y
)[1
2 XY
],
由于方差
D(Y
)
是正的，
故必有
1
2 XY
0,
所以
XY 1.
性质2. 若 X 和 Y 相互独立，则 XY 0;
注意到此时 cov( X ,Y ) 0, 易见结论成立.
注： X 与Y 相互独立
完
例4 设 服从 [ , ] 上的均匀分布, 且
X sin , Y cos
判断 X 与 Y 是否不相关, 是否独立.
解
由于
E( X )
1
2
sind 0,
E(Y
)
1
2
cosd 0,
而
E(
XY
)
1
2
sin cosd 0.
2
因此
E( XY ) E( X )E(Y ),
从而 X 与 Y 不相关. 但由于 X 与 Y 满足关系:
完
例2 设连续型随机变量 ( X ,Y ) 的密度函数为
f
(
x,

= ρσ 1σ 2
ρ xy =
ρσ 1σ 2 = =ρ σ 1σ 2 D ( X ) D (Y )
Cov ( X , Y )
ρ=0, ,
从而说明二维正态分布随机变量X, 相互独立 从而说明二维正态分布随机变量 ,Y相互独立 相互独立与不相关是等价的. 即X,Y相互独立与不相关是等价的. , 相互独立与不相关是等价的
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人:程述汉 苏本堂
设二维( 例2 设二维(X,Y)随机变量的密度函数为
π π 1 cos( x + y ), 0 ≤ x ≤ , - ≤ y ≤ 0 f ( x, y ) =Y )
1 2 0 π 解 因为 E ( X ) = ∫ ∫ π x cos( x + y )dxdy = ≈ 0.7854, 2 0 -2 4 π 2 1 2 0 2 π π 2 D( X ) = ∫ ∫ π x cos( x + y)dxdy -[ E( X )] = + 2 ≈ 0.1876 2 0 -2 16 2 同理可得 E (Y ) ≈ 0.7854, D(Y ) ≈ 0.1876, 1 π 0 π 2 E ( XY ) = ∫ ∫ π xy × cos( x + y )dxdy1 ≈ -0.5708, 2 0 -2 2 cov( X , Y ) = E ( XY ) - E ( X ) E (Y )
2aE[Y E (Y )][ X E ( X )] + 2 E[Y E (Y )][ E (Y ) aE ( X ) b]
2 aE [ X E ( X )][ E (Y ) aE ( X ) b ]
= D(Y ) + a D( X ) + [ E (Y ) aE ( X ) b] 2a cov( X , Y )